Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo"

Transcript

1 Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012

2 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju regionalna i republička takmičenja iz matematike. U cilju postizanja što boljih rezultata na tim takmičenjima pojedine škole sistematski tokom cijele školske godine rade sa učenicima, a pojedine škole i njihovi nastavnici sjete se, sdmicu ili dvije pred takmičenje, i onda pokušavaju da na brzinu pripreme učenike za takmičenje. Budući da su zadaci na takmičenju zahtjevniji od školskih zadataka, to je pogrešno je očekivati da se za desetak dana mogu postići neki rezultati na takmičenju. Samo trajna znanja mogu doći do izražaja na takmičenju, a ona se stiču postepenim i smišljenim sistematskim radom. Ovdje nam je želja da postaknemo sistematski i planski osmišljen rad sa nadarenim učenicima. osnovne i srednje škole. Daćemo neke smjernice za rad sa težištem na Teoriju brojevu. Prije nego što zaigramo neku utakmicu potrebno je da naučimo hodati i trčati. Tako je i sa matematikom. Prije nego što pod emo na takmičenje moramo znati matematički razmišljati i povezivati ranije stečena znanja u cilju sticanja novih znanja. Zbog toga treba naš rad osmisliti tako da nam prevashodno bude cilj razvijanje matematičkog mišljenja, a ne samo uvjež bavanje odred enih radnji. Djeljivost Krenimo od operacija sabiranja, oduzimanja i množenja cijelih brojeva. Kao što znamo ove operacije se mogu neograničeno vršiti u skupu cijelih brojeva. No, kao što znamo neki cio broj može biti paran i neparan. Odmah se nameću sljedeća pitanja: 1. Kada će zbir dva broja biti paran, a kada neparan? 2. Kada će proizvod dva broja biti paran, odnosno neparan? 3. Kada će proizvod tri broja biti paran, a kada će biti neparan broj? 4. Kada će zbir tri broja biti paran, a kada neparan? Nakon toga uraditi zadatak tipa: Zadatak Da li su tačne sljedeće tvrdnje? Vaš odgovor obrazložiti. i) Ako je zbir dva cijela broja paran broj, onda je njihova razlika takod e paran broj. 1

3 ii) Ako je zbir dva cijela broja neparan broj, onda je njihova razlika takod e neparan broj. iii) Ako je zbir dva cijela broja neparan broj, onda je njihov proizvod paran. iv) Ako je proizvod tri cijela broja neparan, onda je njihov zbir takod e neparan broj. Operacija djeljenja u skupu cijelih brojeva nije uvijek moguća, zato treba posvetiti dužnu pažnju djeljenju cijelih brojeva. Definicija 1. Neka su a i b nenulti cijeli brojevi. Ako postoji cio broj c takav da je a = bc, onda kažemo da b dijeli a i pišemo b a. Ako je a bc za svaki cio broj c, onda kažemo da b ne dijeli a i pišemo b a. Sada treba obraditi djeljivost cijelih brojeva sa 2,3,4,5,6,8,9,10,11,12 i 15. Iz definicije djeljivosti mogu se izvesti sljedeće osobine djeljivosti. Teorem 2. a) Ako b a, onda za svako c Z, b ac. b) Ako a b i b c, onda a c. c) Ako a b i a c, onda za svako x, y Z a (bx + cy). d) Ako a b i b a, onda je a = ±b. e) Ako a b i a > 0, b > 0, onda je a b. f) Ako je neka suma djeljiva cijelim brojem i svi sabirci osim jednog su djeljivi tim cijelim brojem, onda je i taj sabirak djeljiv cijelim brojem. U nižim razredima ovaj teorem ilustrirati na nekoliko primjera, a u višim razredima dokazati. Obavezno uraditi nekoliko zadataka u kojima će se primjeniti tvrdnje ovog teorema. Prosti brojevi U Teoriju brojeva posebno mjesto zauzimaju prosti brojevi. Definicija 3. Za prirodan broj p veći od jedan kažemo da je prost ako je djeljiv samo sa jedan i samim sobom. Za prirodan broj koji nije prost kažemo da je složen. 2

