Κεφάλαιο 4 Υποδείγµατα Επαλλήλων Γενεών

Transcript

1 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 4 Υποδείγµατα Επαλλήλων Γενεών Το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού βασίζεται στην υπόθεση ότι όλα τα νοικοκυριά είναι πανοµοιότυπα. Μία εναλλακτική κατηγορία υποδειγµάτων βασίζεται στην υπόθεση ότι τα νοικοκυριά διαφέρουν. Καθώς νέα νοικοκυριά γεννιούνται, και ηλικιωµένα νοικοκυριά πεθαίνουν, υπάρχει εναλλαγή γενεών. Σε κάθε χρονική στιγµή υπάρχουν στην οικονοµία νοικοκυριά που εκπροσωπούν διαφορετικές γενεές. Η αποταµιευτική συµπεριφορά µεταξύ νοικοκυριών διαφορετικών γενεών διαφέρει, και έτσι τα υποδείγµατα αυτά δεν συνεπάγονται κατά κανόνα την οµοιογένεια ή την οικονοµική αποτελεσµατικότητα που χαρακτηρίζει το βασικό υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Το τυπικό υπόδειγµα αυτής της κατηγορίας είναι το υπόδειγµα των επαλλήλων γενεών του Diamond (1965). 1 Το υπόδειγµα αυτό αναλύεται σε διακριτό χρόνο, υποθέτει δηλαδή διακριτές χρονικές περιόδους. Σε κάθε χρονική περίοδο συνυπάρχουν δύο ειδών νοικοκυριά. Τα νέα, που βρίσκονται στην πρώτη περίοδο της ζωής τους, και τα ηλικιωµένα που βρίσκονται στη δεύτερη και τελευταία περίοδο της ζωής τους. Τα νέα νοικοκυριά εργάζονται και το µόνο εισόδηµα που έχουν είναι από την εργασία τους, ενώ τα ηλικιωµένα νοικοκυριά δεν εργάζονται, και καταναλώνουν την πρόσοδο και το απόθεµα του κεφαλαίου που έχουν αποταµιεύσει στην πρώτη περίοδο της ζωής τους. Την επόµενη περίοδο, τα ηλικιωµένα νοικοκυριά έχουν πεθάνει, τα νέα νοικοκυριά µετατρέπονται σε ηλικιωµένα, µία νέα γενιά νοικοκυριών έχει γεννηθεί, και ούτω καθεξής. Η τεχνολογία της παραγωγής και η διάρθρωση των αγορών είναι ανάλογη µε αυτή που υποτίθεται στα υποδείγµατα του Solow και του Ramsey. Υπάρχουν πολλές ανταγωνιστικές επιχειρήσεις, που παράγουν σύµφωνα µε µία νεοκλασσική συνάρτηση παραγωγής, οι αγορές κεφαλαίου και εργασίας είναι ανταγωνιστικές, και το κεφάλαιο και η εργασία αµείβονται µε το οριακό τους προϊόν. Ενώ το υπόδειγµα του Diamond αναλύεται σε διακριτό και όχι συνεχή χρόνο, µία πιο πρόσφατη κατηγορία υποδειγµάτων επαλλήλων γενεών αναλύεται σε συνεχή χρόνο (Blanchard (1985), Weil (1989)). Στην νεώτερη αυτή κατηγορία υποδειγµάτων, σε κάθε χρονική στιγµή γεννιούνται νέα νοικοκυριά, τα οποία έχουν άπειρο χρονικό χρονικό ορίζοντα. Στην αρχική παραλλαγή αυτών των υποδειγµάτων από τον Blanchard, σε κάθε χρονική στιγµή υπάρχει και µία σταθερή πιθανότητα θανάτου, η οποία είναι ανεξάρτητη από την ηλικία των νοικοκυριών. Στο υπόδειγµα του Weil, η πιθανότητα θανάτου είναι µηδενική. Αυτό που προκύπτει ότι έχει την κυριότερη σηµασία για τις προβλέψεις των υποδειγµάτων επαλλήλων γενεών είναι η διαφορετικότητα που προκύπτει από τη διαφορετική ηµεροµηνία Το υπόδειγµα των δύο επαλλήλων γενεών του Diamond (1965) έλκει την καταγωγή του από ένα υπόδειγµα τριών 1 επαλλήλων γενεών που παρουσίασε και ανέλυσε ο Samuelson (1958), για να εξηγήσει τη ζήτηση χρήµατος ως µορφής διακράτησης πλούτου. Για το λόγο αυτό συχνά αναφέρεται ως υπόδειγµα Samuelson-Diamond. Θα αναλύσουµε το υπόδειγµα του Samuelson στο κεφάλαιο 9, όπου αναλύουµε υποδείγµατα γενικής ισορροπίας µε χρήµα.

2 γέννησης των νοικοκυριών, και όχι η πιθανότητα θανάτου. Αυτή η διαφορετικότητα επηρεάζει την αποταµιευτική συµπεριφορά των νοικοκυριών και βεβαίως τις συνολικές αποταµιεύσεις. 2 Η συνολική αποταµιευτική συµπεριφορά στα υποδείγµατα επαλλήλων γενεών δεν χαρακτηρίζεται από κοινωνική αποτελεσµατικότητα, όπως στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Άλλωστε, σε οικονοµίες όπου δεν υπάρχει αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό η σύγκριση των επιπέδων ευηµερίας µεταξύ των διαφορετικών νοικοκυριών είναι σε µεγάλο βαθµό αυθαίρετη. Επιπλέον, στο υπόδειγµα του Diamond υπάρχει θεωρητικά το ενδεχόµενο η ισορροπία να µην είναι καν αποτελεσµατική κατά Pareto. Το ενδεχόµενο αυτό, επειδή προκύπτει από την αποταµιευτική συµπεριφορά, έχει ονοµασθεί δυναµική αναποτελεσµατικότητα, αν και όλες οι ενδείξεις συγκλίνουν στο ότι το ενδεχόµενο αυτό είναι µάλλον απίθανο. Σε κάθε περίπτωση, στα υποδείγµατα αυτά δηµιουργούνται οι προϋποθέσεις για παρεµβάσεις πολιτικής που βελτιώνουν την κοινωνική αποτελεσµατικότητα, καθώς η ανταγωνιστική ισορροπία δεν οδηγεί κατ ανάγκη και σε βέλτιστα αποτελέσµατα. 4.1 Το Υπόδειγµα του Diamond Στο υπόδειγµα του Diamond (1965), κάθε νοικοκυριό ζει για δύο µόνο περιόδους. Έτσι, σε κάθε περίοδο συνυπάρχουν δύο ειδών νοικοκυριά. Οι νέοι, που βρίσκονται στην πρώτη περίοδο της ζωής τους και οι ηλικιωµένοι που βρίσκονται στη δεύτερη περίοδο της ζωής τους Ορισµοί Οι ορισµοί των βασικών µεταβλητών είναι αντίστοιχοι των ορισµών που χρησιµοποιήσαµε ως τώρα. Y Προϊόν K (Φυσικό) Κεφάλαιο L Εργασία (συνολικός πληθυσµός της οικονοµίας) h γνώση, ή αποδοτικότητα της εργασίας t χρόνος (διακριτός) n ποσοστό αύξησης του πληθυσµού (εξωγενές) g ποσοστό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας (εξωγενές) δ ποσοστό απόσβεσης (φυσικού) κεφαλαίου (εξωγενές). Υποθέτουµε ότι δ = 0. r πραγµατικό επιτόκιο w πραγµατικός µισθός (ανα µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) H Συνάρτηση Παραγωγής Η συνάρτηση παραγωγής είναι η νεοκλασσική συνάρτηση παραγωγής που εξετάσαµε και στο υπόδειγµα του Solow (1956). Q Y t = F(K t,h t L t ) (4.1) 2 Βλ. Buiter (1988) και Weil (1989). 3 Η περίοδος στο υπόδειγµα αυτό ισοδυναµεί µε το µισό του προσδόκιµου ζωής ενός ενήλικα, περίπου 30 χρόνια. Q2

3 Q Q Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 4 Η συνάρτηση παραγωγής χαρακτηρίζεται από σταθερές αποδόσεις κλίµακας, οπότε µπορεί να γραφεί ως, Q y t = f (k t ) (4.2) όπου y = Y/hL k = K/hL f(k) = F(k, 1) προϊόν ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας συνάρτηση παραγωγής ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας Η Συνάρτηση Χρησιµότητας των Νοικοκυριών Στην περίοδο t γεννιούνται L νοικοκυριά (άτοµα), και ο πληθυσµός αυξάνεται µε ρυθµό n. Έτσι, L t = (1+ n)l t 1 Οι νέοι εργάζονται ενώ οι ηλικιωµένοι δεν εργάζονται. Κάθε νοικοκυριό προσφέρει µια µονάδα εργασίας όταν είναι νεαρό, και κατανέµει το εισόδηµα της εργασίας του µεταξύ της κατανάλωσης της πρώτης περιόδου και της αποταµίευσης. Στη δεύτερη περίοδο της ζωής του το νοικοκυριό απλώς καταναλώνει τις αποταµιεύσεις του, συν τους τόκους που του αποδίδουν. Η συνάρτηση χρησιµότητας ενός νοικοκυριού που γεννιέται στην περίοδο t ορίζεται από, 8 U t = C 1t, θ > 0, ρ > -1 (4.3) 1 θ ρ 1 θ όπου, C κατανάλωση πρώτης περιόδου C κατανάλωση δεύτερης περιόδου ρ θ 1t 2t +1 1 θ 1 C 1 θ 2 t+1 1 ποσοστό διαχρονικής προτίµησης (εξωγενές) συντελεστής σχετικής απέχθειας στον κίνδυνο Η (4.3) είναι η γνωστή µας από το κεφάλαιο 2 συνάρτηση σταθερής σχετικής απέχθειας στον κίνδυνο, ή σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης, όπου, 1/θ είναι η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης της κατανάλωσης Αγορές και Συµπεριφορά των Νοικοκυριών t Υπάρχουν πολλές επιχειρήσεις, κάθε µία µε συνάρτηση παραγωγής όπως η (4.1). Οι αγορές είναι ανταγωνιστικές. Η εργασία και το κεφάλαιο αµείβονται µε το οριακό προϊόν τους, και οι επιχειρήσεις έχουν µηδενικά κέρδη. Το πραγµατικό επιτόκιο και ο πραγµατικός µισθός ορίζονται συνεπώς από, r t = f (k t ) (4.4α) Q3

