Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización τ de la función hipergeométrica de Gauss

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización τ de la función hipergeométrica de Gauss"

Transcript

1 Ingeniería y Ciencia, ISSN Volumen 3, número 5, páginas 67-85, junio de 27 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss Some improper integrals with integration infinity limit involving generalizad hypergeometric function 2 R a,b;c;;z Jaime Castillo Pérez Recepción: 9 feb 27/Modificación: 23 abr 27/Aceptación: 23 abr 27 Se aceptan comentarios y/o discusiones al artículo Resumen En 99 M. Dotsenko presentó una generalización de la función hipergeométrica de Gauss denotada por 2R z, estableciendo además tanto su representación en serie como también su representación integral. Es importante notar que en 999 Nina Virchenko y luego, en el 23, Leda Galué consideraron esta función, introduciendo un conjunto de fórmulas de recurrencia y de diferenciación las cuales permiten simplificar algunos cálculos complicados. Kalla y colaboradores estudiaron esta función y presentaron una nueva forma unificada de la función Gamma, luego en el 26, Castillo y colaboradores presentaron algunas representaciones simples para ésta función. En este trabajo se establecen algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss 2R a, b; c; ;z. Palabras claves: función hipergeométrica generalizada, integrales impropias. MSc en Matemática Aplicada, profesor titular, Universidad de la Guajira, Riohacha Colombia. Universidad EAFIT 67

2 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss Abstract In 99 M. Dotsenko presented a generalization of Gauss hypergeometric function refered as 2R z, and established its representation in series and integral. It is important to remark that in 999 Nina Virchenko and, later in 23, Leda Galué considered this function by introducing a set of recurrence and differentiation formulas; they permit simplify some complicated calculus. Kalla et al estudied this function and they presented a new unified form of the gamma function. Later in 26, Castillo et al present some simple representation for this function. Along this paper work some improper integrals with integration infinity limit involving generalized hypergeometric function 2R a, b; c; ;z are displayed. Key words: generalized hypergeometric function, improper integrals. Introducción El estudio de las funciones especiales ha apoyado en gran manera el desarrollo de las matemáticas aplicadas, entre ellas se tienen, 2: la función hipergeométrica de Gauss, la función hipergeométrica generalizada, la función hipergeométrica de Wright, las funciones de Appell, la función G, la función H, las funciones de Humbert, etcétera. Las funciones hipergeométricas aparecen en una diversidad de aplicaciones tales como, 3: estadísticas, investigación de operaciones, teoría cuántica, ecuaciones funcionales, vibración de placas, conducción de calor, elasticidad, radiación, etcétera. En 99 M. Dotsenko consideró una generalización de la función hipergeométrica de Gauss denotada por 2 R z, estableciendo además su representación en serie e integral. En 999 Nina Virchenko 4 estableció algunas fórmulas de diferenciación y relaciones de recurrencia para la función 2 R z, luego en el 26 Jaime Castillo y colaboradores 5 obtuvieron 7 representaciones simples para dicha función. En este trabajo se pretende obtener algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss 2 R a,b;c;;z. 68 Ingeniería y Ciencia, ISSN

3 Jaime Castillo. La función hipergeométrica En esta sección se presenta la ecuación diferencial hipergeométrica con la solución en serie denominada serie hipergeométrica de Gauss, la cual se nota por 2 F α,β;γ;z llamada comunmente como la función hipergeométrica de Gauss. También se presenta la representación integral para dicha función, posteriormente se define la función hipergeométrica generalizada 2R a,b;c;;z con su representación en serie e integral y algunas relaciones de recurrencia. Finalmente, se muestran algunas integrales que contienen a Ax 2 F a,b;c;ϕx las cuales son útiles dado que expresan formas computables para la función beta generalizada usada por diversos investigadores en el estudio de las funciones de densidad de probabilidad y sus propiedades estadísticas para resolver diversos problemas asociadas a las mismas... La ecuación hipergeométrica La ecuación diferencial lineal, dada por 3, pág. 62, z zu + γ α + β + zu αβu =, donde z es una variable compleja y α, β, γ son parámetros reales o complejos. La ecuación se conoce como la ecuación hipergeométrica y contiene como casos especiales muchas ecuaciones diferenciales encontradas en las aplicaciones. En la región z <, una solución particular de es u z = 2 F α,β;γ;z, donde 2 F α,β;γ;z es la función hipergeométrica de Gauss definida de la forma α 2F α,β;γ;z = k β k z k γ k, donde γ,, 2,... La representación integral de la función 2 F α,β;γ;z está dada por 8, pág. 24 2F α,β;γ;z = k= Γ γ t β t γ β tz α dt, Γ β Γ γ β Volumen 3, número 5 69

4 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss Reγ > Reβ > ; arg z < π. De acuerdo con el teorema 8 6, pág. 49 se tiene..2 La función 2 R z 2F a,b;c; = Γ c Γ c a b Γ c a Γ c b, 2 Re c a b >, c,, 2,... En 999 N. Virchenco 4 consideró una generalización de la serie hipergeométrica de Gauss de la forma 2R z = 2 R a,b;c;;z = Γc Γ a Γb k= Γa + kγb + k z k Γc + k, donde a,b,c son números complejos, R, >, c,, 2,..., z <. Fácilmente se verifica que 2R a,b;c;;z = 2 F a,b;c;z c,, 2,..., z <. Esta función tiene la representación integral 2R a,b;c;;z = Γc t b t c b zt a dt ΓbΓc b >,Rec > Reb >. Una nueva representación para la función 2 R a,b;c;;z la obtuvieron Castillo y colaboradores 5 Γc c + b 2R a,b;c;;x = k Γ ΓbΓc b Γ + k= 2F a, k + b ; k + b + ;x. 3 >,Re c > Reb >. 7 Ingeniería y Ciencia, ISSN

5 Jaime Castillo..3 Algunas integrales que contienen a Ax 2 F a,b;c;ϕx A continuación se presentan algunas integrales impropias que contienen a Ax 2 F a,b;c;ϕx para algunas funciones Ax,ϕx 7, págs , números,2,4,5,,,3 22,29 las cuales han sido desarrolladas por diversos investigadores y servirán de base para verificar los nuevos resultados que se presentan en este trabajo. x α 2F a, b; c; wxdx = w α Γ c, α, a α, b α a, b, c α < Re α < Re a,re b; arg w < π. 2 x α 2F a, b; c; wx dx = w α Γ c, α, a α, b α, c a b + α a, b, c a, c b, Rea + b c < Reα < Re a,re b; argw < π. 3 x α y x β 2F a, b; c; wxdx = B α, β y α+β 3F 2 a, b, α; c, α + β; wy y, Reα,Re β > ; arg + wy < π. 4 x α y x β 2F a, b; c; x y dx = B α, β y α+β 3F 2 a, b, α; c, α + β; 5 y, Reα, Re β,re c a b + β >. x α y x β c, c a b, α, β 2F a, b; c; wx dx = y α+β Γ c a, c b, α + β c, a + b c, β, c 3F 2 a, b, α; a + b c +, α + β; wy + w c a b y c a b+α+β Γ a, b, c a b+ a b + α α + β 3 F 2 c a, c b, c a b + α; c a b +, c a b + α + β; wy Volumen 3, número 5 7

