Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo"

Transcript

1 Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012

2 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju regionalna i republička takmičenja iz matematike. U cilju postizanja što boljih rezultata na tim takmičenjima pojedine škole sistematski tokom cijele školske godine rade sa učenicima, a pojedine škole i njihovi nastavnici sjete se, sdmicu ili dvije pred takmičenje, i onda pokušavaju da na brzinu pripreme učenike za takmičenje. Budući da su zadaci na takmičenju zahtjevniji od školskih zadataka, to je pogrešno je očekivati da se za desetak dana mogu postići neki rezultati na takmičenju. Samo trajna znanja mogu doći do izražaja na takmičenju, a ona se stiču postepenim i smišljenim sistematskim radom. Ovdje nam je želja da postaknemo sistematski i planski osmišljen rad sa nadarenim učenicima. osnovne i srednje škole. Daćemo neke smjernice za rad sa težištem na Teoriju brojevu. Prije nego što zaigramo neku utakmicu potrebno je da naučimo hodati i trčati. Tako je i sa matematikom. Prije nego što pod emo na takmičenje moramo znati matematički razmišljati i povezivati ranije stečena znanja u cilju sticanja novih znanja. Zbog toga treba naš rad osmisliti tako da nam prevashodno bude cilj razvijanje matematičkog mišljenja, a ne samo uvjež bavanje odred enih radnji. Djeljivost Krenimo od operacija sabiranja, oduzimanja i množenja cijelih brojeva. Kao što znamo ove operacije se mogu neograničeno vršiti u skupu cijelih brojeva. No, kao što znamo neki cio broj može biti paran i neparan. Odmah se nameću sljedeća pitanja: 1. Kada će zbir dva broja biti paran, a kada neparan? 2. Kada će proizvod dva broja biti paran, odnosno neparan? 3. Kada će proizvod tri broja biti paran, a kada će biti neparan broj? 4. Kada će zbir tri broja biti paran, a kada neparan? Nakon toga uraditi zadatak tipa: Zadatak Da li su tačne sljedeće tvrdnje? Vaš odgovor obrazložiti. i) Ako je zbir dva cijela broja paran broj, onda je njihova razlika takod e paran broj. 1

3 ii) Ako je zbir dva cijela broja neparan broj, onda je njihova razlika takod e neparan broj. iii) Ako je zbir dva cijela broja neparan broj, onda je njihov proizvod paran. iv) Ako je proizvod tri cijela broja neparan, onda je njihov zbir takod e neparan broj. Operacija djeljenja u skupu cijelih brojeva nije uvijek moguća, zato treba posvetiti dužnu pažnju djeljenju cijelih brojeva. Definicija 1. Neka su a i b nenulti cijeli brojevi. Ako postoji cio broj c takav da je a = bc, onda kažemo da b dijeli a i pišemo b a. Ako je a bc za svaki cio broj c, onda kažemo da b ne dijeli a i pišemo b a. Sada treba obraditi djeljivost cijelih brojeva sa 2,3,4,5,6,8,9,10,11,12 i 15. Iz definicije djeljivosti mogu se izvesti sljedeće osobine djeljivosti. Teorem 2. a) Ako b a, onda za svako c Z, b ac. b) Ako a b i b c, onda a c. c) Ako a b i a c, onda za svako x, y Z a (bx + cy). d) Ako a b i b a, onda je a = ±b. e) Ako a b i a > 0, b > 0, onda je a b. f) Ako je neka suma djeljiva cijelim brojem i svi sabirci osim jednog su djeljivi tim cijelim brojem, onda je i taj sabirak djeljiv cijelim brojem. U nižim razredima ovaj teorem ilustrirati na nekoliko primjera, a u višim razredima dokazati. Obavezno uraditi nekoliko zadataka u kojima će se primjeniti tvrdnje ovog teorema. Prosti brojevi U Teoriju brojeva posebno mjesto zauzimaju prosti brojevi. Definicija 3. Za prirodan broj p veći od jedan kažemo da je prost ako je djeljiv samo sa jedan i samim sobom. Za prirodan broj koji nije prost kažemo da je složen. 2

