Numerical Methods for Pricing and Hedging American Options

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΠΜΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΣΕ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Μεταπτυχιακή Εργασία Νικόλας Καρπαθόπουλος Αριθμητικές Μέθοδοι για την Αποτίμηση και Αντιστάθμιση Αμερικάνικων Δικαιωμάτων Επιβλέπων Καθηγητής: Μιχάλης Λουλάκης ΑΘΗΝΑ 214

2 NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF ATHENS School of Applied Mathematical and Physical Sciences Division of Mathematics Msc Mathematical Modelling in Modern Technologies and Financial Engineering Master Thesis Nikolas Karpathopoulos Numerical Methods for Pricing and Hedging American Options Supervisor: Michail Loulakis ATHENS 214

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΠΜΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΣΕ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Μεταπτυχιακή Εργασία Νικόλας Καρπαθόπουλος Αριθμητικές Μέθοδοι για την Αποτίμηση και Αντιστάθμιση Αμερικάνικων Δικαιωμάτων Επιβλέπων Καθηγητής: Μιχάλης Λουλάκης Την επιτροπή αξιολόγησης αποτέλεσαν οι: Μιχάλης Λουλάκης Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Κωνσταντίνος Χρυσαφίνος Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Αντώνης Παπαπαντολέων JuniorProfessor TU Berlin

4 Ευχαριστίες Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον επιβλέποντα μου καθηγητή κ. Λουλάκη, για τη συνεχή καθοδήγηση του στην εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας, αλλά και για τη στήριξη του σε οποιοδήποτε ζήτημα αντιμετώπιζα στις σπουδές μου. Επιπροσθέτως, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ Χρυσαφίνο για τις πολύτιμες παρατηρήσεις του στην παρούσα εργασία, καθώς και τον κ Παπαπαντολέων για την τιμή που μου έκανε να συμμετάσχει στην εξεταστική επιτροπή. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα την οικογένεια μου για τη στήριξη τους και την υπομονή τους σε όλα τα φοιτητικά μου χρόνια, αλλά και τους φίλους μου Ιριδα και Albert για την πολύτιμη βοήθεια και συμπαράσταση τους. i

5 Abstract American Options allow the holder to exercise the option at any time prior to and including its maturity date. Therefore, the evaluation of these options is more complicated than the European ones, since we have to determine not only the option value, but also the time that should be exercised. Thus, numerical methods should be applied to deal with the pricing of these options. In this thesis, we presented some numerical methods for pricing American O- ptions. More precisely, we introduced the finite elements method, the finite differences and the binomial method, giving emphasis mainly on the finite e- lements method. Furthermore, based on [2], we introduced an algorithm for evaluating the early exercise, for the finite differences and the finite elements, and we compared this algorithm with the algorithm of the early exercise of the binomial method. In the process of examing which algorithm is better, we used the early exercise of the American Perpetual Put Option, which has an anlytical form. Comparing these methods with the perpetual, we saw that the algorithm for the early exercise of the finite elements method converged asymptotically with the early exercise of the perpetual, while the binomial method exceeded the value of the perpetual. Moreover, we discretized the American Put Option Worst of Two Assets using the finite elements method by transforming the 2D Black Scholes equation to the 2D general diffusion equation. Due to the fact that spurious oscillations may occur based on [35] we introduced the Streamline Upwind Galerkin Method. Finally, we presented some Greeks: Delta Gamma and Theta for the American Put Option using finite differences. The thesis is divided into 7 chapters. In chapter 1, we introduced some properties of the American Put Option, such as self financing strategies with consumption, early exercise curve and smooth pasting fit condition and their proofs based on [47], [3], [5] as well as the Greeks Delta Gamma and Theta (based on [33], [37]). In chapter 2, we presented the American Put Option as an LCP problem (Linear Complementarity Problem) and based on [3], we gave a transformation of the Black Scholes equation to the heat equation. In chapter 3, we introduced the method of finite differences for discretizing the heat equation including the pricing of American and European options. Thereafter, in chapter 4, we presented, the finite elements for pricing the above options. In order to solve the discretized system which came from the finite differences ii

6 and finite elements method, we used PSOR and SOR iterative methods, which were presented in chapter 5. In chapter 6, we introduced the transformation of the 2D Black Scholes equation to the 2D general diffusion equation, and it was discritized using Streamline Upwind Galerkin Method. Lastly, based on the above, we presented some numerical applications for pricing American Call and Put options and the American Put option Worst of two Assets including their Greeks. In conclusion, all the previous applications were based on the use of MATLAB, which the code is given in the Appendix G. Keywords: Finite Elements, Finite Differences, Early Exercise, PSOR, Streamline Upwind Galerkin Method, Delta, Gamma, Theta Information Title: Numerical Methods for Pricing and Hedging American Options Author: Nikolas Karpathopoulos Supervisor: Michail Loulakis Institute: National Technical University of Athens Department of Applied Mathematics and Physical Sciences Msc Mathematical Modelling in Modern Technologies and Financial Engineering Date: April 214 iii

7 Περίληψη Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η παρουσίαση αριθμητικών μεθόδων για την τιμολόγηση Αμερικάνικων Δικαιωμάτων. Πιο συγκεκριμένα έγινε χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων και της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών. Το γραμμικό συστήμα που προκύπτει απο τις ανωτέρω μεθόδους επιλύθηκε με χρήση της επαναληπτικής μεθόδου PSOR. Επιπροσθέτως, για τον προσδιορισμό της πρόωρης άσκησης βασιζόμενοι στο [2],κατασκεύασαμε έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό της και συγκρίναμε τα αποτελέσματα του αλγορίθμου μας, με τον αντίστοιχο αλγόριθμο της διωνυμικής μεθόδου. Επιπλέον με χρήση των πεπερασμένων διαφορών διακριτοποιήσαμε τα Greeks: Delta, Theta, Gamma. Τέλος για την τιμολόγηση Αμερικάνικων Δικαιωμάτων Πώλησης με δύο υποκείμενα προϊόντα, μετασχηματίσαμε τη 2D Black Scholes στη γενικευμένη εξίσωση διαχύσης, όπου στην τελευταία εφαρμόσαμε τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Για την αντιμετώπιση τυχών διαταραχών που προκύπτουν από την εξίσωση διαχύσης βασιζόμενοι στο [35] εισάγαμε τη μέθοδο Streamline Upwind Galerkin. Αξίζει να επισημανθεί ότι οι αριθμητικές εφαρμογές έγιναν με χρήση της MA- TLAB, οι αλγόριθμοι των οποίων βρίσκονται στο Παράρτημα Γʹ. Πληροφορίες Τίτλος: Αριθμητικές Μέθοδοι για την Αποτίμηση και Αντιστάθμιση Αμερικάνικων Δικαιωμάτων Συγγραφέας: Νικόλας Καρπαθόπουλος Επιβλέπων Καθηγητής: Μιχάλης Λουλάκης Ιδρυμα: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΔΠΜΣ Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες και την Οικονομία Ημερομηνία: Απρίλιος 214 iv

8 Περιεχόμενα Κατάλογος Σχημάτων Κατάλογος Πινάκων vii x 1 Εισαγωγή στα Χρηματοοικονομικά Παράγωγα Χαρακτηριστικά Δικαιωμάτων Προαίρεσης Θέσεις Δικαιωμάτων Προαίρεσης και η Συνάρτηση Αποπληρωμής Η Εξίσωση Black Scholes Αυτοχρηματοδοτούμενο Χαρτοφυλάκιο Martingale Μέτρα Πιθανότητας Απότίμηση Δικαιωμάτων Ευρωπαϊκού Τύπου Αμερικάνικα Δικαιώματα Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς Το Αέναο Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Τα Greeks Delta Theta Gamma Σχέση μεταξύ των Greeks Η Εξίσωση Black-Scholes και η Εξίσωση της Θερμότητας Η Εξίσωση της Θερμότητας και το Ευρωπαϊκο Παράγωγο Καμπύλη Ελέυθερου Συνόρου και το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης και το Γραμμικό Συμπληρωματικό Πρόβλημα Πεπερασμένες Διαφορές για το Αμερικάνικο Παράγωγο Διακριτοποίηση της Εξίσωσης της Θερμότητας με Χρήση Πεπερασμένων Διαφορών Η αμέση μέθοδος Euler για την εξίσωση θερμότητας Ευστάθεια της άμεσης μεθόδου Euler Η έμμεση μέθοδος Euler v

9 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ Η μέθοδος Crank Nicolson Πεπερασμένες Διαφορές για το Αμερικάνικο Παράγωγο Πεπερασμένα Στοιχεία για το Αμερικάνικο Παράγωγο Πεπερασμένα Στοιχεία για Εξισώσεις Παραβολικού Τύπου Χώροι Sobolev Μεταβολική Μορφή Παραβολικών Εξισώσεων Εκτίμηση Σφάλματος Σύγκλιση της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων Πεπερασμένα Στοιχεία για την Εξίσωση της Θερμότητας Πεπερασμένα Στοιχεία για το Αμερικάνικο Παράγωγο Επαναληπτικές Μέθοδοι για την την Εξίσωση Black and Scholes Σύγκλιση των Επαναληπτικών Μεθόδων Γραμμικές Επαναληπτικές Μέθοδοι Οι μέθοδοι Jacobi-Gauss-Seidel και οι Μεθοδοι Χάλαρωσης SOR- PSOR Σύγκλιση των Μεθόδων Χαλάρωσης Διακριτοποίηση της 2-D Black and Scholes Εξίσωσης με Χρήση Πεπερασμένων Στοιχείων Η 2-D Black and Scholes και η Γενικευμένη Εξίσωση Διάχυσης Διακριτοποίηση της Γενικευμένης Εξίσωσης Διάχυσης με χρήση της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων Ασιατικά Παράγωγα Ομόλογα Αμερικάνικο Παράγωγο με δύο υποκείμενα προϊόντα Αριθμητικές Εφαρμογές Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Προσδιορισμός Καμπύλης Πρόωρης Άσκησης Αριθμητικά Αποτελέσματα για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Τετραγωνικές Συναρτήσεις Βάσης για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Τα Greeks για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης με Δύο Υποκείμενα Προϊόντα Αʹ Η Αναλυτική Λύση της Black Scholes Εξίσωσης 119 Βʹ Το Διωνυμικό Μοντέλο για την Αποτιμήση Παραγώγων 12 Γʹ Οι Αλγόριθμοι στην MATLABR 124 Βιβλιογραφία 147 vi

10 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Θέσεις Δικαιωμάτων Προαίρεσης για K = Καμπύλη Πρόωρης Άσκησης για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης, για K = 5, T = Η Κυρτή Συνάρτηση h(x) = (x K) ͺΥπολογισμός του Delta Το Delta Greek για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Αγοράς ΤοDelta Greek για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Πώλησης Το Theta Greek για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Αγοράς Το Gamma Greek για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Πώλησης Το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Το Απλό προβλήμα εμποδίου Η άμεση μεθόδος Euler Η έμμεση μεθόδος Euler Η μέθοδος Crank Nicolson Συναρτήσεις Στέγες Γραφική αναπαράσταση των βέλτιστων ω για την επαναληπτική μέθοδο SOR Συναρτήσεις Βάσης Αναφορικό Τρίγωνο Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης για S = 5, K = 5, r =.1, σ =.4, T = Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης για S = 5, K = 5, r =.1, σ =.4, T = 1 στις 3 διαστάσεις Καμπύλη Πρόωρης Άσκησης του Αμερικάνικου Δικαιώματος Πώλησης με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/ vii

11 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜ ΑΤΩΝ 7.4 Καμπύλη Πρόωρης Ασκήσης για τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων (κόκκινη γραμμή) για την Μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών (μπλέ άστρο) και με το Διωνυμικό Μοντέλο (πράσινη γραμμή) για K = 5, r =.1,σ =.4, T = 5/ Σύγλιση της Πρόωρης Άσκησης S f για την μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων και το Διωνυμικό Μοντέλο για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης K = 5, r =.1, σ =.4 T = 5/ Σύγκλιση της Πρόωρης Άσκησης για την μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων και το Διωνυμικό Μοντέλο ως προς το Αέναο Α- μερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης για K = 5, r =.1, σ =.4 με χρόνο άσκησης έως T = 3 με M = N = Αριθμητικά Αποτελέσματα για τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για το Δικαίωμα Πωλήσης για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/ Αριθμητικά Αποτελέσματα για τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πωλήσης για S = K = 1, r = 6%, σ =.4,ω = 1.15 και T = Σύγκλιση και ο αντίστοιχος υπολογιστικός χρόνος για την μέθοδο των Πεπερασμένων στοιχειων γιαk = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 και eps = 1e Σύγκλιση και ο αντίστοιχος υπολογιστικός χρόνος για την μέθοδο των Πεπερασμένων στοιχειων για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 και eps = 1e Σύγκριση των Αριθμητικών Αποτελεσμάτων για τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, των Πεπερασμένων Διαφορών και του Διωνυμικού Μοντέλου, για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πωλήσης με S = K = 5, r =.1%, σ =.4,ω = 1.3 και T = 5/12 eps = 1e 7 με αριθμό βημάτων έως Τετραγωνικές Συναρτήσεις Συγκλίση και Log Σφάλμα για το Αμερικάνικο Δικαιώμα Πώλησης με χρήση τετραγωνικών συαναρτήσεων, για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/ Τα Greeks για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης, για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/ Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς χωρίς καταβολή μερισμάτων για K = 1, r =.25, σ =.6, T = Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς χωρίς καταβολή μερισμάτων για K = 1 r =.25, σ =.6, T = 1 στις 3 διαστάσεις Το Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς για K = 1, r =.25, σ =.6, T = 1 με χρήση μερίσματος δ = Αριθμητικά Αποτελέσματα για το Δικαίωμα Αγοράς, με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για K = 1, r =.25, σ =.6, T = 1, με χρήση μερίσματος δ = Πλέγμα Διαμέρισης [, 2S 1 ] [, 2S 2 ], για το Δικαίωμα Πώλησης, με χρήση Ομοιόμορφων Τριγωνισμών, με S 1 = S 2 = S = Η συνάρτηση Αποπληρωμής για το Worst Of Two Assets viii

12 ΚΑΤ ΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜ ΑΤΩΝ 7.21 Το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης για το Worst Of Two Assets, με S 1 = S 2 = 4, K = 4, T =.5, r =.5, και σ 1 = σ 2 = Τα Delta Greeks για το 2D Αμερικάνικο Δικαίωμα ΠώλησηςWorst of Two Assets με S 1 = S 2 = 4, K = 4, T =.5, r =.5, σ 1 = σ 2 =.3και ρ = Τα Gamma Greeks για το 2D Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Worst of Two Assets με S 1 = S 2 = 4, K = 4, T =.5, r =.5, και σ 1 = σ 2 = Βʹ.1 Το Διωνυμικό Μοντέλο ix

13 Κατάλογος Πινάκων 7.1 Αριθμητικά Αποτελέσματα Δικαιώματος Πώλησης για τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, των Πεπερασμένων Διαφορών και του Διωνυμικού Μοντέλου για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/ Αριθμητικά Αποτελέσματα Πρόωρης Άσκησης με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/ Αριθμητικά Αποτελέσματα Πρόωρης Άσκησης με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων και το Διωνυμικό Μοντέλο ως προς το Αντίστοιχο Αέναο Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης για K = 5, r =.1, σ =.4 με M = N = Αριθμητικά Αποτελέσματα για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης με χρήση τετραγωνικών συναρτήσεων P2(FEM) με K = 5, r =.1, σ = Αριθμητικά Αποτελέσματα των μεθόδων των Πεπερασμένων Στοιχείων (FEM), των Πεπερασμενων Διαφορών και του Διωνυμικού Μοντέλου για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς (Χωρίς Μερίσματα) για K = 1, r =.25, σ =.6, T = Αριθμητικά Αποτελέσματα των μεθόδων των Πεπερασμένων Στοιχείων(FEM), των Πεπερασμενων Διαφορών και του Διωνυμικού Μοντέλου για το Αμερικάνικο Δικαιώμα Αγοράς για K = 1, r =.25, σ =.6, T = 1 με χρήση μερίσματος δ = Αριθμητικά Αποτελέσματα Worst Of Two Assets για S 1 = S 2 = 4, K = 4, T =.5, r =.5, και σ 1 = σ 2 = x

14 Κατάλογος Αλγορίθμων Ο αλγόριθμος της PSOR Ο αλγόριθμος του Αμερικάνικου Δικαιώματος Πώλησης Ο αλγόριθμος Πρόωρης Άσκησης για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης xi

15 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στα Χρηματοοικονομικά Παράγωγα Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές ιδιότητες και χαρακτηριστικά των Ευρωπαϊκών και Αμερικάνικων Παραγώγων, καθώς τα Greeks των οποίων η χρήση γίνεται για αντιστάθμιση κινδύνου. Προτού παρουσιάσουμε τις αντίστοιχες ιδιότητες τους θα παρουσιάσουμε τα κύρια χαρακτηριστικά των παραγώγων. Θα ξεκινήσουμε δίνοντας τον ορισμό του παραγώγου. Ενα παράγωγο ορίζεται ως ένα χρηματοικονομικό προϊόν του οποίου η αξία εξαρτάται από την αξία κάποιου άλλου, πιο συγκεκριμένα του υποκείμενου προϊόντος. Το υποκείμενο προϊόν μπορεί να είναι μία μετοχή, ένα ομόλογο, ένα αγαθό (πχ χρυσός, πετρέλαιο), ένας χρηματιστηριακός δείκτης ή ακόμα και ένα άλλο παράγωγο.χαρακτηριστικά παραδείγματα παραγώγων είναι τα προθεσμιακά συμβόλαια και τα δικαιώματα προαίρεσης. Στην εργασία αυτή θα εστιάσουμε στα δικαιώματα προαίρεσης. Προθεσμικά Συμβόλαια (Forward Contracts) Τα προθεσμιακά συμβόλαια αποτελούν την απλούστερη μορφή παραγώγου. Είναι μία συμφωνία μεταξύ δύο συμβαλλόμενων, για αγορά ή πώληση ένος υποκείμενου προϊόντος σε μία προκαθορισμένη χρονική στιγμή T που ονομάζεται χρόνος ωρίμανσης και σε προκαθόρισμένη τιμή K που ονομάζεται τιμή παράδοσης. Ο ένας συμβαλλόμενος έχει θετική θέση (long position) όπου συμφωνεί να αγοράσει μία ποσότητα ενός υποκείμενου προϊόντος σε προκαθορισμένη τιμή. Αντίστοιχα ο άλλος συμβαλλόμενος λαμβάνει την αρνητική θέση (short position) κατά την οποία συμφωνεί στην πώληση μίας ποσότητας υποκείμενου προϊόντος σε προκαθορισμένη τιμή και χρόνο ίδιο με αυτού του κατόχου της θετικής θέσης. 1

16 1.1. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚ Α ΔΙΚΑΙΩΜ ΑΤΩΝ ΠΡΟΑ ΙΡΕΣΗΣ Δικαιώματα Προαίρεσης (Options) Το δικαίωμα προαίρεσης είναι ένα συμβόλαιο μεταξύ δύο συμβαλλόμενων το οποίο εν αντιθέσει με τα προθεσμειακά συμβόλαια έχει πιο σύνθετη μορφή. Τα απλούστερα δικαιώματα προαίρεσης είναι το δικαίωμα αγοράς (call option) και αντίστοιχα το δικαίωμα πώλησης (put option). Το δικαίωμα αγοράς δίνει το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωση στον κάτοχο του να αγοράσει από τον συμβαλλόμενο τμήμα υποκείμενου προϊόντος στον χρόνο T έναντι τιμής K. Αντίστοιχα το δικαίωμα πώλησης (put option) δίνει το δικαίωμα αλλά όχι την υποχρέωση στον κάτοχο του να πουλήσει τμήμα του υποκέιμενου προϊόντος στον χρόνο T με τιμή K. Ο χρόνος T καλείται χρόνος ωρίμανσης και αντίστοιχα η τιμή K καλείται τιμή άσκησης (exercise price or strike price). Είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι για τον κάτοχο των δικαιωμάτων προαίρεσης υπάρχει το δικαίωμα και όχι υποχρέωση να ασκήσει το δικαίωμα. Το γεγονός αυτό είναι που το κάνει να διαφέρει από τα προθεσμιακά συμβόλαια και τα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης. Τα κυριότερα δικαιώματα προαίρεσης είναι το Ευρωπαϊκό και το Αμερικάνικο. Το Ευρωπαϊκό δικαίωμα ασκείται μόνο στον χρόνο ωρίμανσης, έναντι των Αμερικάνικων (κυρίως των Αμερικάνικων δικαιωμάτων πώλησης) τα οποία ασκούνται σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Αυτό οφείλεται στην δυνατότητα πρόωρης άσκησης που έχει το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης. 1.1 Χαρακτηριστικά Δικαιωμάτων Προαίρεσης Θέσεις Δικαιωμάτων Προαίρεσης και η Συνάρτηση Αποπληρωμής Στα δικαιώματα προαίρεσης υπάρχουν 4 τύποι θέσεων: 1. Θετική θέση για το δικαίωμα αγοράς 2. Θετική θέση για το δικαίωμα πώλησης 3. Αρνητική θέση για το δικαίωμα αγοράς 4. Αρνητική θέση για το δικαίωμα πώλησης Για το δικαίωμα αγοράς η συνάρτηση αποπληρωμής (payoff) εκφράζει το ποσό το οποίο η τιμή της μετοχής θα υπερβαίνει την ανάλογη τιμή άσκησης του δικαιώματος. Συνεπώς τα δικαιώματα αγοράς έχουν μεγαλύτερη αξία όταν αυξάνεται η τιμή της μετοχής, ενώ θα έχουν μικρότερη αξία όταν αυξάνεται η τιμή άσκησης του δικαιώματος. Αντίστοιχα για τα δικαιώματα πώλησης η συνάρτηση αποπληρωμής εκφράζει το ποσό το οποίο η τιμή άσκησης του δικαιώματος θα υπερβαίνει την τιμή της μετοχής. Σε αντίθεση με το δικαίωμα αγοράς το δικαιώμα πώλησης θα έχει μεγαλύτερη αξία όταν η αντίστοιχη τιμή της μετοχής μειώνεται και μικρότερη αξία όταν η τιμή της μετοχής αυξάνεται. 2

17 1.1. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚ Α ΔΙΚΑΙΩΜ ΑΤΩΝ ΠΡΟΑ ΙΡΕΣΗΣ Payoff 1 Payoff K K (αʹ) Long Put (βʹ) Long Call Payoff 1 Payoff K K (γʹ) Short Put (δʹ) Short Call Σχήμα 1.1: Θέσεις Δικαιωμάτων Προαίρεσης για K = 2 Η συνάρτηση αποπληρωμής για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς στην θετική θέση είναι: max (S T K, ) όπου S T η τιμή της μετοχής στον χρόνο ωρίμανσης του δικαιώματος T Η συνάρτηση αποπληρωμής για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς στην αρνητική θέση είναι: max (S T K, ) = min (K S T, ) Αντίστοιχα για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης στην θετική θέση θα έχουμε: max (K S T, ) Τέλος για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης στην αρνητική θέση θα έχουμε: max (K S T, ) = min (S T K, ) Αρχή της μη επιτηδειότητας (no arbitrage) Τέλος για την ανάλυση της εξίσωσης Black Scholes είναι σημαντικό να αναφέρουμε την αρχή της μη επιτηδειότητας. Η επιτηδειότητα εμπλέκει τη δυνατότητα κέρδους χωρίς ανάληψη ρίσκου. Παραδείγματος χάριν, θεωρούμε ότι μία μετοχή διαπραγματεύεται στο χρηματιστήριο της Νέας Υόρκης και ταυτόχρονα στο χρηματιστήριο 3