4 Navesti nekoliko prostih brojeva. Zati postaviti pitanje da li je skup prostih brojeva konačan skup. Odgovor na to pitanje daje Teorem 4 (Euklid). Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Sljedeći teorem daje jednu jako lijepu osobinu prostih brojeva. Teorem 5. Neka je p prost broj. Ako p (ab), onda p a ili p b. Na nekoliko primjera pokazati kako se cijeli brojevi rastavljaju na proizvod prostih faktora. Nakon toga navesti sljedeći teorem koji nam govori da ova faktorizacija vrijedi za sve cijele brojeve Teorem 6 (Osnovni stav aritmetike). Svaki cio broj n može se napisati kao proizvod potencija prostih brojeva n = ±2 e 1 3 e 2 5 e 3 7 e4 p e k k, gdje su e i (i = 1, 2,..., k) nengativni cijeli brojevi. Znak plus se uzima ako je n pozitivan, a znak minus ako je n negativan broj. Ovaj prikaz je jednoznačno odred en (do poretka faktora u proizvodu). Primjer 90 = i 924 = Teorem 7. Neka prirodni brojevi m i n imaju faktorizaciju Tada m n ako i samo ako je Teorem 8. Prirodan broj ima tačno pozitivnih djelitelja. n = p e 1 1 p e 2 2 p e k k, m = p d 1 1 p d 2 2 p d k k. 0 d i e i (i = 1, 2,..., k). n = p e 1 1 p e 2 2 p e k k τ(n) = (e 1 + 1) (e 2 + 1) (e k + 1) Primjer Pretpostavimo da je n prirodan broj takav da broj 2n ima 28 pozitivnih djelitelja, a broj 3n ima 30 pozitivnih djelitelja. Koliko pozitivnih djelitelja ima broj 6n? 3

5 Rješenje Broj n prikažimo u obliku n = 2 e 1 3 e 2 p e 3 3 p e k k. Tada je Prema uslovu zadatka je 2n = 2 1+e 1 3 e 2 p e 3 3 p e k k, 3n = 2 e e 2 p e 3 3 p e k k, 6n = 2 1+e e 2 p e 3 3 p e k k. (2 + e 1 )(e 2 + 1)(e 3 + 1) (e k + 1) = 28, (1 + e 1 )(e 2 + 2)(e 3 + 1)... (e k + 1) = 30, Stavimo t = (e 3 +1) (e k +1). Tada je (2+e 1 )(e 2 +1)t = 28 i (1+e 1 )(e 2 +2)t = 30. Dakle, t je zajednički djelilac brojeva 28 i 30 pa je t = 1 ili t = 2. Ako je t = 1, onda je (2 + e 1 )(e 2 + 1) = 28 i (1 + e 1 )(e 2 + 2) = 30. Odavde nalazimo e 1 = 5 i e 2 = 3. Tada je τ(6n) = (2 + e 1 )(2 + e 2 )t = = 35. Ako je t = 2, onda je (2 + e 1 )(e 2 + 1) = 14 i (1 + e 1 )(e 2 + 2) = 15. Jednostavno se provjerava da ova jednačina nema rješenja u skupu cijelih brojeva. Teorem 9 (Algoritam o djeljenju). Svaki cio broj a može se na jedinstven način pomoću datog prirodnog broja b predstaviti u obliku gdje su q i r cijeli brojevi. a = bq + r, 0 r < b, Broj q se naziva količnikom, a broj r ostatkom djeljenja broja a brojem b. Na osnovu algoritma o djeljenju zaključiti: 1. Svaki cio broj se može napisati u obliku: 2k ili 2k Svaki cio broj se može napisati u obliku: 3k, ili 3k + 1 ili 3k Svaki cio broj se može napisati u obliku: 4k ili 4k + 1 ili 4k + 2 ili 4k + 3. Svaki prosti broj veći od tri može se predstaviti u obliku 6k + 1 ili 6k 1, gdje je k nenegativan cio broj. Podvući da se umjesto brojeva 2,3,4 mogu uzeti i drugi brojevi, tj. generalizirati tvrdnju. Koristeći ovu činjenicu dokazati da je proizvod dva uzastopna broja uvijek paran, da je proizvod tri uzastopna broja djeljiv sa 6, da je proizvod četiri uzastopna broja djeljiv sa 24=(4!). Generalizirati. Uraditi nekoliko zadataka iz ove oblasti. 4

6 Zadaci 1. Koliko djelilaca ima broj 6!? 2. Ako prirodan broj n ima neparan broj različitih prostih djelilaca, on je potpun kvadrat. 3. Naći a ako 3 a, 4 a i τ(a) = Ako je ab = cd, onda je broj a 2 + b 2 + c 2 + d 2 složen. 5. Ako je n neparan broj, onda je broj n 2 1 djeljiv sa Dokazati 12 (n 4 n 2 ). 7. Svaki prost broj veći od 3 može napisati u obliku 6k + 1 ili 6k Ako su p i 8p prosti brojevi, dokazati da je i 8p 2 + 2p + 1 prost broj. 9. Odrediti prost broj p ako se zna da su brojevi p + 10 i p + 14 prosti brojevi. 10. Ako su p i p prosti brojevi, onda je p prost broj. 11. Dokazati (a) 6 (n 3 + 5n), (b) 30 (n 5 n), (c) Za koje n 120 (n 5 n)? 12. (3 a, 3 b) 3 (a 2 + b 2 ) (a 2 + b 2 ) 441 (a 2 + b 2 ) (a + b + c) 6 (a 3 + b 3 + c 3 ). 15. Ako je p prost broj veći od 3, onda 24 (n 2 1). 16. Ako su p i q prosti brojevi veći od 3, onda 24 (p 2 q 2 ) (3x + 7y) 19 (43x + 75y), (3a + 2b) 17 (10a + b). 19. Ako 9 (a 2 + ab + b 2 ), onda 3 a i 3 b. 20. Ako je p prost broj veći od 3, onda je p 2 = 24t + 1 za neki prirodan broj t. 21. Naći sve proste brojeve p i q tako da je p 2 2q 2 = 1. 5

7 Najveći zajednički djelilac Definicija 10. Cio broj d je zajednički djelilac brojeva a i b, ako d a i d b. Cio broj d je najveći zajednički djelilac brojeva a i b ako vrijedi (i) d je zajednički djelilac brojeva a i b; (ii) za svaki zajednički djelilac q brojeva a i b vrijedi q d. Svaki nenulti cio broj ima konačno mnogo zajedničkih djelilaca, pa med u njima postoji onaj najveći i njega nazivamo najvećim zajedničkim djeliocem. Najveći zajednički djelilac brojeva a i b označavamo sa nzd(a, b). Neki autori koriste oznaku (a, b). Ja izbjegavam ovu oznaku iz razloga što može doći do zabune sa ured enim parom (a, b). Može se koristiti i engleska oznaka gcd(a, b) ili < a, b >. Definicija 11. Za cijele brojeve a i b kažemo da su uzajamno (relativno) prosti ako je nzd(a, b) = 1. Teorem 12. Neka su a, b i c nenulti cijeli brojevi takvi da je ab = c 2. Tada je a = du 2 i b = dv 2, gdje je d = nzd(a, b). Ovdje je važno uočiti sljedeću činjenicu: Ako je d = nzd(a, b), onda postoje cijeli brojevi u i v takvi da je a = du i b = dv. Brojevi u i v su uzajamno prosti. Prilikom računanja najvećeg zajedničkog djelioca treba koristiti sljedeće očigledne činjenice: nzd(a, 1) = 1, nzd(a, a) = a, nzd(a, 0) = a, Koristeći formulu nazd(a, b) = nzd(b, a), nzd(a, aq) = a. nzd(a, b) = nzd(b, a b) mi možemo računati najveći zajednički djelitelj zamjenjujući veći broj sa razlikom većeg i manjeg broja. Primjer nzd(63, 28) = nzd(28, 35) = nzd(28, 7) = nzd(7, 21) = nzd(7, 14) = nzd(7, 7) = 7. Primjer[IMO 1959.] Dokazati da se razlomak 21n+4 14n+3 jednu vrijednost prirodnog broja n. ne može skratiti ni za 6

8 Rješenje nzd(21n + 4, 14n + 3) = nzd(14n + 3, 7n + 1) = nzd(7n + 1, 7n + 2) = nzd(7n + 1, 1) = 1. Kako je nzd(21n+4, 14n+3) = 1, to se ovi brojevi nemaju zajedničkih faktora osim jedan, pa se razlomak ne može skratiti ni za jedan cio broj n. Teorem 13. Ako je k prirodan broj, onda je nzd(ka, kb) = k nzd(a, b). Teorem 14. Ako su brojevi b i c relativno prosti, onda iz c ab slijedi c a. Teorem 15. Ako je a = bq + r, onda je nzd(a, b) = nzd(b, r). Na prethodnom teoremu se zasniva Euklidov algoritam. Pošto brojevi a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2,. r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 r n < r n 1, r n 1 = r n q n+1. r 1, r 2,..., r k,... čine opadajući niz prirodnih brojeva to će se ovaj niz nakon konačnog broja koraka završiti, tj. doći do jednakosti oblika r n 1 = r n q n+1. Posljednji ostatak koji je različit od nule predstavlja najveći zajednički djelilac brojeva a i b. Teorem 16. Ako je d najveći zajednički djelilac cijelih brojeva a i b, onda postoje cijeli brojevi x i y takvi da je d = ax + by. Postavlja se pitanje kako odrediti ove cijele brojeve x i y? Njih je najjednostavnije odrediti iz tzv. proširenog Euklidovog algoritama. Teorem 17. Neka su a i b prirodni brojevi. Tada je nzd(a, b) = s n a + t n b, gdje su s n i t n n ti članovi niza definisanog rekurzijom kako slijedi s 0 = 1, t 0 = 0 s 1 = 0, t 1 = 1 s j = s j 2 q j 1 s j 1, t j = t j 2 q j 1 t j 1 za j = 2, 3,..., n gdje su q j količnici u divizionom Euklidovom algoritmu za nalaženje najvećeg zajedničkog djelioca brojeva a i b. 7

9 Primjer Neka je a = 252 i b = 198. Koristeći Euklidov algoritam odredimo nzd(a, b), a zatim prikažimo nzd(a, b) kao linearnu kombinaciju brojeva a i b. Imamo 252 = = = = Dakle, nzd(252, 198) = 18. Količnici su redom: q 1 = 1, q 2 = 3, q 3 = 1 i q 4 = 2. Sada koristimo algoritam prethodne teoreme za odred ivanje nizova s i i t i. s 0 = 1, t 0 = 0 s 1 = 0, t 1 = 1, s 2 = s 0 s 1 q 1 = = 1, t 2 = t 0 t 1 q 1 = = 1, s 3 = s 1 s 2 q 2 = = 3, t 3 = t 1 t 2 q 2 = 1 ( 1) 3 = 4, s 4 = s 2 s 3 q 3 = 1 ( 3) 1 = 4, t 4 = t 2 t 3 q 3 = = 5. Pošto je r 4 = nzd(252, 198) = 18 to je 18 = Ovo se može složiti u tabelu sličnu Hornerovoj šemi. i q i s i = s i 2 q i 1 s i t i = t i 2 q i 1 t i Tada je nzd(a, b) = s 4 a + t 4 b = ( 5) 198. Definicija 18. Zajedničkim sadržiocem nenultih cijelih brojeva a i b podrazumjevamo svaki cio broj koji je djeljiv brojevima a i b. Najmanji med u pozitivnim zajedničkim sadržiocima brojeva a i b naziva se najmanji zajednički sadržilac brojeva a i b i označavamo ga sa nzs(a, b). Za najmanji sajednički sadržilac i najveći zajednički djelilac brojeva a i b vrijedi nzs(a, b) nzd(a, b) = ab. Naime, ako je d = nzad(a, b), onda je a = du, b = dv, gdje su u i v relativno prosti cijeli brojevi. Tada je nzs(a, b) = d uv, pa je nzs(a, b) nzd(a, b) = d uv d = du dv = ab. 8

10 Zadaci 1. Dokazati da se razlomci 12n n + 2 i 21n n + 3 ne mogu skratiti ni za jednu vrijednost broja n. 2. Dokazati da je nzd(5a + 3b, 13a + 8b) = nzd(a, b). 3. Naći sve brojeve s kojima se može skratiti razlomak 5n + 5 8n Ako se razlomak an + b (n N) cn + d može skratiti sa k, onda je cio broj ad bc djeljiv sa k. 5. Neka je d n = nzd(3n+5, 5n+3) n N. Odrediti A = {d n n N}. Za svako k A odrediti B k = {(n N k = nzd(3n + 5, 5n + 3)}. 6. Najmanji zajednički sadržilac dva broja je za 10 veći od njihovog zajedničkog djelioca. Naći ta dva broja. 7. Dat je pravougaonik sa stranicama 324cm i 141cm. Prvo je odrezujemo jedan po jedan kvadrat sa stranicom 141cm sve dok ne dobijemo pravougaonik u jojem je jedna stranica manja od 141cm. Od ovog pravougaonika odrezujemo jedan po jedan kvadrat čija je dužina stranice jednaka manjoj stranici ovo pravougaonika sve dok ne dobijemo pravougaonik kod kojeg je jedna stranica manja od manje strane ovog pravougaonika itd. Kolika je stranica posljednjeg odrezanog kvadrata? Koliko smo odrezali ukupno kvadrata i kojih dimenzija? 8. Nad ite (bar jedan) par prirodnih brojeva a i b, tako da se od pravougaonika a b mogu izrezati tačno 6 kvadrata maksimalnih i različitih dimenzija. 9

11 9. Tri automata na ulazu primaju ured ene parove cijelih brojeva i na izlazu takod e daju ured eni par cijelih brojeva. Ako je na sva ulazu sva tri automata par (m, n), onda na izlazu prvog automata je par (m+n, n), drugog automa par (m n, n) i trećeg automata par (n, m). a)da li se automati mogu uvezati tako da par (19, 18) na ulazu u niz automata daje na izlazu (7, 13) ili (12, 21)? (Na raspolaganju svakog tipa automata imamo dovoljan broj.) b) Odrediti potreban i dovoljan uslov da ulaz (a, b) daje izlaz (c, d). 10. Neka je na milimetarskom papiru nacrtan pravougaonik dimenzija 272 mm 204 mm tako da mu stranicice idu duž linija na milimetarskom papiru. Povucimo jednu njegovu dijagonalu i odredimo kroz koliko čvorišta milimetarskog papira prolazi dijagonala. Drgim riječima, koliko parova cijelih brojeva leži na dijagonali. Generalizirati ovo za paralelogram stranica a mm i b mm. Kongruencije Definicija 19. Neka su a i b cijeli brojevi i m prirodan broj veći od 1. Ako m (a b), onda kažemo da je a kongruentno broju b modulo m i pišemo a b ( mod m). Teorem 20 (Osnovne osobine kongruencije). a) Ako je a b ( mod m), onda brojevi a i b imaju isti ostatak pri djeljenju sa m. b) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je a ± c b ± d ( mod m). c) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je ac bd ( mod m). d) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je a k b k ( mod m). e) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je P (a) P (b) ( mod m) za svaki polinom P (x) sa cjelobrojnim koeficijentima. Primjer Naći ostatak pri djeljenju broja sa 125. Rješenje Kako je 1978 = i broj 2000 je djeljiv sa 125, to je (mod 125). 10

12 Tada je Nadalje, je ( 22) 20 ( mod 125). ( 22) 20 = ( 16) 10 (mod 125) = ( mod 125) 26 ( mod 125). Primjer Ako su za neki prirodan broj n brojevi 2n + 1 i 3n + 1 potpuni kvadrati, onda 40 n. Rješenje Neka je 2n + 1 = a 2 i 3n + 1 = b 2, gdje su a i b prirodni brojevi. Posmatrajmo kongruencije po modulu 8. n n Dakle, 2n + 1 daje ostatke {1, 3, 5, 7} pri djeljenju sa 8. Nadalje, imamo a a Dakle, a 2 ima ostatke 0,1,4. Kao je a 2 = 2n + 1, to ostaci moraju biti isti. To znači mora biti a 2 1 (mod 8) i 2n (mod 8). Odavde slijedi da je n = 4k. Tada je b 2 = 12k + 1. Primjenimo kongruenciju po modulu 8. Imamo b 2 12k + 1 4k + 1 (mod 8). k k Dakle, b 2 1 ili 5 (mod 8). Kako kvadrat prirodnog broja može biti kongruentan 0 ili 1 ili 4, to imamo samo jednu mogućnost b 1 = equiv1 (mod 8). Dakle, b 2 = 8i + 1, pa je 12k + 1 = 8i + 1, tj. 3k = 2i. Dakle, k je paran broj, tj. k = 2j, pa je n = 4k = 8j. Dakle, n je djeljiv sa 8. Potrebno je da pokažemo da je n 0 (mod 5). a a n n n

13 Kako je a 2 2n + 1 i b 2 3n + 1 po modulu 5, to vidimo da samo slučaj n 0 (mod 5) zadovoljva uslove. Naime, za n 1(mod 5) i n 4(mod 5) je 2n + 1 3(mod 5), a a 2 ne može nikad biti kongruentno 3 po modulu 5. Za n 2 (mod 5) je b 2 3n + 1 2, što je nemoguće. Ako je n 3 (mod 5), onda je a 2 2n (mod 5), što je nemoguće. Dakle, n 0 (mod 5). Zadaci 1. Odrediti ostatk pri djeljenju broja 2 22 sa Odrediti ostatak pri djeljenju broja sa Odrediti posljednju cifru u dekadskom zapisu broja Odrediti najmanji prirodan broj n takav da je broj n djeljiv sa Dokazati da 4n nije djeljivo sa 19 ni za jedna prirodan broj n. 6. Odrediti sve prirodne brojeve n, takve da broj n 8 n 2 nije djeljiv sa Naći sve prirodne brojeve n za koje je broj 10 n + 8 djeljiv sa Ako su trocifrenom broju djeljivom sa 7, dvije posljednje cifre iste, dokazati da je zbir cifara tog broja djeljiv sa Naći najmanji prirodan broj n takav da je 2001 n 1 djeljiv sa Neka je prirodan broj n relativno prost sa 10. Dokazati da 101 potencija broja n ima iste tri posljednje cifre kao n. 11. Ako prirodan broj n nije djeljiv sa 7, dokazati da je jedan od brojeva n 3 1 i n djeljiv sa Ako je n proizvoljan neparan prirodan broj, dokazati da je broj (n 2 1) (n+ 3) djeljiv sa Petocifreni broj a378b je djeljiv sa 72. Odrediti cifre a i b. 14. Naći sve prirodne brojeve n (sa bar tri cifre) koji imaju osobinu da se brojevi x i x 2 u dekadskom sistemu završavaju sa tri iste cifre. 15. Da li postoje cijeli brojevi m i n takvi da je m = n 2? 12

14 Diofantove jednačine Jednačine čija se rješenja posmatraju u skupu cijelih brojeva ili u nekom njegovom podskupu nazivaju se Diofantove jednačine. Definicija 21. Jednačina oblika ax + by = c, gdje su a, b i c cijeli brojevi naziva se linearna Diofantova jednačina. Ured eni par cijelih brojeva (s, t) za koji je as + bt = c naziva se rjšenje linearne Diofantove jednačine. Teorem 22. Linearna Diofantova jednačina ax + by = c ima rješenje ako i samo ako nzd(a, b) c. U tom slučaju je opšte rješenje jednačine oblika x = y = c nzd(a, b) u + b nzd(a, b) t, c nzd(a, b) v a t (t Z), nzd(a, b) gdje su u i v cijeli brojevi odred eni Euklidovim algoritmom tj. au+bv = nzd(a, b). Ako su brojevi a i b uzajamno prosti, onda jednačina ax + by = c ima uvijek rješenje. Primjer Neka je p prost broj. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu 1 x + 1 y = 1 p. Rješenje Kako je 1 > 1 i 1 > 1 to je p < x i p < y. Neka je x = p + u, y = p + v p x p y gdje su u i v prirodni brojevi. Tada je 1 p + u + 1 p + v = 1 p. Nakon sred ivanja dobije se p 2 = uv. Neka je d = nzd(u, v). Tada iz p 2 = uv slijedi u = da 2, v = db 2 gdje su a i b prirodni brojevi. Tada je p = dab. Kako je 13

15 p prost broj, to imamo sljedeće mogućnosti: d = p, a = b = 1, a = p, b = d = 1 i b = p, a = d = 1. Tada je x = p + u = p + da 2 pa je x = 2p ili x = p + p 2 ili x = p + 1. Analogno nalazimo da je y = 2p, ili y = p + 1 ili y = p + p 2. Dakle, (x, y) {(2p, 2p), (p(p + 1), p + 1), (p + 1, p(p + 1))}. Primjer U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu 15x 2 7y 2 = 9. Rješenje Posmatrajmo kongruenciju po modulu 3. Tada je y 2 0 (mod 3), pa je y = 3y 1. Tada imamo 5x 2 21y 2 1 = 3. Ponovo primjenjujemo kongruenciju po modulu 3 i zaključujemo da 3midx, pa je x = 3x 1. Dalje je 15x 2 1 7y 2 1 = 1. Ponovo kongrunecija po modulu 3 i dobijamo y (mod 3), što je nemoguće. Dakle, jednačina nema rješenja u skupu cijelih brojeva. Primjer Riješiti sistem linearnih kongruencija x 3 ( mod 10), x 5 (mod 14). Rješenje Iz prve kongruencije imamo x = 10t + 3 za neki cio broj t. Iz druge kongruencije imamo x = 14s + 5 za neko s Z. Odavde imamo 10t = 14s + 2, tj. 5t = 7s + 1. Primjenom kongruencije po modulu 5 dobije se 2s (mod 5). Dakle, 2s + 1 = 5u (u Z). Odavde slijedi da je u neparan broj, pa je u = 2v + 1 (v Z). Tada je s = 5v + 2 i x = 70v + 33 (v Z). Zadaci 1. Naći sve parove (p, q) prostih brojeva tako da je p 3 q 5 = (p + q) Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine x 3 2y 3 4z 3 = Naći cjelobrojna rješenja jednačine xy + 3x 5y + 3 = Riješiti sistem kongruencija x 3 (mod 8), x 7 (mod 12). 14

16 5. Učenik je na testu imao 20 zadataka. Za svaki ispravno riješen zadatak dobio je 8 bodova, za svaki pogrešno riješen zadatak dobio je minus pet bodova, a za zadatak koji nije ni pokušao riješiti dobio je nula bodova. Na kraju je učenik imao 29 bodova. Koliko je zadataka ispravno riješio i koliko zadataka nije ni pokušao riješiti? 6. Da li je moguće 30 KM razmijeniti u 12 novčanica od 1KM, 2KM i 5KM. Ako je odgovor pozitivan onda naći broj različitih načina. 7. Naći najmanji prirodan broj sa sljedećim svojstvima: njegova polovina je kvadrat cujelog broja, njegova trećina je kub cijelog broja i njegova petina je peti stepen nekog prirodnog broja. 8. U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu (x+y)(x+3y) = p, gdje je p prost broj. 9. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu 1 n + 1 m = 1 mn Dokazati da jednačina 2x 2 5y 2 = 7 nema cjelobrojnih rješenja. 11. Dokazati da jednačina 15x 2 7y 2 = 9 nema rješenja u skupu cijelih brojeva. 12. Neki cio broj u decimalnom zapisu piše se sa 300 jedinica i izvjesnog broja nula. Da li taj broj može biti potpun kvadrat? 13. Neka je b cifra jedinica broja 2 n i neka je 2 n = 10a + b. Dokazati da je broj ab djeljiv sa Izvjestan broj od 15 listova papira isječen je na po 10 dijelova, zatim se od dobijenih listova isjeku još neki na po deset djelova itd. Kad su izbrojani dobijeni listići, pokazalo se da ih ima Dokazati da su listovi pogrešno izbrojani. 15. Naći najmanji prirodan broj čiji je ostatk pri djeljenju sa 2,3,5,7 i 11 jednak jedinici. 16. Nad ite bilo koja tri susjedna prirodna broja, od kojih je svaki od njih djeljiv sa kvadraton nekog cjelog broja većeg od 1. Da li se ova tvrdnja može generalizirati, tj. da li za svaki cio broj k postoji niz od susjednih prirodnih brojeva od kojih je svaki djeljiv sa kvadratom nekog prirodnog broja većeg od 1? 15

17 17. Naći najveci prirodan broj n za koji postoji tačno jedan prirodan broj k takav da je 5 9 < n n + k < Odrediti sve proste brojeve p takve da je 2p 4 p potpun kvadrat. 19. Odrediti sve uredene trojke (a, b, p) prirodnih brojeva takve da je p prost broj i da je p = b 2a b 4 2a + b. 20. Dokazati da zbir tri i više uzastopnih prirodnih brojeva nije nikada prost broj. 21. Ako je prirodan broj n kvadrat nekog prirodnog broja, dokazati da je proizvod dvije zadnje cifre broja n (cifre desetica i cifre jedinica) paran broj. 22. Naći sve trocifrene prirodne brojeve sljedećih osobina: ako se ispred posmatranog broja napiše ista cifra koja stoji na mjestu jedinica dobije se četvorocifreni broj koji je za 18 manji od sedmostrukog posmatranog broja. 23. Napisati sve parove uzajamno prostih prirodnih brojeva čiji je proizvod Napišimo cifre nekog broja u obrnutom poretku. Dokazati da tako dobijeni broj ne može biti dvaput veći od početnog broja. 25. Naći četvorocifreni broj abcd takav da je abcd = d dba. 26. Jedan broj se može rastaviti na dva faktora čija je razlika 6, a zbir njihovih četvrtih stepena je 272. Koji je to broj? 27. Dokazati da je zbir kvadrata bilo kojih pet uzastopnih cijelih brojeva djeljiv sa 5, ali nije djeljiv sa Ako su p i 8p 1 prosti brojevi, dokazati da je broj 8p + 1 složen broj. 29. Kvadrat nekog prirodnog broja je šestocifreni broj koji se sastoji, kada se posmatraju dvije po dvije cifre, od tri dvocifrena broja. Prvi i treći od njih su jednaki, a srednji je dvaput manji. Odrediti broj sa ovom osobinom. 16

18 30. Dokazati da izraz 3n 4 + 6n 3 2n 2 3n + 3 n 2 + 3n + 2 (n N) nije cio broj ni za jedno n N. 31. Naći četvorocifren broj koji je potpun kvadrat i čije su prve dvije cifre, kao i posljednje dvije cifre, jednake. 32. Dokazati da kvadrat proizvoljnog prostog broja veég od tri, pri djeljenju sa 12 daje ostatak Zbir dvocifrenog broja i broja koji ima iste te cifre, ali napisane obrnutim redom, daje potpun kvadrat. Naći sve takve brojeve. 34. Svaki cijeli stepen trocifrenog broja završava se na one tri cifre, kojima se piše taj broj (red pisanja cifara je nepromjenjen). Koji je to broj? 35. Naći četvorocifreni broj koji pri djeljenju sa 131 daje ostatak 112, a djeljenjem sa 132 daje ostak Odrediti sve dvocifrene brojeve koji su 14 veći od proizvoda svojih cifara. 37. Odrediti četvorocifreni broj abcd koji ispunjava uslove cda abc = 297 i a + b + c = Odrediti sve trocifrene brojeve abc koji imaju osobinu abc 2 = xyzabc. 39. Ako je cd = 2 ab, onda broj abcd ne može biti potpun kvadrat. 40. Od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sataviti dva broja P i Q koji će zadovoljavati sljedeće uslove: a) Prva cifra brojeva P i Q nije nula. b) Svaka od navedenih cifara se javlja jedanput i to samo u jednom iod navedenih brojeva P i Q. c) Broj Q je devet puta veći od broja P. 41. Naći prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju jednačinu 1! + 2! + + n! = m Naći sve dvocifrene brojeve koji su djeljivi proizvodom svojih cifara. 17

19 43. Naći sve trocifrene brojeve koji su djeljivi proizvodom svojih cifara. 44. Odrediti sve prirodne brojeve n tako da 5 (n 2 + n 2). 45. Odrediti sve prirodne brojeve n takve da je n 2 + n + 1 djeljivo sa Naći sve dvocifrene brojeve kod kojih se zbir cifara ne mijenja množenjem broja sa 2,3,4,5,6,7,8,9. (Uputstvo: Ako je a traženi bro, onda brojevi: a, 2a, 3a,..., 9a imaju isti zbir cifara. Broj 9a je djeljiv sa 9, pa mu je i zbir cifara djeljiv sa 9. Dakle, zbir cifara broja a je djeljiv sa 9, pa je i broj a djeljiv sa 9.) 47. Odrediti sve parove (a, b) prirodnih brojeva tako da su brojevi a+3 a 2 b + b2 a prirodni brojevi. + b+3 b a i 48. Odrediti sve parove (a, b) prirodnih brojeva tako da su brojevi 4a+p b i a2 + b2 prirodni brojevi, gdje je p neki prost broj. b a 49. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu 2 x + 3 y = z Ako je broj xyyy, (y 0) djeljiv brojem xy, onda je x = y. Dokazati! 51. Odrediti cifre x i y tako da je 4 xxy + 8 yyx = Naći sve parove (p, q) prostih brojeva, takvih da je 2p = q b+p a 53. Naći sve parove prostih brojeva (p, q) takvih da je 2(p 6 q 2 ) = (p q) Naći sve parove (p, q) prostih brojeva tako da je p 3 q 5 = (p + q) Naći sve parove prostih brojeva p i q tako da je p 2 + 3pq + q 2 a) potpun kvadrat: b) potencija broja Naći sve parove prirodnih brojeva (a, b) tako da je ab = nzd(a, b). 57. Naći sve parove prirodnih brojeva (a, b) a b tako da je ab = nzs(a, b) + 5nzd(a, b). 18

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

Ciljevi i način rada u metodičkoj radionici (I sadržaji iz teorije brojeva i algebre pogodni za rad na dodatnoj nastavi matematike) Ana Jurasić, 2013.

Ciljevi i način rada u metodičkoj radionici (I sadržaji iz teorije brojeva i algebre pogodni za rad na dodatnoj nastavi matematike) Ana Jurasić, 2013. Ciljevi i način rada u metodičkoj radionici (I sadržaji iz teorije brojeva i algebre pogodni za rad na dodatnoj nastavi matematike) Ana Jurasić, 2013. Zašto metodička radionica za nastavnike? Društvo pred

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994.

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994. Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA Osijek, 994. M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski Matematika Udžbenik U-6 Recenzenti: Prof.dr.sc. Hrvoje Kraljević Prof.dr.sc. Harry

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V?

Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? a) b) c) d) e) Odgovor: a), c), d) Objašnjenje: [1] Ohmov zakon: U R =I R; ako je U R 0 (za neki realni, ne ekstremno

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Statistika i osnovna mjerenja

Statistika i osnovna mjerenja Statistika i osnovna mjerenja Teorija vjerojatnosti M. Makek 2016/2017 Uvod Pokus bilo koji postupak ili proces koji rezultira opažanjem Ishod moguć rezultat pokusa (različiti ishodi se međusobno isključuju)

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel

Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel Zagreb, 31.01.006. Petra Deković Terezija Guzmić Danijel Kolarić Petra Korenić Nina Mikolaj Marin Žuvela Ovom nastavnom cjelinom uvode se u petom razredu

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

5. Upi{i brojeve 14, 15, 16, 17, 18 i 19 u krugove, ali tako da zbirovi na svakoj od stranica zami{qenog trougla budu me usobno

5. Upi{i brojeve 14, 15, 16, 17, 18 i 19 u krugove, ali tako da zbirovi na svakoj od stranica zami{qenog trougla budu me usobno Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije DRU[TVO MATEMATI^ARA SRBIJE OP[TINSKO TAKMI^EWE IZ MATEMATIKE U^ENIKA OSNOVNIH [KOLA 15.03.2008. III RAZRED 1. Izra~unaj: a) 52 10 + 12, b) 7 8 + 124, v)

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Elektronički Elementi i Sklopovi

Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

RE[EWA ZADATAKA IV RAZRED

RE[EWA ZADATAKA IV RAZRED Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije DRU[TVO MATEMATI^ARA SRBIJE OKRU@NO TAKMI^EWE IZ MATEMATIKE U^ENIKA OSNOVNIH [KOLA 19.04.008 IV RAZRED 1. Tri prijateqa, Milo{, Uro{ i Jano{, poklonili su

Διαβάστε περισσότερα