4 Navesti nekoliko prostih brojeva. Zati postaviti pitanje da li je skup prostih brojeva konačan skup. Odgovor na to pitanje daje Teorem 4 (Euklid). Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Sljedeći teorem daje jednu jako lijepu osobinu prostih brojeva. Teorem 5. Neka je p prost broj. Ako p (ab), onda p a ili p b. Na nekoliko primjera pokazati kako se cijeli brojevi rastavljaju na proizvod prostih faktora. Nakon toga navesti sljedeći teorem koji nam govori da ova faktorizacija vrijedi za sve cijele brojeve Teorem 6 (Osnovni stav aritmetike). Svaki cio broj n može se napisati kao proizvod potencija prostih brojeva n = ±2 e 1 3 e 2 5 e 3 7 e4 p e k k, gdje su e i (i = 1, 2,..., k) nengativni cijeli brojevi. Znak plus se uzima ako je n pozitivan, a znak minus ako je n negativan broj. Ovaj prikaz je jednoznačno odred en (do poretka faktora u proizvodu). Primjer 90 = i 924 = Teorem 7. Neka prirodni brojevi m i n imaju faktorizaciju Tada m n ako i samo ako je Teorem 8. Prirodan broj ima tačno pozitivnih djelitelja. n = p e 1 1 p e 2 2 p e k k, m = p d 1 1 p d 2 2 p d k k. 0 d i e i (i = 1, 2,..., k). n = p e 1 1 p e 2 2 p e k k τ(n) = (e 1 + 1) (e 2 + 1) (e k + 1) Primjer Pretpostavimo da je n prirodan broj takav da broj 2n ima 28 pozitivnih djelitelja, a broj 3n ima 30 pozitivnih djelitelja. Koliko pozitivnih djelitelja ima broj 6n? 3

5 Rješenje Broj n prikažimo u obliku n = 2 e 1 3 e 2 p e 3 3 p e k k. Tada je Prema uslovu zadatka je 2n = 2 1+e 1 3 e 2 p e 3 3 p e k k, 3n = 2 e e 2 p e 3 3 p e k k, 6n = 2 1+e e 2 p e 3 3 p e k k. (2 + e 1 )(e 2 + 1)(e 3 + 1) (e k + 1) = 28, (1 + e 1 )(e 2 + 2)(e 3 + 1)... (e k + 1) = 30, Stavimo t = (e 3 +1) (e k +1). Tada je (2+e 1 )(e 2 +1)t = 28 i (1+e 1 )(e 2 +2)t = 30. Dakle, t je zajednički djelilac brojeva 28 i 30 pa je t = 1 ili t = 2. Ako je t = 1, onda je (2 + e 1 )(e 2 + 1) = 28 i (1 + e 1 )(e 2 + 2) = 30. Odavde nalazimo e 1 = 5 i e 2 = 3. Tada je τ(6n) = (2 + e 1 )(2 + e 2 )t = = 35. Ako je t = 2, onda je (2 + e 1 )(e 2 + 1) = 14 i (1 + e 1 )(e 2 + 2) = 15. Jednostavno se provjerava da ova jednačina nema rješenja u skupu cijelih brojeva. Teorem 9 (Algoritam o djeljenju). Svaki cio broj a može se na jedinstven način pomoću datog prirodnog broja b predstaviti u obliku gdje su q i r cijeli brojevi. a = bq + r, 0 r < b, Broj q se naziva količnikom, a broj r ostatkom djeljenja broja a brojem b. Na osnovu algoritma o djeljenju zaključiti: 1. Svaki cio broj se može napisati u obliku: 2k ili 2k Svaki cio broj se može napisati u obliku: 3k, ili 3k + 1 ili 3k Svaki cio broj se može napisati u obliku: 4k ili 4k + 1 ili 4k + 2 ili 4k + 3. Svaki prosti broj veći od tri može se predstaviti u obliku 6k + 1 ili 6k 1, gdje je k nenegativan cio broj. Podvući da se umjesto brojeva 2,3,4 mogu uzeti i drugi brojevi, tj. generalizirati tvrdnju. Koristeći ovu činjenicu dokazati da je proizvod dva uzastopna broja uvijek paran, da je proizvod tri uzastopna broja djeljiv sa 6, da je proizvod četiri uzastopna broja djeljiv sa 24=(4!). Generalizirati. Uraditi nekoliko zadataka iz ove oblasti. 4

6 Zadaci 1. Koliko djelilaca ima broj 6!? 2. Ako prirodan broj n ima neparan broj različitih prostih djelilaca, on je potpun kvadrat. 3. Naći a ako 3 a, 4 a i τ(a) = Ako je ab = cd, onda je broj a 2 + b 2 + c 2 + d 2 složen. 5. Ako je n neparan broj, onda je broj n 2 1 djeljiv sa Dokazati 12 (n 4 n 2 ). 7. Svaki prost broj veći od 3 može napisati u obliku 6k + 1 ili 6k Ako su p i 8p prosti brojevi, dokazati da je i 8p 2 + 2p + 1 prost broj. 9. Odrediti prost broj p ako se zna da su brojevi p + 10 i p + 14 prosti brojevi. 10. Ako su p i p prosti brojevi, onda je p prost broj. 11. Dokazati (a) 6 (n 3 + 5n), (b) 30 (n 5 n), (c) Za koje n 120 (n 5 n)? 12. (3 a, 3 b) 3 (a 2 + b 2 ) (a 2 + b 2 ) 441 (a 2 + b 2 ) (a + b + c) 6 (a 3 + b 3 + c 3 ). 15. Ako je p prost broj veći od 3, onda 24 (n 2 1). 16. Ako su p i q prosti brojevi veći od 3, onda 24 (p 2 q 2 ) (3x + 7y) 19 (43x + 75y), (3a + 2b) 17 (10a + b). 19. Ako 9 (a 2 + ab + b 2 ), onda 3 a i 3 b. 20. Ako je p prost broj veći od 3, onda je p 2 = 24t + 1 za neki prirodan broj t. 21. Naći sve proste brojeve p i q tako da je p 2 2q 2 = 1. 5

7 Najveći zajednički djelilac Definicija 10. Cio broj d je zajednički djelilac brojeva a i b, ako d a i d b. Cio broj d je najveći zajednički djelilac brojeva a i b ako vrijedi (i) d je zajednički djelilac brojeva a i b; (ii) za svaki zajednički djelilac q brojeva a i b vrijedi q d. Svaki nenulti cio broj ima konačno mnogo zajedničkih djelilaca, pa med u njima postoji onaj najveći i njega nazivamo najvećim zajedničkim djeliocem. Najveći zajednički djelilac brojeva a i b označavamo sa nzd(a, b). Neki autori koriste oznaku (a, b). Ja izbjegavam ovu oznaku iz razloga što može doći do zabune sa ured enim parom (a, b). Može se koristiti i engleska oznaka gcd(a, b) ili < a, b >. Definicija 11. Za cijele brojeve a i b kažemo da su uzajamno (relativno) prosti ako je nzd(a, b) = 1. Teorem 12. Neka su a, b i c nenulti cijeli brojevi takvi da je ab = c 2. Tada je a = du 2 i b = dv 2, gdje je d = nzd(a, b). Ovdje je važno uočiti sljedeću činjenicu: Ako je d = nzd(a, b), onda postoje cijeli brojevi u i v takvi da je a = du i b = dv. Brojevi u i v su uzajamno prosti. Prilikom računanja najvećeg zajedničkog djelioca treba koristiti sljedeće očigledne činjenice: nzd(a, 1) = 1, nzd(a, a) = a, nzd(a, 0) = a, Koristeći formulu nazd(a, b) = nzd(b, a), nzd(a, aq) = a. nzd(a, b) = nzd(b, a b) mi možemo računati najveći zajednički djelitelj zamjenjujući veći broj sa razlikom većeg i manjeg broja. Primjer nzd(63, 28) = nzd(28, 35) = nzd(28, 7) = nzd(7, 21) = nzd(7, 14) = nzd(7, 7) = 7. Primjer[IMO 1959.] Dokazati da se razlomak 21n+4 14n+3 jednu vrijednost prirodnog broja n. ne može skratiti ni za 6

8 Rješenje nzd(21n + 4, 14n + 3) = nzd(14n + 3, 7n + 1) = nzd(7n + 1, 7n + 2) = nzd(7n + 1, 1) = 1. Kako je nzd(21n+4, 14n+3) = 1, to se ovi brojevi nemaju zajedničkih faktora osim jedan, pa se razlomak ne može skratiti ni za jedan cio broj n. Teorem 13. Ako je k prirodan broj, onda je nzd(ka, kb) = k nzd(a, b). Teorem 14. Ako su brojevi b i c relativno prosti, onda iz c ab slijedi c a. Teorem 15. Ako je a = bq + r, onda je nzd(a, b) = nzd(b, r). Na prethodnom teoremu se zasniva Euklidov algoritam. Pošto brojevi a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2,. r n 2 = r n 1 q n + r n, 0 r n < r n 1, r n 1 = r n q n+1. r 1, r 2,..., r k,... čine opadajući niz prirodnih brojeva to će se ovaj niz nakon konačnog broja koraka završiti, tj. doći do jednakosti oblika r n 1 = r n q n+1. Posljednji ostatak koji je različit od nule predstavlja najveći zajednički djelilac brojeva a i b. Teorem 16. Ako je d najveći zajednički djelilac cijelih brojeva a i b, onda postoje cijeli brojevi x i y takvi da je d = ax + by. Postavlja se pitanje kako odrediti ove cijele brojeve x i y? Njih je najjednostavnije odrediti iz tzv. proširenog Euklidovog algoritama. Teorem 17. Neka su a i b prirodni brojevi. Tada je nzd(a, b) = s n a + t n b, gdje su s n i t n n ti članovi niza definisanog rekurzijom kako slijedi s 0 = 1, t 0 = 0 s 1 = 0, t 1 = 1 s j = s j 2 q j 1 s j 1, t j = t j 2 q j 1 t j 1 za j = 2, 3,..., n gdje su q j količnici u divizionom Euklidovom algoritmu za nalaženje najvećeg zajedničkog djelioca brojeva a i b. 7

9 Primjer Neka je a = 252 i b = 198. Koristeći Euklidov algoritam odredimo nzd(a, b), a zatim prikažimo nzd(a, b) kao linearnu kombinaciju brojeva a i b. Imamo 252 = = = = Dakle, nzd(252, 198) = 18. Količnici su redom: q 1 = 1, q 2 = 3, q 3 = 1 i q 4 = 2. Sada koristimo algoritam prethodne teoreme za odred ivanje nizova s i i t i. s 0 = 1, t 0 = 0 s 1 = 0, t 1 = 1, s 2 = s 0 s 1 q 1 = = 1, t 2 = t 0 t 1 q 1 = = 1, s 3 = s 1 s 2 q 2 = = 3, t 3 = t 1 t 2 q 2 = 1 ( 1) 3 = 4, s 4 = s 2 s 3 q 3 = 1 ( 3) 1 = 4, t 4 = t 2 t 3 q 3 = = 5. Pošto je r 4 = nzd(252, 198) = 18 to je 18 = Ovo se može složiti u tabelu sličnu Hornerovoj šemi. i q i s i = s i 2 q i 1 s i t i = t i 2 q i 1 t i Tada je nzd(a, b) = s 4 a + t 4 b = ( 5) 198. Definicija 18. Zajedničkim sadržiocem nenultih cijelih brojeva a i b podrazumjevamo svaki cio broj koji je djeljiv brojevima a i b. Najmanji med u pozitivnim zajedničkim sadržiocima brojeva a i b naziva se najmanji zajednički sadržilac brojeva a i b i označavamo ga sa nzs(a, b). Za najmanji sajednički sadržilac i najveći zajednički djelilac brojeva a i b vrijedi nzs(a, b) nzd(a, b) = ab. Naime, ako je d = nzad(a, b), onda je a = du, b = dv, gdje su u i v relativno prosti cijeli brojevi. Tada je nzs(a, b) = d uv, pa je nzs(a, b) nzd(a, b) = d uv d = du dv = ab. 8

10 Zadaci 1. Dokazati da se razlomci 12n n + 2 i 21n n + 3 ne mogu skratiti ni za jednu vrijednost broja n. 2. Dokazati da je nzd(5a + 3b, 13a + 8b) = nzd(a, b). 3. Naći sve brojeve s kojima se može skratiti razlomak 5n + 5 8n Ako se razlomak an + b (n N) cn + d može skratiti sa k, onda je cio broj ad bc djeljiv sa k. 5. Neka je d n = nzd(3n+5, 5n+3) n N. Odrediti A = {d n n N}. Za svako k A odrediti B k = {(n N k = nzd(3n + 5, 5n + 3)}. 6. Najmanji zajednički sadržilac dva broja je za 10 veći od njihovog zajedničkog djelioca. Naći ta dva broja. 7. Dat je pravougaonik sa stranicama 324cm i 141cm. Prvo je odrezujemo jedan po jedan kvadrat sa stranicom 141cm sve dok ne dobijemo pravougaonik u jojem je jedna stranica manja od 141cm. Od ovog pravougaonika odrezujemo jedan po jedan kvadrat čija je dužina stranice jednaka manjoj stranici ovo pravougaonika sve dok ne dobijemo pravougaonik kod kojeg je jedna stranica manja od manje strane ovog pravougaonika itd. Kolika je stranica posljednjeg odrezanog kvadrata? Koliko smo odrezali ukupno kvadrata i kojih dimenzija? 8. Nad ite (bar jedan) par prirodnih brojeva a i b, tako da se od pravougaonika a b mogu izrezati tačno 6 kvadrata maksimalnih i različitih dimenzija. 9

11 9. Tri automata na ulazu primaju ured ene parove cijelih brojeva i na izlazu takod e daju ured eni par cijelih brojeva. Ako je na sva ulazu sva tri automata par (m, n), onda na izlazu prvog automata je par (m+n, n), drugog automa par (m n, n) i trećeg automata par (n, m). a)da li se automati mogu uvezati tako da par (19, 18) na ulazu u niz automata daje na izlazu (7, 13) ili (12, 21)? (Na raspolaganju svakog tipa automata imamo dovoljan broj.) b) Odrediti potreban i dovoljan uslov da ulaz (a, b) daje izlaz (c, d). 10. Neka je na milimetarskom papiru nacrtan pravougaonik dimenzija 272 mm 204 mm tako da mu stranicice idu duž linija na milimetarskom papiru. Povucimo jednu njegovu dijagonalu i odredimo kroz koliko čvorišta milimetarskog papira prolazi dijagonala. Drgim riječima, koliko parova cijelih brojeva leži na dijagonali. Generalizirati ovo za paralelogram stranica a mm i b mm. Kongruencije Definicija 19. Neka su a i b cijeli brojevi i m prirodan broj veći od 1. Ako m (a b), onda kažemo da je a kongruentno broju b modulo m i pišemo a b ( mod m). Teorem 20 (Osnovne osobine kongruencije). a) Ako je a b ( mod m), onda brojevi a i b imaju isti ostatak pri djeljenju sa m. b) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je a ± c b ± d ( mod m). c) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je ac bd ( mod m). d) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je a k b k ( mod m). e) Ako je a b ( mod m) i c d ( mod m), onda je P (a) P (b) ( mod m) za svaki polinom P (x) sa cjelobrojnim koeficijentima. Primjer Naći ostatak pri djeljenju broja sa 125. Rješenje Kako je 1978 = i broj 2000 je djeljiv sa 125, to je (mod 125). 10

12 Tada je Nadalje, je ( 22) 20 ( mod 125). ( 22) 20 = ( 16) 10 (mod 125) = ( mod 125) 26 ( mod 125). Primjer Ako su za neki prirodan broj n brojevi 2n + 1 i 3n + 1 potpuni kvadrati, onda 40 n. Rješenje Neka je 2n + 1 = a 2 i 3n + 1 = b 2, gdje su a i b prirodni brojevi. Posmatrajmo kongruencije po modulu 8. n n Dakle, 2n + 1 daje ostatke {1, 3, 5, 7} pri djeljenju sa 8. Nadalje, imamo a a Dakle, a 2 ima ostatke 0,1,4. Kao je a 2 = 2n + 1, to ostaci moraju biti isti. To znači mora biti a 2 1 (mod 8) i 2n (mod 8). Odavde slijedi da je n = 4k. Tada je b 2 = 12k + 1. Primjenimo kongruenciju po modulu 8. Imamo b 2 12k + 1 4k + 1 (mod 8). k k Dakle, b 2 1 ili 5 (mod 8). Kako kvadrat prirodnog broja može biti kongruentan 0 ili 1 ili 4, to imamo samo jednu mogućnost b 1 = equiv1 (mod 8). Dakle, b 2 = 8i + 1, pa je 12k + 1 = 8i + 1, tj. 3k = 2i. Dakle, k je paran broj, tj. k = 2j, pa je n = 4k = 8j. Dakle, n je djeljiv sa 8. Potrebno je da pokažemo da je n 0 (mod 5). a a n n n

13 Kako je a 2 2n + 1 i b 2 3n + 1 po modulu 5, to vidimo da samo slučaj n 0 (mod 5) zadovoljva uslove. Naime, za n 1(mod 5) i n 4(mod 5) je 2n + 1 3(mod 5), a a 2 ne može nikad biti kongruentno 3 po modulu 5. Za n 2 (mod 5) je b 2 3n + 1 2, što je nemoguće. Ako je n 3 (mod 5), onda je a 2 2n (mod 5), što je nemoguće. Dakle, n 0 (mod 5). Zadaci 1. Odrediti ostatk pri djeljenju broja 2 22 sa Odrediti ostatak pri djeljenju broja sa Odrediti posljednju cifru u dekadskom zapisu broja Odrediti najmanji prirodan broj n takav da je broj n djeljiv sa Dokazati da 4n nije djeljivo sa 19 ni za jedna prirodan broj n. 6. Odrediti sve prirodne brojeve n, takve da broj n 8 n 2 nije djeljiv sa Naći sve prirodne brojeve n za koje je broj 10 n + 8 djeljiv sa Ako su trocifrenom broju djeljivom sa 7, dvije posljednje cifre iste, dokazati da je zbir cifara tog broja djeljiv sa Naći najmanji prirodan broj n takav da je 2001 n 1 djeljiv sa Neka je prirodan broj n relativno prost sa 10. Dokazati da 101 potencija broja n ima iste tri posljednje cifre kao n. 11. Ako prirodan broj n nije djeljiv sa 7, dokazati da je jedan od brojeva n 3 1 i n djeljiv sa Ako je n proizvoljan neparan prirodan broj, dokazati da je broj (n 2 1) (n+ 3) djeljiv sa Petocifreni broj a378b je djeljiv sa 72. Odrediti cifre a i b. 14. Naći sve prirodne brojeve n (sa bar tri cifre) koji imaju osobinu da se brojevi x i x 2 u dekadskom sistemu završavaju sa tri iste cifre. 15. Da li postoje cijeli brojevi m i n takvi da je m = n 2? 12

14 Diofantove jednačine Jednačine čija se rješenja posmatraju u skupu cijelih brojeva ili u nekom njegovom podskupu nazivaju se Diofantove jednačine. Definicija 21. Jednačina oblika ax + by = c, gdje su a, b i c cijeli brojevi naziva se linearna Diofantova jednačina. Ured eni par cijelih brojeva (s, t) za koji je as + bt = c naziva se rjšenje linearne Diofantove jednačine. Teorem 22. Linearna Diofantova jednačina ax + by = c ima rješenje ako i samo ako nzd(a, b) c. U tom slučaju je opšte rješenje jednačine oblika x = y = c nzd(a, b) u + b nzd(a, b) t, c nzd(a, b) v a t (t Z), nzd(a, b) gdje su u i v cijeli brojevi odred eni Euklidovim algoritmom tj. au+bv = nzd(a, b). Ako su brojevi a i b uzajamno prosti, onda jednačina ax + by = c ima uvijek rješenje. Primjer Neka je p prost broj. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu 1 x + 1 y = 1 p. Rješenje Kako je 1 > 1 i 1 > 1 to je p < x i p < y. Neka je x = p + u, y = p + v p x p y gdje su u i v prirodni brojevi. Tada je 1 p + u + 1 p + v = 1 p. Nakon sred ivanja dobije se p 2 = uv. Neka je d = nzd(u, v). Tada iz p 2 = uv slijedi u = da 2, v = db 2 gdje su a i b prirodni brojevi. Tada je p = dab. Kako je 13

15 p prost broj, to imamo sljedeće mogućnosti: d = p, a = b = 1, a = p, b = d = 1 i b = p, a = d = 1. Tada je x = p + u = p + da 2 pa je x = 2p ili x = p + p 2 ili x = p + 1. Analogno nalazimo da je y = 2p, ili y = p + 1 ili y = p + p 2. Dakle, (x, y) {(2p, 2p), (p(p + 1), p + 1), (p + 1, p(p + 1))}. Primjer U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu 15x 2 7y 2 = 9. Rješenje Posmatrajmo kongruenciju po modulu 3. Tada je y 2 0 (mod 3), pa je y = 3y 1. Tada imamo 5x 2 21y 2 1 = 3. Ponovo primjenjujemo kongruenciju po modulu 3 i zaključujemo da 3midx, pa je x = 3x 1. Dalje je 15x 2 1 7y 2 1 = 1. Ponovo kongrunecija po modulu 3 i dobijamo y (mod 3), što je nemoguće. Dakle, jednačina nema rješenja u skupu cijelih brojeva. Primjer Riješiti sistem linearnih kongruencija x 3 ( mod 10), x 5 (mod 14). Rješenje Iz prve kongruencije imamo x = 10t + 3 za neki cio broj t. Iz druge kongruencije imamo x = 14s + 5 za neko s Z. Odavde imamo 10t = 14s + 2, tj. 5t = 7s + 1. Primjenom kongruencije po modulu 5 dobije se 2s (mod 5). Dakle, 2s + 1 = 5u (u Z). Odavde slijedi da je u neparan broj, pa je u = 2v + 1 (v Z). Tada je s = 5v + 2 i x = 70v + 33 (v Z). Zadaci 1. Naći sve parove (p, q) prostih brojeva tako da je p 3 q 5 = (p + q) Naći sva cjelobrojna rješenja jednačine x 3 2y 3 4z 3 = Naći cjelobrojna rješenja jednačine xy + 3x 5y + 3 = Riješiti sistem kongruencija x 3 (mod 8), x 7 (mod 12). 14

16 5. Učenik je na testu imao 20 zadataka. Za svaki ispravno riješen zadatak dobio je 8 bodova, za svaki pogrešno riješen zadatak dobio je minus pet bodova, a za zadatak koji nije ni pokušao riješiti dobio je nula bodova. Na kraju je učenik imao 29 bodova. Koliko je zadataka ispravno riješio i koliko zadataka nije ni pokušao riješiti? 6. Da li je moguće 30 KM razmijeniti u 12 novčanica od 1KM, 2KM i 5KM. Ako je odgovor pozitivan onda naći broj različitih načina. 7. Naći najmanji prirodan broj sa sljedećim svojstvima: njegova polovina je kvadrat cujelog broja, njegova trećina je kub cijelog broja i njegova petina je peti stepen nekog prirodnog broja. 8. U skupu cijelih brojeva riješiti jednačinu (x+y)(x+3y) = p, gdje je p prost broj. 9. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu 1 n + 1 m = 1 mn Dokazati da jednačina 2x 2 5y 2 = 7 nema cjelobrojnih rješenja. 11. Dokazati da jednačina 15x 2 7y 2 = 9 nema rješenja u skupu cijelih brojeva. 12. Neki cio broj u decimalnom zapisu piše se sa 300 jedinica i izvjesnog broja nula. Da li taj broj može biti potpun kvadrat? 13. Neka je b cifra jedinica broja 2 n i neka je 2 n = 10a + b. Dokazati da je broj ab djeljiv sa Izvjestan broj od 15 listova papira isječen je na po 10 dijelova, zatim se od dobijenih listova isjeku još neki na po deset djelova itd. Kad su izbrojani dobijeni listići, pokazalo se da ih ima Dokazati da su listovi pogrešno izbrojani. 15. Naći najmanji prirodan broj čiji je ostatk pri djeljenju sa 2,3,5,7 i 11 jednak jedinici. 16. Nad ite bilo koja tri susjedna prirodna broja, od kojih je svaki od njih djeljiv sa kvadraton nekog cjelog broja većeg od 1. Da li se ova tvrdnja može generalizirati, tj. da li za svaki cio broj k postoji niz od susjednih prirodnih brojeva od kojih je svaki djeljiv sa kvadratom nekog prirodnog broja većeg od 1? 15

17 17. Naći najveci prirodan broj n za koji postoji tačno jedan prirodan broj k takav da je 5 9 < n n + k < Odrediti sve proste brojeve p takve da je 2p 4 p potpun kvadrat. 19. Odrediti sve uredene trojke (a, b, p) prirodnih brojeva takve da je p prost broj i da je p = b 2a b 4 2a + b. 20. Dokazati da zbir tri i više uzastopnih prirodnih brojeva nije nikada prost broj. 21. Ako je prirodan broj n kvadrat nekog prirodnog broja, dokazati da je proizvod dvije zadnje cifre broja n (cifre desetica i cifre jedinica) paran broj. 22. Naći sve trocifrene prirodne brojeve sljedećih osobina: ako se ispred posmatranog broja napiše ista cifra koja stoji na mjestu jedinica dobije se četvorocifreni broj koji je za 18 manji od sedmostrukog posmatranog broja. 23. Napisati sve parove uzajamno prostih prirodnih brojeva čiji je proizvod Napišimo cifre nekog broja u obrnutom poretku. Dokazati da tako dobijeni broj ne može biti dvaput veći od početnog broja. 25. Naći četvorocifreni broj abcd takav da je abcd = d dba. 26. Jedan broj se može rastaviti na dva faktora čija je razlika 6, a zbir njihovih četvrtih stepena je 272. Koji je to broj? 27. Dokazati da je zbir kvadrata bilo kojih pet uzastopnih cijelih brojeva djeljiv sa 5, ali nije djeljiv sa Ako su p i 8p 1 prosti brojevi, dokazati da je broj 8p + 1 složen broj. 29. Kvadrat nekog prirodnog broja je šestocifreni broj koji se sastoji, kada se posmatraju dvije po dvije cifre, od tri dvocifrena broja. Prvi i treći od njih su jednaki, a srednji je dvaput manji. Odrediti broj sa ovom osobinom. 16

18 30. Dokazati da izraz 3n 4 + 6n 3 2n 2 3n + 3 n 2 + 3n + 2 (n N) nije cio broj ni za jedno n N. 31. Naći četvorocifren broj koji je potpun kvadrat i čije su prve dvije cifre, kao i posljednje dvije cifre, jednake. 32. Dokazati da kvadrat proizvoljnog prostog broja veég od tri, pri djeljenju sa 12 daje ostatak Zbir dvocifrenog broja i broja koji ima iste te cifre, ali napisane obrnutim redom, daje potpun kvadrat. Naći sve takve brojeve. 34. Svaki cijeli stepen trocifrenog broja završava se na one tri cifre, kojima se piše taj broj (red pisanja cifara je nepromjenjen). Koji je to broj? 35. Naći četvorocifreni broj koji pri djeljenju sa 131 daje ostatak 112, a djeljenjem sa 132 daje ostak Odrediti sve dvocifrene brojeve koji su 14 veći od proizvoda svojih cifara. 37. Odrediti četvorocifreni broj abcd koji ispunjava uslove cda abc = 297 i a + b + c = Odrediti sve trocifrene brojeve abc koji imaju osobinu abc 2 = xyzabc. 39. Ako je cd = 2 ab, onda broj abcd ne može biti potpun kvadrat. 40. Od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sataviti dva broja P i Q koji će zadovoljavati sljedeće uslove: a) Prva cifra brojeva P i Q nije nula. b) Svaka od navedenih cifara se javlja jedanput i to samo u jednom iod navedenih brojeva P i Q. c) Broj Q je devet puta veći od broja P. 41. Naći prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju jednačinu 1! + 2! + + n! = m Naći sve dvocifrene brojeve koji su djeljivi proizvodom svojih cifara. 17

19 43. Naći sve trocifrene brojeve koji su djeljivi proizvodom svojih cifara. 44. Odrediti sve prirodne brojeve n tako da 5 (n 2 + n 2). 45. Odrediti sve prirodne brojeve n takve da je n 2 + n + 1 djeljivo sa Naći sve dvocifrene brojeve kod kojih se zbir cifara ne mijenja množenjem broja sa 2,3,4,5,6,7,8,9. (Uputstvo: Ako je a traženi bro, onda brojevi: a, 2a, 3a,..., 9a imaju isti zbir cifara. Broj 9a je djeljiv sa 9, pa mu je i zbir cifara djeljiv sa 9. Dakle, zbir cifara broja a je djeljiv sa 9, pa je i broj a djeljiv sa 9.) 47. Odrediti sve parove (a, b) prirodnih brojeva tako da su brojevi a+3 a 2 b + b2 a prirodni brojevi. + b+3 b a i 48. Odrediti sve parove (a, b) prirodnih brojeva tako da su brojevi 4a+p b i a2 + b2 prirodni brojevi, gdje je p neki prost broj. b a 49. U skupu prirodnih brojeva riješiti jednačinu 2 x + 3 y = z Ako je broj xyyy, (y 0) djeljiv brojem xy, onda je x = y. Dokazati! 51. Odrediti cifre x i y tako da je 4 xxy + 8 yyx = Naći sve parove (p, q) prostih brojeva, takvih da je 2p = q b+p a 53. Naći sve parove prostih brojeva (p, q) takvih da je 2(p 6 q 2 ) = (p q) Naći sve parove (p, q) prostih brojeva tako da je p 3 q 5 = (p + q) Naći sve parove prostih brojeva p i q tako da je p 2 + 3pq + q 2 a) potpun kvadrat: b) potencija broja Naći sve parove prirodnih brojeva (a, b) tako da je ab = nzd(a, b). 57. Naći sve parove prirodnih brojeva (a, b) a b tako da je ab = nzs(a, b) + 5nzd(a, b). 18

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

DELJIVOST CELIH BROJEVA

DELJIVOST CELIH BROJEVA DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA. Bihać, 2014.

UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA. Bihać, 2014. UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA Bihać, 014. c prof. dr. sc. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA Recenzenti

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

KATALOG ZNANJA. za polaganje završnog ispita iz Matematike za učenike osnovnih škola Tuzlanskog kantona. Tuzla, decembar 2013.

KATALOG ZNANJA. za polaganje završnog ispita iz Matematike za učenike osnovnih škola Tuzlanskog kantona. Tuzla, decembar 2013. 0/04 KATALOG ZNANJA za polaganje završnog ispita iz Matematike za učenike osnovnih škola Tuzlanskog kantona Tuzla, decembar 0. godine Sadržaj I Oblasti za testiranje II Katalog zadataka III Testovi sa

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Tuzla, januara godine

Tuzla, januara godine Tuzla, januara 1016. godine Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje Godina 016. Izdavač: Pedagoški zavod Tuzlanskog kantona Bosne srebrene br. 119. 75 000 Tuzla www.pztz.ba

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. 4. razred osnovna škola. 23. veljače Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. 4. razred osnovna škola. 23. veljače Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva. MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 1. Na pitanje koliko

Διαβάστε περισσότερα