Διπλωματική εργασία Μοντέλα Γραμμικού Προγραμματισμού για το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή. Νενεκούμη Άννα Α.Μ. 106

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στη Διοίκηση και Οικονομία Κατεύθυνση «Διοίκηση Υπηρεσιών» με Εξειδίκευση τη «Διοίκηση Logistics» Διπλωματική εργασία Μοντέλα Γραμμικού Προγραμματισμού για το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή Νενεκούμη Άννα Α.Μ. 106 Εξεταστική επιτροπή Επιβλέπων: Αλέξανδρος Διαμαντίδης Μέλη: Χρήστος Ζηκόπουλος Χρυσολέων Παπαδόπουλος Θεσσαλονίκη Ιανουάριος 2016

2 Ευχαριστίες Ολοκληρώνοντας την παρούσα μελέτη, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κ. Αλέξανδρο Διαμαντίδη για την ευκαιρία που μου έδωσε να συνεργαστούμε όλον αυτόν τον καιρό αλλά και για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε. Οι πολύτιμες συμβουλές του αλλά και η αμέριστη βοήθεια και στήριξη του ήταν οι βασικοί παράγοντες ώστε να ολοκληρωθεί η διπλωματική αυτή εργασία. Επιπλέον θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Αρσενάκη Αθανάσιο και την εταιρία SteriMed για τα στοιχεία τα οποία μου διέθεσε έτσι ώστε να πραγματοποιηθεί αυτή η εργασία. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου και τους φίλους μου για την ηθική και ψυχολογική συμπαράσταση που μου προσέφεραν τόσο κατά τη διάρκεια των σπουδών μου, όσο και κατά τη διάρκεια αυτής της έρευνας. 2

3 Περίληψη Στο γνωστικό αντικείμενο της επιχειρησιακής έρευνας η εμφάνιση μαθηματικών εργαλείων για την επίλυση οικονομικών προβλημάτων είναι πολύ συχνή. Ο γραμμικός προγραμματισμός τη σημερινή εποχή αποτελεί αναμφίβολα το δημοφιλέστερο μοντέλο στο χώρο της επιχειρησιακής έρευνας αλλά και της διοικητικής επιστήμης γενικότερα. Η παρούσα μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία ασχολείται με τα μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού στο πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή. Στόχος της εργασίας είναι ο εντοπισμός των βέλτιστων δρομολογίων που πρέπει να κάνει καθημερινά ένας οδηγός της εταιρίας SteriMed στην ευρύτερη περιοχή της Θεσσαλονίκης. Ο κάθε οδηγός έχει ένα συγκεκριμένο σημείο εκκίνησης το οποίο είναι το εργοστάσιο της εταιρείας, και ένα δρομολόγιο με διαφορετικά σημεία επίσκεψης κάθε μέρα, το οποίο θα πρέπει να ακολουθήσει. Με τη βοήθεια της γλώσσας προγραμματισμού Lindo, κωδικοποιήσαμε τα μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού και βρήκαμε λύσεις στο πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή. Έτσι, βρήκαμε τη συνολική βέλτιστη απόσταση που χρειάζεται να κάνει ένας οδηγός της εταιρίας SteriMed, από το σημείο εκκίνησής του (εργοστάσιο στη Σίνδο), στις επισκεπτόμενες υγειονομικές μονάδες, και πάλι πίσω στο σημείο εκκίνησής του. Τέλος, η σημαντικότερη συνεισφορά της παρούσας έρευνας, είναι τόσο η μείωση του χρόνου των καθημερινών δρομολογίων των οδηγών, όσο και αύξηση του αριθμού των υγειονομικών μονάδων που μπορούν να εξυπηρετηθούν σε μια ημέρα, σε συνδυασμό με τη μείωση του κόστους. Η εργασία χωρίζεται συνολικά σε 5 κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο, δίνονται οι βασικές έννοιες τους γραμμικού προγραμματισμού και αναφέρονται οι βασικοί ορισμοί της θεωρίας γραφημάτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνεται η βασική ιδέα της μοντελοποίηση του προβλήματος πλανόδιου πωλητή ενώ παρουσιάζονται οι βασικές παραλλαγές του ανάλογα με τη φύση του προβλήματος. Αναλυτικότερα, στο δεύτερο κεφάλαιο παρατίθεται μια εισαγωγή στο πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή παρουσιάζοντας κάποια στοιχεία για την πολυπλοκότητα του προβλήματος. Επίσης αναφέρονται τα βασικά μαθηματικά εργαλεία, και συγκεκριμένα από την θεωρία γραφημάτων, τα οποία θέτουν το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή σε ένα αυστηρό μαθηματικό πλαίσιο. Επιπλέον παρουσιάζονται αναλυτικά πέντε αλγόριθμοι επίλυσης του προβλήματος. Με τη βοήθεια των αλγορίθμων είναι εφικτή η εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων για τους τρόπους επίλυσης μεγάλων(σε χρονική ή χωρική πολυπλοκότητα) προβλημάτων. 3

4 Στο τρίτο κεφάλαιο, δίνονται οι βασικές μεθοδολογίες της θεωρίας γραφημάτων βάση των οποίων επιλύεται το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή. Αναλυτικότερα, παρουσιάζονται τόσο ακριβείς όσο και μη ακριβείς τρόποι επίλυσης ενώ δίνονται και κάποια ενδεικτικά στοιχεία για την πολυπλοκότητα των κυριότερων τρόπων επίλυσης. Στο τέταρτο κεφάλαιο, δίνονται στοιχεία που αφορούν την μοντελοποίηση του προβλήματος του περιοδεύοντος πωλητή ως ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού και σε κάθε περίπτωση παρουσιάζονται αναλυτικά οι μεταβλητές απόφασης, η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί των αντίστοιχων προβλημάτων. Στο πέμπτο κεφάλαιο, που είναι και το ερευνητικό κεφάλαιο, συγκρίνουμε δύο διαφορετικούς αλγορίθμους επίλυσης του προβλήματος με την χρήση του Lingo-Lindo έτσι ώστε να βρούμε τα δρομολόγια εκείνα τα οποία θα μας δώσουν τη βέλτιστη χιλιομετρική απόσταση μεταξύ των σημείων λιανικής πώλησης που επισκέπτεται καθημερνά ένας "περιοδεύων πωλητής" στα πραγματικά δεδομένα της εταιρείας SteriMed ενώ τα αποτελέσματα συγκρίνονται με τα πραγματικά δρομολόγια που επιλέγουν οι οδηγοί της εταιρείας.. Τέλος, στο κεφάλαιο των συμπερασμάτων δίνεται μια γενική ανασκόπηση όσων ακολούθησαν στα προηγούμενα κεφάλαια. 4

5 Abstract In the discipline of operational research, the emergence of mathematical tools to solve economic problems are very common. The linear programming nowadays is, undoubtedly, the most popular tool in the field of operations research and management science in general. This MSc thesis deals with linear programming models in the traveling salesman problem (TSP). The aim of this paper is to identify the best route that should take a driver of the company SteriMed in the region of Thessaloniki. Each driver has a specific starting point which is the company's factory, and a route to visit different places each day, which he should follow. Using the software Lindo, we encode the linear programming models and found solutions to the traveling salesman problem. So, we found the overall optimal distance needs to do a driver of SteriMed, from its starting point (factory in Sindos) for visiting health units, and back to its starting point. Finally, the most important contribution of this research is both to reduce time of daily trips made by drivers, as well as increasing the number of health units that can be served in a day, combined with cost reduction. The whole survey is divided into five chapters. In the first chapter, given the basic concepts of linear programming and setting out the basic definitions of graph theory. The second chapter gives the basic idea of modeling the problem of travelling salesman and presents the main variants depending on the nature of the problem. Specifically, the second chapter gives an introduction to the traveling salesman problem by presenting some evidence for the complexity of the problem. Also the basic mathematical tools mentioned, namely the graph theory, which raises the traveling salesman problem in a rigorous mathematical framework. Furthermore, five algorithms that were used to solve the problem are presented analytically. Using these algorithms, it is possible to draw useful conclusions on ways to solve large (in temporal or spatial complexity) problem. In the third chapter, was given the basic methodologies of graph theory basis of which solved the problem of TSP. Specifically, they presented both accurate and inaccurate workarounds and given some indicative figures for the complexity of these methodologies. In the fourth chapter, details regarding the modeling of the problem of TSP as a linear programming problem are presented. Moreover, in each case are presented in detail the decision variables, the objective function and constraints of respective problems. 5

6 In the fifth chapter, which is the research section, we compare two different algorithms to solve the problem using the Lindo software in order to find routes that would give us optimum distances between retail outlets visited daily by one driver. For the analysis we used real data for SteriMed while the results are compared with the actual route chosen by the drivers of the company. Finally, the chapter conclusions are given an overview of what followed in the previous chapters. 6

7 Κίνητρο και συνεισφορά της παρούσας μελέτης Η παρούσα μελέτη ξεκίνησε με αφορμή τη βελτιστοποίηση των δρομολογίων που πραγματοποιεί η εταιρεία SteriMed στην οποία εργάζομαι εδώ και ένα χρόνο περίπου. Η εταιρεία SteriMed δραστηριοποιείται στον κλάδο της διαχείριση των ιατρικών αποβλήτων τα οποία παραλαμβάνει από τις περισσότερες υγειονομικές μονάδες της Βορείου Ελλάδος καθώς και της υπόλοιπης χώρας. Η σύλληψη της ιδέας προέκυψε όταν μου ζητήθηκε να προσθέσω τρεις νέες υγειονομικές μονάδες εντός της περιοχής της Θεσσαλονίκης σε ένα ήδη προγραμματισμένο δρομολόγιο και να συμβουλέψω τον οδηγό για τη σειρά με την οποία θα το πραγματοποιεί. Με αφορμή την προσπάθεια εύρεσης της αποτελεσματικότερης διαδρομής του συγκεκριμένου δρομολόγιου, αποφάσισα να επιλέξω και να εξετάσω κάποια από τα δρομολόγια που πραγματοποιούν οι οδηγοί της εταιρείας έτσι ώστε να μειωθεί η απόσταση που διανύουν καθώς και το κόστος αυτής. Στην παρούσα έρευνα, όπως έχει αναφερθεί και παραπάνω, παρουσιάζονται τρία διαφορετικά δρομολόγια της εταιρείας τα οποία επιλύονται με δύο διαφορετικά μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού. Από τη λύση αυτών των μοντέλων προκύπτει ότι υπάρχουν περιθώρια βελτίωσης στα συγκεκριμένα δρομολόγια. Συγχρόνως όμως υπάρχουν επιπλέον παράγοντες που επηρεάζουν τη βέλτιστη διαδρομή, όπως ο χρόνος, η ποσότητα των αποβλήτων κ.α. Σε ένα δεύτερο χρόνο θα πρέπει να εξεταστούν λεπτομερώς και οι υπόλοιποι αυτοί παράγοντες που τα επηρεάζουν, ώστε πλέον οι οδηγοί να πραγματοποιούν τη βέλτιστη διαδρομή και να μειώσουν αισθητά το χρόνο και το κόστος. 7

8 Table of Contents Κεφάλαιο Θεωρία γραφημάτων και Γραμμικός προγραμματισμός Θεωρία γραφημάτων Γραμμικός προγραμματισμός Το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Βασικά στοιχεία ενός μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού Επίλυση ενός μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού Ακέραιος γραμμικός προγραμματισμός Κεφάλαιο Το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή Ιστορικά στοιχεία Ορισμός του προβλήματος ως πρόβλημα της θεωρίας γραφημάτων Κατηγοριοποίηση του προβλήματος Το TSP σε γενικά γραφήματα Το γραφικό TSP Γραφήματα Hamilton Το ασύμμετρο TSP (atsp) Το πολλαπλό TSP (mtsp) Κεφάλαιο Μέθοδοι επίλυσης του προβλήματος πλανόδιου πωλητή Ακριβείς τρόποι επίλυσης Μέθοδος Brute-Force Μέθοδος Branch and Bound Δυναμικός προγραμματισμός Μέθοδος Cutting Plane Μέθοδος Branch and Cut Μη ακριβείς τρόποι επίλυσης Κατασκευαστικοί αλγόριθμοι Ευρετικός άπληστος αλγόριθμος (Greedy Heuristic) Αλγόριθμος του πλησιέστερου γείτονα Βελτιωτικοί αλγόριθμοι Κεφάλαιο Το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή ως πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού Συμμετρικό πρόβλημα (stsp) Ασύμμετρο πρόβλημα (atsp) Πολλαπλό πρόβλημα (mtsp) Πρόβλημα mtsp βασισμένο στην αντιστοίχιση Τυποποίηση των Laporte και Nobert για το ασύμμετρο mtsp Τυποποίηση των Laporte και Nobert για το συμμετρικό mtsp Κεφάλαιο Εφαρμογή

9 5.1. Η εταιρεία Η παραλαβή Η παράδοση Εφαρμογή του πλανόδιου πωλητή σε 3 δρομολόγια της εταιρείας η περίπτωση Επίλυση συμμετρικού προβλήματος Επίλυση ασύμμετρου προβλήματος η περίπτωση Επίλυση συμμετρικού προβλήματος Επίλυση ασύμμετρου προβλήματος η περίπτωση Επίλυση συμμετρικού προβλήματος Επίλυση ασύμμετρου προβλήματος Σύγκριση των αποτελεσμάτων με τα πραγματικά δρομολόγια Συμπεράσματα Βιβλιογραφία

10 Παράδειγμα 1 Μέθοδος Brute-Force 35 Παράδειγμα 2 Μέθοδος Branch and Bound σε πρόβλημα με 6 κόμβους 38 Παράδειγμα 3 Μέθοδος δυναμικού προγραμματισμού σε πρόβλημα με 4 κόμβους 45 Παράδειγμα 4 Μέθοδος πλησιέστερου γείτονα σε πρόβλημα με 7 κόμβους 52 10

11 Πίνακας 1 Σύνοψη σημαντικότερων προβλημάτων TSP ανά έτος 26 Πίνακας 2 Σύνολο διαδρομών-επαναλήψεων για τον αλγόριθμο Brute-Force για Ν=1 έως Ν=10 36 Πίνακας 3 Αρχικός πίνακας αποστάσεων για 6 κόμβους (Παράδειγμα 2) 39 Πίνακας 4 Πίνακας αποστάσεων για 6 κόμβους μετά τη μείωση γραμμών και στηλών (Παράδειγμα 2) 39 Πίνακας 5 Πίνακας αποστάσεων μετά τη διαγραφή της 1 ης γραμμής και 4 ης στήλης (Παράδειγμα 2) 41 Πίνακας 6 Πίνακας αποστάσεων για 6 κόμβους μετά τη μείωση γραμμών και στηλών (Παράδειγμα 2) 42 Πίνακας 7 Πίνακας αποστάσεων για το παράδειγμα δυναμικού προγραμματισμού (Παράδειγμα 3) 45 Πίνακας 8 Πίνακας αποστάσεων για το παράδειγμα του πλησιέστερου γείτονα (Παράδειγμα 4) 53 Πίνακας 9 Πίνακας αποστάσεων 1ης περίπτωσης για το συμμετρικό πρόβλημα 68 Πίνακας 10 Πίνακας αποστάσεων 1ης περίπτωσης για το ασύμμετρο πρόβλημα 68 Πίνακας 11 Κώδικας LINDO για το συμμετρικό πρόβλημα της 1ης περίπτωσης 72 Πίνακας 12 Λύση του συμμετρικού προβλήματος της 1ης περίπτωσης 73 Πίνακας 13 Κώδικας LINDO για το ασύμμετρο πρόβλημα της 1ης περίπτωσης 79 Πίνακας 14 Λύση ασύμμετρου προβλήματος 1ης περίπτωσης 80 Πίνακας 15 Πίνακας αποστάσεων 2ης περίπτωσης για το συμμετρικό πρόβλημα 81 Πίνακας 16 Πίνακας αποστάσεων 2ης περίπτωσης για το ασύμμετρο πρόβλημα 82 Πίνακας 17 Κώδικας LINDO για το συμμετρικό πρόβλημα της 2ης περίπτωσης 84 Πίνακας 18 Λύση του συμμετρικού προβλήματος της 2ης περίπτωσης 85 Πίνακας 19 Κώδικας LINDO για το ασύμμετρο πρόβλημα της 2ης περίπτωσης 87 Πίνακας 20 Λύση του ασύμμετρου προβλήματος της 2ης περίπτωσης 88 Πίνακας 21 Πίνακας αποστάσεων 3ης περίπτωσης για το συμμετρικό πρόβλημα 90 Πίνακας 22 Πίνακας αποστάσεων 3ης περίπτωσης για το ασύμμετρο πρόβλημα 90 Πίνακας 23 Κώδικας LINDO για το συμμετρικό πρόβλημα της 3ης περίπτωσης 92 Πίνακας 24 Λύση του συμμετρικού προβλήματος της 3ης περίπτωσης 93 Πίνακας 25 Κώδικας LINDO για το ασύμμετρο πρόβλημα της 3ης περίπτωσης 95 Πίνακας 26 Λύση του ασύμμετρου προβλήματος της 3ης περίπτωσης 96 Πίνακας 27 Συγκεντρωτικά αποτελέσματα και για τις τρείς περιπτώσεις 98 Πίνακας 28 Πίνακας ποσοστών Βελτίωσης 99 Πίνακας 29 Λύση του συμμετρικού προβλήματος 1ης περίπτωσης με 5 κόμβους 100 Πίνακας 30 Λύση του ασύμμετρικου προβλήματος 1ης περίπτωσης με 5 κόμβους