4 D Q Q Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 4 w t = f (k t ) k t f (k t ) (4.4β) όπου f (kt) είναι το οριακό προϊόν του κεφαλαίου. Το κάθε νέο νοικοκυριό κατανέµει το εισόδηµά του από εργασία wtht µεταξύ κατανάλωσης και αποταµίευσης. Συνεπώς, το κεφάλαιο της περιόδου t+1 ισούται µε τις αποταµιεύσεις της περιόδου t. K t+1 = L t (w t h t C 1t ) (4.5) Το κεφάλαιο αυτό συνδυάζεται από τις επιχειρήσεις µε την εργασία που προσφέρει η επόµενη γενιά των νέων νοικοκυριών, και έτσι συνεχίζεται η διαδικασία. Στη δεύτερη περίοδο της ζωής του, το νοικοκυριό που έχει γεννηθεί την περίοδο t, καταναλώνει όλο του το εισόδηµα, συν τις αποταµιεύσεις του της πρώτης περιόδου. Κατά συνέπεια, η κατανάλωση της δεύτερης περιόδου του νοικοκυριού που έχει γεννηθεί στην περίοδο t δίδεται από, Q C 2t+1 = (1+ r t+1 )(w t h t C 1t ) (4.6) Από την (4.6) προκύπτει ότι η παρούσα αξία της κατανάλωσης των δύο περιόδων την περίοδο t ισούται µε την αξία του εισοδήµατος από εργασία. 1 Q C 1t + C 2t+1 = w t h t (4.7) 1+ r t+1 Μεγιστοποιώντας την (4.3) υπό τον εισοδηµατικό περιορισµό (4.7), από τις συνθήκες πρώτης τάξεως, έχουµε, 1/θ 1 + r = t +1 (4.8) C 1t 1 + ρ C 2t +1 Η (4.8) είναι ανάλογη της εξίσωσης Euler στο υπόδειγµα του Ramsey. Η κατανάλωση της δεύτερης περιόδου είναι µεγαλύτερη ή µικρότερη από την κατανάλωση της πρώτης περιόδου, ανάλογα µε το αν το πραγµατικό επιτόκιο υπερβαίνει το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού. Το 1/θ καθορίζει την ελαστικότητα της µεταβολής. Επιλύοντας τις (4.7) και (4.8) ως προς C1t έχουµε, ( ) 1/θ ( ) 1/θ + ( 1+ r t+1 ) w h (1 θ )/θ t t 1+ ρ Q C 1t = (4.9) 1+ ρ Τα νέα νοικοκυριά καταναλώνουν ένα ποσοστό του εισοδήµατός τους που εξαρτάται από τις προτιµήσεις τους και το πραγµατικό επιτόκιο. Μπορούµε να ξαναγράψουµε την (4.9) ως, ( )w t h t (4.9 ) Q4 C 1t = 1 s( r t+1 )

5 s είναι το ποσοστό αποταµίευσης, το οποίο ορίζεται ώς, s(r) = (1 θ /θ (1 + r) (1 + ρ) 1/θ (1 θ )/θ + (1 + r) (4.10) Η (4.10) υποδηλώνει ότι το ποσοστό αποταµίευσης είναι θετική συνάρτηση του πραγµατικού επιτοκίου r, µόνο αν το θ είναι µικρότερο από τη µονάδα (η ελαστικότητα υποκατάστασης 1/θ µεγαλύτερη από τη µονάδα). Μόνο τότε το αποτέλεσµα υποκατάστασης κυριαρχεί στο εισοδηµατικό αποτέλεσµα. Αν το θ είναι µεγαλύτερο από τη µονάδα, το ποσοστό αποταµίευσης είναι αρνητική συνάρτηση του r, καθώς κυριαρχεί το αποτέλεσµα εισοδήµατος. Στην ειδική περίπτωση που το θ ισούται µε τη µονάδα (λογαριθµική χρησιµότητα) το ποσοστό αποταµίευσης είναι ανεξάρτητο από το πραγµατικό επιτόκιο και ισούται µε 1/(2+ρ). 4 Μπορούµε τώρα να αθροίσουµε τη συµπεριφορά των γενεών για να περιγράψουµε τη συσσώρευση κεφαλαίου και τη δυναµική προσαρµογή της οικονοµίας Η Συσσώρευση Κεφαλαίου και η Δυναµική Προσαρµογή της Οικονοµίας Το συνολικό κεφάλαιο ισούται µε τις αποταµιεύσεις των νέων νοικοκυριών της περασµένης περιόδου, καθώς τα ηλικιωµένα νοικοκυριά της περασµένης περιόδου δεν αποταµιεύουν και τα νέα νοικοκυριά της τρέχουσας περιόδου δεν κατέχουν κεφάλαιο. Q K t+1 = s(r t+1 )L t w t h t (4.11) Εκφράζοντας την (4.11) σε όρους αποτελεσµατικότητας της εργασίας, διαιρώντας µε h L, τότε έχουµε, 1 Q k t +1 = (4.11 ) (1+ n)(1+ g) s(r )w t +1 t Αντικαθιστώντας για r και w από τις (4.4 α) και (4.4 β), t +1 t +1 1 D k t+1 = (4.12) (1+ n)(1+ g) s( f (k )) f (k t+1 ( ) k t t f (k t )) Η (4.12) περιγράφει τη δυναµική συµπεριφορά του κεφαλαίου ανά µονάδα αποτελεσµατικής εργασίας, άρα και την εξέλιξη της οικονοµίας. Το ερώτηµα είναι αν υπάρχει ένα σηµείο ισορροπίας k*, και, αν υπάρχει, κατά πόσον η οικονοµία συγκλίνει προς αυτή την ισορροπία. H (4.12) είναι µία µη γραµµική πρωτοβάθµια εξίσωση διαφορών στο λόγο κεφαλαίου προς αποτελεσµατική εργασία k. Λόγω της µη γραµµικότητάς της, υπάρχει το ενδεχόµενο πολλαπλών ισορροπιών. Στο Διάγραµµα 4.1 αναδεικνύεται το ενδεχόµενο ο αυτό. Η γραµµή µε κλίση 45Q είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων ισορροπίας, για τα οποία, 4 Οι συνθήκες αυτές είναι ανάλογες µε τις συνθήκες για το υπόδειγµα του Ramsey στο Κεφάλαιο 3. Q5

6 Q Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 4 k t +1 = k t Η ηµιτονοειδής καµπύλη είναι η γεωµετρική εκδοχή µιας ενδεχόµενης γενικής µορφής της (4.12). Όπως φαίνεται στο Διάγραµµα 4.1, υπάρχουν τρεις τουλάχιστον ισορροπίες για τη µορφή αυτή της καµπύλης (A, B και C). Από αυτές οι Α και C είναι τοπικά σταθερές και η B ασταθής. Το που θα καταλήξει η οικονοµία, εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες. Αν ο αρχικός λόγος κεφαλαίου εργασίας είναι k0 τότε η οικονοµία θα τείνει προς την ισορροπία στο Α. Αν ο αρχικός λόγος κεφαλαίου εργασίας κείται δεξιά του B, τότε η οικονοµία θα τείνει προς την ισορροπία στο C. Κατά συνέπεια, υπάρχουν τουλάχιστον δύο ενδεχόµενες ισορροπίες, ανάλογα µε τις αρχικές συνθήκες. Δεν υπάρχει καµµία εγγύηση για σύγκλιση σε µία µοναδική ισορροπία, όπως στο υπόδειγµα του Solow, ή το υπόδειγµα του Ramsey. Κατά συνέπεια, το υπόδειγµα του Diamond διαφέρει από τα υποδείγµατα που εξετάσαµε ως τώρα, ως προς το ότι στη γενική του µορφή µπορεί να χαρακτηρίζεται από πολλαπλές ισορροπίες. Δεν υπάρχει µία µοναδική ισορροπία στην οποία συγκλίνουν όλες οι οικονοµίες ανεξάρτητα από τις αρχικές τους συνθήκες. Η ισορροπία στην οποία θα καταλήξει η οικονοµία εξαρτάται από τις αρχικές της συνθήκες. Μια οικονοµία η οποία έχει αρχικά χαµηλό κεφάλαιο, θα τείνει σε µία πορεία ισόρροπης ανάπτυξης όπως η A, η οποία χαρακτηρίζεται από χαµηλό κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. Το κατά κεφαλήν εισόδηµά της στην πορεία της ισόρροπης ανάπτυξης θα είναι κατά συνέπεια χαµηλότερο από ότι σε µία οικονοµία η οποία έχει αρχικά υψηλό κεφάλαιο (µεγαλύτερο από αυτό που αντιστοιχεί στο σηµείο Β), και η οποία θα συγκλίνει στην πορεία ισόρροπης ανάπτυξης C, η οποία χαρακτηρίζεται από υψηλό κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, και υψηλό κατά κεφαλήν εισόδηµα στην πορεία της ισόρροπης ανάπτυξης. Επιπλέον, η ισορροπία στην οποία καταλήγει µία οικονοµία, υπό κάποιες συνθήκες, µπορεί να εξαρτάται από αυτοεκπληρούµενες προσδοκίες, ή ηλιακές κηλίδες και η οικονοµία µπορεί να χαρακτηρίζεται από κυκλικές διακυµάνσεις, παρά το γεγονός ότι δεν υπάρχουν εξωγενείς τυχαίες διαταραχές. Η ισόρροπη ανάπτυξη δεν είναι συνεπώς διασφαλισµένη και η ισορροπία, όταν υπάρχει, εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες Λογαριθµικές Προτιµήσεις και Συνάρτηση Παραγωγής Cobb Douglas Το υπόδειγµα του Diamond απλοποιείται στην περίπτωση λογαριθµικών προτιµήσεων (θ=1) και α τεχνολογίας παραγωγής Cobb Douglas (f(k)=αk ). Τότε οι (4.10) και (4.12) απλοποιούνται σε, 1 Q s(r) = (4.10 ) 2 + ρ 1 1 Q k t+1 = (4.12 ) (1+ n)(1+ g) 2 + ρ (1 α )Ak α t Στην περίπτωση αυτή το ποσοστό αποταµίευσης είναι ανεξάρτητο από το πραγµατικό επιτόκιο, και µπορεί να δείξει κανείς (βλ. Διάγραµµα 4.2) ότι υπάρχει µία µοναδική ισορροπία στην οποία συγκλίνει η οικονοµία των επαλλήλων γενεών (Diamond), όποιο και αν είναι το σηµείο εκκίνησης (πλην του µηδενικού αρχικού κεφαλαίου). Q6

7 Οι ιδιότητες της οικονοµίας αυτής, από τη στιγµή που συγκλίνει σε µία πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης, είναι ανάλογες µε τις ιδιότητες των οικονοµιών του Solow και του Ramsey, στις δικές τους πορείες ισόρροπης µεγέθυνσης. Το ποσοστό αποταµίευσης είναι σταθερό, το προϊόν ανά εργαζόµενο αυξάνεται µε ρυθµό g, ο λόγος κεφαλαίου προϊόντος είναι σταθερός κ.ο.κ. Στο Διάγραµµα 4.3 εξετάζουµε τις επιπτώσεις µιας αύξησης του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης στο απλοποιηµένο υπόδειγµα του Diamond. Αυτό έχει ως συνέπεια τη µείωση της αποταµίευσης της νέας γενιάς, η οποία οδηγεί σε χαµηλότερο επίπεδο κεφαλαίου την επόµενη περίοδο σε σχέση µε το αρχικό επίπεδο ισορροπίας k*. Η µείωση αυτή θέτει σε κίνηση µία διαδικασία αποσυσσώρευσης κεφαλαίου, έως ότου η οικονοµία συγκλίνει στη νέα ισορροπία B, στην οποία ο λόγος κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι χαµηλότερος. Κατά συνέπεια, όπως και στο υπόδειγµα του Ramsey, στο απλοποιηµένο υπόδειγµα του Diamond, µία αύξηση του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης οδηγεί σε ισορροπία µε χαµηλότερο κατά κεφαλήν κεφάλαιο (k**) και συνολικό εισόδηµα. Αντίστοιχες επιπτώσεις µε µία αύξηση του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης θα είχε και µία αύξηση στο ρυθµό µεγέθυνσης του πληθυσµού n, ή µία αύξηση στο ρυθµό µεγέθυνσης της αποδοτικότητας της εργασίας (ρυθµό τεχνολογικής προόδου) g. Μία µείωση του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης έχει τις αντίθετες επιπτώσεις. Στη νέα ισορροπία τόσο η κατανάλωση όσο και το κεφάλαιο θα είναι υψηλότερα. Τη στιγµή της µεταβολής η κατανάλωση µειώνεται, η οικονοµία αρχίζει να συσσωρεύει επιπλέον κεφάλαιο και η οικονοµία σταδιακά προσαρµόζεται προς τη νέα ισορροπία. Βλέπουµε λοιπόν ότι, όπως και στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης είναι βασικός παράγων προσδιορισµού της αποταµιευτικής συµπεριφοράς. Όσο υψηλότερο είναι, τόσο µικρότερες είναι οι αποταµιεύσεις, καθώς η νεώτερη γενιά, η οποία είναι στο υπόδειγµα αυτό η µόνη που αποταµιεύει, προτιµά περισσότερο την κατανάλωση σήµερα σε σχέση µε τη µελλοντική κατανάλωση. Στο Διάγραµµα 4.4 εξετάζουµε τις επιπτώσεις µιας εφάπαξ αύξησης της συνολικής παραγωγικότητας των συντελεστών A. Αυτή προκαλεί αύξηση του εισοδήµατος και των αποταµιεύσεων για δεδοµένο κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, και οδηγεί σε συσσώρευση κεφαλαίου προς το υψηλότερο επίπεδο k**. Κατά συνέπεια, µετά από µία εφάπαξ αύξηση της συνολικής παραγωγικότητας των συντελεστών, η οικονοµία συγκλίνει σε υψηλότερο κεφάλαιο, εισόδηµα και κατανάλωση κατά κεφαλήν Η Ταχύτητα της Προσαρµογής στο Απλοποιηµένο Υπόδειγµα του Diamond Όπως και στα υποδείγµατα του Solow και του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, είναι ενδιαφέρον να διευρευνήσουµε τις ποσοτικές και όχι µόνο τις ποιοτικές ιδιότητες του απλοποιηµένου υποδείγµατος του Diamond. Από την (4.12 ), η οικονοµία βρίσκεται σε πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης k*, όταν ισχύει, 1 1 Q k* = (1 α )A(k*)α (4.13) (1+ n)(1+ g) 2 + ρ Q7

8 Λύνοντας ως προς την κεφαλαιακή ένταση k* έχουµε, (1 α )A Q k* = (4.14) (1+ n)(1+ g)(2 + ρ) Η παραγωγική ένταση y* προκύπτει κατά συνέπεια ότι ισούται µε, (1 α ) Q y* = A(k*) α = A 1/(1 α ) (4.15) (1+ n)(1+ g)(2 + ρ) Η (4.15) προσδιορίζει το προϊόν ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, και πως αυτό εξαρτάται από τις τεχνολογικές παραµέτρους και τις παραµέτρους των προτιµήσεων των νοικοκυριών. Επιλέγοντας τιµές για τις διάφορες παραµέτρους, µπορούµε να έχουµε ποσοτικές εκτιµήσεις για τις µακροχρόνιες επιπτώσεις διαφόρων µεταβολών στις παραµέτρους. Αξίζει πάντως να σηµειωθεί ότι επειδή στο υπόδειγµα αυτό η περίοδος ισοδυναµεί µε το µισό του προσδόκιµου ζωής ενός ενήλικα, η επιλογή των παραµέτρων θα πρέπει να λάβει υπόψη αυτή την ιδιαιτερότητα. Για παράδειγµα, το n πρέπει να υπολογισθεί όχι ως ο ετήσιος ρυθµός αύξησης του πληθυσµού, αλλά ως ο ρυθµός αύξησης του πληθυσµού ανά 30 χρόνια. Αντίστοιχες επιλογές πρέπει να γίνουν και για άλλες παραµέτρους όπως το g και το ρ. Για να βρούµε την ταχύτητα προσαρµογής στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης λαµβάνουµε την γραµµική προσέγγιση της (4.12 ) στο σηµείο k=k*. Αυτή δίνεται από, Q k t +1 = k * + dk t +1 (4.16) dk t (k t k*) k t = k* Από την (4.12 ) έχουµε ότι, 1/(1 α ) α /(1 α ) dk Q t+1 (1 α )A (4.17) dk t = α (1+ n)(1+ g)(2 + ρ) (k*)α 1 = α k t =k* Η ταχύτητα προσαρµογής εξαρτάται κατά συνέπεια µόνο από το α, το µερίδιο του κεφαλαίου στη συνάρτηση παραγωγής. Εάν το α ισούται µε 1/3, τότε σε κάθε περίοδο ο λόγος κεφαλαίου προς αποδοτικότητα της εργασίας µετακινείται κατά τα 2/3 της απόστασης που τον χωρίζει από την τιµή που αντιστοιχεί στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης. Αν η περίοδος είναι 30 χρόνια, αυτό ισοδυναµεί µε περίπου 2% το χρόνο, όσο περίπου και στο υπόδειγµα του Solow µε µηδενικό ποσοστό απόσβεσης. Στο υπόδειγµα αυτό, µε την υπόθεση των λογαριθµικών προτιµήσεων, το ποσοστό αποταµίευσης είναι σταθερό µόνο για τη νέα γενιά. Η αρνητική αποταµίευση των ηλικιωµένων δεν είναι σταθερό ποσοστό του συνολικού εισοδήµατος, αλλά αυξάνεται καθώς αυξάνεται το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, λόγω των φθινουσών αποδόσεων στη συσσώρευση του κεφαλαίου. Κατά συνέπεια, οι συνολικές αποταµιεύσεις σαν ποσοστό του συνολικού εισοδήµατος είναι Q8

9 αρνητική συνάρτηση του k, όπως και στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού στην περίπτωση της συνάρτησης παραγωγής Cobb Douglas και λογαριθµικών προτιµήσεων Το Ενδεχόµενο της Δυναµικής Αναποτελεσµατικότητας Η µεγαλύτερη ίσως διαφορά µεταξύ του υποδείγµατος του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού και των υποδειγµάτων επαλλήλων γενεών συνδέεται µε την αποτελεσµατικότητα της ισορροπίας. Είδαµε ότι στο υπόδειγµα του Ramsey η ανταγωνιστική ισορροπία οδηγεί στη µεγιστοποίηση της ευηµερίας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Στα υποδείγµατα επαλλήλων γενεών αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό δεν υπάρχει, και κατά συνέπεια δεν είναι σαφής ο τρόπος µε τον οποίο θα µπορούσαµε να αξιολογήσουµε την αποτελεσµατικότητα της ανταγωνιστικής ισορροπίας. Αν ορίσουµε την κοινωνική ευηµερία ως κάποιο σταθµισµένο µέσο της ευηµερίας των επί µέρους γενεών, δεν θα περίµενε κανείς ότι η ανταγωνιστική ισορροπία θα οδηγούσε σε µεγιστοποίηση αυτού του, εν πολλοίς, αυθαίρετου σταθµικού µέσου. Το ελάχιστο κριτήριο αποτελεσµατικότητας που έχουµε στα οικονοµικά είναι η αποτελεσµατικότητα κατά Pareto. Ότι δηλαδή δεν είναι δυνατόν να βελτιώσουµε την ευηµερία κάποιου, χωρίς να επιδεινώσουµε την ευηµερία κάποιου άλλου. Όµως, ακόµη και το απλοποιηµένο υπόδειγµα του Diamond δεν είναι βέβαιο ότι ικανοποιεί αυτό το κριτήριο. Το απόθεµα του κεφαλαίου στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης µπορεί να ξεπερνά αυτό που αντιστοιχεί στον χρυσό κανόνα, µε συνέπεια να µπορεί κανείς να αυξήσει την κατανάλωση, και την ευηµερία, όλων των γενεών καταναλώνοντας µέρος του κεφαλαίου. Για να δούµε αυτό το ενδεχόµενο επικεντρωνόµαστε στο απλοποιηµένο υπόδειγµα του Diamond, µε λογαριθµικές προτιµήσεις και τεχνολογία Cobb Douglas. Το κεφάλαιο ισορροπίας στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης δίνεται από την (4.14). Το οριακό του προϊόν δίνεται από, Q f (k*) = α A(k*) α 1 = α (1+ n)(1+ g)(2 + ρ) (4.18) 1 α Στην ισόρροπη µεγέθυνση, το κεφάλαιο που ικανοποιεί τον χρυσό κανόνα έχει οριακό προϊόν n+g. Ισχύει δηλαδή ότι, Q f (k GR ) = aa(k GR ) α 1 = (1+ n)(1+ g) 1! n + g (4.19) Για ένα επαρκώς µικρό α, το οριακό προϊόν του κεφαλαίου ισορροπίας όπως δίνεται από την (4.18) θα µπορούσε να είναι µικρότερο από το οριακό προϊόν που αντιστοιχεί στον χρυσό κανόνα, και δίνεται από την (4.19). Αυτό θα σήµαινε ότι το κεφάλαιο που αντιστοιχεί στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης θα ήταν µεγαλύτερο από τον χρυσό κανόνα, και ένας κοινωνικός σχεδιαστής θα µπορούσε να αυξήσει την τρέχουσα κατανάλωση και την ευηµερία όλων των γενεών, µειώνοντας τις αποταµιεύσεις και το κεφάλαιο ισορροπίας στο επίπεδο του χρυσού κανόνα. Η περίπτωση αυτή, στην οποία το οριακό προϊόν του κεφαλαίου ισορροπίας είναι µικρότερο από το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης της οικονοµίας (που αντιστοιχεί στον χρυσό κανόνα), καλείται δυναµική αναποτελεσµατικότητα. Πόσο πιθανή είναι όµως εµπειρικά αυτή η περίπτωση της δυναµικής αναποτελεσµατικότητας; Q9

10 Ας υποθέσουµε ότι το µερίδιο του κεφαλαίου στο συνολικό εισόδηµα είναι 1/3, ο ετήσιος ρυθµός αύξησης του πληθυσµού είναι περίπου 1%, ο ετήσιος µακροχρόνιος ρυθµός αύξησης της παραγωγικότητας είναι περίπου 2% και ότι το ετήσιο ποσοστό διαχρονικής προτίµησης είναι 2%. Αυτές είναι οι υποθέσεις για τις παραµέτρους του υποδείγµατος που έχουµε κάνει ως τώρα. Υποθέτουµε επίσης ότι η περίοδος του υποδείγµατος του Diamond είναι περίπου 30 χρόνια. Με τις υποθέσεις αυτές, το οριακό προϊόν του κεφαλαίου ισορροπίας από την (4.18) ισούται µε 3,44. Το οριακό προϊόν του κεφαλαίου που αντιστοιχεί στο χρυσό κανόνα (δηλαδή ο µακροχρόνιος ρυθµός ανάπτυξης της οικονοµίας) ισούται από την (4.19) µε 1,44. Κατά συνέπεια, µε λογικές τιµές για τις παραµέτρους το ενδεχόµενο δυναµικής αναποτελεσµατικότητας δεν προκύπτει. Θα έπρεπε το µερίδιο του κεφαλαίου, δηλαδή το α, να είναι µικρότερο από το 1/6 αντί για το 1/3 για να προκύπτει αυτό το ενδεχόµενο. Άλλωστε, όταν οι Abel, Mankiw, Summers and Zeckhauser (1989) διερεύνησαν εµπειρικά αυτό το ενδεχόµενο για την οικονοµία των ΗΠΑ και άλλες έξι αναπτυγµένες οικονοµίας, κατέληξαν ότι το οριακό προϊόν του κεφαλαίου ξεπερνά κατά πολύ το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης, κάτι που αποκλείει το ενδεχόµενο δυναµικής αναποτελεσµατικότητας για τις αναπτυγµένες τουλάχιστον οικονοµίες. Με βάση αυτές τις παρατηρήσεις και τις διαθέσιµες εµπειρικές ενδείξεις, το ενδεχόµενο δυναµικής αναποτελεσµατικότητας, παρότι θεωρητικά ενδιαφέρον, δεν θεωρείται ρεαλιστικό. Άλλωστε κάτι τέτοιο θα σήµαινε ότι οι οικονοµίες υπερ-αποταµιεύουν, κάτι που έρχεται σε αντίθεση και µε µια σειρά από άλλες εµπειρικές ενδείξεις για τις µεικτές οικονοµίες της αγοράς Μία Δυναµική Προσοµοίωση του Υποδείγµατος του Diamond Προκειµένου να δούµε στην πράξη τη διαδικασία της δυναµικής προσαρµογής που προβλέπει το υπόδειγµα του Diamond, µπορούµε να προσοµοιώσουµε στον υπολογιστή, για συγκεκριµένες τιµές των παραµέτρων του υποδείγµατος, τη µετάβαση από µία πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης σε µία άλλη, όταν υπάρξει µία εξωγενής µόνιµη µεταβολή σε µία συγκεκριµένη παράµετρο, όπως για παράδειγµα το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης ή η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών. Η προσοµοίωση βασίζεται στην υπόθεση ότι η συνάρτηση παραγωγής έχει τη µορφή Cobb Douglas. α Q y t = Ak t (4.2 ) Με την υπόθεση αυτή, και την επιπλέον υπόθεση ότι η ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης των νοικοκυριών ισούται µε τη µονάδα, προσοµοιώνουµε τη συνάρτηση συσσώρευσης (4.12 ). Αφού προσδιορίσουµε την πορεία του κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, η πορεία του προϊόντος ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας προκύπτει από την (4.2 ). Η εξέλιξη του πραγµατικού επιτοκίου και των πραγµατικών µισθών ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας προκύπτει από τις εξισώσεις (4.4α) και (4.4β) για συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas, οι οποίες λαµβάνουν τη µορφή, Q10

