10. poglavje. Kode za overjanje
|
|
- Κέρβερος Κρεστενίτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 10. poglavje Kode za overjanje (angl. Authentication Codes) Uvod Računanje verjetnosti prevare Kombinatorične ocene pravokotne škatje (ang. orthogonal arrays, OA) konstrukcije in ocene za OA Karakterizaciji kod za overjanje Ocene entropije Incidenčne strukture Aleksandar Jurišić 642
2 Kode za overjanje nam nudijo metode za zagotavljanje integritete sporočil, tj. da kljub aktivnemu napadalcu sporočilo pošilja pričakovana oseba in da sporočilo ni spremenjeno. Shema za overjanje mora biti brezpogojno varna, medtem ko smo preučevali sheme za digitalne podpise in MAC-e glede na računsko varnost. Aleksandar Jurišić 643
3 Uporaba Veliki datoteki priredimo potrdilo (hranjeno poleg te datoteke), ki omogoči Bojanu, da preveri, ali je vsebina še vedno nespremenjena (s ključem, ki je hranjen na varnem). Avtentičnost lahko preveri le tisti, ki mu je sporočilo namenjeno (digitalni podpis pa lahko preveri vsak). Aleksandar Jurišić 644
4 Koda za overjanje je četverka (S, A, K, E), za katero velja: 1. S je končna množica vseh začetnih stanj. 2. A je končna množica vseh potrdil. 3. K je končna množica vseh ključev. 4. Za vsak K K je dano pravilo za overjanje e K : S A. Množica sporočil pa je M = S A. Aleksandar Jurišić 645
5 Za pošiljanje podpisanega sporočila preko nezavarovanega kanala opravita Anita in Bojan naslednji protokol: 1. Anita in Bojan skupaj izbereta naključni ključ K K (to storita tajno, tako kot v primeru simetrične kriptografije). 2. Anita za sporočilo s S izračuna a = e K (s) in pošlje Bojanu par (s, a). 3. Bojan dobi (s, a), izračuna a = e K (s) in preveri, če je a = a. Aleksandar Jurišić 646
6 Lažna prestavitev (ang. impersonation) Napadalec vstavi v kanal sporočilo (s, a) v upanju, da ga bo Bojan sprejel za overjenega. napadalec (s,a) Bojan Zamenjava Napadalec opazi na kanalu sporočilo (s, a) in ga zamenja s sporočilom (s, a ) v upanju, da ga bo Bojan sprejel za overjenega. Anita (s,a) napadalec (s,a ) Bojan Vsakemu od zgornjih napadov priredimo ustrezno verjetnost prevare in ju označimo s P d 0 in P d 1. Aleksandar Jurišić 647
7 Računanje verjetnosti prevare Primer: S = A = Z 3, K = Z 3 Z 3 in e ij (s) = is + j mod 3 za vsak (i, j) K in s S. Sestavimo ( K S )-dim. matriko M za overjanje, tako da v K-ti vrstici na s-to mesto postavimo element e K (s) A. Aleksandar Jurišić 648
8 Če je v zgornjem primeru p K (K)=1/9 za vsak K K, se ni težko prepričati, da je P d 0 = P d 1 = 1/ (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) Aleksandar Jurišić 649
9 Sedaj pa izračunajmo verjetnosti prevare v splošnem. Označimo z I(s, a), s S, a A verjetnost, da bo Bojan sprejel sporočilo (s, a) za avtentično. Potem je I(s, a) = P (a=e K (s)) = p K (H). {H K e H (s)=a} Torej izračunamo I(s, a) tako, da v matriki za overjanje izberemo vrstice, ki imajo v stolpcu s vrednost a in nato seštejemo verjetnosti ustreznih ključev. Napadalec bo izbral tak (s, a), da bo I(s, a) največji: P d 0 = max{i(s, a) s S, a A}. Aleksandar Jurišić 650
10 Medtem ko P d 0 ni odvisna od porazdelitve p S, pa je P d 1 lahko. Predpostavimo, da je napadalka na kanalu dobila (s, a) in ga hoče zamenjati s (s, a ), s s. Za s, s S in a, a A je verjetnost, da Bojan ne bo opazil zamenjave, enaka I(s, a ; s, a) = P (a = e K (s )/a = e K (s)) = P ( (a = e K (s )) (a = e K (s)) ) P ( a = e K (s) ) = {H K e H (s)=a, e H (s )=a } I(s, a) p K (H). Aleksandar Jurišić 651
11 Napadalec maksimizira svoje možnosti, zato izračuna p s,a = max{i(s, a ; s, a) s S, s s in a A}. Torej je P d 1 matematično upanje izrazov p s,a glede na porazdelitev p M (s, a) in je enako P d 1 = p M (s, a) p s,a. (s,a) M Verjetnostno porazdelitev za p M preoblikujemo p M (s, a) = p S (s) p K (a/s) = p S (s) p K (K) {K K, e K (s)=a} = p S (s) I(s, a). Aleksandar Jurišić 652
12 Za vse s S in a A označimo s q s,a maksimalno vrednost vsote p K (H) {H K e H (s)=a,e H (s )=a } glede na vse pare (s, a ), kjer je s S\{s} ter a A. Od tod dobimo nekoliko bolj priročno formulo za verjetnost prevare P d 1 = p S (s) q s,a. (s,a) M Aleksandar Jurišić 653
13 Kombinatorične ocene Pri kodah za overjanje si želimo naslednje lastnosti: verjetnosti prevare P d 0 in P d 1 morata biti dovolj majhni, množica začetnih stanj S mora biti dovolj velika (saj želimo imeti dovolj veliko množico sporočil), množica ključev K naj bo kar se da majhna (saj pošiljamo ključe po varnem kanalu). Aleksandar Jurišić 654
14 Izrek 1. Za kodo za overjanje (S, A, K, E) velja P d 0 1/ A. Enakost velja, če in samo, če je p K (K) = 1 za vsak s S, a A. A {K K e K (s)=a} Dokaz: Za fiksen s S velja: a A I(s, a) = a A {H K e H (s)=a} p K (H) = H K p K (H) = 1. Aleksandar Jurišić 655
15 Izrek 2. Za kodo za overjanje (S, A, K, E) velja P d 1 1/ A. Enakost velja, če in samo, če je {H K e H (s)=a, e H (s )=a } {H K e H (s)=a} p K (H) za vse s, s S, s s in a A. p K (H) = 1 A Dokaz: Za fiksne s, s S, s s in a A, podobno kot v dokazu Izreka 1, izračunamo I(s, a; s, a )= p K (H) {H K e H (s)=a, e H (s )=a } =1. a A a A p K (H) {H K e H (s)=a} Aleksandar Jurišić 656
16 Od tod pa sledi p s,a = max I(s, a ; s, a) 1/ A. s s Verjetnost P d 1 = p M (s, a) p s,a (s,a) M je torej navzdol omejena z p M (s, a) A (s,a) M = 1 A. Omenimo še dve očitni posledici izrekov 1 in 2. Aleksandar Jurišić 657
17 Posledica 3. Za kodo za overjanje (S, A, K, E) velja P d 0 = P d 1 = 1/ A, če in samo, če je p K (H) = 1 A 2 {H K e H (s)=a, e H (s )=a } za vse s, s S, s s in a, a A. Posledica 4. Za kodo za overjanje (S, A, K, E), v kateri so vsi ključi enako verjetni, velja P d 0 = P d 1 = 1/ A, če in samo, če je {H K e H (s) = a, e H (s ) = a } = K A 2 za vse s, s S, s s in a, a A. Aleksandar Jurišić 658
18 Pravokotne škatle Pravokotna škatla (angl. orthogonal array) OA(v, s, λ) je taka (λv 2 s)-dimenzionalna matrika z v simboli, da se v vsakih dveh stolpcih vsak izmed v 2 možnih parov simbolov pojavi v natanko λ vrsticah. Te in njim ekvivalentne strukture (npr. transversalni designi, paroma pravokotni latinski kvadrati, mreže...) so del teorije designa. Aleksandar Jurišić 659
19 Če dva stolpca OA(v, s, 1) uporabimo za koordinate, lahko iz 3. stolpca sestavimo latinski kvadrat, tj. v v-dimenzionalno matriko, v kateri vsi simboli iz {1,..., v} nastopajo v vsaki vrstici in vsakem stolpcu Primer : OA(3, 3, 1) Aleksandar Jurišić 660
20 A K Q J Q J A K J Q K A K A J Q Trije paroma ortogonalni latinski kvadrati reda 4, tj. vsak par znak-črka ali črka-barva ali barva-znak se pojavi natanko enkrat. Aleksandar Jurišić 661
21 Izrek 5. Naj bo OA(v, s, λ) pravokotna škatla. Potem obstaja koda za overjanje (S, A, K, E), kjer je S = s, A = v, K = λv 2 in P d 0 = P d 1 = 1 v. Dokaz: Vsako vrstico OA(v, s, λ) uporabimo kot pravilo za overjanje z verjetnostjo 1/(λv 2 ): pravokotna škatla vrstica stolpec simbol koda za overjanje pravilo za overjanje začetno stanje potrdilo Aleksandar Jurišić 662
22 Konstrukcije in ocene za OA v je število potrdil, s določa število začetnih stanj, λ pa je povezan s številom ključev (λv 2 ). Naj bo P d 0 ε in P d 1 ε. Potem naj za OA(v, s, λ) velja v 1/ε, s S (nekaj stolpcev OA lahko izpustimo), λ naj bo čim manjši. Aleksandar Jurišić 663
23 Izrek 6. Če obstaja OA(v, s, λ), potem za λ = 1 velja s v + 1, v splošnem pa λ s(v 1) + 1 v 2. Transverzalni design T D λ (s, v) je incidenčna struktura z bloki velikosti s, v katerem so točke razdeljene v s skupin velikosti v tako, da sta poljubni točki v λ blokih, če sta v različnih skupinah, sicer pa ne obstaja noben blok, ki bi ju vseboval. Aleksandar Jurišić 664
24 Dokaz Izreka 6: Število vseh premic, ki sekajo eno premico transverzalnega designa T D 1 (s, v) je enako (v 1)s in je kvečjemu enako številu vseh premic brez začetne premice, tj. v 2 1. V transverzalnem designu T D λ (s, v), λ 1, pa štejemo na podoben način in nato uporabimo še neenakost med aritmetično in kvadratno sredino (ki jo lahko izpeljemo iz Jensenove neenakosti). Aleksandar Jurišić 665
25 Izrek 7. Za praštevilo p obstaja OA(p, p, 1), za d N\{1} pa tudi OA(p, (p d 1)/(p 1), p d 2 ). Dokaz: Naj bo λ = 1. Za K = Z p Z p in S = A = Z p definiramo e ij (s) = is + j mod p. Za λ 1 pa bomo ekzistenco izpeljali v zadnjem razdelku iz konstrukcije projektivnega prostora P G(n, d). Za DN se prepričaj, da se da vsak OA(n, n, 1) razširiti za en stolpec do OA(n, n + 1, 1). Aleksandar Jurišić 666
26 Karakterizaciji kod za overjanje Kode za overjanje z najmanjšimi verjetnostmi prevare so prav tiste, ki jih dobimo iz ortogonalnih škatel. Izrek 8. Če je (S, A, K, E) taka koda za overjanje, da je A = v in P d 0 = P d 1 = 1/v, potem je K v 2. Enačaj velja natanko tedaj, ko obstaja OA(v, s, 1) in je S = s ter p P (K) = 1 v 2 K K. Aleksandar Jurišić 667
27 Dokaz: Naj bosta s, s S, s s. Za vsak par (a, a ) potrdil sledi iz Posledice 3 p K (H) = 1 A 2. Zato je {H K e H (s)=a, e H (s )=a } K a,a = {K K e K (s) = a, e K (s ) = a }. Ker je vseh takih množic v 2 in so disjunktne, velja K v 2. V primeru enakosti velja K a,a = 1 za vsak par potrdil (a, a ), kar pomeni, da v matriki za overjanje v stolpcih s in s vsak par potrdil pojavi natanko enkrat in imamo OA(v, s, 1) za s = S. Aleksandar Jurišić 668
28 V primeru enakosti dobimo iz zgornje enakosti tudi p K (K) = 1/v 2 za vsak K K. Naslednja karakterizacija je še močnejša in jo predstavljamo brez dokaza. Izrek 9. Če je (S, A, K, E) taka koda za overjanje, da je S =s, A =v in P d 0 =P d 1 =1/v, potem je K s(v 1) + 1. Enačaj velja natanko tedaj, ko obstaja OA(v, s, λ) z λ = s(v 1) in p v 2 P (K) = K K. s(v 1) + 1 Aleksandar Jurišić 669
29 Ocene entropije Z Jensenovo neenakostjo lahko izpeljete še naslednji spodnji meji in se prepričate, da ju druga konstrukcija iz Izreka 7 doseže. Izrek 10. Če je (S, A, K, E) koda za overjanje, potem velja in log P d 0 H(K/M) H(K) log P d 1 H(K/M 2 ) H(K/M). Aleksandar Jurišić 670
30 Incidenčne strukture t-(v, s, λ t ) design je zbirka s-elementnih podmnožic (blokov) množice z v elementi (točkami), kjer je vsaka t-elementna podmnožica vsebovana v natanko λ t blokih. Če je λ t = 1, imenujemo t-design Steinerjev sistem in ga označimo s S(t, s, v). Aleksandar Jurišić 671
31 Naj bo za i N, 0 i t, in λ i število blokov, ki vsebujejo neko i-elementno podmnožico točk S. Potem velja ( ) s i λ i t i ( ) v i = λ t t i in je število λ i neodvisno od izbire podmnožice S. Za λ 0 = b in λ 1 = r, kadar je t 2, velja bs = rv in r(s 1) = λ 2 (v 1). Aleksandar Jurišić 672
32 Projektivni prostor P G(d, q) (dimenzije d nad q) dobimo iz vektorskega prostora [GF (q)] d+1, tako da naredimo kvocient po 1-dimenzionalnih podprostorih. Projektivna ravnina P G(2, q) je incidenčna struktura z 1- in 2-dim. podprostori prostora [GF (q)] 3 kot točkami in premicami, kjer je incidenčna relacija. To je 2-(q 2 + q + 1, q + 1, 1)-design, tj., v = q 2 + q + 1 je število točk (in število premic b), vsaka premica ima k = q + 1 točk (in skozi vsako točko gre r = q + 1 premic), vsak par točk leži na λ = 1 primicah (in vsaki premici se sekata v natanko eno točki). Aleksandar Jurišić 673
33 Primeri: 1. Projektivno ravnino P G(2, 2) imenujemo Fano ravnina (7 točk in 7 premic). Aleksandar Jurišić 674
34 2. P G(2, 3) lahko skonstruiramo iz 3 3 mreže oziroma afine ravnine AG(2, 3). Aleksandar Jurišić 675
35 3. P G(2, 4) lahko konstruiramo iz Z 21 : točke = Z 21 in premice = {S + x x Z 21 }, kjer je S 5-elementna podmnožica {3, 6, 7, 12, 14}. {0, 3, 4, 9, 11} {1, 4, 5, 10, 12} {2, 5, 6, 11, 13} {3, 6, 7, 12, 14} {4, 7, 8, 13, 15} {5, 8, 9, 14, 16} {6, 9, 10, 15, 17} {7, 10, 11, 16, 18} {8, 11, 12, 17, 19} {9, 12, 13, 18, 20} {10, 13, 14, 19, 0} {11, 14, 15, 20, 1} {12, 15, 16, 0, 2} {13, 16, 17, 1, 3} {14, 17, 18, 2, 4} {15, 18, 19, 3, 5} {16, 19, 20, 4, 6} {17, 20, 0, 5, 7} {18, 0, 1, 6, 8} {19, 1, 2, 7, 9} {20, 2, 3, 8, 10} Opozorilo: Podobno lahko Fano ravnino konstruiramo iz {0, 1, 3} v Z 7. Aleksandar Jurišić 676
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραAFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA
Aleš Vavpetič AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Ljubljana 2011 ii naslov: AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA avtorske pravice: Aleš Vavpetič izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Aleš Vavpetič, Ljubljana
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραUniverza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar
Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραAnaliza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj
Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραTeorija kodiranja in kriptografija 2013/2014
Teorija kodiranja in kriptografija 2013/2014 Digitalni podpis Arjana Žitnik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, 15. 4. 2014 Vsebina Digitalni podpis Digitalni podpis z RSA
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραOznake in osnovne definicije
Oznake in osnovne definicije B Plestenjak, JKozak: Numerične metode 2011-2012 1 / 53 Sistem n linearnih enačb z n neznankami a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
Διαβάστε περισσότεραTeorija grafov in topologija poliedrov
Teorija grafov in topologija poliedrov Matjaž Željko Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Seminar Razvedrilna matematika Ljubljana, 18. februar 2011 1 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότεραRiemannove ploskve in analitična geometrija. Franc Forstnerič
Riemannove ploskve in analitična geometrija Franc Forstnerič 11. februar 2018 Kazalo I Uvod v Riemannove ploskve 1 I.1 Motivacija.................................... 1 I.2 Definicija Riemannove ploskve
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραOsnovne lastnosti odvoda
Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni
Διαβάστε περισσότεραKvantni delec na potencialnem skoku
Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: matematika
Διαβάστε περισσότεραLetnik 0, številka 5
Brihtnež Elektronska revija za mlade matematike Letnik 0, številka 5 c Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije http://www.dmfa.si/brihtnez/brihtnezindex.html Vsebina Vsebina Olimpijski kotiček:
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραVerjetnost 2 Peto poglavje
e z e z November 2011 Vsebina e z 1 2 3 4 5 6 Šibka in krepka markovska e z Naj bo X = {X (t) t [0, )} družina slučajnih spremenljivk z zalogo vrednosti v neki množici stanj S, t.j. slučajni proces z.
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραII.8. Načrtovanje eksperimentov
A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 673 II.8. Načrtovanje eksperimentov A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 674 Načrtovanje eksperimentov se pogosto neposredno
Διαβάστε περισσότεραII.8. Načrtovanje eksperimentov
A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 673 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 674 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 675 II.8. Načrtovanje
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραArjana Žitnik. Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu
Arjana Žitnik Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu DISKRETNA MATEMATIKA 1 Študijsko gradivo za študente 1. letnika Finančne matematike Ljubljana, 2016 NASLOV: Rešene naloge iz kolokvijev
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραTRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008
TRANZITIVNI GRAFI Katarina Jan ar oktober 2008 Kazalo 1 Uvodne denicije........................ 3 2 Vozli² na tranzitivnost.................... 8 3 Povezavna tranzitivnost.................... 10 4 Lo na
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότερα