Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού"

Transcript

1 Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1

2 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης. Η γραφική επίλυση ενός προβλήματος ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού με δύο μεταβλητές είναι σχεδόν παρόμοια με τη γραφική επίλυση ενός απλού προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού και περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα: Αρχικά δημιουργείται η γραφική αναπαράσταση της περιοχής των εφικτών λύσεων για το χαλαρό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Κατόπιν οι εφικτές ακέραιες λύσεις σημειώνονται με έντονες κουκίδες. Στη συνέχεια προσδιορίζεται το σημείο με ακέραιες συντεταγμένες που βελτιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. 2

3 Παράδειγμα 6.1 Μία βιομηχανική επιχείρηση διαθέτει τρεις μηχανές που χρησιμοποιούνται για την ικανοποίηση της υπάρχουσας ζήτησης. Επειδή οι μηχανές έχουν κάποιο χρόνο που δεν χρησιμοποιούνται, υπάρχει η σκέψη για εισαγωγή δύο νέων προϊόντων. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το χρόνο επεξεργασίας σε ώρες που απαιτείται για κάθε ένα από τα δύο προϊόντα σε κάθε μια από τις τρεις μηχανές. Προϊόν 1 Προϊόν 2 Μηχανή Μηχανή Μηχανή Ο διαθέσιμος εβδομαδιαίος χρόνος είναι 4 ώρες για την πρώτη μηχανή, 10 για τη δεύτερη και 18 για την τρίτη. Εάν η φύση των δύο προϊόντων είναι τέτοια που μπορούν να πάρουν μόνο ακέραιες τιμές και το κέρδος είναι 3 ανά τεμάχιο για το πρώτο και 5 ανά τεμάχιο για το δεύτερο, να βρεθεί το βέλτιστο ύψος παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει τα κέρδη της επιχείρησης. 3

4 Λύση: Παράδειγμα 6.1 Ορίζουμε ακέραιες μεταβλητές απόφασης x i (i = 1,2), όπου x i = αριθμός προϊόντων i που θα παραχθούν. Με αυτά τα δεδομένα, το πρόβλημα μορφοποιείται ως εξής: Max 3x 1 + 5x 2 s.t. x 1 < 4 2x 2 < 10 3x 1 + 2x 2 < 18 2 x Z Για να λύσουμε το πρόβλημα αυτό με τη γραφική μέθοδο, χρησιμοποιούμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, όπου ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί στη μεταβλητή x 1 και ο κατακόρυφος άξονας στη μεταβλητή x 2. 4

5 Λύση: Παράδειγμα 6.1 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το σύνολο S των εφικτών λύσεων της γραμμικής χαλάρωσης του προβλήματος που είναι το convex hull των σημείων (0,0), (4,0), (0,5), x 1 και x 2. Το σημείο x 1 βρίσκεται ως το σημείο τομής των ευθειών 3x 1 + 2x 2 = 18 και x 2 = 5 και είναι το (8/3,5), ενώ το σημείο x 2 βρίσκεται ως το σημείο τομής των ευθειών 3x 1 + 2x 2 = 18 και x 1 = 4 και είναι το (4,3). Το σύνολο των εφικτών λύσεων του ακέραιου προβλήματος αποτελείται από όλα τα ακέραια σημεία που ανήκουν στο S, τα οποία απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα με μαύρες κουκκίδες. Η φορά του διανύσματος (3,5) μας υποδεικνύει την κατεύθυνση προς την οποία αυξάνεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Η βέλτιστη λύση του ακεραίου προβλήματος είναι (x 1, x 2 ) = (2,5) με τιμή για την αντικειμενική συνάρτηση ίση με 31. x 2 x 1 = 4 5 x 1 x 2 = 5 x 2 Z S 4 3x 1 + 2x 2 = 18 x 1 5

6 Η μέθοδος επίλυσης branch and bound Όπως και με τον γραμμικό προγραμματισμό, έτσι και με τον ακέραιο, η γραφική μέθοδος επίλυσης είναι ακατάλληλη για προβλήματα που περιέχουν τρεις ή περισσότερες μεταβλητές. Επομένως, παρουσιάζεται η ανάγκη ανάπτυξης άλλων μεθόδων επίλυσης. Η μέθοδος branch and bound αποτελεί τον πλέον αποτελεσματικό τρόπο επίλυσης για προβλήματα ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού. Η μέθοδος αυτή χωρίζει το σύνολο των επιτρεπτών λύσεων για ένα συγκεκριμένο πρόβλημα ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού σε μικρότερα υποσύνολα (διαχωρισμός). Κατόπιν, διαφορετικοί κανόνες χρησιμοποιούνται 1) για να προσδιορισθούν τα υποσύνολα εντός των οποίων είναι περισσότερο πιθανό να περιέχεται η βέλτιστη λύση και 2) για να προσδιορισθούν τα υποσύνολα που δεν χρειάζεται να διερευνηθούν επιπλέον διότι δεν περιέχουν πιθανώς την βέλτιστη λύση. Για πρόβλημα μεγιστοποίησης, ένα άνω φράγμα για τη τιμή της βέλτιστης λύσης σε κάθε υποσύνολο επιτυγχάνεται μέσω της λύσης ενός χαλαρού γραμμικού προβλήματος. Κάθε φορά που η λύση του χαλαρού γραμμικού προβλήματος οδηγεί σε μια ακέραια λύση, προσδιορίζεται η βέλτιστη λύση στο υποσύνολο και καθορίζεται ένα κάτω φράγμα για το αντίστοιχο υποσύνολο. Στην ενότητα αυτή θα δειχθεί πώς η μέθοδος branch and bound χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού μέσω της επίλυσης του ολικού ακέραιου προβλήματος της εταιρείας ΑΕΑ (παράδειγμα 3.4). 6

7 Η μέθοδος επίλυσης branch and bound Η Ιδιότητα 1 του Κεφαλαίου 5 δηλώνει ότι ένα άνω φράγμα της βέλτιστης τιμής οποιουδήποτε προβλήματος μεγιστοποίησης ακέραιου ή μεικτού ακέραιου προγραμματισμού μπορεί να βρεθεί λύνοντας το αντίστοιχο χαλαρό πρόβλημα. Η ιδιότητα αυτή επαληθεύεται και στο πρόβλημα του Παραδείγματος 3.4. Η βέλτιστη λύση του γραμμικού προβλήματος που δίνει την υψηλότερη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση είναι η (2.44, 3.26) με τιμή $. Η βέλτιστη λύση του ακέραιου γραμμικού προβλήματος είναι η (4,2) που αποδίδει χαμηλότερη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση, την τιμή $. Όπως θα επισημανθεί παρακάτω, η Ιδιότητα 1 χρησιμοποιείται εκτενέστατα στην διαδικασία επίλυσης διακλάδωσης και φράγματος (branch and bound) των ακέραιων προβλημάτων. Η μέθοδος branch and bound ξεκινά λύνοντας το αντίστοιχο χαλαρό πρόβλημα του ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού. Ξαναδιατυπώνουμε το χαλαρό γραμμικό πρόβλημα για την εταιρεία ΑΕΑ. Max 2x 1 + 3x 2 s.t. 195x x 2 < x x 2 <140 x 1 < 4 x 1, x 2 > 0 7

8 Η μέθοδος επίλυσης branch and bound Η λύση είναι x 1 = 2.44 και x 2 = 3.26 με τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ίση με Αν η λύση του χαλαρού προβλήματος ικανοποιούσε τις ακέραιες απαιτήσεις τότε αυτή θα ήταν βέλτιστη και για το ακέραιο πρόβλημα. Επειδή αυτό δεν συμβαίνει, συνεχίζουμε με τη μέθοδο branch and bound. Λόγω της Ιδιότητας 1 έχουμε ένα άνω φράγμα για τη βέλτιστη τιμή του ακέραιου γραμμικού προβλήματος. Δηλαδή γνωρίζουμε ότι η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του ακέραιου προβλήματος δεν μπορεί να υπερβεί την τιμή Λόγω του ότι οι συντελεστές όλων των μεταβλητών στους περιορισμούς είναι θετικοί και λόγω του ότι οι περιορισμοί είναι όλοι ανισώσεις του είδους < μια εφικτή λύση μπορεί να βρεθεί με τη στρογγυλοποίηση προς τα κάτω κάθε μεταβλητής απόφασης. Αυτό συμβαίνει επειδή στρογγυλοποιώντας προς τα κάτω ελαττώνουμε το αριστερό μέλος της ανισότητας, επομένως έχουμε μια επιτρεπτή λύση. Η επιτρεπτή λύση που προκύπτει από τη στρογγυλοποίηση προς τα κάτω είναι η x 1 = 2 και x 3 =3 και δίνει τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ίση με 13. Η τιμή αυτή της επιτρεπτής λύσης μας παρέχει ένα κάτω φράγμα για την τιμή της βέλτιστης λύσης του ακέραιου προβλήματος. Κι αυτό γιατί γνωρίζουμε ότι, για πρόβλημα μεγιστοποίησης, η βέλτιστη λύση πρέπει να δίνει μεγαλύτερες ή ίσες τιμές από κάθε επιτρεπτή. Επομένως, ένα κάτω φράγμα, το 13 καθορίζεται. Ο πρώτος κόμβος του δένδρου επίλυσης της μεθόδου branch and bound (Β&Β) εμφανίζεται. Το UB (upper bound) δηλώνει το άνω φράγμα και το LB (lower bound) δηλώνει το κάτω φράγμα στη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. 8

9 Η μέθοδος επίλυσης branch and bound Μέχρι αυτού του σημείου γνωρίζουμε ότι η τιμή της βέλτιστης λύσης βρίσκεται μεταξύ του άνω φράγματος (14.66) και του κάτω φράγματος (13). Αν και έχουμε βρει μια επιτρεπτή λύση πρέπει να συνεχίσουμε για να ελέγξουμε αν μια καλύτερη μπορεί να βρεθεί. Στο σημείο αυτό εμφανίζεται το τμήμα του διαχωρισμού (διακλάδωσης) της μεθόδου branch and bound. Το σύνολο των επιτρεπτών λύσεων του χαλαρού γραμμικού προβλήματος διαχωρίζεται σε δύο υποσύνολα. Αυτά τα υποσύνολα δημιουργούνται ως εξής: επιλέγοντας την x 1 (= 2.44) το τμήμα 2 < x 1 < 3 του χώρου των επιτρεπτών λύσεων δεν περιέχει ακέραιες τιμές για τη μεταβλητή x 1. Αυτό οδηγεί στη δημιουργία δύο υποσυνόλων. Στο υποσύνολο όπου η x 1 < 2 και στο υποσύνολο όπου η x 1 > 3. Επομένως, δύο κλάδοι και δύο θυγατρικοί κόμβοι δημιουργούνται για το δένδρο επίλυσης της Β&Β. Ο ένας θυγατρικός κόμβος αντιστοιχεί στο υποσύνολο με επιτρεπτές λύσεις όπου x 1 < 2. Ο άλλος κόμβος αντιστοιχεί στο υποσύνολο με επιτρεπτές λύσεις όπου x 1 > 3. Λόγω του ότι η x 1 επιβάλλεται να είναι ακέραια, η βέλτιστη λύση θα περιέχεται υποχρεωτικά σε ένα από αυτά τα δύο υποσύνολα. 9

10 Η μέθοδος επίλυσης branch and bound Ο πρώτος κλάδος δημιουργείται με την προσθήκη του περιορισμού x 1 < 2 στο αρχικό πρόβλημα. Αριθμούμε τον κόμβο αυτόν με το νούμερο 2. Έτσι στον κόμβο 2 το χαλαρό γραμμικό πρόβλημα που επιλύεται είναι το εξής: χαλαρό γραμμικό πρόβλημα στον κόμβο 2: Max 2x 1 + 3x 2 s.t. 195x x 2 < x x 2 <140 x 1 < 4 x 1 < 2 x 1, x 2 > 0 Σημειωτέον ότι ο προστεθείς περιορισμός (x 1 < 2) καθιστά τον περιορισμό x 1 < 4 περιττό. Αυτό είναι μια απλή σύμπτωση και δεν συμβαίνει πάντα. Η λύση σε αυτό το γραμμικό πρόβλημα είναι x 1 = 2 και x 2 = 3.30 και δίνει τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ίση με

11 Η μέθοδος επίλυσης branch and bound Ο δεύτερος κλάδος από τον κόμβο 1 δημιουργείται με τη προσθήκη του περιορισμού x 1 > 3 στο αρχικό πρόβλημα. Έτσι, στον κόμβο 3 επιλύεται το ακόλουθο χαλαρό γραμμικό πρόβλημα: χαλαρό γραμμικό πρόβλημα στον κόμβο 3: Max 2x 1 + 3x 2 s.t. 195x x 2 < x x 2 <140 x 1 < 4 x 1 > 3 x 1, x 2 > 0 Η λύση σε αυτό το γραμμικό πρόβλημα είναι x 1 = 3 και x 2 = 2.86 και δίνει τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ίση με

12 Η μέθοδος επίλυσης branch and bound Από την ιδιότητα 1 γνωρίζουμε ότι η τιμή του χαλαρού γραμμικού προβλήματος (ΧΓΠ) στον κόμβο 2 είναι ένα άνω φράγμα για όλες τις λύσεις που θα βρεθούν στο αντίστοιχο υποδέντρο που ξεκινά από αυτόν τον κόμβο και η τιμή του χαλαρού γραμμικού προβλήματος στον κόμβο 3 είναι ένα άνω φράγμα για όλες τις λύσεις που θα βρεθούν στο αντίστοιχο υποδέντρο που ξεκινά από αυτόν τον κόμβο. Εφ' όσον τα δύο αυτά υποσύνολα περιέχουν όλες τις λύσεις στο πρόβλημα ΑΕΑ μπορούμε να υπολογίσουμε ένα καινούργιο άνω φράγμα. Αυτό είναι το μέγιστο των τιμών των ΧΓΠ στους κόμβους 2 και 3 (= max{13.90, 14.58}). Επομένως, το νέο άνω φράγμα για τη τιμή της αντικειμενική συνάρτησης στο πρόβλημα ΑΕΑ είναι Εν γένει, το άνω φράγμα επανυπολογίζεται κάθε φορά που δύο νέοι θυγατρικοί κλάδοι από ένα κόμβο ολοκληρωθούν (λυθούν τα αντίστοιχα ΧΓΠ). Σε αυτή τη φάση το κάτω φράγμα επίσης επαναπροσδιορίζεται. Η νέα τιμή για το κάτω φράγμα είναι η μέγιστη τιμή από όλες τις επιτρεπτές ακέραιες λύσεις που έχουν βρεθεί μέχρι στιγμής. Λόγω του ότι τα ΧΓΠ στους κόμβους 2 και 3 δεν παρήγαγαν ακέραια λύση, το κατώτερο φράγμα (που είναι το 13 και έχει προσδιορισθεί στο κόμβο 1) δεν μεταβάλλεται. Σε αυτό το σημείο της Β&Β επίλυσης έχουμε UB = και LB =

13 Η μέθοδος επίλυσης branch and bound Έχουμε αντιληφθεί (στον κόμβο 2) ότι η τιμή είναι ένα άνω φράγμα για όλες τις λύσεις με x 1 < 2 και (στον κόμβο 3) ότι η τιμή είναι ένα άνω φράγμα για όλες τις λύσεις με x 1 > 3. Η ιδιότητα 2 δείχνει πως αυτά τα αποτελέσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη συνέχιση της διαδικασίας επίλυσης Β&Β. Ιδιότητα 2 Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για ένα ΧΓΠ σε κάθε κόμβο ενός προβλήματος μεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) αποτελεί άνω (κάτω) φράγμα για τα ΧΓΠ σε κάθε θυγατρικό κόμβο (κανένας κόμβος απόγονος δεν δίνει για το ΧΓΠ του τιμή αντικειμενικής συνάρτησης μεγαλύτερη (μικρότερη) από του προγονικού). Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 2 παρατηρούμε ότι στο υποδέντρο που ξεκινά από τον κόμβο 2 δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ακέραια λύση με αντικειμενική τιμή μεγαλύτερη του Ομοίως, στο υποδέντρο που ξεκινά από τον κόμβο 3 δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ακέραια λύση με αντικειμενική τιμή μεγαλύτερη του Επειδή ο κόμβος 3 μπορεί να οδηγήσει σε καλύτερες λύσεις επιλέγουμε τον κόμβο 3 (αντί του 2) για συνέχιση της διακλάδωσης. 13

