FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

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1 5 FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Página PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora: a) Cuántos radianes corresponden a los 0 de una circunferencia? b) Cuántos grados mide radián? c) Cuántos grados mide un ángulo de radianes? d) Cuántos radianes equivalen a 70º? a) 0 b) 57 7',8" 0 70 c) 90 d) 0 Página 8. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 0 b) 7 c) 90 d) 7 e) 00 f ) 00 Expresa el resultado en función de y luego en forma decimal. Por ejemplo: 0 0 rad rad 0,5 rad 80 a) 0 rad 0,5 rad 0 b) 7 rad, rad 0 5 c) 90 rad,57 rad 0 d) 7, rad 0 0 e) 00 rad,9 rad f) 00 rad 5, rad 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

2 . Pasa a grados los siguientes ángulos: a) rad b) 0,8 rad 5 c) rad d) rad 5 e),5 rad 0 a) 5' 9," 0 b) 0,8 7 ' 9,8" 0 c) d) 50 0 e),5 00 ',8". Completa la siguiente tabla añadiendo las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo apartado: GRADOS RADIANES 5 7 La tabla completa está en el siguiente apartado (página siguiente) del libro de texto. Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera. Página. Demuestra la fórmula II. a partir de la fórmula: cos (α + β) cos α cos β sen α sen β cos (α β) cos (α + ( β)) cos α cos ( β) sen α sen ( β) cos α cos β sen α ( sen β) cos α cos β + sen α sen β. Demuestra la fórmula II. a partir de la fórmula: tg (α β) tg (α β) tg (α + ( β)) tg α tg β + tg α tg β tg α + tg β tg α tg β tg α + tg ( β) tg α tg ( β) sen ( α) sen α (*) Como tg ( α) tg α cos ( α) cos α (*) tg α + ( tg β) tg α ( tg β) Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

3 . Demuestra la fórmula II. a partir de las fórmulas: sen (α β) sen α cos β cos α sen β cos (α β) cos α cos β + sen α sen β sen (α β) sen α cos β cos α sen β (*) tg (α β) cos (α β) cos α cos β + sen α sen β sen α cos β cos α sen β cos α cos β cos α cos β cos α cos β sen α sen β + cos α cos β cos α cos β (*) Dividimos numerador y denominador por cos α cos β.. Si sen 0, y sen 7 0,, halla cos, tg, cos 7 y tg 7. Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 9 y de 5, utilizando las fórmulas (I) y (II). sen 0, cos sen 0,0 0,98 0, tg 0, 0,98 sen 7 0, tg α tg β + tg α tg β cos 7 sen 7 0, 0,8 0, tg 7 0,75 0, , luego: sen 9 sen ( + 7 ) sen cos 7 + cos sen 7 0, 0,8 + 0,98 0, 0,78 cos 9 cos ( + 7 ) cos cos 7 sen sen 7 0,98 0,8 0, 0, 0, tg + tg 7 0, + 0,75 tg 9 tg ( + 7 ), tg tg 7 0, 0,75 ( sen 9 Podría calcularse tg 9 cos 9 ). 5 7, luego: sen 5 sen (7 ) sen 7 cos cos 7 sen 0, 0,98 0,8 0, 0,8 cos 5 cos (7 ) cos 7 cos + sen 7 sen 0,8 0,98 + 0, 0, 0,90 tg 7 tg 0,75 0, tg 5 tg (7 ) 0,78 + tg 7 tg + 0,75 0, Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

4 5. Demuestra la siguiente igualdad: cos (a + b) + cos (a b) sen (a + b) + sen (a b) cos (a + b) + cos (a b) sen (a + b) + sen (a b) tg a cos a cos b sen a sen b + cos a cos b + sen a sen b sen a cos b + cos a sen b + sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a sen a cos b sen a tg a. Demuestra las tres fórmulas (III.), (III.) y (III.) haciendo α β en las fórmulas (I). sen α sen (α + α) sen α cos α + cos α sen α sen α cos α cos α cos (α + α) cos α cos α sen α sen α cos α sen α tg α + tg α tg α tg (α + α) tg α tg α tg α tg α 7. Halla las razones trigonométricas de 0 a partir de las de 0. sen 0 sen ( 0 ) sen 0 cos 0 cos 0 cos ( 0 ) cos 0 sen 0 ( ) ( ) tg 0 tg 0 tg ( 0 ) / / / tg 0 ( /) /9 / 8. Halla las razones trigonométricas de 90 a partir de las de 5. sen 90 sen ( 5 ) sen 5 cos 5 cos 90 cos ( 5 ) cos 5 sen 5 ( ) ( ) 0 tg 5 tg 90 tg ( 5 ) No existe. tg 5 sen α sen α cos α 9. Demuestra que. sen α + sen α + cos α sen α sen α sen α sen α cos α sen α ( cos α) sen α + sen α sen α + sen α cos α sen α ( + cos α) cos α + cos α Página 0. Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmulas IV., IV. y IV.. cos α cos ( ) α cos α sen α Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

5 Como por la igualdad fundamental: cos α + sen α cos α + sen α De aquí: a) Sumando ambas igualdades: + cos α cos α cos α + cos α α cos ± b) Restando las igualdades (-ª -ª): cos α sen α sen α cos α α sen ± Por último: cos α ± α sen α/ tg cos α/ + cos α ±. Sabiendo que cos 78 0,, calcula sen 78 y tg 78. Averigua las razones trigonométricas de 9 aplicando las fórmulas del ángulo mitad. cos 78 0, sen 78 cos 78 0, 0,98 0,98 tg 78,9 0, cos α + cos α 78 cos 78 0, sen 9 sen 0, 78 + cos , cos 9 cos 0,77 78 cos 78 0, tg 9 tg 0,8 + cos ,. Halla las razones trigonométricas de 0 a partir de cos 0 0,5. cos 0 0,5 0 0,5 sen 0 sen 0, ,5 cos 0 cos 0,8 0 0,5 tg 0 tg 0, ,5 + cos α cos α Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 5

6 . Halla las razones trigonométricas de 5 a partir de cos cos sen 5 sen cos 5 cos 90 0 tg 5 tg + 0. Demuestra que tg α sen α + sen α tg α. tg α sen α cos α + sen α tg α + sen α sen α cos α cos α cos α cos α + cos α sen α ( ) sen α cos α cos α sen α cos α tg α sen α sen α 5. Demuestra que tg α. sen α + sen α sen α sen α sen α + sen α Página 5 ( cos α) + sen α sen α ( + ) sen α sen α cos α sen α + sen α cos α sen α ( cos α) cos α tg sen α ( + cos α) + cos α. Para demostrar las fórmulas (V.) y (V.), da los siguientes pasos: Expresa en función de α y β: cos (α + β) cos (α β) Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones. Sustituye en las expresiones anteriores: α + β A α β B cos (α + β) cos α cos β sen α sen β cos (α β) cos α cos β + sen α sen β Sumando cos (α + β) + cos (α β) cos α cos β () Restando cos (α + β) cos (α β) sen α sen β () α Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

7 α + β A A + B A B Llamando α, β (al resolver el sistema) α β B Luego, sustituyendo en () y (), se obtiene: () cos A + cos B cos A + B A B cos () cos A cos B sen A + B A B sen 7. Transforma en producto y calcula: a) sen 75 sen 5 b) cos 75 + cos 5 c) cos 75 cos 5 a) sen 75 sen 5 cos sen cos 5 sen b) cos 75 + cos 5 cos cos cos 5 cos c) cos 75 cos 5 sen sen sen 5 cos 0 8. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fracción y simplifica el resultado: sen a + sen a cos a + cos a Página 7 sen a + sen a cos a + cos a a + a a a sen cos sen a tg a a + a a a cos a cos cos. Resuelve estas ecuaciones: a) cos x + cos x 0 b) sen x 0 c) tg x tg x 0 d) sen x + cos x ± + 8 ± / x a) cos x 0, x 00 x 80 Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial). Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 7

8 b) sen x 0 sen x sen x ± ± Si sen x x 5, x 5 Si sen x x 5 5, x 5 Todas las soluciones son válidas. c) tg x tg x 0 tg x (tg x ) 0 tg x 0 x 0, x 80 tg x x 5, x 5 Todas las soluciones son válidas. d) sen x + cos x (*) ( cos x) + cos x ( * ) Como sen x + cos x sen x cos x cos x + cos x cos x cos x + 0 ± 9 8 ± cos x / Entonces: Si cos x x 0 Si cos x x 0, x 0 00 Las tres soluciones son válidas.. Resuelve: a) cos x + cos x b) tg x + cos x 0 c) cos (x/) cos x d) sen x cos x sen x 0 a) cos x + cos x (cos x sen x) + cos x (cos x ( cos x)) + cos x ( cos x ) + cos x 8 cos x + cos x 8 cos x + cos x 5 0 ± ± 0/ 5/8 0,5 cos x Si cos x 0,5 x 5 9',", x 5 9'," Si cos x x 80 Al comprobar las soluciones, las tres son válidas. tg x b) tg x + cos x 0 + cos x 0 tg x tg x sen x/cos x + cos x 0 + cos x 0 tg x (sen x/cos x) Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 8

9 sen x cos x + cos x 0 sen x cos x + cos x (cos x sen x) 0 cos x sen x cos x (sen x + cos x sen x) 0 cos x (sen x + sen x sen x) cos x ( + sen x sen x) 0 cos x 0 + sen x sen / ± + 8 x 0 sen x Si cos x 0 x 90, x 70 Si sen x x 0, x 0 0 Si sen x x 5 90 x Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas. x + cos x c) cos cos x cos x + cos x cos x cos x + cos x + cos x + cos x + cos x cos x + cos x 0 cos x (cos x + ) 0 Si cos x 0 x 90, x 70 Si cos x x 80 Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son: x 90 y x 80 d) sen x cos x sen x 0 sen x (cos x sen x) 0 sen x (cos x + sen x sen x) 0 sen x ( sen x) 0 Si sen x 0 x 0, x 80 Si sen x sen x ± x 0, x 50, x 5 0, x 0 Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas.. Transforma en producto sen x sen x y resuelve después la ecuación sen x sen x 0. sen x sen x 0 cos x + x x x sen 0 cos x sen x 0 cos x 0 sen x 0 Si cos x 0 x 90 x 5 x 70 x 5 x x 5 x x 5 Si sen x 0 x 5 0, x 80 Comprobamos que las seis soluciones son válidas. Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 9

10 . Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen ( x) cos ( x) + cos a) sen ( x) sen x b) sen ( x) + sen x 0 cos ( x) cos sen x Entonces, la ecuación queda: sen x sen x sen x sen x 7 Si sen x x rad, x rad Al comprobar vemos: 7 x sen ( x) sen ( ) sen cos ( x) ( cos 7 ) cos cos Luego la solución es válida, pues: sen ( x) cos ( x) + cos + ( ) x sen ( x) sen ( ) ( ) sen 5 Luego también es válida esta solución, pues: sen ( x) cos ( x) + cos + ( ) 7 Por tanto, las dos soluciones son válidas: x rad y x rad b) sen ( x) cos ( x) cos ( ) cos ( ) cos ( ) sen cos x cos sen x cos x sen x Luego la ecuación queda: 7 cos x sen x + sen x 0 cos x + sen x 0 7 cos x + sen x 0 cos x sen x x rad, x rad Comprobamos que ninguna solución vale. Luego la ecuación no tiene solución. Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 0

11 5. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican: a) tg x b) sen x cos x c) sen x d) sen x tg x a) x 0 + k 0 o bien x 00 + k 0 Las dos soluciones quedan recogidas en: x 0 + k 80 b) x + k rad c) Si sen x x + k rad Si sen x x + k rad d) En ese caso debe ocurrir que: O bien sen x 0 x k rad O bien cos x x k rad + k rad x x + k rad x k rad Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Grados y radianes Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes: a) b) c) d) e) Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que radianes 80. a) 0 b) 0 c) 5 d) 0 e) 80 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes: a),5 b), c) 5 d), a),5 85 5' 7" b), 8 0' 7" 0 0 c) 5 8 8' " d),75 57 ' 8" Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

12 Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados. Exprésalos en función de : a) 0 b) 08 c) 5 d) 0 e) 70 f) Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por, 0 a) 80 9 a) 0 b) c) 5 d) e) 70 f) Halla, sin utilizar la calculadora: a) 5 cos cos 0 + cos cos + cos b) 5 tg + cos tg 0 + sen sen a) ( ) 0 + b) ( ) 0 5 Prueba que: a) sen + cos + cos b) sen + sen sen a) sen + cos + cos + + ( ) + b) sen + sen sen + + Halla el valor de A sin utilizar la calculadora: a) A sen + sen + sen b) A sen + sen sen c) A cos cos 0 + cos cos Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

13 a) A b) A + ( ) 0 0 c) A Expresa con un ángulo del primer cuadrante: a) sen 5 b) cos ( 00 ) c) tg ( 50 ) d) cos 90 e) tg 580 f ) sen ( 80 ) a) sen 5 sen 5 sen 5 b) cos ( 00 ) cos 00 cos 80 sen ( 50 ) sen 50 c) tg ( 50 ) tg 50 cos ( 50 ) cos 50 d) cos 90 (*) cos 0 cos ( ) cos 0 (*) e) tg 580 (**) sen ( ) sen 0 tg 0 tg ( ) tg 0 cos ( ) cos 0 (**) f) sen ( 80 ) sen ( ) sen 80 8 Busca, en cada caso, un ángulo comprendido entre 0º y 0, cuyas razones trigonométricas coincidan con el ángulo dado: a) 70 b) 95 c) 00 d) 50 e) 00 f) 80 a) b) c) d) e) f ) Halla, en radianes, el ángulo α tal que sen α 0,7 y cos α < 0. sen α 0,7 > 0 cos α < 0 α -º cuadrante α 0,8 rad Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

14 0 Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos: a) rad b),5 rad c) 5 rad Ten en cuenta que:,57;,;,7;,8 a) -º cuadrante b) er cuadrante c) -º cuadrante Fórmulas trigonométricas Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75 sabiendo que sen 75 sen (0 + 5 ) sen 0 cos 5 + cos 0 sen cos 75 cos (0 + 5 ) cos 0 cos 5 sen 0 sen 5 tg 0 + tg 5 / + ( + )/ tg 75 tg (0 + 5 ) tg 0 tg 5 / ( )/ + ( + ) NOTA: También podemos resolverlo como sigue: sen 75 + ( + ) + + tg 75 cos Sabiendo que sen x y que 5 < x <, calcula, sin hallar previamente el valor de x: x a) sen x b) tg c) sen ( ) x + d) cos ( ) x x e) cos f) tg ( ) x + Tienes que calcular cos x ( ) y tg x, y aplicar las fór- 5 5 mulas. Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

15 9 cos x sen x (Negativo, por ser del -º cuadrante). 5 5 sen x tg x cos x a) sen x sen x cos x ( ) x cos x ( /5) b) tg 9/5 + cos x + ( /5) /5 x Signo positivo, pues si x -º cuadrante, entonces er cuadrante. c) sen ( ) x sen x cos + cos x sen d) cos ( ) x ( ) 0 cos x cos + sen x sen 5 5 ( ) + 0 x (*) + cos x /5 e) cos /5 0 (*) x Signo positivo, porque er cuadrante. 0 0 tg x + tg / tg x tg / / + ( /) f) tg ( x + ) Halla las razones trigonométricas del ángulo de 5 de dos formas, considerando: 0 a) b) 5 a) sen 5 sen (5 0 ) sen 5 cos 0 cos 5 sen 0 0,5889 cos 5 cos (5 0 ) cos 5 cos 0 + sen 5 sen ,959 sen 5 + tg 5 cos ,799 / + / 7 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 5

16 0 cos 0 / b) sen 5 sen 0, cos 0 + / + cos 5 cos 0, ,5889 tg 5 0, ,95958 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos x sen x + 0 b) sen x sen x 0 Saca factor común e iguala a cero cada factor. c) cos x cos x 0 d) sen x cos x e) cos x sen x 0 f) cos x + sen x g) tg x tg x 0 a) cos x sen x + 0 cos x cos x cos x 0 cos x x 0 cos x 0 90 x 70 Al comprobarlas en la ecuación inicial, las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 + k x 70 + k 0 + k Lo que podemos expresar como: x 90 + k 80 + k b) sen x (sen x ) 0 sen x 0 x 0, x 80 sen x x 90 Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son válidas. Luego: Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

17 x k 0 k x 80 + k 0 + k x 90 + k 0 + k O, de otra forma: x k k 80 x + k 90 + k 0 (x así incluye las soluciones x y x anteriores) c) cos x ( cos x ) 0 cos x 0 x 90, x 70 cos x x 0, x 0 Las cuatro soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 x 70 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k + k + k NOTA: Obsérvese que las dos primeras soluciones podrían escribirse como una sola de la siguiente forma: x 90 + k 80 + k d) ( cos x) cos x cos x cos x 0 x cos x 0 90 x 70 Las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 + k x 70 + k 0 + k O, lo que es lo mismo: x 90 + k 80 + k Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 7

18 e) ( sen x) sen x 0 sen x 0 sen x sen x ± Si sen x x 5, x 5 Si sen x x 5, x 5 Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Luego: x 5 + k 0 + k x 5 + k 0 + k 5 x 5 + k 0 + k 7 x 5 + k 0 + k O, lo que es lo mismo: x 5 + k 90 + k f ) ( sen x) + sen x sen x + sen x sen x sen x 0 ± + 8 ± sen x Las tres soluciones son válidas, es decir: x 90 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k k + k + k x 90 / x 0, x 0 g) tg x ( tg x ) 0 tg x 0 x 0, x 80 tgx x x 0, x 0 Comprobamos las posibles soluciones en la ecuación inicial y vemos que las cuatro son válidas. Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 8

19 Entonces: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 0 + k 0 x 0 + k k + k Lo que podría expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatro anteriores: x k 80 k x 0 + k 80 + k Página 5 Halla el valor exacto de estas expresiones: 5 7 a) sen + cos sen 5 7 b) cos + tg tg c) cos + sen cos sen a) + ( ) ( ) + b) + + c) + + Sabiendo que sen x y que x es un ángulo del primer cuadrante, calcula: a) sen x x b) tg c) cos (0 x) sen x cos x, tg x > 0 x er cuadrante sen x/ > 0 x er cuadrante cos x/ > 0 tg x/ > 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 9

20 cos x sen x 5 9 / 5 tg x 5/ 5 5 a) sen x sen x cos x x cos x 5/5 5 5 b) tg + cos x + 5/ c) cos (0 x) cos 0 cos x + sen 0 sen x Si tg α / y 90 < α < 80, calcula: a) sen ( α) b) cos ( 80 ) c) tg (900 + α) 90 < α < 80 Además, tg α α er cuadrante tg 5 α + + cos 9 α cos α cos α sen α cos α a) sen ( α) ( ) sen cos α cos sen α α α α cos 80 cos + sen 80 sen cos + cos α + ( /5) c) tg (900 + α) tg ( α) tg (80 + α) tg 80 + tg α 0 + ( /) tg 80 tg α 0 ( /) b) cos ( ) 80 α sen α > 0 cos α < α 5 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 0

21 8 Sabemos que cos x y sen x < 0. Sin hallar el valor de x, calcula: a) sen x b) cos ( + x) c) cos x x d) tg e) sen ( x) f) cos ( ) x cos x / sen x < 0 x er cuadrante x -º cuadrante 9 a) sen x cos x 7 b) cos ( + x) cos cos x sen sen x cos x c) cos x cos x sen 9 7 x x cos x + / d) tg cos x / e) sen ( x) f) cos ( ) x sen cos x cos sen x cos x x x x cos cos + sen sen cos cos x / 8 ( ) Si cos 78 0, y sen 7 0,, calcula sen, cos y tg sen 78 cos 78 0, 0,98 cos 7 sen 7 0, 0,8 Ahora ya podemos calcular: sen sen (78 7 ) sen 78 cos 7 cos 78 sen 7 0,98 0,8 0, 0, 0, cos cos (78 7 ) cos 78 cos 7 + sen 78 sen 7 0, 0,8 + 0,98 0, 0,78 sen 0, tg 0,8877 cos 0,78 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

22 0 Si tg (α + β) y tg α, halla tg β. tg α + tg β + tg β tg (α + β) tg α tg β + tg β + 8 tg β + tg β 7 tg β tg β Luego: tg β tg β ( /7) /7 9 tg β /9 / PARA RESOLVER En una circunferencia de cm de radio, un arco mide 0 cm. Halla el ángulo central en grados y en radianes. Halla la longitud de la circunferencia y escribe la proporción entre las longitudes de los arcos y la medida de los ángulos. 0 α cm cm Como la circunferencia completa (α 00,5 cm) son rad, entonces: 00,5 0 0 α,5 rad α 00,5 0 α,5 7 7' " Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y tal que sus razones trigonométricas coincidan con las de. 0 < α < α sen (α + β) tg α + tg β Demuestra que. sen (α β) tg α tg β Aplica las fórmulas de sen (α + β) y sen (α β). Divide tanto el numerador como el denominador entre cos α cos β y simplifica. sen (α + β) sen (α β) sen α cos β + cos α sen β sen α cos β cos α sen β (*) sen α cos β cos α sen β + cos α cos β cos α cos β sen α cos β cos α sen β cos α cos β cos α cos β tg α + tg β tg α tg β (*) Dividimos numerador y denominador entre cos α cos β. Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

23 Prueba que tg x cos x sen x tg x. Sustituye cos x + cos x. x + cos x Como cos ± cos x + cos x Y sustituyendo en la expresión: tg x cos x sen x + cos x sen x sen x cos x sen x ( + cos x) sen x cos x (*) cos x sen x [ + cos x cos x] sen x tg x cos x cos x (*) Sacando factor común. 5 Demuestra que cos ( ) x + ( ) cos x + cos x. Desarrolla y sustituye las razones de y. cos ( ) ( ) x + cos x + [ cos x cos sen x sen ] [ cos x cos sen x sen ] [ (cos x) (sen x) ] [ (cos x) ( ) (sen x) ] cos x sen x + cos x + sen x cos x Demuestra que cos α cos (α β) + sen α sen (α β) cos β. Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor común. cos α cos (α β) + sen α sen (α β) cos α (cos α cos β + sen α sen β) + sen α (sen α cos β cos α sen β) cos α cos β + cos α sen α sen β + sen α cos β sen α cos α sen β cos α cos β + sen α cos β (*) cos β (cos α + sen α) cos β cos β (*) Extraemos factor común. sen α sen α 7 Prueba que tg α. sen α + sen α sen α sen α sen α sen α cos α sen α ( cos α) sen α + sen α sen α + sen α cos α sen α ( + cos α) cos α tg α + cos α Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

24 cos (5 + α) cos (5 α) 8 Simplifica: cos α Al desarrollar el numerador obtendrás una diferencia de cuadrados. cos (5 + α) cos (5 α) cos α (cos 5 cos α sen 5 sen α) (cos 5 cos α + sen 5 sen α) cos α sen α (cos 5 cos α sen 5 sen α) cos α sen α [( /) cos α ( /) sen α] / cos α / sen α cos α sen α cos α sen α cos α sen α cos α sen α cos (α β) 9 Demuestra: cos (α + β) + tg α tg β tg α tg β cos (α β) cos (α + β) cos α cos β + sen α sen β cos α cos β sen α sen β cos α cos β sen α sen β + cos α cos β cos α cos β cos α cos β sen α sen β cos α cos β cos α cos β (*) + tg α tg β tg α tg β (*) Dividimos numerador y denominador entre: cos α cos β sen α 0 Simplifica la expresión y calcula su valor para α 90. cos α sen α cos α sen α cos α sen α Por tanto, si α 90 sen α cos α 0 0 cos α sen α Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen ( + x) sen x 0 cos α sen α b) sen ( x) ( + cos x) c) sen x cos x 0 Desarrolla sen x y saca factor común. d) cos x sen x + 0 Desarrolla cos x y sustituye cos x sen x Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

25 a) sen cos x + cos sen x sen x 0 cos x + sen x sen x 0 cos x sen x 0 cos x sen x 0 5 cos x sen x x, x Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son válidas. Luego: x + k 5 + k 0 5 x + k 5 + k 0 Podemos agrupar las dos soluciones en: x + k 5 + k 80 b) sen cos x cos sen x + cos cox x + sen sen x cos x sen x + cos x + sen x cos x + cos x cos x x / x 5/ Comprobamos y vemos que: x sen ( ) ( + cos ) ( ) sen + cos Son válidas las dos soluciones. Luego: x + k 0 + k 0 5 x + k 00 + k 0 c) sen x cos x cos x 0 cos x (sen x cos x) 0 cos x 0 x 90, x 70 sen x cos x x 5, x 5 Comprobamos las soluciones. Todas son válidas: x sen ( ) + cos ( ) sen ( ) + cos ( ) x 90 + k 0 x 70 + k 0 + k + k Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 5

26 x 5 + k 0 + k 5 x 5 + k 0 + k También podríamos expresar como: x 90 + k 80 x 5 + k 80 + k + k d) cos x sen x sen x + 0 sen x sen x sen x + 0 sen x sen x + 0 sen x + sen x 0 ± 9 + ± 5 sen x / x 0, x 50 Imposible, pues sen x Comprobamos que las dos soluciones son válidas. Luego: x 0 + k 0 x 50 + k k + k Página Resuelve estas ecuaciones: a) sen x cos x + cos x 0 Al hacer sen x cos x, resulta una ecuación bicuadrada. Haz cos x z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes. b) sen x + sen x cos x cos x 0 Divide por cos x y obtendrás una ecuación con tg x. c) cos x + cos x 0 d) tg x + cos x e) sen x + cos x 0 a) ( cos x) cos x + cos x 0 cos x cos x + cos x 0 cos x cos x + 0 cos x cos x + 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

27 Sea cos x z cos x z Así: z ± 9 8 z + 0 z ± z cos x ± z cos x ± x 0 x 80 x 5, x 5 x 5 5, x 5 Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son válidas. Por tanto: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 5 + k 0 x 5 + k 0 x k 0 x 5 + k k + k + k + k O, agrupando las soluciones: x k 80 k x 5 + k 90 + k b) Dividiendo por cos x: sen x cos x + sen x cos x cos x 0 cos x cos x tg x + tg x 0 ± + 8 ± 7 tg x 8 8 x 5'," x 5'," x 5 x 5 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 7

28 Las cuatro soluciones son válidas: x 5'," + k 0 x 5'," + k 0 x 5 + k x 5 + k 0 5 O, lo que es lo mismo: x 5'," + k 80 x 5 + k 80 + k + k + k + k + k + k + cos x c) + cos x 0 + cos x + cos x 0 cos x 0 cos x 0 x 90, x 70 Las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 + k x 70 + k 0 + k Agrupando las soluciones: x 90 + k 80 + k cos x d) + cos x cos x + + cos x cos x + cos x + cos x cos x + cos x cos x + cos x 0 ± + 8 ± x 0 cos x Imposible!, pues cos x Luego: x k 0 k cos x e) + cos x sen x 0 cos x + cos x ( cos x) 0 cos x + cos x + cos x 0 cos x cos x 0 cos x ( cos x ) cos x 0 x 90, x 70 cos x / x 0, x 00 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 8

29 Se comprueba que son válidas todas. Por tanto: x 90 + k 0 x 70 + k 0 x 0 + k 0 x 00 + k 0 + k + k + k + k Agrupando las soluciones quedaría: x 90 + k 80 x 0 + k 0 x 00 + k 0 + k + k + k Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos x + sen x b) tg x tg x 5 5 c) cos x cos x + cos x 0 d) sen x tg x x e) sen + cos x 0 f) sen x cos x sen x g) tg ( x) + tg x a) cos x sen x + sen x sen x sen x + sen x sen x sen x + 0 ± 9 8 sen x ± x 90 / x 0, x 50 Las tres soluciones son válidas: x 90 + k 0 x 0 + k 0 x 50 + k k + k + k Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 9

30 b) tg x tg x tg x tg x tg x tg x tg x ± x 0, x 0 x 50, x 0 Las cuatro soluciones son válidas: x 0 + k 0 x 0 + k 0 x 50 + k 0 x 0 + k k + k + k + k Agrupando: x 0 + k 80 x 50 + k k + k c) cos x (cos x sen x) + cos x 0 cos x (cos x + cos x) + cos x 0 cos x cos x + cos x 0 cos x ( cos x + cos x ) 0 cos x 0 x 90, x 70 ± + 8 ± cos x ±, Imposible!, pues cos x 0, x 8 ' 5,", x 9 8' 8,9" Las soluciones son todas válidas: x 90 + k 0 x 70 + k 0 + k + k x 8 ' 5," + k 0 0,8 + k x 9 8' 8,9" + k 0, + k Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 0

31 Agrupadas, serían: x 90 + k 80 + k x 8 ' 5," + k 0 0,8 + k x 9 8' 8,9" + k 0, + k tg x d) sen x sen x sen x tg x tg x tg x sen sen x sen x x sen x cos x cos x sen x cos x sen x sen x sen x cos x sen x (cos x sen x cos x) 0 sen x (cos x + cos x cos x) 0 sen x 0 x 0, x 80 cos ± + 8 x cos x 0 cos x x 0 x / x 0, x 5 0 Las cuatro soluciones son válidas. Luego: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 0 + k 0 x k 0 + k + k Que, agrupando soluciones, quedaría: x k 80 k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k cos x cos x e) + cos x 0 ( cos x) cos x ( + cos x cos x) cos x cos x 0 ± + 8 ± cos x x 0 / x 0, x 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

32 Al comprobar vemos que las tres soluciones son válidas: x k 0 k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k f) sen x cos x cos x sen x sen cos x sen x sen x ( sen x) sen x sen x sen x sen x sen x 0 x 0, x 80 sen x sen x ± x 0, x 50 x 5 0, x 0 Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro: x k 80 k x 0 + k 90 + k tg (/) + tg x + tg x g) + tg x + tg x tg (/) tg x tg x + tg x + tg x tg x tg x tg x tg x 0 tg x (tg x ) 0 tg x 0 x 0, x 80 tg x x 7 ' 5,", x 5 ' 5," Las cuatro soluciones son válidas: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 7 ' 5," + k k x 5 ' 5," + k k O, lo que es lo mismo: x k 80 k x 7 ' 5," + k k Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

33 Resuelve las siguientes ecuaciones: sen 5x + sen x a) sen x sen x cos x b) cos x + cos x sen x + sen x c) d) sen x cos x sen x cos x cos x cos x Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos, en productos. x + x x x a) cos sen cos x cos x sen x cos x sen x sen x x 0, x 50 Comprobando, vemos que las dos soluciones son válidas. Luego: x 0 + k 0 x 50 + k k + k sen x cos x sen x sen ( x) b) cos x cos x cos x cos x sen x cos x sen x sen x cos x x 0 x 5 + k 0 + k 5 x 50 x 75 + k 0 + k x 90 x 95 + k 0 + k x 50 x 55 + k k Al comprobar, vemos que todas las soluciones son válidas. c) sen x cos x cos x tg x sen x sen x sen x tg x Ambas soluciones son válidas. Luego: x 50 + k 0 x 0 + k k + k x 50 x 0 d) sen x sen x cos x cos x cos x sen x sen x sen x (dividimos entre sen x) cos x sen x sen x cos x tg x Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

34 x 5 x 57,5 + k 0 x 5 x 7,5 + k 0 x 75 x 7,5 + k 0 x 95 x 7,5 + k 0 Podemos comprobar que las cuatro soluciones son válidas. Agrupándolas: x 7,5 + k 90 5 a) Demuestra que sen x sen x cos x sen x. b) Resuelve la ecuación sen x sen x 0. a) Haz sen x sen (x + x) y desarrolla. b) Sustituye sen x por el resultado anterior. a) sen x sen (x + x) sen x cos x + cos x sen x sen x cos x cos x + (cos x sen x) sen x sen x cos x + sen x cos x sen x sen x cos x sen x b) sen x sen x 0 por el resultado del apartado anterior: sen x cos x sen x sen x 0 sen x ( sen x) sen x sen x 0 sen x sen x sen x sen x 0 sen x sen x 0 sen x ( sen x ) 0 sen x 0 x 0, x 50 sen x ±/ x 0, x 50, x 5 0, x 0 Todas las soluciones son válidas y se pueden expresar como: x k 80 k x 0 + k 80 (/) + k x 50 + k 80 (5/) + k Resuelve: a) sen x sen x cos x 0 b) cos x cos ( x) 0 c) cos x + sen x cos x 0 b) Expresa cos x en función de sen x y cos x haciendo cos x cos (x + x). a) Por el ejercicio 5, a): sen x sen x cos x sen x. Luego: sen x cos x sen x sen x (cos x sen x) 0 sen x cos x sen x sen x cos x sen x 0 sen x sen x cos x 0 sen x (sen x cos x) 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

35 sen x 0 x 0, x 80 sen x cos x cos x 0 x 90 x 5 x 70 x 5 x 50 x 5 5 x 0 x 5 Las soluciones (todas válidas) se pueden expresar como: x k 80 k x 5 + k 90 + k donde x engloba las dos primeras soluciones obtenidas y x las cuatro restantes. b) cos ( x) cos x cos x cos (x + x) cos x cos x sen x sen x (cos x sen x) cos x sen x cos x sen x cos x (cos x sen x sen x) cos x (cos x sen x) cos x ( sen x) Así, sustituyendo en la ecuación: cos x ( sen x) ( cos x) 0 cos x ( sen x) + cos x 0 cos x ( sen x + ) 0 cos x ( cos x) 0 cos x 0 x 90, x 70 sen x sen x ± x 0, x 0, x 5 0, x 00 Todas las soluciones son válidas y las podemos agrupar, expresándolas como: x 90 + k 80 x 0 + k 80 x 0 + k 80 + k + k + k c) Utilizando los resultados obtenidos en el ejercicio b), para cos x y sustituyendo en la ecuación, se obtiene: cos x ( sen x) + sen x cos x cos x 0 cos x ( sen x + sen x ) 0 cos x ( sen x + sen x) 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 5

36 cos x 0 x 90, x 70 sen x 0 sen x sen x sen x ( sen x ) 0 Las soluciones quedan, pues, como: x k k 90 x + k 0 + k 0 5 x + k 50 + k 0 donde x engloba las cuatro primeras soluciones. 7 Demuestra las siguientes igualdades: a) cos (α + β) cos (α β) cos α sen β b) sen ( ) α + β ( ) sen α β c) cos ( ) ( ) α β cos α + β sen α sen β sen α sen β sen x a) cos (α + β) cos (α β) (cos α cos β sen α sen β) (cos α cos β + sen α sen β) cos α cos β sen α sen β cos α ( sen β) ( cos α) sen β cos α cos α sen β sen β + cos α sen β cos α sen β b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego podemos factorizarlo como una suma por una diferencia: [ ( ) sen α + β α β + sen ( )] [ ( ) sen α + β α β sen ( )] (*) α β α [ sen cos ] [ cos sen ] cos α + cos β + cos α cos β ( cos α) ( + cos β) ( + cos α) ( cos β) ( cos α) ( cos β) sen α sen β sen α sen β β x 0 x 80 x 5 0 x 50 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

37 (*) Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que: α + β α β α + β α β + α y β c) Procedemos de manera análoga al apartado anterior, pero ahora: α β α + β α β α + β + α y β cos ( ) ( ) α β cos α + β [ cos ( ) + cos ( )] [ cos ( ) cos ( )] [ cos cos ] [ sen sen ] [ cos cos ] [ sen sen ] + cos α + cos β cos α cos β ( cos α) ( cos β) sen α sen β sen α sen β NOTA: También podríamos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior como sigue: cos ( ) cos ( ) sen ( ) + sen ( ) sen ( ) sen ( ) (*) (*) Por el apartado b). sen α sen β 8 Expresa sen α y cos α en función de sen α y cos α. sen α sen ( α) sen α cos α sen α cos α (cos α sen α) (sen α cos α sen α cos α) cos α cos ( α) cos α sen α (cos α sen α) ( sen α cos α) cos α + sen α cos α sen α sen α cos α cos α + sen α sen α cos α 9 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: x + y 0º sen a) b) x + cos y sen x sen y / cos x sen y Haz cos y sen y y cos x sen x. c) α β α β α β α + β sen x + cos y x + y 90 α + β α α + β α β β α β α α β α + β β α α + β β Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 7

38 a) De la segunda ecuación: x + y x y cos sen Como: x + y 0 cos 0 sen x y x y x y sen sen x y 0 x y 0 Así: x + y 0 x y 0 x 80 x 90 y 0 Luego la solución es: (90, 0 ) b) Como cos y sen y cos x sen x El sistema queda: sen x + sen y sen x sen y sen x sen y 0 sen x sen y 0 (Sumando ambas igualdades) sen y 0 sen y 0 y 0 Sustituyendo en la segunda ecuación (por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene: cos x 0 cos x Luego la solución es: (0, 0 ) cos x x 0 cos x x 80 -º cuadrante c) x + y 90 complementarios sen x cos y Sustituyendo en la primera ecuación del sistema: cos y + cos y cos y cos y y 0 x 90 y Luego la solución es: (0, 0 ) 0 Demuestra que para cualquier ángulo α se verifica: sen α + cos α cos ( α) Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 8

39 Desarrollamos la segunda parte de la igualdad: cos ( α) ( cos cos α + sen sen α ) ( cos α + sen α) (cos α + sen α) (cos α + sen α) cos α + sen α cos x + sen x cos x sen x Demuestra que tg x. cos x sen x cos x + sen x cos x + sen x cos x sen x (cos x + sen x) (cos x sen x) cos x sen x cos x + sen x (cos x sen x) (cos x + sen x) cos x + sen x + sen x cos x cos x sen x + sen x cos x cos x sen x sen x cos x (*) (sen x cos x/cos x) (sen x/cos x) cos x sen x cos x sen x/cos x (sen x/cos x) tg x tg x tg x tg x tg x (*) Dividimos numerador y denominador entre cos x. Simplifica la expresión tgxcos x sen x. x tg x cos sen x ( ) sen x sen x ( + cos x) cos x sen x sen x ( ) + cos x cos x cos x sen x cos x + cos x + cos x cos x cos x sen x ( ) sen x ( ) tg x Página 5 CUESTIONES TEÓRICAS Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos que miden y radianes? son suplementarios, luego: 5 5 sen sen ( ) sen Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 9

40 cos cos ; tg tg Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo α: a) sen ( α); cos ( α); tg ( α) b) sen ( + α); cos ( + α); tg ( + α) c) sen ( α); cos ( α); tg ( α) sen ( α) sen α a) tg ( α) tg α cos ( α) cos α sen ( + α) sen α b) tg ( + α) tg α cos ( + α) cos α sen ( α) sen α c) tg ( α) tg α cos ( α) cos α 5 Expresa A(x) en función de sen x y cos x: a) A(x) sen ( x) sen ( x) b) A(x) cos ( x) + cos ( + x) c) A(x) sen ( + x) + cos ( x) a) A (x) sen ( x) sen ( x) sen x sen x sen x b) A (x) cos ( x) + cos ( + x) cos x + ( cos x) 0 c) A (x) sen ( + x) + cos ( x) sen x + cos x Demuestra que si α, β y γ son los tres ángulos de un triángulo, se verifica: a) sen (α + β) sen γ 0 b) cos (α + β) + cos γ 0 c) tg (α + β) + tg γ 0 Ten en cuenta que α + β 80 γ y las relaciones que existen entre las razones trigonométricas de los ángulos suplementarios. Como en un triángulo α + β + γ 80 α + β 80 γ, entonces: a) sen (α + β) sen (80 γ) sen γ sen (α + β) sen γ 0 b) cos (α + β) cos (80 γ) cos γ cos (α + β) + cos γ 0 c) tg (α + β) tg (80 γ) tg γ tg (α + β) + tg γ 0 7 Demuestra que si α + β + γ 80, se verifica: tg α + tg β + tg γ tg α tg β tg γ Haz α + β 80 γ y desarrolla tg (α + β) tg (80º γ). 5 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 0

41 Si α + β + γ 80 α + β 80 γ tg (α + β) tg (80 γ) tg γ tg γ tg (α + β) Así, sustituyendo: tg α + tg β + tg γ (*) tg α + tg β tg (α + β) tg α + tg β tg α + tg β tg α tg β (tg α tg α tg β) + (tg β tg α tg β) (tg α + tg β) tg α tg β tg α tg β tg α tg β (sacando factor común) tg α tg β tg α tg β (tg α + tg β) tg α tg β tg (α + β) tg α tg β tg α tg β [ tg (α + β)] (*) tg α tg β tg γ (*) tg γ tg (α + β) 8 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y cos x, dando a x valores comprendidos entre 0 y radianes y represéntala gráficamente. x y cos x Representa las funciones: a) y cos ( ) x + b) y sen ( ) x + c) y cos ( x) a) b) c) Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

42 PARA PROFUNDIZAR 50 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: sen x + sen y a) cos x + cos y sen x + cos y / b) cos x sen y / cos (x + y) / c) sen (x y) / a) Despejando en la segunda ecuación: cos x cos y (*) Como sen x cos x entonces: sen x ( cos y) cos y + cos y cos y cos y Y, sustituyendo en la primera ecuación, se tiene: sen x + sen y cos y cos y + sen y sen y cos y cos y Elevamos al cuadrado: sen y + ( cos y cos y) ( cos y cos y) sen y + cos y cos y ( cos y cos y) cos y ( cos y cos y) ( + cos y) ( cos y cos y) Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado: ( + cos y) ( cos y cos y) + cos y + cos y cos y cos y cos ± y cos y + 0 cos y y 0 8 Sustituyendo en (*), se tiene: cos x x 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

43 b) sen x + cos y cos x sen y Sumando: sen x + cos x + cos y sen y + cos y sen y cos y cos y cos y y 5 (Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante). Sustituyendo en la primera ecuación: sen x + cos y sen x + sen x sen x sen x ± Nos quedamos con la solución positiva, por tratarse del primer cuadrante. Así: sen x x 0 Luego la solución es: (0, 5 ) c) Como x, y er cuadrante y además cos (x + y) > 0 sen (x y) > 0 Teniendo esto en cuenta: cos (x + y) x + y 0 sen (x y) x y 0 (Sumamos ambas ecuaciones) x 90 x 5 Sustituyendo en la primera ecuación y despejando: y 0 x La solución es, por tanto: (5, 5 ) 5 Demuestra que: a) sen x b) cos x c) tg x tg x/ + tg x/ tg x/ + tg x/ tg x/ tg x/ x + y er cuadrante x y er cuadrante Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

44 a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad: tg (x/) + tg (x/) cos x cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x cos x + cos x cos x ( + cos x) + cos x + cos x ( + cos x) cos x ( + cos x) ( cos x) + cos x cos x sen x sen x cos x + cos x + cos x tg + cos x cos x b) (x/) + cos x cos x + tg (x/) cos x + + cos x + cos x + cos x + cos x cos x cos x tg (x/) + cos x + cos x c) tg (x/) + cos x + cos x cos x + cos x + cos x cos x + cos x + cos x cos x cos x cos x + cos x + cos x ( + cos x) cos x cos x + cos x ( + cos x) ( cos x) cos x cos x ( cos x sen x sen x tg x cos x cos x PARA PENSAR UN POCO MÁS 5 Demuestra que, en la siguiente figura, α β + γ. γ β α Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

45 a) Puedes realizar la demostración recurriendo a la fórmula de la tangente de una suma. b) Hay una posible demostración, más sencilla y elegante que la anterior, reconociendo los ángulos α, β y γ en la siguiente figura: tg β + tg γ / + / 5/ 5/ a) tg (β + γ) tg β tg γ / / / 5/ tg α Así, vemos que tg (β + γ) tg α Como α, β, γ er cuadrante β + γ α b) α BOD. Basta observar que se trata de uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo que se forma con la diagonal de un cuadrado. A B C O D β COD, por ser el ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden cuatro y dos unidades; igual (por semejanza) al formado por catetos de dos y una unidad. γ AOC, pues, tomando las diagonales de los cuadrados pequeños por unidades, se trata del ángulo menor del triángulo rectángulo de catetos y unidades (OA y AC, respectivamente). Así, podemos observar fácilmente en el dibujo que α β + γ, pues: BOD AOD AOC + COD 5 Obtén la fórmula siguiente: sen α + cos α cos (α 5 ) Expresa el primer miembro como suma de senos y aplica la fórmula correspondiente. cos α sen (90 α) Sustituyendo en el primer miembro de la igualdad y desarrollando (transformaremos en producto): Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 5

46 sen α + cos α sen α + sen (90 α) α + (90 α) α (90 α) sen cos 90 α 90 sen cos sen 5 cos (α 5 ) (cos α 5 ) cos (α 5 ) Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

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