II.8. Načrtovanje eksperimentov
|
|
- Ἰαρέδ Καζαντζής
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 673 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 674 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 675 II.8. Načrtovanje eksperimentov Načrtovanje eksperimentov se pogosto neposredno prevede v uspeh oziroma neuspeh. V primeru parjenja lahko statistik spremeni svojo vlogo iz pasivne v aktivno. Elementi načrta so eksperimentalne enote ter terapije, ki jih želimo uporabiti na enotah. Predstavimo samo osnovne ideje, podrobno numerično analizo pa prepustimo statistični programski opremi. medicina: bolniki (enote) in zdravila (terapije), optimizacija porabe: taxi-ji (enote) in različne vrste goriva (terapije), agronomija: območja na polju in različne vrste kulture, gnojiva, špricanja,... A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 676 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 677 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 678 Danes uporabljamo ideje načrtovanja eksperimentov na številnih področjih: optimizacija industrijskih procesov, medicina, sociologija. 2. Lokalna kontrola pomeni vsako metodo, ki zmanjša naravno spremenljivost. En od načinov grupira podobne enote eksperimentov v bloke. V primeru taxijev uporabimo obe vrsti goriva na vsakem avtomobilu in rečemo, da je avto blok. Na primeru bomo predstavili tri osnovne principe načrtovanja eksperimentov: 1. Ponavljanje: enake terapije pridružimo različnim enotam, saj ni mogoče oceniti naravno spremenljivost (ang. natural variability) in napake pri merjenju. 3. Naključna izbira je bistven korak povsod v statistiki! Terapije za enote izbiramo naključno. Za vsak taksi izberemo vrsto goriva za torek oziroma sredo z metom kovanca. Če tega ne bi storili, bi lahko razlika med torkom in sredo vplivala na rezultate.
2 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 679 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 680 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 681 Latinski kvadrati Projektivni prostor P G(d, q) (razsešnosti d nad q) dobimo iz vektorskega prostora [GF (q)] d+1, tako da naredimo kvocient po 1-razsežnih podprostorih. Latinski kvadrat reda v je v v-razsežna matrika, v kateri vsi simboli iz množice {1,..., v} nastopajo v vsaki vrstici in vsakem stolpcu. Trije paroma ortogonalni latinski kvadrati reda 4, tj. vsak par znak-črka ali črka-barva ali barva-znak se pojavi natanko enkrat. Projektivna ravnina P G(2, q) je incidenčna struktura z 1- in 2-dim. podprostori prostora [GF (q)] 3 kot točkami in premicami, kjer je incidenčna relacija. To je 2-(q 2 + q + 1, q + 1, 1)-design, tj., v = q 2 + q + 1 je število točk (in število premic b), vsaka premica ima k = q + 1 točk (in skozi vsako točko gre r = q + 1 premic), vsak par točk leži na λ = 1 primicah (in vsaki premici se sekata v natanko eno točki). A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 682 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 683 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 684 Primeri: 1. Projektivno ravnino P G(2, 2) imenujemo Fano ravnina (7 točk in 7 premic). 2. P G(2, 3) lahko skonstruiramo iz 3 3 mreže oziroma afine ravnine AG(2, 3). Bose in Shrikhande Prva sta konec tridesetih let prejšnjega stoletja vpeljala asociativne sheme Bose in Nair a potrebe statistike. Toda Delsarte je pokazal, da nam lahko služijo kot povezava med številnimi področji matematike, naprimer teorijo kodiranja in teorijo načrtov.