18 1.2. Η ΕΞ ΙΣΩΣΗ BLACK SCHOLES του Λονδίνου. Υποθέτουμε ότι η τιμή της μετοχής στο χρηματιστήριο της Νέας Υόρκης είναι 175 $ και 1 στο χρηματιστήριο του Λονδίνου. Δεδομένου ότι το αντίστοιχο επιτόκιο επιφέρει 1.7 $ σε αντιστοιχία με 1 ένας κερδοσκόπος θα μπορούσε στιγμιαία να αγοράσει 1 μερίδια μετοχών από το χρηματιστήριο της Νέας Υόρκης και να τις πουλήσει στο χρηματιστήριο του Λονδίνου με κέρδος χωρίς ρίσκο: 1 [ ] = 3$ χωρίς περαιτέρω χρηματοοικονομικά έξοδα. Ωστόσο η επιτηδειότητα αυτή δεν μπορεί να διαρκέσει για μεγάλο χρονικό διάστημα. Καθώς οι κερδοσκόποι όσο αγοράζουν μετοχές από το χρηματιστηρίο της Νέας Υόρκης, από την αρχή του νόμου προσφοράς και ζήτησης το γεγονός αυτό θα επιφέρει αύξηση της τιμής της μετοχής σε δολλάρια και ομοίως μία ανάλογη μείωση της τιμής της μετοχής σε λίρες. Συνεπώς πολύ γρήγορα οι δύο τιμές των μετοχών θα έχουν ίδια αξία και στα δύο χρηματιστηρία, έτσι ώστε ο παραπάνω μηχανισμός να μην επιφέρει κέρδος. Η αρχή της Επιτηδειότητας Η αρχή της μη επιτηδειότητας αξιώνει ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχει κέρδος χωρίς λήψη ρίσκου. Στην μαθηματική χρηματοοικονομία δεχόμαστε την αρχή της μη επιτηδειότητας ως αξίωμα. 1.2 Η Εξίσωση Black Scholes Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε την εξίσωση Black Scholes της οποίας η χρήση γίνεται για την τιμόλογηση παραγώγων. Πρωτού παρουσιασουμε την ανάλυση της εξίσωση, θα πρέπει να κάνουμε τις ακόλουθες υποθέσεις: Το επιτόκιο r και η διακύμανση σ είναι σταθερές συναρτήσεις. Η διαπραγμάτευση της μετοχής είναι συνεχής. Δεν υπάρχουν περαιτέρω χρηματοοικονομικά έξοδα. Θεωρούμε ότι δεν υπάρχει επιτηδειότητα (no arbitrage) Το υποκείμενο προϊόν- μετοχή η οποία δίνεται απο την στοχαστική διαφορική εξίσωση: ds = Sµdt + SσdW (1.1) Το υποκείμενο προϊόν δεν αποδίδει μερίσματα. Ο ισχυρισμός αυτός μπορεί να παραληφθεί στην περίπτωση όπου τα μερίσματα είναι γνωστά εκ των προτέρων. Με βάση τους ανωτέρω ισχυρισμούς είμαστε έτοιμοι να περιγράψουμε το μοντέλο Black Scholes. Σκόπος μας είναι να φτιάξουμε ένα χαρτοφυλάκιο αποτελούμενο 4

19 1.2. Η ΕΞ ΙΣΩΣΗ BLACK SCHOLES από το προϊόν χωρίς ρίσκο και το υποκείμενο προϊόν. Εστω ότι το υποκείμενο προϊόν ακολουθεί την στοχαστική διαφορική εξίσωση: ds t = µs t dt + σs t dw t tɛ[, T ] (1.2) Από το Λήμμα του Itô θα έχουμε: ) S t = S exp (µt σ2 2 t + σw t Εστω το προϊόν χωρίς ρίσκο δίνεται από την ακόλουθη συνήθη διαφορική εξίσωση da t = ra t dt η λύση της οποίας δίνεται από την ακόλουθη σχέση: { A t = A e rt A = Αυτοχρηματοδοτούμενο Χαρτοφυλάκιο Ενα χαρτοφυλάκιο ϕ = (ϕ t ) t T με ϕ t = (H t, H t ) t T, όπου H t είναι η ποσότητα που αντιστοιχεί στο προϊόν χωρίς ρίσκο, και αντίστοιχα H t η ποσότητα που αντιστοιχεί στο υποκείμενο προϊόν. Η τιμή του χαρτοφυλακίου σε χρόνο t δίνεται από τη σχέση: V t (ϕ) = H t A t + H t S t Για να είναι το χαρτοφυλάκιο μας αυτοχρηματοδοτούμενο θα πρέπει dv t (ϕ) = H t da t + H t ds t (1.3) Για να είναι καλά ορισμένη η (1.3) θα πρέπει T H t < και T H t <. Παρατηρούμε ότι το ολοκλήρωμα ˆ T H t da t = ˆ T H t re rt dt είναι καλά ορισμένο, και αντίστοιχα για το στοχαστικό ολοκλήρωμα θα έχουμε: ˆ T H t ds t = ˆ T ˆ T (H t µs t )dt + σh t S t dw t Ορισμός 1.1. Ενα χαρτοφυλάκιο ϕ είναι αυτοχρηματοδοτούμενο αν τα (H t ) t T και (H t ) t T ικανοποιούν: 1. T H t dt + T H tdt < + σχεδόν παντού. 2. H t A t + H t S t = H A + H S + t H uda u + t H uds u σχεδόν παντού. 5

20 1.2. Η ΕΞ ΙΣΩΣΗ BLACK SCHOLES Πρόταση 1.1. Εστω ϕ t = (H t, H t ) t T διαδικασία στον R 2 με ˆ T Εστω V t (ϕ) η αξία του χαρτοφυλακίου ˆ T Ht dt + H t dt < σ χεδόν παντού Ορίζουμε: V t (ϕ) = H t A t + H t S t Ṽ t (ϕ) = e rt V t (ϕ) την προεξοφλημένη τιμή του χαρτοφυλακίου ϕ. Τότε η ϕ ορίζει ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο αν και μόνο αν Ṽ t (ϕ) = V (ϕ) + ˆ t H t d S u σ χεδόν παντού tɛ[, T ] όπου S t = e rt S t η προεξοφλημένη τιμή του υποκείμενου προϊόντος. Απόδειξη. Εστω ϕ αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο. Από την παραγωγίση της e rt και της διαδικάσίας V t (ϕ) θα έχουμε: καταλήγουμε: dṽt(ϕ) = rṽt(ϕ) + e rt dv t (ϕ) dṽt(ϕ) = re rt ( H t e rt + H t S t ) dt + e rt H t d(e rt ) + e rt H t ds t = H t ( re rt S t dt + e rt ds t ) = Ht d S t Martingale Μέτρα Πιθανότητας Εστω (Ω, F, P ) χώρος πιθανότητας. Ενα μέτρο πιθανότητας Q στον (Ω, F) είναι ισοδύναμο με το μέτρο P αν και μόνο αν AɛF P (A) = Q(A) = Θεώρημα 1.1. (Θεώρημα Random Nikodym) Το μέτρο Q είναι ισοδύναμο με το μέτρο P αν και μόνο αν υπάρχει τυχαία μεταβλητή Z στον (Ω, F) τέτοια ώστε ˆ Q(A) = Z(ω)dP (ω) AɛF τότε η Z = dq dp καλείται Random Nikodym παράγωγος. A 6

21 1.2. Η ΕΞ ΙΣΩΣΗ BLACK SCHOLES Θεώρημα 1.2. Θεώρημα του Girsanov Εστω (θ t ) t T διαδικασία με T θ2 sds < σχεδόν παντού και αντίστοιχα μία διαδικασία (L t ) t T που ορίζεται ως ακολούθως: ( ˆ t L t = exp θ s dw s 1 ˆ t ) θ 2 2 sds τότε η L t είναι F t - martingale. Ορίζουμε στον (Ω, F T ) το μέτρο πιθανότητας Q με ˆ Q(A) = L T dp AɛF T A Τότε η διαδικασία W t = W t + t θ sds είναι μία F t τυπική κίνηση Brown κάτω από το μέτρο Q. Θεώρημα 1.3. (Το Θεωρήμα Αναπαράστασης των Martingales) Εστω (M t ) t T τετραγωνικά ολοκληρώσιμο martingale ως προς την διήθηση [ ] T (F t ) t T. Τότε υπάρχει διαδικασία (H t ) t T τέτοια ώστεe H sds < και M t = M + ˆ t H s d W s tɛ[, T ] σ χεδόν παντού Απότίμηση Δικαιωμάτων Ευρωπαϊκού Τύπου Βασιζόμενοι στα ανωτέρω θα δείξουμε ότι υπάρχει ισοδύναμο μέτρο του P τέτοιο ώστε η προεξοφλημένη αξία του υποκείμενου προϊόντος S t = e rt S t να είναι martingale κάτω από το ιδοδύναμο μέτρο Q. Από την στοχαστική διαφορική εξίσωση για το υποκείμενο προϊόν θα έχουμε: Θέτωντας: καταλήγουμε d S t = re rt S t dt + e rt ds t = S t ((µ r)dt + σd W t ) W t = W t + (µ r) t σ d S t = σ S t d W t Συνεπώς από το Θεωρήμα του Girsanov για θ t = (µ r) σ θα υπάρχει ισοδύναμο μέτρο Q τέτοιο ώστε η S t να είναι martingale και συνεπώς ( ) S t = S exp σ W t σ2 t 2 Ορισμός 1.2. Ενα χαρτοφυλάκιο ϕ t = (H t, H t ) t T είναι αποδεκτό αν είναι αυτοχρηματοδοτούμενο και η προεξοφλημένη τιμή του Ṽt(ϕ) = H t + H t St είναι η αξία του χαρτοφυλακίου για όλα τα t τέτοιο ώστε η sup tɛ[,t ] Ṽ t είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμο martingale κάτω από το μέτρο Q. 7

22 1.2. Η ΕΞ ΙΣΩΣΗ BLACK SCHOLES Ενα δικαίωμα λέμε ότι αναπαράγεται από ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο αν η συνάρτηση αποπληρωμής του δικαιώματος είναι ίση με την τελική αξία του χαρτοφυλακίου. Είναι προφανές ότι ένα δικαίωμα h μπορεί να αναπαραχθεί από ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο αν η h είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη διαδικασία κάτω από το μέτρο Q. Στην περίπτωση του Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς με h = (S T K) + παρατηρούμε ότι ισχυέι η ανωτέρω ιδιότητα αφού E Q [ST 2 ] <. Θεώρημα 1.4. Στο μοντέλο Black Scholes οποιοδήποτε παράγωγο που είναι F T - μετρήσιμο και είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή κάτω από το μέτρο Q, μπορεί να αναπαραχθεί από ένα χαρτοφυλάκιο ϕ η τιμή του οποίου δίνεται από V t = E Q [ e r(t t) h F t ] και συνεπώς η τιμή του δικαίωματος δίνεται από την E Q [ e r(t t) h F t ] Βασιζόμενοι στο Θεώρημα 1.4 και εκφράζωντας την τυχαία μεταβλητή h ως h = f(s T ) θα έχουμε: Συνεπώς θα έχουμε: με = E Q [e r(t t) f F (t, S t ) = E Q [ e r(t t) f V t = E Q [e r(t t) f(s T ) F t ] (S t e r(t t) e σ(w T W t) σ2 2 (T t)) F t ] V t = F (t, S t ) (xe r(t t) e σ(w T W t) σ2 2 (T t))] Συνεπώς για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Αγοράς με f(x) = (x K) + θα έχουμε: [ ( ) F (t, x) = E Q e r(t t) σ2 + ] (r xe 2 )(T t)+σ(w T W t) K και δεδομένου ότι οι προσαυξήσεις της κίνησης Brown W T W t είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους με μέση τιμή, και διακύμανση T t καταλήγουμε: = E [xe σ T t σ2 2 (T t) r(t Ke t)] Θέτωντας με g μία τυπική γκαουσιανή τυχαία μεταβλητή και d 1 = log(x/k) + (r + σ2 /2)(T t) σ T t d 2 = log(x/k) + (r σ2 /2)(T t) σ T t (1.4) (1.5) 8

23 1.2. Η ΕΞ ΙΣΩΣΗ BLACK SCHOLES = E [( xe σ T t σ2 2 (T t) Ke r(t t) )1 {g+d2 } ) ] = ˆ + (xe σ T ty σ2 d 2 ˆ d2 (xe σ T ty σ2 2 (T t) Ke r(t t)) e y 2 dy 2π 2 (T t) Ke r(t t)) e y 2 dy 2π με χρήση αλλαγής μεταβλητής για z = y + σ T t η τιμή του Ευρωπαϊκού Δικαιώματος αγοράς θα είναι ίση με με F (t, x) = xn(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) (1.6) N(d) = 1 2π ˆ d και τα d 1, d 2 δίνονται από τις (1.4), (1.5) αντίστοιχα. 2 2 e x2 2 dx (1.7) Πρόταση 1.2. Εστω ϕ t = (H t, H t ) χαρτοφυλάκιο τέτοιο ώστε: 1. ϕ t = (H t, H t ) t T είναι αυτοχρηματοδοτούμενο 2. και η αξία του V t = H t A t + H t S t tɛ[, T ] παίρνει την μορφή V t = g(t, S t ) για gɛc 1,2 ((, + ) (, + )), με g : R + R + R + τότε η g ικανοποιεί την εξίσωση Black Scholes με H t = g x (t, S t) rg(t, x) = g g (t, x) + rx x x (t, x) σ2 x 2 2 g(t, x) x 2 (1.8) Απόδειξη. Από τη συνθήκη αυτοχρηματοδοτήσης θα έχουμε: dv t = H t da t + H t ds t = rh t A t dt + µh t S t dt + σh t S t dw t = rv t dt + (µ r)h t S t dt + σh t S t dw t Από το Λήμμα του Itô για την g(t, x) θα έχουμε: g dg(t, S t ) = g(, S )+µs t x (t, S g t)dt+σs t x (t, S t)dw t + g x (t, S t)dt+ 1 2 σ2 St 2 2 g x 2 (t, S t)dt 9

24 1.2. Η ΕΞ ΙΣΩΣΗ BLACK SCHOLES { rht A t dt + µh t S t dt = g x (t, S g t)dt + µs t x (t, S t)dt S2 t σ 2 2 g x (t, S 2 t )dt H t S t σdw t = S t σ g x (t, S t)dw t { rv t rh t S t = g t (t, S t) σ2 St 2 2 g x (t, S 2 t ) H t = g x (t, S t) και συνεπώς { rg(t, S t ) = g x (t, S g t) + rs t x (t, S t) σ2 St 2 2 g x (t, S 2 t ) H t = g x (t, S t) και H t Αντίστοιχα για το προϊόν χωρίς ρίσκο θα έχουμε: και συνεπώς δίνεται από: H t A t = V t H t S t = g(t, S t ) S t g x (t, S t) H t = V t H t S t A t H t = g(t, S t) S t g x (t, S t) e rt Βασιζόμενοι στην Πρόταση 1.2 για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Αγοράς με f(x) = x K, g(t, x) = x Ke r(t t) t, x > και θα έχουμε: με τελική συνθήκη: H t = g x (t, S t) = 1 rc(t, x) = C (t, x) + rx C t x (t, x) σ2 x 2 C2 (t, x) x2 C(T, x) = (x K) + η λύση της οποίας δίνεται από την (1.6). Παρατηρούμε ότι για t = T καταλήγουμε: { + x > K d 1 = d 2 = x < K και συνεπώς C(T, x) = { xn(+ ) KN(+ ) = x K xn( ) KN( ) = 1 } x > K = (x K) + x < K

25 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Αντίστοιχα για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Πώλησης με f(x) = (K x) + με τελική συνθήκη rp (t, x) = P (t, x) + rx P t x (t, x) σ2 x 2 P 2 (t, x) x2 η λύση της οποίας είναι: P (T, x) = (K x) + P (t, x) = Ke r(t t) N( d 2 ) xn( d 1 ) (1.9) 1.3 Αμερικάνικα Δικαιώματα Οπως είδαμε και στην προηγούμενη ενότητα, τα Ευρωπαϊκά δικαιώματα ασκούνται μόνο στο χρόνο ωρίμανσης και υπάρχει για αυτά αναλυτική λύση. Ενα παράγωγο του οποίου ο κάτοχος μπόρει να επιλέξει το πότε θα το ασκήσει, σε κάποια χρονική στιγμή μέχρι το χρόνο ωρίμανσης καλείται Αμερικάνικο δικαίωμα. Με βάση τα παραπάνω η αξία του Αμερικάνικου δικαιώματος θα είναι τουλάχιστον ίση με αυτή του Ευρωπαϊκού. Οπως θα δούμε λόγω της κύρτότητας της συνάρτησης αποπληρωμής για τα δικαιώματα αγοράς, το Αμερικάνικο δικαίωμα αγοράς θα έχει ίδια αξία με αυτή του Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς. Αντίθετα με τα δικαιώματα αγοράς, στα Αμερικάνικα δικαιώματα αγοράς υπάρχει πρόωρη άσκηση, και η τιμή του δικαιώματος αυτού θα είναι πάντα μεγαλύτερη απο την αντίστοιχη τιμή του Ευρωπαϊκού δικαιώματος πώλησης. Εν αντιθέση με τα Ευρωπαϊκά δικαιώματα, των οποίων η προεξοφλημένη τιμή κάτω από το επιτοκίο χωρίς κίνδυνο r στον χρόνο ωρίμανσης T είναι martingale, τα Αμερικάνικα δικαιώματα πώλησης όπως θα δούμε είναι supermartingale ενώ τα αντίστοιχα Αμερικάνικα δικαιώματα αγοράς είναι submartingale Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Λόγω της πρόωρης άσκησης που υπάρχει στο Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης, μας ενδιαφέρει όχι μόνο η τιμή του δικαιώματος, αλλά και ο αντίστοιχος χρόνος άσκησης κατά τον οποίο πραγματοποιείται η πρόωρη άσκηση, και όπως θα παρουσιάσουμε είναι ένας χρόνος στάσης. Ορισμός 1.3. Εστω t T και x δοθέν. Υποθέτουμε ότι S(t) = x και έστω F u (t) t u T η σ-άλγεβρα που πάραγεται από τη διαδικασία S(v) με v ɛ [t, u]. Ο T t,t είναι το σύνολο όλων των χρόνων στάσης για τη διήθηση F u (t) με τιμές στο [t, T ]. Δηλαδή: {τ u} ɛf (t) u u ɛ [t, T ] Συνεπώς ένας χρόνος στάσης στο σύνολο T t,t παίρνει την απόφαση να κάνει διακοπή της διαδικασίας μας στο χρόνο u ɛ [t, T ]. Η διακοπή αυτή βασίζεται στις παρελθοντικές τιμές της μετοχής από το χρόνο t έως το χρόνο u. 11

26 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Ορισμός 1.4. Ενα χαρτοφυλάκιο με κατανάλωση ορίζεται ως μία διαδικασία ϕ = (H t, H t ) t T με τιμές στο R 2 που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. ˆ T Ht dt + 2. ˆ T H t A t + H t S t = H A + H S + (H t ) 2 dt < σ χεδόν παντού (1.1) ˆ t όπου C t μία μη φθίνουσα διαδικασία με C = το χαρτοφυλάκιο, με κατανάλωση έχει αξία H uda u + V t = H t A t + H t S t ˆ t H u ds u C t tɛ[, T ] (1.11) Βασιζόμενοι στην (1.11) η συνθήκη αυτοχρηματοδότησης μπορεί να γραφτεί V t = V + ˆ t H s da s + ˆ t H s ds s C t Ορισμός 1.5. Ενα χαρτοφυλάκιο με κατανάλωση είναι αποδεκτό αν ικανοποιούνται οι (1.1) (1.11) και tɛ[, T ] V t Πρόταση 1.3. Εστω ϕ t = ( Ht, H t μετρήσιμη διαδικασία με τιμές στο ) t T R 2 που ικανοποιεί τις (1.1) (1.11). Η συνθήκη αυτοχρηματοδότησης (1.11) ισχύει αν και μόνο αν Ṽ t = V + ˆ t H s d S s ˆ t e rt dc s όπου Ṽ και S η προεξοφλημένη διαδικασία για την αξία του χαρτοφυλακίου και αντίστοιχα η προεξοφλημένη αξία για το υποκείμενο προϊόν. Απόδειξη. d(e rt V t ) = e rt d(v t ) + V t d(e rt ) = e rt (H t da t + H t d S t C t ) + V t d(e rt ) = H t (e rt d S t ) e rt dc t Πρόταση 1.4. Κάτω από το μέτρο Q η προεξοφλημένη αξία του χαρτοφυλακίου ϕ με κατανάλωση είναι supermartingale. 12

27 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Απόδειξη. Εστω Ṽt = e rt V t η προεξοφλημένη αξία του χαρτοφυλακίου = V + Ṽ t = V + ˆ t = V + ˆ t H s d S s ˆ t H s (µ S t d t + σ S t d W t ) ˆ t H s (σ S t d W t ) Από το Θεώρημα αναπαράστασης των martingale M t = V + ˆ t ˆ t H s σ S s d W s e rs dc s ˆ t e rs dc s e rs dc s το οποίο είναι ένα μη αρνητικό local martingale κάτω από το μέτρο Q (αφόυv t και C t μη φθίνουσα διαδικασία με C = ) και συνεπώς είναι supermaeringale. Συνεπώς και η Ṽ είναι supermartingale αφόυ η t e rs dc s είναι μία μη φθίνουσα διαδικασία. Ορισμός 1.6. Ενα χαρτοφυλάκιο για το Αμερικάνικο Δικαίωμα που ικανοποιεί την ιδιότηταe Q [sup t T h t ] < είναι αποδεκτό αν για την αξία του χαρτοφυλακίου V = (V t ) t T έχουμε: V t h t tɛ[, T ] Πρόταση 1.5. Εστω το Αμερικάνικο Δικαίωμα όριζεται από μία μη αρνητική διαδικασία h t = f(s t ), f(x) = (K x) + (για την περίπτωση του δικαιώματος πώλησης) με E Q [sup t T h t ] <. Ορίζουμε με Ũ την Snell περιβάλλουσα (Snell Envelope) 1 βλέπε [52] (σελίδες 18-24) κάτω από το μέτρο Q της προεξοφλημένης διαδικασίας h t = e rt h t και U ορίζεται από την διαδικασία U t = A t Ũ t. Τότε θα έχουμε: [ ] U t = ess sup τɛtt,t E Q e r(τ t) h τ F t (1.12) και V t η αξία του χαρτοφυλακίου που αναπαράγει το Αμερικάνικο Δικαίωμα μας, τότε V t U t σ χεδόν βεβαίως Απόδειξη. Οπως έχουμε δεί η Ṽ είναι supermartingale και δεδομένου ότι υ- πάρχει χαρτοφυλάκιο ϕ με αξία V για την οποία ισχύει ότι V h και για την προεξοφλημένη διαδικασία Ṽ h έπεται ότι Snell περιβάλλουσα της Ũ είναι το μικρότερο supermartingale majorant της h. 1 Για διακριτούς χρόνους, ορίζουμε με U n την Snell περιβάλλουσα της Z n με U n = max(z n, E[U n+1 F n]) n N 1 και U N = Z N 13

28 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Θεώρημα 1.5. Κάτω από τις προυποθέσεις της προηγούμενης πρότασης υπάρχει χαρτοφυλάκιο ϕ η αξία του οποίου δίνεται από την V t που ικανοποιεί V t = U t με U t όπως ορίζεται στην (1.12). Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [52] (σελίδες 23-24). Με βάση τα ανωτέρω η τιμή του Αμερικάνικου δικαιώματος πώλησης θα είναι: [ ] P (t, x) = max E Q e r(τ t) (K S(τ)) S(t) = x (1.13) tɛt y,t Η P (t, x) ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες γραμμικού συμπληρωματικού προβλήματος: P (t, x) (K x) + t ɛ[, T ] x (1.14) rp (t, x) P t (t, x) rxp x (t, x) 1 2 σ2 x 2 P xx (t, x) t ɛ [, T ] και x (1.15) Ορισμός 1.7. λ-υπερβολική Συνάρτηση Εστω f μη αρνητική Borelμετρήσιμη συνάρτηση, η οποία είναι λ-υπερβολική αν Q λ t f f για όλα τα λ και Q λ t f κατά σημείο σύγκλιση για t. Το Q είναι μέτρο με την ιδιότητα ˆ Q t f(x) = Q t (x, dy)f(y) = E x [f(x t )] Οπου X t μία στοχαστική διαδικασία. Βασιζόμενοι στο [5] έχουμε το ακόλουθο Λήμμα. Λήμμα 1.1. Η συνάρτηση P του Αμερικάνικου Δικαιώματος Πώλησης είναι r-υπερβολική συνάρτηση ως προς τη στοχαστική διαδικασία για το υποκείμενο προϊόν S t και συνεπώς για R + [, T ] θα έχουμε: L [ e rt P (x, t) ] όπου L ο τελεστής του Kolmogorov για την γεωμετρική κίνηση Brown με L := rx x σ2 x 2 2 x 2 + t Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι για κάθε tɛ[, T ] P (x, ) E Q [ e rt P (S t, t) ] (1.16) το όποιο ισχύει αφού οποιαδήποτε r-υπερβολική συνάρτηση με το όριο της να αυξάνει από μία ακολουθία άπειρων διαφορίσιμων συναρτήσεων. Επιλέγουμε ε > και ένα χρόνο στάσης τ ε από το σύνολο {τɛt [ ] } t,t E Q e r(τ t) (K S τ ) + S t P (S t, t) ε 14

