Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Πρόβλημα Μεταφοράς"

Transcript

1 Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού με ειδική δομή. Για την επίλυσή του έχουν αναπτυχθεί αποτελεσματικές τεχνικές (παραλλαγές της μεθόδου Simplex). Το πρόβλημα ήταν γνωστό από το 1941 (Hitchcock, 1941) και ως π.γ.π. θεμελιώθηκε και λύθηκε από τον Dantzig το Ως ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς μπορούν να θεωρηθούν μια μεγάλη σειρά πρακτικών προβλημάτων, που δεν αναφέρονται στις μεταφορές, και για το λόγο αυτό η μέθοδος επίλυσής του είναι ένα σπουδαίο εργαλείο για την εν γένει Επιχειρησιακή Έρευνα. Ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων δικτυωτής ανάλυσης. 1

2 Παράδειγμα 1 Κάποιος γεωργικός συνεταιρισμός της Κρήτης έχει στις τρεις αποθήκες του 35, 5 και 4 τόνους πορτοκαλιών. Τέσσερις λαχαναγορές της χώρας θέλουν να αγοράσουν 45, 2, 3 και 3 τόνους πορτοκαλιών αντίστοιχα. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται το κόστος μεταφοράς (χ.μ. ανά τόνο) από τις τρεις αποθήκες Α 1, Α 2, Α 3 στις τέσσερις λαχαναγορές Λ 1, Λ 2, Λ 3, Λ 4 : Από Προς Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ 4 ΠΡΟΣΦΟΡΑ Α Α Α ΖΗΤΗΣΗ Το πρόβλημα είναι τώρα να προσδιορίσουμε πως θα γίνει η μεταφορά από τις αποθήκες στις λαχαναγορές έτσι ώστε το συνολικό κόστος μεταφοράς να είναι ελάχιστο. 2

3 Το παραπάνω πρόβλημα εύκολα μπορούμε να το γενικεύσουμε. Σε m σταθμούς προέλευσης S 1, S 2,..., S m υπάρχει ένα προϊόν σε ποσότητες s 1, s 2,..., s m αντίστοιχα. Το προϊόν πρέπει να μεταφερθεί σε n σταθμούς προορισμού D 1, D 2,..., D n, που έχουν ανάγκη από d 1, d 2,..., d n ποσότητες αντίστοιχα. Αν το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας του προϊόντος από τον S i σταθμό προέλευσης στον D j σταθμό προορισμού είναι c ij χρηματικές μονάδες, επιζητούμε να προσδιορίσουμε την ποσότητα x ij που πρέπει μεταφέρεται ανάμεσα σ αυτές τις θέσεις ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος μεταφοράς και συγχρόνως να ικανοποιούνται οι ανάγκες όλων των σταθμών προορισμού. με τους περιορισμούς minimize z= c x m i= 1 n j= 1 ij ij n j= 1 x ij s i i = 1,2,..., m (προσφορά) m i= 1 x ij d j j = 1,2,..., n (ζήτηση) x ij για όλα τα i, j 3

4 Το πρόβλημα μεταφοράς είναι πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης Πίνακας προβλήματος μεταφοράς (παρουσιάζει με εύχρηστο τρόπο τα στοιχεία του προβλήματος και ταυτόχρονα διευκολύνει τις πράξεις της μεθόδου επίλυσης) 4

5 Δίκτυο και πίνακας προβλήματος μεταφοράς για το παράδειγμα 1 5

6 Αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη λύσης στο πρόβλημα μεταφοράς είναι το σύνολο των διαθέσιμων ποσοτήτων να ισούται με το σύνολο των απαιτούμενων: m i= 1 (ισορροπημένο πρόβλημα μεταφοράς) s i = n j= 1 d j Στην περίπτωση αυτή, όλοι οι περιορισμοί είναι ισότητες: με τους περιορισμούς m i= 1 n j= 1 x ij minimize z= c x x ij = d = s j i m i= 1 n j= 1 i = 1,2,..., m (προσφορά) j = 1,2,..., n (ζήτηση) x ij για όλα τα i, j ij ij Κάθε βασική εφικτή λύση του πρότυπου μεταφοράς (ισορροπημένο πρόβλημα), έχει ακριβώς m+n-1 βασικές μεταβλητές, δηλαδή το πολύ m+n-1 μεταβλητές x ij είναι θετικές, ενώ οι υπόλοιπες έχουν τιμή. Μη εκφυλισμένη λύση: ακριβώς m+n-1 θετικές μεταβλητές. Εκφυλισμένη λύση: οι θετικές μεταβλητές είναι λιγότερες από m+n-1. 6

7 Ανάπτυξη του συστήματος των περιορισμών: Όλοι οι συντελεστές των μεταβλητών x ij στους περιορισμούς είναι ή 1, ενώ κάθε μία από αυτές εμφανίζεται με συντελεστή 1 σε δύο ακριβώς από τους περιορισμούς, σ αυτόν που αντιστοιχεί στον σταθμό παραγωγής S i και σ εκείνον που αντιστοιχεί στον σταθμό προορισμού D j. Κάθε π.γ.π. που προσαρμόζεται σ αυτή την ειδική διαμόρφωση είναι πρόβλημα μεταφοράς, άσχετα από το φυσικό του πλαίσιο. 7