6 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss 6 y, Reα, Re β,re c a b + α > ; argw < π. x α y x c 2F a, b; c; x y c, α, c a b + α dx = y c+α Γ c a + α, c b + α y, Re α, Rec,Rec a b + α >. 7 y x α x y β 2F a, b; c; wxdx = y α+β B β, α β 3 F 2 a, b, α; c, α + β; wy + w α β Γ c, a α β +, b α β +, α + β a, b, c α β + 3F 2 β, a α β +, b α β + ; 2 α β, c α β + ; wy 8 y y, Reβ > ; Reα + β a,re α + β b < ; argw < π. x α x y β 2F a, b; c; wx dx = w a y α+β a Γ c, b a, β, a α b, c a, a 3 F 2 a, c b, a α β + ; a α +, a b + ; wy + w b y α+β b Γ β + α + c, a b, β, b α β + a, c b, b α + 9 w ρ α Γ 3 F 2 b, c a, b α β + ; b a +, b α + ; wy y, Re β > ; Re α + β a,reα + β b < ; argw < π. x α x+z ρ 2 F a, b; c; wxdx = z α ρ B α, ρ α 3 F 2 a, b, α; c, α ρ + ; wz+ c, a α + ρ, b α + ρ, α ρ a, b, c α + ρ ρ α + ; wz 3F 2 a α + ρ, b α + ρ, ρ; c α + ρ, Re α, Re a α + ρ,re b α + ρ > ; argw, arg z < π. x α c, α, a α, b α, c a b + α x+z ρ 2 F a, b; c; wx dx = w α z ρ Γ a, b, c a, c b 72 Ingeniería y Ciencia, ISSN

7 Jaime Castillo 3F 2 α, ρ, c a b + α, α a +, α b + ; b a, c, α a, wz +w a z α ρ a Γ b, c a, a α + ρ ρ 3 F 2 a, c b, a α + ρ; a α +, a b + ; wz + w b z α ρ b Γ a b, c, α b, b α + ρ a, c b, ρ 3 F 2 b, c a, b α + ρ; b a +, b α + ; wz Re α, Re c a b + α,re a α + ρ, Reb α + ρ > ; argw, arg z < π. x α c, a α +, b α +, α x y 2 F a, b; c; wxdx = w α Γ a, b, c α + 3F 2, a α +, b α + ; 2 α; c α + wy πy α cotαπ 2 F a, b; c; wy 2 y, Reα > ; Reα a,reα b < ; argw < π. x α c, b α x y 2 F a, b; c; wx dx = πw a y α a cotα aπγ b, c a 2F a, c b, α b + ; c, α b wz + πw b z α b cotb α πγ a, c b 2F b, c a; b a + ; wy c, α, a α, b α, c a b + α w α y Γ a, b, c a, c b 3F 2, α, c a b + α; α a + ; α b + ; wy y, Re α, Rec a b + α > ; Reα a,re α b < ; argw < π. 3 x c y x β xz ρ 2 F a, b; c; wxdx = B c, β yc+β yz F yz ρ 3 ρ, a, β, b; c + β; yz, wy y, Re c,re β > ; arg wy, arg z < π. 4 x c y x β xz β+c a 2 F a, b; c; wxdx = B c, β +wya wy c yc+β 2F a, b+β; c+β; wy y, Rec,Re β > ; arg wy < π. Volumen 3, número 5 73

8 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss 5 x c y x β c, β, c a b + β xz ρ 2 F a, b; c; x y dx = Γ c a + β, c b + β 3F 2 ρ, β, c a b + β; c a + β; c b + β; yz yz 6 y, Re c,re β,re c a b + β > ; arg yz < π. x α y x β 2F a, b; c; wxy xdx = y c+β B α, β 3 F 2 a, b, α, β; c, α+β 2, α+β+ 2 ; wy2 4 y, Re α, Reβ >. A menudo se hará uso de la notación Γ a Γa 2...Γa n Γ b Γb 2...Γb n = Γ a, a 2,..., a n. b, b 2,..., b n 2 Resultados En esta sección se presentan algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss. Se establece el desarrollo simbólico para uno de los resultados con el apoyo de diversas herramientas del cálculo avanzado; el método que aquí se usa es similar al que se utilizó para obtener el resto de resultados listados en la subsección Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss A continuación se presentan los resultados obtenidos, junto con sus condiciones de validez, tales condiciones son coherentes con las presentadas en la subsección Ingeniería y Ciencia, ISSN

9 Jaime Castillo Calcular x α 2R a, b; c; ; wxdx. De acuerdo con el resultado 3, I se escribe de la forma Γc ΓbΓc b x α k= c + b k Γ Γ + 2F a, k + b ; k + b + wxdx; Aprovechando la convergencia absolúta de la serie, se intercambia la suma con la integral Γc ΓbΓc b k= c + b k Γ Γ + Aprovechando el resultado se obtiene Γc ΓbΓc b k= Reorganizando se tiene c + b k ΓcΓ αγa α ΓbΓc bγa w α Γ Γ + w α Γ k= x α 2F a, k + b c + b k ; k + b + wxdx; +, α, a α, a,, + cc α. α Γ α Γ + α. Teniendo en cuenta la propiedad de la función Gamma que expresa Γ a + = aγ a y después de simplicar se tiene ΓcΓ αγa α ΓbΓc bγa w α k= Se vuelve a aplicar la propiedad anterior ΓcΓ α Γ a α ΓbΓc bγa w α k= c + b k c + b k y haciendo uso del símbolo de Pocchhammer ΓcΓ αγa α ΓbΓc bγa w α k= c + b k k + b α. Γ b α + k Γ b α + + k, Γ b α b α k Γ b α + b α + k, Volumen 3, número 5 75

10 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss luego ΓcΓ α Γ a α Γ b α ΓbΓc bγaγ b α + w α k= c + b k Observe que la serie es de tipo hipergeométrico y de aquí b α k b α + k. ΓcΓ αγa αγb α ΓbΓc bγaγ b α + w α 2F c + b, b α; b α + ;. Ahora se hace uso de 2 y se obtiene ΓcΓ α Γ a α Γ b α Γ b α + Γc b w α. ΓbΓc bγaγ b α + Γ c α Después de simplificar se obtiene c, α, a α, b α w α Γ. a, b, c α >, < Re α < Re b, < Re α < Re a; arg w < π. Observe que este resultado generaliza a cuando =. Utilizando argumentos similares se obtienen los siguientes resultados: 2 w α Γ x α 2R a, b; c; ; wx dx = c, α, a α, b α a, b, c α 2 R a α, b α; c α; ; 3 >,, Rea + b c < Re α < Re b;, Rea + b c < Re α < Re a; arg w < π. x α y x β 2R a, b; c; ; wxdx = Γc B α, β yα+β Γb n= a n α n Γ b + n wy n α + β n Γ c + n, y, Reα, Re β > ; arg + wy < π. 76 Ingeniería y Ciencia, ISSN

11 Jaime Castillo 4 x α y x β 2R a, b; c; ; x dx = y B α, β y α+β Γc Γb n= a n α n Γ b + n α + β n Γ c + n 5, y Re αre β, Rec a b + β >. x α y x β 2R a, b; c; ; wx dx = Γc c + b k Γ ΓbΓc b k= Γ + y α+β Γ +, α, a, α, β + α,, α + β Γ +, a, a + α, β a,, a + α + β 6 3F 2 a,, α; a, α + β; wy + w a y α+β a 3F 2 + a,, a + α; 2 a, a + α + β; wy, y, Reα,Re β, Re c a b + α > ; argw < π. x α y x c 2R a, b; c; ; x dx = y yα+c Γc Γ α R a, b; α + c; ; Γ α + c 2 7 y y, Reα,Re c,rec a b + α >. x α y x β 2R a, b; c; ; wxdx = Γc c + b k Γ ΓbΓc b k= Γ + y α+β B β, α β 3 F 2 a, b, α; +, α + β; wy + w a β Volumen 3, número 5 77

12 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss Γ 3F 2 β, a α β +, 8 y +, a α β +, α β +, α + β a,, + 2 α β α β + ; 2 α β, c α β + ; wy, y, Re β > ; Re α + β a,re α + β k + b < ; argw < π. x α y x β 2R a, b; c; ; wx dx = Γc ΓbΓc b k= w α y α+β a Γ c + b k Γ Γ + +, a, β, a α β +, + a, a α + 3F 2 a,, a α β + ; a α +, a + ; w y α+β Γ wy + +, a, β, α β +, a,, α + 3F 2, + a, α β + ; a +, α + ; 9 wy, y, Re β > ; Re α + β a,re α + β k + b < ; argw < π. x α x + z ρ 2 R a, b; c; ; wx dx = z α ρ B α, ρ α Γc Γb n= ρ α Γc w Γb B a + ρ α, α ρ n= a n α n Γ b + n α ρ + n Γ c + n wz n + n! a + ρ α n ρ n Γ b + ρ α + n wz n ρ α + n Γ c + ρ α + n n!, Re α > ; Reα + ρ a,re b ρ α > ; argw, arg z < π. 78 Ingeniería y Ciencia, ISSN

13 Jaime Castillo x α x + z ρ 2 R a, b; c; ; wx dx = ΓcΓ α Γ a α Γ b α w α z ρ Γ aγbγc α 2R a α, b α; c α; ; 3 F 2 a, ρ, a + α; a + α, b + α; + wz ΓcΓ α aγa α + ρ w a z α ρ a a n a α + ρ n Γ b a n ΓbΓρ n= Γ c a n n 2R n, b a n; c a n; ; w α ρ z a Γ,, α a, ρ wz n!, + α + ρ 3F 2, a, α + ρ; a +, α + ; wz n= 2 k + b, Reα, Re a + α, Rea α + ρ,re α + ρ > ; arg w, arg z < π, c α,, 2,...; c a n,, 2,... x α x y 2 R a, b; c; ; wx dx = n a α + n Γ b α + n + 2 α n Γ c α + n ΓcΓ α Γ a α + Γc b w α ΓaΓbΓc bγ wy n πy α cotαπ 2 R a, b; c; ; wy n!, y, Reα > ; Reα a,re α b < ; argw < π. x α x y 2 R a, b; c; ; wx dx = Γc ΓbΓc b k= c + b k 2F a, ; a ; wy + πw b y πw a y α a cota α π Γ α cot a α + α πγ, a a Volumen 3, número 5 79

14 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss w α α, a α, wy y Γ α, a + α a, α + 3 Γc 2F, α; α + ; wy, y, Reα, Re a + α > ; Reα a,re α k + b < ; argw < π. x c y x β x z ρ 2 R a, b; c; ; wx dx = Γb yc+β k= 4 x c y x β a k Γ b + k Γ c + k wy k B k + c, β 2 R ρ, c + k; β + c + k; ; y z, y, Rec, Reβ > ; arg wy, arg z < π. wx β+c a 2 R a, b; c; ; wx dx = ΓcΓ β y c+β a k Γ b + k wy k 2 R β + c a, c + k; β + c + k; ; wy Γb k= Γ c + β + k 5 x c y x β zx ρ 2 R a, b; c; ;, y, Rec, Reβ > ; arg wy < π. x y dx = ΓcΓ β y c+β a k Γ b + k Γb k= Γ c + β + k 2R ρ, c + k; β + c + k; ; zy, y, Rec, Reβ, Re c a b + β > ; arg zy < π. 6 x α y x β 2R a, b; c; ; wxy xdx = wy 2 k B α, β Γc Γb yα+β k= a k α k β k Γ b + k Γ c + k a+β 2 k a+β+ 2, y, Reα, Reβ >. k 4 8 Ingeniería y Ciencia, ISSN

15 Jaime Castillo 2.2 Aplicación A continuación se presenta una aplicación de las integrales impropias a la teoría estadística; inicialmente se muestran algunos conceptos, éstos permiten entender mejor el problema. Muchas funciones especiales de matemáticas aplicadas, pueden ser expresadas en términos de las funciones hipergeométricas, las cuales son una clase importante de funciones especiales 3, 8. Las funciones hipergeométricas y sus generalizaciones han sido usadas en varios problemas de estadística 9,, particularmente en el estudio de más funciones de densidad de probabilidad generalizadas y sus propiedades estadísticas las cuales tienen varias aplicaciones, no sólo en la teoría de confiabilidad, sino también en algunos problemas importantes tales como la teoría de tasa demográfica, biomedicina, datos de trafico y fallas de equipos eléctricos. A continuación se muestran algunas funciones de densidad que contienen a la función hipergeométrica de Gauss y algunos casos particulares Función de densidad de probabilidad La función fx es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria x, definida en el conjunto de los números reales de la forma a fx, para x R b fxdx = c pa < x < b = Función característica b a fxdx. Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad fx,entonces la función característica, Φt de la variable aleatoria X o de la función de distribución Fx está definida por Φx = EexpitX = fxexpitxdx, Volumen 3, número 5 8

16 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss donde E gx es llamado el valor esperado de la variable aleatoria gx Valor esperado Sea X una variable aleatoria, la media de X, notada como Ex, se define por µ = Ex = xfx si x es v.a. discreta. x µ = Ex = fxdx si x es v.a. continua El k-ésimo momento El k-ésimo momento alrededor del origen de la variable aleatoria x está dado por: µ k = Exk = x k fx si x es v.a. discreta, x µ k = Exk = x k fx si x es v.a continua, donde fx es la función de densidad de probabilidad Funcion beta generalizada Sean los parámetros siguientes a,b,c,,u y v. Entonces para Rea + µ y Reb + µ >, se define la forma generalizada de la función beta como sigue, según 9, B a,b;c;v u,µ = v a t u + t µ u 2R a,b;c;; t dt, 4 v donde 2 R a,b;c;;x es la función hipergeométrica generalizada. Para = en 4 se tendrá B a,b;c;v u,µ = v a t u + t µ u 2F a,b;c; t v dt, 82 Ingeniería y Ciencia, ISSN

17 Jaime Castillo y para b = c, se tiene 9 a,b;c;v B u,µ = t u + t µ u dt = v a Bu,µ + a 2 F u,a;u + a + µ; v. Por otro lado, si se hace a =, entonces 4 se reduce a la conocida fórmula integral de la función beta definida por Bu,µ = t u + t µ u dt, Reu;Reµ >. La función beta generalizada definida en 4 también se puede escribir como 9 B a,b;c;v u,µ = v u a t u + t µ u 2R a,b;c;; tdt Función de densidad de probabilidad definida por Y.B. Nakhin y S. L. Kalla La función de densidad de probabilidad con variable aleatoria x se define según 9 fx = v n x u + x µ u 2R a,b;c;; x v dt, x >. 5 a,b;c;v B u,µ Algunos casos especiales de la función de densidad definida por Y.B. Nakhin y S. L. Kalla Al sustituir = en 5, se tiene fx = v n x u + x µ u 2F a,b;c; x v. 6 a,b;c;v B u,µ Volumen 3, número 5 83

18 Algunas integrales impropias con límites de integración infinitos que involucran a la generalización de la función hipergeométrica de Gauss Si se hace b = c en 6, y teniendo en cuenta que 2 F a,b;b;x = x a 8, entonces fx = v n x u + x µ u + x v a Bv,µ + a 2 F u,a,u + a + µ; v. La función de densidad beta de segunda clase dada en 5, cuando a =, se transforma en fx = xu + x µ u, x >. Bv, µ 3 Conclusiones De acuerdo con el desarrollo de este trabajo se nota: Cada uno de los resultados de la subsección..3, son formas computables para cada integral propuesta, además, éstas facilitan los cálculos numéricos de las mismas dado que muchos de estos resultados aparecen tabulados en el libro de prudnikov. Cada integral es un caso especial de la función beta generalizada a,b;c;v B u,µ = v a t u + t µ u 2F a,b;c; t v dt, lo que indica que se tienen diversas formas computables para la misma. Una aplicación interesante de estas integrales es que permiten obtener nuevas funciones de densidad de probabilidad. En los últimos años el doctor Kalla y su grupo de colaboradores han trabajado en ese campo. Cada resultado de éste trabajo es un caso especial de la función beta generalizada B a,b;c;v u,µ = v a t u + t µ u 2R a,b;c;; t v dt. 84 Ingeniería y Ciencia, ISSN

19 Jaime Castillo Referencias James B. Seaborn. Hypergeometric functions and their applications, ISBN New york: Springer-Verlag, 99. Referenciado en 68 2 A. M. Mathai and R. K. Saxena. Generalized Hypergeometric Functions with Applications in Statistics and Physical Sciences, ISBN New york: Springer-Verlag, 97. Referenciado en 68 3 N. N. Levedev. Special functions and their applications, ISBN New York: Prentice-Hall, 965. Referenciado en 68, 69, 8 4 N. Virchenko. On some generalizations of the functions of hypergeometric type. Fractional Calculus and Applied Analysis, ISSN 3 454, 23, Referenciado en 68, 7 5 J. Castillo y C. Jiménez. Algunas representaciones simples de la función hipergeométrica generalizada. Ingeniería y Ciencia, ISSN , 24, Referenciado en 68, 7 6 Earl David Rainville. Special Functions, ISBN New York: Chelsea Publishing Company, 96. Referenciado en 7 7 A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov and O. I. Marichev. Integrals and Series: More Special Functions, ISBN New York: Gordon and Breach Science Publishers, 3, 992. Referenciado en 7 8 George E. Andrews, Richard Askey and Ranjan Roy. Special Functions, ISBN New York: Cambridge University Press 999. Referenciado en 69, 8, 84 9 Ben Nakhi and S. L. Kalla. A generalized beta functions and associated probability density. International Journal of Mathematics and Mathematics Sciences, ISSN 6 72, 3, Referenciado en 8, 82, 83 A. M. Mathai and R. K. Saxena. Generalized Hypergeometric Functions with Applications in Statistics and Physical Sciences. New York: Springer Verlag, ISBN , 973. Referenciado en 8 Volumen 3, número 5 85

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto

Διαβάστε περισσότερα

Escenas de episodios anteriores

Escenas de episodios anteriores Clase 09/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje

Διαβάστε περισσότερα

την..., επειδή... Se usa cuando se cree que el punto de vista del otro es válido, pero no se concuerda completamente

την..., επειδή... Se usa cuando se cree que el punto de vista del otro es válido, pero no se concuerda completamente - Concordar En términos generales, coincido con X por Se usa cuando se concuerda con el punto de vista de otro Uno tiende a concordar con X ya Se usa cuando se concuerda con el punto de vista de otro Comprendo

Διαβάστε περισσότερα

Académico Introducción

Académico Introducción - Σε αυτήν την εργασία/διατριβή θα αναλύσω/εξετάσω/διερευνήσω/αξιολογήσω... general para un ensayo/tesis Για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση, θα επικεντρωθούμε πρώτα... Para introducir un área específica

Διαβάστε περισσότερα

Academic Opening Opening - Introduction Greek Spanish En este ensayo/tesis analizaré/investigaré/evaluaré...

Academic Opening Opening - Introduction Greek Spanish En este ensayo/tesis analizaré/investigaré/evaluaré... - Introduction Σε αυτήν την εργασία/διατριβή θα αναλύσω/εξετάσω/διερευνήσω/αξιολογήσω... General opening for an essay/thesis En este ensayo/tesis analizaré/investigaré/evaluaré... Για να απαντήσουμε αυτή

Διαβάστε περισσότερα

90 LIBERTAS SEGUNDA ÉPOCA. Introducción: La necesidad de una Reforma Institucional

90 LIBERTAS SEGUNDA ÉPOCA. Introducción: La necesidad de una Reforma Institucional 1 3 - - Abstract - - - 90 LIBERTAS SEGUNDA ÉPOCA Introducción: La necesidad de una Reforma Institucional - - - - - - - - - UNA PROPUESTA DE REFORMA MONETARIA PARA ARGENTINA 91 1 políticas establecidas

Διαβάστε περισσότερα

Inmigración Estudiar. Estudiar - Universidad. Indicar que quieres matricularte. Indicar que quieres matricularte en una asignatura.

Inmigración Estudiar. Estudiar - Universidad. Indicar que quieres matricularte. Indicar que quieres matricularte en una asignatura. - Universidad Me gustaría matricularme en la universidad. Indicar que quieres matricularte Me quiero matricular. Indicar que quieres matricularte en una asignatura en un grado en un posgrado en un doctorado

Διαβάστε περισσότερα

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 5 FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Página PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ KΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΑ ΙΣΠΑΝΙΚΑ

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ KΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΑ ΙΣΠΑΝΙΚΑ ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ KΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΑ ΙΣΠΑΝΙΚΑ Α. Να αποδώσετε στο τετράδιό σας στην ελληνική γλώσσα το παρακάτω κείμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ INTRODUCCIÓN

ΕΙΣΑΓΩΓΗ INTRODUCCIÓN ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗ ΣΤΑ ΕΥΡΩΠΑΙΚΑ ΣΥΜΒΟΥΛΙΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ (ΕΣΕ) KAI Η ΚΟΙΝΟΤΙΚΗ ΟΔΗΓΙΑ 2009/38 INFORMACIÓN Y CONSULTA EN LOS COMITÉS DE EMPRESA EUROPEOS (CEE) Y LA DIRECTIVA COMUNITARIA 2009/38 Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Το ίκτυο Βιβλιοθηκών του Τµήµατος Κοινωνικού Έργου της Caja Madrid. La Red de Bibliotecas de Obra Social Caja Madrid

Το ίκτυο Βιβλιοθηκών του Τµήµατος Κοινωνικού Έργου της Caja Madrid. La Red de Bibliotecas de Obra Social Caja Madrid Το ίκτυο Βιβλιοθηκών του Τµήµατος Κοινωνικού Έργου της Caja Madrid La Red de Bibliotecas de Obra Social Caja Madrid Το ίκτυο Βιβλιοθηκών αποτελεί τµήµα ενός Χρηµατοπιστωτικού Φορέα που προορίζει ποσοστό

Διαβάστε περισσότερα

Nro. 01 Septiembre de 2011

Nro. 01 Septiembre de 2011 SOL Cultura La Tolita, de 400 ac. a 600 dc. En su representación se sintetiza toda la mitología ancestral del Ecuador. Trabajado en oro laminado y repujado. Museo Nacional Banco Central del Ecuador Dirección

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 6.- BIOMOLÉCULAS ORGÁNICAS IV: ÁCIDOS NUCLEICOS

TEMA 6.- BIOMOLÉCULAS ORGÁNICAS IV: ÁCIDOS NUCLEICOS TEMA 6.- BIMLÉCULAS RGÁNICAS IV: ÁCIDS NUCLEICS A.- Características generales de los Ácidos Nucleicos B.- Nucleótidos y derivados nucleotídicos El esqueleto covalente de los ácidos nucleicos: el enlace

Διαβάστε περισσότερα

Las Funciones Trigonométricas

Las Funciones Trigonométricas Caítulo 3 Las Funciones Trigonométricas 3.. El círculo trigonométrico Vamos a suoner conocido el sistema cartesiano en lo que se refiere a concetos fundamentales como son los de abscisa y ordenada de un

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

FL/STEM Σχεδιασμός/Πρότυπο μαθήματος (χημεία) 2015/2016. Μάθημα (τίτλος) Οξυγόνο. Παραγωγή οξυγόνου Επίπεδο επάρκειας γλώσσας < Α1 Α2 Β1 Β2 C1

FL/STEM Σχεδιασμός/Πρότυπο μαθήματος (χημεία) 2015/2016. Μάθημα (τίτλος) Οξυγόνο. Παραγωγή οξυγόνου Επίπεδο επάρκειας γλώσσας < Α1 Α2 Β1 Β2 C1 Μάθημα (τίτλος) Οξυγόνο. Παραγωγή οξυγόνου Επίπεδο επάρκειας γλώσσας < Α1 Α2 Β1 Β2 C1 Τάξη/βαθμίδα: 6η Αριθμός μαθητών στην τάξη: 8 Περιεχόμενο μαθήματος: Οξυγόνο. Θέμα: Άνθρωπος και φύση Ουσίες Προϋποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Filipenses 2:5-11. Filipenses

Filipenses 2:5-11. Filipenses Filipenses 2:5-11 Filipenses La ciudad de Filipos fue nombrada en honor de Felipe II de Macedonia, padre de Alejandro. Con una pequeña colonia judía aparentemente no tenía una sinagoga. El apóstol fundó

Διαβάστε περισσότερα

TEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES

TEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES TEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES Titulación: Doctorado en Tecnologías Industriales Alumno/a: Salvador Vera Nieto Director/a/s: José Salvador Cánovas Peña Antonio Guillamón Frutos Cartagena, 10

Διαβάστε περισσότερα

Tema de aoristo. Morfología y semántica

Tema de aoristo. Morfología y semántica Tema de aoristo Morfología y semántica El verbo politemático Cada verbo griego tiene 4 temas principales. La diferencia semántica entre ellos es el aspecto, no el tiempo. Semántica de los temas verbales

Διαβάστε περισσότερα

Για να ρωτήσετε αν κάποιος μπορεί να σας βοηθήσει να γεμίσετε μια φόρμα

Για να ρωτήσετε αν κάποιος μπορεί να σας βοηθήσει να γεμίσετε μια φόρμα - Γενικά Dónde tengo que pedir el formulario/impreso para? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Dónde tengo que pedir el formulario/impreso para? Cuál es la fecha de expedición de su (documento)?

Διαβάστε περισσότερα

La experiencia de la Mesa contra el Racismo

La experiencia de la Mesa contra el Racismo La experiencia de la Mesa contra el Racismo Informe Di icultad para identi icarse como discriminado Subsistencia de mecanismos individuales para enfrentar el racismo Las propuestas de las organizaciones

Διαβάστε περισσότερα

Inmigración Documentos

Inmigración Documentos - General Dónde tengo que pedir el formulario/impreso para? Pedir un formulario Cuál es la fecha de expedición de su (documento)? Pedir la fecha de expedición de un documento Cuál es el lugar de expedición

Διαβάστε περισσότερα

Lípidos. Clasificación

Lípidos. Clasificación Lípidos Son compuestos encontrados en organismos vivos, generalmente solubles en solventes orgánicos e insolubles en agua. Clasificación Propiedades físicas aceites grasas Estructura simples complejos

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΝΤΡΑ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΝΤΡΑ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΝΤΡΑ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Ισπανικά για τον τουρισμό(α1-α2) Συγγραφέας: Δημήτρης Ε. Φιλιππής

Διαβάστε περισσότερα

ACTIVIDADES INICIALES

ACTIVIDADES INICIALES Solucionario Trigonometría ACTIVIDADES INICIALES.I. En una recta r hay tres puntos: A, B y C, que distan, sucesivamente, y cm. Por esos puntos se trazan rectas paralelas que cortan otra, s, en M, N y P.

Διαβάστε περισσότερα

ε x = du dx ε(x) = ds ds = du(x) dx

ε x = du dx ε(x) = ds ds = du(x) dx Capítulo 8 ECUCIONES DIFERENCIES Cálculo de desplazamientos Dr. Fernando Flores 8.. INTRODUCCIÓN En este capítulo se sistematizan las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas. En general se

Διαβάστε περισσότερα

IV FESTIVAL LEA. Concurso entre escuelas de aprendizaje del español

IV FESTIVAL LEA. Concurso entre escuelas de aprendizaje del español IV FESTIVAL LEA El IV Festival Iberoamericano Literatura En Atenas, organizado por la revista Cultural Sol Latino, el Instituto Cervantes de Atenas y la Fundación María Tsakos, dura este año dos semanas:

Διαβάστε περισσότερα

FORMULARIO DE ELASTICIDAD

FORMULARIO DE ELASTICIDAD U. D. Resistencia de Mateiales, Elasticidad Plasticidad Depatamento de Mecánica de Medios Continuos Teoía de Estuctuas E.T.S. Ingenieos de Caminos, Canales Puetos Univesidad Politécnica de Madid FORMULARIO

Διαβάστε περισσότερα

MANUFACTURA Y USO DE INSTRUMENTOS EN HUESO EN SITIOS PREHISTÓRICOS DEL ESTE DE URUGUAY

MANUFACTURA Y USO DE INSTRUMENTOS EN HUESO EN SITIOS PREHISTÓRICOS DEL ESTE DE URUGUAY MANUFACTURA Y USO DE INSTRUMENTOS EN HUESO EN SITIOS PREHISTÓRICOS DEL ESTE DE URUGUAY MANUFACTURE AND BONE TOOLS WEAR IN PREHISTORIC SITES OF EASTERN URUGUAY Ignacio CLEMENTE CONTE (*), Federica MORENO

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά - Τα απαραίτητα Podría ayudarme? Παράκληση για βοήθεια Habla inglés? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Habla_[idioma]_? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά ορισμένη γλώσσα No hablo_[idioma]_. Διασαφήνιση ότι δεν

Διαβάστε περισσότερα

High order interpolation function for surface contact problem

High order interpolation function for surface contact problem 3 016 5 Journal of East China Normal University Natural Science No 3 May 016 : 1000-564101603-0009-1 1 1 1 00444; E- 00030 : Lagrange Lobatto Matlab : ; Lagrange; : O41 : A DOI: 103969/jissn1000-56410160300

Διαβάστε περισσότερα

M14/1/AYMGR/HP1/GRE/TZ0/XX

M14/1/AYMGR/HP1/GRE/TZ0/XX M14/1/AYMGR/HP1/GRE/TZ0/XX 22142045 MODERN GREEK A: LANGUAGE AND LITERATURE HIGHER LEVEL PAPER 1 GREC MODERNE A : LANGUE ET LITTÉRATURE NIVEAU SUPÉRIEUR ÉPREUVE 1 GRIEGO MODERNO A: LENGUA Y LITERATURA

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΑΠΛΟΤΗΤΑ. Innovación y simplicidad

ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΑΠΛΟΤΗΤΑ. Innovación y simplicidad pro ima pro ima Innovación y simplicidad PROXIMA es la última innovación de Serrature Meroni, un producto diseñado tanto para aquellos que ya disponen de un pomo PremiApri Meroni en su puerta, como para

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

PREPARACIÓN EN LA ESCUELA LIBRO DEL PROFESOR PARA EL EXAMEN N I V E L C 1

PREPARACIÓN EN LA ESCUELA LIBRO DEL PROFESOR PARA EL EXAMEN N I V E L C 1 C1 PREPARACIÓN PARA EL EXAMEN EN LA ESCUELA EXAMEN DE ESPAÑOL N I V E L C 1 LIBRO DEL PROFESOR Exámenes de práctica: Libro del Profesor El presente libro es el tercero de una serie de tres manuales de

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: συγκρότηση Επιτροπής για την επιλογή ελευθέρων βοηθηµάτων Ισπανικής γλώσσας

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: συγκρότηση Επιτροπής για την επιλογή ελευθέρων βοηθηµάτων Ισπανικής γλώσσας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Βαθµός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Nro. 13 - Agosto de 2013

Nro. 13 - Agosto de 2013 SOL Cultura La Tolita, de 400 ac. a 600 dc. En su representación se sintetiza toda la mitología ancestral del Ecuador. Trabajado en oro laminado y repujado. Museo Nacional Banco Central del Ecuador Dirección

Διαβάστε περισσότερα

LESET Let ssaveenergytogether (Ας Εξοικονομήσουμε Μαζί Ενέργεια) (GR)

LESET Let ssaveenergytogether (Ας Εξοικονομήσουμε Μαζί Ενέργεια) (GR) LESET Let ssaveenergytogether (Ας Εξοικονομήσουμε Μαζί Ενέργεια) (GR) Información general Resumen Το LESET έργο ήταν πολύ επιτυχημένο. Οι συμμετέχοντες, μαθητές μεταξύ 15 και 16 ετών, από 5 διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

TRABAJO PRÁCTICO N 1: Revisión de verbos. Modo Indicativo-Infinitivo-Participio Presente-Imperfecto-Aoristo-Futuro

TRABAJO PRÁCTICO N 1: Revisión de verbos. Modo Indicativo-Infinitivo-Participio Presente-Imperfecto-Aoristo-Futuro TRBJO PRÁCTICO 1: Revisión de verbos. Modo Indicativo-Infinitivo-Participio Presente-Imperfecto-oristo-Futuro 1- Completar el cuadro de desinencias verbales: 1 2 3 1 2 3 esinencias primarias esinencias

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση της αισθητικής αξίας δασογεωργικών και γεωργικών συστημάτων

Αξιολόγηση της αισθητικής αξίας δασογεωργικών και γεωργικών συστημάτων Αξιολόγηση της αισθητικής αξίας δασογεωργικών και γεωργικών συστημάτων Α. Σιδηροπούλου 1, M. Βραχνάκης 2, Γ. Φωτιάδης 3 και Δ. Μπούσμπουρας 4 1 Εργαστήριο Λιβαδικής Οικολογίας, Τ.Θ. 286, Α.Π.Θ., Τ.Κ. 54124,

Διαβάστε περισσότερα

KIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS

KIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS KIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS Estas instrucciones forman parte integrante del manual que acompaña el aparato en el cual está instalado este Kit. Este manual se refiere a ADVERTENCIAS GENERALES y REGLAS

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΑΡΧΗ ΣΕΛΙ ΑΣ 1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Πέμπτη, 15 Σεπτεμβρίου 2011

Διαβάστε περισσότερα

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN IB DIPLOMA PROGRAMME PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI M06/2/ABMGR/SP1/GRE/TZ0/XX/M MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN May / mai / mayo 2006 MODERN GREEK / GREC

Διαβάστε περισσότερα

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi wxg@cs.purdue.edu Purdue University Theo p. 2/ Theodorus of ca. 46 399 B.C. Theo p. 3/ spiral of Theodorus 6

Διαβάστε περισσότερα

Taller de cultura TALLER DE LITERATURA

Taller de cultura TALLER DE LITERATURA Taller de cultura TALLER DE LITERATURA Literatura Argentina del s. XX Lo fantástico como elemento inherente a la literatura argentina del s. XX Qué es la literatura fantástica argentina? «Ya Buenos Aires,

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Análisis de las Enneadas de Plotino. Gonzalo Hernández Sanjorge A Parte Rei 20

Análisis de las Enneadas de Plotino. Gonzalo Hernández Sanjorge A Parte Rei 20 Análisis de las Enneadas de Plotino, Tratado Cuarto de la Enneada Primera Acerca de la felicidad1 Gonzalo Hernández Sanjorge La felicidad vinculada al vivir bien: la sensación y la razón. Identificar qué

Διαβάστε περισσότερα

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΒΙΩΣΙΜΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφόρηση σχετικά με το αν πρέπει να πληρώσετε ποσοστά προμήθειας όταν κάνετε ανάληψη σε μια συγκεκριμένη χώρα

Πληροφόρηση σχετικά με το αν πρέπει να πληρώσετε ποσοστά προμήθειας όταν κάνετε ανάληψη σε μια συγκεκριμένη χώρα - Γενικά Can I withdraw money in [country] without paying fees? Puedo sacar dinero en (país) sin pagar comisiones? Πληροφόρηση σχετικά με το αν πρέπει να πληρώσετε ποσοστά προμήθειας όταν κάνετε ανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεράσματα της Έκθεσης για την Ελλάδα

Συμπεράσματα της Έκθεσης για την Ελλάδα Συμπεράσματα της Έκθεσης για την Ελλάδα Conclusiones del Informe sobre Grecia Πρόγραμμα INVOLVE (DG EMPLOYMENT-VS/2015/0379). Το σχέδιο αυτό χρηματοδοτείται με την υποστήριξη της Ευρωπαϊκής Επιτροπής.

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

PARTICIPIO DE PRESENTE

PARTICIPIO DE PRESENTE EL PARTICIPIO MORFOLOGÍA PARTICIPIO DE PRESENTE ACTIVA MEDIA PASIVA λύ- ων, -ουσα, -ον λύ- οντος, -ουσης,-οντος λύ- ο - µενος, -η, -ον λύ- ο - µενου, -ης, -ου λύ- ο - µενος, -η, -ον λύ- ο - µενου, -ης,

Διαβάστε περισσότερα

Black and White, an innovation in wooden flooring.

Black and White, an innovation in wooden flooring. a m s t e r d a m v i e n n a l o n d o n p a r i s m o s c o w d u b l i n m i l a n c o p e n h a g e n g e n e v a a t h e n s b a r c e l o n a r e y k j a v i c k i e v GB PT ES IT GR Black and White,

Διαβάστε περισσότερα

Los pronombres (1) Pronombre demostrativo de primera persona (lat. hic, haec, hoc)

Los pronombres (1) Pronombre demostrativo de primera persona (lat. hic, haec, hoc) 17 Tema de gramática Los pronombres (1) Aunque etimológicamente la palabra pronombre significa sustituto del nombre, en muchos casos el pronombre puede actuar también como adjetivo, acompañando al nombre.

Διαβάστε περισσότερα

2 ÍNDICE GENERAL A Modelo de Wess Zumino Witten. 109 A.1 Propiedades del modelo de WZW B Orden normal y relaciones entre OP

2 ÍNDICE GENERAL A Modelo de Wess Zumino Witten. 109 A.1 Propiedades del modelo de WZW B Orden normal y relaciones entre OP Índice General 1 Introducción. 3 2 Teor as masivas y ecuaciones de Toda no abelianas. 11 2.1 Ecuaciones de Toda no abelianas....................... 11 2.2 Teor as con acción real y positiva.......................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΑΓΡΟΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ» Μεταπτυχιακή Εργασία «Τα θερµοκήπια στην

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Τραγwδούμενα. EDICIÓN CRÍTICA, TRADUCCIÓN Y COMENTARIO DE LOS FRAGMENTOS ATRIBUIDOS A ASCLEPÍADES DE TRAGILO

Τραγwδούμενα. EDICIÓN CRÍTICA, TRADUCCIÓN Y COMENTARIO DE LOS FRAGMENTOS ATRIBUIDOS A ASCLEPÍADES DE TRAGILO Tesis doctoral Τραγwδούμενα. EDICIÓN CRÍTICA, TRADUCCIÓN Y COMENTARIO DE LOS FRAGMENTOS ATRIBUIDOS A ASCLEPÍADES DE TRAGILO Nereida Villagra Hidalgo Τραγῳδούμενα. EDICIÓN CRÍTICA, TRADUCCIÓN Y COMENTARIO

Διαβάστε περισσότερα

πûùôú ÙˆÓ ÃˆÚˆÓ ÙË ÙÈÓÈÎ ÌÂÚÈÎ

πûùôú ÙˆÓ ÃˆÚˆÓ ÙË ÙÈÓÈÎ ÌÂÚÈÎ πûùôú ÙˆÓ ÃˆÚˆÓ ÙË ÙÈÓÈÎ ÌÂÚÈÎ A. VARGAS Á ÂÈÚ ÈÔ ªÂÏ ÙË Copyright 2001 Για την Eλλάδα και όλο τον κόσµο EΛΛHNIKO ANOIKTO ΠANEΠIΣTHMIO Oδός Παπαφλέσσα & Yψηλάντη, 262 22 Πάτρα Tηλ: (061) 314 094, 314 206,

Διαβάστε περισσότερα

HIV HIV HIV HIV AIDS 3 :.1 /-,**1 +332

HIV HIV HIV HIV AIDS 3 :.1 /-,**1 +332 ,**1 The Japanese Society for AIDS Research The Journal of AIDS Research +,, +,, +,, + -. / 0 1 +, -. / 0 1 : :,**- +,**. 1..+ - : +** 22 HIV AIDS HIV HIV AIDS : HIV AIDS HIV :HIV AIDS 3 :.1 /-,**1 HIV

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Resumen de idiomas y alfabetización

Resumen de idiomas y alfabetización Resumen de idiomas y alfabetización Los niños nacen listos para comunicarse y aprender idiomas. Al escuchar el idioma de sus familias, los niños pronto aprenden a distinguir sonidos familiares y a desarrollar

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά - Τα απαραίτητα Podría ayudarme? Παράκληση για βοήθεια Habla inglés? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Habla_[idioma]_? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά ορισμένη γλώσσα No hablo_[idioma]_. Διασαφήνιση ότι δεν

Διαβάστε περισσότερα

, P bkc (c[0, 1]) P bkc (L p [0, 1]) (1) 2 P bkc (X) O A (2012) Aumann. R. J., [3]. Feb Vol. 28 No.

, P bkc (c[0, 1]) P bkc (L p [0, 1]) (1) 2 P bkc (X) O A (2012) Aumann. R. J., [3]. Feb Vol. 28 No. 212 2 28 1 Pure and Applied Mathematics Feb. 212 Vol. 28 No. 1 P bkc (c[, 1]) P bkc (L p [, 1]) (1) ( (), 364) (G, β, u),,, P bkc (c[, 1]) P bkc (L p [, 1]),. ; ; O174.12 A 18-5513(212)1-99-1 1, [2]. 1965,

Διαβάστε περισσότερα

bab.la Φράσεις: Προσωπική Αλληλογραφία Ευχές ελληνικά-ισπανικά

bab.la Φράσεις: Προσωπική Αλληλογραφία Ευχές ελληνικά-ισπανικά Ευχές : Γάμος Συγχαρητήρια. Σας ευχόμαστε όλη την ευτυχία του κόσμου. Felicitaciones. Les deseamos a ambos toda la felicidad del mundo. νιόπαντρο ζευγάρι Θερμά συγχαρητήρια για τους δυο σας αυτήν την ημέρα

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

þÿ Ç»¹º ³µÃ ± : Ãż²» Ä Â

þÿ Ç»¹º ³µÃ ± : Ãż²» Ä Â Neapolis University HEPHAESTUS Repository School of Economic Sciences and Business http://hephaestus.nup.ac.cy Master Degree Thesis 2015 þÿ Ç»¹º ³µÃ ± : Ãż²» Ä Â þÿãå½±¹ã ¼±Ä¹º  ½ ¼ Ãͽ  þÿ±à ĵ»µÃ¼±Ä¹º

Διαβάστε περισσότερα

Η Διαγενειακή Αλληλεπίδραση Τρίτης Γενιάς και Τρίτης Ηλικίας και οι Αντοχές της Ελληνοαυστραλιανής Ταυτότητας

Η Διαγενειακή Αλληλεπίδραση Τρίτης Γενιάς και Τρίτης Ηλικίας και οι Αντοχές της Ελληνοαυστραλιανής Ταυτότητας Kyriakopoulou-Baltatzi, C., 2013. Η Διαγενειακή Αλληλεπίδραση Τρίτης Γενιάς και Τρίτης Ηλικίας και οι Αντοχές της Ελληνοαυστραλιανής Ταυτότητας. Journal of Modern Greek Studies - Special Issue, 346-361.

Διαβάστε περισσότερα

«ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ» ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΕΣ: ΒΑΪΟΥ Ντ., ΜΑΝΤΟΥΒΑΛΟΥ Μ., ΜΑΥΡΙΔΟΥ Μ. «Gentrification Friendly» γειτονιές στο κέντρο της Αθήνας(;)

«ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ» ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΕΣ: ΒΑΪΟΥ Ντ., ΜΑΝΤΟΥΒΑΛΟΥ Μ., ΜΑΥΡΙΔΟΥ Μ. «Gentrification Friendly» γειτονιές στο κέντρο της Αθήνας(;) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Δ. Π. Μ. Σ.: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β : ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑ - ΧΩΡΟΤΑΞΙΑ «ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ» ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΕΣ: ΒΑΪΟΥ Ντ., ΜΑΝΤΟΥΒΑΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΓ' ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΓ' ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΓ' ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΤΜΗΜΑ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΣΩ ΔΕΙΚΤΩΝ Επιβλέπων: Αθ.Δελαπάσχος

Διαβάστε περισσότερα

AMORTIGUADORES DE VIBRACIÓN

AMORTIGUADORES DE VIBRACIÓN AMORTIGUADORES DE VIBRACIÓN Estas instrucciones forman parte integrante del manual que acompaña el aparato en el cual se va a instalar este accesorio. Este manual se refiere a ADVERTENCIAS GENERALES y

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE

INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE By Tom Irvie Email: tomirvie@aol.com March 3, 999 Itroductio May processes have a ormal probability distributio. Broadbad radom vibratio is a example. The purpose

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΔΙΑΙΡΟΥΜΕΝΟΥ ΤΥΠΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟ RAD-18RPA RAD-25RPA RAD-35RPA RAD-50RPA. Eλληνικά ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΔΙΑΙΡΟΥΜΕΝΟΥ ΤΥΠΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟ RAD-18RPA RAD-25RPA RAD-35RPA RAD-50RPA. Eλληνικά ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚ ΔΙΑΙΡΥΜΕΝΥ ΤΥΠΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΜΝΑΔΑ ΜΝΤΕΛ RAD-18RPA RAD-25RPA RAD-35RPA RAD-50RPA ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΜΝΑΔΑ RAD-18RPA RAD-25RPA RAD-35RPA RAD-50RPA Instruction manual Page 1~12 To obtain the best performance

Διαβάστε περισσότερα

M07/2/ABMGR/SP1/GRE/TZ0/XX/Q

M07/2/ABMGR/SP1/GRE/TZ0/XX/Q IB MODERN GREEK B STANDARD LEVEL PAPER 1 GREC MODERNE B NIVEAU MOYEN ÉPREUVE 1 GRIEGO MODERNO B NIVEL MEDIO PRUEBA 1 Monday 7 May 2007 (morning) Lundi 7 mai 2007 (matin) Lunes 7 de mayo de 2007 (mañana)

Διαβάστε περισσότερα

Approximations to Piecewise Continuous Functions

Approximations to Piecewise Continuous Functions Approximations to Piecewise Continuous Functions Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Josef BETTEN RWTH Aachen University Templergraben 55 D-52056 A a c h e n, Germany betten@mmw.rwth-aachen.de Abstract This worsheet

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΝΕΡΓΕΙΑ - ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΥΠΑΝΣΗ»: ΜΕ ΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΕΝΝΟΙΩΝ

«ΕΝΕΡΓΕΙΑ - ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΥΠΑΝΣΗ»: ΜΕ ΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΕΝΝΟΙΩΝ «ΕΝΕΡΓΕΙΑ - ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΡΥΠΑΝΣΗ»: ΜΕ ΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ ΕΝΝΟΙΩΝ Λιαράκου Γεωργία - Λέκτορας, ΠΤ Ε Παν. Αιγαίου Μουστάκας Λουκάς 1 - Εκπαιδευτικός, Υποψήφιος ιδάκτορας Παν. Αιγαίου / Π.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης Α.Τ.Ε.Ι. ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Η διαμόρφωση επικοινωνιακής στρατηγικής (και των τακτικών ενεργειών) για την ενδυνάμωση της εταιρικής

Διαβάστε περισσότερα

Δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές της Στ Δημοτικού στην κατανόηση της λειτουργίας του Συγκεντρωτικού Φακού

Δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές της Στ Δημοτικού στην κατανόηση της λειτουργίας του Συγκεντρωτικού Φακού ΜΟΥΡΑΤΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ Δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές της Στ Δημοτικού στην κατανόηση της λειτουργίας του Συγκεντρωτικού Φακού Μεταπτυχιακή Εργασία Ειδίκευσης που υποβλήθηκε στο πλαίσιο του Προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γ (Γ1&Γ2)

ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γ (Γ1&Γ2) Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων Ministerio de Educación y Asuntos Religiosos Κρατικό Πιστοποιητικό Γλωσσομάθειας Certificado Estatal de Conocimiento de Lenguas NIVELES C1&C2 según la escala del Consejo

Διαβάστε περισσότερα

Από την Κριτική Εθνογραφία στην Κριτική Έρευνα Δράσης: Ένα συνεχές στο σχεδιασμό της εκπαιδευτικής καινοτομίας 1

Από την Κριτική Εθνογραφία στην Κριτική Έρευνα Δράσης: Ένα συνεχές στο σχεδιασμό της εκπαιδευτικής καινοτομίας 1 Από την Κριτική Εθνογραφία στην Κριτική Έρευνα Δράσης: Ένα συνεχές στο σχεδιασμό της εκπαιδευτικής καινοτομίας 1 Ελευθέριος Βεκρής Δρ. Επιστημών της Αγωγής Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης From

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµετρική ιερεύνηση των Ελλειµµάτων της Ελληνικής Οικονοµίας

Οικονοµετρική ιερεύνηση των Ελλειµµάτων της Ελληνικής Οικονοµίας Οικονοµετρική ιερεύνηση των Ελλειµµάτων της Ελληνικής Οικονοµίας του Παντελίδη Παναγιώτη ιδακτορική ιατριβή η οποία υποβλήθηκε στο Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής του Πανεπιστηµίου Μακεδονίας Οικονοµικών

Διαβάστε περισσότερα

þÿ¼ ½ ±Â : ÁÌ» Â Ä Å ÃÄ ²µ þÿä Å ÃÇ»¹º Í Á³ Å

þÿ¼ ½ ±Â : ÁÌ» Â Ä Å ÃÄ ²µ þÿä Å ÃÇ»¹º Í Á³ Å Neapolis University HEPHAESTUS Repository School of Economic Sciences and Business http://hephaestus.nup.ac.cy Master Degree Thesis 2015 þÿ ½»Åà Äɽ µ½½ ¹Î½ Ä Â þÿ±¾¹»ì³ à  º±¹ Ä Â þÿ±à ĵ»µÃ¼±Ä¹ºÌÄ Ä±Â

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Επιστολή

Εμπορική αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Sr. J. Rhodes Rhodes & Rhodes Corp. 212 Silverback Drive California Springs CA 92926 Sr. J. Rhodes Rhodes & Rhodes Corp. 212 Silverback Drive California Springs CA 92926 Αμερικανική γραφή διεύθυνσης:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΛΕΥΚΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΛΕΥΚΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΛΕΥΚΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Συστήματα ηλεκτρονικών κρατήσεων σε ξενοδοχειακές επιχειρήσεις και εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο

Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων Εξάμηνο 7 ο Procedures and Functions Stored procedures and functions are named blocks of code that enable you to group and organize a series of SQL and PL/SQL

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΑΡΧΗ ΣΕΛΙΔΑΣ 1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Σάββατο, 20 Ιουνίου 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Nuestra Iglesia. Καλό Πάσχα! Χριστός Ἀνέστη! Ἀληθῶς Ἀνέστη! Ἦχος πλ. α'

Nuestra Iglesia. Καλό Πάσχα! Χριστός Ἀνέστη! Ἀληθῶς Ἀνέστη! Ἦχος πλ. α' Nuestra Iglesia Καλό Πάσχα! Χριστός Ἀνέστη! Ἀληθῶς Ἀνέστη! Ἦχος πλ. α' Χριστὸς ἀνέστη ἐκ νεκρῶν, θανάτω θάνατον πατήσας, καὶ τοὶς ἐν τοῖς μνήμασι, ζωὴν χαρισάμενος. FELIZ PASCUA DE RESURRECCION A TODOS!!!

Διαβάστε περισσότερα

Unos cambios de la pronunciación

Unos cambios de la pronunciación Unos cambios de la pronunciación desde griego moderno al griego clásico (según Erasmo) por El profesor Don Potter Cambios de la pronunciación recomendados de parte del Maestro Don Potter para El Griego

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Πτυχιακή Εργασία Φοιτητής: ΜIΧΑΗΛ ΖΑΓΟΡΙΑΝΑΚΟΣ ΑΜ: 38133 Επιβλέπων Καθηγητής Καθηγητής Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Compra y Venta de divisas negociadas en el país por el Sistema Financiero privado

Compra y Venta de divisas negociadas en el país por el Sistema Financiero privado Compra y Venta de divisas negociadas en el país por el Sistema Financiero privado SUBGERENCIA DE PROGRAMACIÓN Y REGULACIÓN DIRECCIÓN NACIONAL DE SÍNTESIS MACROECONÓMICA www.bce.ec Nro. 30 Cuarto Trimestre

Διαβάστε περισσότερα

Panel lateral/de esquina de la Synergy. Synergy πλαϊνή σταθερή πλευρά τετράγωνης καμπίνας. Rohová/boční zástěna Synergy

Panel lateral/de esquina de la Synergy. Synergy πλαϊνή σταθερή πλευρά τετράγωνης καμπίνας. Rohová/boční zástěna Synergy Instrucciones de instalación Suministrar al usuario ADVERTENCIA! Este producto pesa más de 19 kg, puede necesitarse ayuda para levantarlo Lea con atención las instrucciones antes de empezar la instalación.

Διαβάστε περισσότερα

Puerta corredera de la Synergy Synergy Συρόμενη πόρτα Posuvné dveře Synergy Porta de correr da Synergy

Puerta corredera de la Synergy Synergy Συρόμενη πόρτα Posuvné dveře Synergy Porta de correr da Synergy Instrucciones de instalación Suministrar al usuario ADVERTENCIA! Este producto pesa más de 19 kg, puede necesitarse ayuda para levantarlo Lea con atención las instrucciones antes de empezar la instalación.

Διαβάστε περισσότερα

Métodos Estadísticos en la Ingeniería

Métodos Estadísticos en la Ingeniería Métodos Estadísticos e la Igeiería INTERVALOS DE CONFIANZA Itervalo de cofiaza para la media µ de ua distribució ormal co variaza coocida: X ± z α/ µ = X = X i N µ X... X m.a.s. de X Nµ Itervalo de cofiaza

Διαβάστε περισσότερα