Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización τ de la función hipergeométrica de Gauss

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1 Ingeniería y Ciencia, ISSN Volumen 3, número 5, páginas 67-85, junio de 27 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss Some improper integrals with integration infinity limit involving generalizad hypergeometric function 2 R a,b;c;;z Jaime Castillo Pérez Recepción: 9 feb 27/Modificación: 23 abr 27/Aceptación: 23 abr 27 Se aceptan comentarios y/o discusiones al artículo Resumen En 99 M. Dotsenko presentó una generalización de la función hipergeométrica de Gauss denotada por 2R z, estableciendo además tanto su representación en serie como también su representación integral. Es importante notar que en 999 Nina Virchenko y luego, en el 23, Leda Galué consideraron esta función, introduciendo un conjunto de fórmulas de recurrencia y de diferenciación las cuales permiten simplificar algunos cálculos complicados. Kalla y colaboradores estudiaron esta función y presentaron una nueva forma unificada de la función Gamma, luego en el 26, Castillo y colaboradores presentaron algunas representaciones simples para ésta función. En este trabajo se establecen algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss 2R a, b; c; ;z. Palabras claves: función hipergeométrica generalizada, integrales impropias. MSc en Matemática Aplicada, profesor titular, Universidad de la Guajira, Riohacha Colombia. Universidad EAFIT 67

2 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss Abstract In 99 M. Dotsenko presented a generalization of Gauss hypergeometric function refered as 2R z, and established its representation in series and integral. It is important to remark that in 999 Nina Virchenko and, later in 23, Leda Galué considered this function by introducing a set of recurrence and differentiation formulas; they permit simplify some complicated calculus. Kalla et al estudied this function and they presented a new unified form of the gamma function. Later in 26, Castillo et al present some simple representation for this function. Along this paper work some improper integrals with integration infinity limit involving generalized hypergeometric function 2R a, b; c; ;z are displayed. Key words: generalized hypergeometric function, improper integrals. Introducción El estudio de las funciones especiales ha apoyado en gran manera el desarrollo de las matemáticas aplicadas, entre ellas se tienen, 2: la función hipergeométrica de Gauss, la función hipergeométrica generalizada, la función hipergeométrica de Wright, las funciones de Appell, la función G, la función H, las funciones de Humbert, etcétera. Las funciones hipergeométricas aparecen en una diversidad de aplicaciones tales como, 3: estadísticas, investigación de operaciones, teoría cuántica, ecuaciones funcionales, vibración de placas, conducción de calor, elasticidad, radiación, etcétera. En 99 M. Dotsenko consideró una generalización de la función hipergeométrica de Gauss denotada por 2 R z, estableciendo además su representación en serie e integral. En 999 Nina Virchenko 4 estableció algunas fórmulas de diferenciación y relaciones de recurrencia para la función 2 R z, luego en el 26 Jaime Castillo y colaboradores 5 obtuvieron 7 representaciones simples para dicha función. En este trabajo se pretende obtener algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss 2 R a,b;c;;z. 68 Ingeniería y Ciencia, ISSN

3 Jaime Castillo. La función hipergeométrica En esta sección se presenta la ecuación diferencial hipergeométrica con la solución en serie denominada serie hipergeométrica de Gauss, la cual se nota por 2 F α,β;γ;z llamada comunmente como la función hipergeométrica de Gauss. También se presenta la representación integral para dicha función, posteriormente se define la función hipergeométrica generalizada 2R a,b;c;;z con su representación en serie e integral y algunas relaciones de recurrencia. Finalmente, se muestran algunas integrales que contienen a Ax 2 F a,b;c;ϕx las cuales son útiles dado que expresan formas computables para la función beta generalizada usada por diversos investigadores en el estudio de las funciones de densidad de probabilidad y sus propiedades estadísticas para resolver diversos problemas asociadas a las mismas... La ecuación hipergeométrica La ecuación diferencial lineal, dada por 3, pág. 62, z zu + γ α + β + zu αβu =, donde z es una variable compleja y α, β, γ son parámetros reales o complejos. La ecuación se conoce como la ecuación hipergeométrica y contiene como casos especiales muchas ecuaciones diferenciales encontradas en las aplicaciones. En la región z <, una solución particular de es u z = 2 F α,β;γ;z, donde 2 F α,β;γ;z es la función hipergeométrica de Gauss definida de la forma α 2F α,β;γ;z = k β k z k γ k, donde γ,, 2,... La representación integral de la función 2 F α,β;γ;z está dada por 8, pág. 24 2F α,β;γ;z = k= Γ γ t β t γ β tz α dt, Γ β Γ γ β Volumen 3, número 5 69