11 α 1 Q r t = α Ak t (4.4α ) α Q w t = (1 α )Ak t (4.4β ) Τέλος, η εξέλιξη της συνολικής κατανάλωσης προκύπτει από τις συναρτήσεις κατανάλωσης των νέων και των ηλικιωµένων νοικοκυριών. Προσοµοιώσαµε το υπόδειγµα για τις εξής τιµές των παραµέτρων. A=1, α=1/3, θ=1, ρ=0,811, n=0,348, g=0,811. Σε αντίθεση µε τα ως τώρα υποδείγµατα, όπου υποθέταµε ότι η περίοδος είναι ένα ηµερολογιακό έτος, εδώ υποθέτουµε ότι η περίοδος είναι τριάντα χρόνια. Ένα ετήσιο ποσοστό 1% µετατρέπεται σε ένα τριακονταετές ποσοστό 34,8%, και ένα ετήσιο ποσοστό 2% µετατρέπεται σε ένα τριακονταετές ποσοστό 81,1%. Εξετάζουµε δύο εναλλακτικά σενάρια. Μία µόνιµη αύξηση του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού ρ κατά 5%, καθώς και µία µόνιµη αύξηση της συνολικής παραγωγικότητας των συντελεστών A κατά 5%. Τα αποτελέσµατα των προσοµοιώσεων παρουσιάζονται στα Διαγράµµατα 4.5 και 4.6. Στην προσοµοίωση του Διαγράµµατος 4.5 η οικονοµία βρίσκεται στην αρχική της πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, και στην περίοδο 1 το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού ρ ανεβαίνει κατά 5%, από 0,811 σε 0,852, όπου και παραµένει. Η αύξηση αυτή οδηγεί άµεσα σε αύξηση της κατανάλωσης, µείωση του ποσοστού των αποταµιεύσεων, σταδιακή αποσυσσώρευση κεφαλαίου, σταδιακή µείωση της παραγωγής, σταδιακή µείωση των πραγµατικών µισθών και σταδιακή αύξηση του πραγµατικού επιτοκίου. Ο λόγος που µειώνονται οι πραγµατικοί µισθοί είναι η µείωση του οριακού προϊόντος της εργασίας που προκαλεί η αποσυσσώρευση κεφαλαίου, ενώ ο λόγος που αυξάνεται το πραγµατικό επιτόκιο είναι η αύξηση του οριακού προϊόντος του κεφαλαίου που προκαλεί η συσσώρευση κεφαλαίου. Η οικονοµία συγκλίνει σταδιακά σε µία νέα πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης. Σε αυτή, το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι µειωµένο κατά 2,2% περίπου, το προϊόν και οι πραγµατικοί µισθοί κατά 0,7%, η κατανάλωση κατά 0,2% (λόγω της µείωσης του ποσοστού αποταµίευσης), ενώ το πραγµατικό επιτόκιο έχει αυξηθεί κατά 1,4%. Το συνολικό ποσοστό αποταµίευσης ισορροπίας, το οποίο στο υπόδειγµα αυτό είναι ενδογενές, µείωνεται από το 23,7% στο 23,4%. Στην προσοµοίωση του Διαγράµµατος 4.6 η οικονοµία βρίσκεται στην αρχική της πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, και στην περίοδο 1 η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών A ανεβαίνει κατά 5%, από 1 σε 1,05, όπου και παραµένει. Η αύξηση αυτή οδηγεί αµέσως σε αύξηση της παραγωγής, αύξηση της κατανάλωσης, αύξηση των αποταµιεύσεων και αύξηση του οριακού προϊόντος τόσο της εργασίας (πραγµατικού µισθού) όσο και του κεφαλαίου (πραγµατικού επιτοκίου). Η αύξηση των αποταµιεύσεων προκαλεί σταδιακή συσσωρεύση κεφαλαίου, η οποία οδηγεί σε περαιτέρω σταδιακή αύξηση της παραγωγής και της κατανάλωσης, περαιτέρω σταδιακή αύξηση των πραγµατικών µισθών αλλά και σταδιακή πτώση του πραγµατικού επιτοκίου. Ο λόγος που αρχίζει να µειώνεται το πραγµατικό επιτόκιο είναι η µείωση του οριακού προϊόντος του κεφαλαίου που προκαλεί η συσσώρευση κεφαλαίου. Η οικονοµία συγκλίνει σταδιακά σε µία νέα πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης. Σε αυτή, το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι αυξηµένο κατά 7,7% περίπου, το προϊόν, η κατανάλωση και οι πραγµατικοί µισθοί είναι επίσης αυξηµένοι κατά 7,7%, ενώ το πραγµατικό επιτόκιο έχει επανέλθει στην αρχική του ισορροπία. Το πραγµατικό επιτόκιο ισορροπίας εξαρτάται µόνο από το ποσοστό διαχρονικής Q11

12 προτίµησης του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, την ελαστικότητα διαχρονικής υποκατάστασης και το ρυθµό τεχνολογικής προόδου. Ο λόγος για τον οποίο µία αύξηση της παραγωγικότητας κατά 5% οδηγεί σε αύξηση του πραγµατικού εισοδήµατος κατά 7,7%, δηλαδή περισσότερο από 5%, είναι ότι η αύξηση της παραγωγικότητας προκαλεί προσωρινή αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης και συσσώρευση κεφαλαίου, η οποία µε τη σειρά της προκαλεί επιπλέον δευτερογενείς αυξήσεις στα πραγµατικά εισοδήµατα και την κατανάλωση. Όπως βλέπουµε από τις προσοµοιώσεις αυτές, η δυναµική συµπεριφορά του υποδείγµατος επαλλήλων γενεών του Diamond µοιάζει σε γενικές γραµµές µε τη δυναµική συµπεριφορά του υποδείγµατος του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού του Ramsey. 4.2 Το Υπόδειγµα της Αέναης Νεότητας των Blanchard-Weil Ερχόµαστε τώρα σε ένα εναλλακτικό υπόδειγµα επαλλήλων γενεών, το υπόδειγµα της αέναης νεότητας των Blanchard Weil. 5 Στο υπόδειγµα του Blanchard-Weil υποτίθεται ότι σε κάθε χρονική στιγµή γεννιούνται νέα νοικοκυριά, τα οποία έχουν άπειρο χρονικό χρονικό ορίζοντα. Όλα τα νοικοκυριά εργάζονται και έχουν την ίδια αποτελεσµατικότητα της εργασίας, ανεξάρτητα από την ηµεροµηνία γέννησής τους. Κατά συνέπεια, όλα τα νοικοκυριά έχουν την ίδια παραγωγικότητα και τον ίδιο (άπειρο) χρονικό ορίζοντα. Για αυτό συχνά το υπόδειγµα αυτό αναφέρεται ως το υπόδειγµα της αέναης νεότητας (perpetual youth). 6 Στην αρχική παραλλαγή αυτού του υποδείγµατος, από τον Blanchard (1985), σε κάθε χρονική στιγµή υπάρχει και µία σταθερή πιθανότητα θανάτου, η οποία είναι ανεξάρτητη από την ηλικία των νοικοκυριών. Στο υπόδειγµα του Weil (1989), η πιθανότητα θανάτου είναι µηδενική, δηλαδή τα νοικοκυριά έχουν άπειρο χρονικό ορίζοντα. Αυτό που προκύπτει από το υπόδειγµα της αέναης νεότητας ότι έχει την κυριότερη σηµασία για τις προβλέψεις των υποδειγµάτων επαλλήλων γενεών είναι η διαφορετικότητα που προκύπτει από την ηµεροµηνία γέννησης των νοικοκυριών, και όχι η πιθανότητα θανάτου. Αυτή η διαφορετικότητα συνεπάγεται ότι όσο πιο µεγάλο χρονικό διάστηµα έχει ζήσει ένα νοικοκυριό, τόσο µεγαλύτερες είναι οι αποταµιεύσεις του, κάτι που επηρεάζει την αποταµιευτική συµπεριφορά των νοικοκυριών και βεβαίως τις συνολικές αποταµιεύσεις. Η τεχνολογία και η διάρθρωση των αγορών στο υπόδειγµα αυτό είναι ανάλογες µε των προηγούµενων υποδειγµάτων που έχουµε αναλύσει ως τώρα. Έχουµε ανταγωνιστικές αγορές και νεοκλασσική συνάρτηση παραγωγής µε σταθερές αποδόσεις κλίµακας Ορισµοί Y Προϊόν 5 Το υπόδειγµα αυτό οφείλεται στην εργασία του Blanchard (1985), ο οποίος βασίστηκε σε µία παλαιότερη εργασία του Yaari (1965). Υπάρχουν και παραλλαγές αυτού του υποδείγµατος στις οποίες η παραγωγικότητα και το εισόδηµα από εργασία είναι 6 αρνητική συνάρτηση της ηλικίας του νοικοκυριού. Οι ιδιότητες αυτών των παραλλαγών του υποδείγµατος προσεγγίζουν κάποιες από τις ιδιότητες του υποδείγµατος του Diamond, µε την έννοια ότι µπορεί να ανακύψει το ενδεχόµενο της δυναµικής αναποτελεσµατικότητας. Q12

13 Q Q 8 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 4 K (Φυσικό) Κεφάλαιο L Εργασία (συνολικός πληθυσµός της οικονοµίας) h γνώση, ή αποδοτικότητα της εργασίας t χρόνος n ποσοστό αύξησης του συνολικού πληθυσµού (εξωγενές) g ποσοστό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας (εξωγενές) δ ποσοστό απόσβεσης (φυσικού) κεφαλαίου (εξωγενές). Υποθέτουµε ότι δ = 0 Η αριθµός νοικοκυριών r πραγµατικό επιτόκιο w πραγµατικός µισθός (ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) Σε σχέση µε το L και το h υποθέτουµε ότι Q lim (L(t)) = 1, lim (h(t)) = Η Συνάρτηση Παραγωγής t Η παραγωγή λαµβάνει χώρα βάσει τεχνολογικών δυνατοτήτων που περιγράφονται από µία νεοκλασσική συνάρτηση παραγωγής, αντίστοιχη µε αυτή που υποθέσαµε στο υπόδειγµα του Solow και το υπόδειγµα του Ramsey. t Y (t) = F( K(t),h(t)L(t) ) (4.20) Η συνάρτηση παραγωγής χαρακτηρίζεται από σταθερές αποδόσεις κλίµακας, οπότε µπορεί να γραφεί ως y(t) = f (k(t)) (4.21) όπου y = Y/hL k = K/hL f(k) = F(k, 1) προϊόν ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας συνάρτηση παραγωγής ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας Η Συνάρτηση Χρησιµότητας των Νοικοκυριών Ακολουθώντας τον Weil (1989) θα υποθέσουµε ότι τα νοικοκυριά έχουν άπειρο χρονικό ορίζοντα (είναι δηλαδή δυναστείες), αλλά διαφέρουν ως προς τον χρόνο γέννησής τους. Κάθε χρονική στιγµή γεννιούνται nl νοικοκυριά. Το νοικοκυριό που γεννήθηκε στη στιγµή j µεγιστοποιεί τη διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας, U j = t= j e ρt u( c( j,t) )dt (4.22) όπου, c(j,t) u ρ κατανάλωση του νοικοκυριού µε χρόνο γέννησης j τη στιγµή t στιγµιαία συνάρτηση χρησιµότητας ποσοστό προεξόφλησης, ή διαχρονικής προτίµησης (εξωγενές) Q13

14 Q Q Q Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 4 Ακολουθώντας τον Blanchard (1985) και τον Weil (1989) θα υποθέσουµε ότι η στιγµιαία συνάρτηση χρησιµότητας είναι λογαριθµική. ( ) = lnc( j,t) Q u c( j,t) (4.23) Όλα τα νοικοκυριά παρέχουν µία µονάδα εργασίας και, αν έχουν αποταµιεύσεις, έχουν εισόδηµα και από το κεφάλαιο που κατέχουν. Επιπλέον, υποθέτουµε ότι υπάρχουν πολλές ανταγωνιστικές επιχειρήσεις, κάθε µία µε τη συνάρτηση παραγωγής (4.20). Οι αγορές είναι ανταγωνιστικές και κατά συνέπεια το πραγµατικό επιτόκιο και ο πραγµατικός µισθός ορίζονται από, r(t) = f (k(t)) (4.24) D w(t) = f (k(t)) k(t) f (k(t)) (4.25) όπου f (k) το οριακό προϊόν του κεφαλαίου. Έχουµε υποθέσει ότι το ποσοστό απόσβεσης του κεφαλαίου δ ισούται µε το µηδέν. Συνεπώς το νοικοκυριό j µεγιστοποιεί την (4.22) υπό τον περιορισµό, k ( j,t) = r(t)k( j,t) + w(t)h(t) c( j,t) (4.26) όπου k(j,j) = 0. Από τις συνθήκες πρώτης τάξης της Χαµιλτονιανής, προκύπτει η γνωστή µας εξίσωση Euler για την κατανάλωση, c ( j,t) = (r(t) ρ)c( j,t) (4.27) Λαµβάνοντας το ολοκλήρωµα της (4.27) και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι η παρούσα αξία της κατανάλωσης ισούται µε την παρούσα αξία του εισοδήµατος για όλα τα νοικοκυριά, c( j,t) = ρ(k( j,t) + W ( j,t)) (4.28) όπου, v D W ( j,t) e r(x)dx x=t w(v)h(v)dv = W _ (t) (4.29) v=t είναι η παρούσα αξία, στην περίοδο t, του εισοδήµατος από εργασία (η αξία του ανθρωπίνου κεφαλαίου). Από την (4.29) βλέπουµε ότι η αξία του ανθρωπίνου κεφαλαίου είναι η ίδια για όλα τα νοικοκυριά, γιατί ο πραγµατικός µισθός είναι ίδιος για όλους, η αποδοτικότητα της εργασίας είναι ίδια για όλους, και όλοι προσφέρουν µία µονάδα εργασίας σε κάθε χρονική στιγµή. Q14

15 Q Q Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 4 Από την (4.28), βλέπουµε ότι η µέση και οριακή ροπή προς κατανάλωση σε σχέση µε τον πλούτο (φυσικό και ανθρώπινο κεφάλαιο) είναι ίση µε το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού. Αυτό είναι συνέπεια των λογαριθµικών προτιµήσεων. Οι συνολικές µεταβλητές, C(t), K(t) και W(t) προσδιορίζονται από το ολοκλήρωµα (άθροισµα σε συνεχή χρόνο) των µεταβλητών που αντιστοιχούν σε κάθε j t. Για κάθε γενεά λαµβάνεται υπόψη το µέγεθός της, που ισούται µε Q ne nj. Κατά συνέπεια, η συνολική κατανάλωση και το συνολικό φυσικό και ανθρώπινο κεφάλαιο δίδονται από, C(t) = K(t) = W (t) = t ne nj j= t ne nj j= t ne nj j= c( j,t)dj k( j,t)dj W ( j,t)dj = e nt W _ (t) (4.30 α) (4.30 β) (4.30 γ) Από την (4.28) και τη (4.30 α) προκύπτει ότι, C(t) = ρ ( K(t) + W (t)) (4.31) Από την (4.31), C (t) = ρ K (t) + W (t) (4.32) Από την (4.26) και την (4.30 β), Q K (t) = r(t)k(t) + w(t)h(t)e nt C(t) (4.33) Από την (4.30 γ), D W (t) = (r(t) + n)w (t) w(t)h(t)e nt (4.34) Από τις (4.31) έως και (4.34), Q C (t) = (r(t) + n ρ)c(t) nρk(t) (4.35) Η κατανάλωση και το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικής εργασίας ορίζονται ως, Q c(t) = C(t) (4.36) h(t)l(t) = C(t)e (n+g)t Q15

16 Q D Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Κεφάλαιο 4 k(t) = K(t) h(t)l(t) = K(t)e (n+g)t (4.37) Από τις (4.35) και (4.36) προκύπτει, Q c (t) = [r(t) ρ g]c(t) nρk(t) (4.38 ) Από την (4.24) το επιτόκιο ισούται µε το οριακό προϊόν του κεφαλαίου. H (4.38 ) µπορεί να γραφεί ως, Q c (t) = [ f (k(t) ρ g]c(t) nρk(t) (4.38) Από τις (4.33) και (4.37), χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες της συνάρτησης παραγωγής και το γεγονός ότι το οριακό προϊόν του κεφαλαίου ισούται µε το επιτόκιο, και το οριακό προϊόν της εργασίας µε τον πραγµατικό µισθό, Q k (t) = f (k(t)) c(t) (n + g)k(t) (4.39) Από τις (4.38) και (4.39) µπορούµε να αναλύσουµε τόσο τις ιδιότητες της ισορροπίας, όσο και τις ιδιότητες της δυναµικής προσαρµογής Η Δυναµική Προσαρµογή προς την Πορεία της Ισόρροπης Μεγέθυνσης Θα αναλύσουµε την ισορροπία χρησιµοποιώντας ένα διάγραµµα φάσεως, ανάλογο µε αυτό που χρησιµοποιήσαµε στην ανάλυση του υποδείγµατος του Ramsey. Στην µακροχρόνια ισορροπία έχουµε, c (t) = k (t) = 0 Από την (4.38), ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων για τα οποία η κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι σταθερή, ορίζεται από, nρk(t) Q c(t) = (4.40) f (k(t)) ρ g Από την (4.39), ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων για τα οποία το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι σταθερό, ορίζεται από, Q c(t) = f (k(t)) (n + g)k(t) (4.41) Η µακροχρόνια ισορροπία προσδιορίζεται στο σηµείο τοµής των δύο αυτών γεωµετρικών τόπων. Η δυναµική ανάλυση της ισορροπίας στο υπόδειγµα αυτό παρουσιάζεται στο Διάγραµµα 4.5. Q16

17 Η ισορροπία προσδιορίζεται στο σηµείο (k*, c*) στο οποίο ικανοποιούνται τόσο η (4.40) όσο και η (4.41). Αξίζει να σηµειωθεί ότι η ισορροπία αυτή βρίσκεται αριστερά του επιπέδου που αντιστοιχεί στο επίπεδο ισορροπίας του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Στην ισορροπία του υποδείγµατος των επαλλήλων γενεών µε αέναη νεότητα, τόσο το κεφάλαιο, όσο και η κατανάλωση ισορροπίας είναι χαµηλότερα από το επίπεδο που προσδιορίζει ο προσαρµοσµένος χρυσός κανόνας. Αυτό συµβαίνει διότι οι παλαιότερες γενεές δεν λαµβάνουν υπόψη την ευηµερία των επερχοµένων γενεών, και έτσι αποταµιεύουν λιγότερο από ό,τι αν την λάµβαναν υπόψη τους, όπως συµβαίνει µε την περίπτωση του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Για το λόγο αυτό, η ισορροπία δεν είναι κοινωνικά αποτελεσµατική, µε τη έννοια της µεγιστοποίησης της κοινωνικής ευηµερίας, αλλά βεβαίως δεν ανακύπτει ούτε και η περίπτωση δυναµικής αναποτελεσµατικότητας που εξετάσαµε στο υπόδειγµα του Diamond. Όπως και στο υποδειγµα του Ramsey, υπάρχει µία και µοναδική σαγµοειδής πορεία που οδηγεί σε αυτή την ισορροπία. Δεδοµένου ότι η κατανάλωση είναι µη προκαθορισµένη µεταβλητή και το κεφάλαιο προκαθορισµένη µεταβλητή, από οποιαδήποτε αρχική θέση, η κατανάλωση θα προσαρµοστεί άµεσα ώστε να θέσει την οικονοµία στη µοναδική αυτή σαγµοειδή πορεία, η οποία οδηγεί στη µακροχρόνια ισορροπία. Αριστερά του k*, η κατανάλωση είναι χαµηλότερη από τη µακροχρόνια ισορροπία και η οικονοµία συσσωρεύει κεφάλαιο. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας αυτής, το κεφάλαιο και η κατανάλωση ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας αυξάνονται. Το αντίθετο συµβαίνει αν στην αρχική κατάσταση βρισκόµαστε δεξιά από το κεφάλαιο ισορροπίας. Τόσο το κεφάλαιο, όσο και η κατανάλωση ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας µειώνονται. Στο Διάγραµµα 4.6, αναλύονται οι επιπτώσεις µιας αύξησης στο ποσοστό διαχρονικής προτίµησης των νοικοκυριών. Μια αύξηση στο ποσοστό διαχρονικής προτίµησης οδηγεί σε µετακίνηση της συνάρτησης κατανάλωσης προς τα αριστερά. Στη νέα ισορροπία (c**, k**) τόσο η κατανάλωση όσο και το κεφάλαιο θα είναι χαµηλότερα. Τη στιγµή της µεταβολής, η κατανάλωση αυξάνεται και θέτει την οικονοµία στη σαγµατική πορεία που αντιστοιχεί στη νέα ισορροπία. Η οικονοµία αρχίζει να αποσυσσωρεύει κεφάλαιο, και σταδιακά προσαρµόζεται προς τη νέα ισορροπία. Μία µείωση του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης έχει τις αντίθετες επιπτώσεις. Στη νέα ισορροπία τόσο η κατανάλωση όσο και το κεφάλαιο θα είναι υψηλότερα. Τη στιγµή της µεταβολής η κατανάλωση µειώνεται, η οικονοµία αρχίζει να συσσωρεύει επιπλέον κεφάλαιο και η οικονοµία σταδιακά προσαρµόζεται προς τη νέα ισορροπία. Βλέπουµε λοιπόν ότι το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης είναι και σε αυτό το υπόδειγµα βασικός παράγων προσδιορισµού της αποταµιευτικής συµπεριφοράς. Όσο υψηλότερο είναι, τόσο λιγότερο αποταµιεύουν τα νοικοκυριά όλων των γενεών, καθώς προτιµούν περισσότερο την κατανάλωση σήµερα σε σχέση µε τη µελλοντική κατανάλωση Μία Δυναµική Προσοµοίωση του Υποδείγµατος των Blanchard Weil Προκειµένου να δούµε στην πράξη τη διαδικασία της δυναµικής προσαρµογής που προβλέπει το υπόδειγµα των Blanchard Weil, µπορούµε να προσοµοιώσουµε στον υπολογιστή, για Q17

18 συγκεκριµένες τιµές των παραµέτρων, τη µετάβαση από µία πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης σε µία άλλη, όταν υπάρξει µία εξωγενής µόνιµη µεταβολή σε µία συγκεκριµένη παράµετρο, όπως για παράδειγµα το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης ή η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών. Προκειµένου να προσοµοιώσουµε το υπόδειγµα στον υπολογιστή θα το µετατρέψουµε από υπόδειγµα συνεχούς χρόνου σε υπόδειγµα διακριτού χρόνου (βλ. Παράρτηµα Κεφ. 3). Το ζεύγος των εξισώσεων το οποίο χρησιµοποιούµε στην προσοµοίωση είναι οι (Π4.17) και (Π4.18), για συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas και θετικό ποσοστό απόσβεσης δ. Αυτές λαµβάνουν τη µορφή, 1 Q k t+1 = ( (4.42) (1+ n)(1+ g) Ak α t + (1 δ )k t c t ) Q c t+1 = 1+ α Ak α 1 t+1 δ (4.43) (1+ ρ)(1+ g) c nρ t (1+ n)(1+ g)(1+ ρ) k t Αφού προσδιορίσουµε την πορεία του κεφαλαίου και της ιδιωτικής κατανάλωσης ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, η πορεία του συνολικού προϊόντος προκύπτει αν αντικαταστήσουµε το κεφάλαιο στη συνάρτηση παραγωγής, και η πορεία του πραγµατικού επιτοκίου και του πραγµατικού µισθού από τις αντίστοιχες συνθήκες για την οριακή παραγωγικότητα των συντελεστών. Οι τιµές των παραµέτρων στις προσοµοιώσεις είναι οι εξής: Α=1, α=0,333, ρ=0,02, n=0,01, g=0,02, δ=0,04. Οι τιµές αυτές είναι αντίστοιχες µε τις τιµές που χρησιµοποιήσαµε και για το υπόδειγµα του Ramsey. Εξετάζουµε δύο εναλλακτικά σενάρια. Μία µόνιµη αύξηση του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης ρ κατά 5%, από 0,02 σε 0,021, καθώς και µία µόνιµη αύξηση της συνολικής παραγωγικότητας των συντελεστών A κατά 5%, από 1 σε 1,05. Τα αποτελέσµατα των προσοµοιώσεων παρουσιάζονται στα Διαγράµµατα 4.9 και Στην προσοµοίωση του Διαγράµµατος 4.9 η οικονοµία βρίσκεται στην αρχική της πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, και στην περίοδο 1 το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης των νοικοκυριών ρ ανεβαίνει κατά 5%, από 0,02 σε 0,021, όπου και παραµένει. Η αύξηση αυτή οδηγεί άµεσα σε αύξηση της κατανάλωσης, µείωση του ποσοστού των αποταµιεύσεων, σταδιακή αποσυσσώρευση κεφαλαίου, σταδιακή µείωση της παραγωγής, σταδιακή µείωση των πραγµατικών µισθών και σταδιακή αύξηση του πραγµατικού επιτοκίου. Ο λόγος που µειώνονται οι πραγµατικοί µισθοί είναι η µείωση του οριακού προϊόντος της εργασίας που προκαλεί η αποσυσσώρευση κεφαλαίου, ενώ ο λόγος που αυξάνεται το πραγµατικό επιτόκιο είναι η αύξηση του οριακού προϊόντος του κεφαλαίου που προκαλεί η συσσώρευση κεφαλαίου. Η οικονοµία συγκλίνει σταδιακά σε µία νέα πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης. Σε αυτή, το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι µειωµένο κατά 2,1% περίπου, το προϊόν και οι πραγµατικοί µισθοί κατά 0,7%, η κατανάλωση κατά 0,2% (λόγω της µείωσης του ποσοστού αποταµίευσης), ενώ το πραγµατικό επιτόκιο έχει αυξηθεί κατά 0,1 εκατοστιαίες µονάδες, όσο και η αύξηση του ποσοστού διαχρονικής προτίµησης. Το ποσοστό αποταµίευσης ισορροπίας, το οποίο στο υπόδειγµα αυτό είναι ενδογενές, µείωνεται από το 28,0% στο 27,6%. Q18

19 Στην προσοµοίωση του Διαγράµµατος 4.10 η οικονοµία βρίσκεται στην αρχική της πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, και στην περίοδο 1 η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών A ανεβαίνει κατά 5%, από 1 σε 1,05, όπου και παραµένει. Η αύξηση αυτή οδηγεί αµέσως σε αύξηση της παραγωγής, αύξηση της κατανάλωσης, αύξηση των αποταµιεύσεων και αύξηση του οριακού προϊόντος τόσο της εργασίας (πραγµατικού µισθού) όσο και του κεφαλαίου (πραγµατικού επιτοκίου). Η αύξηση των αποταµιεύσεων προκαλεί σταδιακή συσσωρεύση κεφαλαίου, η οποία οδηγεί σε περαιτέρω σταδιακή αύξηση της παραγωγής και της κατανάλωσης, περαιτέρω σταδιακή αύξηση των πραγµατικών µισθών αλλά σταδιακή πτώση του πραγµατικού επιτοκίου. Ο λόγος που αρχίζει να µειώνεται το πραγµατικό επιτόκιο είναι η µείωση του οριακού προϊόντος του κεφαλαίου που προκαλεί η συσσώρευση κεφαλαίου. Η οικονοµία συγκλίνει σταδιακά σε µία νέα πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης. Σε αυτή, το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι αυξηµένο κατά 7,4% περίπου, το προϊόν, η κατανάλωση και οι πραγµατικοί µισθοί είναι αυξηµένοι κατά 7,6%, ενώ το πραγµατικό επιτόκιο έχει επανέλθει στην αρχική του ισορροπία. Ο λόγος για τον οποίο µία αύξηση της παραγωγικότητας κατά 5% οδηγεί σε αύξηση του πραγµατικού εισοδήµατος κατά 7,6%, δηλαδή περισσότερο από 5%, είναι ότι η αύξηση της παραγωγικότητας προκαλεί προσωρινή αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης και συσσώρευση κεφαλαίου, η οποία µε τη σειρά της προκαλεί επιπλέον δευτερογενείς αυξήσεις στα πραγµατικά εισοδήµατα την κατανάλωση και τους πραγµατικούς µισθούς. Η δυναµική συµπεριφορά του υποδείγµατος της αέναης νεότητας είναι αντίστοιχη του υποδείγµατος του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού και του υποδείγµατος του Diamond. Αυτό που αξίζει να σηµειωθεί είναι ότι, όπως προβλέπει η θεωρητική ανάλυση, το ποσοστό αποταµίευσης στο υπόδειγµα των επαλλήλων γεννεών είναι γενικά χαµηλότερο από ό,τι στο αντίστοιχο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, το οποίο προσοµοιώσαµε στο Κεφάλαιο 2. Για τις αρχικές τιµές των παραµέτρων, που συµπίπτουν για τα δύο υποδείγµατα, το ποσοστό αποταµίευσης είναι 28%, έναντι 28,5% στο αντίστοιχο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Το υψηλότερο ποσοστό αποταµίευσης στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού έχει ως αποτέλεσµα, τόσο το κεφάλαιο, όσο και το πραγµατικό εισόδηµα, η κατανάλωση και οι πραγµατικοί µισθοί να είναι υψηλότεροι στο υπόδειγµα αυτό σε σχέση µε το υπόδειγµα επαλλήλων γενεών της αέναης νεότητας, ενώ το πραγµατικό επιτόκιο να είναι χαµηλότερο. Για τις αρχικές τιµές των παραµέτρων που χρησιµοποιήσαµε στις προσοµοιώσεις, το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης ισούται µε 10,275 στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού και 10,002 στο υπόδειγµα της αέναης νεότητας (υψηλότερο κατά 2,73%). Το πραγµατικό εισόδηµα ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι 2,172 στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, έναντι 2,153 στο υπόδειγµα της αέναης νεότητας (υψηλότερο κατά 0,9%). Ίδια διαφορά (0,9%) υπάρχει και στους πραγµατικούς µισθούς. Η διαφορά στην κατανάλωση είναι 0,2% υπέρ του υποδείγµατος του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Τέλος, λόγω του χαµηλότερου κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, το πραγµατικό επιτόκιο στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης είναι 4,2% στο υπόδειγµα της αέναης νεότητας, έναντι 4% στο αντίστοιχο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. 4.3 Συµπεράσµατα Q19

20 Η συνολική αποταµιευτική συµπεριφορά στα υποδείγµατα επαλλήλων γενεών δεν χαρακτηρίζεται από κοινωνική αποτελεσµατικότητα, όπως στο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού. Άλλωστε σε οικονοµίες όπου δεν υπάρχει αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό η σύγκριση των επιπέδων ευηµερίας µεταξύ των διαφορετικών νοικοκυριών είναι σε µεγάλο βαθµό αυθαίρετη. Επιπλέον, στο υπόδειγµα του Diamond υπάρχει θεωρητικά το ενδεχόµενο η ισορροπία να µην είναι καν αποτελεσµατική κατά Pareto. Το ενδεχόµενο αυτό, επειδή προκύπτει από την αποταµιευτική συµπεριφορά, έχει ονοµασθεί δυναµική αναποτελεσµατικότητα, αν και όλες οι ενδείξεις συγκλίνουν στο ότι το ενδεχόµενο αυτό είναι µάλλον απίθανο. Σε κάθε περίπτωση, στα υποδείγµατα επαλλήλων γεννεών δηµιουργούνται οι προϋποθέσεις για παρεµβάσεις πολιτικής που βελτιώνουν την κοινωνική αποτελεσµατικότητα, καθώς η ανταγωνιστική ισορροπία δεν οδηγεί κατ ανάγκη σε βέλτιστα αποτελέσµατα. Επιπλέον, όπως θα δούµε στα αµέσως επόµενα δύο κεφάλαια, τα υποδείγµατα των επαλλήλων γενεών έχουν διαφορετικές ιδιότητες σε σχέση µε το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού, αναφορικά µε τις µακροχρόνιες επιπτώσεις της δηµοσιονοµικής και της νοµισµατικής πολιτικής. Q20

21 Παράρτηµα Κεφ. 4: Το Υπόδειγµα της Αέναης Νεότητας σε Διακριτό Χρόνο Στο παράρτηµα αυτό παρουσιάζουµε το υπόδειγµα της αέναης νεότητας των Blanchard Weil σε διακριτό χρόνο. Αντί για συνεχής µεταβλητή, ο χρόνος τώρα µετράται ως διαδοχικές χρονικές περίοδοι, όπου t=0,1,2,.... Η µεταβλητή xt, υποδεικνύει τη µεταβλητή x κατά τη χρονική περίοδο t. Ο πληθυσµός και η αποδοτικότητα της εργασίας αυξάνονται µε ρυθµούς n και g ανά περίοδο αντίστοιχα. Συνεπώς έχουµε, Q L t = L 0 (1+ n) t (Π4.1) Q h t = h 0 (1+ g) t (Π4.2) Η διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας του νοικοκυριού που γεννήθηκε τη χρονική στιγµή j δίδεται από, 1 Q U( j) = (Π4.3) 1+ ρ u(c( j) t ) t= j t j όπου ρ είναι το ποσοστό διαχρονικής προτίµησης του νοικοκυριού, u η ανά περίοδο συνάρτηση χρησιµότητας, και c(j) η κατανάλωση του νοικοκυριού που γεννήθηκε στην περίοδο j. Υποθέτουµε, όπως και στην περίπτωση του συνεχούς χρόνου, ότι η συνάρτηση χρησιµότητας u έχει λογαριθµική µορφή. Q u(c( j) t ) = lnc( j) t (Π4.4) Με την υπόθεση αυτή, το νοικοκυριό που γεννήθηκε τη χρονική στιγµή j µεγιστοποιεί τη διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας, 1 Q U( j) = (Π4.5) 1+ ρ lnc( j) t t= j t j υπό τον περιορισµό της συσσώρευσης του κεφαλαίου, 7 Q k( j) t+1 = (1+ r t )k( j) t + w t h t c( j) t (Π4.6) Υποθέτουµε ότι το αντιπροσωπευτικό νοικοκυριό µεγιστοποιεί την (Π4.5) υπό τον περιορισµό (Π2.6). Η Λαγκρανζιανή συνάρτηση αυτού του προβλήµατος δίνεται από, 7 Υποθέτουµε στην ανάλυση αυτή ότι το ποσοστό απόσβεσης του κεφαλαίου δ ισούται µε το µηδέν. Q21

22 t j 1 Q U( j) = (Π4.7) 1+ ρ ( lnc( j) t + λ t ((1+ r t )k( j) t + w t h t c( j) t k( j) t+1 )) t= j Οι συνθήκες πρώτης τάξης για την κατανάλωση και το κεφάλαιο δίνουν, Q λ t = 1 (Π4.8) c( j) t Q λ t = 1+ r t+1 (Π4.9) (1+ ρ) λ t+1 Συνδυάζοντας τις (Π4.8) και (Π4.9) έχουµε, c( j) Q t+1 = 1+ r t+1 (Π4.10) c( j) t (1+ ρ) Η (Π4.10) είναι η εξίσωση Euler για την κατανάλωση του νοικοκυριού που γεννήθηκε στην περίοδο j. Το µέγεθος της γενεάς που γεννήθηκε στην περίοδο j δίνεται από, Q L j = nl 0 (1+ n) j 1 (Π4.11) για j>1. L0 είναι το µέγεθος του πληθυσµού στην περίοδο 0. Συνολικοποιώντας τον περιορισµό (Π4.6) και την εξίσωση Euler (Π4.10), λαµβάνοντας υπόψη το µέγεθος της κάθε γενεάς όπως δίνεται από την (Π4.11), και εκφράζοντας όλα τα συνολικά µεγέθη ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, έχουµε ότι, 1 Q k t+1 = ( (Π4.12) (1+ n)(1+ g) (1+ r )k + w c t t t t ) 1+ r Q c t+1 = t+1 (Π4.13) (1+ ρ)(1+ g) c nρ t (1+ n)(1+ g)(1+ ρ) k t Αξίζει να σηµειωθεί ότι η (Π4.12) είναι ακριβώς η ίδια µε την εξίσωση συσσώρευσης του κεφαλαίου (Π2.6) στο αντίστοιχο υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού (βλ. Παράρτηµα Κεφ. 2), ενώ η εξίσωση για την κατανάλωση έχει τη µορφή της (Π2.10) για θ=1, µείον τον επιπλέον όρο που εξαρτάται από το συνόλικο κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, λόγω του ότι στο υπόδειγµα αυτό των επαλλήλων γενεών οι νέες γενεές εισέρχονται στην οικονοµία χωρίς να κατέχουν φυσικό κεφάλαιο. Υποθέτοντας τη νεοκλασσική συνάρτηση παραγωγής και ανταγωνιστικές αγορές εργασίας και κεφαλαίου, Q y t = f (k t ) (Π4.14) Q22