FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
|
|
- Ρεία Παπαϊωάννου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 5 FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Página PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora: a) Cuántos radianes corresponden a los 0 de una circunferencia? b) Cuántos grados mide radián? c) Cuántos grados mide un ángulo de radianes? d) Cuántos radianes equivalen a 70º? a) 0 b) 57 7',8" 0 70 c) 90 d) 0 Página 8. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 0 b) 7 c) 90 d) 7 e) 00 f ) 00 Expresa el resultado en función de y luego en forma decimal. Por ejemplo: 0 0 rad rad 0,5 rad 80 a) 0 rad 0,5 rad 0 b) 7 rad, rad 0 5 c) 90 rad,57 rad 0 d) 7, rad 0 0 e) 00 rad,9 rad f) 00 rad 5, rad 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
2 . Pasa a grados los siguientes ángulos: a) rad b) 0,8 rad 5 c) rad d) rad 5 e),5 rad 0 a) 5' 9," 0 b) 0,8 7 ' 9,8" 0 c) d) 50 0 e),5 00 ',8". Completa la siguiente tabla añadiendo las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximo apartado: GRADOS RADIANES 5 7 La tabla completa está en el siguiente apartado (página siguiente) del libro de texto. Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera. Página. Demuestra la fórmula II. a partir de la fórmula: cos (α + β) cos α cos β sen α sen β cos (α β) cos (α + ( β)) cos α cos ( β) sen α sen ( β) cos α cos β sen α ( sen β) cos α cos β + sen α sen β. Demuestra la fórmula II. a partir de la fórmula: tg (α β) tg (α β) tg (α + ( β)) tg α tg β + tg α tg β tg α + tg β tg α tg β tg α + tg ( β) tg α tg ( β) sen ( α) sen α (*) Como tg ( α) tg α cos ( α) cos α (*) tg α + ( tg β) tg α ( tg β) Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
3 . Demuestra la fórmula II. a partir de las fórmulas: sen (α β) sen α cos β cos α sen β cos (α β) cos α cos β + sen α sen β sen (α β) sen α cos β cos α sen β (*) tg (α β) cos (α β) cos α cos β + sen α sen β sen α cos β cos α sen β cos α cos β cos α cos β cos α cos β sen α sen β + cos α cos β cos α cos β (*) Dividimos numerador y denominador por cos α cos β.. Si sen 0, y sen 7 0,, halla cos, tg, cos 7 y tg 7. Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 9 y de 5, utilizando las fórmulas (I) y (II). sen 0, cos sen 0,0 0,98 0, tg 0, 0,98 sen 7 0, tg α tg β + tg α tg β cos 7 sen 7 0, 0,8 0, tg 7 0,75 0, , luego: sen 9 sen ( + 7 ) sen cos 7 + cos sen 7 0, 0,8 + 0,98 0, 0,78 cos 9 cos ( + 7 ) cos cos 7 sen sen 7 0,98 0,8 0, 0, 0, tg + tg 7 0, + 0,75 tg 9 tg ( + 7 ), tg tg 7 0, 0,75 ( sen 9 Podría calcularse tg 9 cos 9 ). 5 7, luego: sen 5 sen (7 ) sen 7 cos cos 7 sen 0, 0,98 0,8 0, 0,8 cos 5 cos (7 ) cos 7 cos + sen 7 sen 0,8 0,98 + 0, 0, 0,90 tg 7 tg 0,75 0, tg 5 tg (7 ) 0,78 + tg 7 tg + 0,75 0, Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
4 5. Demuestra la siguiente igualdad: cos (a + b) + cos (a b) sen (a + b) + sen (a b) cos (a + b) + cos (a b) sen (a + b) + sen (a b) tg a cos a cos b sen a sen b + cos a cos b + sen a sen b sen a cos b + cos a sen b + sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a sen a cos b sen a tg a. Demuestra las tres fórmulas (III.), (III.) y (III.) haciendo α β en las fórmulas (I). sen α sen (α + α) sen α cos α + cos α sen α sen α cos α cos α cos (α + α) cos α cos α sen α sen α cos α sen α tg α + tg α tg α tg (α + α) tg α tg α tg α tg α 7. Halla las razones trigonométricas de 0 a partir de las de 0. sen 0 sen ( 0 ) sen 0 cos 0 cos 0 cos ( 0 ) cos 0 sen 0 ( ) ( ) tg 0 tg 0 tg ( 0 ) / / / tg 0 ( /) /9 / 8. Halla las razones trigonométricas de 90 a partir de las de 5. sen 90 sen ( 5 ) sen 5 cos 5 cos 90 cos ( 5 ) cos 5 sen 5 ( ) ( ) 0 tg 5 tg 90 tg ( 5 ) No existe. tg 5 sen α sen α cos α 9. Demuestra que. sen α + sen α + cos α sen α sen α sen α sen α cos α sen α ( cos α) sen α + sen α sen α + sen α cos α sen α ( + cos α) cos α + cos α Página 0. Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmulas IV., IV. y IV.. cos α cos ( ) α cos α sen α Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
5 Como por la igualdad fundamental: cos α + sen α cos α + sen α De aquí: a) Sumando ambas igualdades: + cos α cos α cos α + cos α α cos ± b) Restando las igualdades (-ª -ª): cos α sen α sen α cos α α sen ± Por último: cos α ± α sen α/ tg cos α/ + cos α ±. Sabiendo que cos 78 0,, calcula sen 78 y tg 78. Averigua las razones trigonométricas de 9 aplicando las fórmulas del ángulo mitad. cos 78 0, sen 78 cos 78 0, 0,98 0,98 tg 78,9 0, cos α + cos α 78 cos 78 0, sen 9 sen 0, 78 + cos , cos 9 cos 0,77 78 cos 78 0, tg 9 tg 0,8 + cos ,. Halla las razones trigonométricas de 0 a partir de cos 0 0,5. cos 0 0,5 0 0,5 sen 0 sen 0, ,5 cos 0 cos 0,8 0 0,5 tg 0 tg 0, ,5 + cos α cos α Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 5
6 . Halla las razones trigonométricas de 5 a partir de cos cos sen 5 sen cos 5 cos 90 0 tg 5 tg + 0. Demuestra que tg α sen α + sen α tg α. tg α sen α cos α + sen α tg α + sen α sen α cos α cos α cos α cos α + cos α sen α ( ) sen α cos α cos α sen α cos α tg α sen α sen α 5. Demuestra que tg α. sen α + sen α sen α sen α sen α + sen α Página 5 ( cos α) + sen α sen α ( + ) sen α sen α cos α sen α + sen α cos α sen α ( cos α) cos α tg sen α ( + cos α) + cos α. Para demostrar las fórmulas (V.) y (V.), da los siguientes pasos: Expresa en función de α y β: cos (α + β) cos (α β) Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones. Sustituye en las expresiones anteriores: α + β A α β B cos (α + β) cos α cos β sen α sen β cos (α β) cos α cos β + sen α sen β Sumando cos (α + β) + cos (α β) cos α cos β () Restando cos (α + β) cos (α β) sen α sen β () α Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
7 α + β A A + B A B Llamando α, β (al resolver el sistema) α β B Luego, sustituyendo en () y (), se obtiene: () cos A + cos B cos A + B A B cos () cos A cos B sen A + B A B sen 7. Transforma en producto y calcula: a) sen 75 sen 5 b) cos 75 + cos 5 c) cos 75 cos 5 a) sen 75 sen 5 cos sen cos 5 sen b) cos 75 + cos 5 cos cos cos 5 cos c) cos 75 cos 5 sen sen sen 5 cos 0 8. Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fracción y simplifica el resultado: sen a + sen a cos a + cos a Página 7 sen a + sen a cos a + cos a a + a a a sen cos sen a tg a a + a a a cos a cos cos. Resuelve estas ecuaciones: a) cos x + cos x 0 b) sen x 0 c) tg x tg x 0 d) sen x + cos x ± + 8 ± / x a) cos x 0, x 00 x 80 Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial). Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 7
8 b) sen x 0 sen x sen x ± ± Si sen x x 5, x 5 Si sen x x 5 5, x 5 Todas las soluciones son válidas. c) tg x tg x 0 tg x (tg x ) 0 tg x 0 x 0, x 80 tg x x 5, x 5 Todas las soluciones son válidas. d) sen x + cos x (*) ( cos x) + cos x ( * ) Como sen x + cos x sen x cos x cos x + cos x cos x cos x + 0 ± 9 8 ± cos x / Entonces: Si cos x x 0 Si cos x x 0, x 0 00 Las tres soluciones son válidas.. Resuelve: a) cos x + cos x b) tg x + cos x 0 c) cos (x/) cos x d) sen x cos x sen x 0 a) cos x + cos x (cos x sen x) + cos x (cos x ( cos x)) + cos x ( cos x ) + cos x 8 cos x + cos x 8 cos x + cos x 5 0 ± ± 0/ 5/8 0,5 cos x Si cos x 0,5 x 5 9',", x 5 9'," Si cos x x 80 Al comprobar las soluciones, las tres son válidas. tg x b) tg x + cos x 0 + cos x 0 tg x tg x sen x/cos x + cos x 0 + cos x 0 tg x (sen x/cos x) Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 8
9 sen x cos x + cos x 0 sen x cos x + cos x (cos x sen x) 0 cos x sen x cos x (sen x + cos x sen x) 0 cos x (sen x + sen x sen x) cos x ( + sen x sen x) 0 cos x 0 + sen x sen / ± + 8 x 0 sen x Si cos x 0 x 90, x 70 Si sen x x 0, x 0 0 Si sen x x 5 90 x Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas. x + cos x c) cos cos x cos x + cos x cos x cos x + cos x + cos x + cos x + cos x cos x + cos x 0 cos x (cos x + ) 0 Si cos x 0 x 90, x 70 Si cos x x 80 Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son: x 90 y x 80 d) sen x cos x sen x 0 sen x (cos x sen x) 0 sen x (cos x + sen x sen x) 0 sen x ( sen x) 0 Si sen x 0 x 0, x 80 Si sen x sen x ± x 0, x 50, x 5 0, x 0 Comprobamos las soluciones y observamos que son válidas todas ellas.. Transforma en producto sen x sen x y resuelve después la ecuación sen x sen x 0. sen x sen x 0 cos x + x x x sen 0 cos x sen x 0 cos x 0 sen x 0 Si cos x 0 x 90 x 5 x 70 x 5 x x 5 x x 5 Si sen x 0 x 5 0, x 80 Comprobamos que las seis soluciones son válidas. Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 9
10 . Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen ( x) cos ( x) + cos a) sen ( x) sen x b) sen ( x) + sen x 0 cos ( x) cos sen x Entonces, la ecuación queda: sen x sen x sen x sen x 7 Si sen x x rad, x rad Al comprobar vemos: 7 x sen ( x) sen ( ) sen cos ( x) ( cos 7 ) cos cos Luego la solución es válida, pues: sen ( x) cos ( x) + cos + ( ) x sen ( x) sen ( ) ( ) sen 5 Luego también es válida esta solución, pues: sen ( x) cos ( x) + cos + ( ) 7 Por tanto, las dos soluciones son válidas: x rad y x rad b) sen ( x) cos ( x) cos ( ) cos ( ) cos ( ) sen cos x cos sen x cos x sen x Luego la ecuación queda: 7 cos x sen x + sen x 0 cos x + sen x 0 7 cos x + sen x 0 cos x sen x x rad, x rad Comprobamos que ninguna solución vale. Luego la ecuación no tiene solución. Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 0
11 5. Escribe, en radianes, la expresión general de todos los ángulos que verifican: a) tg x b) sen x cos x c) sen x d) sen x tg x a) x 0 + k 0 o bien x 00 + k 0 Las dos soluciones quedan recogidas en: x 0 + k 80 b) x + k rad c) Si sen x x + k rad Si sen x x + k rad d) En ese caso debe ocurrir que: O bien sen x 0 x k rad O bien cos x x k rad + k rad x x + k rad x k rad Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Grados y radianes Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes: a) b) c) d) e) Hazlo mentalmente teniendo en cuenta que radianes 80. a) 0 b) 0 c) 5 d) 0 e) 80 Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos dados en radianes: a),5 b), c) 5 d), a),5 85 5' 7" b), 8 0' 7" 0 0 c) 5 8 8' " d),75 57 ' 8" Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
12 Pasa a radianes los siguientes ángulos dados en grados. Exprésalos en función de : a) 0 b) 08 c) 5 d) 0 e) 70 f) Simplifica la expresión que obtengas sin multiplicar por, 0 a) 80 9 a) 0 b) c) 5 d) e) 70 f) Halla, sin utilizar la calculadora: a) 5 cos cos 0 + cos cos + cos b) 5 tg + cos tg 0 + sen sen a) ( ) 0 + b) ( ) 0 5 Prueba que: a) sen + cos + cos b) sen + sen sen a) sen + cos + cos + + ( ) + b) sen + sen sen + + Halla el valor de A sin utilizar la calculadora: a) A sen + sen + sen b) A sen + sen sen c) A cos cos 0 + cos cos Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
13 a) A b) A + ( ) 0 0 c) A Expresa con un ángulo del primer cuadrante: a) sen 5 b) cos ( 00 ) c) tg ( 50 ) d) cos 90 e) tg 580 f ) sen ( 80 ) a) sen 5 sen 5 sen 5 b) cos ( 00 ) cos 00 cos 80 sen ( 50 ) sen 50 c) tg ( 50 ) tg 50 cos ( 50 ) cos 50 d) cos 90 (*) cos 0 cos ( ) cos 0 (*) e) tg 580 (**) sen ( ) sen 0 tg 0 tg ( ) tg 0 cos ( ) cos 0 (**) f) sen ( 80 ) sen ( ) sen 80 8 Busca, en cada caso, un ángulo comprendido entre 0º y 0, cuyas razones trigonométricas coincidan con el ángulo dado: a) 70 b) 95 c) 00 d) 50 e) 00 f) 80 a) b) c) d) e) f ) Halla, en radianes, el ángulo α tal que sen α 0,7 y cos α < 0. sen α 0,7 > 0 cos α < 0 α -º cuadrante α 0,8 rad Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
14 0 Indica, sin pasar a grados, en qué cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos: a) rad b),5 rad c) 5 rad Ten en cuenta que:,57;,;,7;,8 a) -º cuadrante b) er cuadrante c) -º cuadrante Fórmulas trigonométricas Halla las razones trigonométricas del ángulo de 75 sabiendo que sen 75 sen (0 + 5 ) sen 0 cos 5 + cos 0 sen cos 75 cos (0 + 5 ) cos 0 cos 5 sen 0 sen 5 tg 0 + tg 5 / + ( + )/ tg 75 tg (0 + 5 ) tg 0 tg 5 / ( )/ + ( + ) NOTA: También podemos resolverlo como sigue: sen 75 + ( + ) + + tg 75 cos Sabiendo que sen x y que 5 < x <, calcula, sin hallar previamente el valor de x: x a) sen x b) tg c) sen ( ) x + d) cos ( ) x x e) cos f) tg ( ) x + Tienes que calcular cos x ( ) y tg x, y aplicar las fór- 5 5 mulas. Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
15 9 cos x sen x (Negativo, por ser del -º cuadrante). 5 5 sen x tg x cos x a) sen x sen x cos x ( ) x cos x ( /5) b) tg 9/5 + cos x + ( /5) /5 x Signo positivo, pues si x -º cuadrante, entonces er cuadrante. c) sen ( ) x sen x cos + cos x sen d) cos ( ) x ( ) 0 cos x cos + sen x sen 5 5 ( ) + 0 x (*) + cos x /5 e) cos /5 0 (*) x Signo positivo, porque er cuadrante. 0 0 tg x + tg / tg x tg / / + ( /) f) tg ( x + ) Halla las razones trigonométricas del ángulo de 5 de dos formas, considerando: 0 a) b) 5 a) sen 5 sen (5 0 ) sen 5 cos 0 cos 5 sen 0 0,5889 cos 5 cos (5 0 ) cos 5 cos 0 + sen 5 sen ,959 sen 5 + tg 5 cos ,799 / + / 7 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 5
16 0 cos 0 / b) sen 5 sen 0, cos 0 + / + cos 5 cos 0, ,5889 tg 5 0, ,95958 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos x sen x + 0 b) sen x sen x 0 Saca factor común e iguala a cero cada factor. c) cos x cos x 0 d) sen x cos x e) cos x sen x 0 f) cos x + sen x g) tg x tg x 0 a) cos x sen x + 0 cos x cos x cos x 0 cos x x 0 cos x 0 90 x 70 Al comprobarlas en la ecuación inicial, las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 + k x 70 + k 0 + k Lo que podemos expresar como: x 90 + k 80 + k b) sen x (sen x ) 0 sen x 0 x 0, x 80 sen x x 90 Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son válidas. Luego: Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
17 x k 0 k x 80 + k 0 + k x 90 + k 0 + k O, de otra forma: x k k 80 x + k 90 + k 0 (x así incluye las soluciones x y x anteriores) c) cos x ( cos x ) 0 cos x 0 x 90, x 70 cos x x 0, x 0 Las cuatro soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 x 70 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k + k + k NOTA: Obsérvese que las dos primeras soluciones podrían escribirse como una sola de la siguiente forma: x 90 + k 80 + k d) ( cos x) cos x cos x cos x 0 x cos x 0 90 x 70 Las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 + k x 70 + k 0 + k O, lo que es lo mismo: x 90 + k 80 + k Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 7
18 e) ( sen x) sen x 0 sen x 0 sen x sen x ± Si sen x x 5, x 5 Si sen x x 5, x 5 Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Luego: x 5 + k 0 + k x 5 + k 0 + k 5 x 5 + k 0 + k 7 x 5 + k 0 + k O, lo que es lo mismo: x 5 + k 90 + k f ) ( sen x) + sen x sen x + sen x sen x sen x 0 ± + 8 ± sen x Las tres soluciones son válidas, es decir: x 90 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k k + k + k x 90 / x 0, x 0 g) tg x ( tg x ) 0 tg x 0 x 0, x 80 tgx x x 0, x 0 Comprobamos las posibles soluciones en la ecuación inicial y vemos que las cuatro son válidas. Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 8
19 Entonces: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 0 + k 0 x 0 + k k + k Lo que podría expresarse con solo dos soluciones que englobaran las cuatro anteriores: x k 80 k x 0 + k 80 + k Página 5 Halla el valor exacto de estas expresiones: 5 7 a) sen + cos sen 5 7 b) cos + tg tg c) cos + sen cos sen a) + ( ) ( ) + b) + + c) + + Sabiendo que sen x y que x es un ángulo del primer cuadrante, calcula: a) sen x x b) tg c) cos (0 x) sen x cos x, tg x > 0 x er cuadrante sen x/ > 0 x er cuadrante cos x/ > 0 tg x/ > 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 9
20 cos x sen x 5 9 / 5 tg x 5/ 5 5 a) sen x sen x cos x x cos x 5/5 5 5 b) tg + cos x + 5/ c) cos (0 x) cos 0 cos x + sen 0 sen x Si tg α / y 90 < α < 80, calcula: a) sen ( α) b) cos ( 80 ) c) tg (900 + α) 90 < α < 80 Además, tg α α er cuadrante tg 5 α + + cos 9 α cos α cos α sen α cos α a) sen ( α) ( ) sen cos α cos sen α α α α cos 80 cos + sen 80 sen cos + cos α + ( /5) c) tg (900 + α) tg ( α) tg (80 + α) tg 80 + tg α 0 + ( /) tg 80 tg α 0 ( /) b) cos ( ) 80 α sen α > 0 cos α < α 5 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 0
21 8 Sabemos que cos x y sen x < 0. Sin hallar el valor de x, calcula: a) sen x b) cos ( + x) c) cos x x d) tg e) sen ( x) f) cos ( ) x cos x / sen x < 0 x er cuadrante x -º cuadrante 9 a) sen x cos x 7 b) cos ( + x) cos cos x sen sen x cos x c) cos x cos x sen 9 7 x x cos x + / d) tg cos x / e) sen ( x) f) cos ( ) x sen cos x cos sen x cos x x x x cos cos + sen sen cos cos x / 8 ( ) Si cos 78 0, y sen 7 0,, calcula sen, cos y tg sen 78 cos 78 0, 0,98 cos 7 sen 7 0, 0,8 Ahora ya podemos calcular: sen sen (78 7 ) sen 78 cos 7 cos 78 sen 7 0,98 0,8 0, 0, 0, cos cos (78 7 ) cos 78 cos 7 + sen 78 sen 7 0, 0,8 + 0,98 0, 0,78 sen 0, tg 0,8877 cos 0,78 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
22 0 Si tg (α + β) y tg α, halla tg β. tg α + tg β + tg β tg (α + β) tg α tg β + tg β + 8 tg β + tg β 7 tg β tg β Luego: tg β tg β ( /7) /7 9 tg β /9 / PARA RESOLVER En una circunferencia de cm de radio, un arco mide 0 cm. Halla el ángulo central en grados y en radianes. Halla la longitud de la circunferencia y escribe la proporción entre las longitudes de los arcos y la medida de los ángulos. 0 α cm cm Como la circunferencia completa (α 00,5 cm) son rad, entonces: 00,5 0 0 α,5 rad α 00,5 0 α,5 7 7' " Halla, en radianes, el ángulo comprendido entre 0 y tal que sus razones trigonométricas coincidan con las de. 0 < α < α sen (α + β) tg α + tg β Demuestra que. sen (α β) tg α tg β Aplica las fórmulas de sen (α + β) y sen (α β). Divide tanto el numerador como el denominador entre cos α cos β y simplifica. sen (α + β) sen (α β) sen α cos β + cos α sen β sen α cos β cos α sen β (*) sen α cos β cos α sen β + cos α cos β cos α cos β sen α cos β cos α sen β cos α cos β cos α cos β tg α + tg β tg α tg β (*) Dividimos numerador y denominador entre cos α cos β. Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
23 Prueba que tg x cos x sen x tg x. Sustituye cos x + cos x. x + cos x Como cos ± cos x + cos x Y sustituyendo en la expresión: tg x cos x sen x + cos x sen x sen x cos x sen x ( + cos x) sen x cos x (*) cos x sen x [ + cos x cos x] sen x tg x cos x cos x (*) Sacando factor común. 5 Demuestra que cos ( ) x + ( ) cos x + cos x. Desarrolla y sustituye las razones de y. cos ( ) ( ) x + cos x + [ cos x cos sen x sen ] [ cos x cos sen x sen ] [ (cos x) (sen x) ] [ (cos x) ( ) (sen x) ] cos x sen x + cos x + sen x cos x Demuestra que cos α cos (α β) + sen α sen (α β) cos β. Aplica las fórmulas de la diferencia de ángulos, simplifica y extrae factor común. cos α cos (α β) + sen α sen (α β) cos α (cos α cos β + sen α sen β) + sen α (sen α cos β cos α sen β) cos α cos β + cos α sen α sen β + sen α cos β sen α cos α sen β cos α cos β + sen α cos β (*) cos β (cos α + sen α) cos β cos β (*) Extraemos factor común. sen α sen α 7 Prueba que tg α. sen α + sen α sen α sen α sen α sen α cos α sen α ( cos α) sen α + sen α sen α + sen α cos α sen α ( + cos α) cos α tg α + cos α Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
24 cos (5 + α) cos (5 α) 8 Simplifica: cos α Al desarrollar el numerador obtendrás una diferencia de cuadrados. cos (5 + α) cos (5 α) cos α (cos 5 cos α sen 5 sen α) (cos 5 cos α + sen 5 sen α) cos α sen α (cos 5 cos α sen 5 sen α) cos α sen α [( /) cos α ( /) sen α] / cos α / sen α cos α sen α cos α sen α cos α sen α cos α sen α cos (α β) 9 Demuestra: cos (α + β) + tg α tg β tg α tg β cos (α β) cos (α + β) cos α cos β + sen α sen β cos α cos β sen α sen β cos α cos β sen α sen β + cos α cos β cos α cos β cos α cos β sen α sen β cos α cos β cos α cos β (*) + tg α tg β tg α tg β (*) Dividimos numerador y denominador entre: cos α cos β sen α 0 Simplifica la expresión y calcula su valor para α 90. cos α sen α cos α sen α cos α sen α Por tanto, si α 90 sen α cos α 0 0 cos α sen α Resuelve las siguientes ecuaciones: a) sen ( + x) sen x 0 cos α sen α b) sen ( x) ( + cos x) c) sen x cos x 0 Desarrolla sen x y saca factor común. d) cos x sen x + 0 Desarrolla cos x y sustituye cos x sen x Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
25 a) sen cos x + cos sen x sen x 0 cos x + sen x sen x 0 cos x sen x 0 cos x sen x 0 5 cos x sen x x, x Al comprobar, podemos ver que ambas soluciones son válidas. Luego: x + k 5 + k 0 5 x + k 5 + k 0 Podemos agrupar las dos soluciones en: x + k 5 + k 80 b) sen cos x cos sen x + cos cox x + sen sen x cos x sen x + cos x + sen x cos x + cos x cos x x / x 5/ Comprobamos y vemos que: x sen ( ) ( + cos ) ( ) sen + cos Son válidas las dos soluciones. Luego: x + k 0 + k 0 5 x + k 00 + k 0 c) sen x cos x cos x 0 cos x (sen x cos x) 0 cos x 0 x 90, x 70 sen x cos x x 5, x 5 Comprobamos las soluciones. Todas son válidas: x sen ( ) + cos ( ) sen ( ) + cos ( ) x 90 + k 0 x 70 + k 0 + k + k Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 5
26 x 5 + k 0 + k 5 x 5 + k 0 + k También podríamos expresar como: x 90 + k 80 x 5 + k 80 + k + k d) cos x sen x sen x + 0 sen x sen x sen x + 0 sen x sen x + 0 sen x + sen x 0 ± 9 + ± 5 sen x / x 0, x 50 Imposible, pues sen x Comprobamos que las dos soluciones son válidas. Luego: x 0 + k 0 x 50 + k k + k Página Resuelve estas ecuaciones: a) sen x cos x + cos x 0 Al hacer sen x cos x, resulta una ecuación bicuadrada. Haz cos x z y comprueba si son válidas las soluciones que obtienes. b) sen x + sen x cos x cos x 0 Divide por cos x y obtendrás una ecuación con tg x. c) cos x + cos x 0 d) tg x + cos x e) sen x + cos x 0 a) ( cos x) cos x + cos x 0 cos x cos x + cos x 0 cos x cos x + 0 cos x cos x + 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
27 Sea cos x z cos x z Así: z ± 9 8 z + 0 z ± z cos x ± z cos x ± x 0 x 80 x 5, x 5 x 5 5, x 5 Comprobando las posibles soluciones, vemos que todas son válidas. Por tanto: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 5 + k 0 x 5 + k 0 x k 0 x 5 + k k + k + k + k O, agrupando las soluciones: x k 80 k x 5 + k 90 + k b) Dividiendo por cos x: sen x cos x + sen x cos x cos x 0 cos x cos x tg x + tg x 0 ± + 8 ± 7 tg x 8 8 x 5'," x 5'," x 5 x 5 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 7
28 Las cuatro soluciones son válidas: x 5'," + k 0 x 5'," + k 0 x 5 + k x 5 + k 0 5 O, lo que es lo mismo: x 5'," + k 80 x 5 + k 80 + k + k + k + k + k + k + cos x c) + cos x 0 + cos x + cos x 0 cos x 0 cos x 0 x 90, x 70 Las dos soluciones son válidas. Luego: x 90 + k 0 + k x 70 + k 0 + k Agrupando las soluciones: x 90 + k 80 + k cos x d) + cos x cos x + + cos x cos x + cos x + cos x cos x + cos x cos x + cos x 0 ± + 8 ± x 0 cos x Imposible!, pues cos x Luego: x k 0 k cos x e) + cos x sen x 0 cos x + cos x ( cos x) 0 cos x + cos x + cos x 0 cos x cos x 0 cos x ( cos x ) cos x 0 x 90, x 70 cos x / x 0, x 00 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 8
29 Se comprueba que son válidas todas. Por tanto: x 90 + k 0 x 70 + k 0 x 0 + k 0 x 00 + k 0 + k + k + k + k Agrupando las soluciones quedaría: x 90 + k 80 x 0 + k 0 x 00 + k 0 + k + k + k Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos x + sen x b) tg x tg x 5 5 c) cos x cos x + cos x 0 d) sen x tg x x e) sen + cos x 0 f) sen x cos x sen x g) tg ( x) + tg x a) cos x sen x + sen x sen x sen x + sen x sen x sen x + 0 ± 9 8 sen x ± x 90 / x 0, x 50 Las tres soluciones son válidas: x 90 + k 0 x 0 + k 0 x 50 + k k + k + k Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 9
30 b) tg x tg x tg x tg x tg x tg x tg x ± x 0, x 0 x 50, x 0 Las cuatro soluciones son válidas: x 0 + k 0 x 0 + k 0 x 50 + k 0 x 0 + k k + k + k + k Agrupando: x 0 + k 80 x 50 + k k + k c) cos x (cos x sen x) + cos x 0 cos x (cos x + cos x) + cos x 0 cos x cos x + cos x 0 cos x ( cos x + cos x ) 0 cos x 0 x 90, x 70 ± + 8 ± cos x ±, Imposible!, pues cos x 0, x 8 ' 5,", x 9 8' 8,9" Las soluciones son todas válidas: x 90 + k 0 x 70 + k 0 + k + k x 8 ' 5," + k 0 0,8 + k x 9 8' 8,9" + k 0, + k Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 0
31 Agrupadas, serían: x 90 + k 80 + k x 8 ' 5," + k 0 0,8 + k x 9 8' 8,9" + k 0, + k tg x d) sen x sen x sen x tg x tg x tg x sen sen x sen x x sen x cos x cos x sen x cos x sen x sen x sen x cos x sen x (cos x sen x cos x) 0 sen x (cos x + cos x cos x) 0 sen x 0 x 0, x 80 cos ± + 8 x cos x 0 cos x x 0 x / x 0, x 5 0 Las cuatro soluciones son válidas. Luego: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 0 + k 0 x k 0 + k + k Que, agrupando soluciones, quedaría: x k 80 k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k cos x cos x e) + cos x 0 ( cos x) cos x ( + cos x cos x) cos x cos x 0 ± + 8 ± cos x x 0 / x 0, x 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
32 Al comprobar vemos que las tres soluciones son válidas: x k 0 k x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k + k f) sen x cos x cos x sen x sen cos x sen x sen x ( sen x) sen x sen x sen x sen x sen x 0 x 0, x 80 sen x sen x ± x 0, x 50 x 5 0, x 0 Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Damos las soluciones agrupando las dos primeras por un lado y el resto por otro: x k 80 k x 0 + k 90 + k tg (/) + tg x + tg x g) + tg x + tg x tg (/) tg x tg x + tg x + tg x tg x tg x tg x tg x 0 tg x (tg x ) 0 tg x 0 x 0, x 80 tg x x 7 ' 5,", x 5 ' 5," Las cuatro soluciones son válidas: x k 0 k x 80 + k 0 + k x 7 ' 5," + k k x 5 ' 5," + k k O, lo que es lo mismo: x k 80 k x 7 ' 5," + k k Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
33 Resuelve las siguientes ecuaciones: sen 5x + sen x a) sen x sen x cos x b) cos x + cos x sen x + sen x c) d) sen x cos x sen x cos x cos x cos x Transforma las sumas o diferencias de senos y cosenos, en productos. x + x x x a) cos sen cos x cos x sen x cos x sen x sen x x 0, x 50 Comprobando, vemos que las dos soluciones son válidas. Luego: x 0 + k 0 x 50 + k k + k sen x cos x sen x sen ( x) b) cos x cos x cos x cos x sen x cos x sen x sen x cos x x 0 x 5 + k 0 + k 5 x 50 x 75 + k 0 + k x 90 x 95 + k 0 + k x 50 x 55 + k k Al comprobar, vemos que todas las soluciones son válidas. c) sen x cos x cos x tg x sen x sen x sen x tg x Ambas soluciones son válidas. Luego: x 50 + k 0 x 0 + k k + k x 50 x 0 d) sen x sen x cos x cos x cos x sen x sen x sen x (dividimos entre sen x) cos x sen x sen x cos x tg x Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
34 x 5 x 57,5 + k 0 x 5 x 7,5 + k 0 x 75 x 7,5 + k 0 x 95 x 7,5 + k 0 Podemos comprobar que las cuatro soluciones son válidas. Agrupándolas: x 7,5 + k 90 5 a) Demuestra que sen x sen x cos x sen x. b) Resuelve la ecuación sen x sen x 0. a) Haz sen x sen (x + x) y desarrolla. b) Sustituye sen x por el resultado anterior. a) sen x sen (x + x) sen x cos x + cos x sen x sen x cos x cos x + (cos x sen x) sen x sen x cos x + sen x cos x sen x sen x cos x sen x b) sen x sen x 0 por el resultado del apartado anterior: sen x cos x sen x sen x 0 sen x ( sen x) sen x sen x 0 sen x sen x sen x sen x 0 sen x sen x 0 sen x ( sen x ) 0 sen x 0 x 0, x 50 sen x ±/ x 0, x 50, x 5 0, x 0 Todas las soluciones son válidas y se pueden expresar como: x k 80 k x 0 + k 80 (/) + k x 50 + k 80 (5/) + k Resuelve: a) sen x sen x cos x 0 b) cos x cos ( x) 0 c) cos x + sen x cos x 0 b) Expresa cos x en función de sen x y cos x haciendo cos x cos (x + x). a) Por el ejercicio 5, a): sen x sen x cos x sen x. Luego: sen x cos x sen x sen x (cos x sen x) 0 sen x cos x sen x sen x cos x sen x 0 sen x sen x cos x 0 sen x (sen x cos x) 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
35 sen x 0 x 0, x 80 sen x cos x cos x 0 x 90 x 5 x 70 x 5 x 50 x 5 5 x 0 x 5 Las soluciones (todas válidas) se pueden expresar como: x k 80 k x 5 + k 90 + k donde x engloba las dos primeras soluciones obtenidas y x las cuatro restantes. b) cos ( x) cos x cos x cos (x + x) cos x cos x sen x sen x (cos x sen x) cos x sen x cos x sen x cos x (cos x sen x sen x) cos x (cos x sen x) cos x ( sen x) Así, sustituyendo en la ecuación: cos x ( sen x) ( cos x) 0 cos x ( sen x) + cos x 0 cos x ( sen x + ) 0 cos x ( cos x) 0 cos x 0 x 90, x 70 sen x sen x ± x 0, x 0, x 5 0, x 00 Todas las soluciones son válidas y las podemos agrupar, expresándolas como: x 90 + k 80 x 0 + k 80 x 0 + k 80 + k + k + k c) Utilizando los resultados obtenidos en el ejercicio b), para cos x y sustituyendo en la ecuación, se obtiene: cos x ( sen x) + sen x cos x cos x 0 cos x ( sen x + sen x ) 0 cos x ( sen x + sen x) 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 5
36 cos x 0 x 90, x 70 sen x 0 sen x sen x sen x ( sen x ) 0 Las soluciones quedan, pues, como: x k k 90 x + k 0 + k 0 5 x + k 50 + k 0 donde x engloba las cuatro primeras soluciones. 7 Demuestra las siguientes igualdades: a) cos (α + β) cos (α β) cos α sen β b) sen ( ) α + β ( ) sen α β c) cos ( ) ( ) α β cos α + β sen α sen β sen α sen β sen x a) cos (α + β) cos (α β) (cos α cos β sen α sen β) (cos α cos β + sen α sen β) cos α cos β sen α sen β cos α ( sen β) ( cos α) sen β cos α cos α sen β sen β + cos α sen β cos α sen β b) El primer miembro de la igualdad es una diferencia de cuadrados, luego podemos factorizarlo como una suma por una diferencia: [ ( ) sen α + β α β + sen ( )] [ ( ) sen α + β α β sen ( )] (*) α β α [ sen cos ] [ cos sen ] cos α + cos β + cos α cos β ( cos α) ( + cos β) ( + cos α) ( cos β) ( cos α) ( cos β) sen α sen β sen α sen β β x 0 x 80 x 5 0 x 50 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
37 (*) Transformamos la suma y la diferencia en productos, teniendo en cuenta que: α + β α β α + β α β + α y β c) Procedemos de manera análoga al apartado anterior, pero ahora: α β α + β α β α + β + α y β cos ( ) ( ) α β cos α + β [ cos ( ) + cos ( )] [ cos ( ) cos ( )] [ cos cos ] [ sen sen ] [ cos cos ] [ sen sen ] + cos α + cos β cos α cos β ( cos α) ( cos β) sen α sen β sen α sen β NOTA: También podríamos haberlo resuelto aplicando el apartado anterior como sigue: cos ( ) cos ( ) sen ( ) + sen ( ) sen ( ) sen ( ) (*) (*) Por el apartado b). sen α sen β 8 Expresa sen α y cos α en función de sen α y cos α. sen α sen ( α) sen α cos α sen α cos α (cos α sen α) (sen α cos α sen α cos α) cos α cos ( α) cos α sen α (cos α sen α) ( sen α cos α) cos α + sen α cos α sen α sen α cos α cos α + sen α sen α cos α 9 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: x + y 0º sen a) b) x + cos y sen x sen y / cos x sen y Haz cos y sen y y cos x sen x. c) α β α β α β α + β sen x + cos y x + y 90 α + β α α + β α β β α β α α β α + β β α α + β β Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 7
38 a) De la segunda ecuación: x + y x y cos sen Como: x + y 0 cos 0 sen x y x y x y sen sen x y 0 x y 0 Así: x + y 0 x y 0 x 80 x 90 y 0 Luego la solución es: (90, 0 ) b) Como cos y sen y cos x sen x El sistema queda: sen x + sen y sen x sen y sen x sen y 0 sen x sen y 0 (Sumando ambas igualdades) sen y 0 sen y 0 y 0 Sustituyendo en la segunda ecuación (por ejemplo) del sistema inicial, se obtiene: cos x 0 cos x Luego la solución es: (0, 0 ) cos x x 0 cos x x 80 -º cuadrante c) x + y 90 complementarios sen x cos y Sustituyendo en la primera ecuación del sistema: cos y + cos y cos y cos y y 0 x 90 y Luego la solución es: (0, 0 ) 0 Demuestra que para cualquier ángulo α se verifica: sen α + cos α cos ( α) Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 8
39 Desarrollamos la segunda parte de la igualdad: cos ( α) ( cos cos α + sen sen α ) ( cos α + sen α) (cos α + sen α) (cos α + sen α) cos α + sen α cos x + sen x cos x sen x Demuestra que tg x. cos x sen x cos x + sen x cos x + sen x cos x sen x (cos x + sen x) (cos x sen x) cos x sen x cos x + sen x (cos x sen x) (cos x + sen x) cos x + sen x + sen x cos x cos x sen x + sen x cos x cos x sen x sen x cos x (*) (sen x cos x/cos x) (sen x/cos x) cos x sen x cos x sen x/cos x (sen x/cos x) tg x tg x tg x tg x tg x (*) Dividimos numerador y denominador entre cos x. Simplifica la expresión tgxcos x sen x. x tg x cos sen x ( ) sen x sen x ( + cos x) cos x sen x sen x ( ) + cos x cos x cos x sen x cos x + cos x + cos x cos x cos x sen x ( ) sen x ( ) tg x Página 5 CUESTIONES TEÓRICAS Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos que miden y radianes? son suplementarios, luego: 5 5 sen sen ( ) sen Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 9
40 cos cos ; tg tg Relaciona estas expresiones con las razones trigonométricas del ángulo α: a) sen ( α); cos ( α); tg ( α) b) sen ( + α); cos ( + α); tg ( + α) c) sen ( α); cos ( α); tg ( α) sen ( α) sen α a) tg ( α) tg α cos ( α) cos α sen ( + α) sen α b) tg ( + α) tg α cos ( + α) cos α sen ( α) sen α c) tg ( α) tg α cos ( α) cos α 5 Expresa A(x) en función de sen x y cos x: a) A(x) sen ( x) sen ( x) b) A(x) cos ( x) + cos ( + x) c) A(x) sen ( + x) + cos ( x) a) A (x) sen ( x) sen ( x) sen x sen x sen x b) A (x) cos ( x) + cos ( + x) cos x + ( cos x) 0 c) A (x) sen ( + x) + cos ( x) sen x + cos x Demuestra que si α, β y γ son los tres ángulos de un triángulo, se verifica: a) sen (α + β) sen γ 0 b) cos (α + β) + cos γ 0 c) tg (α + β) + tg γ 0 Ten en cuenta que α + β 80 γ y las relaciones que existen entre las razones trigonométricas de los ángulos suplementarios. Como en un triángulo α + β + γ 80 α + β 80 γ, entonces: a) sen (α + β) sen (80 γ) sen γ sen (α + β) sen γ 0 b) cos (α + β) cos (80 γ) cos γ cos (α + β) + cos γ 0 c) tg (α + β) tg (80 γ) tg γ tg (α + β) + tg γ 0 7 Demuestra que si α + β + γ 80, se verifica: tg α + tg β + tg γ tg α tg β tg γ Haz α + β 80 γ y desarrolla tg (α + β) tg (80º γ). 5 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 0
41 Si α + β + γ 80 α + β 80 γ tg (α + β) tg (80 γ) tg γ tg γ tg (α + β) Así, sustituyendo: tg α + tg β + tg γ (*) tg α + tg β tg (α + β) tg α + tg β tg α + tg β tg α tg β (tg α tg α tg β) + (tg β tg α tg β) (tg α + tg β) tg α tg β tg α tg β tg α tg β (sacando factor común) tg α tg β tg α tg β (tg α + tg β) tg α tg β tg (α + β) tg α tg β tg α tg β [ tg (α + β)] (*) tg α tg β tg γ (*) tg γ tg (α + β) 8 Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y cos x, dando a x valores comprendidos entre 0 y radianes y represéntala gráficamente. x y cos x Representa las funciones: a) y cos ( ) x + b) y sen ( ) x + c) y cos ( x) a) b) c) Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
42 PARA PROFUNDIZAR 50 Resuelve los sistemas siguientes dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante: sen x + sen y a) cos x + cos y sen x + cos y / b) cos x sen y / cos (x + y) / c) sen (x y) / a) Despejando en la segunda ecuación: cos x cos y (*) Como sen x cos x entonces: sen x ( cos y) cos y + cos y cos y cos y Y, sustituyendo en la primera ecuación, se tiene: sen x + sen y cos y cos y + sen y sen y cos y cos y Elevamos al cuadrado: sen y + ( cos y cos y) ( cos y cos y) sen y + cos y cos y ( cos y cos y) cos y ( cos y cos y) ( + cos y) ( cos y cos y) Simplificamos y volvemos a elevar al cuadrado: ( + cos y) ( cos y cos y) + cos y + cos y cos y cos y cos ± y cos y + 0 cos y y 0 8 Sustituyendo en (*), se tiene: cos x x 0 Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
43 b) sen x + cos y cos x sen y Sumando: sen x + cos x + cos y sen y + cos y sen y cos y cos y cos y y 5 (Solo consideramos las soluciones del primer cuadrante). Sustituyendo en la primera ecuación: sen x + cos y sen x + sen x sen x sen x ± Nos quedamos con la solución positiva, por tratarse del primer cuadrante. Así: sen x x 0 Luego la solución es: (0, 5 ) c) Como x, y er cuadrante y además cos (x + y) > 0 sen (x y) > 0 Teniendo esto en cuenta: cos (x + y) x + y 0 sen (x y) x y 0 (Sumamos ambas ecuaciones) x 90 x 5 Sustituyendo en la primera ecuación y despejando: y 0 x La solución es, por tanto: (5, 5 ) 5 Demuestra que: a) sen x b) cos x c) tg x tg x/ + tg x/ tg x/ + tg x/ tg x/ tg x/ x + y er cuadrante x y er cuadrante Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
44 a) Desarrollamos y operamos en el segundo miembro de la igualdad: tg (x/) + tg (x/) cos x cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x + cos x cos x + cos x cos x ( + cos x) + cos x + cos x ( + cos x) cos x ( + cos x) ( cos x) + cos x cos x sen x sen x cos x + cos x + cos x tg + cos x cos x b) (x/) + cos x cos x + tg (x/) cos x + + cos x + cos x + cos x + cos x cos x cos x tg (x/) + cos x + cos x c) tg (x/) + cos x + cos x cos x + cos x + cos x cos x + cos x + cos x cos x cos x cos x + cos x + cos x ( + cos x) cos x cos x + cos x ( + cos x) ( cos x) cos x cos x ( cos x sen x sen x tg x cos x cos x PARA PENSAR UN POCO MÁS 5 Demuestra que, en la siguiente figura, α β + γ. γ β α Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
45 a) Puedes realizar la demostración recurriendo a la fórmula de la tangente de una suma. b) Hay una posible demostración, más sencilla y elegante que la anterior, reconociendo los ángulos α, β y γ en la siguiente figura: tg β + tg γ / + / 5/ 5/ a) tg (β + γ) tg β tg γ / / / 5/ tg α Así, vemos que tg (β + γ) tg α Como α, β, γ er cuadrante β + γ α b) α BOD. Basta observar que se trata de uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo que se forma con la diagonal de un cuadrado. A B C O D β COD, por ser el ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden cuatro y dos unidades; igual (por semejanza) al formado por catetos de dos y una unidad. γ AOC, pues, tomando las diagonales de los cuadrados pequeños por unidades, se trata del ángulo menor del triángulo rectángulo de catetos y unidades (OA y AC, respectivamente). Así, podemos observar fácilmente en el dibujo que α β + γ, pues: BOD AOD AOC + COD 5 Obtén la fórmula siguiente: sen α + cos α cos (α 5 ) Expresa el primer miembro como suma de senos y aplica la fórmula correspondiente. cos α sen (90 α) Sustituyendo en el primer miembro de la igualdad y desarrollando (transformaremos en producto): Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas 5
46 sen α + cos α sen α + sen (90 α) α + (90 α) α (90 α) sen cos 90 α 90 sen cos sen 5 cos (α 5 ) (cos α 5 ) cos (α 5 ) Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas
TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa
TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto
Διαβάστε περισσότεραPÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109
PÁGINA 0. La altura del árbol es de 8,5 cm.. BC m. CA 70 m. a) x b) y PÁGINA 0. tg a 0, Con calculadora: sß 0,9 t{ ««}. cos a 0, Con calculadora: st,8 { \ \ } PÁGINA 05. cos a 0,78 tg a 0,79. sen a 0,5
Διαβάστε περισσότεραACTIVIDADES INICIALES
Solucionario Trigonometría ACTIVIDADES INICIALES.I. En una recta r hay tres puntos: A, B y C, que distan, sucesivamente, y cm. Por esos puntos se trazan rectas paralelas que cortan otra, s, en M, N y P.
Διαβάστε περισσότεραSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119
Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg
Διαβάστε περισσότεραf) cotg 300 ctg 60 2 d) cos 5 cos 6 Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg α 3
.9. Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante. a) sen 0 c) tg 0 e) sec 0 b) cos d) cosec f) cotg 00 Solucionario a) sen 0 sen 0 d) cosec sen sen b) cos
Διαβάστε περισσότερα1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson
1 La teoría de Jeans El caso ás siple de evolución de fluctuaciones es el de un fluído no relativista. las ecuaciones básicas son: a conservación del núero de partículas n t + (n v = 0 (1 b Navier-Stokes
Διαβάστε περισσότεραMétodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL)
L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro Condiciones de contorno. Fuerzas externas aplicadas sobre una cuerda. condición que nos describe un extremo libre en una cuerda tensa. Ecuación
Διαβάστε περισσότεραLógica Proposicional. Justificación de la validez del razonamiento?
Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento? os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la
Διαβάστε περισσότεραLógica Proposicional
Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la
Διαβάστε περισσότεραTEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS
TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS 1. La ecuación hipergeométrica x R y α, β, γ parámetros reales. x(1 x)y + [γ (α + β + 1)x]y αβy 0 (1.1) Dividiendo en (1.1) por x(1 x) obtenemos (x 0, x 1) y + γ (α
Διαβάστε περισσότερατην..., επειδή... Se usa cuando se cree que el punto de vista del otro es válido, pero no se concuerda completamente
- Concordar En términos generales, coincido con X por Se usa cuando se concuerda con el punto de vista de otro Uno tiende a concordar con X ya Se usa cuando se concuerda con el punto de vista de otro Comprendo
Διαβάστε περισσότεραNÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:
NÚMEROS COMPLEXOS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE Extraer fóra da raíz Saca fóra da raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula as sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) (
Διαβάστε περισσότεραLUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS
LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo
Διαβάστε περισσότεραEscenas de episodios anteriores
Clase 09/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS
EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto
Διαβάστε περισσότεραLas Funciones Trigonométricas
Caítulo 3 Las Funciones Trigonométricas 3.. El círculo trigonométrico Vamos a suoner conocido el sistema cartesiano en lo que se refiere a concetos fundamentales como son los de abscisa y ordenada de un
Διαβάστε περισσότεραFilipenses 2:5-11. Filipenses
Filipenses 2:5-11 Filipenses La ciudad de Filipos fue nombrada en honor de Felipe II de Macedonia, padre de Alejandro. Con una pequeña colonia judía aparentemente no tenía una sinagoga. El apóstol fundó
Διαβάστε περισσότεραNÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á
NÚMEROS REAIS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE O paso de Z a Q Di cales das seguintes ecuacións se poden resolver en Z e para cales é necesario o conxunto dos números racionais, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d)
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ
ΑΡΧΗ ΣΕΛΙ ΑΣ 1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΗΝ ΙΣΠΑΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Πέμπτη, 15 Σεπτεμβρίου 2011
Διαβάστε περισσότεραln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL. Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a)
Διαβάστε περισσότεραProblemas resueltos del teorema de Bolzano
Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ KΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΑ ΙΣΠΑΝΙΚΑ
ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ KΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2005 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΑ ΙΣΠΑΝΙΚΑ Α. Να αποδώσετε στο τετράδιό σας στην ελληνική γλώσσα το παρακάτω κείμενο,
Διαβάστε περισσότερα90 LIBERTAS SEGUNDA ÉPOCA. Introducción: La necesidad de una Reforma Institucional
1 3 - - Abstract - - - 90 LIBERTAS SEGUNDA ÉPOCA Introducción: La necesidad de una Reforma Institucional - - - - - - - - - UNA PROPUESTA DE REFORMA MONETARIA PARA ARGENTINA 91 1 políticas establecidas
Διαβάστε περισσότεραInmigración Estudiar. Estudiar - Universidad. Indicar que quieres matricularte. Indicar que quieres matricularte en una asignatura.
- Universidad Me gustaría matricularme en la universidad. Indicar que quieres matricularte Me quiero matricular. Indicar que quieres matricularte en una asignatura en un grado en un posgrado en un doctorado
Διαβάστε περισσότεραTema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA
Tema: Enerxía 01/0/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nome: 1. Unha caixa de 150 kg descende dende o repouso por un plano inclinado por acción do seu peso. Se a compoñente tanxencial do peso é de 735
Διαβάστε περισσότεραUna visión alberiana del tema. Abstract *** El marco teórico. democracia, república y emprendedores; alberdiano
Abstract Una visión alberiana del tema - democracia, república y emprendedores; - - alberdiano El marco teórico *** - 26 LIBERTAS SEGUNDA ÉPOCA - - - - - - - - revolución industrial EMPRENDEDORES, REPÚBLICA
Διαβάστε περισσότεραAcadémico Introducción
- Σε αυτήν την εργασία/διατριβή θα αναλύσω/εξετάσω/διερευνήσω/αξιολογήσω... general para un ensayo/tesis Για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση, θα επικεντρωθούμε πρώτα... Para introducir un área específica
Διαβάστε περισσότεραPRUEBA INICIAL DE CLASIFICACIÓN CURSO Documento para adjuntar a la Solicitud de plaza
PRUEBA INICIAL DE CLASIFICACIÓN CURSO 2017-18 Documento para adjuntar a la Solicitud de plaza Yo con DNI, número de teléfono y dirección de correo electrónico, solicitante del idioma, nivel, declaro bajo
Διαβάστε περισσότεραΤο ίκτυο Βιβλιοθηκών του Τµήµατος Κοινωνικού Έργου της Caja Madrid. La Red de Bibliotecas de Obra Social Caja Madrid
Το ίκτυο Βιβλιοθηκών του Τµήµατος Κοινωνικού Έργου της Caja Madrid La Red de Bibliotecas de Obra Social Caja Madrid Το ίκτυο Βιβλιοθηκών αποτελεί τµήµα ενός Χρηµατοπιστωτικού Φορέα που προορίζει ποσοστό
Διαβάστε περισσότεραINICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS
INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS Páina 0 REFLEXIONA E RESOLVE Coller un autobús en marca Na gráfica seguinte, a liña vermella representa o movemento dun autobús que arranca da parada e vai,
Διαβάστε περισσότεραTEMA 6.- BIOMOLÉCULAS ORGÁNICAS IV: ÁCIDOS NUCLEICOS
TEMA 6.- BIMLÉCULAS RGÁNICAS IV: ÁCIDS NUCLEICS A.- Características generales de los Ácidos Nucleicos B.- Nucleótidos y derivados nucleotídicos El esqueleto covalente de los ácidos nucleicos: el enlace
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραμέλλων τελευτᾶν 0,25 puntos καὶ βουλόμενος 0,25 puntos τοὺς αὐτοῦ παῖδας ἐμπείρους εἶναι τῆς γεωργίας, 0,5 puntos
Materia: GRIEGO II. EvAU CURSO 17/18 CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN PROPUESTA A: EL LABRADOR Y SUS HIJOS 1.- Traducción íntegra del texto: (4 puntos). Se ponderará, ante todo: - La recta adecuación
Διαβάστε περισσότεραLa transformada de ondícula continua y algunas clases de operadores de localización
La transformada de ondícula continua y algunas clases de operadores de localización Gerardo Ramos Vázquez Dr. Egor Maximenko Instituto Politécnico Nacional, ESFM diciembre 2016 Contenido El grupo afín
Διαβάστε περισσότεραAnálisis de las Enneadas de Plotino. Gonzalo Hernández Sanjorge A Parte Rei 20
Análisis de las Enneadas de Plotino, Tratado Cuarto de la Enneada Primera Acerca de la felicidad1 Gonzalo Hernández Sanjorge La felicidad vinculada al vivir bien: la sensación y la razón. Identificar qué
Διαβάστε περισσότεραFL/STEM Σχεδιασμός/Πρότυπο μαθήματος (χημεία) 2015/2016. Μάθημα (τίτλος) Οξυγόνο. Παραγωγή οξυγόνου Επίπεδο επάρκειας γλώσσας < Α1 Α2 Β1 Β2 C1
Μάθημα (τίτλος) Οξυγόνο. Παραγωγή οξυγόνου Επίπεδο επάρκειας γλώσσας < Α1 Α2 Β1 Β2 C1 Τάξη/βαθμίδα: 6η Αριθμός μαθητών στην τάξη: 8 Περιεχόμενο μαθήματος: Οξυγόνο. Θέμα: Άνθρωπος και φύση Ουσίες Προϋποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΕυρύτερη περιοχή χαράδρας ποταμού Αράχθου
Ruta por Epiro: Ioannina y sus alrededores Día 1 Kostitsi La población de Kostitsi se ubica en la región Epiro de Grecia. Ευρύτερη περιοχή χαράδρας ποταμού Αράχθου Ευρύτερη περιοχή χαράδρας ποταμού Αράχθου
Διαβάστε περισσότεραUniversidad Nacional del Sur
Universidad Nacional del Sur Tesis de Magister en Matemática Reductos hilbertianos de las álgebras de Lukasiewicz-Moisil de orden 3 Juan Sebastián Slagter Director: Dr. Aldo Figallo Orellano Bahía Blanca
Διαβάστε περισσότεραTema de aoristo. Morfología y semántica
Tema de aoristo Morfología y semántica El verbo politemático Cada verbo griego tiene 4 temas principales. La diferencia semántica entre ellos es el aspecto, no el tiempo. Semántica de los temas verbales
Διαβάστε περισσότεραTAREAS DE VERANO. GRIEGO 1º BACHILLERATO
TAREAS DE VERANO. GRIEGO 1º BACHILLERATO Contenidos que debes repasar y estudiar para el examen de recuperación de septiembre: Morfología nominal: artículos (página 26), declinaciones (primera, segunda
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΝΤΡΑ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΤΑ ΚΕΝΤΡΑ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Ισπανικά για τον τουρισμό(α1-α2) Συγγραφέας: Δημήτρης Ε. Φιλιππής
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II
PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Punuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 punos, eercicio = 3 punos, eercicio 3 =
Διαβάστε περισσότεραTema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,
Tema 3. Espazos métricos Topoloxía Xeral, 2017-18 Índice Métricas en R n Métricas no espazo de funcións Bólas e relacións métricas Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores
Διαβάστε περισσότεραdr 1...dp N exp [ βh ({p}, {r})], (1) p 2 i 2m +Φ(r 1,..., r N ). (2) Z id = N!Λ 3N Z = Q(N,V,T). (6) Z = Z id
Física de Líquidos L. Mederos Instituto de Ciencia de Materiales de Madrid Consejo Superior de Investigaciones Científicas 5 de abril de 2004 Índice. Descripción microscópica de un líquido. 2.. Conceptos
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA
Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M
Διαβάστε περισσότεραCatálogodegrandespotencias
www.dimotor.com Catálogogranspotencias Índice Motores grans potencias 3 Motores asíncronos trifásicos Baja Tensión y Alta tensión.... 3 Serie Y2 Baja tensión 4 Motores asíncronos trifásicos Baja Tensión
Διαβάστε περισσότεραTEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES
TEST DE INDEPENDENCIA EN SERIES TEMPORALES Titulación: Doctorado en Tecnologías Industriales Alumno/a: Salvador Vera Nieto Director/a/s: José Salvador Cánovas Peña Antonio Guillamón Frutos Cartagena, 10
Διαβάστε περισσότεραFORMULARIO DE ELASTICIDAD
U. D. Resistencia de Mateiales, Elasticidad Plasticidad Depatamento de Mecánica de Medios Continuos Teoía de Estuctuas E.T.S. Ingenieos de Caminos, Canales Puetos Univesidad Politécnica de Madid FORMULARIO
Διαβάστε περισσότεραEXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de
Διαβάστε περισσότεραΤαξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά
- Τα απαραίτητα Podría ayudarme? Παράκληση για βοήθεια Habla inglés? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Habla_[idioma]_? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά ορισμένη γλώσσα No hablo_[idioma]_. Διασαφήνιση ότι δεν
Διαβάστε περισσότεραMARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN
IB DIPLOMA PROGRAMME PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI M06/2/ABMGR/SP1/GRE/TZ0/XX/M MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN May / mai / mayo 2006 MODERN GREEK / GREC
Διαβάστε περισσότεραTrigonometría. Obxectivos. Antes de empezar.
7 Trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo. Calcular todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas. Resolver triángulos rectángulos
Διαβάστε περισσότεραLa experiencia de la Mesa contra el Racismo
La experiencia de la Mesa contra el Racismo Informe Di icultad para identi icarse como discriminado Subsistencia de mecanismos individuales para enfrentar el racismo Las propuestas de las organizaciones
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΤΕΚΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΛΑΔΟΥ
112 134 ΑΒΑΤΑΓΓΕΛΟΥ ΣΟΦΙΑ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑΣ ΚΑΣΣΙΑΝΗ ΠΕ70 Δάσκαλοι ΟΧΙ Β 150 19 Κέρκυρα ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π.Ε. ΚΕΡΚΥΡΑΣ 32 35 ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΜΑΡΙΚΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΟΦΙΑ ΠΕ70 Δάσκαλοι ΟΧΙ Β 42 28,133 Ζάκυνθος ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π.Ε. ΖΑΚΥΝΘΟΥ
Διαβάστε περισσότεραTema 1 : TENSIONES. Problemas resueltos F 1 S. n S. O τ F 4 F 2. Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora (U.SAL.
Tea : TENSIONES S S u n S 4 O Probleas resuelos Prof: Jae Sano Dongo Sanllana EPS-Zaora (USL) - 8 -Las coponenes del esado de ensones en un puno son: N/ -5 N/ 8 N/ 4 N/ - N/ N/ Se pde deernar: ) Las ensones
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΩΦΕΛΟΥΜΕΝΩΝ (ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΑ) ΑΝΑ ΔΗΜΟ ΔΟΜΗΣ
ΑΓΓΕΛΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΑ - ΜΑΡΙΑ 22900 74,33 ΑΓΓΕΛΟΥ ΦΙΛΙΠΠΑ - ΑΡΓΥΡΩ 20191 Α1.1 - Βρεφονηπιακός Σταθμός "Η παρεούλα μας" ΑΓΓΕΛΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ 83231 87,77 ΒΙΡΛΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 21836 Γ - Κοινωνική Προσπάθεια (ΚΔΑΠ) (Α'
Διαβάστε περισσότεραΦύλλο1. ΠΕΡΙΟΧΗ ΠΡΟΣΛΗΨΗΣ ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΜΑΡΙΚΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Γ Αθηνών ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Λασίθι ΑΓΓΕΛΗ ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ
ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ ΠΕΡΙΟΧΗ ΠΡΟΣΛΗΨΗΣ ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΜΑΡΙΚΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Γ Αθηνών ΑΒΡΑΜΙΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Λασίθι ΑΓΓΕΛΗ ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Α Ανατ. Αττικής ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Αχαία ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΚυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα. Adam Smith 8 Crossfield Road Selly Oak Birmingham West Midlands B29 1WQ
- Dirección Κυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα Formato de dirección de México: Colonia Código postal + Estado, Ciudad. Jeremy Rhodes 212 Silverback Drive California Springs CA 92926 Formato
Διαβάστε περισσότεραΓια να ρωτήσετε αν κάποιος μπορεί να σας βοηθήσει να γεμίσετε μια φόρμα
- Γενικά Dónde tengo que pedir el formulario/impreso para? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Dónde tengo que pedir el formulario/impreso para? Cuál es la fecha de expedición de su (documento)?
Διαβάστε περισσότεραΠΑΥΛΙΝΑ 609315 ΠΕ11 25,5 ΚΑΒΑΛΑΣ ΑΝΑΤ. ΑΤΤΙΚΗ
ΕΛΛΕΙΜΑΤΙΚΕΣ - ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΙΚΕΣ 1 1 ΑΒΑΝΙΔΗ ΑΝΝΑ 593587 ΠΕ70 14 ΚΟΡΙΝΘΙΑ Α ΑΘΗΝΩΝ 2 ΑΒΕΡΚΙΑΔΟΥ ΠΑΤΑΡΙΝΣΚΑ ΠΑΥΛΙΝΑ 609315 ΠΕ11 25,5 ΚΑΒΑΛΑΣ ΑΝΑΤ. ΑΤΤΙΚΗ 3 ΑΒΟΥΡΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ 590405 ΠΕ16 36,917 ΖΑΚΥΝΘΟΣ ΣΕΡΡΕΣ
Διαβάστε περισσότεραMetrología Cuántica e Información Cuántica de Fisher.
Metrología Cuántica e Información Cuántica de Fisher. Entrelazamiento y Distinguibilidad en Interferometría Atómica. Diego Alejandro Lancheros Seminario de Óptica Cuántica. Universidad de Los Andes. Table
Διαβάστε περισσότεραKΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΑ ΙΣΠΑΝΙΚΑ
ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ KΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΑ ΙΣΠΑΝΙΚΑ Α. Να αποδώσετε στο τετράδιό σας στην ελληνική γλώσσα το παρακάτω κείμενο, προσδίδοντάς
Διαβάστε περισσότερα5.1. Relaciones elementales. Dado el triángulo ABC, que se muestra en la figura
Cpítulo 5 Triángulos Hemos trbjdo on el triángulo retángulo en generl hor estudiremos un triángulo ulquier y sus reliones más importntes. 5.1. Reliones elementles Ddo el triángulo ABC, que se muestr en
Διαβάστε περισσότεραPanel lateral/de esquina de la Synergy. Synergy πλαϊνή σταθερή πλευρά τετράγωνης καμπίνας. Rohová/boční zástěna Synergy
Instrucciones de instalación Suministrar al usuario ADVERTENCIA! Este producto pesa más de 19 kg, puede necesitarse ayuda para levantarlo Lea con atención las instrucciones antes de empezar la instalación.
Διαβάστε περισσότεραPuerta corredera de la Synergy Synergy Συρόμενη πόρτα Posuvné dveře Synergy Porta de correr da Synergy
Instrucciones de instalación Suministrar al usuario ADVERTENCIA! Este producto pesa más de 19 kg, puede necesitarse ayuda para levantarlo Lea con atención las instrucciones antes de empezar la instalación.
Διαβάστε περισσότεραProfr. Efraín Soto Apolinar.
1 Identidades Trigonométrias No te preoupes por tus difiultades en matemátias. todavía mayores. Alert Einstein. Te puedo asegurar que las mías son Funiones trigonométrias Las funiones trigonométrias son
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ INTRODUCCIÓN
ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΒΟΥΛΕΥΣΗ ΣΤΑ ΕΥΡΩΠΑΙΚΑ ΣΥΜΒΟΥΛΙΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ (ΕΣΕ) KAI Η ΚΟΙΝΟΤΙΚΗ ΟΔΗΓΙΑ 2009/38 INFORMACIÓN Y CONSULTA EN LOS COMITÉS DE EMPRESA EUROPEOS (CEE) Y LA DIRECTIVA COMUNITARIA 2009/38 Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραKIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS
KIT DE DRENAJE DE CONDENSADOS Estas instrucciones forman parte integrante del manual que acompaña el aparato en el cual está instalado este Kit. Este manual se refiere a ADVERTENCIAS GENERALES y REGLAS
Διαβάστε περισσότεραΤο παρόν σχέδιο μαθήματος δημιουργήθηκε από την κα. Radost Mazganova, καθηγήτρια Ισπανικών και την κα. Yordanka Yordanova, καθηγήτρια χημείας
Μάθημα (τίτλος) Καθαρές ουσίες και μείγματα Επίπεδο γλωσσικής επάρκειας Α1 Α2 Β1 Β2 C1 Τάξη/βαθμίδα: πέμπτη Αριθμός μαθητών στην τάξη: 15 Θέμα: Άνθρωπος και φύση / Ουσίες και οι ιδιότητές τους Προϋποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραDigestión de los lípidos
Digestión de los lípidos El 90% de los lípidos de la dieta está conformado por triacilglicéridos. El 10% restante está compuesto por fosfolípidos, colesterol, ésteres de colesterol y ácidos grasos libres
Διαβάστε περισσότεραProcedementos operatorios de unións non soldadas
Procedementos operatorios de unións non soldadas Técnicas de montaxe de instalacións Ciclo medio de montaxe e mantemento de instalacións frigoríficas 1 de 28 Técnicas de roscado Unha rosca é unha hélice
Διαβάστε περισσότεραM14/1/AYMGR/HP1/GRE/TZ0/XX
M14/1/AYMGR/HP1/GRE/TZ0/XX 22142045 MODERN GREEK A: LANGUAGE AND LITERATURE HIGHER LEVEL PAPER 1 GREC MODERNE A : LANGUE ET LITTÉRATURE NIVEAU SUPÉRIEUR ÉPREUVE 1 GRIEGO MODERNO A: LENGUA Y LITERATURA
Διαβάστε περισσότεραΤαξίδι Τρώγοντας έξω. Τρώγοντας έξω - Στην είσοδο. Τρώγοντας έξω - Παραγγελία φαγητού
- Στην είσοδο Me gustaría reservar una mesa para _[número de personas]_ a las _[hora]_. Για να κάνετε κράτηση Una mesa para _[número de personas]_, por favor. Για να ζητήσετε τραπέζι Aceptan tarjetas de
Διαβάστε περισσότεραA proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.
Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5
Διαβάστε περισσότεραNro. 01 Septiembre de 2011
SOL Cultura La Tolita, de 400 ac. a 600 dc. En su representación se sintetiza toda la mitología ancestral del Ecuador. Trabajado en oro laminado y repujado. Museo Nacional Banco Central del Ecuador Dirección
Διαβάστε περισσότεραΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ
ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΕΒΡΟΥ ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΑΛΑΪΤΖΙΔΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ του ΜΙΧΑΗΛ ΚΟΖΑΡΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ του ΧΡΗΣΤΟΥ ΜΑΛΚΟΥΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΜΟΡΑΛΗΣ ΖΗΣΗΣ του ΙΩΑΝΝΗ ΕΚΛΟΓΙΚΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ
Διαβάστε περισσότεραCENTRIFUGAL AIR COOLED CONDENSERS CONDENSADORES DE AIRE CENTRÍFUGOS. GPC, GMC and GSC Series. Series GPC, GMC y GSC
CENTRIFUGAL AIR COOLED CONDENSERS GPC, GMC and GSC Series CONDENSADORES DE AIRE CENTRÍFUGOS Series GPC, GMC y GSC Key Example / Ejemplo de nomenclatura de modelos GP Direct Drive 900/100 rpm / Transmisión
Διαβάστε περισσότεραPronombres-Adjetivos. Los pronombres personales presentan diferentes formaciones y desinencias tanto en singular como en plural.
Pronombres-Adjetivos Pronombres personales Los pronombres personales presentan diferentes formaciones y desinencias tanto en singular como en plural. Primera persona: Nominativo ἐγώ: yo ἡμεῖς: nosotros
Διαβάστε περισσότεραEL ADJETIVO GRIEGO 2-1-2 2-2 3-1-3
EL ADJETIVO GRIEGO El adjetivo griego, al igual que el sustantivo, también se declina. El adjetivo griego tiene que concordar con el sustantivo en género, número y caso. En latín no podemos decir puer
Διαβάστε περισσότεραPolinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Expresións alxébricas... páx. 64 De expresións a ecuacións Valor numérico Expresión en coeficientes
4 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás: A traballar con expresións literais para a obtención de valores concretos en fórmulas e ecuacións en diferentes contextos. A regra de Ruffini. O teorema
Διαβάστε περισσότεραLos Determinantes y los Pronombres
Los Determinantes y los Pronombres Englobamos dentro de los determinantes al artículo y a todos los adjetivos determinativos (demostrativos, posesivos, numerales, indefinidos, interrogativos y exclamativos).
Διαβάστε περισσότεραInmigración Documentos
- General Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Pedir un formulario Πότε εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Pedir la fecha de expedición de un documento Πού εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Pedir el lugar de expedición de
Διαβάστε περισσότεραInmigración Documentos
- General Dónde tengo que pedir el formulario/impreso para? Pedir un formulario Cuál es la fecha de expedición de su (documento)? Pedir la fecha de expedición de un documento Cuál es el lugar de expedición
Διαβάστε περισσότεραΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΑΠΛΟΤΗΤΑ. Innovación y simplicidad
pro ima pro ima Innovación y simplicidad PROXIMA es la última innovación de Serrature Meroni, un producto diseñado tanto para aquellos que ya disponen de un pomo PremiApri Meroni en su puerta, como para
Διαβάστε περισσότεραEJERCICIOS TEMA 3. Ejercicio 1 (Pagina 93 Tema 3 ) Contabilidad del empresario
EJERCICIOS TEMA 3 Ejercicio 1 (Pagina 93 Tema 3 ) Un empresario inicia en el mes de enero su actividad de comercio al por mayor de relojes. A continuación se detallan las primeras operaciones que realiza.
Διαβάστε περισσότεραPAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II
PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio
Διαβάστε περισσότεραFísica P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a
Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 1 ELECTOMAGNETISMO INTODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. Calcúlase a resultante polo principio de superposición. Aplícase a 2ª lei
Διαβάστε περισσότεραIV FESTIVAL LEA. Concurso entre escuelas de aprendizaje del español
IV FESTIVAL LEA El IV Festival Iberoamericano Literatura En Atenas, organizado por la revista Cultural Sol Latino, el Instituto Cervantes de Atenas y la Fundación María Tsakos, dura este año dos semanas:
Διαβάστε περισσότεραXEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo.
XEOMETRÍA NO ESPAZO Vectores fixos Dos puntos do espazo, A e B, determinan o vector fixo AB, sendo o punto A a orixe e o punto B o extremo, é dicir, un vector no espazo é calquera segmento orientado que
Διαβάστε περισσότεραΜΟΡΙΑ ΠΙΝΑΚΑ ΣΕΙΡΑ ΠΙΝΑΚΑ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΑ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ ΚΛΑΔΟΣ ΤΡΙΤΕΚΝΟ Σ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΠ/ΣΗΣ
1 ΜΑΡΑΜΗ ΕΥΑΓΓΕΛΟ ΝΙΚΟΛΑΟ ΠΕ16.01 ΟΧΙ Β 1 38,715 Α Θεσσαλονίκης ΔΙΕΥΘΥΝΗ Π.Ε. ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ Α 2 ΚΟΛΛΙΑ ΩΤΗΡΙΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ ΠΕ16.01 ΟΧΙ Β 2 17,29 Β Αθηνών ΔΙΕΥΘΥΝΗ Π.Ε. ΑΘΗΝΑ Β 3 ΔΕΠΟΤΗ ΩΤΗΡΙΟ ΚΩΝΤΑΝΤΙΝΟ ΠΕ16.01
Διαβάστε περισσότεραPolinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio
3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables,
Διαβάστε περισσότεραCAPÍTULO 6: EL PRONOMBRE DEMOSTRATIVO Y RELATIVO
CAPÍTULO 6: EL PRONOMBRE DEMOSTRATIVO Y RELATIVO I. EL PRONOMBRE DEMOSTRATIVO Hay dos tipos de pronombres demostrativos: cercanos y lejanos. 1 Normalmente sirven para señalar la cercanía o lejanía de alguien/algo
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΩΦΕΛΟΥΜΕΝΩΝ (ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΑ) ΑΝΑ ΔΗΜΟ ΔΟΜΗΣ
ΑΕΡΑΚΗ ΚΛΕΟΠΑΤΡΑ 15879 28,69 ΓΙΑΝΝΕΛΟΥ ΜΑΡΙΑ - ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ 30475 Α2 - Δομή Παιδικού Σταθμού - Γκανογιάννη 78, Γουδή ΑΛΒΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗ 15765 60,69 ΚΑΤΣΗ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ - ΜΕΛΙΝΑ 30524 Α2 - Δομή Παιδικού Σταθμού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΤΡΩΝΥΜΟ / ΟΝΟΜΑ ΣΥΖΥΓΟΥ 1 ΑΓΟΡΑΣΤΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ 2 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΟΥ ΠΑΥΛΟΥ 3 ΑΚΤΣΟΓΛΟΥ ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ
Υποψήφιοι ημοτικοί Σύμβουλοι: ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ / ΣΥΖΥΓΟΥ 1 ΑΓΟΡΑΣΤΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ 2 ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΟΥ ΠΑΥΛΟΥ 3 ΑΚΤΣΟΓΛΟΥ ΣΩΚΡΑΤΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ 4 ΑΛΦΑΤΖΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ 5 ΑΜΟΡΓΙΑΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
Διαβάστε περισσότεραVentiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice de aluminio.
HCH HCT HCH HCT Ventiladores helicoidales murales o tubulares, de gran robustez Ventiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice
Διαβάστε περισσότεραNúmeros reais. Obxectivos. Antes de empezar.
1 Números reais Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Clasificar os números reais en racionais e irracionais. Aproximar números con decimais ata unha orde dada. Calcular a cota de erro dunha aproximación.
Διαβάστε περισσότεραε x = du dx ε(x) = ds ds = du(x) dx
Capítulo 8 ECUCIONES DIFERENCIES Cálculo de desplazamientos Dr. Fernando Flores 8.. INTRODUCCIÓN En este capítulo se sistematizan las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas. En general se
Διαβάστε περισσότεραRESULTADOS DE LA PRUEBA INICIAL DE CLASIFICACIÓN. CURSO Documento para adjuntar a la Solicitud de plaza
RESULTADOS DE LA PRUEBA INICIAL DE CLASIFICACIÓN CURSO Documento para adjuntar a la Solicitud de plaza Yo, con DNI, número de teléfono y dirección de correo electrónico, solicitante del idioma, nivel,
Διαβάστε περισσότεραMATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA CUADERNO DE EJERCICIOS SOLUCIONES. Dra. Lorena Zogaib Departamento de Matemáticas ITAM
MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA CUADERNO DE EJERCICIOS SOLUCIONES Dra. Lorena Zogaib Departamento de Matemáticas ITAM Agosto 4, 4 INTRODUCCIÓN Este documento constituye un material de apoyo para el
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές Υπολογιστών
Εφαρμογές Υπολογιστών Κεφάλαιο 7 Προγραμματισμός υπολογιστή Ψευδογλώσσα Διαδικασία επιλογής Σύνθετη ΑΝ ΣΥΝΘΕΤΗ: Δομή Αν τότε Εντολές1 αλλιώς Εντολές2 Τέλος_Αν Εφαρμογές Υπολογιστών Κεφάλαιο 7
Διαβάστε περισσότερα