29 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ για S = x θα έχουμε: E Q [ e rτɛ (K S τε ) +] = E Q [ e rτ ( E Q [ e r(τε t) (K S τε ) + S t ])] Για οποιοδήποτε χρόνο στάση όμως και συνεπώς για ε έχουμε το αποτέλεσμα. E Q [ e rt P (S t, t) ] εe rt P (x, ) E Q [ e rτ (K Sτ) +] P (x, ) E Q [ e rt P (S t, t) ] εe rt Πόρισμα 1.1. Η συνάρτηση του Αμερικάνικου Δικαιώματος Πώλησης P είναι συνεχής στο R + [, T ]. Η συνάρτηση P (:, t) είναι κυρτή μη άυξουσα στο R + για κάθε tɛ[, T ]. Η συνάρτηση P (x, :) είναι μή αύξουσα στο [, T ] για κάθε xɛr +. Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [55]. Ο κάτοχος του Αμερικάνικου δικαιώματος πώλησης όπως προαναφέραμε μπορεί να ασκήσει το δικαίωμα του σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Ο κάτοχος του δικαιώματος αυτού θα πρέπει να ασκήσει το δικαίωμα του μόλις η τιμή της μετοχής S(t) φτάσει στο επίπεδο S f.με βάση τα πάραπανω θα πρέπει να απαντηθούν τα ακόλουθα ερωτήματα: Ποιά θα είναι η τιμή του επιπέδου S f ; Ποιά θα είναι η τιμή του Αμερικάνικου δικαιώματος πώλησης για το επίπεδο αυτό; Το επίπεδο S f εξάρταται απο τον αντίστοιχο χρόνο T t. Ο προσδιορισμός την καμπύλης του επιπέδου αυτού οπώς θα δούμε γίνεται αριθμητικά. Βασιζόμενοι στο Σχήμα1.2 είναι φανερό ότι το S f (T ) μειώνεται όταν το T αυξάνεται. Το σύνολο {(t, x) : t T, S } χωρίζεται σε δύο περιοχές, για περισσότερες λεπτομέρειες παραπέμπουμε στο [54]. Στην περιοχή αναμονής C όπου δεν ασκούμε το δικαίωμα μας (continuation set) για την οποία θα έχουμε: C = { (t, x) : P (t, x) > (K x) +} (1.17) rp P t rxp x 1 2 σ2 x 2 P xx = (1.18) και στο συμπλήρωμα της, την περιοχή άσκησης του δικαιώματος μας (stopping set) S = { (t, x) : P (t, x) = (K x) +} (1.19) αντίστοιχα, για την περιοχή άσκησης του δικαιώματος θα έχουμε: rp P t rxp x 1 2 σ2 x 2 P xx = rk (1.2) 15

30 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Spot Price 42 4 C=((t,x):P(t,x)>(K x) + ) S=((t,x):P(t,x)=(K x) + ) Time Σχήμα 1.2: Καμπύλη Πρόωρης Άσκησης για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης, για K = 5, T = 1 Επειδή P (t, x) = K x για x S f (t) θα έχουμε: και αντίστοιχα: Η εξίσωση P x (t, x ) = 1 σ την καμπύλη πρόωρης άσ κησ ης x = S f (t) (1.21) P x (t, x + ) = 1 σ την καμπύλη πρόωρης άσ κησ ης x = S f (t) (1.22) rp P (t, x) x με χρήση της συνάρτησης αποπληρωμής P (t, x) rx 1 x 2 σ2 x 2 2 P (t, x) x 2 = για x > S f (t) P (t, x) = K x για x S f (t) και των (1.21), (1.22) μπόρουμε να προσδιορίσουμε με χρήση αριθμητικών μεθόδων την τιμή του παραγώγου και την καμπύλη πρόωρης άσκησης S f (t). Τα ανωτέρω συνοψιζονται και αποδεικνύονται στα παρακάτω Λήμματα. Λήμμα 1.2. Η συνάρτηση του Αμερικάνικου δικαιώματος πώλησης P ικανοποιεί: 1. lim x Sf P (x, t) = K S f 2. lim t T P (x, t) = (K x) + xɛr + 3. lim x P (x, t) = tɛ[, T ] 4. P (x, t) (K x) + (x, t)ɛr + [, T ] 16

31 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Απόδειξη. Οι πρώτες δύο συνθήκες χάρις τη βέλτιστη διακοπή του ελεύθερου συνόρου S f (t) στο S f και στο Πόρισμα 1.1. Για την συνθήκη τρία παρατηρούμε ότι P (x, t) E Q [e rτ ] όπου τ είναι ο πρώτος χρόνος στάσης που φθάνει στο επίπεδο K και δεδομένου ότι E Q [e rτ ] x 1, το οποίο τείνει ομοιόμορφα στο.τέλος η τελευταία συνθήκη δίνεται από τον ορισμό του Αμερικάνικου παραγώγου, συνθήκη (1.14) Λήμμα 1.3. Η P x είναι συνεχής πάνω στο ελέυθερο σύνορο S f. Συνεπώς για κάθε tɛ[, T ] θα έχουμε: lim x S f P x (x, t) = 1 Απόδειξη. Η συνάρτηση αποπληρωμής είναι μία r-υπερβολική συνάρτηση. Συνεπώς βασιζόμενοι στο Λήμμα 1.1 έχουμε L [e rt P (x, t)] (x, t)ɛr + [, T ]. Εισάγωντας και τον μετασχηματισμό ξ := ln(x) και θέτωντας ˆP (ξ, t) = P (ξ(x), t) καταλήγουμε: σ 2 2 ˆP ξξ ) (r σ2 ˆP ξ 2 ˆP t + r ˆP ολοκληρώνωντας σε μία περιοχή Σ μήκους 2ε πάνω στο έλευθερο σύνορο ξ = ln(s f ) από t 1 έως t 2 έχουμε: ˆ t2 t 1 ˆ t2 (r σ2 2 σ 2 t 1 2 [ ˆPξ (ξ + ε, t) ˆP ξ (ξ ε, t)] dt ) [ ˆ ˆP (ξ + ε, t) ˆP [ (ξ ε, t)] dt ˆPt + r ˆP ] dξdt Σ Ορίζωντας τώρα λωρίδες του Σ με Σ ξ όπου ξεκινάνε σε χρόνο t (ξ) και τελειώνουν σε χρόνο t + (ξ) καταλήγουμε: ˆ t2 ˆ t2 σ 2 t 1 2 t 1 ˆ Σ ξ [ ˆPξ (ξ + ε, t) ˆP ξ (ξ ε, t)] dt (r σ2 ) [ ˆP (ξ + ε, t) ˆP (ξ ε, t)] dt 2 [ ( ˆP ξ, t + ) ˆP (ξ, t )] dξ + ˆ Σ r ˆP dξdt από το Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης και δεδομένου ότι ˆPξ = e ξ πάνω στην περιοχή S έχουμε: ˆ t2 [ ] lim ˆPξ + e ξ ξ ξ dt t 1 και από το Λήμμα 4.1, Myneni ([5]) έχουμε ότι P ξ ˆ e ξ. Συνεπώς καταλήγουμε lim ξ ξ ˆPξ = 1 17

32 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Θεώρημα 1.6. Εστω S(u) t u T η μετοχή που ξεκινάει από S(t) = x και S η περιοχή άσκησης του δικαιώματος (1.19). Εστω τ χρόνος στάσης που ορίζεται ως ακολούθως: και τ = min {u ɛ [t, T ] : (u, S(u)) ɛ S} (1.23) τ = τ T (1.24) τότε η e ru P (u, S(u)), t u T είναι supermartingale κάτω από το ισοδύναμο μέτρο Q και η σταματημένη διαδικασία e r(u τ ) P (u, S(u τ )), t u T είναι martingale. Απόδειξη. Από το Λήμμα του Itô για την e ru P (u, S(u)) θα έχουμε: d ( e ru P (u, S(u) ) = e ru [ rp (u, S(u))du + P u (u, S(u))du +P x (u, S(u))dS(u) P xx(u, S(u))d 2 < S(u) > = e ru [ rp (u, S(u)) + P u (u, S(u)) + rs(u)p x (u, S(u)) (1.25) σ2 S 2 (u)p xx (u, S(u))]du + e ru σs(u)p x (u, S(u))d W (u) (1.26) οι όροι du στην (1.25) με βάση το Σχήμα 1.2 είναι e ru rk1 {S(u) Sf } το οποίο είναι αρνητικό και συνεπώς e ru P (u, S(u)) είναι supermartingale κάτω από το μέτρο Q. Επιπλέον η διαδικασία X u = e u (τ T ) P (u (τ T ), S(u (τ T ))) είναι ένα local martingale έως το χρόνο τ T. Τέλος βασιζόμενοι στο [26](Κεφάλαιο 6 σελίδες ) ισχύουν τα ακόλουθα: P (t 2, S, K) > P (t 1, S, K) για t 2 > t 1 (1.27) P (t, S, K 2 ) > P (t, S, K 1 ) για K 1 < K 2 (1.28) P (t, S 2, K) > P (t, S 1, K) για S 1 < S 2 (1.29) Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς Στην ενότητα αυτή δεδομένου ότι το υποκείμενο προϊόν-μετοχή δεν αποδίδει μερίσματα στον κάτοχο του δικαιώματος, θα αποδείξουμε ότι το Αμερικάνικο δικαίωμα αγοράς έχει την ίδια ακριβώς τιμή με αυτή του του αντίστοιχου Ευρωπαϊκού. Λήμμα 1.4. Εστω h(x) θετική κυρτή συνάρτηση με x > και h() =.Τότε το προεξοφλημένο Αμερικάνικο παράγωγο e rt h(s(t)) το οποίο αποπληρώνει h(s(t)) στην άσκηση του είναι submartingale. 18

33 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Σχήμα 1.3: Η Κυρτή Συνάρτηση h(x) = (x K) + Απόδειξη. Εστω h(x) κυρτή συνάρτηση για λ 1 και για x 1 x 2 θα έχουμε: h((1 λ)x 1 + λx 2 ) (1 λ)h(x 1 ) + λh(x 2 ) Συνεπώς για h(x) = (x K) + βλέπε Σχήμα 1.3 και x 1 = και x 2 = x και δεδομένου ότι h() = θα έχουμε: h(λx) λh(x) x, λ 1 Επειδή u t T θα έχουμε e r(t u) 1 συνεπώς [ ] E Q e r(t u) [ ( ) ] h(s(t)) F(u) E Q h e r(t u) F(u) S(t) (1.3) από την ανισότητα Jensen θα έχουμε: [ ( ) ] E Q h e r(t u) F(u) S(t) ( [ ]) = h e ru E Q e rt S(t) F(u) ( [ ]) h E Q e r(t u) S(t) F(u) (1.31) (1.32) Επειδή το e rt S(t) είναι martingale κάτω από το μέτρο Q θα έχουμε: ( [ ]) h e ru E Q e rt S(t) F(u) = h(e ru e ru S(u)) = h(s(u)) (1.33) Συνεπώς με βάση τις (1.3), (1.31), (1.33) καταλήγουμε: [ ] E Q e r(t u) h(s(t)) F(u) h(s(u)) (1.34) ή ισοδύναμα [ ] E Q e rt h(s(t)) F(u) e ru h(s(u)) (1.35) 19

34 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Θεώρημα 1.7. Εστω h(x) κυρτή συνάρτηση με x που ικανοποιεί h() =. Τότε η τιμή του Αμερικάνικου δικαιώματος αγοράς με τιμή h(s(t), t T έχει την ίδια τιμή με αυτή του Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς με τιμή h(s(t )). Απόδειξη. Αντικαθιστώντας T αντί για t στην (5.15) θα έχουμε: [ ] E Q e r(t u) h(s(t )) F(u) h(s(u)) u T (1.36) Με βάση την (1.36) συμπαιρένουμε ότι το Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς υπερβαίνει την τιμή του Αμερικάνικου δικαιώματος αγοράς. Συνεπώς δεν αξίζει να ασκήσουμε πρόωρα το Αμερικάνικο δικαίωμα αγοράς αφού η μέγιστη τιμή του θα είναι στον χρόνο ωρίμανσης Τ με τιμή ίση με αυτή του αντίστοιχου Ευρωπαϊκού. Πόρισμα 1.2. Η τιμή του Αμερικάνικου Δικαιώματος Αγοράς, με ένα υποκείμενο προϊόν χωρίς καταβολή μερίσματος, είναι ίδια με αυτή του Ευρωπαϊκού Δικαιώματος Αγοράς κάτω απο το ίδιο υποκείμενο προϊόν στον χρόνο ωρίμανσης. Απόδειξη. Για οποιοδήποτε χρόνο στάσης τ με τ < T, από την ανισότητα του Jensen θα έχουμε: (S τ K) + = e rτ (e rτ S τ e rτ K) + Συνεπώς θα έχουμε: e rτ (e rτ S τ e rt K) + e rτ E Q [(e rt S T e rt K) + F τ ] e r(t τ) E Q [(S T K) + F τ ] Από την άλλη πλευρά έχουμε: E Q [e r(t τ) (S τ K) + ] E Q [e rt (S T K) + ] E Q [(e rt S T e rt K) + F τ ] E Q [e rt S T e rt K F τ ] και δεδομένου ότι S τ = e r(t τ) S τ είναι martingale κάτω από το μέτρο Q συνεπώς θα έχουμε: E Q [(e rt S T e rt K) + F T ] e r(t τ) S τ e r(t τ) K και αφού r θετικό, συνεπώς θα έχουμε: E Q [(e rt S T e rt K) + F τ ] (e r(t τ) S τ e r(t τ) K) + Υπολογίζωντας τις δύο ανισότητες καταλήγουμε στο αποτέλεσμα. Σε αναλογία με το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης, για το αντίστοιχο Δικαίωμα Αγοράς θα έχουμε: C(t 2, S, K) > C(t 1, S, K) για t 2 > t 1 (1.37) C(t, S, K 2 ) < C(t, S, K 1 ) για K 1 < K 2 (1.38) C(t, S 2, K) < C(t, S 1, K) για S 1 < S 2 (1.39) 2

35 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Το Αέναο Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Το αέναο Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης (perpetual American Put Option) είναι το πιο απλό Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης. Εν αντιθέσει με το πεπερασμένης διάστασης Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης του οποίου η πρόωρη άσκηση γίνεται αριθμητικά, η πρόωρη άσκηση του αέναου Αμερικάνικου δικαιώματος πώλησης έ- χει αναλυτικό τύπο. Το γεγονός αυτό θα το χρησιμοποιήσουμε στο Κεφάλαιο 7 Αριθμητικές Εφαρμογές, για να συκρίνουμε τα απότελέσματα του αλγορίθμου πρόωρης άσκησης για το πεπερασμένης διάστασης Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης με το αντίστοιχο αέναο. Υποθέτουμε ότι ο κάτοχος του αέναου Αμερικάνικου δικαιώματος πώλησης θέτει κάποιο επίπεδο άσκσης S f < K και ασκεί το δικαίωμα του μόλις η τιμή της μετοχής ( S(t) = S() exp σw (t) + (r 12 ) ) σ2 t (1.4) πέσει κάτω από το επίπεδο αυτό. Αν η αρχική τιμή της μετοχής είναι κάτω από το επίπεδο S f τότε ο κάτοχος του δικαιώματος αυτού ασκεί αμέσως το δικαίωμα του (στον χρόνο ). Η τιμή του δικαιώματος στην περίπτωση αυτή θα είναι P Sf (S()) = K S(). Αν η τιμή της μετοχής είναι πάνω από το επίπεδο αυτό τότε ο κάτοχος του ασκεί το δικαίωμα στον χρόνο στάσης τ Sf = min {t : S(t) = S f } Στον χρόνο άσκησης του δικαιώματος το αέναο δικαίωμα πώλησης καταβάλλει K S(τ Sf ) = K S f. Συνεπώς η τιμή του δικαιώματος θα είναι: P Sf (S()) = (K S f ) E Q [ e rτ S f ] για S() Sf Λήμμα 1.5. Η P Sf (x) δίνεται από τη σχέση: K x x S f P Sf (x) = ( (1.41) σ (K S f ) 2 x S f ) 2r x S f Για την απόδειξη θα χρειαστούμε το ακόλουθο Θεώρημα: Θεώρημα 1.8. Εστω W (t) κίνηση Brown κάτω από το μέτρο Q, µɛr και m ένας θετικός αριθμός. Ορίζουμε: και τ m χρόνος στάσης X(t) = µt + W (t) Τότε: τ m = min {t : X(t) = m} E Q [ e λτm] = e m( µ+ µ 2 +2λ) λ (1.42) 21

36 1.3. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙ ΩΜΑΤΑ Για την απόδειξη του θεωρήματος 1.8 παραπέμπουμε στο [3] Απόδειξη. Από την (1.41) έχουμε για x = S f τότε τ Sf = και συνεπώς P Sf (x) = K S f. Στην περίπτωση όπου S() = x > S f ο χρόνος στάσης τ Sf θα είναι η πρώτη φορά όπου η μετοχή ( S(t) = x exp σw (t) + (r 12 )) σ2 φθάσει στο επίπεδο S f. Η S(t) = S f αν και μόνο αν W (t) 1 (r 12 ) σ σ2 t = 1σ ( ) log xsf ( εφαρμόζουμε το Θεώρημα 1.8 με W (t) 1 σ r 1 ( 2 σ2) t αντί της X(t), r = λ, µ = 1 σ r 1 2 σ2) και m = 1 σ log ( x L) συνεπώς θα έχουμε: µ + 2λ = 1 ( σ 2 r 2 rσ ) 4 σ4 + 2r = 1 σ 2 ( r 2 + rσ σ4 ) = 1 σ 2 ( r σ2 ) 2 Συνεπώς µ + µ 2 + 2λ = 1 σ (r 12 ) σ2 + 1 (r + 12 ) σ σ2 = 2r σ Από την (1.42) θα έχουμε: E Q [ ( e rτ ] S f = exp 1 ( ) ) ( ) 2r x 2r x σ log σ 2 = S f σ S f Για την αντίστοιχη πρόωρη άσκηση καταλήξαμε P Sf (x) = (K S f ) S 2r σ 2 f για x > S f. Αναζητούμε ένα S f τέτοιο ώστε να μεγιστοποιεί την τιμή του S f για σταθερό x. Ορίζουμε: g(s f ) = (K S f ) S 2r σ 2 f (1.43) Παρατηρούμε ότι g() = και lim Sf g(s f ) =. Επιπλέον g (S f ) = S 2r σ 2 f + 2r σ 2 (K S f ) S 2r σ 2 f = 2r + σ2 σ 2 S 2r σ 2 f r σ 2r KS 2 f σ 2 1

37 1.4. ΤΑ GREEKS Συνεπώς 2r + σ2 = σ 2 S 2r σ 2 f + 2r 2r σ KS 2 1 σ2 f = και λύνωντας ως προς S f η πρόωρη άσκηση για το αέναο Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης θα δίνεται απο την ακόλουθη σχέση: S f = 2r 2r + σ 2 K (1.44) Επιπλέον g(s f ) = ( ) 2r σ2 2r σ 2 2r + σ 2 2r + σ 2 K 2r+σ2 σ 2 (1.45) 1.4 Τα Greeks Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε τα Greeks. Τα Greeks είναι χρήσιμα για την αντιστάθμιση κινδύνου του παραγώγου μας. Κάθε ένα από τα Greeks μετράει τον αντίστοιχο κίνδυνο που επιφέρει μία μεταβολή των χαρακτηριστικών του υποκείμενου προϊόντος (τιμή υποκείμενου προϊόντος, τιμή άσκησης, επιτόκιο r, διακύμανση σ). Οι αλλαγές αυτές των χαρακτηριστικών χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: 1. Μεταβολή της τιμής του παραγώγου V ως προς την μεταβολή της τιμής του υποκείμενου προϊόντος. 2. Μεταβολή της τιμής του παραγώγου V ως προς την μεταβολή των παραμέτρων r,σ του παραγώγου μας. και εισάγουμε τις ακόλουθες έννοιες: = V S Γ = V S 2 Θ = V t ρ = V r V = V σ (Delta) (Gamma) (Theta) (rho) (vega) Οπου τα πρώτα τρία ανήκουν στην πρώτη κατηγορία και τα υπόλοιπα ανήκουν στην δέυτερη κατηγορία Delta Το Delta ( ) ορίζεται ως ο λόγος της μεταβολής της τιμής του παραγώγου που επέρχεται απο μία αλλαγή της τιμής του υποκείμενου προϊόντος. Είναι η κλίση της καμπύλης που συνδέει την τιμή του παραγώγου με την αντίστοιχη τιμή του υποκείμενου προϊόντος. Παραδείγματος χάριν, υποθέτουμε ότι η τιμή του delta 23

38 1.4. ΤΑ GREEKS Σχήμα 1.4: ͺΥπολογισμός του Delta για ένα Ευρωπαϊκό διακαίωμα αγοράς είναι.6, αυτό σημαίνει ότι μικρή μεταβολή της τιμής του υποκείμενου προϊόντος επιφέρει 6% μεταβολή στην τιμή του Ευρωπαϊκού διακαιώματος αγοράς. Το για ένα διακαίωμα αγοράς ορίζέται ώς: = C S και αντίστοιχα για το δικαίωμα πώλησης: = P S Δεδομένου ότι τα Ευρωπαικά παράγωγα έχουν αναλυτική λύση, είναι λογικό το Delta και τα υπόλοιπα Greeks να υπολογίζονται αναλυτικά για τα Ευρωπαϊκά παράγωγα. Συνεπώς για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς (χωρίς καταβολή μερισμάτων στο υποκείμενο προϊόν) θα έχουμε: (Call) = N(d 1 ) (1.46) όπου d 1 ορίζεται στο (1.4) και N δίνεται από την (1.7). Η (1.46) έυκολα μπορεί να αποδειχθεί αφού, για την περιπτωση του Ευρωπαϊκού Δικαιώματος Αγοράς θα έχουμε: ( ) )(T t) log(x/k) + r σ2 2 (T t) )) KN( σ ) T t ( ) ( ) log(x/k) + (r + σ 2 2 )(T t) σ K T t x N log(x/k) + r σ2 2 (T t) σ (T t) 2 σ C + (r + 2 (x, t) = (xn(log(x/k) x x σ T t = x x N ( ) log(x/k) + (r σ 2 2 )(T t) +N σ T t 24

39 1.4. ΤΑ GREEKS ( ) 1 = exp 1 log(x/k) + 2 r + σ2 2 (T t) 2πσ T t 2 σ T t ( ) K exp 1 log(x/k) + 2 r σ2 2 (T t) 2πσx T t 2 σ T t ( log(x/k) + (r σ 2 ) /2)(T t) +N σ T t ( log(x/k) + (r σ 2 ) /2)(T t) = N σ T t Στην περίπτωση καταβολής μερισμάτων θα έχουμε: (Call) = e qt N(d 1 ) όπου q το αντίστοιχο μέρισμα. Αντίστοιχα για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης, από την σχέση μεταξύ δικαιώματος αγοράς και πώλησης θα έχουμε: Άρα Συνεπώς Call P ut = S Ke rt (Call) (P ut) = 1 (P ut) = N(d 1 ) 1 και στην περίπτωση καταβολής μερισμάτων: (P ut) = e qt [N(d 1 ) 1] Στα Σχήματα 1.5, 1.6 παρουσιάζουμε το delta για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς και αντίστοιχα για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης για S = 5, r =.1, T = 5/12 και σ =.3.. Τέλος από το Σχήμα 1.6 παρατηρούμε ότι το delta είναι αρνητικό. Αυτό σημαίνει ότι στην θετική θέση (long position) η αντίστοιχη αντιστάθμιση του κινδύνου για το παράγωγο μας θα πρέπει να γίνει αντίστοιχα στη θετική θέση για το υποκείμενο προϊόν, όμοια και στην περίπτωση της αρνητικής θέσης (short position) Theta Το Theta(Θ) ενός παραγώγου V είναι ο δείκτης μεταβολής της τιμής του παραγώγου ως προς το χρόνο. Το Theta συχνά αναφέρεται ως η μείωση του χρόνου άσκησης του παραγώγου, όσο περνάει ο χρόνος η δυνατότητα άσκησης του δικαιώματος μειώνεται. Ορίζεται ως: Θ = V T 25