8 Ιδιόμορφες καταστάσεις Αν η προσφορά είναι μεγαλύτερη από τη ζήτηση, αν δηλαδή m s n i i= 1 j= 1 τότε εισάγουμε έναν εικονικό σταθμό προορισμού D n+1 ο οποίος απαιτεί ποσότητα ίση με d d = s d n+ 1 m i i= 1 j= 1 Το κόστος μεταφοράς c in+1 (i=1, 2,..., m) εξαρτάται από το συγκεκριμένο κάθε φορά πρόβλημα. Αν π.χ. οι επιπλέον ποσότητες μπορούν να παραμείνουν στους αντίστοιχους σταθμούς προέλευσης χωρίς επιπλέον κόστος τότε c in+1 = Αν όμως υπάρχουν αποθήκευτρα, τότε c in+1 είναι ακριβώς αυτά τα ποσά. j n j Αν η προσφορά είναι μικρότερη από τη ζήτηση, αν δηλαδή m s n i i= 1 j= 1 τότε εισάγουμε έναν εικονικό σταθμό προέλευσης S m+1 ο οποίος παράγει ποσότητα ίση με d s = d s m+ 1 n j j= 1 i= 1 Το υποθετικό κόστος μεταφοράς c m+1j εξαρτάται πάλι από το συγκεκριμένο κάθε φορά πρόβλημα. Για παράδειγμα c m+1j μπορεί να είναι η αποζημίωση που δίνεται στο σταθμό προορισμού D j για τη μη αποστολή μιας από τις d j μονάδες του προϊόντος που ζητήθηκαν αρχικά. j m i 8

9 Στις πιο πολλές εφαρμογές οι διαθέσιμες και απαιτούμενες ποσότητες s i και d j έχουν ακέραιες τιμές πράγμα που σημαίνει ότι και οι ποσότητες που μεταφέρονται (τα x ij δηλαδή) πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί. Ευτυχώς, η δομή του προτύπου είναι τέτοια που αν το πρόβλημα έχει κάποια εφικτή λύση θα έχει και βέλτιστη ακέραια λύση. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι οι συντελεστές των μεταβλητών στους περιορισμούς είναι ίσοι με 1 ή. Αν δεν υπάρχει μέσο μεταφοράς από ένα σταθμό παραγωγής S i στον D j σταθμό προορισμού, για να φέρουμε το πρόβλημα στη μορφή επίλυσής του υποθέτουμε ότι υπάρχει μεν μέσο μεταφοράς αλλά το αντίστοιχο κόστος c ij είναι Μ, όπου Μ αυθαίρετα μεγάλος θετικός αριθμός. Αφού ζητάμε το ελάχιστο κόστος, αν στην άριστη λύση του προβλήματος είναι x ij >, τότε το πρόβλημα δεν έχει στην πραγματικότητα εφικτές λύσεις. Υπάρχουν προβλήματα μεταφοράς στα οποία ενδιαφερόμαστε να βρούμε τη λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Αφού max i j c ij x ij ( cij ) x, = min ij i j σε μια τέτοια περίπτωση, εφαρμόζουμε τη διαδικασία με κόστος c = c. ij ij Το πρότυπο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα μεταφοράς μπορεί να χειριστεί και τις περιπτώσεις στις οποίες υπάρχουν για κάποια διαδρομή είτε περιορισμοί χωρητικότητας του μεταφερόμενου υλικού, είτε περιορισμοί ελάχιστου υποχρεωτικού φορτίου x M. ij ij x L ij ij 9

10 Διαδικασία επίλυσης του προβλήματος μεταφοράς 1ο Βήμα: Εντοπισμός μια αρχικής βασικής εφικτής λύσης 2ο Βήμα: Πρόκειται για την άριστη λύση; ΕΑΝ ΝΑΙ, τέλος ΕΑΝ ΟΧΙ, πήγαινε στο 3ο Βήμα 3ο Βήμα: Εντοπισμός μιας καλύτερης λύσης. Πήγαινε στο 2ο Βήμα. 1

11 Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης Όπως και στο γενικό γραμμικό πρότυπο έτσι και στο πρόβλημα μεταφοράς το πρώτο βήμα στην εύρεση της βέλτιστης λύσης του είναι η ύπαρξη μιας αρχικής μη εκφυλισμένης βασικής εφικτής λύσης. Λόγω της ειδικής μορφής του συστήματος των περιορισμών του προβλήματος έχουν προταθεί αρκετές απλές σχετικά τεχνικές για την εύρεση μιας βασικής εφικτής λύσης του. Η μέθοδος Vogel αν και υπολογιστικά επίπονη, δίνει μια αρχική βασική εφικτή λύση που (συνήθως) χρειάζεται έναν μικρό αριθμό βελτιώσεων/επαναλήψεων για να καταλήξει στην άριστη. Η κεντρική ιδέα της μεθόδου είναι να επιβάλλεται μια ποινή όταν δεν χρησιμοποιούμε το δρομολόγιο με το μικρότερο κόστος. Για να την υπολογίσουμε προσθέτουμε στο tableau του προβλήματος μεταφοράς μια ακόμη στήλη και μία γραμμή. Σ αυτές γράφουμε τη διαφορά των δύο πιο μικρών στοιχείων κόστους της κάθε στήλης και γραμμής του tableau. Προσδιορίζουμε στη συνέχεια τη μεγαλύτερη διαφορά που υπάρχει (για γραμμές και στήλες). Στο κελί της συγκεκριμένης στήλης ή γραμμής με το μικρότερο κόστος μεταφοράς εκχωρούμε όσες δυνατό περισσότερες μονάδες προϊόντος επιτρέπεται από την αντίστοιχη προσφορά και ζήτηση : x ij = min{s i, d j } Αν ικανοποιείται σταθμός προέλευσης, τότε το d j θα πρέπει να μειωθεί κατά s i. Αν ικανοποιείται σταθμός προορισμού, τότε το s i πρέπει να μειωθεί κατά d j. Το σταθμό που ικανοποιήσαμε δεν τον παίρνουμε υπόψη στη συνέχεια που επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία. 11

12 x 11 x 21 x x 12 x 22 x x 13 x 23 x x 14 x 24 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 4 και στην αντίστοιχη γραμμή το μικρότερο κόστος είναι το c 34 =5. Επομένως θέτουμε x 34 = min(4, 3) = 3. Τότε x 14 = x 24 = Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχηματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τέταρτη στήλη: x 11 x 21 x x 12 x 22 x x 13 x 23 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 5 και στην αντίστοιχη γραμμή το μικρότερο κόστος είναι το c 32 =9. Επομένως θέτουμε x 32 = min(1, 2) = 1. Τότε x 31 = x 33 = 12

