Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Πρόβλημα Μεταφοράς"

Transcript

1 Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με ειδική δομή. Για την επίλυσή του έχουν αναπτυχθεί αποτελεσματικές τεχνικές (παραλλαγές της μεθόδου Simplex). Το πρόβλημα ήταν γνωστό από το 1941 (Hitchcock, 1941) και ως π.γ.π. θεμελιώθηκε και λύθηκε από τον Dantzig το Ως ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς μπορούν να θεωρηθούν μια μεγάλη σειρά πρακτικών προβλημάτων, που δεν αναφέρονται στις μεταφορές, και για το λόγο αυτό η μέθοδος επίλυσής του είναι ένα σπουδαίο εργαλείο για την εν γένει Επιχειρησιακή Έρευνα. Ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων δικτυωτής ανάλυσης. 1

2 Παράδειγμα 1 Κάποιος γεωργικός συνεταιρισμός της Κρήτης έχει στις τρεις αποθήκες του 35, 5 και 4 τόνους πορτοκαλιών. Τέσσερις λαχαναγορές της χώρας θέλουν να αγοράσουν 45, 2, 3 και 3 τόνους πορτοκαλιών αντίστοιχα. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται το κόστος μεταφοράς (χ.μ. ανά τόνο) από τις τρεις αποθήκες Α 1, Α 2, Α 3 στις τέσσερις λαχαναγορές Λ 1, Λ 2, Λ 3, Λ 4 : Από Προς Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ 4 ΠΡΟΣΦΟΡΑ Α Α Α ΖΗΤΗΣΗ Το πρόβλημα είναι τώρα να προσδιορίσουμε πως θα γίνει η μεταφορά από τις αποθήκες στις λαχαναγορές έτσι ώστε το συνολικό κόστος μεταφοράς να είναι ελάχιστο. 2

3 Το παραπάνω πρόβλημα εύκολα μπορούμε να το γενικεύσουμε. Σε m σταθμούς προέλευσης S 1, S 2,..., S m υπάρχει ένα προϊόν σε ποσότητες s 1, s 2,..., s m αντίστοιχα. Το προϊόν πρέπει να μεταφερθεί σε n σταθμούς προορισμού D 1, D 2,..., D n, που έχουν ανάγκη από d 1, d 2,..., d n ποσότητες αντίστοιχα. Αν το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας του προϊόντος από τον S i σταθμό προέλευσης στον D j σταθμό προορισμού είναι c ij χρηματικές μονάδες, επιζητούμε να προσδιορίσουμε την ποσότητα x ij που πρέπει μεταφέρεται ανάμεσα σ αυτές τις θέσεις ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος μεταφοράς και συγχρόνως να ικανοποιούνται οι ανάγκες όλων των σταθμών προορισμού. με τους περιορισμούς minimize z= c x m i= 1 n j= 1 ij ij n j= 1 x ij s i i = 1,2,..., m (προσφορά) m i= 1 x ij d j j = 1,2,..., n (ζήτηση) x ij για όλα τα i, j 3

4 Το πρόβλημα μεταφοράς είναι πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης Πίνακας προβλήματος μεταφοράς (παρουσιάζει με εύχρηστο τρόπο τα στοιχεία του προβλήματος και ταυτόχρονα διευκολύνει τις πράξεις της μεθόδου επίλυσης) 4

5 Δίκτυο και πίνακας προβλήματος μεταφοράς για το παράδειγμα 1 5

6 Αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη λύσης στο πρόβλημα μεταφοράς είναι το σύνολο των διαθέσιμων ποσοτήτων να ισούται με το σύνολο των απαιτούμενων: m i= 1 (ισορροπημένο πρόβλημα μεταφοράς) s i = n j= 1 d j Στην περίπτωση αυτή, όλοι οι περιορισμοί είναι ισότητες: με τους περιορισμούς m i= 1 n j= 1 x ij minimize z= c x x ij = d = s j i m i= 1 n j= 1 i = 1,2,..., m (προσφορά) j = 1,2,..., n (ζήτηση) x ij για όλα τα i, j ij ij Κάθε βασική εφικτή λύση του πρότυπου μεταφοράς (ισορροπημένο πρόβλημα), έχει ακριβώς m+n-1 βασικές μεταβλητές, δηλαδή το πολύ m+n-1 μεταβλητές x ij είναι θετικές, ενώ οι υπόλοιπες έχουν τιμή. Μη εκφυλισμένη λύση: ακριβώς m+n-1 θετικές μεταβλητές. Εκφυλισμένη λύση: οι θετικές μεταβλητές είναι λιγότερες από m+n-1. 6

7 Ανάπτυξη του συστήματος των περιορισμών: Όλοι οι συντελεστές των μεταβλητών x ij στους περιορισμούς είναι ή 1, ενώ κάθε μία από αυτές εμφανίζεται με συντελεστή 1 σε δύο ακριβώς από τους περιορισμούς, σ αυτόν που αντιστοιχεί στον σταθμό παραγωγής S i και σ εκείνον που αντιστοιχεί στον σταθμό προορισμού D j. Κάθε π.γ.π. που προσαρμόζεται σ αυτή την ειδική διαμόρφωση είναι πρόβλημα μεταφοράς, άσχετα από το φυσικό του πλαίσιο. 7

8 Ιδιόμορφες καταστάσεις Αν η προσφορά είναι μεγαλύτερη από τη ζήτηση, αν δηλαδή m s n i i= 1 j= 1 τότε εισάγουμε έναν εικονικό σταθμό προορισμού D n+1 ο οποίος απαιτεί ποσότητα ίση με d d = s d n+ 1 m i i= 1 j= 1 Το κόστος μεταφοράς c in+1 (i=1, 2,..., m) εξαρτάται από το συγκεκριμένο κάθε φορά πρόβλημα. Αν π.χ. οι επιπλέον ποσότητες μπορούν να παραμείνουν στους αντίστοιχους σταθμούς προέλευσης χωρίς επιπλέον κόστος τότε c in+1 = Αν όμως υπάρχουν αποθήκευτρα, τότε c in+1 είναι ακριβώς αυτά τα ποσά. j n j Αν η προσφορά είναι μικρότερη από τη ζήτηση, αν δηλαδή m s n i i= 1 j= 1 τότε εισάγουμε έναν εικονικό σταθμό προέλευσης S m+1 ο οποίος παράγει ποσότητα ίση με d s = d s m+ 1 n j j= 1 i= 1 Το υποθετικό κόστος μεταφοράς c m+1j εξαρτάται πάλι από το συγκεκριμένο κάθε φορά πρόβλημα. Για παράδειγμα c m+1j μπορεί να είναι η αποζημίωση που δίνεται στο σταθμό προορισμού D j για τη μη αποστολή μιας από τις d j μονάδες του προϊόντος που ζητήθηκαν αρχικά. j m i 8

9 Στις πιο πολλές εφαρμογές οι διαθέσιμες και απαιτούμενες ποσότητες s i και d j έχουν ακέραιες τιμές πράγμα που σημαίνει ότι και οι ποσότητες που μεταφέρονται (τα x ij δηλαδή) πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί. Ευτυχώς, η δομή του προτύπου είναι τέτοια που αν το πρόβλημα έχει κάποια εφικτή λύση θα έχει και βέλτιστη ακέραια λύση. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι οι συντελεστές των μεταβλητών στους περιορισμούς είναι ίσοι με 1 ή. Αν δεν υπάρχει μέσο μεταφοράς από ένα σταθμό παραγωγής S i στον D j σταθμό προορισμού, για να φέρουμε το πρόβλημα στη μορφή επίλυσής του υποθέτουμε ότι υπάρχει μεν μέσο μεταφοράς αλλά το αντίστοιχο κόστος c ij είναι Μ, όπου Μ αυθαίρετα μεγάλος θετικός αριθμός. Αφού ζητάμε το ελάχιστο κόστος, αν στην άριστη λύση του προβλήματος είναι x ij >, τότε το πρόβλημα δεν έχει στην πραγματικότητα εφικτές λύσεις. Υπάρχουν προβλήματα μεταφοράς στα οποία ενδιαφερόμαστε να βρούμε τη λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Αφού max i j c ij x ij ( cij ) x, = min ij i j σε μια τέτοια περίπτωση, εφαρμόζουμε τη διαδικασία με κόστος c = c. ij ij Το πρότυπο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα μεταφοράς μπορεί να χειριστεί και τις περιπτώσεις στις οποίες υπάρχουν για κάποια διαδρομή είτε περιορισμοί χωρητικότητας του μεταφερόμενου υλικού, είτε περιορισμοί ελάχιστου υποχρεωτικού φορτίου x M. ij ij x L ij ij 9

10 Διαδικασία επίλυσης του προβλήματος μεταφοράς 1ο Βήμα: Εντοπισμός μια αρχικής βασικής εφικτής λύσης 2ο Βήμα: Πρόκειται για την άριστη λύση; ΕΑΝ ΝΑΙ, τέλος ΕΑΝ ΟΧΙ, πήγαινε στο 3ο Βήμα 3ο Βήμα: Εντοπισμός μιας καλύτερης λύσης. Πήγαινε στο 2ο Βήμα. 1

11 Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης Όπως και στο γενικό γραμμικό πρότυπο έτσι και στο πρόβλημα μεταφοράς το πρώτο βήμα στην εύρεση της βέλτιστης λύσης του είναι η ύπαρξη μιας αρχικής μη εκφυλισμένης βασικής εφικτής λύσης. Λόγω της ειδικής μορφής του συστήματος των περιορισμών του προβλήματος έχουν προταθεί αρκετές απλές σχετικά τεχνικές για την εύρεση μιας βασικής εφικτής λύσης του. Η μέθοδος Vogel αν και υπολογιστικά επίπονη, δίνει μια αρχική βασική εφικτή λύση που (συνήθως) χρειάζεται έναν μικρό αριθμό βελτιώσεων/επαναλήψεων για να καταλήξει στην άριστη. Η κεντρική ιδέα της μεθόδου είναι να επιβάλλεται μια ποινή όταν δεν χρησιμοποιούμε το δρομολόγιο με το μικρότερο κόστος. Για να την υπολογίσουμε προσθέτουμε στο tableau του προβλήματος μεταφοράς μια ακόμη στήλη και μία γραμμή. Σ αυτές γράφουμε τη διαφορά των δύο πιο μικρών στοιχείων κόστους της κάθε στήλης και γραμμής του tableau. Προσδιορίζουμε στη συνέχεια τη μεγαλύτερη διαφορά που υπάρχει (για γραμμές και στήλες). Στο κελί της συγκεκριμένης στήλης ή γραμμής με το μικρότερο κόστος μεταφοράς εκχωρούμε όσες δυνατό περισσότερες μονάδες προϊόντος επιτρέπεται από την αντίστοιχη προσφορά και ζήτηση : x ij = min{s i, d j } Αν ικανοποιείται σταθμός προέλευσης, τότε το d j θα πρέπει να μειωθεί κατά s i. Αν ικανοποιείται σταθμός προορισμού, τότε το s i πρέπει να μειωθεί κατά d j. Το σταθμό που ικανοποιήσαμε δεν τον παίρνουμε υπόψη στη συνέχεια που επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία. 11

12 x 11 x 21 x x 12 x 22 x x 13 x 23 x x 14 x 24 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 4 και στην αντίστοιχη γραμμή το μικρότερο κόστος είναι το c 34 =5. Επομένως θέτουμε x 34 = min(4, 3) = 3. Τότε x 14 = x 24 = Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχηματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τέταρτη στήλη: x 11 x 21 x x 12 x 22 x x 13 x 23 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 5 και στην αντίστοιχη γραμμή το μικρότερο κόστος είναι το c 32 =9. Επομένως θέτουμε x 32 = min(1, 2) = 1. Τότε x 31 = x 33 = 12

13 Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχηματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τρίτη γραμμή: x 11 x 21 9 x 12 x x 13 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 6 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο κόστος είναι το c 12 =6. Επομένως θέτουμε x 12 = min(35, 1) = 1. Τότε x 22 = Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχηματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την δεύτερη στήλη: x 11 x 21 9 x 13 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 4 και στην αντίστοιχη γραμμή το μικρότερο κόστος είναι το c 21 =9. Επομένως θέτουμε x 21 = min(5, 45) = 45. Τότε x 11 = 13

14 Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχηματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την πρώτη στήλη: x 13 x από το οποίο ορίζονται μονοσήμαντα οι τιμές των υπόλοιπων μεταβλητών: x 13 = 25, x 23 = 5 5 Επομένως η βασική εφικτή λύση που βρήκαμε είναι η A 1 A 2 A 3 Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ

15 Χάρη συντομίας, μπορούμε να καταγράψουμε όλες τις εκχωρήσεις σε ένα μόνο tableau : Ζήτηση (s i ) Προσφορά (d j )

16 Το πρόβλημα της μεταφοράς minimize z = m n i= 1 j= 1 c ij x ij κάτω από τους περιορισμούς n i= 1 x ij = s i i = 1, 2,, m m j= 1 x ij = d j j = 1, 2,, n είναι ένα π.γ.π. με m+n περιορισμούς και m n μεταβλητές. Υπολογιστικά απαγορευτική η χρήση της Simplex. Η ειδική μορφή των περιορισμών του προβλήματος επέτρεψε την ανάπτυξη μιας ιδιαίτερα αποτελεσματικής παραλλαγής της μεθόδου Simplex, τη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων (ΜΟDI) για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του. 16

17 17

18 Αρχικά χρειαζόμαστε μια βασική (μη εκφυλισμένη) βασική εφικτή λύση. Ας θεωρήσουμε την Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ A A A Η λύση είναι μη εκφυλισμένη αφού έχει ακριβώς 3+4-1=6 θετικές συνιστώσες Το αντίστοιχο κόστος μεταφοράς είναι R =118,. Σχηματίζουμε τις εξισώσεις ui + vj = cij για τις βασικές μεταβλητές x 11, x 21, x 22, x 23, x 33 και x 34. Τότε έχουμε u 1 +v 1 = 8 u 2 +v 1 = 9 u 2 +v 2 = 12 u 2 +v 3 = 13 u 3 +v 3 = 16 u 3 +v 4 = 5 που για u 1 = δίνουν διαδοχικά v 1 =8, u 2 =1, v 2 =11, v 3 =12, u 3 =4, v 4 =1 18

19 Τοποθετούμε στη συνέχεια τις τιμές των u i και v j που υπολογίσαμε στο tableau v u και υπολογίζουμε τις διαφορές δ ij =u i +v j -c ij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές: δ 12 =u 1 +v 2 -c 12 = +11-6=5 δ 24 =u 2 +v 4 -c 24 = 1+1-7=-5 δ 13 =u 1 +v 3 -c 13 = +12-1=2 δ 31 =u 3 +v 1 -c 31 = =-2 δ 14 =u 1 +v 4 -c 14 = +1-9=-8 δ 32 =u 3 +v 2 -c 32 = =6 Γράφουμε τις τιμές αυτές στην πάνω αριστερή γωνία των αντίστοιχ τετραγών v u Αφού υπάρχουν θετικές διαφορές δ ij η λύση δεν είναι άριστη. 19

20 Διαλέγουμε να μπει στη βάση η μεταβλ. με τo μεγαλύτερο κόστος ευκαιρίας: { } { } max δij: δij = max 5, 2, 6 = 6 = δ32 δηλαδή τη μεταβλητή x 32. Στη μεταβλητή αυτή δίνουμε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή έστω +θ. Αν όμως x 32 =+θ πρέπει να έχουμε x 33 =1-θ ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός δυναμικότητας της 3ης γραμμής. Ανάλογα θα πρέπει x 23 =2+θ (3η στήλη), x 22 =2-θ (2η γραμμή). Ο κλειστός βρόχος σημειώνεται με γραμμή στο tableau του προβλήματος μεταφοράς, v u θ 2+θ θ 1-θ Για να είναι εφικτή και η νέα λύση θα πρέπει η τιμή του θ να είναι τέτοια ώστε καμία από τις βασικές μεταβλητές να μην παίρνει αρνητική τιμή: { } ϑ = min 1, 2 = 1 2

21 Η λύση που έχουμε τώρα είναι η A 1 A 2 A 3 Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ κι έχει κόστος μεταφοράς R 1 = 112, (=R -θδ 32 ). Ολοκληρώθηκε μια πλήρη εκτέλεση της διαδικασίας MODI. Θα πρέπει να ελέγξουμε αν η νέα βασική εφικτή λύση είναι η άριστη. Βρίσκουμε και πάλι τα δυναμικά u i και v j καθώς επίσης και τις διαφορές δ ij. Το νέο tableau είναι τότε το εξής: v u Αφού υπάρχουν θετικές διαφορές δ ij η λύση δεν είναι άριστη. 21

22 Διαλέγουμε να μπει στη βάση η μεταβλ. με τη μεγαλύτερο κόστος ευκαιρίας: { } { } max δij: δij = max 5, 2, 1 = 5 = δ12 Επομένως πρέπει να συνδέσουμε το τετράγωνο (1,2) με τα βασικά τετράγωνα (2,2), (2,1), (1,1) θέτοντας διαδοχικά + και -. v u θ θ 12-1-θ θ Η ελάχιστη τιμή των x ij των τετραγώνων που έχουν - είναι η: { } ϑ = min 1, 35 = 1 Έτσι η νέα βασική εφικτή λύση του προβλήματος δίνεται στο tableau : A 1 A 2 A 3 Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ Το νέο κόστος μεταφοράς ανέρχεται σε R 2 = 17, (=R 1 -θδ 12 ). 22

23 Θα πρέπει να ελέγξουμε πάλι αν η νέα βασική εφικτή λύση είναι η άριστη. Βρίσκουμε και πάλι τα δυναμικά u i και v j καθώς επίσης και τις διαφορές δ ij. Το νέο tableau είναι τότε το εξής: v u Εδώ όλες οι διαφορές δ ij είναι μη θετικές εκτός από την δ 13 =2>. Άρα η λύση δεν είναι η άριστη. Βρίσκουμε μια νέα βασική εφικτή λύση κάνοντας βασική τη μεταβλητή x 13. Εν συνεχεία συνδέουμε το τετράγωνο (1,3) με τα βασικά τετράγωνα (2,3), (2,1), (1,1) θέτοντας διαδοχικά + και -: u 1 3 v Η ελάχιστη τιμή x ij των τετραγώνων που έχουν - είναι η min {, } οδηγεί στη λύση ϑ = 3 25 = 25 και 23

24 A 1 A 2 A 3 Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ με κόστος μεταφοράς R 3 = 12, (=R 2 -θδ 13 ). Αυτή είναι η βέλτιστη (όλες οι διαφορές δ ij είναι ) v u (Αξιοσημείωτο είναι ότι τη λύση αυτή την προσδιoρίσαμε ως αρχική λύση του προβλήματος με τη μέθοδο Vogel). 24

25 Επισημάνσεις Οι τιμές των δ ij που εμφανίζονται στα κενά κελιά του βέλτιστου tableau μεταφοράς, αντιστοιχούν στην επιβάρυνση για το συνολικό κόστος, αν μια μονάδα του προϊόντος μεταφερθεί μ αυτό τον τρόπο. Ο προσδιορισμός του μονοπατιού ανακατανομής είναι το πιο δύσκολο στάδιο στην επίλυση του προβλήματος μεταφοράς: ο βρόχος που δημιουργείται δεν είναι πάντοτε εμφανής, κι ούτε φυσικά δημιουργείται από τέσσερα κελιά όπως στο παράδειγμα που αναπτύξαμε. Για την εύρεσή του έχουν αναπτυχθεί ιδιαίτεροι, αποκλειστικοί αλγόριθμοι. Σ ένα tableau μικρού μεγέθους όμως, μπορούμε να εντοπίσουμε αυτό το μονοπάτι με μια διαδικασία της μορφής «δοκιμής και λάθους». Αν στο tableau της άριστης λύσης του προβλήματος μεταφοράς υπάρχει μη βασικό τετράγωνο (i, j) με δ ij =, τότε το πρόβλημα έχει εναλλακτική άριστη λύση που βρίσκεται κάνοντας βασικό το τετράγωνο (i, j). Εκφυλισμένες λύσεις. 25

26 Το πρόβλημα μεταφοράς της εταιρείας «Μακεδονική» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν παράγεται σε τρεις παραγωγικές μονάδες Μεγάλες ποσότητες αποστέλλονται μία φορά την εβδομάδα σε τέσσερις πόλεις - κέντρα διανομής ανά την Ελλάδα Το σχετικό κόστος μεταφοράς ανά κιβώτιο εξαρτάται από την απόσταση, το χρόνο, τα απαραίτητα καύσιμα, το κόστος ασφάλισης, τη συντήρηση οχημάτων, τις αμοιβές του προσωπικού κλπ δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 26

27 Μοναδιαία κόστη μεταφοράς Εργοστάσια: πηγές, προελεύσεις (προσφορά) Πόλεις: προορισμοί (ζήτηση) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 27

28 Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (Vogel) Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,8 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 28

29 Εύρεση των τιμών u i, v j και δ ij u 1-3 v Συνολικό κόστος = 6,8 μονάδες = άριστη (δ ij i, j) Υπάρχει εναλλακτική βέλτιστη λύση (δ 14 = ) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 29

30 Εντοπισμός εναλλακτικής άριστης λύσης u v Βασική πρέπει να γίνει η μεταβλητή x 14 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 3

31 Εναλλακτική άριστη λύση u v δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 31

32 Μη ισορροπημένα προβλήματα α) Η συνολική ζήτηση ξεπερνά τη συνολική προσφορά προσθήκη εικονικής προέλευσης (προσφοράς δηλαδή σειράς) β) Η συνολική προσφορά ξεπερνά τη συνολική ζήτηση προσθήκη εικονικού προορισμού (εικονικής ζήτησης δηλαδή στήλης) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 32

33 Αύξηση της προσφοράς του Ε1 στα 4 κιβώτια (+5) Όχι κατ ανάγκη Εξαρτάται από το πρόβλημα Ε 1 Ε 2 Ε 3 Π 1 Π 2 Π 3 Π 4 Εικονική Η αρχική λύση (που βρέθηκε με τη μέθοδο του Vogel) είναι η βέλτιστη Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,75 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 33

34 Αύξηση της ζήτησης του Π1 στα 5 κιβώτια (+5) Ε 1 Ε 2 Ε 3 Εικονική Π 1 Π 2 Π 3 Π Όχι κατ ανάγκη Εξαρτάται από το πρόβλημα Η αρχική λύση (που βρέθηκε με τη μέθοδο του Vogel) είναι η βέλτιστη Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,8 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 34

35 Εκφυλισμένες λύσεις Κάποια βασική μεταβλητή έχει μηδενική τιμή. Οι μη μηδενικές είναι λιγότερες από n+m-1 Προκαλεί πρόβλημα στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων κατά την επίλυση Τοποθετούμε μία μηδενική εκχώρηση στην κατάλληλη θέση για να χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια ως βασική μεταβλητή όπως οι υπόλοιπες βασικές. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 35

36 Υπάρχουν δύο περιπτώσεις κατά τις οποίες μπορεί να εμφανιστεί εκφυλισμένη λύση. 1. Κατά την κατάρτιση του αρχικού πίνακα μεταφοράς (εύρεση αρχικής λύσης), όταν η προσφορά και η ζήτηση σε κάποιο στάδιο εκχώρησης είναι ίσες. 2. Στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων του κύριου τμήματος της μεθόδου μεταφοράς όταν προκύπτει ισοβάθμιση στην επιλογή του εξερχόμενου κελιού. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 36

37 Περίπτωση 1. Η ζήτηση της πόλης Π2=35 και της Π3= 2. Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (Vogel) x 11 9 x 12 7 x 13 6 x x 21 5 x 22 9 x 23 6 x x 31 x 32 x 33 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 4 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο κόστος είναι το c 31 =5. Επομένως θέτουμε δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας x 31 = min(45, 4) = 4. Τότε x 32 = x 33 = x 34 = 37

38 Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχηματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τρίτη γραμμή: x 11 9 x 12 7 x 13 6 x x 21 x 22 x 23 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 2 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο κόστος είναι το c 12 =5. Επομένως θέτουμε x 12 = min(35, 35) = 35. Τότε x 11 = x 13 = x 14 = αλλά και x 22 = (προφανώς για τη συνέχεια βρίσκουμε ότι x 21 = 5, x 23 = 2, x 24 = 2) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 38

39 Ο πίνακας μεταφοράς με τη μηδενική βασική μεταβλητή Ε 1 Π 1 Π 2 Π 3 Π Ε Ε * Υπάρχουν 5 θετικά στοιχεία αντί των αναμενόμενων = 6 (συνεχίζουμε ως το στοιχείο x 22 να ήταν θετικό βασική μεταβλητή ) Η λύση που έχουμε είναι η βέλτιστη. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 39

40 Περίπτωση 2. Μείωση της προσφοράς Ε3 κατά 1 (Ε3= 3) Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (όχι με Vogel) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 4

41 Τρίτη επανάληψη της MODI v δ 24 = 5 u Π 1 Π 2 Π 3 Π Ε Ε Ε Εικονική Η ελάχιστη τιμή των x ij των τετραγώνων που έχουν - είναι η: ϑ = min 1, 25,1 = 1 κι αντιστοιχεί στα κελιά (2, 2) και (3, 4) { } δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 41

42 Ο πίνακας μεταφοράς μετά την τρίτη επανάληψη Ε 1 Ε 2 Ε 3 Εικονική Π 1 Π 2 Π 3 Π * Υπάρχουν 6 θετικά στοιχεία αντί των αναμενόμενων = 7 (συνεχίζουμε ως το στοιχείο x 22 να ήταν θετικό βασική μεταβλητή ) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 42

43 Βέλτιστη λύση του προβλήματος Ε 1 Ε 2 Ε 3 Εικονική Π 1 Π 2 Π 3 Π δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 43

44 Προβλήματα μεγιστοποίησης εφαρμόζουμε τη διαδικασία με κόστος c ij = cij. ή μετατροπή του κριτηρίου επιλογής εισερχομένου κελιού: επιλέγεται εκείνο με το μικρότερο από τα αρνητικά δ ij, και μετατροπή του κριτήριου αριστότητας: η διαδικασία ολοκληρώνεται όταν όλα τα δ ij είναι. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 44

45 Παράδειγμα 2 Η βιομηχανική επιχείρηση Ultracom παράγει προϊόντα υψηλής τεχνολογίας. Η ζήτηση για τα προϊόντα της είναι μεγάλη, ιδιαίτερα για την οικογένεια των επεξεργαστών 5ZZX που εγκαθίστανται σε βιομηχανικούς servers. Θέλει να καταρτίσει ένα γενικό πρόγραμμα παραγωγής για την οικογένεια προϊόντων 5ΖΖΧ, για τους πρώτους τρεις μήνες του έτους. Η ζήτηση, σύμφωνα με τις παραγγελίες που έχουν εξασφαλιστεί και τις προβλέψεις του τμήματος μάρκετινγκ, αναμένεται να είναι, για τους μήνες Ιανουάριο, Φεβρουάριο και Μάρτιο, 5, 7 και 8 χιλιάδες τεμάχια αντιστοίχως. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 45

46 Δεδομένα άσκησης συνέχεια Παραγωγική δυναμικότητα = 5 τεμάχια το μήνα Αρχικό απόθεμα = 4 τεμάχια. Υπεργολάβος = 25 τεμάχια (Ιανουάριο και Μάρτιο μόνο) Διατήρηση αποθεμάτων δυνατή Ικανοποίηση ζήτησης άμεση Τελικό απόθεμα = 5 τεμάχια. Κόστος πρώτων υλών, εργασίας, διανομής και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία κόστους για κάθε επεξεργαστή είναι συνολικά 6χμ για τους μήνες Ιανουάριο και Μάρτιο. Το Φεβρουάριο, το κόστος αναμένεται να μειωθεί κατά 2% Κόστος διατήρησης αποθέματος 2χμ ανά τεμάχιο ανά περίοδο Οι επεξεργαστές που αγοράζονται από τον υπεργολάβο κοστίζουν στον επιχείρηση 1% επιπλέον. Να εντοπίσετε το πρόβλημα της εταιρείας να το διαμορφώσετε ως πρόβλημα μεταφοράς και να το λύσετε. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 46

47 Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (όχι με τη Vogel) δ 63 = 4 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 47

48 z =958 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 48

49 z =954 δ 14 = 4 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 49

50 z =952 βέλτιστη δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 5

51 Ανάλυση Ευαισθησίας για το πρόβλημα μεταφοράς Αυτή είναι η βέλτιστη του 1 ου παραδείγματος v u Συνολικό κόστος μεταφοράς R = 12 Θα μελετήσουμε την επίδραση στη βέλτιστη λύση από μεταβολές στο κόστος c ij κάποιου κελιού στις παραμέτρους s i / d j 51

52 Μεταβολές στο κόστος c ij Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: το κελί (i, j) είναι μη βασικό (x ij = ) το κελί (i, j) είναι βασικό (x ij > ) Αναζητάμε ένα διάστημα τιμών για το c ij, ώστε η τρέχουσα βέλτιστη λύση να παραμείνει βέλτιστη. 52

53 Μεταβολές στο κόστος c ij 1 η περίπτωση: το κελί (i, j) είναι μη βασικό (x ij = ) ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΡΙΣΤΟΤΗΤΑΣ του c ij Οι τιμές των u i, v j δεν μεταβάλλονται. Μεταβάλλεται όμως η τιμή του δ ij : δ ˆ = u+v-cˆ ij i i ij όπου c ˆij η νέα τιμή για το κόστος μεταφοράς στο κελί (i, j). Π.χ. έστω ότι μεταβάλλεται το κόστος μεταφοράς c 11 στο κελί (1, 1). Ας είναι ĉ 11=c 11+Δ (=8+Δ). Τότε ˆ δ 11 = u ˆ 1 + v1 c11 = ( + 6) (8 +Δ ) = 2 Δ Συνεπώς, η παρούσα λύση παραμένει η βέλτιστη εάν ˆδ 11, δηλ εάν -2-Δ Δ -2 c 11 6 Γενικά, για τιμές του c ij στο διάστημα [u i + v j, ), η βέλτιστη λύση παραμένει αμετάβλητη. Αυτό είναι το διάστημα αριστότητας του c ij. Για τιμές του c 11 έξω από αυτό το διάστημα, η τρέχουσα λύση παύει να είναι η βέλτιστη. Τότε η διαδικασία συνεχίζεται με εισερχόμενο κελί το (1, 1). 53

54 Μεταβολές στο κόστος c ij 2 η περίπτωση: το κελί (i, j) είναι βασικό (x ij > ) Μεταβάλλονται οι τιμές των u i, v j και δ ij : δˆ = u+v-c ˆ ˆ ˆ ij i i ij Οπότε, εάν ˆδ ij " (i, j) η παρούσα λύση παραμένει η βέλτιστη. Διαφορετικά συνεχίζουμε τον αλγόριθμο κατά τα γνωστά. Π.χ. έστω ότι μεταβάλλεται το κόστος μεταφοράς c 13 στο κελί (1, 3) κι έχουμε ĉ 13=c 13+Δ (=1+Δ). Για τον υπολογισμό των u i, v j λύνουμε το σύστημα: u 1 + v 2 = 6 u 1 + v 3 = 1 + Δ u 2 + v 1 = 9 u 2 + v 3 = 13 u 3 + v 2 = 9 u 3 + v 4 = 5 Για u 1 = έχουμε u 2 = 3 Δ, u 3 = 3, v 1 = 6 + Δ, v 2 = 6, v 3 = 1 + Δ, v 4 = 2. Για να παραμείνει βέλτιστη η παρούσα λύση θα πρέπει ˆδ ij " (i, j), δηλ: ˆδ 11 = u+v-c =Δ 2 ˆδ 14 = u+v-c = 7 ˆδ 22 = u+v-c = 3 Δ ˆδ 24 = u+v-c = 2 Δ ˆδ 31 = u+v-c = 5+Δ ˆδ = u +v -c =Δ Συνεπώς, για -2 Δ = 8 c = 12 η παρούσα λύση εξακολουθεί να είναι η βέλτιστη. 54

55 Μεταβολές στις παραμέτρους s i / d j Λόγω της φύσης του προβλήματος μεταφοράς, η μεταβολή μιας μόνο εκ των παραμέτρων s i, d j δεν είναι δυνατή. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: οι ποσότητες s p, d q γίνονται αντίστοιχα s p +Δ, d q +Δ (αύξηση της ζήτησης του D q κατά Δ και ανάλογη αύξηση της προσφοράς του S p ) οι ποσότητες s t, s r γίνονται αντίστοιχα s t +Δ, s r -Δ (αύξηση της προσφοράς του S t κατά Δ και ανάλογη μείωση της προσφοράς του S r ) οι ποσότητες d f, d g γίνονται αντίστοιχα d f +Δ, d g -Δ (αύξηση της ζήτησης του D f κατά Δ και ανάλογη μείωση της ζήτησης του D g ). Αναζητάμε ένα διάστημα τιμών της ποσότητας Δ, ώστε η τρέχουσα βάση να παραμείνει η ίδια (: βασικά να είναι τα ίδια κελιά) 55

56 Μεταβολές στις παραμέτρους s i / d j 1 η περίπτωση: οι ποσότητες s p, d q γίνονται αντίστοιχα s p +Δ, d q +Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ ένα από τα βασικά κελιά της p-γραμμής και συνεχίζουμε με διαδοχικές Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με +Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της q-στήλης. Προφανώς εάν το κελί (p, q) είναι βασικό, αρκεί μόνο μια προσαρμογή +Δ στο συγκεκριμένο κελί. Π.χ. s 2 = 5+Δ, d 2 = 2+Δ v u Δ 25-Δ Δ 45 5+Δ Δ 3 3 Αν η νέα λύση είναι εφικτή, τότε θα είναι η βέλτιστη λύση του νέου προβλήματος. Αρκεί επομένως 1+Δ, 25-Δ, 5+Δ ή ισοδύναμα -5 Δ 25. Το συνολικό κόστος μεταφοράς ισούται με 12+9Δ κι άρα ο ρυθμός μεταβολής της τιμής ανά μονάδα μεταβολής του Δ στο διάστημα [-5, 25] είναι 9 (= u 2 + v 2 ). 56

57 Μεταβολές στις παραμέτρους s i / d j 2 η περίπτωση: οι ποσότητες s t, s r γίνονται αντίστοιχα s t +Δ, s r -Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ ένα από τα βασικά κελιά της t-γραμμής και συνεχίζουμε με διαδοχικές Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με -Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της r-γραμμής. Ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κόστους μεταφοράς είναι u t - u r Μεταβολές στις παραμέτρους s i / d j 3 η περίπτωση: οι ποσότητες d f, d g γίνονται αντίστοιχα d f +Δ, d g -Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ ένα από τα βασικά κελιά της f-στήλης και συνεχίζουμε με διαδοχικές Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με -Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της g-στήλης. Ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κόστους μεταφοράς είναι v f v g 57

58 Το πρόβλημα «εκχώρησης» ανάθεση εκτέλεσης εργασιών σε άτομα (: ένα άτομο μία μόνο εργασία). πλήθος ατόμων ίσο με πλήθος εργασιών (αλλιώς ). εντοπισμός της ιδανικής αντιστοίχισης (: εκχώρησης). σύνηθες κριτήριο η ελαχιστοποίηση κόστους (χρόνου, κλπ) ή η μεγιστοποίηση κέρδους (ικανοποίησης, κλπ) ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς, όπου η ζήτηση και προσφορά είναι μονάδες: o για ένα πρόβλημα με m εργασίες που πρέπει να εκτελεστούν από m άτομα, υπάρχουν m! δυνατά σενάρια διεκπεραίωσης. o στη λύση υπάρχουν m κελιά με τιμή 1 και m-1 με τιμή. o εκφυλισμένες λύσεις. ο Ουγγρικός Αλγόριθμος. 58

59 Παράδειγμα 3 Μια οικοδομική εταιρεία χρησιμοποιεί τέσσερα συνεργεία για να φέρει σε πέρας έναν ίσο αριθμό έχουν αναληφθεί. Κάθε συνεργείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε έργο, όχι όμως εξίσου ικανοποιητικά: Χρόνος 1 ο έργο 2 ο έργο 3 ο έργο 4 ο έργο 1 ο συνεργείο ο συνεργείο ο συνεργείο ο συνεργείο Ζητούμενο είναι η εκχώρηση σε κάθε συνεργείο ενός εκ των έργων σε τρόπο ώστε ο συνολικός χρόνος απασχόλησης να είναι ο ελάχιστος δυνατός. Βέλτιστη λύση (με συνολικό χρόνο ίσο με 15): 1 ο συνεργείο 2 ο έργο 2 ο συνεργείο 4 ο έργο 3 ο συνεργείο 3 ο έργο 4 ο συνεργείο 1 ο έργο 59

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = x

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα Case 15: Προστασία του Περιβάλλοντος ΣΕΝΑΡΙΟ Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα 1 Σενάριο και υπόλοιπα δεδοµένα Συγκροτήθηκε οµάδα εργασίας για την επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 4 ΑΣΚΗΣΗ 5

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 4 ΑΣΚΗΣΗ 5 ΑΣΚΗΣΗ Μία εταιρεία διανομών διατηρεί την αποθήκη της στον κόμβο και μεταφέρει προϊόντα σε πελάτες που βρίσκονται στις πόλεις,,,7. Το οδικό δίκτυο που χρησιμοποιεί για τις μεταφορές αυτές φαίνεται στο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Θεωρία Αποφάσεων

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Θεωρία Αποφάσεων Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Θεωρία Αποφάσεων Εισαγωγή στην θεωρία αποφάσεων Στα μέχρι τώρα μοντέλα και τεχνικές υπήρχε η προϋπόθεση της βεβαιότητας. Στην πράξη, τα προβλήματα είναι περισσότερο πολύπλοκα,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες)

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες) Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ:

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Μια εταιρεία αλουμινίου έχει αποθέματα βωξίτη στην περιοχή G, στην S και στην A. Επίσης, υπάρχουν εργοστάσια μετάλλου, όπου ο βωξίτης

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ 1 ( Μονάδες 2) Μια επιχείρηση κατασκευής tablet έχει εργοστάσια σε τρεις διαφορετικές χώρες Α,Β,Γ που παράγουν αντίστοιχα 200, 260 και

Διαβάστε περισσότερα

The Product Mix Problem

The Product Mix Problem Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 1 The Product Mix Problem Τα προβλήματα αυτά αναφέρονται σε συστήματα τα οποία εκμεταλλευόμενα τους περιορισμένους πόρους που έχουν στη διάθεσή του, παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 213 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Μια κατασκευαστική εταιρεία ετοιμάζει την ενεργειακή μελέτη ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Στη C++ υπάρχουν τρεις τύποι βρόχων: (a) while, (b) do while, και (c) for. Ακολουθεί η σύνταξη για κάθε μια:

Στη C++ υπάρχουν τρεις τύποι βρόχων: (a) while, (b) do while, και (c) for. Ακολουθεί η σύνταξη για κάθε μια: Εργαστήριο 6: 6.1 Δομές Επανάληψης Βρόγχοι (Loops) Όταν θέλουμε να επαναληφθεί μια ομάδα εντολών τη βάζουμε μέσα σε ένα βρόχο επανάληψης. Το αν θα (ξανα)επαναληφθεί η εκτέλεση της ομάδας εντολών καθορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Συγκοινωνιακός Σχεδιασµός κόµβος Σχήµα.. Αναπαράσταση σε χάρτη του οδικού δικτύου µιας περιοχής... Μέθοδοι καταµερισµού των µετακινήσεων.. Εύρεση βέλτ

Συγκοινωνιακός Σχεδιασµός κόµβος Σχήµα.. Αναπαράσταση σε χάρτη του οδικού δικτύου µιας περιοχής... Μέθοδοι καταµερισµού των µετακινήσεων.. Εύρεση βέλτ Καταµερισµός των µετακινήσεων στο οδικό δίκτυο.. Εισαγωγή Το τέταρτο και τελευταίο στάδιο στη διαδικασία του αστικού συγκοινωνιακού σχεδιασµού είναι ο καταµερισµός των µετακινήσεων στο οδικό δίκτυο (λεωφόρους,

Διαβάστε περισσότερα

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix)

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Εισάγει στην αγορά για την επόµενη χειµερινή περίοδο έξι νέα είδη γυναικείων ενδυµάτων µε µεγάλες προοπτικές πωλήσεων Η ζήτηση για τα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Από ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Η UCC είναι μια μικρή εταιρεία παραγωγής εντομοκτόνων. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Αποθεµάτων. Υποθέστε ότι την στιγμή αυτή υπάρχει στην αποθήκη απόθεμα για 5 μήνες.

Ασκήσεις Αποθεµάτων. Υποθέστε ότι την στιγμή αυτή υπάρχει στην αποθήκη απόθεμα για 5 μήνες. Ασκήσεις Αποθεµάτων 1. Το πρόγραμμα παραγωγής μιας βιομηχανίας προβλέπει την κατανάλωση 810.000 μονάδων πρώτης ύλης το χρόνο, με ρυθμό πρακτικά σταθερό, σε όλη τη διάρκεια του έτους. Η βιομηχανία εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Ασκήσεις Αθήνα, Ιανουάριος 2010 Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & Διοίκησης ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41

Πρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 Περιεχόμενα Πρόλογος...7 1 Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας...9 2 Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 3 Πρόβλεψη της ζήτησης σε μια εφοδιαστική αλυσίδα...109 4 Συγκεντρωτικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μαθηματική τεχνική για αντιμετώπιση προβλημάτων λήψης πολυσταδιακών αποφάσεων Συστηματική διαδικασία εύρεσης εκείνου του συνδυασμού αποφάσεων που βελτιστοποιεί τη συνολική απόδοση

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε Ναι Τέλος Α2 Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. Στο παρακάτω δικτυωτό να βρεθεί η διαδρομή ελαχίστου κόστους από τον κόμβο Α έως την ευθεία Β. Οι τιμές στους τελικούς κόμβους δηλώνουν κέρδος ενώ σε όλους τους υπόλοιπους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές 3. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΟΣ 3. Τι Είναι Απόθεμα Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές. Απόθεμα Α, Β υλών και υλικών συσκευασίας: Είναι το απόθεμα των υλικών που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Πρόγραμμα Γενικό γραμμικό πρόβλημα με πολύγωνη περιοχή εφικτών λύσεων Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόγραμμα: ma z μ. π. 4

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής - Η παραγωγή είναι η δραστηριότητα μέσω της οποίας κάποια αγαθά και υπηρεσίες (εισροές) μετατρέπονται σε άλλα αγαθά και υπηρεσίες (εκροές ή προϊόντα).

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 18 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: (7)

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 18 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: (7) ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 18 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: (7) ΟΜΑΔΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις από Α.1.1., μέχρι και Α.1.6., να γράψετε τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ουζούνης Παναγιώτης ΜΑΡΤΙΟΣ 008 ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γεροντίδης Ιωάννης Εκπονηθείσα πτυχιακή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα