ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

Transcript

1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργαστηριακές Ασκήσεις με χρήση του λογισμικού Matlab ΣΚΟΠΟΣ: Σκοπός των εργαστηριακών ασκήσεων είναι η πλήρης μελέτη ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου. Για το λόγο αυτό, στη συνέχεια γίνεται αναλυτική παρουσίαση των ακόλουθων ενοτήτων: Γνωριμία και Εξοικίωση με το λογισμικό Matlab Μοντελοποίηση Δυναμικών Συστημάτων (περιγραφή ενός δυναμικού συστήματος, μαθηματικά μοντέλα αναπαράστασης δυναμικών συστημάτων) Ευστάθεια και Αστάθεια Συστημάτων (μελέτη ευστάθειας με το Matlab) Απόκριση Δυναμικών Συστημάτων στο πεδίο των Χρόνων και των Συχνοτήτων - Διαγράμματα Bode, Nchol, Nyqut, Βηματική Απόκριση (Ste Reone), Κρουστική Απόκριση (Imule Reone)

2 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η ανάλυση ενός δυναμικού συστήματος αρχίζει με τη διαμόρφωση ενός μαθηματικού μοντέλου, το οποίο στην ουσία είναι ένα σύνολο από εξισώσεις που περιγράφουν την δυναμική του συστήματος. Ένα σύστημα μπορεί να αναπαρασταθεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους και επομένως να έχει διάφορα μαθηματικά μοντέλα. Το μαθηματικό μοντέλο που θα επιλέξουμε για την περιγραφή του συστήματός μας, εξαρτάται από τον τρόπο αναπαράστασης που μας εξυπηρετεί. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται συνηθέστερα, είναι:. Η συνάρτηση μεταφοράς (Tranfer functon). Οι πόλοι - μηδενισμοί (Zero-ole-gan) 3. Τα μερικά κλάσματα (Partal fracton) 4. Ο χώρος κατάστασης (State ace) Για την παρουσίαση των διαφόρων μαθηματικών μοντέλων, θα μελετήσουμε ένα ηλεκτρομηχανικό σύστημα το οποίο χρησιμοποιείται για τον έλεγχο των στροφών ενός DC κινητήρα. Το ηλεκτρικό κύκλωμα του τυμπάνου και το σχήμα του ρώτορα παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα: Για το παράδειγμα που εξετάζουμε, θα θεωρήσουμε τις παρακάτω τιμές για τις φυσικές παραμέτρους:

3 Ροπή αδράνειας του κινητήρα J = 0.0 kg. m / Ρυθμός απόσβεσης μηχανικού συστήματος b = 0. Nm Σταθερά ηλεκτροκινητήριας δύναμης Κ = Κe = t = 0.0 Nm/Am Ηλεκτρική αντίσταση R = Ω Αυτεπαγωγή πηνίου = 0.5 H Είσοδος : πηγή τάσεως Έξοδος θ: θέση περιστροφής Ο δίσκος και η περιστροφή θεωρούνται σταθερά Εξισώσεις Συστήματος Η περιστροφή του δίσκου, Τ, συνδέεται με το ρεύμα του τυμπάνου,, μέσω ενός σταθερού παράγοντα t. Η συνάρτηση ανάδρασης του κινητήρα, e, σχετίζεται με την ταχύτητα περιστροφής σύμφωνα με την εξίσωση: T e t e Σε μονάδες S.I. (τις οποίες και θα χρησιμοποιήσουμε), η t (σταθερά τυμπάνου) είναι ίση με την e (σταθερά κινητήρα). Από το σχήμα του παραδείγματός μας, μπορούμε να γράψουμε τις παρακάτω εξισώσεις οι οποίες προκύπτουν από τον νόμο του Newton σε συνδυασμό με το κανόνα rchhoff: J d dt b R. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (TRANSFER FUNCTION) Ο τρόπος αυτός αναπαράστασης του μαθηματικού μοντέλου μέσω της συνάρτησης μεταφοράς, συναντάται συνήθως στις εφαρμογές που αναφέρονται σε ηλεκτρικά συστήματα. Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό alace στις εξισώσεις του πεδίου των χρόνων, μπορούμε να αναλύσουμε το σύστημά μας στο πεδίο των συχνοτήτων. J b R I I Απλοποιώντας το Ι() μπορούμε να πάρουμε την ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς, στην οποία η ταχύτητα περιστροφής είναι η έξοδος και η τάση είναι η είσοδος: J b R

4 Μ αυτό τον τρόπο, κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην τελική μορφή της δεύτερης τάξης συνάρτησης μεταφοράς: J JR b br Παρόλ αυτά, κατά τη διάρκεια του παραδείγματός μας θα θεωρήσουμε ως έξοδο του συστήματος την θέση περιστροφής θ. Αυτή μπορούμε να την πάρουμε με ολοκλήρωση της ταχύτητας περιστροφής θ`, επομένως το μόνο που χρειάζεται είναι να διαιρέσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς με. Για την αναπαράσταση της συνάρτησης μεταφοράς με το λογισμικό Matlab, χρησιμοποιούμε την εντολή tf(num,den), όπου num ο πίνακας τιμών του αριθμητή και den ο πίνακας τιμών του παρονομαστή. Δημιουργούμε λοιπόν το παρακάτω m- fle: % tf_dcmotor % Tranfer functon of a DC motor clear all, cloe all J = 0.0; b = 0.; = 0.5; = 0.0; R = ; num = ; den = [(J*) (J*R)+(*b) (b*r)+(^)]; h = tf(num,den) Η τελική συνάρτηση μεταφοράς που παίρνουμε από το λογισμικό είναι η ακόλουθη: H ( ) ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΟΛΩΝ - ΜΗΔΕΝΙΣΜΩΝ (ZERO-POE-GAIN) Το μαθηματικό αυτό μοντέλο, αναπαριστά τη συνάρτηση μεταφοράς H() του συστήματος με τη μορφή: H ( ) k z z z m n όπου Κ είναι το κέρδος-ενίσχυση, Zm οι μηδενισμοί και Pn οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς. 3

5 Για να βρούμε τις ρίζες Zm του αριθμητή (μηδενισμοί) και Pn του παρονομαστή (πόλοι), με τη βοήθεια του λογισμικού Matlab, χρησιμοποιούμε την εντολή root(num) και root(den) αντίστοιχα. Βεβαίως, γνωρίζοντας τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος, μπορούμε να κάνουμε μετατροπή από το μοντέλο της συνάρτησης μεταφοράς που έχουμε υπολογίσει στο μοντέλο των πόλων - μηδενισμών - κέρδους, χρησιμοποιώντας την εντολή [z,,k]=tfz(num,den). Επομένως, στο παράδειγμά μας, χρησιμοποιώντας τις τυπικές τιμές που δώσαμε και με τη βοήθεια των εντολών που περιγράψαμε, παίρνουμε τους μηδενισμούς τους πόλους και το κέρδος της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος, όπως παρουσιάζεται παρακάτω: [z,,k] = tfz(num,den) z = Emty matrx: 0-by- = k = Δηλαδή το μοντέλο πόλων - μηδενισμών - κέρδους, παίρνει την παρακάτω μορφή: H ( ) ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΡΙΚΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ (PARTIA FRACTIONS) Ένας ακόμα τρόπος αναπαράστασης της συνάρτησης μεταφοράς H() του συστήματος, είναι με το μαθηματικό μοντέλο των μερικών κλασμάτων, δηλαδή: H ( ) r r r n n k( ) όπου r είναι ένα διάνυσμα στήλης που ονομάζεται διάνυσμα των υπολοίπων (redue), P είναι το διάνυσμα στήλης των πόλων όπως και στο ZP μοντέλο και k() είναι το πολυώνυμο των συντελεστών. Για να πάρουμε το μοντέλο των μερικών κλασμάτων με τη βοήθεια του λογισμικού Matlab, χρησιμοποιούμε την εντολή [r,,k]=redue(num,den). Με την εντολή αυτή, επιπλέον, μπορούμε να μετατρέψουμε τη συνάρτηση μερικών κλασμάτων στην αρχική μας συνάρτηση μεταφοράς, να ακολουθήσουμε δηλαδή την αντίστροφη ακριβώς διεργασία ([num,den]=redue(r,,k)). Επομένως, στο παράδειγμά μας, χρησιμοποιώντας τις τυπικές τιμές που δώσαμε και με τη βοήθεια των εντολών που περιγράψαμε, παίρνουμε: 4

6 [r,,k] = redue(num,den) r = = k = [] Δηλαδή το μοντέλο των μερικών κλασμάτων, παίρνει την παρακάτω μορφή: H ( ) Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (STATE SPACE MODE) Ο χώρος κατάστασης θεωρείται το πιο συνηθισμένο μαθηματικό μοντέλο περιγραφής ενός συστήματος ελέγχου, επειδή έχει πιο γενική περιγραφή και επομένως μπορεί να χρησιμοποιηθεί στις περισσότερες περιπτώσεις. Οι εξισώσεις του μοντέλου του χώρου κατάστασης, όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία, έχουν τη μορφή: x y A C x x B D u u Οι παραπάνω δύο εξισώσεις που επιδεικνύονται με έντονα γράμματα, αποτελούν τις εξισώσεις του χώρου κατάστασης. Με αυτές μπορούμε να περιγράψουμε οποιοδήποτε δυναμικό σύστημα, είτε αυτό είναι απλής εισόδου - απλής εξόδου (όπως στο παράδειγμά μας), είτε πολλαπλών εισόδων - πολλαπλών εξόδων. Στο χώρο κατάστασης, οι εξισώσεις μπορούν να εκφρασθούν επιλέγοντας την περιστροφική ταχύτητα και το ηλεκτρικό ρεύμα ως μεταβλητές κατάστασης και την τάση ως είσοδο. Η έξοδος επιλέγεται να είναι η ταχύτητα περιστροφής. d dt b J J R 0 0 Συνεπώς, βάσει των εξισώσεων που χαρακτηρίζουν το χώρο κατάστασης, οι τέσσερις πίνακες παίρνουν τις παρακάτω τιμές: 5

7 b A J J R, B 0, C 0, D 0 Τοποθετώντας τους πίνακες στο περιβάλλον του Matlab, παίρνουμε τα στοιχεία των τεσσάρων πινάκων. A = [-b/j /J; -/ -R/] B = [0; /] C = [ 0] D = 0 A = B = 0 C = 0 D = 0 Δηλαδή το μοντέλο των μερικών κλασμάτων, παίρνει την παρακάτω μορφή: d dt Θα μπορούσαμε βεβαίως να πάρουμε το μοντέλο του χώρου κατάστασης με τη βοήθεια του λογισμικού Matlab, χρησιμοποιούμε την εντολή [A,B,C,D]=tf(num,den). Με τον τρόπο αυτό θα χρησιμοποιούσε το λογισμικό τις δικές του μεταβλητές κατάστασης και όχι εκείνες που του ορίσαμε εμείς παραπάνω και συνεπώς οι τέσσερεις πίνακες θα πάρουν διαφορετική τιμή. [A,B,C,D]=tf(num,den) A = B = 0 C = 0 D = 0 6

8 Και με τον ένα αλλά και με τον άλλο τρόπο, αν κάναμε την αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή αν ζητούσαμε να βρούμε τις εξισώσεις αριθμητή και παρονομαστή της συνάρτησης μεταφοράς μέσω της εντολής [num,den]=tf(a,b,c,d) θα παίρναμε το ίδιο αποτέλεσμα. Παρατηρήσεις: Η μαθηματική έννοια της γραμμικής ανεξαρτησίας στην επιλογή των παραμέτρων του χώρου κατάστασης, εκφράζει την εξής ανάγκη: η επιλογή των παραμέτρων που περιγράφουν το σύστημα πρέπει να είναι τέτοια ώστε αυτές να μην αλληλοκαλύπτονται αλλά να αποτελούν ένα σύνολο μεταβλητών, ανεξαρτήτων μεταξύ τους, δηλαδή μεγεθών που μεταβαλλόμενα χαρακτηρίζουν το σύστημά μας. Για τη μελέτη και ανάλυση των δυναμικών συστημάτων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε μαθηματικό μοντέλο μας εξυπηρετεί, ανάλογα με τη περίσταση. Το λογισμικό πακέτο Matlab, μας δίνει τη δυνατότητα να κάνουμε μετατροπές από κάποιο μοντέλο σε κάποιο άλλο, με τη βοήθεια των εντολών που αναφέραμε στην ανάλυσή μας. Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε έναν πίνακα που περιέχει αναλυτικότερα τις εντολές μετατροπής μοντέλων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Εντολή [z,,k] = tfz (num,den) [num,den] = ztf (z,,k) [r,k,] = redue (num,den) [num,den] = redue (r,,k) [A,B,C,D] = tf (num,den) [num,den] = tf (A,B,C,D) [A,B,C,D] = z (z,,k) [z,,k] = z (A,B,C,D) Μετατροπή από συνάρτηση μεταφοράς σε μοντέλο πόλων-μηδενισμών... μοντέλο πόλων-μηδενισμών σε συνάρτηση μεταφοράς... συνάρτηση μεταφοράς σε μοντέλο μερικών κλασμάτων... μοντέλο μερικών κλασμάτων σε συνάρτηση μεταφοράς... συνάρτηση μεταφοράς σε μοντέλο χώρου κατάστασης... μοντέλο χώρου κατάστασης σε συνάρτηση μεταφοράς... μοντέλο πόλων-μηδενισμών σε μοντέλο χώρου κατάστασης... μοντέλο χώρου κατάστασης σε μοντέλο πόλων-μηδενισμών 7