XV. ΜΕΡΙ ΙΑ ΣΤΟ ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ, ΙΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΟΣ, ΜΕΡΙΣΜΑΤΑ, ΕΛΕΓΧΟΙ ΚΕΡ ΟΦΟΡΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Transcript

1 XV. ΜΕΡΙ ΙΑ ΣΤΟ ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ, ΙΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΟΣ, ΜΕΡΙΣΜΑΤΑ, ΕΛΕΓΧΟΙ ΚΕΡ ΟΦΟΡΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο παρελθόν ασχοληθήκαµε µε τα µαθηµατικά αποθέµατα ("αποθέµατα καθαρού ασφαλίστρου" και µε τα αποθέµατα εµπορικού ασφαλίστρου (αποθέµατα παροχών και εξόδων. Αν και τα τελευταία είναι γενικότερα (λαµβάνουν υπόψη και τις δαπάνες της ασφαλιστικής επιχείρησης, και τα δύο είδη αποθεµάτων βασίζονται σε ένα µόνον αίτιο εξόδου, το θάνατο. Όµως τα αποτελέσµατα της ασφαλιστικής δραστηριότητας επηρεάζονται από πολλούς άλλους παράγοντες, µε κλασσικό παράδειγµα την ακύρωση (διακοπή συµβολαίων πριν από τη λήξη τους. Στην παρούσα ενότητα θα µελετήσουµε ένα µοντέλο µε δύο αίτια εξόδου (d (θάνατο και (w (απόχώρηση, wihdrawal. Στα πλαίσια αυτού του προτύπου θα ασχοληθούµε µε την έννοια του µεριδίου στο ενεργητικό (asse share και µε τη διαδικασία της διανοµής του πλεονάσµατος (καταβολής µερισµάτων. Β. ΜΕΡΙ ΙΑ ΣΤΟ ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ Τα αποθέµατα εµπορικού ασφαλίστρου περιλαµβάνουν βέβαια τα έξοδα, βασίζονται όµως στο µαθηµατικό απόθεµα V. Εδώ θα θεωρήσουµε ότι, εκτός από το µαθηµατικό απόθεµα, διαθέτουµε και κάποιο "περίσσευµα" που ονοµάζεται "πλεόνασµα" (surlus και σηµειώνεται µε u. Κατά συνέπεια, στη θέση του V έχουµε τώρα το άθροισµα V u = (AS, άθροισµα στο οποίο δίνουµε το όνοµα µερίδιο (του ασφαλιστηρίου στο ενεργητικό (της εταιρίας. (Το σύµβολο AS προέρχεται από το asse share. Ως καθαρό ασφάλιστρο παίρνουµε το ( d G( c e ( Gc e τα έξοδα έτους και φυσικά λαµβάνουµε υπόψη τα q για θάνατο και q για (πρόωρη ακύρωση του συµβολαίου καθώς και το γεγονός ότι, εκτός από την καταβολή µονάδας στο θάνατο, έχουµε και καταβολή του ποσού ( CV (της αξίας εξαγοράς σε περίπτωση διακοπής του συµβολαίου. Κάτω από αυτές τις συνθήκες, η γνωστή αναδροµική ( d σχέση ( P( i = q V γίνεται [ ( G( c e ]( i = q q ( CV V ( T (AS. (* Αν στην (* αντικαταστήσουµε το ( T µε AS ( d q q, παίρνουµε (µετά από κάποιες ( d [ ( ]( [ ( ] [ ( ( ] ανακατατάξεις ( AS= AS G c e i q AS q CV AS. Η σχέση αυτή δείχνει ότι η τιµή (AS του µεριδίου εξαρτάται, µεταξύ άλλων, από τη διαφορά µεταξύ αξίας εξαγοράς και µεριδίου (αν, π.χ., AS > CV, ένα τµήµα της αύξησης ( ( ( AS (AS οφείλεται στον όρο [ ( AS ( CV ] q. Για την (* πρέπει να γίνουν οι εξής παρατηρήσεις. Ασφάλιστρα και έξοδα καταβάλλονται στην αρχή του έτους, κεφάλαια θανάτου και αξίες εξαγοράς καταβάλλονται στο τέλος του έτους. Σε άλλες περιπτώσεις, η (* πρέπει να υποστεί τις κατάλληλες τροποποιήσεις (π.χ., χρήση του δ i για άµεση καταβολή του κεφαλαίου θανάτου. Η (* µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον αναδροµικό υπολογισµό των (AS. Τέλος, εφόσον ( AS = V u, η (* µπορεί να ερµηνευθεί και ως αναδροµική σχέση για την πορεία του πλεονάσµατος : λύνοντας την (* για, παίρνουµε u ( d ( [( V u G( c e ]( i q q ( CV = ( T. u u T V

2 Αν, ακριβώς όπως κάναµε στην περίπτωση της ( P( i = q V V, πολλαπλασιάσουµε ( T την (* µε υ και αθροίσουµε από = έως =, παίρνουµε ( T ( T ( d ( w υ ( AS = [ G( c e ] υ υ q υ q ( = = = επιτρέπει τον υπολογισµό της ( AS CV (**. Η σχέση (** χωρίς την αναδροµική διαδικασία που απαιτεί ο υπολογισµός µέσω της (* και αποτελεί φυσικά γενίκευση της σχέσης P α& A = E V. Αν στην (** το είναι η συνολική διάρκεια της ασφάλισης (και όχι οποιοδήποτε ενδιάµεσο σηµείο, η (** ανάγεται σε µια "σχέση ισοδυναµίας" µεταξύ εµπορικών ασφαλίστρων αφενός και παροχών και εξόδων αφετέρου : G α& λεκτική ερµηνεία της σχέσης αυτής είναι προφανής. x : x : ( T ( d ( T = A υ q ( CV ( Gc e υ Μπορούµε να εκµεταλλευθούµε τη σχέση (** για να υπολογίσουµε τιµή του G "ικανή να αποδώσει" επιθυµητή τιµή του µεριδίου ( AS (άρα και του πλεονάσµατος u! ( d σε κάποιο (π.χ., = 2. Εφόσον γνωρίζουµε τα, e, q, q και (CV που = = c ισχύουν για ένα ασφαλιστήριο, η (** αποτελεί σχέση µεταξύ G και (AS. Αρκεί τώρα να υπολογίσουµε το (AS για µια οποιαδήποτε "βοηθητική" τιµή G και ας πούµε ότι η τιµή που προκύπτει είναι = q ( CV T, είναι δηλαδή υ AS G c = ( AS υ. Αν η επιθυµητή τιµή του ( AS (, έχουµε AS υ x x. Η ( ( [ ( ( T ( ] d e υ υ q = = στην οποία αντιστοιχεί άγνωστο G είναι ( T ( = ( ( [ ( T ] d AS G c e υ υ q = = = υ q ( CV. Ο µόνος άγνωστος στις δύο αυτές εξισώσεις είναι το G. Αν τώρα αφαιρέσουµε την προτελευταία εξίσωση από την τελευταία, όλοι οι όροι που σχετίζονται µε τις παροχές και µε τα έξοδα T T e εξαφανίζονται και παίρνουµε ( AS ( AS υ G G = c υ, άρα = ( T [ ( AS ( AS ] υ G = G. εδοµένου ότι u = ( AS V, η διαφορά ( AS ( AS είναι T c υ = ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ίση µε u u και το εµπορικό ασφάλιστρο που µόλις βρήκαµε "εξασφαλίζει" σε χρόνο = ( ( πλεόνασµα u (το u είναι το πλεόνασµα που αντιστοιχεί στη "δοκιµαστική τιµή" ασφαλίστρου. G Γ. ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΚΕΡ Η / ΖΗΜΙΕΣ Τα µερίδια στο ενεργητικό που προκύπτουν από τις (* και (** της Παραγράφου Β βασίζονται στις αναλογιστικές υποθέσεις (το υ, π.χ., βασίζεται στο τεχνικό επιτόκιο, τα c και e είναι τα έξοδα που έχουν ενσωµατωθεί στο εµπορικό ασφάλιστρο, κ.ο.κ.. Εποµένως, τα µερίδια ( AS που προκύπτουν και οι αντίστοιχες τιµές πλεονάσµατος u = ( AS V είναι "προβλεπόµενες" τιµές. Στην πράξη, οι αναµενόµενες τιµές δεν θα επιτευχθούν ακριβώς, η εµπειρία θα αποκλίνει από το αναµενόµενο. Η πραγµατική θνησιµότητα, π.χ., µπορεί να αποδειχθεί µικρότερη από την αναµενόµενη, τα πραγµατικά έξοδα µεγαλύτερα από εκείνα που έχουν προβλεφθεί στο εµπορικό ασφάλιστρο, η διατηρησιµότητα καλύτερη ή χειρότερη από την υποτιθέµενη, κ.ο.κ..

3 Κάθε ευνοϊκή απόκλιση ενός µεγέθους (επιτοκίου, θνησιµότητας, διατηρησιµότητας, εξόδων από την υπόθεση που έχει γίνει για το µέγεθος αυτό γεννά αναλογιστικό κέρδος (acuarial gai, κάθε δυσµενής απόκλιση οδηγεί σε αναλογιστική απώλεια ή ζηµιά (acuarial loss. Προκειµένου να εκφράσουµε το συνολικό αναλογιστικό κέρδος/συνολική αναλογιστική απώλεια ( d κατά πηγή, επανερχόµαστε στη σχέση ( AS = [ ( AS G( c e ]( i q [ ( AS ] q [ ( CV ( AS ] (. Υποθέτουµε τώρα ότι τα εµπειρικά (τα παρατηρηµένα δεδοµένα που ( d ( ( αντιστοιχούν στα i, q, q, c, e και ( AS είναι αντίστοιχα d w i, q, q, c, e και ( AS και αφαιρούµε την εξίσωση ( από την ίδια εξίσωση γραµµένη όµως µε τα σύµβολα (. Έτσι, ( AS ( AS = [ ( AS( i ( AS( i G( i i ] [( G c ( e i ( Gc e ( i ] ( ( { d d ( ( q [ ( AS ] q [ ( AS ]} { w w q [ ( CV ( AS ] q [ ( CV ( AS ]}, όπου ο πρώτος όρος σχετίζεται µε τη διαφορά µεταξύ πραγµατικού επιτοκίου και τεχνικού επιτοκίου, ο δεύτερος µε τη διαφορά µεταξύ πραγµατικών εξόδων και υποθέσεων ως προς τα έξοδα, ο τρίτος µε τη διαφορά µεταξύ πραγµατικής θνησιµότητας και θνησιµότητας στον πίνακα που χρησιµοποιήθηκε και ο τέταρτος µε τη διαφορά µεταξύ της παρατηρούµενης διατηρησιµότητας και αυτής που είχε υποτεθεί στο σχεδιασµό του ασφαλιστικού προϊόντος.. ΙΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΟΣ Οι (παραδοσιακές βασικές ασφαλίσεις ζωής διακρίνονται σε συµµετοχικές (ariciaig ή µετά κερδών (wih rofis ή µε µερίσµατα (wih divideds ή σε µη συµµετοχικές (oariciaig ή άνευ κερδών (wihou rofis. Οι πρόσκαιρες ασφαλίσεις θανάτου είναι πάντοτε µη συµµετοχικές, οι "µόνιµες" ασφαλίσεις (ισόβιες, µικτές, επιβίωσης µπορεί να είναι ή το ένα ή το άλλο. Όταν µια µόνιµη ασφάλιση είναι µη συµµετοχική, το ενιαίο καθαρό ασφάλιστρο είναι πολύ κοντά στη µαθηµατική ελπίδα της αποζηµίωσης και ο ασφαλιστής φέρει τον κίνδυνο αποκλίσεων από το αναµενόµενο αποτέλεσµα. Όταν όµως η ασφάλιση είναι συµµετοχική, το ασφάλιστρο είναι σκόπιµα υψηλό σε βαθµό που, όχι µόνον ουσιαστικά εκµηδενίζει το ενδεχόµενο να µην επαρκέσουν τα ασφάλιστρα για την κάλυψη παροχών και εξόδων, αλλά αφήνει και σηµαντικά περιθώρια για την επιστροφή τµήµατος του ασφαλίστρου ("για την καταβολή µερίσµατος" στο τέλος κάθε οικονοµικής χρήσης. Το εµπορικό ασφάλιστρο µιας συµµετοχικής ασφάλισης ουσιαστικά υπολογίζεται έτσι ώστε να καλύπτει, εκτός από τα έξοδα, τα κεφάλαια θανάτου και τις εξαγορές (το µοντέλο που είδαµε παραπάνω, και µια τρίτη παροχή, τα µερίσµατα. Η ανάλυση του προβλήµατος είναι πανοµοιότυπη µε την ανάλυση του προβλήµατος των µεριδίων στο ενεργητικό : τα αίτια εξόδου παραµένουν δύο (θάνατος και αποχώρηση και τα µερίσµατα D καταβάλλονται σε ποσοστό ( T των ασφαλισµένων. Η έννοια των µεριδίων αντικαθίσταται µε την έννοια ενός κεφαλαίου ( d ( T ( T F που ικανοποιεί τη σχέση [ F G( c e ]( i = q q ( CV D F. (Να συγκριθεί η σχέση αυτή µε την (*. Σε περίπτωση που τα µερίσµατα υπολογίζονται µε βάση το καθαρό ασφάλιστρο Ρ και το απόθεµα V (αντί του µεριδίου ( AS, το πρόβληµα απλοποιείται κατά πολύ και έχουµε το λεγόµενο µέρισµα τριών παραγόντων (hree facor divided D ( ( [ E ( ( ] ( = V P i i i E i q q ( V. (Οι τρεις παράγοντες είναι φυσικά επιτόκιο (επενδυτικό αποτέλεσµα, έξοδα και θνησιµότητα. Για να υπάρχει µέρισµα, πρέπει το άθροισµα των τριών να αποτελεί "αναλογιστικό κέρδος".

4 Ε. ΕΛΕΓΧΟΙ ΚΕΡ ΟΦΟΡΙΑΣ Από τις προηγούµενες Παραγράφους είναι σαφές ότι η αρχή της ισοδυναµίας είναι αρχή πολύ ευρύτερη από την αρχή της ισοδυναµίας που διατυπώσαµε αρχικά (και που αφορά στην ισότητα P υ = υ q, όπου τα και q προέρχονται από πίνακα θνησιµότητας και το υ αντιστοιχεί στο τεχνικό επιτόκιο. Από επισκόπηση των σχέσεων για τα (AS (µερίδιο στο ενεργητικό και F (διανοµή του πλεονάσµατος προκύπτει η εξής γενικότερη διατύπωση : η αναλογιστική παρούσα αξία όλων των εισροών από ένα χαρτοφυλάκιο (ασφαλίστρων, απόδοσης κεφαλαίων και γενικά κάθε δυνατής είσπραξης πρέπει να είναι ίση µε την αναλογιστική παρούσα αξία όλων των εκροών (αποζηµιώσεων, αξιών εξαγοράς, εξόδων, µερισµάτων και γενικά κάθε δυνατής καταβολής. Η αρχή ισοδυναµίας που είχαµε αρχικά διατυπώσει περιορίζεται στο καθαρό ασφάλιστρο Ρ (στις εκροές για αποζηµιώσεις και απαιτεί ένα δεύτερο στάδιο διαδικασιών για τον υπολογισµό εµπορικού ασφαλίστρου G ("για την ενσωµάτωση των επιβαρύνσεων". Η γενικευµένη αρχή ισοδυναµίας που µόλις διατυπώσαµε επιτρέπει τον απευθείας υπολογισµό εµπορικού ασφαλίστρου G ικανού να αντιµετωπίσει όλες τις δυνατές εκροές (εκταµιεύσεις εξαιτίας του χαρτοφυλακίου. Στη σύγχρονη αναλογιστική πρακτική προτιµάται αυτή η τελευταία µεθοδολογία (που βασίζεται σε ανάλυση όλων των δυνατών εισροών/εκροών (cash flows και σε υπολογισµό των αναλογιστικών παρουσών αξιών τους. Υπάρχει επιπλέον η δυνατότητα τροποποίησης της αρχής έτσι ώστε να συµπεριλάβει και την έννοια του κέρδους από το χαρτοφυλάκιο. (Είναι θέµα υποκειµενικής εκτίµησης αν έτσι παραβιάζεται η "ισοδυναµία" : απλά δηµιουργείται µια νέα ισοδυναµία µε ένα ακόµα στοιχείο (το κέρδος στην πλευρά των εισροών! Και αν ακόµα µια τέτοια µεθοδολογία δεν χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό του εµπορικού ασφαλίστρου που θα ισχύσει για µια κατηγορία ασφαλίσεων, χρησιµοποιείται οπωσδήποτε για να ελεγχθούν οι δυνατότητες κερδοφορίας αυτών των ασφαλίσεων. Οι υποθέσεις που γίνονται όταν υπολογίζεται ένα ασφάλιστρο είναι πολλές φορές (αλλά όχι πάντοτε "συντηρητικές" (π.χ., χαµηλό τεχνικό επιτόκιο. Στους ελέγχους κερδοφορίας (rofi esig, οι υποθέσεις πρέπει να είναι "ρεαλιστικές", δηλαδή οι πλέον πιθανές, οι "καλύτερες δυνατές" που υποδεικνύει η αναλογιστική κρίση εκείνου που διεξάγει τον έλεγχο. Ο έλεγχος κερδοφορίας ενός προϊόντος δεν πρέπει να περιορίζεται σε ένα µοναδικό σύνολο υποθέσεων (επιτοκίου, θνησιµότητας, εξόδων, κ.λ.π.. Είναι βασικό να ελέγχεται η ευαισθησία του αποτελέσµατος (κέρδους σε µεταβολές των τιµών των παραµέτρων. Ένα αποτέλεσµα που επηρεάζεται λίγο από τέτοιες αποκλίσεις (είναι "στιβαρό", robus είναι σαφώς "πιο σίγουρο". Ένα αποτέλεσµα που παρουσιάζει µεγάλες διακυµάνσεις όταν "διαταράσσονται" οι τιµές µιας ή περισσότερων παραµέτρων πρέπει να προβληµατίζει (και ίσως να οδηγεί σε "ανασχεδιασµό" του ασφαλιστικού προϊόντος. Είναι προφανές ότι ένας έλεγχος κερδοφορίας συνεπάγεται τη χρήση πολλών "σεναρίων". Ένα χρήσιµο σχετικό εργαλείο είναι η χρήση δύο ακραίων συνόλων υποθέσεων, ενός ιδιαίτερα ευνοϊκού συνόλου (του "καλύτερου δυνατού" και ενός ιδιαίτερα δυσµενούς συνόλου (του "χειρότερου δυνατού". Μια τέτοια διαδικασία υποδεικνύει το µέγιστο εύρος των πιθανών αποκλίσεων από το "µέσο ρεαλιστικό σενάριο". Η επιλογή "καλών υποθέσεων" (τιµών των παραµέτρων είναι από τα δυσκολότερα αναλογιστικά προβλήµατα. Απαιτεί, όχι µόνο γνώση και µεγάλη πείρα, αλλά και "αισθητήριο". Το πιο σηµαντικό προσόν ενός συνόλου υποθέσεων είναι η ισορροπία τους : δεν παίζει τόσο µεγάλο ρόλο η τιµή κάθε παραµέτρου χωριστά όσο το πόσο εξισορροπηµένες είναι όλες οι τιµές ως σύνολο. Όσο πιο "αντίρροπες" είναι οι επιδράσεις που έχουν στο αποτέλεσµα οι µεταβολές στις τιµές των παραµέτρων, τόσο πιο "ανθεκτικό" (resilie θα είναι στις διακυµάνσεις το αποτέλεσµα.

5 ΣΤ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε µια πρόσκαιρη ασφάλιση, G( c e P και ( CV = ακυρώσεις, να δειχθεί ότι το πλεόνασµα ικανοποιεί τη σχέση ακυρώσεις ( ( q w > αλλά για το =. (i Αν δεν υπάρχουν u i = u. (ii Αν υπάρχουν ( d q χρησιµοποιηθεί προσεγγιστικά το του πίνακα ( i q u V θνησιµότητας, να δειχθεί ότι u = (όπου = q. (iii Ποιο το q ( d ( d αποτέλεσµα στο (ii αν q = q και το q ληφθεί προσεγγιστικά ως ; (Απάντηση : u ( i q q V 2. Σε µια ασφάλιση, G( c e P και ( CV V ως = ( q V u ( i = q =. Αν το q q ( d q ληφθεί προσεγγιστικά q, να δειχθεί ότι ( AS. Ποια η αντίστοιχη τιµή του u ; (Απάντηση : i u q 3. Σε µια ασφάλιση µε διάρκεια, G( c e = P είναι ( CV = α(, =,,..., ( T ( d ( Pα&& όλα τα έτη και η αξία εξαγοράς. Να δειχθεί ότι το µερίδιο (AS είναι ίσο µε A υ ( T α IA, όπου ( ( ( d A ενιαίο ασφάλιστρο θανάτου (υπολογισµένο µε τα ( d q για κεφάλαιο µία µονάδα και IA w ενιαίο ασφάλιστρο (υπολογισµένο µε τα q για αυξανόµενο κεφάλαιο, 2,...,. ( d ( T A A CV α&& E 4. Για µια ασφάλιση µε διάρκεια, να δειχθεί ότι G = ( T, όπου όλα τα α&& ( d σύµβολα αναφέρονται σε διάρκεια, A ενιαίο ασφάλιστρο θανάτου για κεφάλαιο µία µονάδα, A CV ενιαίο ασφάλιστρο θανάτου (υπολογισµένο µε τα q για µεταβλητό κεφάλαιο ίσο µε ( T ( CV το έτος ( =,,...,, α& & ( T E το ενιαίο ασφάλιστρο ράντας (υπολογισµένο µε ( T µε µεταβλητή δόση ίση µε G( c e το έτος και α& & το ενιαίο ασφάλιστρο παρόµοιας ράντας αλλά µε σταθερή δόση. ( T ( d ( T ( υ AS A A CV α&& E 5. (Συνέχεια της Άσκησης 4 Στην παράσταση ( T, τα σύµβολα α&& E ( d ( T ( T A, A CV, α&& E και α& ( T E έχουν όλα διάρκεια < ( η διάρκεια της ασφάλισης. Το α & E ( T αφορά σε καταβολές ύψους e και το α & E σε καταβολές ύψους c. Να δειχθεί ότι η παράσταση είναι ίση µε G για κάθε τιµέ του.

6 6. Σε µια διετή ασφάλιση στον (x µε κεφάλαιο τα ετήσια έξοδα είναι,2g, το πρώτο έτος και,5g το δεύτερο έτος και οι αξίες εξαγοράς (πληρωτέες στο τέλος του έτους είναι ( CV =, 4 και 2 ( CV =, 85. Η πιθανότητα θανάτου είναι, και το πρώτο και το δεύτερο έτος και qx =,, qx =,5. (i Με επιτόκιο µηδέν, ποια τιµή του G απαιτείται ώστε ( AS =, 5 ; (Απάντηση :,6325 (ii Με αυτή την τιµή του G, ποια η τιµή του u 2 ; (Απάντηση :,43 7. Σε ένα χαρτοφυλάκιο, η απόδοση των κεφαλαίων είναι i,2, όπου i το τεχνικό επιτόκιο, και η θνησιµότητα είναι q =,7q, όπου q η θνησιµότητα του πίνακα που χρησιµοποιήθηκε για τον υπολογισµό των ασφαλίστρων. Η αξία εξαγοράς ( CV είναι ιδιαίτερα "γενναιόδωρη" και ίση µε το µερίδιο (AS. Για τα έξοδα διαπιστώνεται ότι c c =, 2 και e = e. Να γραφεί το αναλογιστικό κέρδος έτους από ένα ασφαλιστήριο του χαρτοφυλακίου. (Απάντηση :,2 AS G c i,2 e,3q AS [ ( ( ] [ ( ] 8. Εξαιτίας πληθωρισµού, όλα τα πραγµατικά έξοδα ενός ασφαλιστηρίου είναι 5% µεγαλύτερα από τα αντίστοιχα "θεωρητικά". Για το επιτόκιο και τη θνησιµότητα ισχύουν τα δεδοµένα της Άσκησης 7. Ποιο το µέρισµα τριών παραγόντων; (Απάντηση :,32,3 i V P,3 V,7,5 i E ( ( ( ( 9. Αν γράψουµε P = G c e και Ρ για το σταθερό καθαρό ετήσιο ασφάλιστρο, ποια η αναδροµική σχέση για το πλεόνασµα ενός ασφαλιστηρίου για το οποίο ισχύει ( CV = V ; [( u P P]( i (Απάντηση : u =. Να υπολογισθεί το µέρισµα τριών παραγόντων αν i i =,2, q =,98q και E = E. (Απάντηση :,2 ( V P( 2 i ( V E [ ]