13 Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχηματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τρίτη γραμμή: x 11 x 21 9 x 12 x x 13 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 6 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο κόστος είναι το c 12 =6. Επομένως θέτουμε x 12 = min(35, 1) = 1. Τότε x 22 = Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχηματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την δεύτερη στήλη: x 11 x 21 9 x 13 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 4 και στην αντίστοιχη γραμμή το μικρότερο κόστος είναι το c 21 =9. Επομένως θέτουμε x 21 = min(5, 45) = 45. Τότε x 11 = 13

14 Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχηματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την πρώτη στήλη: x 13 x από το οποίο ορίζονται μονοσήμαντα οι τιμές των υπόλοιπων μεταβλητών: x 13 = 25, x 23 = 5 5 Επομένως η βασική εφικτή λύση που βρήκαμε είναι η A 1 A 2 A 3 Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ

15 Χάρη συντομίας, μπορούμε να καταγράψουμε όλες τις εκχωρήσεις σε ένα μόνο tableau : Ζήτηση (s i ) Προσφορά (d j )

16 Το πρόβλημα της μεταφοράς minimize z = m n i= 1 j= 1 c ij x ij κάτω από τους περιορισμούς n i= 1 x ij = s i i = 1, 2,, m m j= 1 x ij = d j j = 1, 2,, n είναι ένα π.γ.π. με m+n περιορισμούς και m n μεταβλητές. Υπολογιστικά απαγορευτική η χρήση της Simplex. Η ειδική μορφή των περιορισμών του προβλήματος επέτρεψε την ανάπτυξη μιας ιδιαίτερα αποτελεσματικής παραλλαγής της μεθόδου Simplex, τη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων (ΜΟDI) για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του. 16

17 17

18 Αρχικά χρειαζόμαστε μια βασική (μη εκφυλισμένη) βασική εφικτή λύση. Ας θεωρήσουμε την Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ A A A Η λύση είναι μη εκφυλισμένη αφού έχει ακριβώς 3+4-1=6 θετικές συνιστώσες Το αντίστοιχο κόστος μεταφοράς είναι R =118,. Σχηματίζουμε τις εξισώσεις ui + vj = cij για τις βασικές μεταβλητές x 11, x 21, x 22, x 23, x 33 και x 34. Τότε έχουμε u 1 +v 1 = 8 u 2 +v 1 = 9 u 2 +v 2 = 12 u 2 +v 3 = 13 u 3 +v 3 = 16 u 3 +v 4 = 5 που για u 1 = δίνουν διαδοχικά v 1 =8, u 2 =1, v 2 =11, v 3 =12, u 3 =4, v 4 =1 18

19 Τοποθετούμε στη συνέχεια τις τιμές των u i και v j που υπολογίσαμε στο tableau v u και υπολογίζουμε τις διαφορές δ ij =u i +v j -c ij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές: δ 12 =u 1 +v 2 -c 12 = +11-6=5 δ 24 =u 2 +v 4 -c 24 = 1+1-7=-5 δ 13 =u 1 +v 3 -c 13 = +12-1=2 δ 31 =u 3 +v 1 -c 31 = =-2 δ 14 =u 1 +v 4 -c 14 = +1-9=-8 δ 32 =u 3 +v 2 -c 32 = =6 Γράφουμε τις τιμές αυτές στην πάνω αριστερή γωνία των αντίστοιχ τετραγών v u Αφού υπάρχουν θετικές διαφορές δ ij η λύση δεν είναι άριστη. 19

20 Διαλέγουμε να μπει στη βάση η μεταβλ. με τo μεγαλύτερο κόστος ευκαιρίας: { } { } max δij: δij = max 5, 2, 6 = 6 = δ32 δηλαδή τη μεταβλητή x 32. Στη μεταβλητή αυτή δίνουμε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή έστω +θ. Αν όμως x 32 =+θ πρέπει να έχουμε x 33 =1-θ ώστε να ικανοποιείται ο περιορισμός δυναμικότητας της 3ης γραμμής. Ανάλογα θα πρέπει x 23 =2+θ (3η στήλη), x 22 =2-θ (2η γραμμή). Ο κλειστός βρόχος σημειώνεται με γραμμή στο tableau του προβλήματος μεταφοράς, v u θ 2+θ θ 1-θ Για να είναι εφικτή και η νέα λύση θα πρέπει η τιμή του θ να είναι τέτοια ώστε καμία από τις βασικές μεταβλητές να μην παίρνει αρνητική τιμή: { } ϑ = min 1, 2 = 1 2

21 Η λύση που έχουμε τώρα είναι η A 1 A 2 A 3 Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ κι έχει κόστος μεταφοράς R 1 = 112, (=R -θδ 32 ). Ολοκληρώθηκε μια πλήρη εκτέλεση της διαδικασίας MODI. Θα πρέπει να ελέγξουμε αν η νέα βασική εφικτή λύση είναι η άριστη. Βρίσκουμε και πάλι τα δυναμικά u i και v j καθώς επίσης και τις διαφορές δ ij. Το νέο tableau είναι τότε το εξής: v u Αφού υπάρχουν θετικές διαφορές δ ij η λύση δεν είναι άριστη. 21

22 Διαλέγουμε να μπει στη βάση η μεταβλ. με τη μεγαλύτερο κόστος ευκαιρίας: { } { } max δij: δij = max 5, 2, 1 = 5 = δ12 Επομένως πρέπει να συνδέσουμε το τετράγωνο (1,2) με τα βασικά τετράγωνα (2,2), (2,1), (1,1) θέτοντας διαδοχικά + και -. v u θ θ 12-1-θ θ Η ελάχιστη τιμή των x ij των τετραγώνων που έχουν - είναι η: { } ϑ = min 1, 35 = 1 Έτσι η νέα βασική εφικτή λύση του προβλήματος δίνεται στο tableau : A 1 A 2 A 3 Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ Το νέο κόστος μεταφοράς ανέρχεται σε R 2 = 17, (=R 1 -θδ 12 ). 22

23 Θα πρέπει να ελέγξουμε πάλι αν η νέα βασική εφικτή λύση είναι η άριστη. Βρίσκουμε και πάλι τα δυναμικά u i και v j καθώς επίσης και τις διαφορές δ ij. Το νέο tableau είναι τότε το εξής: v u Εδώ όλες οι διαφορές δ ij είναι μη θετικές εκτός από την δ 13 =2>. Άρα η λύση δεν είναι η άριστη. Βρίσκουμε μια νέα βασική εφικτή λύση κάνοντας βασική τη μεταβλητή x 13. Εν συνεχεία συνδέουμε το τετράγωνο (1,3) με τα βασικά τετράγωνα (2,3), (2,1), (1,1) θέτοντας διαδοχικά + και -: u 1 3 v Η ελάχιστη τιμή x ij των τετραγώνων που έχουν - είναι η min {, } οδηγεί στη λύση ϑ = 3 25 = 25 και 23

24 A 1 A 2 A 3 Λ 1 Λ 2 Λ 3 Λ με κόστος μεταφοράς R 3 = 12, (=R 2 -θδ 13 ). Αυτή είναι η βέλτιστη (όλες οι διαφορές δ ij είναι ) v u (Αξιοσημείωτο είναι ότι τη λύση αυτή την προσδιoρίσαμε ως αρχική λύση του προβλήματος με τη μέθοδο Vogel). 24

25 Επισημάνσεις Οι τιμές των δ ij που εμφανίζονται στα κενά κελιά του βέλτιστου tableau μεταφοράς, αντιστοιχούν στην επιβάρυνση για το συνολικό κόστος, αν μια μονάδα του προϊόντος μεταφερθεί μ αυτό τον τρόπο. Ο προσδιορισμός του μονοπατιού ανακατανομής είναι το πιο δύσκολο στάδιο στην επίλυση του προβλήματος μεταφοράς: ο βρόχος που δημιουργείται δεν είναι πάντοτε εμφανής, κι ούτε φυσικά δημιουργείται από τέσσερα κελιά όπως στο παράδειγμα που αναπτύξαμε. Για την εύρεσή του έχουν αναπτυχθεί ιδιαίτεροι, αποκλειστικοί αλγόριθμοι. Σ ένα tableau μικρού μεγέθους όμως, μπορούμε να εντοπίσουμε αυτό το μονοπάτι με μια διαδικασία της μορφής «δοκιμής και λάθους». Αν στο tableau της άριστης λύσης του προβλήματος μεταφοράς υπάρχει μη βασικό τετράγωνο (i, j) με δ ij =, τότε το πρόβλημα έχει εναλλακτική άριστη λύση που βρίσκεται κάνοντας βασικό το τετράγωνο (i, j). Εκφυλισμένες λύσεις. 25

26 Το πρόβλημα μεταφοράς της εταιρείας «Μακεδονική» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν παράγεται σε τρεις παραγωγικές μονάδες Μεγάλες ποσότητες αποστέλλονται μία φορά την εβδομάδα σε τέσσερις πόλεις - κέντρα διανομής ανά την Ελλάδα Το σχετικό κόστος μεταφοράς ανά κιβώτιο εξαρτάται από την απόσταση, το χρόνο, τα απαραίτητα καύσιμα, το κόστος ασφάλισης, τη συντήρηση οχημάτων, τις αμοιβές του προσωπικού κλπ δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 26

27 Μοναδιαία κόστη μεταφοράς Εργοστάσια: πηγές, προελεύσεις (προσφορά) Πόλεις: προορισμοί (ζήτηση) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 27

28 Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (Vogel) Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,8 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 28

29 Εύρεση των τιμών u i, v j και δ ij u 1-3 v Συνολικό κόστος = 6,8 μονάδες = άριστη (δ ij i, j) Υπάρχει εναλλακτική βέλτιστη λύση (δ 14 = ) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 29

30 Εντοπισμός εναλλακτικής άριστης λύσης u v Βασική πρέπει να γίνει η μεταβλητή x 14 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 3

31 Εναλλακτική άριστη λύση u v δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 31

32 Μη ισορροπημένα προβλήματα α) Η συνολική ζήτηση ξεπερνά τη συνολική προσφορά προσθήκη εικονικής προέλευσης (προσφοράς δηλαδή σειράς) β) Η συνολική προσφορά ξεπερνά τη συνολική ζήτηση προσθήκη εικονικού προορισμού (εικονικής ζήτησης δηλαδή στήλης) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 32

33 Αύξηση της προσφοράς του Ε1 στα 4 κιβώτια (+5) Όχι κατ ανάγκη Εξαρτάται από το πρόβλημα Ε 1 Ε 2 Ε 3 Π 1 Π 2 Π 3 Π 4 Εικονική Η αρχική λύση (που βρέθηκε με τη μέθοδο του Vogel) είναι η βέλτιστη Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,75 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 33

34 Αύξηση της ζήτησης του Π1 στα 5 κιβώτια (+5) Ε 1 Ε 2 Ε 3 Εικονική Π 1 Π 2 Π 3 Π Όχι κατ ανάγκη Εξαρτάται από το πρόβλημα Η αρχική λύση (που βρέθηκε με τη μέθοδο του Vogel) είναι η βέλτιστη Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,8 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 34