4 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss Reγ > Reβ > ; arg z < π. De acuerdo con el teorema 8 6, pág. 49 se tiene..2 La función 2 R z 2F a,b;c; = Γ c Γ c a b Γ c a Γ c b, 2 Re c a b >, c,, 2,... En 999 N. Virchenco 4 consideró una generalización de la serie hipergeométrica de Gauss de la forma 2R z = 2 R a,b;c;;z = Γc Γ a Γb k= Γa + kγb + k z k Γc + k, donde a,b,c son números complejos, R, >, c,, 2,..., z <. Fácilmente se verifica que 2R a,b;c;;z = 2 F a,b;c;z c,, 2,..., z <. Esta función tiene la representación integral 2R a,b;c;;z = Γc t b t c b zt a dt ΓbΓc b >,Rec > Reb >. Una nueva representación para la función 2 R a,b;c;;z la obtuvieron Castillo y colaboradores 5 Γc c + b 2R a,b;c;;x = k Γ ΓbΓc b Γ + k= 2F a, k + b ; k + b + ;x. 3 >,Re c > Reb >. 7 Ingeniería y Ciencia, ISSN

5 Jaime Castillo..3 Algunas integrales que contienen a Ax 2 F a,b;c;ϕx A continuación se presentan algunas integrales impropias que contienen a Ax 2 F a,b;c;ϕx para algunas funciones Ax,ϕx 7, págs , números,2,4,5,,,3 22,29 las cuales han sido desarrolladas por diversos investigadores y servirán de base para verificar los nuevos resultados que se presentan en este trabajo. x α 2F a, b; c; wxdx = w α Γ c, α, a α, b α a, b, c α < Re α < Re a,re b; arg w < π. 2 x α 2F a, b; c; wx dx = w α Γ c, α, a α, b α, c a b + α a, b, c a, c b, Rea + b c < Reα < Re a,re b; argw < π. 3 x α y x β 2F a, b; c; wxdx = B α, β y α+β 3F 2 a, b, α; c, α + β; wy y, Reα,Re β > ; arg + wy < π. 4 x α y x β 2F a, b; c; x y dx = B α, β y α+β 3F 2 a, b, α; c, α + β; 5 y, Reα, Re β,re c a b + β >. x α y x β c, c a b, α, β 2F a, b; c; wx dx = y α+β Γ c a, c b, α + β c, a + b c, β, c 3F 2 a, b, α; a + b c +, α + β; wy + w c a b y c a b+α+β Γ a, b, c a b+ a b + α α + β 3 F 2 c a, c b, c a b + α; c a b +, c a b + α + β; wy Volumen 3, número 5 7

6 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss 6 y, Reα, Re β,re c a b + α > ; argw < π. x α y x c 2F a, b; c; x y c, α, c a b + α dx = y c+α Γ c a + α, c b + α y, Re α, Rec,Rec a b + α >. 7 y x α x y β 2F a, b; c; wxdx = y α+β B β, α β 3 F 2 a, b, α; c, α + β; wy + w α β Γ c, a α β +, b α β +, α + β a, b, c α β + 3F 2 β, a α β +, b α β + ; 2 α β, c α β + ; wy 8 y y, Reβ > ; Reα + β a,re α + β b < ; argw < π. x α x y β 2F a, b; c; wx dx = w a y α+β a Γ c, b a, β, a α b, c a, a 3 F 2 a, c b, a α β + ; a α +, a b + ; wy + w b y α+β b Γ β + α + c, a b, β, b α β + a, c b, b α + 9 w ρ α Γ 3 F 2 b, c a, b α β + ; b a +, b α + ; wy y, Re β > ; Re α + β a,reα + β b < ; argw < π. x α x+z ρ 2 F a, b; c; wxdx = z α ρ B α, ρ α 3 F 2 a, b, α; c, α ρ + ; wz+ c, a α + ρ, b α + ρ, α ρ a, b, c α + ρ ρ α + ; wz 3F 2 a α + ρ, b α + ρ, ρ; c α + ρ, Re α, Re a α + ρ,re b α + ρ > ; argw, arg z < π. x α c, α, a α, b α, c a b + α x+z ρ 2 F a, b; c; wx dx = w α z ρ Γ a, b, c a, c b 72 Ingeniería y Ciencia, ISSN