14 Η μέθοδος επίλυσης branch and bound Επειδή η μεταβλητή x 2 είναι η μόνη μεταβλητή με κλασματική τιμή στον κόμβο 3 επιλέγουμε να διακλαδώσουμε πάνω σε αυτή. Έτσι, δύο κλάδοι σχηματίζονται στον κόμβο 3: ένας με x 2 < 2 και ένας με x 2 > 3. Δύο θυγατρικοί κόμβοι δημιουργούνται και επιλύονται τα αντίστοιχα ΧΓΠ στους κόμβους 4 και 5. Χαλαρό γραμμικό πρόβλημα στον κόμβο 4: Max 2x 1 + 3x 2 s.t. 195x x 2 < x x 2 <140 x 1 < 4 x 1 > 3 x 2 < 2 x 1, x 2 > 0 Χαλαρό γραμμικό πρόβλημα στον κόμβο 5: Max 2x 1 + 3x 2 s.t. 195x x 2 < x x 2 <140 x 1 < 4 x 1 > 3 x 2 > 3 x 1, x 2 > 0 14

15 Η μέθοδος επίλυσης branch and bound Σημειωτέον ότι λόγω του ότι διακλαδωνόμαστε από τον κλάδο 3 υπάρχει ήδη η απαίτηση x 1 > 3 και στα δύο ΧΓΠ. Μετά την επίλυση αυτών των γραμμικών προβλημάτων μπορούμε να σχεδιάσουμε το δένδρο της Β&Β διαδικασίας. Στον κόμβο 4 που αντιστοιχεί στον πρόσθετο περιορισμό x 2 < 2 βρίσκουμε μια επιτρεπτή ακέραια λύση. Στο κόμβο 5 όμως που αντιστοιχεί στον πρόσθετο περιορισμό x 2 > 3 παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει επιτρεπτή λύση. Μέχρι αυτού του σημείου έχουμε προσδιορίσει μια επιτρεπτή λύση (x 1 = 4, x 2 = 2) με τιμή αντικειμενικής συνάρτησης (βλέπε κόμβο 4). Έτσι το κατώτερο φράγμα αναθεωρείται και γίνεται LB = Από το άνω φράγμα UB = γνωρίζουμε ότι η τυχόν βέλτιστη λύση δεν θα δώσει τιμή μεγαλύτερη από 14,00. Επομένως, η λύση x 1 = 4, x 2 = 2 με τιμή αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί τη βέλτιστη λύση στο πρόβλημα της ΑΕΑ. Παραθέτουμε τώρα τον κανόνα τερματισμού για την Β&Β διαδικασία επίλυσης. Κριτήριο Τερματισμού Όταν UB = LΒ, η βέλτιστη λύση που έχει προσδιορισθεί είναι η επιτρεπτή λύση με τιμή αντικειμενικής συνάρτησης ίση με LΒ. 15

16 Τεχνικές προεπεξεργασίας Η προεπεξεργασία είναι μία προσέγγιση που περιλαμβάνει μια αρχική «επιθεώρηση» του προβλήματος με σκοπό να μορφοποιηθεί πάλι το εξεταζόμενο πρόβλημα έτσι ώστε να καταστεί πιο εύκολη η επίλυσή του, χωρίς όμως να εξαλειφθεί καμία από τις εφικτές λύσεις του. Στην πράξη, χρησιμοποιούνται οι εξής τεχνικές: 1. Ορισμός τιμών μεταβλητών 2. Απαλοιφή περιττών περιορισμών 3. Σύσφιξη περιορισμών. 16

17 Ορισμός τιμών μεταβλητών (fixing variables) Η τεχνική αυτή χρησιμοποιείται κυρίως στον δυαδικό ακέραιο προγραμματισμό, όπου οι μεταβλητές απόφασης παίρνουν τιμές 0-1. Μια γενική αρχή για τον ορισμό τιμών μεταβλητών είναι η ακόλουθη: Εάν η τιμή μιας μεταβλητής δεν μπορεί να ικανοποιήσει έναν περιορισμό, ακόμα και όταν όλες οι άλλες μεταβλητές παίρνουν τις πιο «βολικές» τιμές για να ικανοποιηθεί αυτός ο περιορισμός, τότε η μεταβλητή αυτή πρέπει να πάρει την άλλη δυνατή τιμή της. Για παράδειγμα, σε κάθε μία από τις επόμενες περιπτώσεις, θα μπορούσαμε να θέσουμε τη μεταβλητή x 1 ίση με 0, αφού ο περιορισμός δεν μπορεί να ικανοποιηθεί αλλιώς, ακόμα και όταν όλες οι μεταβλητές παίρνουν τις πιο βολικές τιμές τους: 3x 1 < 2 => x 1 = 0, αφού 3(1) > 2, 3x 1 + x 2 < 2 => x 1 = 0, αφού 3(1) + 1(0) > 2, 5x 1 + x 2-2x 3 < 2 => x 1 = 0, αφού 3(1) + 1(0) -2(1) > 2. 17

18 Ορισμός τιμών μεταβλητών (fixing variables) Για έναν περιορισμό τύπου <, η γενική διαδικασία είναι η εξής: 1. Αναγνώρισε τη μεταβλητή με το μεγαλύτερο θετικό συντελεστή 2. Υπολόγισε το άθροισμα αυτού του συντελεστή και όλων των αρνητικών συντελεστών 3. Αν αυτό το άθροισμα ξεπερνά το δεξί μέλος του περιορισμού, τότε η τιμή της αντίστοιχης μεταβλητής απόφασης πρέπει να οριστεί σε Επανέλαβε για τη μεταβλητή απόφασης με τον αμέσως μεγαλύτερο συντελεστή. Η τεχνική σταματάει όταν βρεθεί η πρώτη μεταβλητή απόφασης για την οποία η τιμή δεν μπορεί να οριστεί. 18

19 Ορισμός τιμών μεταβλητών (fixing variables) Παρόμοια διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί και για περιορισμούς τύπου > : 3x 1 > 2 => x 1 = 1, αφού 3(0) < 2, 3x 1 + x 2 > 2 => x 1 = 1, αφού 3(0) + 1(1) < 2, 3x 1 + x 2-2x 3 > 2 => x 1 = 1, αφού 3(0) + 1(1) -2(0) < 2. Επίσης, σε έναν περιορισμό τύπου > μπορεί η τιμή μιας μεταβλητής να οριστεί σε 0, όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα: x 1 + x 2-2x 3 > 1 => x 3 = 0, αφού 1(1) + 1(1) -2(1) < 2. Στο επόμενο παράδειγμα, η τιμή μιας μεταβλητής σε έναν περιορισμό τύπου > ορίζεται σε 1 και η τιμή μιας άλλης σε 0: 3x 1 + x 2-3x 3 > 2 => x 1 = 1, αφού 3(0) + 1(1) -3(0) < 2 και => x 3 = 0, αφού 3(1) + 1(1) -3(1) < 2. Όμοια, στο επόμενο παράδειγμα, η τιμή μιας μεταβλητής σε έναν περιορισμό τύπου < με αρνητικό δεξί μέλος ορίζεται σε 0 και η τιμή μιας άλλης σε 1: 3x 1-2x 2 < -1 => x 1 = 0, αφού 3(1) - 2(1) > -1 και => x 2 = 1, αφού 3(0) - 2(0) >

20 Ορισμός τιμών μεταβλητών (fixing variables) Ο ορισμός της τιμής μιας μεταβλητής σε έναν περιορισμό, μπορεί μερικές φορές να οδηγήσει μερικές φορές σε μια αλυσιδωτή διαδικασία με τον ορισμό των τιμών μεταβλητών σε άλλους περιορισμούς, όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα: 3x 1 + x 2-2x 3 > 2 => x 1 = 1 (όπως παραπάνω), στη συνέχεια x 1 + x 4 + x 5 < 1 => x 4 = 0, x 5 = 0, και τέλος -x 5 + x 6 < 0 => x 6 = 0. Σε κάποιες περιπτώσεις, είναι δυνατόν να συνδυαστούν δύο ή περισσότεροι περιορισμοί για τον ορισμό της τιμής μιας μεταβλητής, όπως φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα: 8x 1-4x 2-5x 3 + 3x 4 < 2 => x 1 = 0, x 2 + x 3 < 1 αφού 8(1) max{4,5}(1) + 3(0) > 2. Φυσικά, εκτός από τις σχετικά απλές τεχνικές που παρουσιάζονται εδώ, υπάρχουν πολλές πιο εξειδικευμένες τεχνικές αλλά αυτές είναι πέρα από το σκοπό του παρόντος συγγράμματος. 20

21 Απαλοιφή περιττών περιορισμών Ένας απλός τρόπος για την ανίχνευση ενός περιττού περιορισμού είναι ο ακόλουθος: Εάν για οποιοδήποτε συνδυασμό των τιμών των μεταβλητών ενός περιορισμού, ο περιορισμός αυτός δεν μπορεί να παραβιαστεί, τότε είναι περιττός και πρέπει να απαλειφεί. Για παράδειγμα, οι ακόλουθοι περιορισμοί είναι περιττοί αφού δεν υπάρχουν συνδυασμοί τιμών των μεταβλητών απόφασης που να τους παραβιάζουν: 3x + 2y < 5 3x - 2y < 3 3x - 2y >

22 Σύσφιξη περιορισμών (tightening constraints) Έστω το ακόλουθο πρόβλημα: Max Z = 3x 1 + 2x 2 s.t. 2x 1 + 3x 2 < 4 x 1, x 2 δυαδικές Αυτό το ακέραιο δυαδικό πρόβλημα έχει τρεις εφικτές λύσεις (0,0), (1,0) και (0,1), ενώ η βέλτιστη λύση είναι (1,0) με Ζ * = 3. Η βέλτιστη λύση για τη γραμμική χαλάρωση του προβλήματος αυτού φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: x Βέλτιστη λύση για τη γραμμική χαλάρωση 0 1 Βέλτιστη λύση για το ακέραιο πρόβλημα x 1 22

23 Σύσφιξη περιορισμών (tightening constraints) Η βέλτιστη λύση για τη γραμμική χαλάρωση είναι (1, 2/3) με Ζ * = 13/3, που απέχει αρκετά από τη βέλτιστη λύση του ακέραιου προβλήματος. Ένας αλγόριθμος branch and bound θα χρειαζότανε αρκετή δουλειά για να καταλήξει στη βέλτιστη ακέραια λύση. Έστω ότι ο περιορισμός 2x 1 + 3x 2 < 4 αντικαθίσταται από τον περιορισμό x 1 + x 2 < 1. Παρατηρούμε ότι οι εφικτές λύσεις για το ακέραιο πρόβλημα παραμένουν οι ίδιες (0,0), (1,0) και (0,1), επομένως η βέλτιστη λύση είναι ακόμα (1,0). Όμως, η εφικτή περιοχή για τη γραμμική χαλάρωση έχει μειωθεί σημαντικά, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα: x Βέλτιστη λύση και για τη γραμμική χαλάρωση και για το ακέραιο πρόβλημα 0 1 x 1 23