40 1.4. ΤΑ GREEKS 1 Delta for European Call Delta for European Put Delta.5 Delta Spot Price Spot Price Σχήμα 1.5: Το Delta Greek για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Αγοράς Σχήμα 1.6: ΤοDelta Greek για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Πώλησης Για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς θα έχουμε: Θ(Call) = S N (d 1 )σ 2 T rke rt N(d 2 ) όπου: N (x) = 1 e x2 2 2π όπου τα d 1, d 2 ορίζονται από τις (1.4), (1.5) αντίστοιχα. Ομόια για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης από την συνθήκη μεταξύ δικαιώματος αγοράς και πώλησης θα έχουμε: Θ(Call) Θ(P ut) = rke rt Θ(P ut) = S N (d 1 )σ 2 T + rke rt N( d 2 ) Στην περίπτωση καταβολής μερισμάτων στο υποκείμενο προϊόν θα έχουμε: και Θ(Call) = S N (d 1 )σe qt 2 T + qs N(d 1 )e qt rke rt N(d 2 ) Θ(P ut) = S N (d 1 )σe qt 2 T qs N( d 1 )e qt + rke rt N( d 2 ) Το Γράφημα του Theta για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης είναι ίδιο με αυτό του δικαιώματος αγοράς. Από το Σχήμα 1.7 παρατηρούμε ότι το Θ είναι πάντα αρνητικό. 26

41 1.4. ΤΑ GREEKS 1 Theta for European Call Theta Spot Price Σχήμα 1.7: Το Theta Greek για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Αγοράς Gamma Το Gamma ενός παραγώγου είναι ο δείκτης μεταβολής του Delta ως προς την τιμή του υποκείμενου προϊόντος. Είναι δηλαδή η δευτερη παράγωγος της τιμής του παραγώγου ως προς το υποκείμενο προϊόν: Γ = 2 V S 2 Αν το Gamma είναι μεγάλο τότε το Delta θα είναι αρκετά ευμετάβλητο ως προς τις μεταβολές του υποκείμενου προϊόντος και συνεπώς θα λάβουμε μεγάλο ρίσκο αν δεν πραγματοποιήσουμε αλλαγές στα χαρακτηριστικά του παραγώγου μας (πχ αλλαγή της τιμής ασκήσεως του παραγώγου μας). Στη περίπτωση όπου το Gamma είναι μικρό το ρίσκο μας είναι μικρό και αντίστοιχες μεταβολές των χαρακτηριστικών του παραγώγου μας δε θα γίνονται συχνά. Για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς το Gamma θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: Γ(Call) = N (d 1 ) S σ T και αντίστοιχα στην περίπτωση καταβολής μερισμάτων για το υποκείμενο προϊόν θα έχουμε: Γ(Call) = N (d 1 )e qt S σ T Τέλος η τιμή του Gamma για το Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης θα είναι ίδια με αυτή του δικαιώματος αγοράς Σχέση μεταξύ των Greeks Τέλος είναι σημαντικό να αναφέρουμε τη σχέση μεταξύ των Delta, Gamma, και Theta με χρήση της εξίσωσης Black Scholes Από την εξίσωση Black Scholes 27

42 1.4. ΤΑ GREEKS.6 Gamma for European Call.5.4 Gamma Spot Price Σχήμα 1.8: Το Gamma Greek για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Πώλησης έχουμε: V t και αφού = V S, Θ = V t + rs V S σ2 S 2 2 V S 2 = rv και Γ = 2 V S 2 έπεται ότι: Θ + rs σ2 S 2 Γ = rv (1.47) 28

43 Κεφάλαιο 2 Η Εξίσωση Black-Scholes και η Εξίσωση της Θερμότητας Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε τον κατάλληλο μετασχηματισμό για το Ευρωπαϊκο και το Αμερικάνικο παράγωγο στην έξισωση της θερμότητας. Το μετασχηματισμό αυτό θα τον χρησιμοποιήσουμε για την διακριτοποίηση και την τιμολόγηση των Αμερικάνικων και Ευρωπαϊκών παραγώγων. Οπως θα δούμε η μετασχηματισμένη εξίσωση θερμότητας έχει ακριβώς την ίδια αναλυτική λύση με αυτήν της αναλυτικής λύσης για το Ευρωπαϊκό παράγωγο της Black and Scholes εξίσωσης η οποία δίνεται στο Παράρτημα Αʹ. 2.1 Η Εξίσωση της Θερμότητας και το Ευρωπαϊκο Παράγωγο Στην ενότητα αυτή θα περιγράψουμε τον μετασχηματισμό της εξίσωσης Black and Scholes στην εξίσωση της θερμότητας. Θα ξεκινήσουμε με το Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς (European Call Option). Η εξίσωση Black and Scholes για το παράγωγο αυτό C(S, t) δίνεται ως ακολούθως: C t σ2 S 2 2 C C + rs rc = (2.1) S2 S Με αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες: C (t, ) =, για S C (t, S) S για S 29

44 2.1. Η ΕΞ ΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΥΡΩΠΑϊΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ και αντίστοιχη τελική συνθήκη: C (T, S) = max (, S K) θα μετασχηματίσουμε την (2.1) στην εξίσωση της θερμότητας. Αρχικά θα πρέπει να αποδεσμευτούμε από του όρους S και S 2, με σκοπό να οδηγηθούμε στην αδιάστατη εξίσωση της θερμότητας. Με χρήση των ακόλουθων μετασχηματισμών: οδηγούμαστε στην εξίσωση: με k = r/ 1 2 σ2 και αντίστοιχη αρχική συνθήκη: S = Ke x (2.2) t = T τ 2 σ2 (2.3) C (t, S) = Kv (τ, x) (2.4) v τ = 2 v v + (k 1) kv (2.5) x2 x v (, x) = max (, e x 1) Η εξίσωση (2.5) με μία απλή αλλαγή μεταβλητών οδηγούμαστε στην εξίσωση της θερμότητας: v = e ax+bτ y (τ, x) (2.6) για κάποιες σταθερές a,b τις οποίες και θα αναζητήσουμε. Από την παραγώγιση της (2.6) και αντικαθιστώντας την (2.5) έχουμε: by + y τ = a2 y + 2a y ( x + 2 y + (k 1) ay + y ) ky x2 x από την ισότητα πολυωνύμων για τους όρους y, y x θα έχουμε: b = a 2 + (k 1) a (2.7) = 2a + (k 1) (2.8) προκύπτει ότι: a = 1 2 (k 1) και b = 1 4 (k + 1)2 Συνεπώς θα έχουμε: v = e 1 2 (k 1)x 1 4 (k+1)2τ y (τ, x) (2.9) όπου: y τ = 2 y x 2 για < x < (2.1) 3

45 2.1. Η ΕΞ ΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΥΡΩΠΑϊΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ και αρχική συνθήκη y (, x) = y (x) = max Η λύση για την (2.1) δίνεται από την: y (τ, x) = 1 2 πτ (, e 1 2 (k+1)x e 1 2 (k 1)x) (2.11) ˆ + οπου y δίνεται από την (2.11) Απομένει ο υπολογισμός του ολοκληρώματος (2.12) Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητών x = (s x) 2t έχουμε: y (τ, x) = 1 ˆ + 2π = 1 ˆ + 2π e 1 x 2τ 1 ˆ + 2π e 1 x 2t y o (s) e (x s)2 4τ ds (2.12) y ( x 2τ + x ) e 1 2 x 2 dx (2.13) 2 (k+1)(x+x 2τ) e 1 2 x 2 dx 2 (k 1)(x+x 2t) e 1 2 x 2 dx = I 1 I 2 Για το πρώτο ολοκλήρωμα I 1 θα έχουμε: I 1 = 1 ˆ + 2π = e 1 2 (k+1)x 2π ˆ + e 1 2 (k+1)(x+x 2τ) 1 2 x 2 dx x 2τ e 1 x 2τ = e 1 2 (k+1)x+ 1 4 (k+1)2 τ 2π ˆ + 4 (k+1)2τ e 1 2(x 1 2 (k+1) 2τ) 2 dx x 2τ 1 2 (k+1) 2τ e 1 2 ρ2 dρ όπου: = e 1 2 (k+1)x+ 1 4 (k+1)2τ N(d 1 ) d 1 = x 2τ (k + 1) 2τ και N(d 1 ) = 1 2π ˆ d1 e 1 2 s2 ds Αντίστοιχα για το δέυτερο ολοκλήρωμα I 2 θα έχουμε: I 2 = 1 ˆ + 2π e 1 x 2τ 2 (k 1)(x+x 2τ) e 1 2 x 2 dx = 31

46 2.2. ΚΑΜΠ ΥΛΗ ΕΛ ΕΥΘΕΡΟΥ ΣΥΝ ΟΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ e 1 2 (k 1)x 2π ˆ + e 1 x 2τ = e 1 2 (k 1)x+ 1 4 (k 1)2 τ 2π ˆ + 4 (k 1)2τ e 1 2(x 1 2 (k 1) 2τ) 2 dx x 2τ 1 2 (k 1) 2τ e 1 2 ρ2 dρ όπου και έτσι λοιπόν έχουμε: = e 1 2 (k 1)x+ 1 4 (k 1)2τ N(d 2 ) d 2 = x 2τ (k 1) 2τ N(d 2 ) = 1 2π ˆ d2 e 1 2 s2 ds v (τ, x) = e 1 2 (k 1)x 1 4 (k+1)2τ y (τ, x) για x = log ( ) S K, τ = 1 2 σ2 (T t), C = Kv (τ, x) Συνεπώς για το Ευρωπαϊκό διακαίωμα αγοράς Οπου: C (t, s) = SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) d 1 = log ( ) ( S K + r σ2) (T t) σ (T t) d 2 = log ( ) ( S K + r 1 2 σ2) (T t) σ (T t) Αντίστοιχα το Ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης, μπορεί εύκολα να τιμολογηθεί κάνοντας χρήση της σχέσης ανάμεσα στο δικαίωμα αγοράς και δικαίωμα πώλησης (Put-Call Parity Formula) η οποία ισχύει για οποιοδήποτε τύπο παραγώγου. Συνεπώς θα έχουμε: r(t t) C P = S Ke P (t, S) = Ke r(t t) N ( d 2 ) SN( d 1 ) 2.2 Καμπύλη Ελέυθερου Συνόρου και το Α- μερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Πρωτού αναπτύξουμε το Αμερικάνικο παράγωγο ως γραμμικό συμπληρωματικό πρόβλημα (Linear Complementarity Problem), θα παρουσιάσουμε το ελεύθερο σύνορο το οποίο είναι μέρος του προβλήματος για την τιμολόγηση των Αμερικανικών δικαιωμάτων. Οπως έχουμε αναφέρει το Αμερικάνικο παράγωγο ασκείται σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Συνεπώς πέρα από την βέλτιστη αξία μας ενδιαφέρει και ο βέλτιστος χρόνος άσκησης του δικαιώματος. Υποθέτουμε ότι το 32

47 2.2. ΚΑΜΠ ΥΛΗ ΕΛ ΕΥΘΕΡΟΥ ΣΥΝ ΟΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ Option Price S f Spot Price Σχήμα 2.1: Το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης υποκείμενο προϊον δεν αποδίδει μερίσματα στον κάτοχο του συμβολαίου, για το λόγο αυτό θα αναφερθούμε μόνο στην περίπτωση του Αμερικάνικου διακαιώματος πώλησης (American Put Option) αφού στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσαμε ότι στην περίπτωση του Αμερικάνικου δικαιώματος αγοράς για το οποίο στο υποκείμενο προϊόν δεν υπάρχουν μερίσματα τότε το παράγωγο αυτό έχει την ίδια αξία με αυτή του Ευρωπαϊκού διακαίωματος αγοράς και ο αντίστοιχος βέλτιστος χρόνος άσκησης του παραγώγου είναι στον χρόνο ωρίμανσης T όπως ακριβώς και στην περίπτωση του Ευρωπαϊκου. Επιπλέον όπως έχουμε αναφέρει το ελέυθερο σύνορο ή αλλίως καμπύλη πρόωρης άσκησης του παραγώγου S f (t), είναι ένας χρόνος στάσης και χωρίζει το χωρίο μας σε δύο περιοχές. Στην περιοχή άσκησης του παραγώγου και στην περιοχή αναμονής όπου ο κατοχός του συμβολαίου αναμένει και δεν ασκεί το δικαίωμα του. Συνεπώς ο κάτοχος του συμβολαίου θα πρέπει να ακολουθήσει μια στρατηγική για το πότε θα ασκήσει το δικαίωμα αγοράς ή πώλησης Για το δικαίωμα αγοράς Αν S < S f (t) Περιμένουμε και δεν αγοράζουμε το παράγωγο, Διαφορετικά αν S S f (t) ασκούμε αμέσως το δικαίωμα Αντίστοιχα για το δικαίωμα πώλησης θα έχουμε: Αν S S f (t) ασκούμε το δικαίωμα, Διαφορετικά αν S > S f (t) περιμένουμε και δεν πουλάμε το παράγωγο Για τον υπολογισμό του ελεύθερου συνόρου S f (t) χρειαζόμαστε μία επιπλέον συνθήκη, η οποία δίνεται από την σχέση P S (t, S f (t)) = 1 Η μοναδικότητα της προηγούμενης σχέσης αποδεικνύεται εύκολα λόγω της γεωμετρίας του προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα, η μερική παράγωγος του δικαίωματος πώλησης ως προς το υποκείμενο προϊόν δεν μπορεί να είναι μικρότερη του -1 δηλαδή P S < 1 αφού στην περίπτωση αυτή η P (S, t) θα είναι κάτω από την συνάρτηση αποπληρωμής το οποίο είναι άτοπο αφού εξ ορισμού ι- σχύει ότι P (t, S) max (, K S). Ομοια απορρίπτεται και η περίπτωση για 33

48 2.2. ΚΑΜΠ ΥΛΗ ΕΛ ΕΥΘΕΡΟΥ ΣΥΝ ΟΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ P S > 1 αφού στην περίπτωση αυτή η P (t, S) δε θα λαμβάνει την μέγιστη τιμή της P (t, S) max (, K S). Για περισσότερες λεπτομέρειες παραπέμουμε στο [3]. Συνεπώς για το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης θα έχουμε: P (t, S f ) = K S f (t) και P S (t, S f (t)) = 1 το ελεύθερο σύνορο θα έχει κάτω φράγμα όπου S f (t) > λ 1 λ 1 1 K { λ 1 = 1 } σ 2 (r d σ2 2 ) (r d σ2 2 )2 + 2σr και dτο αντίστοιχο μέρισμα, και άνω φράγμα S f (t) lim t T S f (t) = min(k, r d K) Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [2](Παράρτημα Α). Αντίστοιχα για το Αμερικάνικο δικαίωμα αγοράς C (t, S f ) = S f (t) K και C S (t, S f (t)) = 1 στην περίπτωση αυτή το αντίστοιχο κάτω φράγμα για το ελευθέρο σύνορο θα είναι: όπου S f (t) < λ 2 λ 2 1 K { λ 2 = 1 } σ 2 (r d σ2 2 ) + (r d σ2 2 )2 + 2σr και αντίστοιχα άνω φράγμα lim t T S f (t) > max(k, r d K) Θεώρημα 2.1. Εστω Γ = {S f := S f (t), ( t T )} η περιοχή της πρόωρης άσκησης τότε { S f (t) είναι μονοτονικά μη φθίνουσ α (για το δικαίωμα πώλησ ης) S f (t) είναι μονοτονικά μη αύξουσ α (για το δικαίωμα αγοράς) 34

49 2.3. ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚ Ο ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ Απόδειξη. Θα απδείξουμε την περίπτωση του δικαιώματος πώλησης, όμοια με χρήση της put call parity είναι και η απόδειξη για το δικαίωμα αγοράς. Υποθέτουμε αρχικά ότι η S f (t) δεν είναι μονοτονικά μία μη φθίνουσα τότε, θα υπάρχουν t 1 t 2 T τέτοια ώστε και στο t = t 2 τότε Αντίστοιχα S f (t 1 ) > S f (t 2 ) { S f S f (t 2 ), t = t 2 } ɛs (περιοχή αναμονής) {S f (t 2 ) < S f <, t = t 2 } ɛk (περιοχή άσ κησ ης) αντίστοιχα (t 2, S f (t 1 ))ɛc Ομως αφού (t 1, S f (t 1 ))ɛγ, συνεπως Επομένως όταν t 2 > t 1 P (t 1, S f (t 1 )) = (K S f (t 1 )) + P (t 2, S f (t 1 )) > P (t 1, S f (t 1 )) το οποίο αντικρούει με το (1.27). Συνεπώς η καμπύλη πρόωρης άσκησης είναι μονοτονικά μία μή φθίνουσα συνάρτηση. 2.3 Το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης και το Γραμμικό Συμπληρωματικό Πρόβλημα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε την μορφή που θα έχει το πρόβλημα της τιμολόγησης των Αμερικάνικων παραγώγων με χρήση της εξίσωσης της θερμότητας που αναφέραμε σε προηγούμενη ενότητα. Πρωτού δώσουμε την μορφή του Αμερικάνικου παραγώγου ως γραμμικό συμπληρωματικό πρόβλημα είναι σημαντικό να αναφέρουμε το πρόβλημα του εμποδίου και την αντίστοιχη συνάρτηση εμποδίου (obstacle function) η οποία στην περίπτωση των Αμερικάνικων παραγώγων είναι η συνάρτηση αποπληρωμής. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα εμποδίου Εστω g(x) η αντίστοιχη συνάρτηση ελέυθερου εμποδίου (obstacle function) για την οποία ισχύει g(x) > για a < x < β, g ɛ C 2 με g (x) < και g( 1) <, g(1) <. Πάνω από τη συνάρτηση g υπάρχει η συνάρτηση u η οποία εφάπτεται της g ανάμεσα στα σημεία a και β. Οι τιμές των a και β είναι αρχικά άγνωστες. Το πρόβλημα αυτό είναι το απλούστερο πρόβλημα ελεύθερου συνόρου. Σκοπός μας είναι να επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα του εμποδίου με τρόπο ώστε οι συνοριακές συνθήκες a και β να μην εμφανίζονται αρχικά στο πρόβλημα μας. Η συνάρτηση u βλέπε Σχήμα 2.2 για u ɛ C 1 [ 1, 1] οριζέται ως ακολούθως Για 1 < x < a u = (u > g) 35

50 2.3. ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚ Ο ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ Σχήμα 2.2: Το Απλό προβλήμα εμποδίου Για a < x < β u = g (u = g < ) Τέλος για β < x < 1 u = (u > g) Συνεπώς καταλήγουμε: Αν u > g τότε u = Αν u = g τότε u < Σε αναλογία με το απλό πρόβλημα του ελεύθερου συνόρου οδηγούμαστε στο πρόβλημα του Αμερικάνικου διακιώματος πώλησης ως γραμμικό συπμπληρωματικό πρόβλημα. Θεώρημα 2.2. Το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης ικανοποιεί το ακόλουθο γραμμικό συμπηρωματικό προβλήμα: P t + σ2 2 S2 2 P P + rs S2 S rp σ το R+ [, T ), (2.14) P (t, S) (K S) + σ το R + [, T ) (2.15) ( ) P t + σ2 2 S2 2 P P (P + rs S2 S rp (K S) + ) = σ το R + [, T ) (2.16) με συνοριακές συνθήκες P (T, ) = K για S και τελική συνθήκη lim P (t, S) = S P (T, S) = (K S) + 36

51 2.3. ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚ Ο ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [32]. Με χρήση ανάλογων μετασχηματισμών που παρουσιάσαμε στην Ενότητα 2.1 ο- δηγούμαστε: y t = 2 y x 2 για P Am (t, S) > (K S) + Εισάγοντας και τη συνθήκη για το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης θα έχουμε: P Am (t, S) (K S) + = K max {, 1 e x } Το οποίο μας οδηγεί στην ανισότητα: { 1 y (τ, x) exp 2 (k 1) x + 1 } 4 (k + 1)2 τ max {, 1 e x } { 1 = exp 4 (k + 1)2 τ { 1 = exp 4 (k + 1)2 τ } max {, (1 e x ) e 1 (k 1)x} 2 } max {, e 1 2 (k 1)x e 1 (k+1)x} 2 = g (τ, x) (2.17) Συνεπώς το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης μπορεί να γραφτεί στην μορφή του γραμμικού συμπληρωματικού προβήματος ως ακολούθως: ( ) y τ 2 y x 2 (y g) = (2.18) y τ 2 y, x2 y g (2.19) με αντίστοιχη αρχική συνθήκη: και αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες: y (, x) = g (, x) τ 1 2 σ2 T (2.2) lim y(τ, x) = lim g(τ, x) x ± x ± Το πρόβλημα του προσδιορισμού του ελεύθερου συνόρου-της πρόωρης ασκήσης του δικαιώματος εντάσσεται απευθείας στην ανωτέρω μορφή. 37

52 Κεφάλαιο 3 Πεπερασμένες Διαφορές για το Αμερικάνικο Παράγωγο Με βάση τον μετασχηματισμό του Ευρωπαϊκού και Αμερικάνικου παραγώγου στην εξίσωση της θερμότητας, ειμαστε έτοιμοι να τιμολογήσουμε αυτού του είδους τα παράγωγα, διακριτοποιώντας με κατάλληλες αρχικές και συνοριακές συνθήκες την εξίσωση θερμότητας. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τον τρόπο διακριτοποίησης αυτών των παραγώγων με χρήση της μεθόδου των Πεπερασμένων Διαφορών. 3.1 Διακριτοποίηση της Εξίσωσης της Θερμότητας με Χρήση Πεπερασμένων Διαφορών Στην ενότητα αυτή θα περιγράψουμε τη διακριτοποίηση της εξίσωσης της θερμότητας. Θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας: y τ = 2 y x 2 a x b (3.1) για κάποια αρχική συνθήκη y και αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες και αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες y(τ, a) = y(τ, b) = Η ιδέα των πεπερασμένων διαφορών είναι να αντικαταστήσουμε τις μερικές παραγώγους με κατάλληλες προσεγγίσεις από χρήση της σειράς Taylor Με χρήση 38

53 3.1. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡ ΩΝ της σειράς Taylor θα έχουμε: y y (τ + τ, x) y (τ, x) (τ, x) = lim τ τ τ Υποθέτοντας τώρα ότι το τ είναι αρκετά μικρό καταλήγουμε: y y (τ + τ, x) y (τ, x) (τ, x) = + O ( τ) (3.2) τ τ Ο όρος O( τ) προέρχεται απο τη χρήση του αναπτύγματος Taylor, και για την συγκέκριμενη προσέγγιση αντιστοιχεί στο αντίστοιχο σφάλμα διακριτοποίησης. Η μέθοδος αυτή καλείται προς τα εμπρός διαφορά. Αντίστοιχα τώρα μια εναλλακτική προσέγγιση της μερικής παραγώγου ως προς τον χρόνο y τ γίνεται ως ακολούθως: y y(τ, x) y(τ τ, x) (τ, x) = + O( τ) (3.3) τ τ Η μέθοδος αυτή καλείται ως προς τα πίσω διαφορά. Παρατηρούμε ότι η προσεγγίση αυτή έχει την ίδια τάξη σφάλματος με αυτή της προς τα εμπρός διαφορά. Ενναλακτικά καλύτερη τάξη σφάλματος μπορεί να επιτευχθεί με χρήση κεντρικών διαφορών ως ακολούθως: y y(τ + τ, x) + y (t τ, x) ( (τ, x) = + O ( τ) 2) (3.4) τ 2 τ Παρατηρούμε ότι στην προσέγγιση αυτή η αντίστοιχη τάξη σφάλματος είναι O( τ 2 ). Ωστόσο η χρήση της (3.4) σε πολλές εφαρμογές δίνει κακά αριθμητικά αποτέλασματα. Μια καλύτερη επιλογή χρήσης κεντρικών διαφορών είναι η ακόλουθη: y τ τ τ y(τ + 2, x) y(τ 2 (τ, x) =, x) ( + O ( τ) 2) (3.5) τ Παρατηρούμε ότι η ανωτέρω κεντρική διαφορά έχει την ίδια τάξη σφάλματος με την (3.4). Η ίδέα της (3.5) προέρχεται από την μέθοδο Crank Nicolson. Τέλος για τη διακριτοποίηση της χωρικής παραγώγου θα έχουμε: 2 y y(τ, x + x) 2y(τ, x) + y (τ, x x) ( (τ, x) = x2 ( x) 2 + O ( x) 2) (3.6) Με βάση τις ανωτέρω προσεγγίσεις είμαστε έτοιμοι να περιγράψουμε τα ανάλογα αριθμητικά σχήματα για την διακριτοποίηση της εξίσωσης της θερμότητας Η αμέση μέθοδος Euler για την εξίσωση θερμότητας Για την εξίσωση θεμότητας y τ = 2 y x 2 a x b 39