35 Εκφυλισμένες λύσεις Κάποια βασική μεταβλητή έχει μηδενική τιμή. Οι μη μηδενικές είναι λιγότερες από n+m-1 Προκαλεί πρόβλημα στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων κατά την επίλυση Τοποθετούμε μία μηδενική εκχώρηση στην κατάλληλη θέση για να χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια ως βασική μεταβλητή όπως οι υπόλοιπες βασικές. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 35

36 Υπάρχουν δύο περιπτώσεις κατά τις οποίες μπορεί να εμφανιστεί εκφυλισμένη λύση. 1. Κατά την κατάρτιση του αρχικού πίνακα μεταφοράς (εύρεση αρχικής λύσης), όταν η προσφορά και η ζήτηση σε κάποιο στάδιο εκχώρησης είναι ίσες. 2. Στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων του κύριου τμήματος της μεθόδου μεταφοράς όταν προκύπτει ισοβάθμιση στην επιλογή του εξερχόμενου κελιού. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 36

37 Περίπτωση 1. Η ζήτηση της πόλης Π2=35 και της Π3= 2. Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (Vogel) x 11 9 x 12 7 x 13 6 x x 21 5 x 22 9 x 23 6 x x 31 x 32 x 33 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 4 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο κόστος είναι το c 31 =5. Επομένως θέτουμε δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας x 31 = min(45, 4) = 4. Τότε x 32 = x 33 = x 34 = 37

38 Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχηματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τρίτη γραμμή: x 11 9 x 12 7 x 13 6 x x 21 x 22 x 23 x Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 2 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο κόστος είναι το c 12 =5. Επομένως θέτουμε x 12 = min(35, 35) = 35. Τότε x 11 = x 13 = x 14 = αλλά και x 22 = (προφανώς για τη συνέχεια βρίσκουμε ότι x 21 = 5, x 23 = 2, x 24 = 2) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 38

39 Ο πίνακας μεταφοράς με τη μηδενική βασική μεταβλητή Ε 1 Π 1 Π 2 Π 3 Π Ε Ε * Υπάρχουν 5 θετικά στοιχεία αντί των αναμενόμενων = 6 (συνεχίζουμε ως το στοιχείο x 22 να ήταν θετικό βασική μεταβλητή ) Η λύση που έχουμε είναι η βέλτιστη. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 39

40 Περίπτωση 2. Μείωση της προσφοράς Ε3 κατά 1 (Ε3= 3) Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (όχι με Vogel) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 4

41 Τρίτη επανάληψη της MODI v δ 24 = 5 u Π 1 Π 2 Π 3 Π Ε Ε Ε Εικονική Η ελάχιστη τιμή των x ij των τετραγώνων που έχουν - είναι η: ϑ = min 1, 25,1 = 1 κι αντιστοιχεί στα κελιά (2, 2) και (3, 4) { } δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 41

42 Ο πίνακας μεταφοράς μετά την τρίτη επανάληψη Ε 1 Ε 2 Ε 3 Εικονική Π 1 Π 2 Π 3 Π * Υπάρχουν 6 θετικά στοιχεία αντί των αναμενόμενων = 7 (συνεχίζουμε ως το στοιχείο x 22 να ήταν θετικό βασική μεταβλητή ) δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 42

43 Βέλτιστη λύση του προβλήματος Ε 1 Ε 2 Ε 3 Εικονική Π 1 Π 2 Π 3 Π δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 43

44 Προβλήματα μεγιστοποίησης εφαρμόζουμε τη διαδικασία με κόστος c ij = cij. ή μετατροπή του κριτηρίου επιλογής εισερχομένου κελιού: επιλέγεται εκείνο με το μικρότερο από τα αρνητικά δ ij, και μετατροπή του κριτήριου αριστότητας: η διαδικασία ολοκληρώνεται όταν όλα τα δ ij είναι. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 44

45 Παράδειγμα 2 Η βιομηχανική επιχείρηση Ultracom παράγει προϊόντα υψηλής τεχνολογίας. Η ζήτηση για τα προϊόντα της είναι μεγάλη, ιδιαίτερα για την οικογένεια των επεξεργαστών 5ZZX που εγκαθίστανται σε βιομηχανικούς servers. Θέλει να καταρτίσει ένα γενικό πρόγραμμα παραγωγής για την οικογένεια προϊόντων 5ΖΖΧ, για τους πρώτους τρεις μήνες του έτους. Η ζήτηση, σύμφωνα με τις παραγγελίες που έχουν εξασφαλιστεί και τις προβλέψεις του τμήματος μάρκετινγκ, αναμένεται να είναι, για τους μήνες Ιανουάριο, Φεβρουάριο και Μάρτιο, 5, 7 και 8 χιλιάδες τεμάχια αντιστοίχως. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 45

46 Δεδομένα άσκησης συνέχεια Παραγωγική δυναμικότητα = 5 τεμάχια το μήνα Αρχικό απόθεμα = 4 τεμάχια. Υπεργολάβος = 25 τεμάχια (Ιανουάριο και Μάρτιο μόνο) Διατήρηση αποθεμάτων δυνατή Ικανοποίηση ζήτησης άμεση Τελικό απόθεμα = 5 τεμάχια. Κόστος πρώτων υλών, εργασίας, διανομής και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία κόστους για κάθε επεξεργαστή είναι συνολικά 6χμ για τους μήνες Ιανουάριο και Μάρτιο. Το Φεβρουάριο, το κόστος αναμένεται να μειωθεί κατά 2% Κόστος διατήρησης αποθέματος 2χμ ανά τεμάχιο ανά περίοδο Οι επεξεργαστές που αγοράζονται από τον υπεργολάβο κοστίζουν στον επιχείρηση 1% επιπλέον. Να εντοπίσετε το πρόβλημα της εταιρείας να το διαμορφώσετε ως πρόβλημα μεταφοράς και να το λύσετε. δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 46

47 Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (όχι με τη Vogel) δ 63 = 4 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 47

48 z =958 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 48

49 z =954 δ 14 = 4 δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 49

50 z =952 βέλτιστη δημιουργία: επεξεργασία: Ν.Τσάντας 5

51 Ανάλυση Ευαισθησίας για το πρόβλημα μεταφοράς Αυτή είναι η βέλτιστη του 1 ου παραδείγματος v u Συνολικό κόστος μεταφοράς R = 12 Θα μελετήσουμε την επίδραση στη βέλτιστη λύση από μεταβολές στο κόστος c ij κάποιου κελιού στις παραμέτρους s i / d j 51

52 Μεταβολές στο κόστος c ij Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: το κελί (i, j) είναι μη βασικό (x ij = ) το κελί (i, j) είναι βασικό (x ij > ) Αναζητάμε ένα διάστημα τιμών για το c ij, ώστε η τρέχουσα βέλτιστη λύση να παραμείνει βέλτιστη. 52

53 Μεταβολές στο κόστος c ij 1 η περίπτωση: το κελί (i, j) είναι μη βασικό (x ij = ) ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΡΙΣΤΟΤΗΤΑΣ του c ij Οι τιμές των u i, v j δεν μεταβάλλονται. Μεταβάλλεται όμως η τιμή του δ ij : δ ˆ = u+v-cˆ ij i i ij όπου c ˆij η νέα τιμή για το κόστος μεταφοράς στο κελί (i, j). Π.χ. έστω ότι μεταβάλλεται το κόστος μεταφοράς c 11 στο κελί (1, 1). Ας είναι ĉ 11=c 11+Δ (=8+Δ). Τότε ˆ δ 11 = u ˆ 1 + v1 c11 = ( + 6) (8 +Δ ) = 2 Δ Συνεπώς, η παρούσα λύση παραμένει η βέλτιστη εάν ˆδ 11, δηλ εάν -2-Δ Δ -2 c 11 6 Γενικά, για τιμές του c ij στο διάστημα [u i + v j, ), η βέλτιστη λύση παραμένει αμετάβλητη. Αυτό είναι το διάστημα αριστότητας του c ij. Για τιμές του c 11 έξω από αυτό το διάστημα, η τρέχουσα λύση παύει να είναι η βέλτιστη. Τότε η διαδικασία συνεχίζεται με εισερχόμενο κελί το (1, 1). 53

54 Μεταβολές στο κόστος c ij 2 η περίπτωση: το κελί (i, j) είναι βασικό (x ij > ) Μεταβάλλονται οι τιμές των u i, v j και δ ij : δˆ = u+v-c ˆ ˆ ˆ ij i i ij Οπότε, εάν ˆδ ij " (i, j) η παρούσα λύση παραμένει η βέλτιστη. Διαφορετικά συνεχίζουμε τον αλγόριθμο κατά τα γνωστά. Π.χ. έστω ότι μεταβάλλεται το κόστος μεταφοράς c 13 στο κελί (1, 3) κι έχουμε ĉ 13=c 13+Δ (=1+Δ). Για τον υπολογισμό των u i, v j λύνουμε το σύστημα: u 1 + v 2 = 6 u 1 + v 3 = 1 + Δ u 2 + v 1 = 9 u 2 + v 3 = 13 u 3 + v 2 = 9 u 3 + v 4 = 5 Για u 1 = έχουμε u 2 = 3 Δ, u 3 = 3, v 1 = 6 + Δ, v 2 = 6, v 3 = 1 + Δ, v 4 = 2. Για να παραμείνει βέλτιστη η παρούσα λύση θα πρέπει ˆδ ij " (i, j), δηλ: ˆδ 11 = u+v-c =Δ 2 ˆδ 14 = u+v-c = 7 ˆδ 22 = u+v-c = 3 Δ ˆδ 24 = u+v-c = 2 Δ ˆδ 31 = u+v-c = 5+Δ ˆδ = u +v -c =Δ Συνεπώς, για -2 Δ = 8 c = 12 η παρούσα λύση εξακολουθεί να είναι η βέλτιστη. 54

55 Μεταβολές στις παραμέτρους s i / d j Λόγω της φύσης του προβλήματος μεταφοράς, η μεταβολή μιας μόνο εκ των παραμέτρων s i, d j δεν είναι δυνατή. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: οι ποσότητες s p, d q γίνονται αντίστοιχα s p +Δ, d q +Δ (αύξηση της ζήτησης του D q κατά Δ και ανάλογη αύξηση της προσφοράς του S p ) οι ποσότητες s t, s r γίνονται αντίστοιχα s t +Δ, s r -Δ (αύξηση της προσφοράς του S t κατά Δ και ανάλογη μείωση της προσφοράς του S r ) οι ποσότητες d f, d g γίνονται αντίστοιχα d f +Δ, d g -Δ (αύξηση της ζήτησης του D f κατά Δ και ανάλογη μείωση της ζήτησης του D g ). Αναζητάμε ένα διάστημα τιμών της ποσότητας Δ, ώστε η τρέχουσα βάση να παραμείνει η ίδια (: βασικά να είναι τα ίδια κελιά) 55

56 Μεταβολές στις παραμέτρους s i / d j 1 η περίπτωση: οι ποσότητες s p, d q γίνονται αντίστοιχα s p +Δ, d q +Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ ένα από τα βασικά κελιά της p-γραμμής και συνεχίζουμε με διαδοχικές Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με +Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της q-στήλης. Προφανώς εάν το κελί (p, q) είναι βασικό, αρκεί μόνο μια προσαρμογή +Δ στο συγκεκριμένο κελί. Π.χ. s 2 = 5+Δ, d 2 = 2+Δ v u Δ 25-Δ Δ 45 5+Δ Δ 3 3 Αν η νέα λύση είναι εφικτή, τότε θα είναι η βέλτιστη λύση του νέου προβλήματος. Αρκεί επομένως 1+Δ, 25-Δ, 5+Δ ή ισοδύναμα -5 Δ 25. Το συνολικό κόστος μεταφοράς ισούται με 12+9Δ κι άρα ο ρυθμός μεταβολής της τιμής ανά μονάδα μεταβολής του Δ στο διάστημα [-5, 25] είναι 9 (= u 2 + v 2 ). 56

57 Μεταβολές στις παραμέτρους s i / d j 2 η περίπτωση: οι ποσότητες s t, s r γίνονται αντίστοιχα s t +Δ, s r -Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ ένα από τα βασικά κελιά της t-γραμμής και συνεχίζουμε με διαδοχικές Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με -Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της r-γραμμής. Ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κόστους μεταφοράς είναι u t - u r Μεταβολές στις παραμέτρους s i / d j 3 η περίπτωση: οι ποσότητες d f, d g γίνονται αντίστοιχα d f +Δ, d g -Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ ένα από τα βασικά κελιά της f-στήλης και συνεχίζουμε με διαδοχικές Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με -Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της g-στήλης. Ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κόστους μεταφοράς είναι v f v g 57

58 Το πρόβλημα «εκχώρησης» ανάθεση εκτέλεσης εργασιών σε άτομα (: ένα άτομο μία μόνο εργασία). πλήθος ατόμων ίσο με πλήθος εργασιών (αλλιώς ). εντοπισμός της ιδανικής αντιστοίχισης (: εκχώρησης). σύνηθες κριτήριο η ελαχιστοποίηση κόστους (χρόνου, κλπ) ή η μεγιστοποίηση κέρδους (ικανοποίησης, κλπ) ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς, όπου η ζήτηση και προσφορά είναι μονάδες: o για ένα πρόβλημα με m εργασίες που πρέπει να εκτελεστούν από m άτομα, υπάρχουν m! δυνατά σενάρια διεκπεραίωσης. o στη λύση υπάρχουν m κελιά με τιμή 1 και m-1 με τιμή. o εκφυλισμένες λύσεις. ο Ουγγρικός Αλγόριθμος. 58

59 Παράδειγμα 3 Μια οικοδομική εταιρεία χρησιμοποιεί τέσσερα συνεργεία για να φέρει σε πέρας έναν ίσο αριθμό έχουν αναληφθεί. Κάθε συνεργείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε έργο, όχι όμως εξίσου ικανοποιητικά: Χρόνος 1 ο έργο 2 ο έργο 3 ο έργο 4 ο έργο 1 ο συνεργείο ο συνεργείο ο συνεργείο ο συνεργείο Ζητούμενο είναι η εκχώρηση σε κάθε συνεργείο ενός εκ των έργων σε τρόπο ώστε ο συνολικός χρόνος απασχόλησης να είναι ο ελάχιστος δυνατός. Βέλτιστη λύση (με συνολικό χρόνο ίσο με 15): 1 ο συνεργείο 2 ο έργο 2 ο συνεργείο 4 ο έργο 3 ο συνεργείο 3 ο έργο 4 ο συνεργείο 1 ο έργο 59

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες

Η άριστη ποσότητα παραγγελίας υπολογίζεται άμεσα από τη κλασική σχέση (5.5): = 1000 μονάδες ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Η ετήσια ζήτηση ενός σημαντικού εξαρτήματος που χρησιμοποιείται στη μνήμη υπολογιστών desktops εκτιμήθηκε σε 10.000 τεμάχια. Η αξία κάθε μονάδας είναι 8, το κόστος παραγγελίας κάθε παρτίδας

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Μια εταιρεία αλουμινίου έχει αποθέματα βωξίτη στην περιοχή G, στην S και στην A. Επίσης, υπάρχουν εργοστάσια μετάλλου, όπου ο βωξίτης

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε Ναι Τέλος Α2 Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Στρατηγική Παραγωγικής Διαδικασίας

Κεφάλαιο 1: Στρατηγική Παραγωγικής Διαδικασίας Κ1.1: Αναμενόμενες Χρηματικές Αξίες (ΑΧΑ) Οι ΑΧΑ ορίζονται ως η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου επί το καθαρό ή μεικτό κέρδος (ή κόστος) του ενδεχόμενου συν η πιθανότητα του άλλου ενδεχόμενου επί το καθαρό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

The Product Mix Problem

The Product Mix Problem Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 1 The Product Mix Problem Τα προβλήματα αυτά αναφέρονται σε συστήματα τα οποία εκμεταλλευόμενα τους περιορισμένους πόρους που έχουν στη διάθεσή του, παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου 2.87 Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Μέχρις_ότου Ημορφή της δομής επανάληψης Μέχρις_ότου είναι: Μέχρις_ότου Συνθήκη Η ομάδα εντολών στο εσωτερικό της επανάληψης, εκτελείται μέχρις ότου ισχύει η συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Όταν η Κ.Π.Δ. είναι γραμμική τότε το κόστος ευκαιρίας είναι πάντοτε σταθερό και ίσο με τη μονάδα. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2012 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι Η µέθοδος Vogel Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι η µέθοδος Vogel Η προσεγγιστική µέθοδος Vogelείναι µια πιο πολύπλοκη µέθοδος σε σχέση µε τις προηγούµενες, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές 3. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΟΣ 3. Τι Είναι Απόθεμα Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές. Απόθεμα Α, Β υλών και υλικών συσκευασίας: Είναι το απόθεμα των υλικών που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ομή Επανάληψης

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ομή Επανάληψης ΕΠ.1 Να αναπτυχθεί αλγόριθμος που θα εκτυπώνει τους διψήφιους άρτιους ακέραιους. Η άσκηση στην ουσία θα πρέπει να εκτυπώσει του αριθμούς 10, 12, 14,.,96, 98. Μεμιαπρώτηματιάθαμπορούσαμενατηνλύσουμεμετοναπροσπελάσουμετιςτιμές

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ουζούνης Παναγιώτης ΜΑΡΤΙΟΣ 008 ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γεροντίδης Ιωάννης Εκπονηθείσα πτυχιακή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Εξετάσεις Προσομοίωσης 06/04/2015 Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό κάθε πρότασης και δίπλα τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν είναι σωστή και ΛΑΘΟΣ αν

Διαβάστε περισσότερα

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών

Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΔΠΜΣ Οικονομική & Διοίκηση Τηλεπικοινωνιακών Δικτύων Κ.Ε. Κιουλάφας Επιχειρησιακός Ερευνητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Αθήνα, 2007 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γραφική λύση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Πρόγραμμα Γενικό γραμμικό πρόβλημα με πολύγωνη περιοχή εφικτών λύσεων Να λυθεί το παρακάτω γραμμικό πρόγραμμα: ma z μ. π. 4

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας Το δυϊκό πρόβληµα Χρησιµότητα, εφαρµογές Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγµατα 1 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής. Δημήτρης Μπάλιος

Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής. Δημήτρης Μπάλιος Διοικητική Λογιστική Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής Δημήτρης Μπάλιος ΘΕΩΡΙΑ Κοστολόγηση συνεχούς παραγωγής Η επιχείρηση παράγει πολλά τεμάχια ενός μοναδικού προϊόντος (τυποποιημένο προϊόν) για μεγάλο χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

1. ΜΕΤΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ

1. ΜΕΤΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ 1. ΜΕΤΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ Για την μέτρηση της παραγωγικότητας χρησιμοποιούμε τους επόμενους τύπους Παραγωγικότητα = Έξοδος (Εκροή) Είσοδος (Εισροή) Διακρίνονται τρεις διαφορετικές περιπτώσεις μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑ Α

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑ Α ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις από Α1 μέχρι και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, και

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Βάλβης Δημήτριος Μηχανικός Πληροφορικής ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας

2.10. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας .. Τιμή και ποσότητα ισορροπίας ίδαμε ότι η βασική επιδίωξη των επιχειρήσεων είναι η επίτευξη του μέγιστου κέρδους με την πώληση όσο το δυνατόν μεγαλύτερων ποσοτήτων ενός αγαθού στη μεγαλύτερη δυνατή τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συγκέντρωση Κόστους Παραγωγής Προϊόντων

Συγκέντρωση Κόστους Παραγωγής Προϊόντων Συγκέντρωση Κόστους Παραγωγής Προϊόντων I ενότητa Άσκηση 4: Οι παρακάτω δαπάνες πραγματοποιήθηκαν από την επιχείρηση ΑΘΗΝΑ ΑΕ το 2002. Άμεση Εργασία 10.000.000 Άμεσα Υλικά 7.500.000 Αμοιβές Μηχ/κού Παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας κτηµατίας πρέπει να καθορίσει πόσα στρέµµατα καλαµποκιού και σιταριού να φυτέψει αυτή τη χρονιά. Ένα στρέµµα σιταριού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ 7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ Για να αναπτυχθούν οι βασικές έννοιες της δυναμικής του εργοστασίου εισάγουμε εδώ ορισμένους όρους πέραν αυτών που έχουν ήδη αναφερθεί σε προηγούμενα Κεφάλαια π.χ. είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV)

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV) 5. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (Decision Analysis) Επιχειρήσεις, Οργανισμοί αλλά και μεμονωμένα άτομα αντιμετωπίζουν σχεδόν καθημερινά το δύσκολο πρόβλημα της λήψης αποφάσεων. Τα προβλήματα αυτά έχουν σαν αντικειμενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ

Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Η ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΩΝ ΑΓΑΘΩΝ 1. Εισαγωγή Όπως έχουμε τονίσει, η κατανόηση του τρόπου με τον οποίο προσδιορίζεται η τιμή ενός αγαθού απαιτεί κατανόηση των δύο δυνάμεων της αγοράς, δηλαδή της ζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο 3.07 Να γραφεί αλγόριθμος που θα δημιουργεί πίνακα 100 θέσεων στον οποίο τα περιττά στοιχεία του θα έχουν την τιμή 1 και τα άρτια την τιμή 0. ΛΥΣΗ Θα δημιουργήσω άσκηση βάση κάποιων κριτηρίων. Δηλ. δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Τ.Σ. (Θ.Κ.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Τ.Σ. (Θ.Κ. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Τ.Σ. (Θ.Κ.) ΙΙ Μάθημα: ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να

Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να Νεκρό σημείο είναι το ποσό εκείνο των πωλήσεων με το οποίο μια επιχείρηση καλύπτει ακριβώς τόσο τα σταθερά όσο και τα μεταβλητά της έξοδα χωρίς να πραγματοποιεί κέρδος ή ζημιά. Η βασική αρχή πάνω στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το συνολικό προϊόν παίρνει την μέγιστη τιμή

Διαβάστε περισσότερα

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας

δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2015 1-5 1. 5 5 4. 10 2. . 3. 6 3. . 6

2015 1-5 1. 5 5 4. 10 2. . 3. 6 3. . 6 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµίας από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και, δίπλα, τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015

ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. geeconomy@yahoo.com. Γ Ι Ω Ρ Γ Ο Σ Κ Α Μ Α Ρ Ι Ν Ο Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Λ Ο Γ Ο Σ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000 2015 ΑΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο παρόν είναι συγκεντρωµένες όλες σχεδόν οι ερωτήσεις κλειστού τύπου που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (2009) ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (2009) ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (009) ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ Α Α.1. Σωστό. Α.. Λάθος. Ο πληθωρισμός πλήττει όλα τα άτομα που το χρηματικό τους εισόδημα είναι σταθερό ή αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Α3. ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β1 28 29 Η

Α2. Α3. ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΘΕΜΑ Β1 28 29 Η ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα