SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119

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1 Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg altura / 8 altura 8 tg 8 0,700 9, m. Con la calculadora:,0 0,8 tg, ec, sec, cotg 0,7 7. El cateto que falta mide 9 4 : A / B / A / B / tg A / / tg B / ec A / ec B / / sec A / / sec B / cotg A / cotg B / / Por lo tanto: A B tg A cotg B sec A ec B Página 0 8. tg 7 4,0 4 0,9 9. 7,474 β,97 0. Construimos la siguiente tabla: A B ec A sec B cotg A tg B Ángulo o coo tangente no existe no existe Construimos la figura siguiente: º º º 4º,º 4º 0, ,90 0, ,4 tg tg 4,4-0

2 Página 04. tg 4 ( ); 9 9 ; 9 9 / ± / Como pertenece al º cuadrante, la solución correcta es la positiva, además, / no es solución de la ecuación original. 4 / ec / sec / 4 cotg 4 /. En este caso, / pues, al ser tg < 0, es un ángulo del 4º cuadrante, además, > 0: 4 / ec / sec / 4 cotg 4 / 0 0 / 0 0 / tg 0 tg 0 /. 4 4 / 4 / tg tg / 4 / tg tg / 0 0 / tg 0 tg 0 / 4. a) ( + ) + ( ) ( + ) tg + b) + tg tg + tg / tg tg ( ) c) ( + )( ) ( ) + Página / 00 0 / tg 00 tg tg 70 tg 90 no existe / / tg 0 tg 0 cotg 0 / / 0 0 / tg 0 tg 0 0 (0) (0) 0 / (0) 0 / tg (0) tg / 40 0 / tg 40 tg 0 -

3 Página 07 Piensa y contesta (A + B) (90 A B) (90 A) B (90 A) B A B A B tg + tg 0 / 4 + / 9. tg ( + 0), 4 tg tg 0 / 4 / / 4 + tg ( + 4) 7 / 4 0. (4 0) , 9 7 (0 + 4) , , ,970 0, 49 (0 4) ,970 0,49 0, 7 tg 4 tg 0. tg tg (4 0) + tg 4 tg 0 + 0, tg 4 + tg 0 tg 7 tg (4 + 0) tg 4 tg 0 +, 7 Página 08. No, por ejemplo, 90 pero 4 /. 4. 0,4 0, ,4 0,90 0,7 0 0,90 0,4 0,48 0,7 tg 0, 9 0,48 Por otra parte: tg /., 0, /, 0, 94 4 / tg, 0, /. + + ( ) ( ) tg + + Página a) 0 0 b) 4 c) d) 0 e) 0 8 f) 4 9 ( ) tg x ( ) tg x x x 8. x x 9. a) b)

4 c) d) e) f) x x x x 8x 4x + 0. ( + β) β β ( β) β + β Sumamos las dos expresiones: ( + β) + ( β) β Restamos las dos expresiones: ( + β) ( β) β Cambio de variable: + β A β B Por lo tanto: A + B A B β Sustituimos en las expresiones obtenidas al sumar y restar: A + B A A + B A + B A A B B B 4 x ± x 0, x 0, x 0, x 4 0 Si y toma cualquiera de los otros tres valores obtenemos las mismas soluciones, por lo tanto, las soluciones del sistema son: (0, 4), (0, 4), (0, 4), (0, 4) (0, ), (0, ), (0, ), (0, ) (0, ), (0, ), (0, ), (0, ) (0, ), (0, ), (0, ), (0, ) Página. x x ; x ( x) ; 4 4 x 4 4 x 0; t x; 4t 4t 0; t t 0, x x x 4, x x no es válida porque y, por lo tanto, /. x 4 x x, x 4 De la misma forma, x 4 no es válida. Las soluciones son x 4 y x. x + x x x x. x x x x x x x + x x x x + x x Página 0 Piensa y contesta Sumamos y Resolvemos y ± ± y 4, y, y, y 4 Sustituimos Si y 4 x x 4 x x + x + x x + x + x + x + x +. x 4 ( x x) ; x 4 ( x x) ; x x 0; 8 x + x 0; x 0,7 x 4,4 ; x 7, x -

5 x 0,9 x 9,, x 4 47,7 4. y β + γ son ángulos complementarios: tg tg β + tg tg γ + tg β tg γ tg (tg β + tg γ) + tg β tg γ tg β + tg γ + tg βtg γ tg β tg γ + tg β tg γ tg β + γ ( ) Página Piensa y contesta arc tg ( / 00),84 β arc tg (8 / 00) 4,74 Las carreteras forman un ángulo de,9. Página. a) c , 944 m γ 8 / 0, γ 48,9 β 90 48,9 4,8 b) γ 90 7,47 4, b 7 4, 9,97 m c 7 4, 8,04 m c) a + 9 m tg β /,4 β 7,80 tg γ / 0,4 γ,0.a) La situación es la siguiente: C x 70,99, 077 km Página 7. Un grado sexagesimal es la medida que se obtiene al dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. Si x es la medida de un ángulo en grados πx sexagesimales, el ángulo mide rad. 0 Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene la misma longitud que el radio. Si x es la medida de un ángulo en radianes, el ángulo 0x mide grados. π. c / a b / a tg c / b ec a / c sec a / b cotg b / c. La tabla es la siguiente: Cuadrantes Seno Coo Tangente Primero Segundo + Tercero + Cuarto + 4. Según el Teorema de Pitágoras: + 0º y b) x 9 (90 0) 9 0 7,794 km y 9 (90 0) 9 0 4, km B Por lo tanto, la distancia entre A y C mide, según el Teorema de Pitágoras: x + ( y + d(a, B) ) 7, , A. Si llamamos β al otro ángulo agudo del triángulo de la actividad anterior. + β 90 y, además: -4

6 β β tg β β / β / cotg. a) (80 ) (80 ) tg (80 ) tg b) (80 + ) (80 + ) tg (80 + ) tg c) () () tg () tg 7. ( + β) β + β ( + β) β β tg + tg β tg ( + β) tg tg β ( β) β β ( β) β + β tg tg β tg ( β) + tg tg β tg tg tg tg ± ± ± Son aquellas en las que la ecuación aparece en una o varias funciones trigonométricas. 0. a) Para resolverlas hay que expresarlas en función de un solo ángulo y de una única razón trigonométrica, o bien factorizarlas. Actividad personal. b) c) d) e) f) π 40 π rad 0 9 π 90 π rad 0 π 70 7π rad 0 8 π 40 4π rad 0 π 00 π rad 0 π 7π rad π /. a) 0º π 0 7π / 4 b) º π 0 π / c) º π 0 π / d) 40º π 0, e) 8,99º π 0 π / 9 f) 0º π. tg 7, /,,08 47,9 x / x 0,0,84 cm A + B A B 8. A + B A + B A B A B A + B A B A + B A + B A B A B. a) 0,80 b) 0,707 c) d) 0,9004 e),0 f),44 4. a) / -

7 b) π 80 0 c) 4 / d) 4 / e) ctg (0) / tg (0) / tg 0 f) / Por lo tanto: tg (π ) ( π ) ( π ) 7. a) / ; tg 4 / / 7 0 / ec / 4; sec / ; cotg / 4. 4 tg ec 4 sec 4 cotg / 4 / 4 4. a) Si es del primer cuadrante, π + es del tercer cuadrante, por lo tanto: (π + ) 9 / (π + ) y (π / + ) son complementarios: (π / + ) [(π / + )] (π + ) 0 7 b) tg (π + ) ( + π) ( + π) / 7 0 / ( + π) ( ) + π c) (π / + ) y (π / ) son suplementarios: (π / ) (π / + ) 0 7 d) Como pertenece al primer cuadrante, π / también pertenece al primer cuadrante. (π ) y (π / ) son complementarios: (π ) [(π / )] (π / ) 0 7 (π ) [(π / )] (π / ) b) / ; tg ec / 4; sec ; cotg / 4 c) / ; tg ec ; sec ; cotg d) / ; / ; tg / sec / tg ( + 0) ( / 4) / 4 tg (4 ) + / 4 Por otra parte: 4 ; / ; cotg ( ) / 9 ( ) ; 9 / ; ± / ( / ) 0,4,4 Si / 4 / ; ec / ; ; sec / 4; cotg 4 / Si / 4 / ; ec / / ; sec / 4; cotg 4 / Página ( ) ; 4 / ; ± / ; Si / / 4 ; -

8 4 4 Y, por lo tanto: 4 Si / / 4 ; 4 4 Y, por lo tanto: 4 0. ±0,980 Si 0,980: (π / ) 0,; (π / ) 0,980; tg (π / ) 0, / 0,980 0,04 (π / ) (π / ) (π / ) (π / ) 0, 0,980 0,904 (π / ) (π / ) (π / ) + (π / ) 0, 0, , 0,980 0,9 tg (π / ) (π / ) / (π / ) 0,904 / 0,9,48 ec (π / ) / (0,904),08 sec (π / ) / 0,9, cotg (π / ) / (,48) 0,4 Si 0,980: (π / ) 0,; (π / ) 0,980; tg (π / ) 0, / (0,980) 0,04 (π / ) (π / ) (π / ) (π / ) 0, (0,980) 0,904 (π / ) (π / ) (π / ) + (π / ) 0, (0,980) + 0, (0,980) 0,9 tg (π / ) (π / ) / (π / ) 0,904 / (0,9),48 ec (π / ) / (0,904),08 sec (π / ) / (0,9), cotg (π / ) /,48 0,4. tg / 4 4 ; 9 ( ) ; 9 / ; ± / Si / 4 / 7 / Si / 4 / 7 /. ( + ) + + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + 4. a) 4 0 b) 4 0 c) 4 0 d) tg 4 4. a) β β + β + β β ( β) β β β + β + β β b) β β β β β β + β ( + β) β β ( β) + c) + tg -7

9 . a) Demostraremos: Veamos: + cotg + + ( ) ( ) + cotg b) Demostraremos la igualdad: + + ; ( ) ( ) Primera opción 0 < 4x < 90 0 < x <, < x + < 7, En este caso, 4x > 0 y (x + ) > 0 como x + está en el segundo cuadrante y 4x, en el primero, debe ocurrir x + 4x 90 x Segunda opción 90 < 4x < 80, < x < 4 7, < x + < 80 En este caso, 4x < 0 pero (x + ) > 0 no hay solución. Tercera opción 80 < 4x < 70 4 < x < 7, 80 < x + < 0, 4x < 0 y (x + ) < 0 debe ocurrir, al estar 4x y x + en el tercer cuadrante, (4x 80) + (x ) 90 x Cuarta opción 70 < 4x < 0 7, < x < 90 0, < x + < 4x > 0 y (x + ) < 0 no hay solución Las soluciones son x, x. 8. Resolvemos 4x (x + ) Primera opción 0 < 4x < 90 0 < x <, < x + < 7, En este caso, 4x > 0 y, por lo tanto, (x + ) debería ser también positivo, a que no ocurre. Segunda opción 90 < 4x < 80, < x < 4 7, < x + < 80 En este caso, 4x > 0 pero (x + ) vuelve a ser negativo. Tercera opción 80 < 4x < 70 4 < x < 7, 80 < x + < 0, 4x < 0 y (x + ) < 0 debe ocurrir, al estar 4x y x + en el tercer cuadrante, (4x 80) + (x ) 90 x Cuarta opción 70 < 4x < 0 7, < x < 90 0, < x + < 4x < 0 y (x + ) < 0 debe ocurrir, al estar 4x en el cuarto cuadrante y x + en el tercero, 4x (x + ) 90 x 7 Las soluciones son x, x a) x x x ; x ( x) x ; x x ; x x 0; x ( x ) 0; x 0 x k, x k x 0 x / x 0 + 0k, x k b) x x x -8

10 Y vimos en la Actividad que x x 4 x Por lo tanto, la ecuación queda: x + x x + x 4 x 0 x ( + x + 4 x) 0; x [4 + x 4( x)] 0; x ( x + 4 x) 0; x x ( + x) 0; x 0 x 0 + 0k, x k x 0 x k, x k + x 0 x / x k, x k 0. Si hacemos el cambio de variable u tg x, v tg y, e intentamos resolver el sistema: u + v + + u v Observamos que no existen soluciones reales. m 8 m h x 9 m 9 - x Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones: h h + x + (9 x) 8 (9 x) x 4 ; ; x / 8,94 m h +,94 h ±, La solución negativa no nos sirve, por lo tanto, h, m. Por lo tanto: b h 9, A,. 8 / 4 9,47 m. a) b, m b > a, a que no puede suceder pues a debería ser la hipotenusa no existe el triángulo. b) C b a C 0,4,88 m c a C 0,7 4,9 m. a cm tg B b / c / B,9 C 90,9,. Triángulo de la izquierda: B c / tg 44,4 cm a / 44 7,7 cm Triángulo de la derecha: C 90 b,9 cm c,9 cm 4.Repretamos la situación: 8 cm 4 cm Por lo tanto, el ángulo que buscamos es 8,94.. La diagonal de la cara del cubo mide + cm mientras que la diagonal del cubo mide + cm., 7. tg z /, 0,8 8,0 m, m 8. tg 0 0 / d(a, B) d(a, B) 0 / tg 0 0 / /,7 8,88 m a P -9

11 Página β es el ángulo suplementario de γ, por lo tanto, tg ( + β) tg γ: tg ( + β) + tg γ tg γ + tg γ El ángulo que falta mide B 0º 0º 4º a 0º A C P P 484 P d P Si el ángulo fuera 0, la distancia tapada sería m d(a, B). Si el ángulo fuera 4, la distancia tapada sería d(a, B) + d(a, C) > m d (B, C) La distancia de pared tapada va aumentando hasta que se llega al ángulo de 4, momento a partir del cual vuelve a decrecer por simetría del proceso hasta el valor mínimo m. Por lo tanto, el ángulo B debe ser de 4. 0 / 7 7 BC / Análogamente: (0 / ) (90 / ) BC 4 AC / AB / 4. tg β / 7 β,99 AC 4 AC 4 tg ( + β) / 7 + β,99 7 8,40 cm Por lo tanto,,99,99 8,. 0 4,47 cm 4, cm 4. Si P es la longitud de la pantalla, según el triángulo de altura d: P / P P tg d d tg tg tg P tg 4 tg Por otra parte, según el triángulo de altura m: P / P tg Substituyendo esta expresión en la anterior: Autoevaluación 0 π /. π / 90º π 0 π / 4 π / 4 4º π 0 π / π / 0º π 0 π / 4 π / 4 º π 0 0π / 4 0π / 4 40º π π 90 π. 90 rad π 0 π rad 0 π π rad 0 4 π 40 π rad 0 4 π 00 π rad k y k, k entero 4. En un triángulo rectángulo: a) (π / ) c. opuesto / hipotenusa b) (π / ) c. contiguo / hipotenusa. 9,47-0

12 9,47 / AC AC / 9,47,4 tg 9,47 BC / BC tg 9,47,. (π ) 9 tg (π / ) ctg / 4 7. ( + ) ( + ) β β 8. a) + β β + β β + β β + β tg + β tg + β tg ( + ) b) π tg 4 π + 4 Como π / 4 y π / 4 + son complementarios: π 4 π 4 π 4 π π π 4 4 Como y π / son complementarios: 9. Como el ángulo es del primer cuadrante, el coo y o serán números positivos, por lo tanto, despreciaremos los valores negativos que vayamos obteniendo: + ; ; ( ) ; ; ; Cambio de variable x : 0x 7x + 0 x 0,; x 0, Si x 0, 0, k Si x 0, 0,447,4 + 0k Si sustituimos en la ecuación original, observamos que la solución no es válida. -

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