ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε την εγκυρότητα προτάσεων γραμμένων στον Προτασιακό Λογισμό. Να συγκρίνετε τις μεθόδους μεταξύ τους αναφέροντας τα πλεονεκτήματα/μειονεκτήματα της κάθε μιας από αυτές. α Κανόνες Συμπερασμού Πλεονέκτημα: Είναι δυνατόν να προκύψουν απλές και σύντομες αποδείξεις ακόμα και για προτάσεις με μεγάλο αριθμό ατομικών προτάσεων. Μειονέκτημα: Αβεβαιότητα ως προς την επιλογή των κανόνων που θα χρησιμοποιηθούν. β Πίνακες Αλήθειας Πλεονέκτημα: Η μέθοδος μπορεί εύκολα να αυτοματοποιηθεί. Μειονέκτημα: Εκθετική απόδοση ως προς τον αριθμό ατομικών προτάσεων της πρότασης. γ Μετατροπή σε CNF και έλεγχος ύπαρξης συμπληρωματικών στοιχείων σε όλους τους όρους. Πλεονέκτημα: Απλή και εύκολα υλοποιήσιμη μέθοδος με πολυωνυμικό χρόνο εκτέλεσης ως προς το μέγεθος της πρόταση που προκύπτει μετά από τη μετατροπή σε CNF. Μειονέκτημα: Κατά τη μετατροπή σε CNF είναι δυνατόν το μέγεθος της πρότασης να αυξηθεί εκθετικά. β Να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο Satisfy_Horn για να αποφασίσετε κατά πόσο οι πιο κάτω προτάσεις είναι ικανοποιήσιμες. Σε περίπτωση ικανοποιήσιμης πρότασης να δώσετε ανάθεση τιμών στις ατομικές προτάσεις της που να την κάνει αληθή. i Η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη για την ανάθεση: = = = Τ και = = F

2 ii Η πρόταση δεν είναι ικανοποιήσιμη αφού η τελευταία διάζευξη παίρνει την τιμή F. Άσκηση [0 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα. α q r, q, r. q r προϋπόθεση. q προϋπόθεση. r προϋπόθεση. υπόθεση. q r MP, 6. q υπόθεση 7. i, 6 8. r υπόθεση 9. i, 8 0. e, 6-7, 8-9. i -0 β x φ x ψ x φ ψ. x φ x ψ προϋπόθεση. x φ υπόθεση. x 0. φ[x 0 /x] υπόθεση. φ[x 0 /x] ψ[x 0 /x] i 6. φ ψ[x 0 /x] 7. x φ ψ x i 6 8. x φ ψ x e, x ψ υπόθεση 0. x 0. ψ [x 0 /x] υπόθεση. φ[x 0 /x] ψ[x 0 /x] i. φ ψ[x 0 /x]. x φ ψ x i. x φ ψ x i 9, 0-6. x φ ψ e -8, 9-

3 γ x Px Qx x Px x Qx. x Px Qx υπόθεση. x Qx x Qx LEM. x Qx υπόθεση. x Px x Qx i. x Qx υπόθεση 6. x 0 7. Px 0 Qx 0 x e 8. Px 0 υπόθεση 9. Qx 0 υπόθεση 0. x Qx x i 9. i 9-0. Px 0 e. Px 0 e 7, 8, 9-. x Px x i 6-. x Px x Qx i 6. x Px x Qx e, -, - 7. x Px Qx x Px x Qx i -6 Άσκηση [0 μονάδες] Έστω η πρόταση φ = x y Sx,y z Sx,z Sz,y. α Να εξηγήσετε με ακρίβεια γιατί το επακόλουθο φ είναι ψευδές. Θα δείξουμε ότι φ. Τότε, από την ορθότητα του Κατηγορηματικού Λογισμού, το επακόλουθο είναι ψευδές. Για να δείξουμε ότι η φ πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει μοντέλο στο οποίο η πρόταση φ δεν ικανοποιείται. Θεωρούμε το μοντέλο: Α = οι ακέραιοι και Sx,y αν x < y. Προφανώς υπάρχουν ζεύγη ακεραίων, τους α και α+, στα οποία ενώ α < α+, δεν υπάρχει κανένας ακέραιος β τέτοιος ώστε α < β < α+. β Να δώσετε μοντέλο στο οποίο να ισχύει η πρόταση φ. Μπορούμε να θεωρήσουμε το μοντέλο Α = οι πραγματικοί αριθμοί και Sx,y αν x < y. Προφανώς ανάμεσα σε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β, α<β, βρίσκεται ο α+β/ και η πρόταση ικανοποιείται. Άσκηση [0 μονάδες] Να αποφασίσετε κατά πόσο ο πιο κάτω συλλογισμός είναι έγκυρος χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης.

4 [ x Mx Fx] S x [Dx Mx Fx] [ x Mx Dx] Συμπέρασμα: S Κατ αρχή μετατρέπουμε τις προτάσεις σε PNF: x Mx Fx S = x Mx Fx S x Dx Mx Fx = x Dx Mx Fx Mx Fx Dx = x Dx Mx Fx Dx Mx Fx = x Dx Mx DX FxDx Mx Fx [ x Mx Dx] = [ x Mx Dx] = x Mx Dx] S Με απαλοιφή των ποσοδεικτών προκύπτει η πιο κάτω προτασιακή μορφή. {{ Mx, Fx,S},{Mx, Dx},{Fx, Dx},{Dx, Mx, Fx},{Ma},{Da}, { S}} Εφαρμόζουμε την Μέθοδο της Επίλυσης και παίρνουμε: Mx, Fx, S S Mx,Dx Dx, Mx, Fx} Fx, Dx Mx, Fx Ma Da Mx, Dx Da Επομένως οι προτάσεις δεν είναι ικανοποιήσιμες.

5 Άσκηση [0 μονάδες] Να εξηγήσετε τι είναι ένα SLD-δένδρο και να επιδείξετε την εκτέλεση του πιο κάτω προγράμματος Λογικού Προγραμματισμού μέσω ενός τέτοιου δένδρου. X rx X tx qx ux qx vx sa sb ta uc va X, qx Δοσμένου ενός προγράμματος Λογικού Προγραμματισμού που αποτελείται από ένα στόχο και ένα σύνολο προτάσεων, ένα SLD-δένδρο είναι ένα δένδρο το οποίο έχει ως ρίζα τον στόχο του προγράμματος και κόμβους όρους που σχετίζονται με το πρόγραμμα έτσι ώστε να υπάρχει ακμή από ένα κόμβο Α σε κάποιο κόμβο Β αν και μόνο αν η πρόταση του κόμβου Β προκύπτει από την πρόταση του κόμβου Α μέσω εφαρμογής του κανόνα SLD-Επίλυση σε συνδυασμό με κάποια πρόταση του προγράμματος. Με άλλα λόγια, το δένδρο αναπαριστά τους δυνατούς τρόπους με τους οποίους ο στόχος του προγράμματος μπορεί να μετασχηματιστεί μέσω του κανόνα SLD-Επίλυση και των διάφορων γεγονότων που απαρτίζουν το πρόγραμμα. Πιο κάτω φαίνεται μέρος του δένδρου που αντιστοιχεί στο πρόγραμμα. X, qx tx, qx X, ux rx, qx X, vx qa tx, ux tx, vx c rx, ux rx, vx a ua va ta tc rc ra ta