24 Σύσφιξη περιορισμών (tightening constraints) Η μείωση στην εφικτή περιοχή είναι τέτοια που η βέλτιστη λύση του ακέραιου προβλήματος συμπίπτει με αυτήν της γραμμικής χαλάρωσης, επομένως δε χρειάζεται επιπρόσθετη δουλειά για να βρεθεί. Το παραπάνω είναι ένα παράδειγμα, σύσφιξης ενός περιορισμού με τρόπο που μειώνεται η εφικτή περιοχή για τη γραμμική χαλάρωση (επομένως εξαλείφονται εφικτές λύσεις του ίδιου προβλήματος), χωρίς να μειώνεται το σύνολο των λύσεων του ακέραιου προβλήματος. Φυσικά, για το συγκεκριμένο μικρό και εύκολο πρόβλημα η διαδικασία ήταν απλή. Σε μεγάλα προβλήματα όμως κάτι αντίστοιχο είναι πολύ πιο δύσκολο να γίνει. Η παρακάτω διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σύσφιξη περιορισμών του τύπου < με οποιοδήποτε αριθμό μεταβλητών: 24

25 Σύσφιξη περιορισμών (tightening constraints) Διαδικασία σύσφιξης ενός περιορισμού τύπου < : Έστω a 1 x 1 + a 2 x a n x n < b ο περιορισμός. 1. Υπολόγισε S = άθροισμα όλων των θετικών a j. 2. Βρες ένα οποιοδήποτε α j τέτοιο ώστε S < b + a j. a. Αν δεν υπάρχει, σταμάτησε, ο περιορισμός δεν μπορεί να συσφιχθεί περισσότερο. b. Αν a j > 0, πήγαινε στο βήμα 3. c. Αν a j < 0, πήγαινε στο βήμα Υπολόγισε a j = S b και b = S a j. Θέσε a j = a j και b = b. Πήγαινε στο βήμα Θέσε a j = b S. Πήγαινε στο βήμα 1. 25

26 Σύσφιξη περιορισμών (tightening constraints) Η διαδικασία αυτή εφαρμόζεται στο παραπάνω παράδειγμα ως εξής: Ο περιορισμός είναι 2x 1 + 3x 2 < 4 (a 1 = 2, a 2 = 3, b = 4). 1. S = = 5 2. Ο συντελεστής a 1 ικανοποιεί S < b + a 1, αφού 5 < a 1 = 5 4 = 1 και b = 5 2 = 3. Θέτουμε a 1 = 1 και b = 3. Ο νέος περιορισμός είναι x 1 + 3x 2 < 3 (a 1 = 1, a 2 = 3, b = 3). 1. S = = 4 2. Ο συντελεστής a 2 ικανοποιεί S < b + a 1, αφού 4 < a 2 = 4 3 = 1 καιb = 4 3 = 1. Θέτουμε a 2 = 1 και b = 1. Ο νέος περιορισμός είναι x 1 + x 2 < 1 (a 1 = 1, a 2 = 1, b = 1). 1. S = = 2 Δεν υπάρχει συντελεστής που να ικανοποιεί τη συνθήκη, επομένως η διαδικασία σύσφιξης έχει ολοκληρωθεί. Ο τελικός περιορισμός είναι x 1 + x 2 < 1. 26

27 Σύσφιξη περιορισμών (tightening constraints) Εάν την πρώτη φορά εφαρμογής της διαδικασίας είχε επιλεγεί ο συντελεστής a 2 αντί για το συντελεστή a 1, τότε ο τελικός περιορισμός θα ήταν και πάλι ο ίδιος (δοκιμάστε το και μόνοι σας αν θέλετε). Στο ακόλουθο παράδειγμα, ο αρχικός περιορισμός μετατρέπεται διαδοχικά σε δύο νέους περιορισμούς: 4x 1-3x 2 + x 3 + 2x 4 < 5 => 2x 1-3x 2 + x 3 + 2x 4 < 3 => 2x 1-2x 2 + x 3 + 2x 4 < 3. Ένας περιορισμός του τύπου > μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε περιορισμό τύπου < πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με -1 και στη συνέχεια να εφαρμοστεί η παραπάνω διαδικασία. 27

28 Επίπεδες Τομές (Cutting Planes) Μία επίπεδη τομή για ένα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι ένας νέος λειτουργικός περιορισμός που μειώνει την περιοχή εφικτών λύσεων της γραμμικής χαλάρωσης του προβλήματος, χωρίς να αφαιρεί καμία από τις λύσεις του αρχικού ακέραιου προβλήματος. Το παράδειγμα της προηγούμενης ενότητας παρουσιάζει μία περίπτωση εφαρμογής μιας επίπεδης τομής. Έτσι, ο περιορισμός x 1 + x 2 < 1 είναι μια επίπεδη τομή για το αρχικό ακέραιο πρόβλημα, αφού μειώνει την περιοχή εφικτών λύσεων της γραμμικής χαλάρωσης, χωρίς να αφαιρεί καμία από τις λύσεις του αρχικού. Πολλές επιπλέον τεχνικές έχουν επινοηθεί για τη δημιουργία επίπεδων τομών με σκοπό την επιτάχυνση της διαδικασίας branch and bound για την εύρεση της βέλτιστης λύσης. Έστω το παρακάτω πρόβλημα: Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 s.t. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 < 10 x 3 + x 4 < 1 -x 1 + x 3 < 0 -x 2 + x 4 < 0 x i, δυαδική για i = 1,,4 28

29 Επίπεδες Τομές (Cutting Planes) Η βέλτιστη λύση για τη γραμμική χαλάρωση του προβλήματος αυτού είναι (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (0.83, 1, 0, 1). Ένας από τους λειτουργικούς περιορισμούς είναι 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 < 10. Οι περιορισμοί δυαδικότητας μαζί με τον περιορισμό αυτό υποδηλώνουν ότι x 1 + x 2 + x 4 < 2. Αυτός ο νέος περιορισμός είναι μία επίπεδη τομή. Απαλείφει κάποιες εφικτές λύσεις της γραμμικής χαλάρωσης του προβλήματος και ανάμεσά τους και τη βέλτιστη λύση. Δεν απαλείφει όμως καμία από τις εφικτές λύσεις του ακέραιου προβλήματος. Προσθήκη αυτού του περιορισμού στο αρχικό μοντέλο θα βελτίωνε την απόδοση του branch and bound αλγόριθμου για το ακέραιο πρόβλημα και θα επιτάχυνε σημαντικά την εύρεση της βέλτιστης λύσης. 29

30 Επίπεδες Τομές (Cutting Planes) Η γενική διαδικασία για τη δημιουργία και προσθήκη τέτοιων επίπεδων τομών είναι η ακόλουθη: 1. Επέλεξε έναν οποιοδήποτε λειτουργικό περιορισμό του τύπου < που έχει μόνο μη αρνητικούς συντελεστές. 2. Βρες ένα σύνολο μεταβλητών (το οποίο ονομάζεται ελάχιστη κάλυψη ή minimum cover του περιορισμού) τέτοιο ώστε: a. Ο περιορισμός παραβιάζεται αν όλες οι μεταβλητές του συνόλου πάρουν την τιμή 1 και όλες οι άλλες μεταβλητές την τιμή 0. b. Ο περιορισμός ικανοποιείται αν οποιαδήποτε από αυτές τις μεταβλητές πάρει την τιμή 0 αντί για την τιμή Έστω Ν ο αριθμός των μεταβλητών του συνόλου. Τότε η επίπεδη τομή που προκύπτει είναι: Άθροισμα των μεταβλητών του συνόλου < Ν-1. 30

31 Επίπεδες Τομές (Cutting Planes) Εφαρμόζοντας αυτή τη διαδικασία στον περιορισμό 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 < 10, βλέπουμε ότι το σύνολο των μεταβλητών (x 1, x 2, x 4 ) είναι μία ελάχιστη κάλυψη επειδή: a. (1, 1, 0, 1) παραβιάζει τον περιορισμό. b. Ο περιορισμός ικανοποιείται αν οποιαδήποτε από αυτές τις τρεις μεταβλητές πάρει την τιμή 0 αντί για την τιμή 1. Αφού Ν = 3 σε αυτή την περίπτωση, η επίπεδη τομή που προκύπτει είναι x 1 + x 2 + x 4 < 2. Ο ίδιος περιορισμός έχει κι άλλη ελάχιστη κάλυψη, την (x 1, x 3 ), αφού η λύση (1, 0, 1, 0) παραβιάζει τον περιορισμό αλλά οι λύσεις (0, 0, 1, 0) και (1, 0, 0, 0) ικανοποιούν τον περιορισμό. Γι αυτό, μία άλλη επίπεδη τομή είναι x 1 + x 3 < 1. 31

32 Επίπεδες Τομές (Cutting Planes) Η νέα αλγοριθμική τεχνική που παρουσιάζεται από τους Bixby et al. (1999), Crowder et al. (1983), Hoffman και Padberg (1991), Johnson et al. (1985) και Van Roy and Wolsey (1987) προτείνει τη δημιουργία και προσθήκη πολλών ελάχιστων καλύψεων αρχικά με παρόμοιο τρόπο και μετά την εφαρμογή έξυπνων μεθόδων διακλάδωσης και φραγμού. Η βελτίωση από την επίδραση των επίπεδων τομών μπορεί να είναι πολύ μεγάλη για το σφίξιμο των γραμμικών χαλαρώσεων. Για παράδειγμα, σε ένα πρόβλημα με 2756 δυαδικές μεταβλητές που παρουσιάζεται από τους Crowder et al. (1983), δημιουργήθηκαν 326 επίπεδες τομές. Το αποτέλεσμα είναι ότι το άλμα ανάμεσα στη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης της γραμμικής χαλάρωσης και αυτήν του αρχικού προβλήματος μειώθηκε κατά 98%. Παρόμοια αποτελέσματα εξήχθησαν σχεδόν για τα μισά από τα προβλήματα που παρουσιάζονται στην ίδια εργασία. 32

33 Επίπεδες Τομές (Cutting Planes) Οι πολύ αρχικοί αλγόριθμοι που προτάθηκαν για τον ακέραιο προγραμματισμό, ανάμεσά τους και ο αλγόριθμος του Gomory, που προτάθηκε το 1958 βασίζονταν στη δημιουργία (με διαφορετικούς τρόπους) επίπεδων τιμών αλλά αυτή η τεχνική αποδείχθηκε μη ικανοποιητική στην πράξη (εκτός από ειδικές περιπτώσεις). Ο κύριος λόγος ήταν ότι αυτές οι τεχνικές βασίζονταν αποκλειστικά σε επίπεδες τομές. Σήμερα γνωρίζουμε ότι ο έξυπνος συνδυασμός επίπεδων τομών και διακλάδωσης και φραγμού (μαζί με τεχνικές προεπεξεργασίας) παρέχει μία πολύ ισχυρή αλγοριθμική προσέγγιση για την επίλυση μεγάλων προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού. Αυτός είναι ο λόγος που ο όρος branch and cut (διακλάδωση και τομή) χρησιμοποιείται για τέτοιες μεθόδους. 33

34 Επίπεδες Τομές (Cutting Planes) Παράδειγμα 6.5 Δίνεται το παρακάτω πρόβλημα δυαδικού ακέραιου προγραμματισμού: Max Ζ = 2x 1 + 3x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 + 2x 6 + 2x 7 + x 8 + 3x 9 s.t. 3x 2 + x 4 + x 5 > 3 (1) x 1 + x 2 < 1 (2) x 2 + x 4 - x 5 - x 6 < -1 (3) x 2 + 2x 6 + 3x 7 + x 8 + 2x 9 > 4 (4) -x 3 + 2x 5 + x 6 + 2x 7-2x 8 + x 9 < 5 (5) όλες οι μεταβλητές x i δυαδικές Χρησιμοποιείστε μεθόδους προεπεξεργασίας (preprocessing) για να απλοποιήσετε όσο γίνεται τη μορφοποίηση αυτή (καθορισμός τιμών μεταβλητών, απαλοιφή περιττών περιορισμών, σύσφιξη περιορισμών κτλ.). Στη συνέχεια βρείτε τη βέλτιστη λύση με επιθεώρηση ( με το μάτι ). 34

35 Επίπεδες Τομές (Cutting Planes) Λύση Από (1) x 2 = 1 και ο περιορισμός γίνεται περιττός Από (2) x 1 = 0 Από (3) x 4 = 0, x 5 = x 6 = 1 Ακολουθώντας τη διαδικασία σύσφιξης περιορισμών η (4) γίνεται x 7 + x 8 + x 9 > 1 Ακολουθώντας τη διαδικασία σύσφιξης περιορισμών η (5) γίνεται x 3 + x 7 x 8 + x 9 < 1 Τώρα, το πρόβλημα γίνεται: Max x 3 +2x 7 + x 8 + 3x 9 s.t. x 7 + x 8 + x 9 > 1 x 3 + x 7 x 8 + x 9 < 1 όλες οι μεταβλητές δυαδικές Αφού μεγιστοποιούμε και όλοι οι συντελεστές στην αντικειμενική συνάρτηση είναι θετικοί, δοκιμάζουμε τη λύση x 3 = x 7 = x 8 = x 9 = 1 Η λύση αυτή ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς άρα είναι και η βέλτιστη. 35

36 Επίπεδες Τομές (Cutting Planes) Παράδειγμα 6.6 Έστω ένα πρόβλημα δυαδικού ακέραιου προγραμματισμού με τους ακόλουθους περιορισμούς: 3x 3 x 5 + x 7 < 1 x 2 + x 4 + x 6 < 1 x 1 2x 5 + 2x 6 > 2 x 1 + x 2 - x 4 < 0 όλες οι μεταβλητές 0 ή 1 Ορίστε τις τιμές όσων περισσότερων μεταβλητών μπορείτε και αναγνωρίστε τους περιορισμούς που γίνονται περιττοί. Λύση Από x 1 2x 5 + 2x 6 > 2 x 6 = 1, οπότε x 1 2x 5 > 0 x 5 = 0, οπότε x 1 > 0 περιττός Από 3x 3 x 5 + x 7 < 1 3x 3 + x 7 < 1 x 3 = 0, οπότε x 7 < 1 περιττός Από x 2 + x 4 + x 6 < 1 x 2 + x 4 < 0 x 2 = x 4 = 0 Από x 1 + x 2 - x 4 < 0 x 1 = 0. 36

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

max 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0.

max 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0. Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 11 Επίλυση στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 6 Μαΐου 2016 Η μέθοδος κλάδος-φράγμα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Υπολογιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης και Σχεδιασμού Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο Πρόβλημα ο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 5 o Φροντιστήριο Δίνεται το παρακάτω σύνολο εκπαίδευσης: # Είσοδος Κατηγορία 0 0 0 Α 2 0 0 Α 0 Β 4 0 0 Α 5 0 Β 6 0 0 Α 7 0 Β 8 Β α) Στον παρακάτω κύβο τοποθετείστε τα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕΡΟΣ III ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 45 ΜΕΙΚΤΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η γενική μορφή των προβλημάτων μικτού ακέραιου προγραμματισμού είναι: mn, (, ) h g (, ) (, ) R n = {,} q Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ. 1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας»

Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Άσκηση 1. Έστω ότι μια επιχείρηση αντιμετωπίζει ετήσια ζήτηση = 00 μονάδων για ένα συγκεκριμένο προϊόν, σταθερό κόστος παραγγελίας

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ [5 μονάδες (6+6+6+7)] www.onlineclassroom.gr Δίνεται η ακόλουθη συνάρτηση των οριακών εσόδων MR μιας μονοπωλιακής επιχείρησης: MR() = 100 + 16 όπου είναι η ποσότητα παραγωγής του προϊόντος. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΔΕΟ 13 ΚΟΣΤΗ TC = FC + VC ή TC = AC* SOS TC ATC = Το μέσο κόστος ισούται με το

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

Βελτιστοποίηση κατανομής πόρων συντήρησης οδοστρωμάτων Πανεπιστήμιο Πατρών - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών

Βελτιστοποίηση κατανομής πόρων συντήρησης οδοστρωμάτων Πανεπιστήμιο Πατρών - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Βελτιστοποίηση κατανομής πόρων συντήρησης οδοστρωμάτων Πανεπιστήμιο Πατρών - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πάτρα 17 - Μαΐου - 2017 Παναγιώτης Τσίκας Σκοπός του προβλήματος Σκοπός του προβλήματος,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα