Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo
|
|
- Βλάσις Κουταλιανός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012
2 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju regionalna i republička takmičenja iz matematike. U cilju postizanja što boljih rezultata na tim takmičenjima pojedine škole sistematski tokom cijele školske godine rade sa učenicima, a pojedine škole i njihovi nastavnici sjete se, sdmicu ili dvije pred takmičenje, i onda pokušavaju da na brzinu pripreme učenike za takmičenje. Budući da su zadaci na takmičenju zahtjevniji od školskih zadataka, to je pogrešno je očekivati da se za desetak dana mogu postići neki rezultati na takmičenju. Samo trajna znanja mogu doći do izražaja na takmičenju, a ona se stiču postepenim i smišljenim sistematskim radom. Ovdje nam je želja da postaknemo sistematski i planski osmišljen rad sa nadarenim učenicima. osnovne i srednje škole. Daćemo neke smjernice za rad sa težištem na Teoriju brojevu. Prije nego što zaigramo neku utakmicu potrebno je da naučimo hodati i trčati. Tako je i sa matematikom. Prije nego što pod emo na takmičenje moramo znati matematički razmišljati i povezivati ranije stečena znanja u cilju sticanja novih znanja. Zbog toga treba naš rad osmisliti tako da nam prevashodno bude cilj razvijanje matematičkog mišljenja, a ne samo uvjež bavanje odred enih radnji. Djeljivost Krenimo od operacija sabiranja, oduzimanja i množenja cijelih brojeva. Kao što znamo ove operacije se mogu neograničeno vršiti u skupu cijelih brojeva. No, kao što znamo neki cio broj može biti paran i neparan. Odmah se nameću sljedeća pitanja: 1. Kada će zbir dva broja biti paran, a kada neparan? 2. Kada će proizvod dva broja biti paran, odnosno neparan? 3. Kada će proizvod tri broja biti paran, a kada će biti neparan broj? 4. Kada će zbir tri broja biti paran, a kada neparan? Nakon toga uraditi zadatak tipa: Zadatak Da li su tačne sljedeće tvrdnje? Vaš odgovor obrazložiti. i) Ako je zbir dva cijela broja paran broj, onda je njihova razlika takod e paran broj. 1
3 ii) Ako je zbir dva cijela broja neparan broj, onda je njihova razlika takod e neparan broj. iii) Ako je zbir dva cijela broja neparan broj, onda je njihov proizvod paran. iv) Ako je proizvod tri cijela broja neparan, onda je njihov zbir takod e neparan broj. Operacija djeljenja u skupu cijelih brojeva nije uvijek moguća, zato treba posvetiti dužnu pažnju djeljenju cijelih brojeva. Definicija 1. Neka su a i b nenulti cijeli brojevi. Ako postoji cio broj c takav da je a = bc, onda kažemo da b dijeli a i pišemo b a. Ako je a bc za svaki cio broj c, onda kažemo da b ne dijeli a i pišemo b a. Sada treba obraditi djeljivost cijelih brojeva sa 2,3,4,5,6,8,9,10,11,12 i 15. Iz definicije djeljivosti mogu se izvesti sljedeće osobine djeljivosti. Teorem 2. a) Ako b a, onda za svako c Z, b ac. b) Ako a b i b c, onda a c. c) Ako a b i a c, onda za svako x, y Z a (bx + cy). d) Ako a b i b a, onda je a = ±b. e) Ako a b i a > 0, b > 0, onda je a b. f) Ako je neka suma djeljiva cijelim brojem i svi sabirci osim jednog su djeljivi tim cijelim brojem, onda je i taj sabirak djeljiv cijelim brojem. U nižim razredima ovaj teorem ilustrirati na nekoliko primjera, a u višim razredima dokazati. Obavezno uraditi nekoliko zadataka u kojima će se primjeniti tvrdnje ovog teorema. Prosti brojevi U Teoriju brojeva posebno mjesto zauzimaju prosti brojevi. Definicija 3. Za prirodan broj p veći od jedan kažemo da je prost ako je djeljiv samo sa jedan i samim sobom. Za prirodan broj koji nije prost kažemo da je složen. 2
4 Navesti nekoliko prostih brojeva. Zati postaviti pitanje da li je skup prostih brojeva konačan skup. Odgovor na to pitanje daje Teorem 4 (Euklid). Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Sljedeći teorem daje jednu jako lijepu osobinu prostih brojeva. Teorem 5. Neka je p prost broj. Ako p (ab), onda p a ili p b. Na nekoliko primjera pokazati kako se cijeli brojevi rastavljaju na proizvod prostih faktora. Nakon toga navesti sljedeći teorem koji nam govori da ova faktorizacija vrijedi za sve cijele brojeve Teorem 6 (Osnovni stav aritmetike). Svaki cio broj n može se napisati kao proizvod potencija prostih brojeva n = ±2 e 1 3 e 2 5 e 3 7 e4 p e k k, gdje su e i (i = 1, 2,..., k) nengativni cijeli brojevi. Znak plus se uzima ako je n pozitivan, a znak minus ako je n negativan broj. Ovaj prikaz je jednoznačno odred en (do poretka faktora u proizvodu). Primjer 90 = i 924 = Teorem 7. Neka prirodni brojevi m i n imaju faktorizaciju Tada m n ako i samo ako je Teorem 8. Prirodan broj ima tačno pozitivnih djelitelja. n = p e 1 1 p e 2 2 p e k k, m = p d 1 1 p d 2 2 p d k k. 0 d i e i (i = 1, 2,..., k). n = p e 1 1 p e 2 2 p e k k τ(n) = (e 1 + 1) (e 2 + 1) (e k + 1) Primjer Pretpostavimo da je n prirodan broj takav da broj 2n ima 28 pozitivnih djelitelja, a broj 3n ima 30 pozitivnih djelitelja. Koliko pozitivnih djelitelja ima broj 6n? 3
5 Rješenje Broj n prikažimo u obliku n = 2 e 1 3 e 2 p e 3 3 p e k k. Tada je Prema uslovu zadatka je 2n = 2 1+e 1 3 e 2 p e 3 3 p e k k, 3n = 2 e e 2 p e 3 3 p e k k, 6n = 2 1+e e 2 p e 3 3 p e k k. (2 + e 1 )(e 2 + 1)(e 3 + 1) (e k + 1) = 28, (1 + e 1 )(e 2 + 2)(e 3 + 1)... (e k + 1) = 30, Stavimo t = (e 3 +1) (e k +1). Tada je (2+e 1 )(e 2 +1)t = 28 i (1+e 1 )(e 2 +2)t = 30. Dakle, t je zajednički djelilac brojeva 28 i 30 pa je t = 1 ili t = 2. Ako je t = 1, onda je (2 + e 1 )(e 2 + 1) = 28 i (1 + e 1 )(e 2 + 2) = 30. Odavde nalazimo e 1 = 5 i e 2 = 3. Tada je τ(6n) = (2 + e 1 )(2 + e 2 )t = = 35. Ako je t = 2, onda je (2 + e 1 )(e 2 + 1) = 14 i (1 + e 1 )(e 2 + 2) = 15. Jednostavno se provjerava da ova jednačina nema rješenja u skupu cijelih brojeva. Teorem 9 (Algoritam o djeljenju). Svaki cio broj a može se na jedinstven način pomoću datog prirodnog broja b predstaviti u obliku gdje su q i r cijeli brojevi. a = bq + r, 0 r < b, Broj q se naziva količnikom, a broj r ostatkom djeljenja broja a brojem b. Na osnovu algoritma o djeljenju zaključiti: 1. Svaki cio broj se može napisati u obliku: 2k ili 2k Svaki cio broj se može napisati u obliku: 3k, ili 3k + 1 ili 3k Svaki cio broj se može napisati u obliku: 4k ili 4k + 1 ili 4k + 2 ili 4k + 3. Svaki prosti broj veći od tri može se predstaviti u obliku 6k + 1 ili 6k 1, gdje je k nenegativan cio broj. Podvući da se umjesto brojeva 2,3,4 mogu uzeti i drugi brojevi, tj. generalizirati tvrdnju. Koristeći ovu činjenicu dokazati da je proizvod dva uzastopna broja uvijek paran, da je proizvod tri uzastopna broja djeljiv sa 6, da je proizvod četiri uzastopna broja djeljiv sa 24=(4!). Generalizirati. Uraditi nekoliko zadataka iz ove oblasti. 4
6 Zadaci 1. Koliko djelilaca ima broj 6!? 2. Ako prirodan broj n ima neparan broj različitih prostih djelilaca, on je potpun kvadrat. 3. Naći a ako 3 a, 4 a i τ(a) = Ako je ab = cd, onda je broj a 2 + b 2 + c 2 + d 2 složen. 5. Ako je n neparan broj, onda je broj n 2 1 djeljiv sa Dokazati 12 (n 4 n 2 ). 7. Svaki prost broj veći od 3 može napisati u obliku 6k + 1 ili 6k Ako su p i 8p prosti brojevi, dokazati da je i 8p 2 + 2p + 1 prost broj. 9. Odrediti prost broj p ako se zna da su brojevi p + 10 i p + 14 prosti brojevi. 10. Ako su p i p prosti brojevi, onda je p prost broj. 11. Dokazati (a) 6 (n 3 + 5n), (b) 30 (n 5 n), (c) Za koje n 120 (n 5 n)? 12. (3 a, 3 b) 3 (a 2 + b 2 ) (a 2 + b 2 ) 441 (a 2 + b 2 ) (a + b + c) 6 (a 3 + b 3 + c 3 ). 15. Ako je p prost broj veći od 3, onda 24 (n 2 1). 16. Ako su p i q prosti brojevi veći od 3, onda 24 (p 2 q 2 ) (3x + 7y) 19 (43x + 75y), (3a + 2b) 17 (10a + b). 19. Ako 9 (a 2 + ab + b 2 ), onda 3 a i 3 b. 20. Ako je p prost broj veći od 3, onda je p 2 = 24t + 1 za neki prirodan broj t. 21. Naći sve proste brojeve p i q tako da je p 2 2q 2 = 1. 5
7 Najveći zajednički djelilac Definicija 10. Cio broj d je zajednički djelilac brojeva a i b, ako d a i d b. Cio broj d je najveći zajednički djelilac brojeva a i b ako vrijedi (i) d je zajednički djelilac brojeva a i b; (ii) za svaki zajednički djelilac q brojeva a i b vrijedi q d. Svaki nenulti cio broj ima konačno mnogo zajedničkih djelilaca, pa med u njima postoji onaj najveći i njega nazivamo najvećim zajedničkim djeliocem. Najveći zajednički djelilac brojeva a i b označavamo sa nzd(a, b). Neki autori koriste oznaku (a, b). Ja izbjegavam ovu oznaku iz razloga što može doći do zabune sa ured enim parom (a, b). Može se koristiti i engleska oznaka gcd(a, b) ili < a, b >. Definicija 11. Za cijele brojeve a i b kažemo da su uzajamno (relativno) prosti ako je nzd(a, b) = 1. Teorem 12. Neka su a, b i c nenulti cijeli brojevi takvi da je ab = c 2. Tada je a = du 2 i b = dv 2, gdje je d = nzd(a, b). Ovdje je važno uočiti sljedeću činjenicu: Ako je d = nzd(a, b), onda postoje cijeli brojevi u i v takvi da je a = du i b = dv. Brojevi u i v su uzajamno prosti. Prilikom računanja najvećeg zajedničkog djelioca treba koristiti sljedeće očigledne činjenice: nzd(a, 1) = 1, nzd(a, a) = a, nzd(a, 0) = a, Koristeći formulu nazd(a, b) = nzd(b, a), nzd(a, aq) = a. nzd(a, b) = nzd(b, a b) mi možemo računati najveći zajednički djelitelj zamjenjujući veći broj sa razlikom većeg i manjeg broja. Primjer nzd(63, 28) = nzd(28, 35) = nzd(28, 7) = nzd(7, 21) = nzd(7, 14) = nzd(7, 7) = 7. Primjer[IMO 1959.] Dokazati da se razlomak 21n+4 14n+3 jednu vrijednost prirodnog broja n. ne može skratiti ni za 6
8 Rješenje nzd(21n + 4, 14n + 3) = nzd(14n + 3, 7n + 1) = nzd(7n + 1, 7n + 2) = nzd(7n + 1, 1) = 1. Kako je nzd(21n+4, 14n+3) = 1, to se ovi brojevi nemaju zajedničkih faktora osim jedan, pa se razlomak ne može skratiti ni za jedan cio broj n. Teorem 13. Ako je k prirodan broj, onda je nzd(ka, kb) = k nzd(a, b). Teorem 14. Ako su brojevi b i c relativno prosti, onda iz c ab slijedi c a. Teorem 15. Ako je a = bq + r, onda je nzd(a, b) = nzd(b, r). Na prethodnom teoremu se zasniva Euklidov algoritam. Pošto brojevi a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2,. r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 r n < r n 1, r n 1 = r n q n+1. r 1, r 2,..., r k,... čine opadajući niz prirodnih brojeva to će se ovaj niz nakon konačnog broja koraka završiti, tj. doći do jednakosti oblika r n 1 = r n q n+1. Posljednji ostatak koji je različit od nule predstavlja najveći zajednički djelilac brojeva a i b. Teorem 16. Ako je d najveći zajednički djelilac cijelih brojeva a i b, onda postoje cijeli brojevi x i y takvi da je d = ax + by. Postavlja se pitanje kako odrediti ove cijele brojeve x i y? Njih je najjednostavnije odrediti iz tzv. proširenog Euklidovog algoritama. Teorem 17. Neka su a i b prirodni brojevi. Tada je nzd(a, b) = s n a + t n b, gdje su s n i t n n ti članovi niza definisanog rekurzijom kako slijedi s 0 = 1, t 0 = 0 s 1 = 0, t 1 = 1 s j = s j 2 q j 1 s j 1, t j = t j 2 q j 1 t j 1 za j = 2, 3,..., n gdje su q j količnici u divizionom Euklidovom algoritmu za nalaženje najvećeg zajedničkog djelioca brojeva a i b. 7
9 Primjer Neka je a = 252 i b = 198. Koristeći Euklidov algoritam odredimo nzd(a, b), a zatim prikažimo nzd(a, b) kao linearnu kombinaciju brojeva a i b. Imamo 252 = = = = Dakle, nzd(252, 198) = 18. Količnici su redom: q 1 = 1, q 2 = 3, q 3 = 1 i q 4 = 2. Sada koristimo algoritam prethodne teoreme za odred ivanje nizova s i i t i. s 0 = 1, t 0 = 0 s 1 = 0, t 1 = 1, s 2 = s 0 s 1 q 1 = = 1, t 2 = t 0 t 1 q 1 = = 1, s 3 = s 1 s 2 q 2 = = 3, t 3 = t 1 t 2 q 2 = 1 ( 1) 3 = 4, s 4 = s 2 s 3 q 3 = 1 ( 3) 1 = 4, t 4 = t 2 t 3 q 3 = = 5. Pošto je r 4 = nzd(252, 198) = 18 to je 18 = Ovo se može složiti u tabelu sličnu Hornerovoj šemi. i q i s i = s i 2 q i 1 s i t i = t i 2 q i 1 t i Tada je nzd(a, b) = s 4 a + t 4 b = ( 5) 198. Definicija 18. Zajedničkim sadržiocem nenultih cijelih brojeva a i b podrazumjevamo svaki cio broj koji je djeljiv brojevima a i b. Najmanji med u pozitivnim zajedničkim sadržiocima brojeva a i b naziva se najmanji zajednički sadržilac brojeva a i b i označavamo ga sa nzs(a, b). Za najmanji sajednički sadržilac i najveći zajednički djelilac brojeva a i b vrijedi nzs(a, b) nzd(a, b) = ab. Naime, ako je d = nzad(a, b), onda je a = du, b = dv, gdje su u i v relativno prosti cijeli brojevi. Tada je nzs(a, b) = d uv, pa je nzs(a, b) nzd(a, b) = d uv d = du dv = ab. 8
10 Zadaci 1. Dokazati da se razlomci 12n n + 2 i 21n n + 3 ne mogu skratiti ni za jednu vrijednost broja n. 2. Dokazati da je nzd(5a + 3b, 13a + 8b) = nzd(a, b). 3. Naći sve brojeve s kojima se može skratiti razlomak 5n + 5 8n Ako se razlomak an + b (n N) cn + d može skratiti sa k, onda je cio broj ad bc djeljiv sa k. 5. Neka je d n = nzd(3n+5, 5n+3) n N. Odrediti A = {d n n N}. Za svako k A odrediti B k = {(n N k = nzd(3n + 5, 5n + 3)}. 6. Najmanji zajednički sadržilac dva broja je za 10 veći od njihovog zajedničkog djelioca. Naći ta dva broja. 7. Dat je pravougaonik sa stranicama 324cm i 141cm. Prvo je odrezujemo jedan po jedan kvadrat sa stranicom 141cm sve dok ne dobijemo pravougaonik u jojem je jedna stranica manja od 141cm. Od ovog pravougaonika odrezujemo jedan po jedan kvadrat čija je dužina stranice jednaka manjoj stranici ovo pravougaonika sve dok ne dobijemo pravougaonik kod kojeg je jedna stranica manja od manje strane ovog pravougaonika itd. Kolika je stranica posljednjeg odrezanog kvadrata? Koliko smo odrezali ukupno kvadrata i kojih dimenzija? 8. Nad ite (bar jedan) par prirodnih brojeva a i b, tako da se od pravougaonika a b mogu izrezati tačno 6 kvadrata maksimalnih i različitih dimenzija. 9
11 9. Tri automata na ulazu primaju ured ene parove cijelih brojeva i na izlazu takod e daju ured eni par cijelih brojeva. Ako je na sva ulazu sva tri automata par (m, n), onda na izlazu prvog automata je par (m+n, n), drugog automa par (m n, n) i trećeg automata par (n, m). a)da li se automati mogu uvezati tako da par (19, 18) na ulazu u niz automata daje na izlazu (7, 13) ili (12, 21)? (Na raspolaganju svakog tipa automata imamo dovoljan broj.) b) Odrediti potreban i dovoljan uslov da ulaz (a, b) daje izlaz (c, d). 10. Neka je na milimetarskom papiru nacrtan pravougaonik dimenzija 272 mm 204 mm tako da mu stranicice idu duž linija na milimetarskom papiru. Povucimo jednu njegovu dijagonalu i odredimo kroz koliko čvorišta milimetarskog papira prolazi dijagonala. Drgim riječima, koliko parova cijelih brojeva leži na dijagonali. Generalizirati ovo za paralelogram stranica a mm i b mm. Kongruencije Definicija 19. Neka su a i b cijeli brojevi i m prirodan broj veći od 1. Ako m (a b), onda kažemo da je a kongruentno broju b modulo m i pišemo a b ( mod m). Teorem 20 (Osnovne osobine kongruencije). a) Ako je a b ( mod m), onda brojevi a i b imaju isti ostatak pri djeljenju sa m. b) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je a ± c b ± d ( mod m). c) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je ac bd ( mod m). d) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je a k b k ( mod m). e) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je P (a) P (b) ( mod m) za svaki polinom P (x) sa cjelobrojnim koeficijentima. Primjer Naći ostatak pri djeljenju broja sa 125. Rješenje Kako je 1978 = i broj 2000 je djeljiv sa 125, to je (mod 125). 10
12 Tada je Nadalje, je ( 22) 20 ( mod 125). ( 22) 20 = ( 16) 10 (mod 125) = ( mod 125) 26 ( mod 125). Primjer Ako su za neki prirodan broj n brojevi 2n + 1 i 3n + 1 potpuni kvadrati, onda 40 n. Rješenje Neka je 2n + 1 = a 2 i 3n + 1 = b 2, gdje su a i b prirodni brojevi. Posmatrajmo kongruencije po modulu 8. n n Dakle, 2n + 1 daje ostatke {1, 3, 5, 7} pri djeljenju sa 8. Nadalje, imamo a a Dakle, a 2 ima ostatke 0,1,4. Kao je a 2 = 2n + 1, to ostaci moraju biti isti. To znači mora biti a 2 1 (mod 8) i 2n (mod 8). Odavde slijedi da je n = 4k. Tada je b 2 = 12k + 1. Primjenimo kongruenciju po modulu 8. Imamo b 2 12k + 1 4k + 1 (mod 8). k k Dakle, b 2 1 ili 5 (mod 8). Kako kvadrat prirodnog broja može biti kongruentan 0 ili 1 ili 4, to imamo samo jednu mogućnost b 1 = equiv1 (mod 8). Dakle, b 2 = 8i + 1, pa je 12k + 1 = 8i + 1, tj. 3k = 2i. Dakle, k je paran broj, tj. k = 2j, pa je n = 4k = 8j. Dakle, n je djeljiv sa 8. Potrebno je da pokažemo da je n 0 (mod 5). a a n n n
13 Kako je a 2 2n + 1 i b 2 3n + 1 po modulu 5, to vidimo da samo slučaj n 0 (mod 5) zadovoljva uslove. Naime, za n 1(mod 5) i n 4(mod 5) je 2n + 1 3(mod 5), a a 2 ne može nikad biti kongruentno 3 po modulu 5. Za n 2 (mod 5) je b 2 3n + 1 2, što je nemoguće. Ako je n 3 (mod 5), onda je a 2 2n (mod 5), što je nemoguće. Dakle, n 0 (mod 5). Zadaci 1. Odrediti ostatk pri djeljenju broja 2 22 sa Odrediti ostatak pri djeljenju broja sa Odrediti posljednju cifru u dekadskom zapisu broja Odrediti najmanji prirodan broj n takav da je broj n djeljiv sa Dokazati da 4n nije djeljivo sa 19 ni za jedna prirodan broj n. 6. Odrediti sve prirodne brojeve n, takve da broj n 8 n 2 nije djeljiv sa Naći sve prirodne brojeve n za koje je broj 10 n + 8 djeljiv sa Ako su trocifrenom broju djeljivom sa 7, dvije posljednje cifre iste, dokazati da je zbir cifara tog broja djeljiv sa Naći najmanji prirodan broj n takav da je 2001 n 1 djeljiv sa Neka je prirodan broj n relativno prost sa 10. Dokazati da 101 potencija broja n ima iste tri posljednje cifre kao n. 11. Ako prirodan broj n nije djeljiv sa 7, dokazati da je jedan od brojeva n 3 1 i n djeljiv sa Ako je n proizvoljan neparan prirodan broj, dokazati da je broj (n 2 1) (n+ 3) djeljiv sa Petocifreni broj a378b je djeljiv sa 72. Odrediti cifre a i b. 14. Naći sve prirodne brojeve n (sa bar tri cifre) koji imaju osobinu da se brojevi x i x 2 u dekadskom sistemu završavaju sa tri iste cifre. 15. Da li postoje cijeli brojevi m i n takvi da je m = n 2? 12
14 Diofantove jednačine Jednačine čija se rješenja posmatraju u skupu cijelih brojeva ili u nekom njegovom podskupu nazivaju se Diofantove jednačine. Definicija 21. Jednačina oblika ax + by = c, gdje su a, b i c cijeli brojevi naziva se linearna Diofantova jednačina. Ured eni par cijelih brojeva (s, t) za koji je as + bt = c naziva se rjšenje linearne Diofantove jednačine. Teorem 22. Linearna Diofantova jednačina ax + by = c ima rješenje ako i samo ako nzd(a, b) c. U tom slučaju je opšte rješenje jednačine oblika x = y = c nzd(a, b) u + b nzd(a, b) t, c nzd(a, b) v a t (t Z), nzd(a, b) gdje su u i v cijeli brojevi odred eni Euklidovim algoritmom tj. au+bv = nzd(a, b). Ako su brojevi a i b uzajamno prosti, onda jednačina ax + by = c ima uvijek rješenje. Primjer Neka je p prost broj. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu 1 x + 1 y = 1 p. Rješenje Kako je 1 > 1 i 1 > 1 to je p < x i p < y. Neka je x = p + u, y = p + v p x p y gdje su u i v prirodni brojevi. Tada je 1 p + u + 1 p + v = 1 p. Nakon sred ivanja dobije se p 2 = uv. Neka je d = nzd(u, v). Tada iz p 2 = uv slijedi u = da 2, v = db 2 gdje su a i b prirodni brojevi. Tada je p = dab. Kako je 13
15 p prost broj, to imamo sljedeće mogućnosti: d = p, a = b = 1, a = p, b = d = 1 i b = p, a = d = 1. Tada je x = p + u = p + da 2 pa je x = 2p ili x = p + p 2 ili x = p + 1. Analogno nalazimo da je y = 2p, ili y = p + 1 ili y = p + p 2. Dakle, (x, y) {(2p, 2p), (p(p + 1), p + 1), (p + 1, p(p + 1))}. Primjer U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu 15x 2 7y 2 = 9. Rješenje Posmatrajmo kongruenciju po modulu 3. Tada je y 2 0 (mod 3), pa je y = 3y 1. Tada imamo 5x 2 21y 2 1 = 3. Ponovo primjenjujemo kongruenciju po modulu 3 i zaključujemo da 3midx, pa je x = 3x 1. Dalje je 15x 2 1 7y 2 1 = 1. Ponovo kongrunecija po modulu 3 i dobijamo y (mod 3), što je nemoguće. Dakle, jednačina nema rješenja u skupu cijelih brojeva. Primjer Riješiti sistem linearnih kongruencija x 3 ( mod 10), x 5 (mod 14). Rješenje Iz prve kongruencije imamo x = 10t + 3 za neki cio broj t. Iz druge kongruencije imamo x = 14s + 5 za neko s Z. Odavde imamo 10t = 14s + 2, tj. 5t = 7s + 1. Primjenom kongruencije po modulu 5 dobije se 2s (mod 5). Dakle, 2s + 1 = 5u (u Z). Odavde slijedi da je u neparan broj, pa je u = 2v + 1 (v Z). Tada je s = 5v + 2 i x = 70v + 33 (v Z). Zadaci 1. Naći sve parove (p, q) prostih brojeva tako da je p 3 q 5 = (p + q) Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine x 3 2y 3 4z 3 = Naći cjelobrojna rješenja jednačine xy + 3x 5y + 3 = Riješiti sistem kongruencija x 3 (mod 8), x 7 (mod 12). 14
16 5. Učenik je na testu imao 20 zadataka. Za svaki ispravno riješen zadatak dobio je 8 bodova, za svaki pogrešno riješen zadatak dobio je minus pet bodova, a za zadatak koji nije ni pokušao riješiti dobio je nula bodova. Na kraju je učenik imao 29 bodova. Koliko je zadataka ispravno riješio i koliko zadataka nije ni pokušao riješiti? 6. Da li je moguće 30 KM razmijeniti u 12 novčanica od 1KM, 2KM i 5KM. Ako je odgovor pozitivan onda naći broj različitih načina. 7. Naći najmanji prirodan broj sa sljedećim svojstvima: njegova polovina je kvadrat cujelog broja, njegova trećina je kub cijelog broja i njegova petina je peti stepen nekog prirodnog broja. 8. U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu (x+y)(x+3y) = p, gdje je p prost broj. 9. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu 1 n + 1 m = 1 mn Dokazati da jednačina 2x 2 5y 2 = 7 nema cjelobrojnih rješenja. 11. Dokazati da jednačina 15x 2 7y 2 = 9 nema rješenja u skupu cijelih brojeva. 12. Neki cio broj u decimalnom zapisu piše se sa 300 jedinica i izvjesnog broja nula. Da li taj broj može biti potpun kvadrat? 13. Neka je b cifra jedinica broja 2 n i neka je 2 n = 10a + b. Dokazati da je broj ab djeljiv sa Izvjestan broj od 15 listova papira isječen je na po 10 dijelova, zatim se od dobijenih listova isjeku još neki na po deset djelova itd. Kad su izbrojani dobijeni listići, pokazalo se da ih ima Dokazati da su listovi pogrešno izbrojani. 15. Naći najmanji prirodan broj čiji je ostatk pri djeljenju sa 2,3,5,7 i 11 jednak jedinici. 16. Nad ite bilo koja tri susjedna prirodna broja, od kojih je svaki od njih djeljiv sa kvadraton nekog cjelog broja većeg od 1. Da li se ova tvrdnja može generalizirati, tj. da li za svaki cio broj k postoji niz od susjednih prirodnih brojeva od kojih je svaki djeljiv sa kvadratom nekog prirodnog broja većeg od 1? 15
17 17. Naći najveci prirodan broj n za koji postoji tačno jedan prirodan broj k takav da je 5 9 < n n + k < Odrediti sve proste brojeve p takve da je 2p 4 p potpun kvadrat. 19. Odrediti sve uredene trojke (a, b, p) prirodnih brojeva takve da je p prost broj i da je p = b 2a b 4 2a + b. 20. Dokazati da zbir tri i više uzastopnih prirodnih brojeva nije nikada prost broj. 21. Ako je prirodan broj n kvadrat nekog prirodnog broja, dokazati da je proizvod dvije zadnje cifre broja n (cifre desetica i cifre jedinica) paran broj. 22. Naći sve trocifrene prirodne brojeve sljedećih osobina: ako se ispred posmatranog broja napiše ista cifra koja stoji na mjestu jedinica dobije se četvorocifreni broj koji je za 18 manji od sedmostrukog posmatranog broja. 23. Napisati sve parove uzajamno prostih prirodnih brojeva čiji je proizvod Napišimo cifre nekog broja u obrnutom poretku. Dokazati da tako dobijeni broj ne može biti dvaput veći od početnog broja. 25. Naći četvorocifreni broj abcd takav da je abcd = d dba. 26. Jedan broj se može rastaviti na dva faktora čija je razlika 6, a zbir njihovih četvrtih stepena je 272. Koji je to broj? 27. Dokazati da je zbir kvadrata bilo kojih pet uzastopnih cijelih brojeva djeljiv sa 5, ali nije djeljiv sa Ako su p i 8p 1 prosti brojevi, dokazati da je broj 8p + 1 složen broj. 29. Kvadrat nekog prirodnog broja je šestocifreni broj koji se sastoji, kada se posmatraju dvije po dvije cifre, od tri dvocifrena broja. Prvi i treći od njih su jednaki, a srednji je dvaput manji. Odrediti broj sa ovom osobinom. 16
18 30. Dokazati da izraz 3n 4 + 6n 3 2n 2 3n + 3 n 2 + 3n + 2 (n N) nije cio broj ni za jedno n N. 31. Naći četvorocifren broj koji je potpun kvadrat i čije su prve dvije cifre, kao i posljednje dvije cifre, jednake. 32. Dokazati da kvadrat proizvoljnog prostog broja veég od tri, pri djeljenju sa 12 daje ostatak Zbir dvocifrenog broja i broja koji ima iste te cifre, ali napisane obrnutim redom, daje potpun kvadrat. Naći sve takve brojeve. 34. Svaki cijeli stepen trocifrenog broja završava se na one tri cifre, kojima se piše taj broj (red pisanja cifara je nepromjenjen). Koji je to broj? 35. Naći četvorocifreni broj koji pri djeljenju sa 131 daje ostatak 112, a djeljenjem sa 132 daje ostak Odrediti sve dvocifrene brojeve koji su 14 veći od proizvoda svojih cifara. 37. Odrediti četvorocifreni broj abcd koji ispunjava uslove cda abc = 297 i a + b + c = Odrediti sve trocifrene brojeve abc koji imaju osobinu abc 2 = xyzabc. 39. Ako je cd = 2 ab, onda broj abcd ne može biti potpun kvadrat. 40. Od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sataviti dva broja P i Q koji će zadovoljavati sljedeće uslove: a) Prva cifra brojeva P i Q nije nula. b) Svaka od navedenih cifara se javlja jedanput i to samo u jednom iod navedenih brojeva P i Q. c) Broj Q je devet puta veći od broja P. 41. Naći prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju jednačinu 1! + 2! + + n! = m Naći sve dvocifrene brojeve koji su djeljivi proizvodom svojih cifara. 17
19 43. Naći sve trocifrene brojeve koji su djeljivi proizvodom svojih cifara. 44. Odrediti sve prirodne brojeve n tako da 5 (n 2 + n 2). 45. Odrediti sve prirodne brojeve n takve da je n 2 + n + 1 djeljivo sa Naći sve dvocifrene brojeve kod kojih se zbir cifara ne mijenja množenjem broja sa 2,3,4,5,6,7,8,9. (Uputstvo: Ako je a traženi bro, onda brojevi: a, 2a, 3a,..., 9a imaju isti zbir cifara. Broj 9a je djeljiv sa 9, pa mu je i zbir cifara djeljiv sa 9. Dakle, zbir cifara broja a je djeljiv sa 9, pa je i broj a djeljiv sa 9.) 47. Odrediti sve parove (a, b) prirodnih brojeva tako da su brojevi a+3 a 2 b + b2 a prirodni brojevi. + b+3 b a i 48. Odrediti sve parove (a, b) prirodnih brojeva tako da su brojevi 4a+p b i a2 + b2 prirodni brojevi, gdje je p neki prost broj. b a 49. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu 2 x + 3 y = z Ako je broj xyyy, (y 0) djeljiv brojem xy, onda je x = y. Dokazati! 51. Odrediti cifre x i y tako da je 4 xxy + 8 yyx = Naći sve parove (p, q) prostih brojeva, takvih da je 2p = q b+p a 53. Naći sve parove prostih brojeva (p, q) takvih da je 2(p 6 q 2 ) = (p q) Naći sve parove (p, q) prostih brojeva tako da je p 3 q 5 = (p + q) Naći sve parove prostih brojeva p i q tako da je p 2 + 3pq + q 2 a) potpun kvadrat: b) potencija broja Naći sve parove prirodnih brojeva (a, b) tako da je ab = nzd(a, b). 57. Naći sve parove prirodnih brojeva (a, b) a b tako da je ab = nzs(a, b) + 5nzd(a, b). 18
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότερα3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραProsti brojevi. Uvod
MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella
Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραb = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.
1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραKantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK
Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog
Διαβάστε περισσότεραKonstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati:
Staša Vujičić Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: pseudo jezikom prirodnim jezikom dijagramom toka. 2
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine
56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραZANIMLJIVI ZADACI O BROJU 2014 (I)
Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Matematika i informatika () (014), 9-4 ZANIMLJIVI ZADACI O BROJU 014 (I) Dušan J. Simjanović Prirodno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραUDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE. Sarajevo,
ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE BOSNIA-HERZEGOVINA MATHEMATICAL SOCIETY BHMS Zmaja od Bosne 35, 7000
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραx bx c + + = 0 po nepoznatoj x, vrijedi da je
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu studijska 0/4. ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak. Za rješenja, kvadratne jednačine + = i + = 7. Koliko iznosi? 9 b c + + = 0 po nepoznatoj, vrijedi da je a) 4 b) 6 c) 7 d) 4
Διαβάστε περισσότεραTeorija brojeva i kriptografija
Slobodan Vujoševic Teorija brojeva i kriptografija Iz nepregledne literature iz teorije brojeva i aritmetike, kao veoma sadržajnu i duhovito napisanu monografiju, koja uglavnom pokriva i delom dopunjava
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F
ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date
Διαβάστε περισσότερα