54 3.1. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡ ΩΝ Σχήμα 3.1: Η άμεση μεθόδος Euler Δεδομένου ότι η προσσεγιστική λύση της y (τ, x) είναι η y (ν) i, με χρήση της άμεσης μεθόδου Euler και Λύνωντας ως προς y (ν+1) i y τ = y(ν+1) i y (ν) i + O ( τ) τ 2 y x 2 = y(ν) i+1 2y(ν) i + y (ν) i 1 h 2 + O ( h 2) y (ν+1) i θα έχουμε: = y (ν) i Η μέθοδος ξεκινάει για δοθέν ν = + τ ( h 2 y (ν) i+1 2y(ν) i ) + y (ν) i 1 (3.7) y i = y(, x) (3.8) και κατάλληλες συνοριακές συνθήκες. Στην περίπτωση αυτή υποθέτουμε ότι y (ν) = y m (ν) = Η (3.7) μπορεί για λ = τ h να γραφτεί στην δομή του επαναληπτικού 2 συστήματος: Οπου: y (ν+1) = A expl y (ν) (3.9) 1 2λ λ A expl = λ 1 2λ λ λ 1 2λ (3.1) Από την χρήση του αναπτύγματος Taylor το συνολικό σφάλμα για την άμμεση μέθοδο Euler είναι O( τ + h 2 ) 4

55 3.1. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡ ΩΝ Ευστάθεια της άμεσης μεθόδου Euler Για την επαναληπτική μέθοδο y (ν+1) = A exp y (ν) θα πρέπει να την εξέτασουμε ως προς την ευστάθεια της. Το αντίστοιχο υπολογιστικό σφάλμα: e (ν) = ȳ (ν) y (ν) όπου ȳ είναι η υπολογιστική μας λύση από την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών Άρα: ȳ (ν+1) = A expl ȳ (ν) + r (ν+1) όπου r το αντίστοιχο σφάλμα που έχουμε κατα τον υπολογισμό του A expl ȳ (ν). Δεδομένου ότι ȳ (ν+1) = A expl ȳ (ν) καταλήγουμε: Δηλαδή: A expl e (ν) = A expl ȳ (ν) A expl y (ν) = ȳ (ν+1) y (ν+1) = e (ν+1) e (ν) = A ν exple () Για να είναι η μέθοδος ευσταθής θα πρέπει A ν expe () για ν, δηλαδή } lim ν {A ν expl = για ν. Το ακόλουθο λήμμα προβάλει το αντίστοιχο κριτήριο. ij Λήμμα 3.1. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: 1. ρ (A) < 1 2. A ν z z, ν 3. lim ν {A ν } ij = όπου ρ (A) = max µ A i και µa i οι αντίστοιχες ιδιοτιμές του πίνακα A Για την απόδειξη του Λήμματος 3.1 παραπέμπουμε στο [48] (Θεώρημα 4 σελίδα 14) Ως συνέπεια του ανωτέρω λήμματος, για να είναι η άμεση μέθοδος Euler ευσταθής θα πρέπει να ελένξουμε τις αντίστοιχες ιδιοτιμές του A expl. Συνεπώς διαχωρίζοντας τον πίνακα A expl 2 1. A expl = I λ (3.11) } 1 {{ 2 } =:G Απομένει να εξετάσουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα G, ο οποίος ειναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος 41

56 3.1. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡ ΩΝ Λήμμα 3.2. Εστω: a b. G = c a b c a Οι ιδιοτιμές του πίνακα G µ G k και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα vg k είναι: ( ) b kπ µ k = a + 2b c cos N + 1 και τα ιδιοδιανύσματα ( ( v k = c b sin kπ N+1 ), ( c b) 2 sin ( 2kπ N+1 ),..., ( c b) N sin ( Nkπ N+1 )) Συνεπώς με βάση το προηγούμενο λήμμα για, a = 2, και b = c = 1 οι αντίστοιχες ιδιοτιμές του πίνακα G θα είναι: ( ) ( ) µ G k = 1 4λ cos 2 kπ = 4 sin 2 kπ 2(N + 1) 2(N + 1) Τέλος οι αντίστοιχες ιδιοτιμές του αρχικού πίνακα A θα είναι: ( ) µ A k = 1 4λ sin 2 kπ 2(N + 1) Συνεπώς για να είναι η άμεση μέθοδος Euler ευσταθής θα πρέπει µ A k < 1. Συνεπώς ( ) 1 4λ sin 2 kπ < 1 2(N + 1) Το οποίο ισοδυναμεί: ( ) 1 < 1 4λ sin 2 kπ = 12 ( ) 2(N + 1) > λ kπ sin2 2(N + 1) Άρα για λ = τ h 2, λ 1 2 είναι ευσταθής. Δηλαδή για: η επαναληπτική μέθοδος: y (ν+1) = A exp y (ν) τ h2 (3.12) 2 η άμεση μέθοδος Euler είναι ευσταθής. Η συνθήκη (3.12) καλείται συνθήκη CFL (Courant-Friedrichs-Lewy condition) 42

57 3.1. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡ ΩΝ Σχήμα 3.2: Η έμμεση μεθόδος Euler Η έμμεση μέθοδος Euler Αντίστοιχα για την εξίσωση θερμότητας με χρήση της έμμεσης Euler μεθόδου θα έχουμε: y (ν) i = y(ν) i y (ν 1) i + O ( τ) t τ το οποίο με διακριτοποίηση της χωρικής παραγώγου με χρήση κεντρικών διαφορών θα έχουμε: λy ν i+1 + (2λ + 1) y (ν) i λy (ν) i 1 = y(ν 1) i (3.13) Η ανωτέρω μορφή δείχνει τη σχέση ανάμεσα στο χρονικό βήμα v και v 1. Γράφοντας την (3.13) σε δομή επαναληπτικής μεθόδου θα έχουμε: Οπου: Δηλαδή y (ν 1) = A impl y (ν) (3.14) 2λ + 1 λ. A impl = λ 2λ λ λ 2λ + 1 A impl = I + λg (3.15) Για την ευστάθεια της έμμεσης μεθόδου Euler, Παρατηρούμε ότι ο πίνακας A impl έιναι θετικά ορισμένος συνεπώς είναι αντιστρέψιμος, και η (3.14) μπορεί να γραφτεί στην μορφή: y (ν) = A 1 impl y(ν 1) Για να είναι ευσταθής η έμμεση μέθοδος Euler, βασιζόμενοι στο Λήμμα 3.1 θα πρέπει ρ(a 1 impl ) < 1 δηλαδή µ A 1 impl i < 1 43

58 3.1. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡ ΩΝ από την (3.15) και το λήμμα 3.2 θα έχουμε 1 ( 1 + 4λsin 2 δηλαδή kπ 2(N+1) ( ) 4λ sin 2 kπ > 2(N + 1) ) < 1 (3.16) Συνεπώς η έμμεση μέθοδος Euler είναι ευσταθής για όλα τα λ > όπου λ = τ h 2. Τέλος, παρατηρούμε οτι η έμμεση μέθοδος και η άμεση Euler έχουν την ίδια τάξη σφάλματος, O( τ + h 2 ) Η μέθοδος Crank Nicolson Στις προηγούμενες δύο μεθόδους η διακριτοποίηση της χρονικής παραγώγου y τ ή- ταν O ( τ). Η χρήση της μεθόδου Crank Nicolson έχει τάξη σφάλματος O ( τ 2) με χρήση κατάλληλων κεντρικών διαφορών που εισάγαμε στην προηγούμενη ενότητα. Η μεθοδος Crank Nicolson ορίζεται παίρνοντας έμεση Euler για το χρόνικό βήμα ν αμέση Euler για το χρονικό βήμα ν + 1 αλλα και το μέσο τους. Συνεπώς την εξίσωση της θερμότητας με χρήση της Crank Nicolson θα έχουμε: y (ν+1) i τ y (ν) i = 1 ( 2h 2 y (ν) i+1 2y(ν) i + y (ν) i 1 + y(ν+1) i+1 2y (ν+1) i ) + y (ν+1) i 1 (3.17) Η ανωτέρω εξίσωση συνδέει σε κάθε χρονικό βήμα ν και ν + 1 τρείς όρους της y βλέπε Σχήμα 3.3 Θεώρημα 3.1. (Crank Nicolson) Υποθέτουμε ότι η y είναι λεία, με την έννοια ότι y ɛ C 4 Τότε: 1. Η τάξη της μεθόδου είναι: O ( τ 2) + O ( h 2) 2. Για κάθε χρονικό βήμα ν το γραμμικό τριδιαγώνιο σύστημα έχει μοναδική λύση 3. Η μέθοδος είναι ευσταθής για όλα τα τ > Απόδειξη. 1. Για την αντίστοιχη τάξη της μεθόδου, Συμβολίζοντας: y xx = y(ν) i+1 2y(ν) i + y (ν) i 1 h 2 = δxy 2 (ν) i 44

59 3.1. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡ ΩΝ Σχήμα 3.3: Η μέθοδος Crank Nicolson Εφαρμόζοντας το διαφορικό δx 2 στην y με χρήση του αναπτύγματος Taylor θα έχουμε: δxy(τ 2 ν, x i ) = 2 y(τ ν, x i ) x 2 + h2 4 y(τ ν, x i ) 12 x 4 + O(h 2 ) Το αντίστοιχο σφάλμα διακριτοποίησης: ɛ = y(τ ν+1, x i ) y(τ ν, x i ) τ 1 2 (δ2 xy(τ ν, x i ) + δ 2 xy(τ ν+1, x i )) καταλή- και δεδομένου ότι για την εξίσωση της θερμότητας έχουμε ότι y γουμε: ɛ = O ( τ 2) + O ( h 2) τ = y2 x 2 2. Το σύστημα των εξισώσεων της (3.17) μπορεί να γραφτεί στην ακόλουθη μορφή: λ 2 y(ν+1) i 1 + (1 + λ) y (ν+1) i λ 2 y(ν+1) i+1 = = λ 2 y(ν) i 1 + (1 λ) y(ν) i + λ 2 y(ν) i+1 το οποίο μπορεί να γραφτεί στην ακόλουθη επαναληπτική δομή: A CN y (ν+1) = B CN y (ν) (3.18) Οπου: και 1 + λ λ 2 A CN = λ λ λ 2 λ λ λ 1 λ 2 λ B CN = 2 1 λ λ 2 λ 2 1 λ 45

60 3.1. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡ ΩΝ Οι ιδιοτιμές του πίνκακα A CL είναι πραγματικές και 1 < µ A CL < 1 + 2λ. Συνεπώς μία τουλάχιστον ιδιοτιμή µ A CL k =, 1,..., θα είναι μεγαλύτερη της μονάδος, και k άρα η λύση του γραμμικού μας συστήματος είναι μοναδικά ορισμένη. 3. Για την αντίστοιχη ευστάθεια της μεθόδου, οι πίνακες A CN και B CN μπορούν να γραφτούν στην ακόλουθη μορφή: και A CN = I + λ 2 G B CN = I λ 2 G οπου G ο αντίστοιχος πίνακας που ορίσαμε στην αμεση μέθοδο Euler 2 1. G = (3.19) Με βάση την ανωτέρω μορφή οδηγούμαστε στην ακόλουθη επαναληπτική δομή: Συνεπώς για C = 2I + λg θα έχουμε: (2I + λg) y (ν+1) = (2I λg) y (ν) (3.2) = (4I 2I λg) y (ν) = (4I λg) y (ν) y (ν+1) = ( 4C 1 I ) y (ν) (3.21) Οι αντίστοιχες ιδιοτιμές µ C k για k = 1, 2,.. με βάση το Λήμμα 3.2 θα έχουμε: ( ( )) kπ µ C k = 2 + λµ G k = 2 + λ 2 2 cos N + 1 ( ) = 2 + 4λ sin 2 kπ 2(N + 1) βασιζόμενοι στην (3.21) καταλήγουμε 4 µ C2 k 1 < 1 = µ C k > 2 Συνεπώς η μέθοδος Crank Nicolson είναι ευσταθής για όλα τα λ >. Τέλος εισάγοντας μία παραμέτρο θ ɛ[, 1] η οποία μας επιτρέπει να επιλέξουμε είτε την άμεση Euler είτε έμμεση Euler είτε τη μέθοδο Crank Nicolson. Πιο συγκεκριμένα για: 46

61 3.1. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡ ΩΝ θ = άμεση Euler θ = 1 έμμεση Euler θ = 1/2 μέθοδος Crank Nicolson Με χρήση της μορφής θ καταλήγουμε στην ακόλουθη επαναληπτική δομή: (I + θλg) y (ν+1) = (I (1 θ) λg) y (ν) (3.22) και η αντίστοιχη δοθείσα αρχική συνθήκη: y (, x) = y όπου G ο αντίστοιχός πίνακας, βλέπε (3.19) Λήμμα 3.3. (Ευστάθεια της θ- μορφής) Αν 1/2 θ 1 τότε η (3.22) είναι ευσταθής για όλα τα λ, h > Αν θ 1/2 τότε η (3.22) είναι ευσταθής αν ικανοποιεί την CFLσυνθήκη (3.12) Απόδειξη. Εστω A θ = I +λθg και B θ = I λ(1 θ)g. Για την ευστάθεια της θ- μορφής αρκεί να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα A 1 θ B θ, για τον οποίο θα έχουμε: ( ) A 1 θ B θ = A 1 (1 θ) θ (I (1 θ)λg) = A 1 θ I (A I) θ = 1 (1 θ) θ A 1 θ I θ Οι αντίστοιχες ιδιοτιμές του πίνακα θα είναι: ( ) 4(1 θ)λ sin 2 kπ µ A 1 θ B θ 2(N+1) 1 k = ( ) για k = 1, 2, θλ sin 2 kπ 2(N+1) Συνεπώς βασιζόμενοι στο Λήμμα 3.1 για να είναι ευσταθής η θ-μορφή θα πρέπει B θ) < 1, συνεπώς ρ(a 1 θ Δηλαδή B θ max µ A 1 θ k < 1 λ 1 2(1 2θ) (3.23) από το οποίο για θ < 1 2 λαμβάνουμε τη συνθήκη CFL ενώ για 1 2 θ 1 τότε η θ-μορφή είναι ευσταθής για όλα τα λ. 47

62 3.1. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡ ΩΝ Ορίζουμε με και για AɛR N N x L 2 = x 2 m 1 ( 1 m 1 m 1 i=1 x i 1 ) 1/2 (3.24) A 2 = και στην περίπτωση όπου ο Α είναι συμμετρικός τότε A = ρ (A T A) και A 2 = ρ(a) sup Ax 2 (3.25) x 2=1 Θεώρημα 3.2. Εστω y (ν) i η προσεγγιστική λύση με χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών για την (3.22) με yi = y και Y (ν) i = y(τ ν, x i ) η ακριβής λύση της (3.1). Αν yɛc 4,2 τότε υπάρχει σταθερά C > τέτοια ώστε max y (ν) Y (ν) L 2 C( τ + h 2 ) (3.26),...,ν max Αντίστοιχα για την μέθοδο Crank Nicolson για yɛc 4,3 θα υπάρχει σταθερά C > τέτοια ώστε max y (ν) Y (ν) L 2 C(( τ) 2 + h 2 ) (3.27),...,ν max Απόδειξη. Εστω A θ = I + λθg και B θ = I λ(1 θ)g. Για τις y (ν), Y (ν) ισχύουν οι ακόλουθες αναδρομικές σχέσεις και Για την αντίστοιχη σύγκλιση θα έχουμε A θ y (ν) = B θ y (ν+1) A θ Y (ν) = B θ Y (ν 1) + ε (ν 1) y (ν) Y (ν) 2 = A 1 θ ( A θ y (ν) A θ Y (ν)) 2 ( = A 1 θ B θ Y (ν 1) B θ Y (ν 1) ɛ (ν 1)) 2 A 1 θ B θ 2 y Y 2 }{{} = ν 1 + i= A 1 θ B θ (ν i 1) A 1 θ 2 ɛ (i) 2 1 A 1 θ B θ (ν) 2 1 A 1 θ B A 1 θ max ɛ (i) 2 (3.28) θ 2 i=,...ν max Ο πίνακας A 1 θ B θ και συνεπώς από το Λήμμα 3.1 η θ- μέθοδος είναι ευσταθής αν A 1 θ B θ 2 = ρ(a 1 θ B θ) < 1 48

63 3.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡ ΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ Δεδομένου ότι το συνολικό σφάλμα για την άμμεση και την έμεση μεθόδο Euler είναι O( τ + h 2 ), για C > καταλήγουμε ɛ (ν 1) L 2 max i=1,..m 1 ɛ(ν 1) C ( τ + h 2) ν = 1,..., ν max Από την (3.28) θα έχουμε για και καταλήγουμε max y (ν) Y (ν) L 2 ν=,...,ν max C A 1 θ 2 1 A 1 θ 2 max i=1,...m 1 ɛ(ν) 2 C ( τ + h 2) C = C A 1 θ 1 A 1 θ 2 Η αποδειξη είναι όμοια και για την Crank Nicolson αντικαθιστώντας το συνολικό σφάλμα με O(( τ) 2 + h 2 ). 3.2 Πεπερασμένες Διαφορές για το Αμερικάνικο Παράγωγο Στην ενότητα αυτή θα περιγάψουμε τη γενική δομή διακριτοποίησης των Αμερικάνικων παραγώγων με χρήση πεπερασμένων διαφορών. Υποθέτουμε ότι το υποκείμενο προϊόν ( μετοχή) αποδίδει μέρισμα στον κατόχο του παραγώγου. Με βάση το γραμμικό συμπληρωματικό πρόβλημα που παρουσιάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο θα έχουμε: με αντίστοιχη αρχική συνθήκη: {( ) y τ 2 y x (y g) = 2 y τ 2 y x y g 2 (3.29) και αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες: y(, x) = g(, x) (3.3) lim y(τ, x) = g(τ, x) x lim y(τ, x) = x + οπου η συνάρτηση εμπόδιο (obstacle function) για την περίπτωση του Αμερικάνικου δικαιώματος πώλησης θα είναι: { τ ( )} { } g(τ, x) = exp (k d 1) 2 + 4k max, e x 2 (kd 1) e x 2 (k d+1) (3.31) 4 49

64 3.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡ ΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ αντίστοιχα για το Αμερικάνικο δικαίωμα αγοράς { τ ( )} { } g(τ, x) = exp (k d 1) 2 + 4k max, e x 2 (kd+1) e x 2 (k d 1) (3.32) 4 όπου: k d = 2(r d) σ και k = 2r 2 σ με d το αντίστοιχο μέρισμα του υποκείμενου προϊόντος. 2 Για την αντίστοιχη χωρική διακριτοποίηση για το απειροδιάστατο χωρίο διακριτοποίησης [, + ] θα πρέπει να κάνουμε μία κατάλληλη διακριτοποίηση. Στο [2] προτείνει τη χρήση του [ 5, 5] ως κατάλληλο χωρίο διακριτοποίησης. Συνεπώς για a = 5 [ a, a] και το αντίστοιχο χωρικό βήμα h = 2a/N όπου Ν ο μέγιστος αριθμός βήματων της διακρτοποίησης μας. Ετσι a <= x < x 1 <... < x N 1 < x N = a με x i = a + ih και αντίστοιχα για τη χρονίκη διακριτοποίηση τ = 1 σ 2 T 2 v max, καταλήγουμε με χρήση της άμεσης Euler θα έχουμε: y (ν+1) i y (ν) i y(ν) i 1 2y(ν) i + y (ν) i+1 h 2 τ αντίστοιχα με χρήση της έμμεσης Euler θα έχουμε: y (ν+1) i τ y (ν) i y(ν+1) i 1 2y (ν+1) i y (ν+1) i+1 h 2 Εισάγοντας και την παράμετρο θ ɛ [, 1] καταλήγουμε: y (ν+1) i δηλαδή: τ y (ν) i y (ν+1) i θλ (1 θ) y(ν) i 1 2y(ν) i y (ν) i+1 h 2 θ y(ν+1) i 1 2y (ν+1) i y (ν+1) i h 2 ( y (ν+1) i 1 2y (ν+1) i ) y (ν+1) i+1 Για τις συνοριακές συνθήκες θα έχουμε: και y (ν) = g (ν) x y (ν) N ( y (ν) i + (1 θ) λ y (ν) i 1 2y(ν) i = g(ν) x N ) + y (ν) i+1 (3.33) Βασιζόμενοι στην αναδρομική σχέση (3.33) για i = x και i = x N το διάνυσμα των συνοριακών συνθηκών θα είναι: d (ν) = θλg x (ν+1) N θλg (ν+1) x + λ(1 θ)g x (ν) N. + λ(1 θ)g x (ν) (3.34) 5

65 3.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡ ΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ Συνεπώς, εισάγοντας και τις συνοριακές συνθήκες καταλήγουμε: 1 + 2λθ θλ. θλ 1 + 2λθ θλ θλ 1 + 2λθ y x (ν+1) Ṇ. y (ν+1) x 1 2(1 θ) (1 θ)λ. (1 θ)λ 1 2(1 θ)λ (1 θ)λ (1 θ)λ 1 2(1 θ)λ Συνεπώς καταλήγουμε στην ακόλουθη επαναληπτική δομή: y x (ν) N. y (ν) x + θλg x (ν+1) N θλg (ν+1) x Cy (ν+1) By (ν) + d (ν) (3.35) + λ(1 θ)g x (ν) N. + λ(1 θ)g x (ν) Οπου: 1 + 2λθ θλ. C = θλ 1 + 2λθ θλ θλ 1 + 2λθ (3.36) 1 2(1 θ)λ (1 θ)λ. B = (1 θ)λ 1 2(1 θ)λ (3.37).. (1 θ)λ (1 θ)λ 1 2(1 θ)λ Συνεπώς για ν =, 1, 2,... επιλύουμε το ακόλουθο γραμμικό συμπληρωματικό πρόβλημα: Cy (ν+1) b (ν) y (ν+1) g (ν+1) (3.38) ( y (ν+1) g (ν+1)) T ( Cy (ν+1) b (ν)) = όπου b (ν) = By (ν) + d (ν) (3.39) Το (3.38) είναι ισοδύναμο με το ακόλουθο γραμμικό συμπληρωματικό πρόβλημα Βρές z τέτοιο ώσ τε Cz + q qɛr N (3.4) z(cz + q) = 51

66 3.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡ ΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ όπου και z = y (ν) g (ν) q = Cq (ν) b (ν) και δεδομένου ότι ο πίνακας C είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος καταλήγουμε στο ακόλουθο θεώρημα Θεώρημα 3.3. Αν ο πίνακας C είναι θετικά ορισμένος, τότε το γραμμικό συμπληρωματικό πρόβλημα (3.4) έχει μοναδική λύση για όλα τα qɛr N Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [16] (Θεώρημα σελίδα 141). Για την αντίστοιχη σύγκλιση, βασιζόμενοι στο [45] καταλήγουμε: max,..ν max,...,n ȳ (ν) i (t) y(t) C(h 2 + τ) 1 ɛ ɛ > (3.41) όπου ȳ συνάρτηση spline στα σημεία (τ ν, x i ) της προσέγγισης μας από τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Η επίλυση του (3.38) γίνεται με χρήση της επαναληπτικής μεθόδου PSOR που περιγράφεται στο Κεφάλαιο 5. 52

67 Κεφάλαιο 4 Πεπερασμένα Στοιχεία για το Αμερικάνικο Παράγωγο Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε την διακριτοποίηση του Αμερικάνικου παραγώγου με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. Οπως θα δούμε στο κεφάλαιο Αριθμητικές Εφαρμογές, σε πολλές εφαρμογές η χρήση των πεπερασμένων στοιχείων οδηγεί σε καλύτερη προσεγγιστική λύση έναντι των πεπερασμένων διαφορών. Αυτό οφείλεται στην δομή των πεπερασμένων στοιχείων. Οι πεπερασμένες διαφορές που παρουσιάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο διακριτοποιούν το χωρίο σε τετράγωνα μόνο, και σε προβλήματα με περιπλόκη γεωμετρική δομή δεν οδηγούν σε καλή προσέγγιση. Εν αντιθέση με τις πεπερασμένες διαφορές, τα πεπερασμένα στοιχεία ανάλογα με τον τύπο στοχείων της βάσης (συναρτήσεις στέγες, cubic splines, πολυώνυμα Hermite, wavelets) διακριτοποιούν το χώριο σε τετράγωνα τρίγωνα εξάγωνα κτλ. Συνεπώς σε προβλήματα με περίπλοκη γεωμετρική δομή, κυρίως σε προβλήματα 2-3 διαστάσεων με χρήση κατάλληλων στοιχείων θα έχουμε μια καλή προσέγγιση για το πρόβλημα μας. Για τον λόγο αυτό πολλοί ερευνητές κάνουν χρήση των πεπερασμένων στοιχείων για την τιμολόγηση χρηματοοικονομικών προϊόντων. Πρωτού παρουσιάσουμε την χρήση των πεπερασμένων στοιχείων για τα Αμερικάνικα παράγωγα, θα παρουσιάσουμε κάποια εισαγωγικά στοιχεία για την χρήση των πεπερασμένων στοιχείων σε προβλήματα παραβολικού τύπου. 4.1 Πεπερασμένα Στοιχεία για Εξισώσεις Παραβολικού Τύπου Οι περισσότερες εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά ακολουθούν εξίσώσεις παραβολικού τύπου με την ακόλουθη δομή: y t Ay = f σ το J Ω 53

68 4.1. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟ Υ Τ ΥΠΟΥ με αντιστοίχη αρχική συνθήκη: y(, x) = y (x) x ɛ Ω, ΩɛR d όπου A : ο αντίστοιχος ελλειπτικός τελεστής, J το χρονικό πεδίο και Ω, το αντίστοιχο χωρικό πεδίο Χώροι Sobolev Στην ενότητα αυτή εισάγουμε τους χώρους Sobolev, οι οποίοι είναι μία ειδική κατηγορία χώρων Hilbert και είναι απαραίτητοι για την μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ορισμός 4.1. Εστω Ω R n. Ορίζουμε με D(Ω) ή C (Ω) τον χώρο C (Ω) συναρτήσεων με συμπαγή φορέα στο Ω. Ορισμός 4.2. Εστω Ω R n, το σύνολο των τοπικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων συμβολίζεται με: L 1 Loc(Ω) = { y : yɛl 1 (K) K σ υμπαγές Ω } Ορισμός 4.3. Λέμε ότι μία συνάρτηση yɛl 1 Loc (Ω) έχει ασθενή παράγωγο Dn y δεδομένου ότι υπάρχει μία συνάρτηση gɛl 1 Loc (Ω) τέτοια ώστε: ˆ ˆ g(x)ϕ(x)dx = ( 1) n y(x)ϕ(x) n dx ϕɛd(ω) Ω Αν υπάρχει τέτοια συνάρτηση g ορίζουμε D n y = g. Με βάση τα ανωτέρω μπορούμε να ορίσουμε τους χώρους H m (Ω) Ω Ορισμός 4.4. H m (Ω) m ɛ N είναι ο χώρος όλων των συναρτησέων των οποίων οι ασθενείς παράγωγοι τάξης m ανήκουν στον L 2 (Ω) δηλαδή: H m (Ω) = { yɛl 2 (Ω) : D n y ɛl 2 (Ω) για n m } Εφόδιαζουμε τον χώρο H m (Ω) με το ακόλουθο εσωτερικό γινόμενο: και την αντιστοίχη νόρμα: (y, v) = m (D n y, D n v) L 2 (Ω) n= m y 2 H m (Ω) = (y, v) H m (Ω) = D n y 2 L 2 (Ω) ο H m (Ω) είναι ένας χώρος Hilbert και αποτελεί ένα παράδειγμα του χώρου Sobolev, τους οποίους παρουσιάζουμε ακολούθως: n= 54

69 4.1. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟ Υ Τ ΥΠΟΥ Ορισμός 4.5. Εστω m θετικός ακέραιος και yɛl 1 Loc (Ω). Υποθέτουμε ότι οι ασθενείς παράγωγοι Dwy n υπάρχουν γία όλα τα n m. Οριζουμε τον χώρο W m,p = { yɛl 1 Loc(Ω) : y W m,p (Ω) < } όπου για 1 p < και στην περιπτωση όπου p = y W m,p (Ω) := D n y p L p (Ω) n <m y W,m (Ω) = max n m Dn y L (Ω) Θεώρημα 4.1. Ο χώρος W m,p (Ω) για 1 p είναι ένας πλήρης χώρος Banach. Απόδειξη. Εστω {v j } ακολουθία Cauchy στον W m,p.τότε η {D n wy}, θα και αυτή μία ακολουθία Cauchy στον L p (Ω), για n m. Αφού ο L p (Ω) είναι ένας πλήρης χώρος Banach, θα υπάρχει v n ɛl p (Ω) τέτοιο ώστε D n v j v a Lp (Ω) καθώς j με v j v (,,...,) := v στον L p (Ω) Απομένει να δείξουμε ότι το D n v υπάρχει και είναι ίσο με με το v n. Αρχικά παρατηρούμε ότι αν w j w στον L p (Ω) τότε για όλα τα ϕɛd(ω) έχουμε ˆ ˆ w j (x)ϕ(x)dx w(x)ϕ(x)dx Απο την ανισότητα Holder θα έχουμε: Ω Ω 1/p w j ϕ wϕ L p (Ω) w j w L p (Ω) ϕ L p (Ω) καθώς το j.για να δείξουμε ότι D n y = v n θα πρεπει να δειξουμε ότι ˆ ˆ v n ϕdx = lim (D n v j ) ϕdx j Ω = ( 1) n ˆ Ω Ω v j ϕ n dx = ( 1) n ˆ Ω vϕ n dx Θεώρημα 4.2. Εστω Ω = [a, b] και yɛw 1,p (Ω). Τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση ỹɛc ( Ω) τέτοια ώστε y = ỹ σ.π στο Ω και για όλα τα x1, x 2 ɛω ισχύει ỹ(x 2 ) ỹ(x 1 ) = 55 ˆ x2 x 1 y (ξ)dξ

70 4.1. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟ Υ Τ ΥΠΟΥ Απόδειξη. Εστω x ɛω και gɛl p (Ω) v(x) = ˆ x x g(t)dt xɛω Τότε η vɛc ( Ω) και ˆ ˆ vϕ dx = Ω Ω (ˆ x ) g(t)dt ϕ (x)dx x ˆ x ˆ x ˆ b ˆ x = g(t)ϕ (x)dtdx + g(t)ϕ (x)dtdx a x x x Από το θεώρημα του Fubini θα έχουμε ˆ Ω ˆ x vϕ dx = g(t) a για κάθε ϕɛc 1 (Ω). Θέτουμε από την (4.1) θα έχουμε ˆ Ω ˆ t a = ȳ(x) = ˆ b ˆ b ϕ (x)dxdt + g(t) ϕ (x)dxdt x t ˆ g(t)ϕ(t)dt (4.1) Ω ˆ x x y (ξ)dξ ˆ ȳϕ dx = y ϕdx Ω ϕɛc 1 (Ω) και από το ορισμό της ασθενής παραγώγου καταλήγουμε ˆ (y ȳ) ϕ dx = ϕɛc(ω) 1 Ω Συνεπώς έπεται ότι y(x) ȳ(x) = C σ.π για κάθε xɛω και θέτωντας ỹ := ȳ + C λαμβάνουμε το ζητούμενο. Για τις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες που επιβάλλουν u = στο Ω θα έχουμε: Ορισμός 4.6. Εστω 1 p τότε ο W 1,p (Ω) είναι η κλειστότητα του C 1 στήν W 1,p - νόρμα W 1,p (Ω) = C 1 (Ω) W 1,p (Ω) ο χώρος W 1,p (Ω) W 1,p (Ω) είναι κλειστός γραμμικός υπόχωρος. Συγκεκριμένα αν H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω) τότε πάλι είναι ένας χώρος Hilbert με νόρμα: H 1 (Ω). 56

71 4.1. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟ Υ Τ ΥΠΟΥ Θεώρημα 4.3. Ανισότητα Poincare Υποθέτουμε ότι Ω R φραγμένο, τότε: Υπάρχει σταθερά C (Ω, p) > τέτοια ώστε: 1. y L p (Ω) C y L p (Ω) y ɛw 1,p (Ω) (4.2) 2. Ορίζουμε: τότε η (4.2) ισχυεί για yɛw 1,p { ˆ } W 1,p = yɛw 1,p (Ω) ydx = Ω (4.3) Απόδειξη. 1. Εστω yɛw 1,p (Ω) με Ω = (x 1, x 2 ) αυθαίρετο αλλά σταθερό. Από το θεώρημα 4.2 υπάρχει ỹɛc ( Ω), τέτοιο ώστε y = ỹ σπ για όλα τα xɛ Ω και ỹ(x 1 ) =. Συνεπώς από την ανισότητα Holder θα έχουμε: ˆ x ỹ(x) = ỹ(x) ỹ(x 1 ) = y (ξ)dξ x x 1 1/q y L p (Ω) x 1 όπου 1 p + 1 q = 1. Συνεπώς για καταλήγουμε (ˆ C = x x 1 p/q dx Ω ) 1/p y Lp (Ω) C y Lp (Ω) 2. Εστω yɛw 1,p (Ω) τότε θα υπάρχει ỹɛc (Ω) τέτοιο ώστε y = ỹ σ.π για όλα yɛω. Επαναλαμβάνωντας τα βήματα της απόδειξης 1, παίρνωντας x αντί για x 1 και λάμβανωντας sup σε όλες τις πιθανές τιμές του x, λαμβάνουμε το ζητούμενο Μεταβολική Μορφή Παραβολικών Εξισώσεων Ορισμός 4.7. Εστω H χώρος Hilbert, ο οποίος είναι εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο και είναι πλήρης ως προς την νόρμα y = (y, y) 1/2, ένα σύνολο K καλείται κυρτό αν y, v ɛk {λy + (1 λv < λ < 1} K Θεώρημα 4.4. (Θεώρημα Προβολής σε Κυρτό Υποσύνολο) Εστω H χώρος Hilbert και K H κλειστό και κυρτό υποσυνόλο. Τότε για κάθε fɛh υπάρχει μοναδικό yɛk τέτοιο ώστε: f y = min f v (4.4) vɛk 57

72 4.1. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟ Υ Τ ΥΠΟΥ Επιπλέον για την αντίστοιχη μεταβολική μορφή θα έχουμε: Βρες yɛk τέτοιο ώστε: (f y, v y) vɛk Ορίζουμε με y = P K f την προβολή της f στο K Ορισμός 4.8. (Δυϊκός χώρος ενός χώρου Hilbert) Εστω η γραμμική απεικόνιση y : H R η οποία είναι συνεχής αν και μόνο αν: { y y } (y) H = sup : yɛh < (4.5) y y τότε το y καλείται γραμμικό και συνεχές συναρτησιακό. Το σύνολο όλων των γραμμικών συναρτησιακών στον H συμβολίζεται με H και είναι ένας γραμμικός χώρος με νόρμα όπως αυτή ορίζεται στην (4.5) και καλείται δυικός χώρος του H Θεώρημα 4.5. (Θεώρημα Αναπαράστασης του Riesz) Για κάθε y ɛh υπάρχει μοναδικό yɛh τέτοιο ώστε: και vɛh y (y) = (y, v) (4.6) y H = y (4.7) Απόδειξη. Εστω y ɛh, το σύνολο N := {vɛh : y (v) = } είναι κλειστός γραμμικός υπόχωρος του H. Αν N = H τότε y και επιλέγουμε y =. Υποθέτουμε τώρα N H, τότε θα υπάρχει gɛh N τέτοιο ώστε g = 1, wɛn : (g, w) = (4.8) Εστω g ɛh N και g 1 = P N g g. Τότε η g := g g 1 1 (g g 1 ) ικανοποιεί την (4.8). Εστω τώρα vɛh το οποίο μπορεί να γραφτεί στην μορφή v = λg + w λɛr και wɛn. Εστω τότε = (g, w) = (g, v λg) και άρα Συνεπώς η y := y (g)g ικανοποιεί την: λ = y (v) y (g), w = v λg (g, v) = λ = y (v) y (g) vɛh : y (v) = y (λg + w) = λy (g) + y (w) = λy (g) και από την (4.5) θα έχουμε: y H = (g, v) y (g) = (y, v) y (v) (y, v) = sup = sup y vɛh v vɛh y 58

73 4.1. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟ Υ Τ ΥΠΟΥ και y = (y, v) y = y (y) y y (v) sup y H vɛh v Εστω V H χώρος Hilbert με συνεχή και πυκνό εγκλεισμό, με αντίστοιχο δυϊκό V για τον οποίο ισχύει: V H H V Συμβολίζουμε με (, ) H το εσωτερικό γινόμενο στον H και V, H οι αντίστοιχες νόρμες στον V και H αντίστοιχα. Για J = (, T ),T > και f ɛl 2 (J, V ), y ɛh η αντίστοιχη διγραμμική μορφή θα είναι η ακόλουθη: Βρες yɛl 2 (J, V ) H 1 (J, V ) τέτοια ώστε: με d dt < y, v > V V +a (y, v) =< f, v > V V (4.9) y() = y Συνεπώς από το Θεώρημα 4.5 έχουμε ότι: < y, v > V V = (y, v) H yɛh, v ɛv. η αντίστοιχη διγραμμική μορφή a (, ) : V V R συνδεέται με τον ελλειπτικό τελεστή AɛL (V, V ) ως ακολούθως: a (y, v) = < Ay, v > y, vɛv όπου L (V, W ) είναι ο αντίστοιχος διανυσματικός χώρος των γραμμικών συνεχών τελεστών A : V W Αξίζει να επισημάνουμε ότι η επιλογή του χώρου V εξαρτάται από τον ελλειπτικό τελεστή A. Η επιλογή του V είναι συνήθως η κλειστότητα ενός πυκνού υποχώρου λείων συναρτήσεων πχ C Θεώρημα 4.6. Υποθέτουμε ότι η διγραμμική μορφή (4.9) είναι συνεχής, τότε υπάρχει σταθερά C 1 > τέτοια ώστε: a (y, v) C 1 y V v V y, vɛv (4.1) Επιπλέον η a (y, v) ικανοποιεί την ανισότητα Garding δηλαδή, Υπάρχουν C 2 > και C 3 τέτοια ώστε: a (y, v) C 2 y 2 V C 3 y 2 H yɛv (4.11) τότε η (4.9) θα έχει μοναδική λύση yɛl 2 (J, V ) H 1 (J, V ) με την ακόλουθη apriori εκτίμηση: y C (J,H) + y L 2 (J,V ) + y H 1 (J,V ) C ( ) y H + f L 2 (J,V ) 59

74 4.1. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟ Υ Τ ΥΠΟΥ Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [25] (Παράρτημα Β σελίδες ). Για την αντίστοιχη διακριτοποίηση, έστω V N V πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος με dim (V N ) <. Για κάθε tɛj η y (t, x) προσεγγίζεται από μία συνάρτηση y h (t) ɛv N. Εστω yh η προσέγγιση του y τότε η ημιδιακριτή μορφή είναι: Βρες y h ɛc 1 (J, v N ) τέτοια ώστε για tɛj ( ) yh t, v h + a (y h, v h ) =< f, v h > V V (4.12) H με αρχική συνθήκη: y h () = yh Η V N παράγεται από μία κατάλληλη βάση στοιχείων V N = span {ϕ i (x) : 1 i N} και y h ɛv N με την έννοια: y h (t, x) = N y h,j (t) ϕ j (x) j=1 Συνεπώς καταλήγουμε στην ακόλουθη ημιδιακριτή μορφή: και Οπου: και Bẏ h (t) + Ay h (t) = f(t) (4.13) y h () = y B ij = (ϕ j, ϕ i ) H A ij = a (ϕ j, ϕ i ) f i (t) =< f, ϕ i > V V Διακριτοποιώντας και ως προς τον χρόνο με χρήση μη ομοιόμορφης διαμέρισης t m, m = 1,.., M και t =, t m = m i=1 t i με t M=T και εισάγωντας την παράμετρο θ καταλήγουμε στην ακόλουθη διακριτή μορφή Βρες yh mɛv N τέτοια ώστε για m = 1,..., M t 1 m (yh m y m 1 h, v h ) H +a(y m 1+θ h, v h ) =< f m 1+θ, v h > V,V v h ɛv N (4.14) με αρχική συνθήκη: όπου και y h () = y y m+θ h = θy h (t m+1 ) + (1 θ)y h (t m ) f m+θ = θf(t m+1 ) + (1 θ)f(t m ) Η (4.14) σε μορφή πινάκων γίνεται Βρες y h ɛr N τέτοιο ώστε για m = 1,..., M με (B + t m θa)y m h = (B t m (1 θ)a)y m 1 h y h = y 6

75 4.1. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟ Υ Τ ΥΠΟΥ Εκτίμηση Σφάλματος Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε την εκτίμηση σφάλματος για τα προβλήματα παραβολικού τύπου. Θεωρούμε ότι η βάση που χρησιμοποιούμε είναι η βάση των συναρτήσεων στεγών SΩ 1 = span{ϕ i(x) : i = 1,..., N}, όπου ϕ i (x) οι αντίστοιχες συναρτήσεις στέγες. Για yɛh 1 (Ω) ορίζουμε την πολυωνυμική παρεμβολή I h yɛsω 1 ως ακολούθως: I h y (x) = N+1 i= y(x i )ϕ i (x) (4.15) Λήμμα 4.1. Ο τελεστής παρεμβολής I h : H 1 (Ω) SΩ 1 (4.15) είναι φραγμένος και υπάρχει σταθερά C τέτοια ώστε: όπως ορίζεται στην S 1 Ω I h y H1 (Ω) C y H1 (Ω) Για την αντίστοιχη εκτίμηση σφάλματος, έστω y m (x) = y (t m, x) και V N =, θέλουμε να κάνουμε μία εκτίμηση για το: Συνεπώς: e m h e m h (x) = y m (x) y m h (x) = (y m I h y m ) + (I h y m y m h ) := η m + ξ m Πρόταση 4.1. Εστω I h : V V N τότε ισχύει η ακόλουθη εκτιμήση σφάλματος: N+1 (y I h y) (n) 2 L 2 (Ω) C i=1 h 2(l n) i y 2 L 2 (Ω i) n =, 1 l = 1, 2 (4.16) όπου Ω i := (x i 1, x i ) και h i = Ω i = x i x i 1, για i = 1,..., N + 1 Αντίστοιχα για την περίπτωση της ομοιόμορφης διαμέρισης h i = h θα έχουμε: (y I h y) (n) L 2 (Ω) Ch l n y (l) L 2 (Ω) n =, 1 l = 1, 2 (4.17) Απόδειξη. Από το Θεώρημα 4.2 για ˆΩ = (, 1) και y ɛ H 2 (ˆΩ) τότε ŷ c ɛ H(ˆΩ) για c = 1 ŷ. Από την ανισότητα Poincare η οποία ισχύει και για τον χώρο H 1 (ˆΩ) θα έχουμε: ŷ c L2 (ˆΩ) ĉ ŷ L 2 (ˆΩ) (4.18) με I h ŷ = ŷ () + ˆ x έχουμε: (Îh ŷ) (1) = ŷ(1) και ŷ ÎhŷɛH 1 (ˆΩ) H 2 (ˆΩ) με βάση την (4.2) θα έχουμε: cdx = ŷ () + cx ŷ Îhŷ L2 (ˆΩ) Ĉ ŷ (Îhŷ) L2 (ˆΩ) = Ĉ ŷ c L2 (ˆΩ) Ĉ2 ŷ L2 (ˆΩ) (4.19) 61

76 4.1. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟ Υ Τ ΥΠΟΥ Αν Ω = (, h), h > τότε από τις (4.18), (4.19) θα έχουμε: και y (I h y) L 2 (,h) Ĉh y L 2 (,h) y I h y L 2 (,h) Ĉ2 h 2 y L 2 (,h) (I h y)() = y() και (I h y)(h) = y(h). Αθροίζοντας και υψώνοντας στο τετράγωνο για κάθε Ω i, καταλήγουμε N+1 (y I h y) (n) 2 L 2 (Ω) Ĉ h 2(l n) i y 2 L 2 (Ω i) i=1 Πρόταση 4.2. Εστω Ω = (, 1). Για κάθε yɛh 1 (Ω) ισχύει ότι y 2 L (Ω) 2 y L 2 (Ω) y L 2 (Ω) (4.2) Απόδειξη. Εστω yɛh 1 (Ω) τότε y = ȳɛc (Ω). Εστω ξɛ Ω τέτοιο ώστε: y L (Ω) = max ȳ(x) = ȳ(ξ) x Τότε ˆ ξ y 2 L (Ω) = ȳ(ξ) 2 = ȳ(ξ) 2 ȳ() 2 (ȳ(n) 2 ) dn ˆ ξ = 2 ȳ(n)ȳ (n)dn 2 ȳ L2 (Ω) ȳ L2 (Ω) Πόρισμα 4.1. Εστω Ω = (, 1) και yɛh 2 (Ω) στην περίπτωση της ομοιόμορφης διαμέρισης h ισχύει: y I h y L (Ω) Ch 3 2 y L 2 (Ω) (4.21) Πόρισμα 4.2. Εστω Ω = (, 1) και yɛw 2, (Ω) στην περίπτωση της ομοιόμορφης διαμέρισης h ισχύει: y I h y L (Ω) Ch 2 y W 2, (Ω) καθώς h (4.22) 62

77 4.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞ ΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ Σύγκλιση της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουμε την σύγκλιση των πεπερασμένων στοιχείων για προβήματα παραβολικού τύπου. Δεδομένου της ομοιόμορφης χωρικής διαμέρισης h και χρονικής διαμέρισης t = T M θα δείξουμε ότι η ακολουθία {ym h } συγκλίνει στην ακριβή λύση του (4.9) για h και t. Ορίζουμε: και v a = (a(v, v)) 1/2 (4.23) f = sup v h ɛv N (f, v h ) v h a (4.24) Θεώρημα 4.7. Υποθέτουμε ότι yɛc ( 1 J, H 2 (Ω) ) C ( 3 J, H 1 (Ω) ). Εστω y m (x) = y(t m, x) και yh m να ορίζεται όπως στην (4.14) τότε έχουμε την ακόλουθη σύγκλιση M 1 y M yh M 2 L 2 (Ω) + t Ch 2 max y(t) H t T 2 (Ω) + Ch 2 +C m= ˆ T { t 2 T ϑ tty(s) 2 ds θ 1 t 4 T ϑ ttty(s) 2 ds θ = 1/2 y m+θ y m+θ h 2 a (4.25) ϑ t y(s) 2 H 1 (Ω) ds (4.26) (4.27) Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [25](σελίδες 43-45). Παρατήρηση Βασιζόμενοι στο Θεώρημα (4.6) και τις (4.1)-(4.11) μεc 3 = η νόρμα a όπως ορίζεται στην (4.23) είναι ισοδύναμη με την αντίστοιχη ενεργειακή νόρμα V. Συνεπώς από την (4.25) έχουμε ότι y M y M h V = O(h+ t). Αντίστοιχα για θɛ[, 1]\{1/2} ως προς την L 2 νόρμα, λαμβάνουμε την συγκλιση δευτερης τάξης y M y M h L 2 (Ω) = O(h 2 +k), η οποία όπως παρατηρούμε είναι ίδια με την αντιστοιχη τάξη συγκλίσης για την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, Θεώρημα Πεπερασμένα Στοιχεία για την Εξίσωση της Θερμότητας Εστω Ω = (a, b) R και J = (, T ) με T > Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών τιμών με συνοριακές συνθήκες: y t = 2 y x 2 σ το J Ω (4.28) y(t, x) = σ το J Ω (4.29) 63

78 4.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞ ΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ και αρχική συνθήκη: y(, x) = y σ το Ω (4.3) Για σταθερό tɛj και vɛc (Ω) με v(a) = v(b) = ολοκληρώνοντας κατά μέλη θα έχουμε: ˆ b ˆ y b a t vdx 2 y a x 2 vdx = = d ˆ b [ ] y x=b ˆ b y v yvdx (x, t) v(x) dt x x x = Συνεπώς έχουμε ότι: d dt a ˆ b a + x=a ˆ b y v yvdx + a x x dx = v ɛc (Ω) (4.31) Αφού η (4.31) ισχύει v ɛc (Ω) θα ισχύει και για vɛh 1 (Ω) αφού το C (Ω) είναι πυκνό στο H 1 (Ω). Συνεπώς η αντίστοιχη ασθενής μορφή είναι: Βρές yɛc(j, H 1 (Ω)) C 1 (J, L 2 (Ω)) τέτοιο ώστε: a d dt ˆ b a ˆ b y v yvdx + a x x = t ɛj y (, :) = y Με χρήση της διακριτοποίησης Galerkin για τον πεπερασμένο διάστασης χώρο V N H 1 (Ω), καταλήγουμε για y h ɛc 1 (J, V N ) d dt ˆ b a ˆ b y h v h y h v h dx + a x x = για καταλήγουμε: y h () = yh N y h (t, x) = y h,j (t) ϕ j (x) j=1 = d dt Συνεπώς: j=1 d dt ˆ b a ˆ b a N j=1 ˆ b y h (t, x) v h (x) dx + a x y h (t, x) v h x (x)dx ˆ b y h,j (t)ϕ j (x)ϕ i (x)dx + a a N y h,j (t)ϕ j(x)ϕ i(x)dx = j=1 N ˆ b N ˆ b ẏ h,j ϕ j (x)ϕ i (x)dx + y h,j ϕ j (x) ϕ i(x)dx = j=1 64 a

79 4.2. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞ ΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜ ΟΤΗΤΑΣ Σχήμα 4.1: Συναρτήσεις Στέγες Σε μορφή πινάκων έχουμε την ακόλουθη ημιδιακριτή μορφή: Βρες y h ɛc 1 ( J, R N) για tɛj τέτοιο ώστε: με αρχική συνθήκη: Bẏ h + Ay h = y h () = y Παίρνοντας ως βάση τις συναρτήσεις στέγες V N = span {ϕ i (x) : i = 1, 2,..., N}, βλέπε Σχήμα 4.1 θα έχουμε: (x x i 1) h i για Ω i (x ϕ i (x) = i+1 x) h i+1 για Ω i+1 (4.32) αλλού και αντίστοιχα: 1/h i για Ω i ϕ i(x) = 1/h i+1 για Ω i+1 αλλού (4.33) Για τον υπολογισμό των στοιχείων των πινάκων Α και Β θα έχουμε: A ii = ˆ b a ϕ i 2 dx = ˆ xi x i 1 ϕ i 2 dx + ˆ xi+1 x i ϕ i 2 dx h i h 2 i + ( 1)2 h i+1 h 2 i+1 = 1 h i + 1 h i+1 ˆ b ˆ xi+1 A i,i+1 = ϕ iϕ i+1dx = ϕ iϕ i+1dx = ( 1)h i+1 a x i h 2 i+1 Ομοια για τα στοιχεία του πίνακα Β θα έχουμε: = 1 h i+1 B ii = ˆ b a ϕ i ϕ i dx = ˆ xi x i 1 ϕ 2 i dx+ ˆ xi+1 ϕ 2 i dx = + 4(1/2)2 + 1 x i 6 65 h i (1/2)2 + h i+1 = h i 6 3 +h i+1 3

80 4.3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ B i,i+1 = ˆ b a ϕ i ϕ i+1 dx = ˆ xi+1 ϕ i ϕ i+1 dx = + 4(1/2)2 + x i 6 Συνεπώς οι Α και Β πίνακες έχουν την ακόλουθη δομή: και A = 1 B = h h 2 1 h 2 1 h 2 1 h h 3 1 h h N 1 h h2 3 h 2 6 h 2 h h3 3 1 h N 1 h N h N h h N 1 h N6 6 h N h N 3 h i+1 = h i+1 6 Με χρήση ομοιόμορφης διαμέρισης x i = a + ih i = 1, 2,..., N και h = (b a) (N+1) η δομή των πινάκων Α και Β είναι η ακόλουθη: 4 1 B = h (4.34) και 2 1 A = h.... (4.35) Διακριτοποιώντας και ως προς τον χρόνο για t m = m t με t = T M και εισάγοντας την παράμετρο θɛ (, 1) θα έχουμε: (B + θ ta) y m+1 h = (B (1 θ) ta) y m h (4.36) με αντίστοιχη αρχική συνθήκη: y h = y 4.3 Πεπερασμένα Στοιχεία για το Αμερικάνικο Παράγωγο Στην ενότητα αυτή θα περιγράψουμε την τιμολόγηση Αμερικάνικων παράγωγων με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. 66

81 4.3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ Εστω Ω = [x min, x max ] και J = (, T ). Ορίζουμε: K = {vɛh 1 (Ω) : (τ, x) g(τ, x) v(, x) = g(, x) v(τ, x min ) = g(τ, x min ), v(τ, x max ) = g(τ, x xmax )} και για p(τ, x) := y(τ, x) g(τ, x) θα έχουμε: K Ω = { pɛh 1 (Ω) : p(τ, x) g(τ, x), p(τ, x min ) = p(τ, x max ) = } Εστω yɛk η ακριβής λύση για το γραμμικό συπληρωματικό πρόβλημα. Δεδομένου ότι v ɛk με v gθα έχουμε: y τ 2 y x 2 v g Για το οποίο θα έχουμε: ˆ xmax x min x min ( ) y τ 2 y x 2 (v g) dx (4.37) αντίστοιχα από το συμπληρωματικό πρόβλημα έχουμε: ˆ xmax ( ) y τ 2 y x 2 (y g) dx = (4.38) Αφαιρώντας τις (4.37), (4.38) καταλήγουμε: ˆ xmax ( ) y τ 2 y x 2 (v y) dx (4.39) x min Ολοκληρώνοντας κατά μέλη έχουμε: ˆ xmax ( ( y y v (v y) + x min τ x x y )) dx y x max (v y) x x x min Οι μη ολοκληρωτέοι όροι μηδενίζονται στα σύνορα x min, x max αφού έχουμε v = g και y = g Συνεπώς καταλήγουμε: ˆ xmax ( ( y y v J (y, v) = (v y) + τ x x y )) dx x x min Για v = g το ολοκλήρωμα παίρνει την ελάχιστη τιμή, δηλαδή: min J(y, v) = J(y, y) = vɛk Προσέγγιζωντας με χρήση της μεθόδου Galerkin για N y h (τ, x) = y h,j (τ)ϕ i (x) i=1 67

82 4.3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ και καταλήγουμε: N v h (τ, x) = v h,j (τ)ϕ i (x) i=1 ˆ xmax x min N i= y h,i τ ϕ i N (v h,j y h,j )ϕ j dx+ j= ˆ xmax x min ( N N ) y h,i ϕ i (v h,j y h,j )ϕ j dx i= j= N i,j= ˆ y xmax h,i τ (v h,j y h,j ) x max ϕ i ϕ j dx+ N i,j= ˆ xmax y h,i (v h,j y h,j ) ϕ iϕ jdx x min (4.4) Στο σημείο αυτό πρωτού προχωρήσουμε στον υπολογισμό των στοιχείων, παρουσιάζουμε την μεταβολική μορφή του προβλήματος. Ασθενής Μορφή Βρες yɛk Ω τέτοιο ώστε: < y τ, p y > +a(y, p y) f(p y) pɛk Ω (4.41) όπου a : H 1 (Ω) H 1 (Ω) R και f : H 1 (Ω) R και ορίζονται ως ακολούθως: a(y, p) := ˆ xmax x min y p x x dx και ˆ xmax g f(y) = x min τ y + g y x x dx Ο a(:, :) είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, τότε βασιζόμενοι στο [1] (Κεφάλαιο IV σελίδα 145 Θεώρημα V.11) θα έχουμε μοναδική λύση. Η ημιδιακριτή μορφή της (4.41) είναι Βρες y (ν+1) ɛk Ω τέτοιο ώστε ( a y (ν+1), p u (ν+1)) f (ν) (p y (ν+1) ) (4.42) όπου ˆ xmax a = (yp + θ τ y p x min x x )dx και ˆ xmax ) f (ν) = τf(p) + y (ν) p ((1 θ) τ y(ν) p x min x x dx Διακριτοποίωντας και τον χώρο με χρήση της μεθόδου Galerkin καταλήγουμε στο ακόλουθο διακριτό πρόβλημα: Βρες yh νɛrn τέτοιο ώστε για ν =, 1, 2... ( ) ( v y (ν) h Cy (ν+1) h b (ν)) 68

83 4.3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ όπου C = B + θ τa με A ij = ϕ i ϕ j dx και B ij = ϕ i ϕ j dx και r ν = ˆ xmax x min ( g τ (x, τ ν)ϕ i + g x ϕ i)dx Επιστρέφουμε τώρα στην (4.4) το οποίο είναι ισοδύναμο με: ή ( ) T yh B(v y h ) + yh T A(v y h ) τ ( (v y h ) T B y ) h τ + Ay h Λόγω των συνοριακών συνθηκών που υπάρχουν στο Αμερικάνικο παράγωγο, η δομή των πινάκων δεν είναι ίδια ακριβώς με αυτή της εξίσωσης της θερμότητας, αλλά διαφέρει η δομή τους στο πρώτο και το τελευταίο στοιχείο δηλαδή: 1 1 A = h (4.43) και 2 1 B = h Διακριτοποιώντας και ως προς τον χρόνο και εισάγοντας και την παράμετρο θɛ[, 1] καταλήγουμε: ] ( ) T v (ν+1) y (ν+1) h [B y(ν+1) h y (ν) h + θay (ν+1) h + (1 θ) Ay (ν) h τ Εναλλάσοντας του όρους καταλήγουμε: ( v (ν+1) y (ν+1) h ) T ( (B + τθa) y (ν+1) h ) + ( τ (1 θ) A B) y (ν) h Εισάγοντας και τις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες d (ν) θα έχουμε: (4.44) C = B + τθa (4.45) και b (ν) = (B τ (1 θ) A) y (ν) h + d(ν) (4.46) 69

84 4.3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ όπου: ( h 6 + θ τ 1 h d (ν) = ( h 6 + θ τ 1 h ) (ν+1) g + ( h 6 + θ τ 1 h ) g (ν). ) (ν+1) g m + ( h 6 + θ τ ) 1 (ν) h g m Συνεπώς καταλήγουμε στο ακόλουθο γραμμικό συμπληρωματικό πρόβλημα: Για ν =, 1, 2,... Cy (ν+1) h b (ν) v (ν+1) g (ν+1) ( v (ν+1) y (ν+1) h ) T ( Cy (ν+1) h b (ν) ) = v g Θεώρημα 4.8. Η λύση του προβλήματος της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, (4.48) είναι ισοδύναμη με αυτή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών,(3.38) (4.47) (4.48) Απόδειξη. Πεπερασμένες Διαφορές = Πεπερασμένα Στοιχεία Εστω y (ν) i η διακριτή λύση της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών, με y (ν+1) g (ν+1) και (v (ν+1) y (ν+1)) ( Cy (ν+1) b (ν)) ( = (v (ν+1) g (ν+1) ) T Cy (ν+1) b (ν)) } {{ } και συνεπώς (v (ν+1) g (ν+1)) T (Cy (ν+1) b (ν)) } {{ } = (v (ν+1) y (ν+1) ) T ( Cy (ν+1) b (ν)) v g Το οποίο είναι ισοδύναμο με τη μορφή των πεπερασμένων στοιχείων. Πεπερασμένα Στοιχεία = Πεπερασμένες Διαφορές Εστω y h λύση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, με y h g και v (ν+1)t ( Cy (ν+1) h b (ν)) y (ν+1)t h ( Cy (ν+1) h b (ν)) vɛk Υποθέτουμε ότι το k στοιχείο του Cy (ν+1) h b (ν) είναι αρνητικό και v k αρκετά μεγάλο. Τότε το αριστερό τμήμα γίνεται αυθαίρετα μικρό, το οποίο αντιτίθεται με το y (ν+1) h g (ν+1), συνεπώς Για y (ν+1) h g (ν+1) θα έχουμε (y (ν+1) h Cy (ν+1) h b (ν) g (ν+1) ) T ( Cy (ν+1) h b (ν)) 7

85 4.3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ θέτωντας v = g για την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων καταλήγουμε Συνεπώς ( y (ν+1) h g (ν+1)) T ( Cy (ν+1) h b (ν)) (y (ν+1) h g (ν+1) ) T ( Cy (ν+1) h b (ν)) = το οποίο έχει ακριβώς την ίδια μορφή με το(3.38) Συνεπώς με βάση τα ανωτέρω και δεδομένου ότι ο πίνακας C της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων ειναι θετικά ορισμένος, και βασιζόμενοι στο Θεώρημα 3.3 τότε η μέθοδος των πεπερασμέων στοιχείων θα έχει μοναδική λύση. Βασιζόμενοι στο [1](σελίδες ) για την αντίστοιχη σύγκλιση θα έχουμε: max ν ( y (ν) y (ν) h M 1/2 L 2 (Ω)+ τ y (ν) y (ν) h 2 H (Ω)) C(h+ τ 1/2 ) (4.49) 1,2 ν=1 Οπως και στις πεπερασμένες διαφορές η επίλυση του (4.48) γίνεται με χρήση της επαναληπτικής μεθόδου PSOR. Τέλος για χρήση υψηλότερης τάξης στοιχείων, για χρήση τετραγωνικών συναρτήσεων παραπέμπουμε στην Ενότητα 7.1.3, ενώ για χρήση των cubic spline στοιχείων παραπέμπουμε στο [35]. Στο [12] γίνεται χρήση των πολυωνύμων Hermite ως στοιχεία υψηλότερης ακρίβειας για την τιμολόγηση των Ευρωπαϊκών παραγώγων το οποίο μπορεί να επεκταθεί και για την τιμολόγηση των Αμερικάνικων παραγώγων. Στο [6] γίνεται χρήση των wavelets στοιχείων για την τιμολόγηση των Αμερικάνικων παραγώγων. 71

86 Κεφάλαιο 5 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την την Εξίσωση Black and Scholes Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε τους αλγόριθμους επίλυσης της εξίσωσης διάχυσης για το Ευρωπαϊκό και το Αμερικάνικο παράγωγο. Για το Ευρωπαϊκό παράγωγο κάνουμε χρήση του αλγορίθμου SOR και αντίστοιχα για το Αμερικάνικο του PSOR. Οι επαναληπτικές μέθοδοι αναζητούν λύση για το γραμμικό σύστημα μετά από έναν άπειρο αριθμό επαναλήψεων. Στην περίπτωση όπου ο πίνακας είναι αραιός το υπολογιστικό κόστος είναι 2 3 n2 έναντι n 2 για τις άμεσες μεθόδους (ανάλυση LU, ανάλυση Choleski, απαλοιφή Gauss). 5.1 Σύγκλιση των Επαναληπτικών Μεθόδων Η βασική ιδέα των επαναληπτικών μεθόδων τίθεται στην κατασκευή μιας ακολουθίας διανυσμάτων x (k) που συγκλίνουν στη λύση του γραμμικόυ συστήματος Ax = b x = lim k x(k) (5.1) Στις αριθμητικές εφαρμογές οι επαναληπτικές μέθοδοι σταματούν σε έναν πεπερασμένο αριθμό επαναληψέων, επιπλέον επειδή η ακριβής λύση δεν είναι διαθέσιμη, είναι σημαντικό να εισάγουμε κριτήρια τερματισμού στον αλγόριθμο μας. Συνεπώς x (n) x < ε (5.2) Οπου ε το αντίστοιχο κριτήριο τερματισμού, n ο μέγιστος αριθμός επαναληψέων και η αντίστοιχη διανυσματική νόρμα. Για την εκκίνηση του αλγορίθμου μας 72

87 5.2. ΓΡΑΜΜΙΚ ΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚ ΕΣ Μ ΕΘΟΔΟΙ ξεκινάμε με ένα δοθέν x () και τον επαναληπτικό πίνακα B και έχουμε την ακόλουθη επαναληπτική δομή: x (k+1) = Bx (k) + f (5.3) όπου f ένα διάνυσμα προερχόμενο από το b του αρχικού γραμμικού συστήματος Ax = b (5.4) Ορισμός 5.1. Μια επαναληπτική μέθοδος της μορφής (5.3) καλείται συνεπής ως προς την (5.4) αν για τα f και B ισχύει: x = Bx + f ή ισοδύναμα f = (I B) A 1 b οπου Α ο πίνακας του γραμμικού συστήματος Ax = b και συμβολίζοντας με e (k) = x (k) x το σφάλμα της k επανάληψης απο την συνθήκη σύγλισης (5.1) απαιτούμε lim k e(k) = για οποιαδήποτε αρχική επιλογή x () Θεώρημα 5.1. Εστω η (5.3) συνεπής μέθοδος ως προς την (5.4), τότε η ακολουθία των διανύσματων x (k) συγλίνει στη λύση του γραμμικού συστήματος Ax = b για οποιαδήποτε αρχική επιλογή x () αν και μόνο αν ϱ (B) < 1 όπου ρ(β) η αντίστοιχη φασματική ακτίνα για τον επαναληπτικό πίνακα Β. Απόδειξη. Από την σχέση e (k) = x (k) x έχουμε ότι e (k+1) = Be (k) αναδρομικά θα έχουμε: e (k) = B k e () k =, 1,....Συνεπώς έχουμε ότι: lim k Bk e () = για οποιοδήποτε e () ανν ϱ (B) < 1. Αντίστροφα αν ϱ (B) > 1 τότε θα υπάρχει μία τουλάχιστον ιδιοτιμή λ > 1. Εστω e () το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα για την ιδιοτιμή αυτή, τότε Be () = λe () και έτσι e (k) = λ k e (). Συνεπώς e (k) αφού λ > Γραμμικές Επαναληπτικές Μέθοδοι Μια γενική τεχνική για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, βασίζεται στον διαχωρισμό του πίνακα του γραμμικού συστήματος A στη μορφή A = P N όπου P και N καταλληλοι πίνακες ο πίνακας P καλείται preconditioner matrix. Για δοθέν x () μπορούμε να υπολογίσουμε το x (k) λύνοντας την παρακάτω ακολουθία γραμμικών συστημάτων: P x (k+1) = Nx (k) + b (5.5) ο επαναληπτικός πίνακας για την (5.5) είναι ο B = P 1 N και αντίστοιχα f = P 1 b το αντίστοιχο διάνυσμα για την επαναληπτική μέθοδο. Η (5.5) μπορεί να γραφτεί στη μορφή: x (k+1) = x (k) + P 1 r (k) (5.6) 73

88 5.3. ΟΙ Μ ΕΘΟΔΟΙ JACOBI-GAUSS-SEIDEL ΚΑΙ ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ Χ ΑΛΑΡΩΣΗΣ SOR-PSOR όπου r (k) = b Ax (k) και υποδηλώνει το υπόλοιπο (residual) της μεθόδου ύστερα απο k-βήματα Ιδιότητα 5.1. Εστω A = P N με A και P συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Αν ο 2P A είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος πίνακας τότε η επαναληπτική μέθοδος (5.6) συγκλίνει για οποιαδήποτε αρχική επιλογή x () και ϱ(b) = B A = B P < 1 Επιπλέον η σύγκλιση της επαναληπτικής μεθόδου είναι μονότονη ως προς τις νόρμες P και A αντίστοιχα δηλαδή e (k+1) P < e (k) P και e (k+1) A < e (k) A k =, 1,... Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [53](σελίδες , Θεώρημα 6.2.5, Πόρισμα 6.2.5) Ιδιότητα 5.2. Εστω A = P N με A συμμετρικός και θετικά ορισμένος πίνακας. Αν ο P + P T A είναι θετικά ορίσμενος πίνακας τότε ο P είναι αντιστρέψιμος και η επαναληπτική μέθοδος συγκλίνει μονότονα ως προς τη νόρμα A και ρ (B) B A < 1. Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [53](σελίδα 225, Θεώρημα 6.2.7) 5.3 Οι μέθοδοι Jacobi-Gauss-Seidel και οι Μεθοδοι Χάλαρωσης SOR-PSOR Στην περίπτωση όπου τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Α είναι μη μηδενικά μπόρουμε να έχουμε το ισοδύναμο σύστημα: x i = 1 n b i a ij x j a ii Jacobi Για την μέθοδο Jacobi έχουμε: x (k+1) i = 1 a ii b i j=1,j i n j=1,j i a ij x (k) j Για επαναληπτική μέθοδο Jacobi έχουμε A = P N όπου P = D και N = D A = E + F με D ο πίνακας με στοιχεία τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Α, Ε ο άνω τριγωνικός και F ο κάτω τριγωνικός πίνακας του Α αντίστοιχα. Ο αντίστοιχος επαναληπτικός πίνακας της Jacobi είναι: B j = D 1 (E + F ) = I D 1 A (5.7) 74

89 5.3. ΟΙ Μ ΕΘΟΔΟΙ JACOBI-GAUSS-SEIDEL ΚΑΙ ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ Χ ΑΛΑΡΩΣΗΣ SOR-PSOR Gauss-Seidel Αντίστοιχα για τη μέθοδο Gauss-Seidel έχουμε: x (k+1) i = 1 i 1 b i a ij x (k+1) j a ii j=1 n j=i+1 a ij x (k) j Αντίστοιχα για το διαχωρισμό του πίνακα Α θα έχουμε P = D E και N = F και ο αντίστοιχος επαναληπτικός πίνακας θα είναι: B GS = (D E) 1 F (5.8) Θεώρημα 5.2. Αν ο πίνακας Α έχει αυστηρά διαγώνεια υπεροχή τότε η Jacobi και η Gauss Seidel μέθοδοι συγκλίνουν. Απόδειξη. Για την μέθοδο Jacobi, αν ο Α έχει αυστηρά διαγωνεία υπεροχή κατα γραμμές δηλαδή a ii > n j=1 a ij i = 1,.., N τότε max 1 i N j=1 j i a ij a ii = B j < 1 και συνεπώς B j < 1 αφού η ακολουθία της επαναληπτικής μεθόδου συγκλίνει για οποιδήποτε x βλέπε [34] (Κεφάλαιο 1 Πόρισμα 1 σελίδες 41-42). Αντίστοιχα για την μέθοδο Gauss-Seidel θα δείξουμε ότι B GS < B j < 1. Από την διαγωνεία υπεροχή του Α ισχύει B j = max i j i a ij a ii < 1 Για uɛr N με u = 1, και θέτωντας v = (D E) 1 F u = B GS u έχουμε v i = j<i Θα δείξουμε πρώτα με επαγωγή ότι Για i = 1 ισχύει a ij v j a ij u j a ii a j>i ii v i B j για i = 1,..., N v 1 a 1j u j u a 1j B j a j>1 11 a j>1 11 Ας υποθέσουμε ότι για i σταθερό και j < i, v j B J 1. Τότε v i j>i a ij v j + a ij u j a ii a j>i ii 75