12 12 Κεφάλαιο 1 Θεωρία γραφημάτων και Γραμμικός προγραμματισμός Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά το θεωρητικό υπόβαθρο, το οποίο θεωρείται απαραίτητο για την κατανόηση των ουσών θα παρουσιασθούν στο υπόλοιπο της παρούσας διπλωματικής. Θα δοθούν οι βασικοί ορισμοί δύο σημαντικών επιστημονικών πεδίων από την σκοπιά των οποίων μελετάται το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή. 1.1 Θεωρία γραφημάτων Στην πρώτη ενότητα σημειώνονται τα απαραίτητα στοιχειά και ορισμοί από την περιοχή της Θεωρίας Γραφημάτων, με σκοπό την καλύτερη κατανόηση των θεμάτων και εννοιών που θα αναπτυχθούν σε επόμενα κεφάλαια. Ορισμός 1 Γράφημα Γράφος ή γράφημα G καλείται κάθε συνδυασμός G = (N, A), των συνόλων N και A, όπου τα στοιχεία του συνόλου N ονομάζονται κόμβοι ή κορυφές ή κοινώς σημεία και εκείνα του A αποτελούν ζεύγη στοιχείων του N, συμβολιζόμενα ως (i,j) και ονομάζονται τόξα Ορισμός 2 Προσανατολισμένο γράφημα Προσανατολισμένο γράφημα καλείται το γράφημα στο οποίο το τόξο (i, j) διαφοροποιείται από το τόξο (j,i). Δηλαδή, στα προσανατολισμένα γραφήματα η γραμμή ένωσης δυο κόμβων έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση, για αυτό το λόγο σημειώνεται και ως τόξο. 12

13 13 Ορισμός 3 Μη προσανατολισμένο γράφημα Μη προσανατολισμένο ονομάζεται το γράφημα, το οποίο αποτελείται από ακμές αντί για τόξα. Δηλαδή, για τα στοιχεία του συνόλου A, ισχύει ότι (i,j) = (j,i). Να σημειωθεί ότι στην περίπτωση ενός μη προσανατολισμένου γραφήματος ο συμβολισμός του γίνεται G = (N, E) και γενικότερα αντί για το σύνολο A, που θεωρείται το σύνολο των τόξων, χρησιμοποιείται το σύνολο E, το οποίο αποτελεί το σύνολο των ακμών. Ακόμη, σε επίπεδο γραφικής αναπαράστασης των γραφημάτων τονίζεται, ότι πραγματοποιείται σύμφωνα με την εποπτική εικόνα των γραφημάτων. Βέβαια, επικρατέστερη μορφή απεικόνισης των κόμβων είναι ο κύκλος, ενώ συνηθίζεται και η χρήση τετράγωνων ή τρίγωνων. Επίσης, συχνά στο εσωτερικό των κόμβων και ακριβέστερα στο κέντρο τους αναγράφεται η κωδική ονομασία του κάθε κόμβου. Να σημειωθεί, ωστόσο, ότι σε περιπτώσεις που οι κόμβοι δε διαθέτουν συγκεκριμένα ονόματα, τότε στο κέντρο τους αναγράφονται οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Επομένως, σε περιπτώσεις όπου οι κόμβοι δε φέρουν συγκεκριμένα ονόματα, τότε θα ονομάζονται 1,2,...,n, οπού n είναι το πλήθος των κόμβων, δηλαδή n = N. Η αναπαράσταση των τόξων γίνεται με τη χρήση βελών, για παράδειγμα το τόξο (i,j) παριστάνεται με ένα βέλος, το οποίο ξεκινά από τον κόμβο i και καταλήγει στον κόμβο j. Συχνά, ο κόμβος αρχής καλείται ουρά και ο κόμβος πέρατος κεφάλι, ή γενικά καλούνται άκρα του τόξου. Το πλήθος των τόξων είναι m = A. Στην περίπτωση των ακμών η απεικόνιση είναι προφανής, δηλαδή η ακμή (i,j) παριστάνεται με ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο ενώνει τους κόμβους i και j. Είναι εμφανές ότι το πλήθος τους ισούται με m = E. Ακόμη, είναι χρήσιμο να ειπωθεί ότι ένα μη προσανατολισμένο γράφημα αποτελεί μία ειδική περίπτωση προσανατολισμένων γραφημάτων. Το τελευταίο γίνεται άμεσα αντιληπτό, καθώς με αντικατάσταση κάθε ακμής (i,j) του γράφου με τα τόξα (i,j) και (j,i) επιτυγχάνεται μία μετατροπή του μη προσανατολισμένου σε προσανατολισμένο. Στη συνέχεια, ακολουθεί γραφική απεικόνιση ενός προσανατολισμένου και ενός μη προσανατολισμένου γραφήματος, ώστε να επιτευχθεί η καλύτερη δυνατή κατανόηση από την πλευρά του αναγνώστη. 13

14 14 Διάγραμμα 1 Παράδειγμα κατευθυνόμενου γραφήματος Διάγραμμα 2 Παράδειγμα μη κατευθυνόμενου γραφήματος Ο πως φαίνεται στο Διάγραμμα 1, ο προσανατολισμένος γράφος αποτελεί ένα συνδυασμό n = N = 4 κόμβων και m = A = 8 τόξων. Ακριβέστερα, σημειωνονται οι κόμβοι N = {1,2,3,4} και τα τόξα A = {(1,2), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4), (4,2), (4,3)}. Ομοίως, στο Διάγραμμα 2 ο μη προσανατολισμένος γράφος αποτελείται από n = N = 4 και m = Ε = 6 ακμές. Πιο συγκεκριμένα, οι κόμβοι που περιέχονται στον μη προσανατολισμένο γράφο είναι οι N = {1,2,3,4} και οι ακμές είναι οι E = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} Στη συνέχεια δίνονται οι ορισμοί της αλυσίδας, του δρόμου και του κύκλου ενός γραφήματος. 14

15 15 Ορισμός 5 Αλυσίδα γραφήματος Αλυσίδα σε ένα γράφο G καλείται η αλληλουχία κόμβων i k και τόξων a k, της μορφής i 1 a i 1 2 a 2 i r 1 a r-1 i r, έτσι ώστε η αρχή και το πέρας να είναι κόμβοι του γράφου και μάλιστα να ισχύει ότι για κάθε 1 k r 1, a k = (i k, i k+1 ) A ή a k = (i k+1, i k ) A. Ορισμός 4 Κλειστή αλυσίδα γραφήματος Κλειστή λέγεται μία αλυσίδα της οποίας ο πρώτος και ο τελευταίος κόμβος συμπίπτουν, δηλαδή ισχύει i 1 = i r. Ορισμός 6 Ανοικτή αλυσίδα γραφήματος Ανοικτή ονομάζεται η αλυσίδα της οποίας οι κόμβοι αρχής και πέρατος δε συμπίπτουν, δηλαδή i1 ir. Ορισμός 7 Προσανατολισμένη αλυσίδα γραφήματος Προσανατολισμένη χαρακτηρίζεται μία αλυσίδα για τα τόξα της οποίας ισχύει ότι a k = (i k, i k+1 ) k τέτοιο ώστε 1 k r 1. Εναλλακτικά και μάλιστα κάπως πιο περιγραφικά η προσανατολισμένη αλυσίδα αποδίδεται ως η αλυσίδα, στην οποία για κάθε δύο διαδοχικούς κόμβους, έστω i k και i k+1, το τόξο a k έχει ως ουρά το i και ως κεφάλι το i k k+1. Α ρα, είναι εμφανές ότι για τις αλυσίδες δεν ισχύει ο μονοσήμαντος προσδιορισμός με τη γραφική τους αναπαράσταση. Επομένως, είναι απαραίτητο να σημειώνεται και η αλληλουχία των κόμβων και των τόξων. 15

16 16 Ορισμός 11 Δρόμος γραφήματος Δρόμος καλείται μία ανοικτή αλυσίδα, της οποίας κάθε κόμβος και τόξο εμφανίζονται ακριβώς μία φορά. Ορισμός 13 Προς τα εμπρός τόξο Προς τα εμπρός τόξο σε ένα δρόμο μεταξύ των κόμβων αρχής i1 και πέρατος ir, καλείται το τόξο (i,j) για το οποίο ο κόμβος i προηγείται του j. Ορισμός 10 Προς τα πίσω τόξο Προς τα πίσω τόξο ονομάζεται το τόξο (i,j) που περιέχεται σε ένα δρόμο μεταξύ των κόμβων αρχής i 1 και πέρατος i r, και μάλιστα ισχύει ότι ο κόμβος j προηγείται του i στην αλληλουχία. Ορισμός 9 Προσανατολισμένος δρόμος Ένας δρόμος λέγεται προσανατολισμένος αν περιέχει μόνο προς τα εμπρός ή μόνο προς τα πίσω τόξα. Ορισμός 8 Κλειστός δρόμος ή κύκλος Κλειστός δρόμος ή κύκλος καλείται ο δρόμος στον οποίο οι κόμβοι αρχής και πέρατος ταυτίζονται, δηλαδή i ι = i r. Ορισμός 12 Προσανατολισμένος κύκλος-κύκλωμα Προσανατολισμένος κύκλος ονομάζεται ο κύκλος που προκύπτει από προσανατολισμένο δρόμο, δηλαδή ο κύκλος που περιέχει μόνο προς τα εμπρός ή μόνο προς τα πίσω τόξα. 16

17 17 Ορισμός 15 Συνδεδεμένοι κόμβοι Δύο κόμβοι, έστω i και j ενός γραφήματος G = (N, A) καλούνται συνδεδεμένοι όταν υπάρχει τουλάχιστον ένας δρόμος, προσανατολισμένος ή μη, που διαθέτει ως άκρα τους συγκεκριμένους κόμβους. Ορισμός 14 Συνεκτικό γράφημα Συνεκτικό λέγεται ένας γράφημα G, του οποίου κάθε ζεύγος κόμβων είναι συνδεδεμένο. Ορισμός 16 Δέντρο Δέντρο ονομάζεται ένα συνεκτικό γράφημα που δεν περιέχει κύκλους. Τα δέντρα αποτελούν μία εκ των σημαντικότερων κατηγοριών γραφημάτων, κάτι το οποίο διαφαίνεται από την ευρεία χρήση των δενδρών στην περιγραφή των αλγορίθμων της Δικτυακής Βελτιστοποίησης. 1.2 Γραμμικός προγραμματισμός Ο γραμμικός προγραμματισμός (Linear Programming, LP) αποτελεί αναμφίβολα το δημοφιλέστερο μοντέλο στο χώρο της επιχειρησιακής έρευνας αλλά και της διοικητικής επιστήμης (management science) γενικότερα. Η μεγάλη επιτυχία που είχαν οι εφαρμογές του σε προβλήματα λήψης αποφάσεων των ιδιωτικών και δημόσιων επιχειρήσεων και οργανισμών αποδίδεται, από τη μια πλευρά στα επιτεύγματα της έρευνας μαθηματικών και οικονομολόγων σε θεωρητικό επίπεδο και από την άλλη πλευρά στην επαναστατική ανέλιξη της πληροφορικής επιστήμης και τεχνολογίας. Κυριαρχεί σήμερα η αντίληψη ότι, τρεις στις τέσσερις εφαρμογές μοντέλων επιχειρησιακής έρευνας σε πραγματικά προβλήματα διοίκησης παραπέμπουν στο γραμμικό προγραμματισμό (Γ.Π.). Ο Γ.Π. χρησιμοποιείται από τους επιχειρησιακούς ερευνητές ή τους αναλυτές προβλημάτων απόφασης για τη προσέγγιση προβλημάτων κατανομής περιορισμένων πόρων ή μέσων σε 17

18 18 εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Πρόκειται για το γνωστό πρόβλημα κατανομής της πίτας (resource allocation problem). Προβλήματα απόφασης αυτής της μορφής είναι, για παράδειγμα, η κατανομή εργατικού δυναμικού, τεχνολογικού εξοπλισμού και πρώτων υλών σε διάφορες παραγωγικές διαδικασίες, η κατανομή κεφαλαίου σε διάφορα επενδυτικά προγράμματα, η ανάθεση σε περιορισμένο προσωπικό διαφόρων υπηρεσιών, η κατανομή καλλιεργήσιμης γης σε διάφορες αγροτικές δραστηριότητες, κ.λπ. Επιδιωκόμενο αποτέλεσμα αυτών τον αποφάσεων (κριτήρια απόφασης) μπορεί να αφορά τη μεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους από πωλήσεις, την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους παραγωγής, τη μεγιστοποίηση της απασχόλησης, την ελαχιστοποίηση των αρνητικών επιπτώσεων στο περιβάλλον, κ.λπ. Ο όρος «γραμμικός» σημαίνει ότι οι μαθηματικές συναρτήσεις που εμφανίζονται τόσο στην αντικειμενική συνάρτηση όσο και στους περιορισμούς υποχρεούνται να είναι γραμμικές συναρτήσεις ενώ ο όρος «προγραμματισμός» δεν αναφέρεται σε γλώσσα προγραμματισμού αλλά είναι συνώνυμο του σχεδιασμού. Στην πραγματικότητα, οποιοδήποτε πρόβλημα του οποίου το μαθηματικό μοντέλο ταιριάζει με την πολύ γενική μορφή του γραμμικού μοντέλου προγραμματισμού είναι ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Η πρώτη και πλέον σημαντική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού αναπτύχθηκε από τον George Bernard Dantzig τη δεκαετία του 1940 και ονομάζεται μέθοδος Simplex, βασικό εργαλείο μέχρι και σήμερα Το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Στη μαθηματική γλώσσα, ο Γ.Π. είναι ένα μαθηματικό μοντέλο στο οποίο επιχειρείται η βελτιστοποίηση (κριτήρια βελτιστοποίησης) αγνώστων πραγματικών μεταβλητών των οποίων το πεδίο τιμών οριοθετείται έμμεσα από γραμμικούς περιορισμούς (ανισοεξισώσεις) συναρτήσεις των μεταβλητών αυτών. Οι άγνωστες μεταβλητές προσδιορίζουν (μοντελοποιούν) το αντικείμενο απόφασης του προβλήματος και ονομάζονται για το σκοπό αυτό μεταβλητε ς απο φασης (decision variables). Η θεωρία του Γ.Π. μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του 70, εξελίχθηκε ως μεθοδολογία βελτιστοποίησης ενός και μόνου κριτηρίου απόφασης με την ονομασία αντικειμενικη συνα ρτηση (objective function). Ο μως, η πολυπλοκότητα των συστημάτων απόφασης καθώς και οι συνθήκες ανταγωνιστικότητας κάτω από τις οποίες παίρνονται οι αποφάσεις καθιστούν τη προσέγγιση αυτή κάθε άλλο παρά ρεαλιστική. Γι αυτό και αναπτύχθηκε η θεωρία του Γ.Π. 18

19 19 με πολλαπλα κριτη ρια απο φασης (πολυκριτήριος Γ.Π.) Από την άλλη πλευρά πάλι, αυτή η γενίκευση δεν θα μπορούσε να υλοποιηθεί χωρίς τα αποτελέσματα που έφερε ο κλασικός μονοκριτήριος Γ.Π. Η γενική μορφή ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (π.γ.π.) είναι να προσδιοριστούν οι τιμές των μεταβλητών x1,, xn που μεγιστοποιούν ή ελαχιστοποιούν την γραμμική συνάρτηση: z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c n x n και συγχρόνως πρέπει να ικανοποιούνται κάποιες συνθήκες της μορφής: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n, =, b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n, =, b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n, =, b m Επιπρόσθετα, ισχύει ότι : x 1, x 2,, x n 0 Ενω: a ij, b i και c j με i = 1,, m και j = 1,, n είναι γνωστές πραγματικές σταθερές. Συνοπτικά ένα π.γ.π. μπορεί να γραφεί ως εξής: n υπό τους περιορισμούς: max ή min z = c j x j j=1 n a ij x j, =, b i με i = 1,, m j=1 x j 0 για j = 1,, n 19

20 20 Σημειώνουμε ότι λόγω της ταυτότητας min f(x)=-max (-f(x)) που ισχύει για κάθε γραμμική συνάρτηση f(x), κάθε πρόβλημα ελαχιστοποίησης μπορεί να μετατραπεί σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα μεγιστοποίησης. Η γραμμική συνάρτηση f(x) που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση (objective function). Οι παραπάνω γραμμικές εξισώσεις ή ανισώσεις ονομάζονται συνθήκες ή περιορισμοί (constrains) του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού. Η περιοχή που ορίζουν αυτοί οι περιορισμοί ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible area) ενώ ως εφικτή λύση (feasible solution) ονομάζεται κάθε λύση που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς. Α ριστη λύση (optimal solution) είναι η εφικτή λύση που μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση σε ολόκληρη την εφικτή περιοχή. Οι συντελεστές cj αναφέρονται και ως συντελεστές κέρδους (ή κόστους αντίστοιχα εάν αναφερόμαστε σε πρόβλημα ελαχιστοποίησης) ενώ τα αij, bi είναι οι παράμετροι (parameters) του προβλήματος. Εάν όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις ή ανισώσεις της ίδιας φοράς, τότε το πρόβλημα μπορεί να γραφτεί συνοπτικά και σε μορφή πινάκων: w = max(c T x) Ax, =, b x 0 όπου: x 1 c 1 b 1 x 2 c 2 b x = ( ), c = ( ), b = ( 2 ) x n c n b n και: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = ( ) a n1 α n2 a nn 20

21 Βασικά στοιχεία ενός μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού Για μια δεδομένη κατάσταση ενός προβλήματος, υπάρχουν ορισμένες βασικές συνθήκες στοιχεία που συνθέτουν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού πρου ποθέτει ότι όλοι οι παράμετροι του προβλήματος είναι γνωστές με απόλυτη βεβαιότητα. (Στην περίπτωση που μερικοί ή όλοι οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης ή των περιορισμών είναι τυχαίες μεταβλητές το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα στοχαστικού προγραμματισμού.) Γραμμικότητα (αναλογικότητα και προσθετικότητα): Ο λες οι συναρτήσεις του προβλήματος, αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμοί πρέπει να είναι γραμμικές ως προς τις άγνωστες μεταβλητές x j, j = 1,...,n. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να ισχύουν οι ιδιότητες της αναλογικότητας και της προσθετικότητας, δηλαδή εάν y είναι μια συνάρτηση n μεταβλητών και aj, j = 1,...,n είναι σταθερές, πρέπει να ισχύει. Σε πολλές περιπτώσεις στις οποίες δεν ισχύει απόλυτα η πρου πόθεση της γραμμικότητας μπορεί να γίνει μια αρκετά καλή προσέγγιση με γραμμικές συναρτήσεις. Περιορισμένοι πόροι: περιορισμένη ποσότητα εργασίας, υλικός εξοπλισμός και χρηματοδότηση. Αντικειμενικός στόχος: αναφέρεται στο στόχο για βελτιστοποίηση (μεγιστοποίηση κέρδους ή ελαχιστοποίηση κόστους). Ομογένεια: προι όντα, εργάτες, μηχανές και παραγωγικότητα θεωρούνται ότι είναι πανομοιότυπα μεταξύ τους. Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού υποθέτει ότι κάθε δραστηριότητα (δηλ μεταβλητή) είναι συνεχής και επομένως άπειρα διαιρετή. Αυτό συνεπάγεται ότι όλα τα επίπεδα δραστηριοτήτων και όλες οι χρήσεις πόρων επιτρέπεται να πάρουν κλασματικές τιμές ή ακέραιες τιμές. Ο ταν η υπόθεση της διαιρετότητας δεν ισχύει υπάρχουν δύο ενδεχόμενα: 1. Να αγνοηθεί η υπόθεση αυτή, να λυθεί το πρόβλημα με μεθόδους γραμμικού προγραμματισμού, και οι τιμές των μεταβλητών να στρογγυλευθούν στην κοντινότερη ακέραια μονάδα. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται κυρίως όταν οι τιμές των μεταβλητών είναι μεγάλες 2. Οταν οι τιμές των μεταβλητών είναι μικρές (π.χ. 0 ή 1) όπως σε πολλά προβλήματα επενδύσεων τότε πρέπει να χρησιμοποιηθούν τεχνικές του 21

22 22 ακέραιου προγραμματισμού Επίλυση ενός μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού Η επίλυση ενός Γ.Π. απαιτεί γενικά την ύπαρξη ηλεκτρονικού υπολογιστή και κατάλληλου λογισμικού. Ο ταν όμως ένα πρόβλημα Γ.Π. είναι δισδιάστατο, έχει δηλαδή 2 μεταβλητές απόφασης ή το πολύ τρισδιάστατο μπορεί να επιλυθεί γραφικά. Για το σκοπό αυτό, αρκεί να σχεδιαστεί προσεκτικά το σύνολο των περιορισμών του προβλήματος Γ.Π., ώστε να οριοθετηθεί το σύνολο των δυνατών λύσεων Α και να καθοριστεί η έννοια βελτιστοποίησης της αντικειμενικής συνάρτησης. Βασικό ρόλο στη μέθοδο αυτή παίζει η εποπτεία. Η μέθοδος περιλαμβάνει τρία διαδοχικά βήματα: Σχεδίαση όλων ανεξαίρετα των περιορισμών ώστε να καθοριστεί απόλυτα το σύνολο Α των δυνατών λύσεων. Σχεδίαση της αντικειμενικής συνάρτησης Ζ για μια συγκεκριμένη τιμή του Ζ και καθορισμός της έννοιας βελτιστοποίησης. Παράλληλη μετατόπιση της αντικειμενικής συνάρτησης κατά την έννοια βελτιστοποίησης, βελτιώνοντας προοδευτικά την τιμή του z, μέχρις ότου προσδιοριστεί η βέλτιστη ή οι βέλτιστες λύσεις. Στις περιπτώσεις όπου οι μεταβλητές είναι περισσότερες από τρεις τότε η πλέον κατάλληλη μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος είναι η μέθοδος simplex όπου είναι η γενική διαδικασία επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με περισσότερες από δύο μεταβλητές. Είναι μία συστηματική διαδικασία, ένας αλγόριθμος, που επαναλαμβάνεται μέχρι να βρεθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα. Για να εφαρμοστεί η μέθοδος simplex το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού πρέπει να είναι γραμμένο στην κανονική μορφή, δηλαδή να είναι της μορφής: w = max(c T x) Ax = b x 0 Πρώτο βήμα είναι η μετατροπή των ανισοτήτων σε ισότητες. Αυτό επιτυγχάνεται με την εισαγωγή των χαλαρών μεταβλητών (slack variables), ή αλλιώς βοηθητικών μεταβλητών. Η εισαγωγή αυτών των μεταβλητών δεν αλλάζει το χαρακτήρα των περιορισμών ή της 22

23 23 αντικειμενικής συνάρτησης. Οι μεταβλητές αυτές εισάγονται στην αντικειμενική συνάρτηση με μηδενικούς συντελεστές Ακέραιος γραμμικός προγραμματισμός Τα προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού αποτελούν μία ειδική κατηγορία προβλημάτων που ανήκουν στα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Στον γραμμικό προγραμματισμό ισχύει η παραδοχή διαιρετότητας, η οποία δίνει την δυνατότητα στις μεταβλητές να πάρουν και κλασματικές τιμές. Στα προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού αυτή η παραδοχή δεν ισχύει, επομένως εξετάζονται προβλήματα στα οποία όλες ή κάποιες από τις μεταβλητές επιτρέπεται να πάρουν ακέραιες τιμές. Ο πως ισχύει και στον γραμμικό προγραμματισμό, οι τομείς εφαρμογής του ακέραιου προγραμματισμού και η σημασία του είναι σημαντικότατη στη πράξη, αφού μεγάλος αριθμός από καθημερινά πρακτικά προβλήματα επιχειρησιακής έρευνας είναι προβλήματα που υπόκεινται σε προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού. Χαρακτηριστικό παράδειγμα που εντάσσεται στην κατηγορία των προβλημάτων αυτών είναι η παραγωγή προι όντων σε ακέραιες ποσότητες με σκοπό την μεγιστοποίηση του κέρδους. Η παραγωγή μη ακέραιου αριθμού ειδών δεν έχει καμία φυσική σημασία, για παράδειγμα η παραγωγή αυτοκινήτων. Τομείς εφαρμογής του ακέραιου προγραμματισμού είναι: ο αριθμός των εργατών σε ένα εργοστάσιο παραγωγής, ο χρονικός προγραμματισμός εργασιών με περιορισμούς στα διατιθέμενα μέσα, ο προγραμματισμός των πληρωμάτων των αεροπλάνων (aircrew scheduling), ο προγραμματισμός μεταφορικών μέσων (vehicle schedulingand truck dispatching), ο προγραμματισμός επενδύσεων (capital budgeting) και διάφοροι άλλοι. Προβλήματα που περιλαμβάνουν μεταβλητές οι οποίες είναι από τη φύση τους ποσοτικές και επιβάλλεται να λάβουν ακέραιες τιμές ονομάζονται άμεσα ακέραια μοντέλα. Μια άλλη κατηγόρια είναι τα κωδικοποιημένα (coded) ακέραια μοντέλα, στα οποία οι μεταβλητές απόφασης περιγράφουν ένα αυστηρά περιορισμένο αριθμό δυνατοτήτων. Οι μεταβλητές περιγράφουν αποφάσεις του τύπου «ναι - όχι» ή «αληθές - ψευδές». Σ αυτά 23

24 24 γίνεται χρήση δυαδικών (binary) μεταβλητών του τύπου 1 ή 0, όπου το 1 αντιπροσωπεύει την απόφαση τύπου «ναι» ενώ το 0 αντιπροσωπεύει τη μοναδική άλλη δυνατότητα «όχι». Επιπρόσθετα, σε μοντέλα ακέραιου προγραμματισμού μπορούν να διαμορφωθούν και τα προβλήματα συνδυαστικής. Ένα πρόβλημα συνδυαστικής συνίσταται στην εύρεση, μεταξύ ενός συνόλου συνδυασμών, εκείνων που βελτιστοποιεί μία αντικειμενική συνάρτηση. Παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων είναι: το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή σε n πόλεις, αφού περιλαμβάνει (n-1) δυνατές διαδρομές, δηλαδή συνδυασμούς και το πρόβλημα της διάταξης n εργασιών σε k μηχανές, αφού περιλαμβάνει (n!)k δυνατές διατάξεις των εργασιών, δηλαδή δυνατούς συνδυασμούς. Στην πράξη, τα προβλήματα α.π. είναι πιο περίπλοκα στην επίλυση τους σε σχέση με τα προβλήματα γ.π. Εάν και είναι γεγονός ότι οι ακέραιες λύσεις είναι πολύ λιγότερες από τις κλασματικές. Ένας φαινομενικά εύκολος τρόπος υπολογισμού της βέλτιστης λύσης ενός προβλήματος ακέραιου προγραμματισμού είναι η επίλυση του προβλήματος με τις γνωστές τεχνικές του γραμμικού προγραμματισμού και η αποκοπή ή η στρογγύλευση των μη ακέραιων λύσεων ώστε να ικανοποιούν την συνθήκη ακεραιότητας. Στην περίπτωση που χρησιμοποιηθεί αποκοπή υπάρχει μεγάλη περίπτωση η λύση να είναι δυνατή αλλά όχι η βέλτιστη ενώ στην περίπτωση στρογγύλευσης η λύση να μην είναι δυνατή. Κάποιες τεχνικές οι οποίες επιλύουν το πρόβλημα του ακέραιου προγραμματισμού και οι οποίες θα αναπτυχθούν και στο Κεφάλαιο 3 είναι η μέθοδος των διαδοχικών ορίων Branch and Bound, η μέθοδος της απαρίθμησης (enumeration) και ο αλγόριθμος επιπέδων αποκοπής (the cutting plane algorithm). 24

25 25 Κεφάλαιο 2 Το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (TSP) αποτελεί ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης που αποσκοπεί στην εύρεση της συντομότερης διαδρομής η οποία ενώνει έναν συγκεκριμένο και προκαθορισμένο αριθμό περιοχών. Ουσιαστικά το πρόβλημα παρομοιάζεται με αυτό του προβλήματος ενός περιπλανώμενου πωλητή ο οποίος επισκέπτεται διάφορες περιοχές με απώτερο σκοπό την πώληση των προι όντων του. Έτσι ο πωλητής ξεκινάει από την πόλη του και επιθυμεί να επισκεφθεί, ακριβώς μια φορά, κάθε μια από τις πόλεις στις οποίες έχει πελάτες και στη συνέχεια να γυρίσει στην πόλη του. Ο πως γίνεται εύκολα αντιληπτό το πρόβλημα του πωλητή είναι η επιλογή κατάλληλης διαδρομής η οποία να ελαχιστοποιεί το κόστος του (απόσταση) και η οποία θα του εξασφαλίζει ότι θα περάσει από όλες τις ενδιάμεσες πόλεις ακριβώς μια φορά. Επίσης, στο πρόβλημα γίνεται η βασική παραδοχή ότι τα κόστη-αποστάσεις για όλα τα ζεύγη πόλεων που θέλει να επισκεφθεί είναι γνωστά εκ των προτέρων στον πωλητή και σταθερά σε όλη τη διάρκεια του προβλήματος. Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία του συγκεκριμένου προβλήματος το οποίο είναι ευρέως διαδεδομένο ως πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (Traveling Salesman Problem-TSP) 2.1 Ιστορικά στοιχεία Αν και τα ιστορικά στοιχεία για την πρώτη αναφορά στο συγκεκριμένο πρόβλημα δεν είναι σαφή υπάρχουν ενδείξεις ότι οι πρώτες αναφορές στο TSP έγιναν τον 18 ο αιώνα και πιο συγκεκριμένα το Η πρώτη αναφορά ουσιαστικά περιέχει παραδείγματα περιηγήσεων τα οποία δεν θεμελιώθηκαν μαθηματικά και δεν είχαν κανέναν επιστημονικό υπόβαθρο. Η πρώτη σαφής αναφορά του προβλήματος έγινε τον 19 ο αιώνα από τον Ιρλανδό μαθηματικό William Rowan Hamilton και τον Βρετανό μαθηματικό Thomas Kirkman. O Hamilton δημιούργησε ένα παιχνίδι γνωστό ως «Δωδεκάεδρο του Ταξιδιώτη 1» και το οποίο έχει αρκετές ομοιότητες με το πρόβλημα TSP. Στο συγκεκριμένο παιχνίδι ο σκοπός ήταν η εύρεση ενός κύκλου ο οποίος διέρχεται από τις κορυφές ενός δωδεκάεδρου με την πρου πόθεση ότι κάθε 1 Icosian Puzzle 25

26 26 κορυφή-κόμβος μπορούμε να την επισκεφθούμε μόνο μια φορά ενώ στο τελικό στάδιο ο κύκλος έπρεπε να επιστρέψει στο αρχικό του σημείο. Η γενική μορφή του TSP μελετήθηκε κατά την διάρκεια του 20 ου αιώνα περί το 1930 από τον Μαθηματικό Karl Menger ( ) ο οποίος καθόρισε και τη γενική μορφή του προβλήματος. Η ονομασία TSP προήλθε λίγα χρόνια αργότερα από τον Αμερικάνο μαθηματικό Hassler Whitney ( ) του πανεπιστημίου Princeton. Πίνακας 1 Σύνοψη σημαντικότερων προβλημάτων TSP ανά έτος Έτος Συγγραφείς Κόμβοι 1954 G. Dantzig, R. Fulkerson, S. Johnson M. Held, R.M. Karp P.M. Gamerini, L.Fratta, F. Maffioli M. Grotschel H. Crowder, M.W. Padberg M. Padberg, G. Rinaldi M. Padberg, G. Rinaldi D. Applegate, R. Bixby, V. Chvatal, W. Cook D. Applegate, R. Bixby, V. Chvatal, W. Cook D. Applegate, R. Bixby, V. Chvatal, W. Cook D. Applegate, R. Bixby, V. Chvatal, W. Cook Cook, Espinoza, Goycoolea Applegate, Bixby, Cook, Espinoza, Goycoolea, Helsgaun Τις επόμενες δεκαετίες το πρόβλημα TSP γνώρισε ιδιαίτερη αναγνώριση τόσο στην Αμερική όσο και στην Ευρώπη ενώ σπουδαίοι μαθηματικοί και επιστήμονες ανά τον κόσμο συνέβαλλαν στην εξέλιξη του. Για παράδειγμα την δεκαετία του 1950, οι George Dantzig, Delbert Ray Fulkerson και Selmer M. Johnson αντιμετώπισαν το πρόβλημα ως πρόβλημα ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού για την επίλυση ενός προβλήματος που περιλάμβανε την σύνδεση 49 πόλεων. Αργότερα τις δεκαετίες του 1970 και 1980 αρκετοί επιστήμονες χρησιμοποιώντας άλλες τεχνικές (branch and bound, cutting planes) κατάφεραν να δώσουν λύση σε προβλήματα που είχαν ως κόμβους αρκετές χιλιάδες πόλεις (M. Padberg και G. Rinaldi). Την δεκαετία του 1990 οι David Applegate, Robert E. Bixby, Vasek Chvatal και William J. Cook δημιούργησαν ένα λογισμικό επίλυσης του συγκεκριμένου προβλήματος το οποίο ονομάσθηκε Concorde TSP Problem. Τέλος, το 2004 οι ίδιοι επιστήμονες μαζί με τον Keld Helsgaun κατάφεραν να λύσουν ένα πρόβλημα με κόμβους-πόλεις της Σουηδίας. 26

27 27 Ενώ το 2006 λύθηκε ένα πρόβλημα κόμβων οι οποίου αναπαριστούσαν την σύνδεση των τρανζίστορ σε ένα μικροεπεξεργαστή. Στον Πίνακα 1 παρουσιάζονται προβλήματα του πλανόδιου πωλητή που επιλύθηκαν από το 1954 έως το 2009 με αύξουσα σειρά ως προς το πλήθος των κόμβων. 2.2 Ορισμός του προβλήματος ως πρόβλημα της θεωρίας γραφημάτων Έστω ότι ένας πωλητής έχει μια λίστα πόλεων τις οποίες επιθυμεί να επισκεφθεί από μια φορά. Επίσης, ο πωλητής επιθυμεί να ξεκινήσει από την πόλη του και στο τέλος να επιστρέψει σε αυτήν. Τότε το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση της διαδρομής-ακολουθίας των πόλεων που θα επισκεφθεί με σκοπό την επίτευξη του ελάχιστου κόστους, με την έννοια της απόστασης. Θεωρητικά η επιλογή της βέλτιστης διαδρομής δηλαδή της διαδρομής με την μικρότερη απόσταση θα του αποφέρει μείωση του χρόνου που θα εργασθεί αλλά και χρημάτων (λιγότερα έξοδα καυσίμων). Επειδή ο οποιοσδήποτε πωλητής επιθυμεί να βρει την συντομότερη διαδρομή αντιμετωπίζει το αποκαλούμενο πρόβλημα του πλανόδιου εμπόρου. Αναλυτικότερα το πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Έχοντας ως δεδομένα ένα σύνολο από n κόμβους και τα κόστη -αποστάσεις που συνδέουν κάθε ζεύγος κόμβων, να βρεθεί μια κλειστή διαδρομή-ακολουθία ελαχίστου κόστους η οποία να περιέχει κάθε κόμβο ακριβώς μια φορά. Σε υπολογιστικούς όρους το πρόβλημα μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα μη-κατευθυνόμενο 2 σταθμισμένο 3 γράφημα έτσι ώστε οι πόλεις να αναπαραστήσουν τους κόμβους του γραφήματος ενώ οι άμεσοι δρόμοι-μονοπάτια που συνδέουν τις πόλεις αναπαριστούν τις ακμές του γραφήματος. Επίσης, η απόσταση του δρόμου μεταξύ δύο οποιονδήποτε πόλεων αναπαριστά το μήκος της κάθε ακμής του γραφήματος. Συνήθως το μοντέλο παριστάνεται με ένα πλήρες γράφημα. 2 Οι ακμές δεν έχουν προσανατολισμό 3 Υπάρχει βάρος σε κάθε ακμή 27

28 28 Παρατήρηση Αν δεν υπάρχει ακμή που να συνδέει δύο κόμβους τότε μεταξύ των δύο κόμβων προστίθεται μια αυθαίρετη ακμή με μεγάλο μήκος (θεωρητικά άπειρο). Έστω ότι Kn=(Vn, En) είναι ένα πλήρες και μη-κατευθυνόμενο γράφημα το οποίο έχει: n= V n κόμβους m= E n = ( n 2 ) ακμές Μια ακμή με τελικά σημεία i και j μπορεί να αναπαρασταθεί με eij. Επίσης, συμβολίζουμε με x ένα διάνυσμα το οποίο κατατάσσεται από την ακμή (i,j) και συμβολίζεται με xij. Τότε αν συνδέσουμε κάθε ακμή eij με ένα κόστος cij το συμμετρικό πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (stsp) αποτελείται από την εύρεση ενός κύκλου Hamilton 4 έτσι ώστε το συνολικό μήκος c της διαδρομής να είναι ελάχιστο. Το πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Ένα δίκτυο ορίζεται από ένα σύνολο σημείων-κόμβων, V, και ένα σύνολο πλευρών-ακμών, Ε, που συνδέουν τα σημεία αυτά. Έστω ότι το δίκτυο έχει συνολικά n κόμβους. Η απευθείας απόσταση μεταξύ των κόμβων i και j συμβολίζεται με cij. Εάν δεν υπάρχει ακμή που να συνδέει τους δύο κόμβους τότε θεωρούμε ότι cij=. Θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη διαδρομή που ξεκινάει από τον κόμβο 1, επισκέπτεται όλα τα σημεία του δικτύου, το κάθε ένα ακριβώς μια φορά, και επιστρέφει πάλι στο σημείο 1. Ουσιαστικά αναζητούμε την εύρεση ενός πλήρους κύκλου Hamilton (κύκλος που επισκέπτεται τον κόμβο μόνο μία φορά) έτσι ώστε το συνολικό μήκος του κύκλου (άθροισμα επιμέρους ακμών) να είναι όσο πιο μικρό γίνεται (ελάχιστο). Επίσης, ενδιαφέρον έχουν τα προβλήματα όπου οι αποστάσεις μεταξύ των πόλεων-κόμβων θεωρούνται ευκλείδειες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι κόμβοι που καθορίζουν το πρόβλημα αντιστοιχούν στα σημεία του επιπέδου δύο διαστάσεων και η απόσταση μεταξύ 2 κόμβων είναι η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των αντίστοιχων σημείων. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει η τριγωνική ανισότητα δηλαδή πρέπει να πληρείται το κριτήριο : c ij + c jk c ik i, k, j 4 Κύκλος που επισκέπτεται κάθε κόμβο μόνο μια φορά 28

29 29 Παρατήρηση Στο ευκλείδειο πρόβλημα TSP η απόσταση μεταξύ δύο κόμβων-πόλεων ορίζεται να είναι η ευκλείδεια απόσταση 5. Η συγκεκριμένη τακτική έχει το πλεονέκτημα ότι σε ένα σύνδεσμο από πόλεις μαζί με τις χωρικές συντεταγμένες τους παρέχει ένα σύνολο από συνδέσμους μεταξύ τον κόμβων-πόλεων οι οποίοι μας επιτρέπουν να έχουμε πάντα ένα πλήρες συνδεδεμένο γράφημα. Επίσης, μια τέτοια παραδοχή μας επιτρέπει να θεωρήσουμε ότι το πρόβλημα είναι συμμετρικό δηλαδή η απόσταση μεταξύ δύο κόμβων Α και Β είναι ίδια με την απόσταση Β και Α. Γενικότερα, μπορούμε να πούμε ότι το TSP ανήκει σε μια κατηγορία συνδυαστικών προβλημάτων βελτιστοποίησης και τυγχάνει ευρείας εφαρμογής σε πολλούς τομείς. Ενώ για την επίλυση του υπάρχουν τόσο προσεγγιστικοί όσο και ευρετικοι αλγόριθμοι οι οποίοι αναπτύσσονται τις τελευταίες δεκαετίες με σκοπό την επίλυση προβλημάτων μεγάλης διάστασης. Στη συνέχεια δίνονται κάποιοι ορισμοί για την καλύτερη κατανόηση των περιπτώσεων που θα παρουσιασθούν σε επόμενες παραγράφους. Ορισμός 18 Μονοπάτι Hamilton Μονοπάτι Hamilton καλείται κάθε μονοπάτι το οποίο διέρχεται από όλους τους κόμβους του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Ορισμός 17 Κύκλωμα Hamilton Κύκλωμα Hamilton καλείται κάθε κύκλωμα το οποίο διέρχεται από όλους τους κόμβους του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Οπότε είναι εύκολα κατανοητό ότι το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή ανάγεται σε ένα πρόβλημα ενός κύκλου Hamilton. Δηλαδή δοθέντος ενός πεπερασμένου συνόλου πόλεων και του κόστους μετάβασης μεταξύ των πρώτων, να βρεθεί ο ελάχιστος κύκλος Hamilton. Με άλλα λόγια δοθέντος ενός πεπερασμένου συνόλου πόλεων και του κόστους διαδρομής (ή 5 Ευκλείδεια απόσταση: Έστω δυο πόλεις με συντεταγμένες (x1,y1) και (x2,y2) αντίστοιχα τότε η ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων ορίζεται να είναι η ποσότητα: d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 29

30 30 της απόστασης) μεταξύ κάθε πιθανού ζεύγους πόλεων, το TSP αφορά την εύρεση της βέλτιστης δυνατής διαδρομής, η οποία διέρχεται από όλες τις πόλεις ακριβώς μία φορά και καταλήγει στην πόλη- αφετηρία, με τρόπο που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος διαδρομής (ή τη συνολική απόσταση). 2.3 Κατηγοριοποίηση του προβλήματος Στη συνέχεια θα δώσουμε τους βασικούς ορισμούς για τις διάφορες διαφοροποιήσεις ή παραλλαγές του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή δίνοντας τους κατάλληλους μετασχηματισμούς. Στις επόμενες δύο παραγράφους θα ασχοληθούμε με τις παραλλαγές του προβλήματος εκ των οποίων οι δύο σημαντικότερες είναι i) το ασύμμετρο TSP και ii) το πολλαπλό TSP Το TSP σε γενικά γραφήματα Ισως να υπάρχουν καταστάσεις όπου θέλουμε να βρούμε τους μικρότερους κύκλους Hamilton με αυθαίρετα γραφήματα G(V, E), ιδίως σε γραφήματα τα οποία δεν είναι πλήρη. Ανάλογα με τις απαιτήσεις, μπορούμε να μεταχειριστούμε τέτοιες περιπτώσεις με δύο τρόπους. Θα σχολιάσουμε τον πρώτο δυνατό τρόπο εδώ και τον δεύτερο πιο κάτω που θα ασχοληθούμε με το γραφικό TSP. Αν απαιτείται κάθε κόμβος να επισκεφθεί ακριβώς μια φορά και μόνο οι υπάρχουσες ακμές πρέπει να χρησιμοποιηθούν τότε κάνουμε τα ακόλουθα. Προσθέτουμε όσες ακμές λείπουν δίνοντας τους ένα αρκετά μεγάλο αριθμό M ως βάρος και εφαρμόζουμε έναν αλγόριθμο για το TSP πλήρων γραφημάτων. Αν ο αλγόριθμος τερματίσει με μια βέλτιστη λύση που δεν περιέχει καμία από τις ακμές με βάρος Μ, τότε αυτή η λύση είναι επίσης βέλτιστη για το αρχικό μας πρόβλημα. Αν μια ακμή με βάρος Μ περιέχεται στην βέλτιστη λύση τότε το αρχικό γράφημα δεν περιέχει ένα κύκλο Hamilton. Οι ευρετικές δεν μπορούν να εγγυηθούν την εύρεση ενός κύκλου Hamilton στο G έστω και αν υπάρχει μια. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ακριβείς αλγόριθμους. Ο δεύτερος τρόπος για να μεταχειριστούμε τέτοια προβλήματα είναι να επιτρέψουμε να επισκεφτούν τέτοιοι κόμβοι περισσότερο από μια φορά και να διαβούμε τις ακμές περισσότερο από μια φορά. Αν το δοθέν γράφημα είναι πλήρες μπορούμε πάντα να βρούμε μια εφικτή διαδρομή μετ επιστροφής υπό αυτή την χαλάρωση. Αυτό μας οδηγεί στο αποκαλούμενο γραφικό TSP. 30

31 Το γραφικό TSP Ο πως και στην περίπτωση του TSP μας δίνονται n πόλεις, ένα σύνολο συνδέσεων μεταξύ των πόλεων που αντιπροσωπεύονται σε ένα γράφημα G(V, E ), και ένα μήκος c για κάθε σύνδεση. Υποθέτουμε ότι το G είναι πλήρης, διαφορετικά δεν υπάρχει εφικτή λύση. Το γραφικό TSP αποτελείται από την εύρεση ενός ταξιδιού για τον πωλητή που να επισκέπτεται κάθε πόλη πρου ποθέτοντας την μικρότερη δυνατή συνολική απόσταση. Για να ορίσουμε ένα εφικτό ταξίδι ο πωλητής πρέπει να φύγει από την πόλη του (μπορεί να είναι οποιοσδήποτε κόμβος του γραφήματος), να επισκεφτεί οποιαδήποτε πόλη το λιγότερο μια φορά, και να επιστρέψει στην πόλη του. Είναι πιθανό μια πόλη να επισκεφθεί περισσότερο από μια φορά και μια ακμή του G να διαβεί επίσης περισσότερες από μια φορές. Ένα τέτοιο εφικτό ταξίδι ονομάζεται περιήγηση. Για να αποφύγουμε απεριόριστες καταστάσεις κάθε ακμή έχει μη αρνητικό βάρος. Διαφορετικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια ακμή όσο συχνά θέλουμε και προς τις δύο κατευθύνσεις για να επιτύχουμε ένα αυθαίρετο αρνητικό μήκος της λύσης. Αυτό είναι κάποιες φορές ένας πιο πρακτικός ορισμός του TSP επειδή ίσως να έχουμε περιπτώσεις όπου το βασικό γράφημα των συνδέσεων να μην είναι Hamilton. Μετασχηματίζουμε ένα γραφικό TSP σε κλασσικό TSP ως ακολούθως: θεωρούμε το TSP στο πλήρες γράφημα Kn(Vn, En ), όπου για κάθε ακμή i,j η αντικειμενική συνάρτηση των συντελεστών dij δίνεται από το μήκος c ενός συντομότερου μονοπατιού από το i στο j στο γράφημα G. Λύνοντας το TSP στο Kn δίνει ένα κύκλο Hamilton. Η λύση του γραφικού TSP μπορεί να εξασφαλιστεί αντικαθιστώντας κάθε ακμή του Η που δεν είναι στο G με ακμές ενός συντομότερου μονοπατιού που συνδέει τα τελικά σημεία του G Γραφήματα Hamilton Ένα γράφημα καλείται Hamilton αν περιέχει ένα κύκλο Hamilton, δηλαδή επισκέπτεται όλους τους κόμβους μια φορά και επιστρέφει στον αρχικό, και καλείται ημι-hamilton αν περιέχει ένα μονοπάτι Hamilton, δηλαδή ένα μονοπάτι που συνδέει τους κόμβους του γραφήματος και επισκέπτεται επίσης κάθε κόμβο ακριβώς μια φορά. Για να ελέγξουμε πότε ένα γράφημα G(V, E) είναι Hamilton ή ημι-hamilton, μπορούμε να λύσουμε ένα TSP σε ένα πλήρες γράφημα όπου όλες οι ακμές του αρχικού γραφήματος έχουν βάρος 1 και όλες οι άλλες έχουν βάρος 2. Αν το μήκος ενός βέλτιστου κύκλου Hamilton στο πλήρες γράφημα είναι n, τότε το G είναι 31

32 32 Hamilton και ως εκ τούτου ημι-hamilton. Αν το μήκος είναι n+1, τότε το G είναι ημι- Hamilton, αλλά όχι Hamilton. Και, εν τέλει, αν το μήκος είναι n+2, το G δεν είναι ημι- Hamilton Το ασύμμετρο TSP (atsp) Σε αυτή την περίπτωση το κόστος διαδρομής από την πόλη Α στην πόλη Β δεν είναι απαραίτητα το ίδιο με το κόστος διαδρομής από την πόλη Β στην πόλη Α. Αυτό αντικατοπτρίζεται διατυπώνοντας το ασύμμετρο TSP (atsp) ως την εύρεση ενός ελάχιστου κατευθυνόμενου κύκλου Hamilton σε ένα σταθμισμένο γράφημα. Έστω ότι D=(W, A ), W={1,, n }, A WxW είναι ο διγράφος για τον οποίο το atsp πρέπει να λυθεί. Έστω ότι dij είναι η απόσταση από τον κόμβο i στον j. Ορίζουμε ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E) με: V = W {n + 1,, 2n} E = {(i, n + i)/ i = 1,, n} {(n + i, j)/i, j A} Τα βάρη των ακμών υπολογίζονται ως ακολούθως: c i,n+1 = M, i = 1,, n c n+1,j = d ij, (i, j) A όπου Μ ένας πολύ μεγάλος αριθμός. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι για κάθε κατευθυνόμενο κύκλο Hamilton στο D με μήκος dd υπάρχει ένας κύκλος Hamilton στο G με μήκος cg=dd-nm. Επιπρόσθετα, όλες οι ακμές με βάρος Μ περιέχονται σε ένα βέλτιστο κύκλο Hamilton στο G. Επομένως, αυτός ο κύκλος επιφέρει ένα κατευθυνόμενο κύκλο Hamilton στο D Το πολλαπλό TSP (mtsp) Αντί για ένα μόνο πωλητή έχουμε m πωλητές διαθέσιμους οι οποίοι βρίσκονται όλοι στην πόλη και πρέπει να επισκεφτούν τις πόλεις. Το κόστος της λύσης είναι η συνολική απόσταση 32

33 33 που διανύεται από το σύνολο των πωλητών (όλοι πρέπει να ταξιδέψουν). Αυτή είναι η βασική περίπτωση όταν στην δρομολόγηση οχημάτων οχήματα, βρίσκονται σε ένα κοινό σταθμό και πρέπει να εξυπηρετήσουν πελάτες. Μπορούμε να μετασχηματίσουμε αυτό το πρόβλημα σε TSP χωρίζοντας την πόλη n+1 m σε πόλεις, n+1,, n+m. Οι ακμές (i, n+k) με 1 i n και 2 k m λαμβάνουν βάρος c(i, n+k)=c(i, n+1) και όλες οι ακμές τους συνδέουν τους κόμβους n+1,, n+m λαμβάνουν ένα μεγάλο βάρος Μ. 33