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1 Clase 09/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje relativamente sencillo = lógica proposicional. lógica proposicional: sintaxis (notación) y semántica (significado). sintaxis. definición inductiva del conjunto de proposiciones PROP. principio de inducción sobre PROP. esquema de recursión sobre PROP. semántica tablas de verdad, asignaciones y valuaciones. propiedades. validez lógica ( = ) y consecuencia lógica (Γ = ). completitud funcional deducción natural reglas de inferencia. ejemplos de derivaciones, derivaciones como árboles. definición formal de derivación, y Γ. principio de inducción y esquema de recursión. Más conectivos, más reglas Por completitud funcional, es posible definir los restantes conectivos en términos de los del conjunto reducido {,, }. Por ejemplo, := y := ( ). Pero cuando uno hace razonamientos proposicionales en la vida real, no se restringe a este conjunto de conectivos, sino que además usa,, etcétera, cada uno con sus particulares reglas de inferencia. La forma en que uno deduce un es partir de y llegar a y viceversa. Esto lo podríamos condensar en una regla de introducción de : [] [] I. Nos harían falta también reglas de eliminación. Éstas tienen la misma forma que ( E):. 1

2 Las reglas para la disyunción son las siguientes: [] [] E. Las reglas de introducción de la disyunción son muy intuitivas: una vez demostrada una proposición, con mayor razón puedo concluir que ella u otra vale. La regla ( E) es un modelo de prueba por casos: si puedo probar cuando es cierta, y también puedo hacerlo cuando es cierta, entonces puedo probar bajo la única suposición de que alguna de las dos es cierta (i.e., que es cierta). Por último, ponemos dos reglas más relativas a la negación, que el lector reconocerá (de igual modo a las de ) como abreviaciones de derivaciones ya hechas previamente: [] La extensión de la definición formal del conjunto de derivaciones D se puede hacer como sigue: ( I) Dadas D y D en D, la siguiente [] D [] D es una derivación en D. () Si D 1, D2 y D son derivaciones, entonces D := D1 D D := D2 D pertenecen a D. [] () Dada D en D, entonces D está en D. () Si tenemos derivaciones D y D entonces 2 D D pertenece a D.

3 () Si D D está en D, entonces también lo está. Si D entonces también lo está. ( E) Dadas D, D y D en D, la siguiente D está en D, D [] D [] D, E es una derivación de D. Nota 1. Tener mucho cuidado cuando se aplica la regla I: la hipótesis se cancela en la primera subderivación (es decir, D), pero no en la segunda (D ). Lo mismo se aplica para E. Como un ejemplo de derivación usando todas las reglas introducidas, demostraremos la equivalencia clásica entre la implicación y la implicación material,. Ejemplo 1. Ver que ( ) ( ). Es natural suponer que la última regla aplicada va a ser la introducción de, así que de ese modo comenzamos nuestra derivación: [ ] [ ] D1 D2 I El lado izquierdo necesita una aplicación de la reducción al absurdo: D 1 := [] 1 E [ ( )] 2 1 [ ( )] 2 RAA2 D 1 tiene como única hipótesis no cancelada a y Concl(D 1 ) =, así que nos sirve 3

4 El lado derecho es el más fácil: [ ] 3 [] 4 D 2 := I 4 [] 3 E3 También D 2 tiene las propiedades requeridas, así que [ ] 5 [ ] 5 D1 D2 I5 es la derivación que andábamos buscando (donde cancelamos las hipótesis recuadradas). Extensión de las definiciones recursivas de la clase pasada La clase pasada definimos la función Concl() : D PROP. Como acabamos de extender el conjunto D, completamos la definición: [] Concl( D [] D ) = Concl( D1 D ) = Concl( D2 D [] ) = Concl( D ) = D Concl( D D ) = Concl( ) = D Concl( ) = Concl( D [] D [] D ) = E También extendemos la definición de la función recursiva Hip() : D P(PROP): 4

5 [] Hip( D [] D ) = D (Hip( ) {}) D (Hip( ) {}) Hip( Hip( D1 D2 D ) = Hip( D 1 ) Hip( D ) D ) = Hip( D2 ) Hip( D ) Hip( D D Hip( [] [] Hip( D ) = D Hip( ) {} D ) = Hip( D ) Hip( D ) D Hip( ) = Hip( D ) D Hip( ) = Hip( D ) D [] D ) = Hip( D E ) (Hip( D ) {}) D (Hip( ) {}) Hacer también alguna de las siguientes derivaciones: ( ) si y también entonces si y también entonces ( ) ( ) ( ) es reflexiva, transitivia y algo así como antisimétrica. 5

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