FORMULARIO DE ELASTICIDAD

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Νέστωρ Μπότσαρης
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1 U. D. Resistencia de Mateiales, Elasticidad Plasticidad Depatamento de Mecánica de Medios Continuos Teoía de Estuctuas E.T.S. Ingenieos de Caminos, Canales Puetos Univesidad Politécnica de Madid FORMULARIO DE ELASTICIDAD

2 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD TRIDIMENSIONAL. COORDENADAS CARTESIANAS ε Tenso de defomaciones: D ε ε Tenso de tensiones: T En ejes (,, ): T C T T C, D C T D C C mati de cambio de base ente bases otonomales Equilibio inteno (tensiones): + f ij, i j f f f 0 Equilibio inteno (movimientos): Gu + λ + G u + f ( ) jkk, kkj, j 0 e + ( λ + ) + 0 e + ( λ + ) + 0 e + ( λ + ) + 0 G u G f G v G f G w G f Equilibio en el contono: T.n (f, f, f ) T (n, veso nomal al contono) Compatibilidad en defomaciones: ε + ε ε (no sumatoio) ii, jj jj, ii ij, ij ε ε + ε ε + ε ε + ( ) ε ε + ε + ε (no sumatoio) ii, jk jk, i ik, j ij, k ε + + ε + ε +, i Compatibilidad en tensiones (Beltami Mitchell): ν ij + s, ij fi, j f j, i f αα, δij + ν ν s ν + ν ν s ν + ν ν s ν + ν ν s + ν s + ν s + ν

3 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) Ecuaciones cinemáticas: ε ij ( ui, j + uj, i ), ω ij ( uj, i ui, j ) u v w ε ε ε ; u v u w v w v u w u w v ω ω ω Ecuaciones constitutivas: ij ν Hooke: εij kkδij G E ε ν ν ε ν ν ε E ν ν G G G Lamé: Gε + λε δ ij ij kk ij E ν ν ν ε ν ν ν ε ( + ν)( ν) ν ν ν ε G G G Paámetos vaios: λ ν E ( + ν )( ν ) ; G E ( + ν ) ; K E 3 s kk + + ; e ε kk ε + ε + ε s λ + G e 3 ; s Ke ( ν ) W f u f v f w dvol Vol f u f v f w da A Tabajo fueas eteioes: ( + + ) + ( + + ) Enegía elástica: U T: D dvol + + ν ( ) ( ) Vol Vol E E G dvol

4 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD TRIDIMENSIONAL. COORDENADAS CILÍNDRICAS ε Tenso de defomaciones: D ε ε Tenso de tensiones: T Equilibio inteno (tensiones): f f f 0 Compatibilidad intena (defomaciones): ε ε + 0 ε ε ε 0 u u u u Ecuaciones cinemáticas: ε ε + ε u u u u u u u Ecuaciones constitutivas: ε ν ν Hooke: ε ν ν ε E ν ν G G G E ν ν ν ε Lamé: ν ν ν ε ( + ν)( ν) ν ν ν ε G G G Solución a pati de una función de tensiones: Φ Φ Φ Φ Φ Condición fundamental: Φ 0 Φ ν Φ Φ ν Φ Obtención de tensiones (caso ail-simético): Φ ( ν) Φ Φ ( ν) Φ 3

5 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. COORDENADAS CARTESIANAS TENSIÓN PLANA (laja o placa de pequeño espeso) Tenso de defomaciones: D ε 0 ε ε Tenso de tensiones: 0 T Equilibio inteno (tensiones): + + f f 0 f 0 Equilibio inteno (movimientos): e G u + G + f 0 ν e G u + G + f 0 ν ν e ( ε + ε ) ν Compatibilidad en defomaciones: ε ε + Compatibilidad en tensiones: ( + ) ( + ν) + Ecuaciones constitutivas: Hooke: ε ν 0 ε ν 0 E 0 0 ( ν ) + ν ε ( + ) E E ν 0 ε Lamé: ν 0 ε ν ν 0 0 4

6 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. COORDENADAS CARTESIANAS DEFORMACIÓN PLANA (baa o tubo de gan longitud) Tenso de defomaciones: D ε 0 ε Tenso de tensiones: 0 T Equilibio inteno (tensiones): + + f f 0 f 0 Equilibio inteno (movimientos): e G u + G + f 0 ν e G u + G + f 0 ν e ε + ε Compatibilidad en defomaciones: ε ε + Compatibilidad en tensiones: ( + ) + ν Ecuaciones constitutivas: Hooke: ε ν ν ν 0 ε + ν ν 0 E 0 0 λe+ Gε Lamé: λe+ Gε ( ) ν + 5

7 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. COORDENADAS CARTESIANAS SOLUCIÓN A PARTIR DE UNA FUNCIÓN DE TENSIONES (fueas de masa constantes) 4 Condición fundamental de la función de Ai: Φ 0 Obtención de tensiones: Φ Φ Φ f f Φ Φ Φ LÍNEAS CARACTERÍSTICAS α α α X (, ) α Y Tensiones pincipales:, + ± + Tensión tangencial máima: ma + α cos α + sin α + sin αcosα Tensiones alededo de un punto: sinαcosα + cos α sin α α ( ) ( ) Ángulo de las tensiones pincipales con el eje : i tan ; tani, i, d Líneas isostáticas: ± + d Líneas isoclinas: tan ϕ cte 6

8 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) Líneas isobaas:, + ± + cte d Líneas de máima tensión tangencial: ± + d Defomaciones pincipales: ( ) ε, ε + ε ± ε ε + 4 Defomación tangencial máima: ( ) ma ε ε + 4 ε + ε ε ε εα + cos α + sin α Defomaciones alededo de un punto: ε ε sin α cos α α ( ) εi ε Ángulo de las defomaciones pincipales con el eje : tan, tani ε ε ε 7

9 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. COORDENADAS POLARES Tenso de defomaciones: ε D ε Tenso de tensiones: T d f 0 Equilibio inteno (tensiones): f 0 Compatibilidad intena (tensiones): ( ) Ecuaciones constitutivas: + 0 Tensión plana: ε ν ε E ν ; G E ν ε ν ν ε ; G ν ε ( + ) E Defomación plana: ε + ν ν ν ε E ν ν ; G E ν ν ε + ν ν ν ν ε ; G ( )( ) ( ) ν + u u u Ecuaciones cinemáticas: ε ε + u u u + Solución a pati de una función de tensiones: Condición fundamental: Φ 0 Obtención de tensiones: Φ Φ + Φ Φ Φ Φ Φ Φ + + 8

10 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) TORSIÓN UNIFORME L L M t M t M t SOLUCIÓN EN MOVIMIENTOS (SAINT VENANT) ω Ángulo giado po unidad de longitud: ϑ L Ángulo giado en una sección cualquiea: ω ( ) ϑ u ϑ Movimientos: v ϑ, siendo f(,) la función de alabeo, tal que f 0 w ϑ f (, ) Ecuación constitutiva: M t GJϑ J dd A + + SOLUCIÓN EN TENSIONES (PRANDTL) Solución a pati de una función de tensiones: Φ Condición fundamental (compatibilidad): Φ cte Gϑ 0 s Φ Φ Obtención de tensiones: 0 contono Φ cte contono Equilibio en las secciones etemas: M Φdd Φ Φ Enegía potencial total: V U W 4Gϑ dd G + Φ A t A 9

11 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) FÓRMULAS PRÁCTICAS PARA ALGUNAS SECCIONES Cicula de adio R (f(,) 0): M M t t M t ω t M ma πr πr πr L GπR M t Gω Cuadada de lado a: ma M t a 0.08a L Rectangula de lados a b: M M a a ab b b Gω a a L b b t ma 3 t a b + 0

12 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) SOLUCIONES A ALGUNOS PROBLEMAS ELÁSTICOS Voladio de caas oblicuas: N cos H sin M sin + α + sin α α sin α sin α αcos α 0 M ( cos cosα ) ( sin α αcos α) Tubo cicula sometido a pesiones adiales: A + C A + C 0 ν + ε ( ) 0 ( ) cte p p p p A C p H p N M α +α Talado cicula en una chapa indefinida: p p p ( ) p p p 4 + ξ ( + 3ξ ) cos p 4 ( 3ξ + ξ ) sin siendo ξ 4 ξ + + 3ξ 4ξ cos p p 0

13 Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM)

Σχετικά έγγραφα

CAPITULO 5 ELASTICIDAD PLANA

CAPITULO 5 ELASTICIDAD PLANA Supongamos el sólido de la figua, que posee foma cilíndica con sus geneatices paalelas al eje z, que se encuenta sometido a la acción de las cagas indicadas. El valo de dichas