3 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 685 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 686 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 687 III. ZAKLJUČKI Spoznali smo kako predstaviti eno spremenljivko (dot-plot, histogrami,...) in dve spremenljivki (razsevni diagram). Multivariantna analiza Osnovni principi in orodja, ki smo jih spoznali pri VIS, lahko posplošimo in razširimo do te mere, da se dajo z njimi rešiti tudi bolj kompleksni problemi. Kako pa predstavimo več kot dve spremenljivki na ravnem listu papirja? Med številnimi možnostmi moramo omeniti idejo Hermana Chernoffa, ki je uporabil človeški obraz, pri čemer je vsako lastnost povezal z eno spremenljivko. Oglejmo si Chernoffov obraz: X =naklon obrvi, Y =velikost oči, Z =dolžina nosu, T =dolžina ust, U =višino obraza, itd. Širok izbor multivariantnih modelov nam omogoča analizo in ponazoritev n-razsežnih podatkov. Združevalna/grozdna tehnika (ang. cluster technique): Iskanje delitve populacije na homogene podskupine, npr. z analizo vzorcev senatorskih glasovanj v ZDA zaključimo, da jug in zahod tvorita dva različna grozda. A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 688 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 689 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 690 Diskriminacijska analiza je obraten proces. Npr. odbor/komisija za sprejem novih študentov bi rad našel podatke, ki bi že vnaprej opozorili ali bodo prijavljeni kandidati nekega dne uspešno zaključili program (in finančno pomagali šoli - npr. z dobrodelnimi prispevki) ali pa ne bodo uspešni (gre delati dobro po svetu in šola nikoli več ne sliši zanj(o). Analiza faktorjev išče poenostavljeno razlago večrazsežnih podatkov z manjšo skupino spremenljivk. Npr. Psihiater lahko postavi 100 vprašanj, skrivoma pa pričakuje, da so odgovori odvisni samo od nekaterih faktorjev: ekstravertiranost, avtoritativnost, alutarizem, itd. Naključni sprehodi pričnejo z metom kovanca, recimo, da se pomaknemo korak nazaj, če pade grb, in korak naprej, če pade cifra. (z dvema kovancema se lahko gibljemo v 2-razsežnemu prostoru - tj. ravnini). Če postopek ponavljamo, pridemo do stohastičnega procesa, ki ga imenujemo naključni sprehod (ang. random walk). Rezultate testa lahko potem povzamemo le z nekaterimi sestavljenimi rezultati v ustreznih dimenzijah. Modeli na osnovi naključnih sprehodov se uporabljajo za nakup/prodajo delnic in portfolio management.
4 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 691 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 692 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 693 Ponovno vzorčenje Kvaliteta podatkov Vizualizacija in analiza slik Sliko lahko sestavlja pikslov, ki so predstavljeni z eno izmed 16,7 milijonov barv. Statistična analiza slik želi najti nek pomen iz informacije kot je ta. Pogosto ne moremo izračunati standardne napake in limite zaupanja. Takrat uporabimo tehniko ponovnega vzorčenja, ki tretira vzorec, kot bi bila celotna populacija. Za takšne tehnike uporabljamo pod imeni: randomization Jackknife, in Bootstrapping. navidezno majhne napake pri vzorčenju, merjenju, zapisovanju podatkov, lahko povzročijo katastrofalne učinke na vsako analizo. R. A. Fisher, genetik in ustanovitelj moderne statistike ni samo načrtoval in analiziral eksperimentalno rejo, pač pa je tudi čistil kletke in pazil na živali. Zavedal se je namreč, da bi izguba živali vplivala na rezultat. Moderni statistiki, z njihovimi računalniki in podatkovnimi bazami ter vladnimi projekti (beri denarjem) si pogosto ne umažejo rok. A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 694 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 695 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 696 Inovacija Najboljše rešitve niso vedno v knjigah (no vsaj najti jih ni kar tako). Npr. Mestni odpad je najel strokovnjake, da ocenijo kaj sestavljajo odpadki, le-ti pa so se znašli pred zanimivimi problemi, ki se jih ni dalo najti v standardnih učbenikih. Komunikacija Še tako uspešna in bistroumna analiza je zelo malo vredna, če je ne znamo jasno predstaviti, vključujoč stopnjo statistične značilnosti? v zaključku. V današnji kompleksni družbi. Timsko delo Reševanje številnih problemov zahteva timsko delo. Inženirji, statistiki in delavci sodelujejo, da bi izboljšali kvaliteto produktov. Biostatistiki, zdravniki, in AIDS-aktivisti združeno sestavljajo klinične poiskuse, ki bolj učinkovito ocenijo terapije. Npr. V medijih danes veliko bolj natančno poročajo o velikosti napake pri svojih anketah.
5 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 697 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 698 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 699 intuitivna ideja Ramseyjev izrek Erdösev izrek primeri uporabe Po 3,500 let starem zapisu je antični sumerski učenjak pogledal v nebo in zagledal leva, bika in škorpijona. Ali gre za kozmične sile? III.2. Ramseyjeva teorija Astronom bi rekel: kolekcija zvezd, tj. začasna konfiguracija zvezd, ki jo gledamo z roba navadne galaksije Frank Plumpton Ramsey (26 let, angleški matematik, filozof in ekonomist) Popoln nered je nemogoč. Ramseyjeva teorija: Vsaka dovolj velika struktura vsebuje urejeno podstrukturo. Konkretna naloga: Koliko objektov nam zagotavlja željeno podstrukturo? Intuicija Izrek (SIM). V družbi šestih ljudi obstaja trojica v kateri se vsaka dva poznata ali pa vsaka dva ne poznata. naivni prostop: preverimo 2 15 = možnosti, barvanje povezav polnega grafa K 6 in Dirichletov princip. Nekaj težja naloga V družbi 17ih znanstvenikov se vsaka dva dopisujeta o eni izmed treh tem. Dokaži, da obstajajo trije, ki se dopisujejo o isti temi! A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 700 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 701 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 702 Ramseyjevo število r(k, l) je najmanjše število za katerega vsak graf na r(k, l) vozliščih vsebuje bodisi k-kliko bodisi l-antikliko. Prepričaj se, da je r(k, l) = r(l, k). Primeri: r(k, 1) = 1 = r(1, l), r(2, l) = l, r(k, 2) = k, SIM : r(3, 3) 6. Ramseyjev izrek Izrek. k, l N r(k, l) r(k, l 1) + r(k 1, l). Če sta obe števili na desni strani neenakosti sodi, potem velja stroga neenakost. Zgled uporabe: r(3, 3) r(3, 2) + r(2, 3) = = 6. Dokaz: 1935 Erdös & Szekeres, 1955 Greenwood & Gleason Naj bo G graf na r(k, l 1) + r(k 1, l) vozliščih. Potem velja ena izmed naslednjih možnosti: (a) Vozlišče v ni sosednje množici S z vsaj r(k, l 1) vozlišči. kar pomeni, da G[S] vsebuje ali k-kliko ali (l 1)-antikliko. (b) Vozlišče v je sosednje množici T z vsaj r(k 1, l) vozlišči. kar pomeni, da G[T ] vsebuje ali (k 1)-kliko ali l-antikliko. Od tod sledi, da G vsebuje bodisi k-kliko bodisi l-antikliko.
6 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 703 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 704 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 705 Naj bosta r(k, l 1) in r(k 1, l) sodi števili in To je bila zgornja meja. Kaj pa spodnja meja? G = r(k, l 1) + r(k 1, l) 1. Erdösev izrek Potem obstaja vozlišče v V (G), katerega stopnja je sodo število. Torej v ni soseden točno r(k 1, l) 1 vozliščem in velja bodisi (a) bodisi (b). Izrek. k N r(k, k) 2 k/2. Pokaži: r(3, 4) 9, r(3, 5) 14, r(4, 4) 18, r(k, l) ( ) k + l 2. k 1 5 < r(3, 3) = 6 8 < r(3, 4) = 9 Podobno dobimo tudi 13 < r(3, 5) = 14, 17 < r(3, 6) = 18, 22 < r(3, 7) = 23, 27 < r(3, 8) 29 in 35 < r(3, 9) = 36. Zgled uporabe: r(3, 3) 3 and r(4, 4) 4. A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 706 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 707 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 708 Marsovci napadejo Zemljo Morda nam uspe izračunati r(5, 5) [43, 49] (Exoo 1989, McKay and Radziszowski 1995), nikakor pa ne moremo izračunati r(6, 6) [102, 165] (Kalbfleisch 1965, Mackey 1994). Znana Ramseyeva števila: k\l ? ???????? 6 18??????? Ester Klein je leta 1933 predstavil naslednjo geometrijsko nalogo: Med petimi točkami v ravnini, od katerih nobene tri niso kolinearne (ležijo na premici), lahko vedno izberemo štiri, ki določajo konveksen četverokotnik. Rešitev: Vpeljemo pojem konveksne ogrinjače... Če je konveksna ogrinjača teh petih točk (a) petkotnik, potem vsake 4 točke med njimi sestavljajo konveksen četverokotnik, (b) štirikotnik, potem so njegovi vrhovi tiste 4 točke, ki smo jih iskali, (c) trikotnik, potem ga lahko označimo z A, B in C, preostali točki pa z D in E, tako da sta točki A in B na isti s strani premice DE. V tem primeru je četverokotnik ABCD konveksen. Nalogo lahko posplošimo na 9 točk in iskanje konveksnega petkotnika ter počasi pridemo do Erdöseve domneve, da za konveksen k-kotnik potrebujemo v ravnini vsaj n = k 2 točk od katerih nobene 3 niso kolinearne. Pravzaprav se je najprej Szekeres prepričal, da za dovolj velik n vedno obstaja konveksen k-kotnik, potem pa je Erdös postavil svojo domnevo.
7 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 709 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 710 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 711 Erdöseva probabilistična metoda (1947) 34 točk določa 561 premic. Da se to zgodi v eni barvi, je verjetnost , Velja tudi ( ) = 3, Torej lahko pričakujemo ( ) 10 6 = 3, , oziroma 0, 01% enobarvnih. To pomeni, da v 99, 9% ne dobimo enobarvnega K 34. Slednjo idejo pretvorimo v Erdösev dokaz... Dokaz Erdösevega izreka: probabilistična metoda (ni konstruktivna) in štetje Naj bo G n množica grafov z vozlišči v 1, v 2,..., v n. Naj bo G k n množica grafov iz G n, ki vsebujejo k-kliko. Potem je G n = 2 (n 2), G k n = 2 (n 2) ( k 2) ( n k) in q = Gn / G k n nk 2 (k 2). k! Če je n < 2 k/2, velja q 2 k 2 2 (k 2) k! < 1 2. Se pravi, da manj kot polovica grafov iz G n vsebuje k-klike. Iz G n = {G G G n } pa sledi, da manj kot polovica grafov iz G n vsebuje k-antiklike. Posledica. Za m := min(k, l) velja Pobarvaj z modro in rdečo števila r(k, l) 2 m/2. Uporaba Posledica Ramseyjevega izreka (Waerden 1926): 3 rdeča ali 3 modra števila tvorijo aritmetično zaporedje. Dodatno branje: R. L. Grahan and J. H. Spencer, Ramsey Theory, Scientific American July 1990, A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 712 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 713 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 714 PODVOJ(x) = 2x EKSPONENT(x) = 2 x 2 STOLP(x) = UAU(1) = STOLP(1)=2. UAU(2) = STOLP(2)=4. (x dvojk) UAU(3) = STOLP(4)=65,536 UAU(4) = prevelik za vse knjige, za vse računalnike... UAU(x) =.... Zaporedje 1, 2,..., ACKERMANN(k) pobarvamo z dvema barvama. Potem obstaja monokromatično (enobarvno) aritmetično podzaporedje s k členi. III.3. Teorija informacij Claude Shannon je postavil teoretične osnove teorije informacij in zanesljivega prenosa digitalnih podatkov kmalu po koncu druge svetovne vojne. III.4. Teorije kodiranja, glavni mejniki : začetki teorije informacij: znamenita izreka o Source Coding in pa Channel Capacity (C. Shannon) : odkritje prvih kod za odpravljanje napak (M. Golay, R. Hamming) : odkritje BCH-kod (R. Bose, D. Ray-Chaudhuri, A. Hochquenghem). 1967: Viterby algoritm za odkodiranje konvolucijskih kod, (ki sta jih predlagala Elias 1955, Hagelbarger 1959). 1993: razvoj turbo kod (C. Berrou, A. Glavieux, P. Titimajshima).
8 A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika A. 715 Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 716 Pacioli, Euler, Poincare,...
II.8. Načrtovanje eksperimentov
A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 673 II.8. Načrtovanje eksperimentov A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 674 Načrtovanje eksperimentov se pogosto neposredno
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότερα10. poglavje. Kode za overjanje
10. poglavje Kode za overjanje (angl. Authentication Codes) Uvod Računanje verjetnosti prevare Kombinatorične ocene pravokotne škatje (ang. orthogonal arrays, OA) konstrukcije in ocene za OA Karakterizaciji
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραUniverza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar
Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George
Διαβάστε περισσότεραTeorija grafov in topologija poliedrov
Teorija grafov in topologija poliedrov Matjaž Željko Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Seminar Razvedrilna matematika Ljubljana, 18. februar 2011 1 Matjaž Željko Teorija grafov in topologija
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραAFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA
Aleš Vavpetič AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Ljubljana 2011 ii naslov: AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA avtorske pravice: Aleš Vavpetič izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Aleš Vavpetič, Ljubljana
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραDiagonalni gra. 1 Predstavitev diagonalnih grafov. Zvone Klun. Maj 2007
Diagonalni gra Zvone Klun Maj 2007 1 Predstavitev diagonalnih grafov Graf je diagonalen (ang. chordal), e ima vsak cikel dolºine 4 ali ve diagonalo. Kjer je diagonala (ang. chord) povezava med dvema vozli²
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραArjana Žitnik. Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu
Arjana Žitnik Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu DISKRETNA MATEMATIKA 1 Študijsko gradivo za študente 1. letnika Finančne matematike Ljubljana, 2016 NASLOV: Rešene naloge iz kolokvijev
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότερα1 3D-prostor; ravnina in premica
1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK
GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj
Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije..............................
Διαβάστε περισσότεραCM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25
1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραPravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica
Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότερα(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe
(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe Maša Lah, Sabina Boršić, Klara Drofenik Mentor: Rok Gregorič Matematično raziskovalno srečanje 24. avgust 2016 Povzetek Cilj našega projekta je bil ugotoviti kriterij
Διαβάστε περισσότεραOsnove sklepne statistike
Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M15143113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA RIC 2015 M151-431-1-3 2 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότερα1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
Διαβάστε περισσότεραLetnik 0, številka 5
Brihtnež Elektronska revija za mlade matematike Letnik 0, številka 5 c Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije http://www.dmfa.si/brihtnez/brihtnezindex.html Vsebina Vsebina Olimpijski kotiček:
Διαβάστε περισσότεραS programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T
2. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 21.5.2010 Ključ za dostop do e-učilnice: RMD2009 Tekom srečanj bodo zadeve osvežene v smislu, da bodo okleščene. Morda bo dodan še kak rešen primer.
Διαβάστε περισσότεραTRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008
TRANZITIVNI GRAFI Katarina Jan ar oktober 2008 Kazalo 1 Uvodne denicije........................ 3 2 Vozli² na tranzitivnost.................... 8 3 Povezavna tranzitivnost.................... 10 4 Lo na
Διαβάστε περισσότεραPosplošena električna dominacija
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Aleš Omerzel Posplošena električna dominacija DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραRiemannove ploskve in analitična geometrija. Franc Forstnerič
Riemannove ploskve in analitična geometrija Franc Forstnerič 11. februar 2018 Kazalo I Uvod v Riemannove ploskve 1 I.1 Motivacija.................................... 1 I.2 Definicija Riemannove ploskve
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραNačin dostopa (URL): cabello/gradiva/vajeracgeom.pdf
Vaje iz računske geometrije Sergio Cabello 9. november 2010 naslov: Vaje iz računske geometrije avtorske pravice: Sergio Cabello izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba avtor: Sergio Cabello leto izida:
Διαβάστε περισσότερα