7 Jaime Castillo 3F 2 α, ρ, c a b + α, α a +, α b + ; b a, c, α a, wz +w a z α ρ a Γ b, c a, a α + ρ ρ 3 F 2 a, c b, a α + ρ; a α +, a b + ; wz + w b z α ρ b Γ a b, c, α b, b α + ρ a, c b, ρ 3 F 2 b, c a, b α + ρ; b a +, b α + ; wz Re α, Re c a b + α,re a α + ρ, Reb α + ρ > ; argw, arg z < π. x α c, a α +, b α +, α x y 2 F a, b; c; wxdx = w α Γ a, b, c α + 3F 2, a α +, b α + ; 2 α; c α + wy πy α cotαπ 2 F a, b; c; wy 2 y, Reα > ; Reα a,reα b < ; argw < π. x α c, b α x y 2 F a, b; c; wx dx = πw a y α a cotα aπγ b, c a 2F a, c b, α b + ; c, α b wz + πw b z α b cotb α πγ a, c b 2F b, c a; b a + ; wy c, α, a α, b α, c a b + α w α y Γ a, b, c a, c b 3F 2, α, c a b + α; α a + ; α b + ; wy y, Re α, Rec a b + α > ; Reα a,re α b < ; argw < π. 3 x c y x β xz ρ 2 F a, b; c; wxdx = B c, β yc+β yz F yz ρ 3 ρ, a, β, b; c + β; yz, wy y, Re c,re β > ; arg wy, arg z < π. 4 x c y x β xz β+c a 2 F a, b; c; wxdx = B c, β +wya wy c yc+β 2F a, b+β; c+β; wy y, Rec,Re β > ; arg wy < π. Volumen 3, número 5 73

8 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss 5 x c y x β c, β, c a b + β xz ρ 2 F a, b; c; x y dx = Γ c a + β, c b + β 3F 2 ρ, β, c a b + β; c a + β; c b + β; yz yz 6 y, Re c,re β,re c a b + β > ; arg yz < π. x α y x β 2F a, b; c; wxy xdx = y c+β B α, β 3 F 2 a, b, α, β; c, α+β 2, α+β+ 2 ; wy2 4 y, Re α, Reβ >. A menudo se hará uso de la notación Γ a Γa 2...Γa n Γ b Γb 2...Γb n = Γ a, a 2,..., a n. b, b 2,..., b n 2 Resultados En esta sección se presentan algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss. Se establece el desarrollo simbólico para uno de los resultados con el apoyo de diversas herramientas del cálculo avanzado; el método que aquí se usa es similar al que se utilizó para obtener el resto de resultados listados en la subsección Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss A continuación se presentan los resultados obtenidos, junto con sus condiciones de validez, tales condiciones son coherentes con las presentadas en la subsección Ingeniería y Ciencia, ISSN

9 Jaime Castillo Calcular x α 2R a, b; c; ; wxdx. De acuerdo con el resultado 3, I se escribe de la forma Γc ΓbΓc b x α k= c + b k Γ Γ + 2F a, k + b ; k + b + wxdx; Aprovechando la convergencia absolúta de la serie, se intercambia la suma con la integral Γc ΓbΓc b k= c + b k Γ Γ + Aprovechando el resultado se obtiene Γc ΓbΓc b k= Reorganizando se tiene c + b k ΓcΓ αγa α ΓbΓc bγa w α Γ Γ + w α Γ k= x α 2F a, k + b c + b k ; k + b + wxdx; +, α, a α, a,, + cc α. α Γ α Γ + α. Teniendo en cuenta la propiedad de la función Gamma que expresa Γ a + = aγ a y después de simplicar se tiene ΓcΓ αγa α ΓbΓc bγa w α k= Se vuelve a aplicar la propiedad anterior ΓcΓ α Γ a α ΓbΓc bγa w α k= c + b k c + b k y haciendo uso del símbolo de Pocchhammer ΓcΓ αγa α ΓbΓc bγa w α k= c + b k k + b α. Γ b α + k Γ b α + + k, Γ b α b α k Γ b α + b α + k, Volumen 3, número 5 75

10 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss luego ΓcΓ α Γ a α Γ b α ΓbΓc bγaγ b α + w α k= c + b k Observe que la serie es de tipo hipergeométrico y de aquí b α k b α + k. ΓcΓ αγa αγb α ΓbΓc bγaγ b α + w α 2F c + b, b α; b α + ;. Ahora se hace uso de 2 y se obtiene ΓcΓ α Γ a α Γ b α Γ b α + Γc b w α. ΓbΓc bγaγ b α + Γ c α Después de simplificar se obtiene c, α, a α, b α w α Γ. a, b, c α >, < Re α < Re b, < Re α < Re a; arg w < π. Observe que este resultado generaliza a cuando =. Utilizando argumentos similares se obtienen los siguientes resultados: 2 w α Γ x α 2R a, b; c; ; wx dx = c, α, a α, b α a, b, c α 2 R a α, b α; c α; ; 3 >,, Rea + b c < Re α < Re b;, Rea + b c < Re α < Re a; arg w < π. x α y x β 2R a, b; c; ; wxdx = Γc B α, β yα+β Γb n= a n α n Γ b + n wy n α + β n Γ c + n, y, Reα, Re β > ; arg + wy < π. 76 Ingeniería y Ciencia, ISSN

11 Jaime Castillo 4 x α y x β 2R a, b; c; ; x dx = y B α, β y α+β Γc Γb n= a n α n Γ b + n α + β n Γ c + n 5, y Re αre β, Rec a b + β >. x α y x β 2R a, b; c; ; wx dx = Γc c + b k Γ ΓbΓc b k= Γ + y α+β Γ +, α, a, α, β + α,, α + β Γ +, a, a + α, β a,, a + α + β 6 3F 2 a,, α; a, α + β; wy + w a y α+β a 3F 2 + a,, a + α; 2 a, a + α + β; wy, y, Reα,Re β, Re c a b + α > ; argw < π. x α y x c 2R a, b; c; ; x dx = y yα+c Γc Γ α R a, b; α + c; ; Γ α + c 2 7 y y, Reα,Re c,rec a b + α >. x α y x β 2R a, b; c; ; wxdx = Γc c + b k Γ ΓbΓc b k= Γ + y α+β B β, α β 3 F 2 a, b, α; +, α + β; wy + w a β Volumen 3, número 5 77

12 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss Γ 3F 2 β, a α β +, 8 y +, a α β +, α β +, α + β a,, + 2 α β α β + ; 2 α β, c α β + ; wy, y, Re β > ; Re α + β a,re α + β k + b < ; argw < π. x α y x β 2R a, b; c; ; wx dx = Γc ΓbΓc b k= w α y α+β a Γ c + b k Γ Γ + +, a, β, a α β +, + a, a α + 3F 2 a,, a α β + ; a α +, a + ; w y α+β Γ wy + +, a, β, α β +, a,, α + 3F 2, + a, α β + ; a +, α + ; 9 wy, y, Re β > ; Re α + β a,re α + β k + b < ; argw < π. x α x + z ρ 2 R a, b; c; ; wx dx = z α ρ B α, ρ α Γc Γb n= ρ α Γc w Γb B a + ρ α, α ρ n= a n α n Γ b + n α ρ + n Γ c + n wz n + n! a + ρ α n ρ n Γ b + ρ α + n wz n ρ α + n Γ c + ρ α + n n!, Re α > ; Reα + ρ a,re b ρ α > ; argw, arg z < π. 78 Ingeniería y Ciencia, ISSN

13 Jaime Castillo x α x + z ρ 2 R a, b; c; ; wx dx = ΓcΓ α Γ a α Γ b α w α z ρ Γ aγbγc α 2R a α, b α; c α; ; 3 F 2 a, ρ, a + α; a + α, b + α; + wz ΓcΓ α aγa α + ρ w a z α ρ a a n a α + ρ n Γ b a n ΓbΓρ n= Γ c a n n 2R n, b a n; c a n; ; w α ρ z a Γ,, α a, ρ wz n!, + α + ρ 3F 2, a, α + ρ; a +, α + ; wz n= 2 k + b, Reα, Re a + α, Rea α + ρ,re α + ρ > ; arg w, arg z < π, c α,, 2,...; c a n,, 2,... x α x y 2 R a, b; c; ; wx dx = n a α + n Γ b α + n + 2 α n Γ c α + n ΓcΓ α Γ a α + Γc b w α ΓaΓbΓc bγ wy n πy α cotαπ 2 R a, b; c; ; wy n!, y, Reα > ; Reα a,re α b < ; argw < π. x α x y 2 R a, b; c; ; wx dx = Γc ΓbΓc b k= c + b k 2F a, ; a ; wy + πw b y πw a y α a cota α π Γ α cot a α + α πγ, a a Volumen 3, número 5 79

14 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss w α α, a α, wy y Γ α, a + α a, α + 3 Γc 2F, α; α + ; wy, y, Reα, Re a + α > ; Reα a,re α k + b < ; argw < π. x c y x β x z ρ 2 R a, b; c; ; wx dx = Γb yc+β k= 4 x c y x β a k Γ b + k Γ c + k wy k B k + c, β 2 R ρ, c + k; β + c + k; ; y z, y, Rec, Reβ > ; arg wy, arg z < π. wx β+c a 2 R a, b; c; ; wx dx = ΓcΓ β y c+β a k Γ b + k wy k 2 R β + c a, c + k; β + c + k; ; wy Γb k= Γ c + β + k 5 x c y x β zx ρ 2 R a, b; c; ;, y, Rec, Reβ > ; arg wy < π. x y dx = ΓcΓ β y c+β a k Γ b + k Γb k= Γ c + β + k 2R ρ, c + k; β + c + k; ; zy, y, Rec, Reβ, Re c a b + β > ; arg zy < π. 6 x α y x β 2R a, b; c; ; wxy xdx = wy 2 k B α, β Γc Γb yα+β k= a k α k β k Γ b + k Γ c + k a+β 2 k a+β+ 2, y, Reα, Reβ >. k 4 8 Ingeniería y Ciencia, ISSN

15 Jaime Castillo 2.2 Aplicación A continuación se presenta una aplicación de las integrales impropias a la teoría estadística; inicialmente se muestran algunos conceptos, éstos permiten entender mejor el problema. Muchas funciones especiales de matemáticas aplicadas, pueden ser expresadas en términos de las funciones hipergeométricas, las cuales son una clase importante de funciones especiales 3, 8. Las funciones hipergeométricas y sus generalizaciones han sido usadas en varios problemas de estadística 9,, particularmente en el estudio de más funciones de densidad de probabilidad generalizadas y sus propiedades estadísticas las cuales tienen varias aplicaciones, no sólo en la teoría de confiabilidad, sino también en algunos problemas importantes tales como la teoría de tasa demográfica, biomedicina, datos de trafico y fallas de equipos eléctricos. A continuación se muestran algunas funciones de densidad que contienen a la función hipergeométrica de Gauss y algunos casos particulares Función de densidad de probabilidad La función fx es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria x, definida en el conjunto de los números reales de la forma a fx, para x R b fxdx = c pa < x < b = Función característica b a fxdx. Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad fx,entonces la función característica, Φt de la variable aleatoria X o de la función de distribución Fx está definida por Φx = EexpitX = fxexpitxdx, Volumen 3, número 5 8

16 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss donde E gx es llamado el valor esperado de la variable aleatoria gx Valor esperado Sea X una variable aleatoria, la media de X, notada como Ex, se define por µ = Ex = xfx si x es v.a. discreta. x µ = Ex = fxdx si x es v.a. continua El k-ésimo momento El k-ésimo momento alrededor del origen de la variable aleatoria x está dado por: µ k = Exk = x k fx si x es v.a. discreta, x µ k = Exk = x k fx si x es v.a continua, donde fx es la función de densidad de probabilidad Funcion beta generalizada Sean los parámetros siguientes a,b,c,,u y v. Entonces para Rea + µ y Reb + µ >, se define la forma generalizada de la función beta como sigue, según 9, B a,b;c;v u,µ = v a t u + t µ u 2R a,b;c;; t dt, 4 v donde 2 R a,b;c;;x es la función hipergeométrica generalizada. Para = en 4 se tendrá B a,b;c;v u,µ = v a t u + t µ u 2F a,b;c; t v dt, 82 Ingeniería y Ciencia, ISSN

17 Jaime Castillo y para b = c, se tiene 9 a,b;c;v B u,µ = t u + t µ u dt = v a Bu,µ + a 2 F u,a;u + a + µ; v. Por otro lado, si se hace a =, entonces 4 se reduce a la conocida fórmula integral de la función beta definida por Bu,µ = t u + t µ u dt, Reu;Reµ >. La función beta generalizada definida en 4 también se puede escribir como 9 B a,b;c;v u,µ = v u a t u + t µ u 2R a,b;c;; tdt Función de densidad de probabilidad definida por Y.B. Nakhin y S. L. Kalla La función de densidad de probabilidad con variable aleatoria x se define según 9 fx = v n x u + x µ u 2R a,b;c;; x v dt, x >. 5 a,b;c;v B u,µ Algunos casos especiales de la función de densidad definida por Y.B. Nakhin y S. L. Kalla Al sustituir = en 5, se tiene fx = v n x u + x µ u 2F a,b;c; x v. 6 a,b;c;v B u,µ Volumen 3, número 5 83

18 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss Si se hace b = c en 6, y teniendo en cuenta que 2 F a,b;b;x = x a 8, entonces fx = v n x u + x µ u + x v a Bv,µ + a 2 F u,a,u + a + µ; v. La función de densidad beta de segunda clase dada en 5, cuando a =, se transforma en fx = xu + x µ u, x >. Bv, µ 3 Conclusiones De acuerdo con el desarrollo de este trabajo se nota: Cada uno de los resultados de la subsección..3, son formas computables para cada integral propuesta, además, éstas facilitan los cálculos numéricos de las mismas dado que muchos de estos resultados aparecen tabulados en el libro de prudnikov. Cada integral es un caso especial de la función beta generalizada a,b;c;v B u,µ = v a t u + t µ u 2F a,b;c; t v dt, lo que indica que se tienen diversas formas computables para la misma. Una aplicación interesante de estas integrales es que permiten obtener nuevas funciones de densidad de probabilidad. En los últimos años el doctor Kalla y su grupo de colaboradores han trabajado en ese campo. Cada resultado de éste trabajo es un caso especial de la función beta generalizada B a,b;c;v u,µ = v a t u + t µ u 2R a,b;c;; t v dt. 84 Ingeniería y Ciencia, ISSN

19 Jaime Castillo Referencias James B. Seaborn. Hypergeometric functions and their applications, ISBN New york: Springer-Verlag, 99. Referenciado en 68 2 A. M. Mathai and R. K. Saxena. Generalized Hypergeometric Functions with Applications in Statistics and Physical Sciences, ISBN New york: Springer-Verlag, 97. Referenciado en 68 3 N. N. Levedev. Special functions and their applications, ISBN New York: Prentice-Hall, 965. Referenciado en 68, 69, 8 4 N. Virchenko. On some generalizations of the functions of hypergeometric type. Fractional Calculus and Applied Analysis, ISSN 3 454, 23, Referenciado en 68, 7 5 J. Castillo y C. Jiménez. Algunas representaciones simples de la función hipergeométrica generalizada. Ingeniería y Ciencia, ISSN , 24, Referenciado en 68, 7 6 Earl David Rainville. Special Functions, ISBN New York: Chelsea Publishing Company, 96. Referenciado en 7 7 A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov and O. I. Marichev. Integrals and Series: More Special Functions, ISBN New York: Gordon and Breach Science Publishers, 3, 992. Referenciado en 7 8 George E. Andrews, Richard Askey and Ranjan Roy. Special Functions, ISBN New York: Cambridge University Press 999. Referenciado en 69, 8, 84 9 Ben Nakhi and S. L. Kalla. A generalized beta functions and associated probability density. International Journal of Mathematics and Mathematics Sciences, ISSN 6 72, 3, Referenciado en 8, 82, 83 A. M. Mathai and R. K. Saxena. Generalized Hypergeometric Functions with Applications in Statistics and Physical Sciences. New York: Springer Verlag, ISBN , 973. Referenciado en 8 Volumen 3, número 5 85

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