90 5.3. ΟΙ Μ ΕΘΟΔΟΙ JACOBI-GAUSS-SEIDEL ΚΑΙ ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ Χ ΑΛΑΡΩΣΗΣ SOR-PSOR Επομένως (max v j ) a ij j<i j<i j i για κάθε u, με u = 1 και άρα a ii + u a ij a ii B J j>i v = B GS u B J a ij a ii B GS = max u =1 B GSu B J < 1 Συνεπώς η μέθοδος Gauss Seidel συγκλινει. Επιπλέον έχουμε την ακόλουθη εκτιμήση σφάλματος x k x B GS 1 B GS x k x k 1 B J 1 B J x k x k 1 SOR Εισάγωντας μια παράμετρο χαλάρωσης ω στην μέθοδο Gauss-Seidel λαμβάνουμε την μέθοδο SOR. x (k+1) i = ω n n b i a ij x (k+1) j a ij x (k) j + (1 ω) x (k) i (5.9) a ii j=i 1 j=i+1 το οποίο μπορεί να γραφτει στην μορφή ( I ωd 1 E ) x (k+1) = [ (1 ω)i + ωd 1 F ] x (k) + ωd 1 b Συνεπώς αντίστοιχος επαναληπτικός πίνακας της μέθοδου SOR είναι: PSOR B(ω) = ( I ωd 1 E ) 1 [ (1 ω)i + ωd 1 F ] Για γραμμικά συμπληρωματικά προβλήματα ( Linear Complementarity Problems) όπως παρουσιάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο για το Αμερικάνικο παράγωγο για την επίλυση τους κάνουμε χρήση του αλγορίθμου PSOR. Σε κάθε χρονικό βήμα επιλύουμε ένα ανισωτικό γραμμικό σύστημα. x g (5.1) 76

91 5.3. ΟΙ Μ ΕΘΟΔΟΙ JACOBI-GAUSS-SEIDEL ΚΑΙ ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ Χ ΑΛΑΡΩΣΗΣ SOR-PSOR Αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της PSOR 1: x g 2: for k =, 1,... do for i =, 1,..., N do 3: 4: x (k+1) i = 1 i 1 b i a ij x (k+1) j a ii 5: x (k+1) i 6: Next i 7: end for 8: if x (k+1) x (k) 2 < ε then 9: Stop 1: else 11: Next k 12: end if 13: end for j=1 N j=i+1 { ( = max g i, x (k) i + ω ˆx (k+1) i a ij x (k) j )} x (k) i (5.13) (5.14) Ax b (5.11) (x g) T (Ax b) = (5.12) Το ανωτέρω πρόβλημα επιλύθηκε από τον αλγόριθμο του Cryer κάνοντας χρήση της PSOR (projected successive overrelaxation) μεθόδου, όπου οι πίνακες Α είναι συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι. Ωστόσο σε πολλές εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά ο πίνακας Α δεν είναι συμμετρικός, έχει αποδειχθεί όμως ότι ο αλγόριθμος είναι αποδοτικός ακόμα και για την περίπτωση μη συμμετρικών πινάκων που είναι όμως θετικά ορισμένοι. Ο αλγόριθμος για την μέθοδο PSOR είναι ο ακόλουθος: Από τον αλγόριθμο παρατηρούμε ότι αν αντικαταστήσουμε τη σχεσή: με την x (k+1) i = max x (k+1) i { g i, x (k) i + ω = x (k) i ( ˆx (k+1) i ( + ω x (k+1) i x (k) i ) x (k) i έχουμε τον αλγόριθμο της SOR που περιγράψαμε ανωτέρω. Υπενθυμίζουμε ότι για το Ευρωπαϊκό παράγωγο γίνεται η χρήση του αλγορίθμου SOR, ενώ στο Αμερικάνικο γίνεται χρήση του αλγορίθμου PSOR. Αυτό φανερώνει τη σχέση ανάμεσα στο Ευρωπαϊκό και στο Αμερικάνικο παράγωγο, όπου το Αμερικάνικο παράγωγο ασκείται σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή έναντι του Ευρωπαικού το οποίο ασκείται μόνο στον χρόνο ωρίμανσης. 77 )}

92 5.4. Σ ΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΜΕΘ ΟΔΩΝ ΧΑΛ ΑΡΩΣΗΣ rho omega Σχήμα 5.1: Γραφική αναπαράσταση των βέλτιστων ω για την επαναληπτική μέθοδο SOR 5.4 Σύγκλιση των Μεθόδων Χαλάρωσης Θεώρημα 5.3. Για οποιοδήποτε ω ɛ R ισχύει ϱ (B (ω)) ω 1 η SOR συγλίνει ενώ αποτυγχάνει να συγλίνει για ω ή ω 2 Απόδειξη. Εστω {λ i } οι ιδιοτιμές του επαναληπτικού πίνακα της SOR μεθόδου τότε: n λ i = det ( [1 ω] I + ωd 1 F ) = 1 ω n i=1 Συνεπώς θα πρέπει μία τουλάχιστον ιδιοτιμή λ i > 1 ω. Για να υπάρχει σύγκλιση θα πρέπει να έχουμε 1 ω < 1, δηλαδή: < ω < 2 Ιδιότητα 5.3. (Ostrowski) Αν ο A είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος πίνακας τότε η SOR μέθοδος συγκλίνει ανν < ω < 2. Επιπλέον η σύγκλιση είναι μονότονη ως προς τη νόρμα A. Τέλος αν ο A έχει αυστηρή κυρίαρχη διαγώνιο η SOR συγκλίνει για < ω < 1. Το Σχήμα 5.1 απεικονίζει τις βέλτιστες τιμές του ω για την μέθοδο SOR. Μια καλή επιλογή για τον αλγόριθμο της SOR είναι για ω ɛ [1.1, 1.6], όμοια και για την μέθοδο PSOR κάνουμε χρήση των ίδιων τιμών. Για την τιμολόγηση των Αμερικάνικων παραγώγων επιλέγουμε ω = 1.15, 1.3. Ιδιότητα 5.4. Αν ο A έχει την Α-ιδιότητα και ο επαναληπτικός πίνακας της μεθόδου Jacobi B J έχει πραγματικές ιδιοτιμές τότε η SOR συγκλίνει για οποιοδήποτε επιλογή του x () ανν ρ (B J ) < 1 και < ω < 2. Επιπλέον ισχύει: 2 ω opt = ρ (B j ) 2 78

93 5.4. Σ ΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΜΕΘ ΟΔΩΝ ΧΑΛ ΑΡΩΣΗΣ και η αντίστοιχη ασυμπτωτική σύγλιση ρ (B (ω opt )) = 1 1 ρ (B j ) ρ (B j ) 2 Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [53](σελίδες ). Στη συνέχεια παραθέτουμε την σύγκλιση της επαναληπτικής μεθόδου PSOR. Θεώρημα 5.4. (Θεώρημα του Cryer) Εστω A ɛr N 1 N 1 συμμετρικός και θετικά ορισμένος πίνακας b, g ɛr N 1 και < ω < 2 τότε η ακολουθία (x (k) ) k που ορίζεται από τον Αλγόριθμο 1 συγκλίνει μονδαικά στη λύση του γραμμικού συπληρωματικού προβήματος (x g) T (Ax b) =, Ax b x g (5.15) Παρατήρηση Το θεώρημα ισχυρίζεται επίσης ότι το γραμμικό συπληρωματικό πρόβλημα (5.15) έχει μοναδική λύση. Η μοναδικότητα βασίζεται στο ακόλουθο λήμμα. Λήμμα 5.1. Το γραμμικό συπληρωματικό πρόβλημα (5.15)και το x ɛr N 1 με x g με όπου J(u) = 1 2 ut Au b T u είναι ισοδύναμα. Απόδειξη. Εστω x g τότε J(x) = min J(u) (5.16) u g J(u) J(x) = 1 2 (u x)t A(u x) (Ax b) T (x g) + (u g) T (Ax b) (Ax b) T (x g) + (u g) T (Ax b) και αφού ο Α είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, και δεδομένου u g Εστω τώρα x η λύση του (5.16) και από υπόθεση έχουμε x g θα δείξουμε ότι Ax b. Ορίζουμε u = x + εe k όπου ε > και e k ɛr N 1 διάνυσμα που λαμβάνει την τιμή 1 στην θέση k. Για u x g και J(u) J(x) = εe T k Ax ε2 e T k Ae k εb T e k = ε(ax b) k + ε2 2 a kk < (5.17) Διαιρώντας με ε > και παίρνοντας όριο καθώς ε καταλήγουμε (Ax b) k k και συνεπώς (Ax b). Απομένει να δείξουμε 79

94 5.4. Σ ΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΜΕΘ ΟΔΩΝ ΧΑΛ ΑΡΩΣΗΣ ότι(ax b)(x g) =. Υποθέτουμε ότι (Ax b) k > και x k > g k για κάποιο k. Επιλέγοντας ε > αρκετά μικρό τέτοιο ώστε u := x εe k, τότε J(u) J(x) = ε(ax b) k + ε2 2 a kk < ε με ε και συνεπώς (Ax b) T (x g) = Απόδειξη (Θεωρήματος Cryer). Αρχικά θα αποδείξουμε τη μοναδικότητα της λύσης του (5.15). Απο την (5.16) θα έχουμε: = J(x 1 ) J(x 2 ) = 1 2 (x 1 x 2 ) T A(x 1 x 2 ) (Ax 2 b) T (x 2 g) + (x 1 g) T (Ax 2 b) = 1 2 (x 1 x 2 ) T A(x 1 x 2 ) + (x 1 g) T (Ax 2 b) (x 1 x 2 ) T A(x 1 x 2 ) και αφού ο Α συμμετρικός και θετικά ορισμένος, έπεται ότι (x 1 x 2 ) T A(x 1 x 2 ) = και συνεπώς x 1 = x 2. Για την ύπαρξη του (5.15), αποδεικνύουμε ότι η ακολουθία x (k) που παράγεται από τον Αλγόριθμο έχει μοναδικό όριο. Χωρίζουμε την απόδειξη μας σε 4 βήματα. Βήμα 1 Θα δείξουμε πρώτα ότι για όλα τα i, k υπάρχει ω ik ɛ [, ω] τέτοιο ώστε: Αν g i x (k) i ότιx (k+1) i = x (k) i περίπτωση όπου g i > x (k) i g i = x (k+1) i x (k+1) i = x (k) i + ω ik ( x (k) i x (k) i ) + ω( x k i xk i ) τότε από την (5.13) έπεται + ω( x (k) i + x (k) i ) επιλέγωντας ω ik = ω. Αντίστοιχα στην + ω( x k i xk i ) τότε αφού x(k) i g i επιλέγουμε και στην περιπτωση αυτή, θα έχουμε ότι ω ik = x (k) i όπου ω ik ω και συνεπώς καταλήγουμε Βήμα 2 x (k) i + ω ik ( x (k) i g i x (k+1) i x(k) i x (k) i ) = g i = x (k+1) i 8

95 5.4. Σ ΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΜΕΘ ΟΔΩΝ ΧΑΛ ΑΡΩΣΗΣ Εστω x (k,i) να είναι το i βήμα της k επανάληψης x (k,i) = (x (k+1) 1,..., x (k+1) i, x (k) i+1,... x(k) N 1 )T θα δείξουμε ότι η ακολουθία J j = J(x (k,i) ) όπου j = (N 1)(k 1) + i, i N 1, k 1 συγκλίνει. Παρατηρούμε ότι και x (k,i) x (k,i 1) = (,..., x (k+1) i Από την (5.13) θα έχουμε x (k+1,) = (x (k+1) 1,..., x (k+1) N 1 )T =: x (k,n) a ii ( x (k) i x (k) i,,..., ) T = (x (k+1) i x (k) i )e i (5.18) x (k) i ) = (Ax (k,i) b) i (5.19) Με βάση τα ανωτέρω υπολογίζουμε για την περίπτωση όπου ω ik > J j J j 1 = J(x (k,i) ) J(x (k,i 1) ) = 1 2 (x(k,i) x (k,i 1) ) T A(x (k,i) x (k,i 1) ) + (x (k,i) x (k,i 1) ) T (Ax (k,i) b) = 1 2 a ii(x (k+1) i Από τις (5.18),(5.19) έχουμε: x (k) i ) 2 (x (k+1) i x (k) i )a ii ( x (k) i x (k) i ) = a ii 2 ( 2 1)(x (k+1) i x (k) i ) 2 (5.2) ω ik a ii 2 ( 2 ω 1)(x(k+1) i x (k) i ) 2 και για ω ik ω για όλα τα < ω < 2. Στην περίπτωση όπου ω ik = έχουμε x (k+1) i = x (k) i J j J j 1 =. Αφού ο Α είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος εύκολα βλέπουμε ότι η ακολουθία J j είναι γνησίως φθίνουσα. και Βήμα 3 Θα δειξουμε ότι η (x (k) i x (k+1 i ) k ακολουθία συγκλίνει. Από την (5.2) συνεπάγεται ότι ( ) 1/2 x (k) 2 i = a ii ( 2 ω ik 1 (J j 1 J j ) ( ) 1/2 2 min ( 2 ω 1)(J j 1 J j ) για k και J = J(k). Συνεπώς η {x(k, i)} είναι μία Cauchy ακολουθία για όλα τα k και συνεπώς lim k x (k) i = x i 81

96 5.4. Σ ΥΓΚΛΙΣΗ ΤΩΝ ΜΕΘ ΟΔΩΝ ΧΑΛ ΑΡΩΣΗΣ Βήμα 4 Απομένει να δείξουμε ότι η x = (x 1,..., x N 1 ) T είναι λύση του γραμμικού συπληρωματικού προβλήματος (5.15). Από την (5.13) παίρνωντας όριο για k θα έχουμε: και x i = lim k x(k) i = x i a 1 ii (Ax b) i x i = max {x i + ω( x i x i ), g i } = max{x i ωa 1 ii (Ax b) i, g i } το οποίο είναι ισοδύναμο με το γραμμικό συμπληρωματικό πρόβλημα (5.15). Εναλλακτικές μέθοδοι επίλυσης για την τιμολόγηση των Αμερικάνικων παραγώγων είναι οι μέθοδοι Front-Tracking, ο αλγόριθμος Brennan-Schwartz που περιγράφονται στο [1] καθώς και Primal-Dual Active Set Algorithm που περιγράφεται στο [25]. Μια επιπλέον εναλλακτική μέθοδος αντί της επαναληπτικής μεθόδου PSOR είναι η μέθοδος της ποινής (penalty method). Στη μέθοδο PSOR συγκρίνουμε κάθε λύση του γραμμικού μας συστήματος με τη συνάρτηση εμπόδιο(obstacle function), στη μέθοδο της ποινής το ελέυθερο σύνορο (free boundary) εντάσσεται απευθείας στην μέθοδο προσθέτοντας απλά τον επιπλέον όρο της συνάρτησης φράγματος, και λύνουμε ένα γραμμικό σύστημα. Η μέθοδος αναφέρεται και περιγράφεται στα [9], [38],[2]. 82

97 Κεφάλαιο 6 Διακριτοποίηση της 2-D Black and Scholes Εξίσωσης με Χρήση Πεπερασμένων Στοιχείων Σε πολλές εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά απαιτείται η διακριτοποίηση της γενικευμένης εξίσωσηςblack and Scholes. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι η τιμολόγηση Ασιατικών Παραγώγων, ομόλογα, καθώς και Ευρωπαικά και Αμερικάνικα Παράγωγα αποτελούμενα από δύο υποκείμενα προϊόντα(better Options, Worst of Two Assets, Basket Options, Rainbow Options). Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε την διακριτοποίηση των προαναφερθέντων χρηματοοικονομικών προϊοντων με χρήση Πεπερασμένων Στοιχείων. 6.1 Η 2-D Black and Scholes και η Γενικευμένη Εξίσωση Διάχυσης Υποθέτουμε ότι η U είναι συνάρτηση δύο στοχαστικών μεταβλητών S 1 κα S 2 σε χρόνο t. Η εξέλιξη των δύο υποκείμενων προϊοντων S 1 και S 2 περιγράφονται από τις ακόλουθες στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις: ds 1 = µ 1 (S 1, S 2, t) dt + σ 1 (S 1, S 2, t) dw 1 (6.1) ds 2 = µ 2 (S 1, S 2, t) dt + σ 2 (S 1, S 2, t) dw 2 (6.2) 83

98 6.1. Η 2-D BLACK AND SCHOLES ΚΑΙ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗ ΕΞ ΙΣΩΣΗ ΔΙ ΑΧΥΣΗΣ η εξίσωση Black-Scholes που περιγράφεται από τα δύο αυτά υποκείμενα προϊόντα είναι η: U t +(σ 1S 1 ) U S1 2 + (σ 2S 2 ) 2 S2 2 2 U S U U U +ρσ 1 σ 2 S 1 S 2 +rs 1 +rs 2 ru = S 1 S 2 S 1 S 2 E [dw i dw j ] = ρ ij dt με i, j = 1, 2 (6.3) όπου ρ 12 = ρ 21 = ρ ο αντίστοιχος συντελεστής συσχέτισης με 1 ρ 1. Οταν ο συντελεστής συσχέτισης λαμβάνει θετικές τιμές τότε η συσχέτιση είναι θετική. Στην περίπτωση αυτή η άυξηση της τιμής του υποκείμενου προϊόντος S 1 θα οδηγήσει σε μία ανάλογη άυξηση της τιμής του υποκείμενου προϊόντος S 2. Στην περίπτωση όπου ο συντελεστής συσχέτισης λαμβάνει την τιμή 1 τότε η συσχέτιση καλείται τέλεια θετική συσχέτιση. Από χρηματοοικονομικής πλευράς η τέλεια θετική συσχέτιση συνεπάγεται ότι η άυξηση της τιμής του υποκείμενου προϊόντος S 1 θα οδηγήσει σε μία ισόποση άυξηση της τιμής του υποκείμενου προϊόντος S 2. Αντίθετα όταν ο συντελεστής συσχέτισης λαμβάνει αρνητικές τιμές τότε η συσχέτιση καλείται αρνητική, με την άυξηση του υποκείμενου προϊόντος S 1 να οδηγεί σε μία ανάλογη μείωση της τιμής του υποκείμενου προϊόντος S 2. Οταν ο συντελεστής συσχέτισης λαμαβάνει την τιμή -1 τότε η συσχέτιση καλείται τέλεια αρνητική συσχέτιση και η άυξηση της τιμής του υποκείμενου προϊόντος S 1 να οδηγεί σε μία ισόποση μείωση της τιμής του υποκείμενου προϊόντος S 2. Τέλος στην περίπτωση όπου ρ = τότε οι τιμές των δύο υποκείμενων προϊόντων S 1, S 2 είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η (6.3) για τ = T t μετασχηματίζεται στην γενικευμένη εξίσωση διάχυσης: U τ ( ) rs1 όπου a = και D = rs a U (D ) U + ru = (6.4) ( ) σ 2 1 S1 2 ρσ 1 σ 2 S 1 S 2 ρσ 1 σ 2 S 1 S 2 σ 2 2S 2 2 Παρατηρούμε ότι ο πίνακας διάχυσης είναι συμμετρικός και θετικά ημιορισμένος. Μια συνήθη τεχνική διακριτοποίησης της (6.4) είναι με χρήση Πεπερασμένων Ογκών, αντ αυτού θα τη διακριτοποίησουμε με χρήση Περασμένων Στοιχείων. Υπάρχουν σημαντικές δυσκολίες στη διακριτοποίηση της (6.4) με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. Μια πρώτη δυσκολία είναι η επιβολή κατάλληλων συνοριακών συνθηκών. Σε κάθε παράγωγο με διαφορετική συνάρτηση αποπληρωμής (payoff function) εισάγουμε κατάλληλες συνοριακές συνθήκες. Η επιλογή των συνοριακών συνθηκών είναι αρκετά τεχνική και ξεφέυγει από τους σκοπούς αυτής της εργασίας. Για την εφαρμογή κατάλληλων συνοριακών συνθηκών για τα παράγωγα παραπέμπουμε στο [13]. Μια επιπλέον δυσκολία στην διακριτοποίηση της ανωτέρω εξίσωσης είναι ότι μπορεί να οδηγηθούμε σε ταλαντούμενες λύσεις. Το διάνυσμα a (convective terms) μπορεί να οδηγήσει σε ιδιομορφίες (singularities) στην επίλυση μας. Στην πραγματικότητα οι λύσεις επιδέχονται διαταραχές, που εμφανίζονται στην περίπτωση όπου η μερική 84

99 6.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΔΙ ΑΧΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘ ΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕ ΙΩΝ διαφορική εξίσωση μας κυριαρχείται από τους μεταφορικούς όρους a. Ενας τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος αυτού είναι με κατάλληλη αναδιαμέριση, εναλλακτικά μπορούμε να προσθέσουμε κάποιους επιπλέον όρους για μεγαλύτερη ευστάθεια και αντιμετώπιση των αυτών ταλαντούμενων λύσεων. Ο τρόπος εφαρμογής τών επιπλέον όρων-όροι τεχνικής διαχύσης (artificial diffusion) εξαρτάται απο τη διακριτοποίηση μας αλλά και από τον συντελεστή Peclet, ο οποίος εξαρτάται από την νόρμα του πίνακα διάχυσης D και τη αντίστοιχη νόρμα του διανύσματος a, για περισσότερες λεπτομέρειες παραπέμπουμε στο [35]. Η εξίσωση (6.4) εναλλακτικά μπορεί να γραφτεί στην μορφή: U ( τ = a ( D) ) U + D U ru (6.5) Οπου και D οι ανάστροφοι των και D αντίστοιχα. Η χρήση της (6.5) γίνεται σε μοντέλα με στοχαστική μεταβλητότητα (stochastic volatility models), για περισσότερες λεπτομέρειες στο παραπέμπουμε στο [46]. Ωστόσο η (6.5) έχει αρκετές αλγοριθμικές δυσκολίες στον τρόπο χειρισμού των συνοριακών συνθηκών. Για τη διακριτοποίηση του Αμερικάνικου παραγώγου με δύο υποκείμενα προϊόντα κάνουμε χρήση της (6.4) της οποίας την διακριτοποίηση της με χρήση πεπερασμένων στοιχείων θα την περιγράψουμε στην ακόλουθη ενότητα. 6.2 Διακριτοποίηση της Γενικευμένης Εξίσωσης Διάχυσης με χρήση της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων Στην ενότητα αυτή θα διακριτοποιήσουμε την εξίσωση (6.4) με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. Η εξίσωση (6.4) εναλλακτικά για τ = T t μπορεί να γραφτεί στη μορφή: U τ = a U + (D ) U ru (6.6) Η ασθενής μορφή για την (6.6) με χρήση των τύπων Green θα είναι: ˆ ˆ U ( α U v + (D U) v ruv)ds = vds v ɛ Ω (6.7) t Ω με v συνεχή συνάρτηση και κατά τμήματα C 1 στο Ω απο την χρήση των τύπων Green για τον όρο της διάχυσης θα έχουμε: ˆ ˆ ˆ U ( a Uv (D U) v ruv) ds (D U) νdς = vds (6.8) τ Ω το ολοκλήρωμα ˆ Ω Ω (D U) ndς = 85 Ω Ω

100 6.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΔΙ ΑΧΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘ ΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕ ΙΩΝ γιατί δεν υπάρχει διάχυση στο σύνορο μας. Ετσι λοιπόν οδηγούμαστε στην ακόλουθη ολοκληρωτική μορφή ˆ ˆ U ( a Uv (D U) v ruv)ds = vds (6.9) τ Ω ή ˆ ˆ U (a Uv + (D U) v + ruv)ds = Ω τ vds Συνεπώς η ασθενής μορφή θα είναι: Βρες uɛl 2 ((, T ), H 1 (R 2) ) H 1 ((, T ), L 2 (R 2 )) τέτοιο ώστε: ( t u, v) + a(u, v) = (6.1) Ω με αρχική συνθήκη όπου ˆ a(u, v) = u = U (a uv + (D u) v + ruv)ds Πρόταση 6.1. Υποθέτουμε ότι ο πίνακας D έιναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, τότε υπάρχει σταθερά γ τέτοια ώστε x T Dx γx T xɛr 2. Επιπλέον υπάρχουν σταθερές C i, i = 1, 2, 3 τέτοιες ώστε: a(u, v) C 1 u H1 (R 2 ) v H1 (R 2 ) (6.11) και a(u, v) C 2 u 2 H 1 (R 2 ) C 3 u 2 L 2 (R 2 ) (6.12) Απόδειξη. Από την Holder ανισότητα έχουμε: ˆ ˆ ˆ a(u, v) D ij u vds + a i uvds + r u v ds Επιπλέον C 1 u H1 (R 2 ) v H1 (R 2 ) ˆ a(u, v) γ ˆ u 2 ds + r u 2 ds γ u 2 H 1 (R 2 ) + (r γ) u 2 L 2 (R 2 ) Για την αριθμητική επίλυση με χρήση των πεπερασμένων στοιχείων κατασκευάζουμε αρχικά ένα μερισμό της περιοχής Ω σε τρίγωνα (στοιχεία), βλέπε Σχήμα 6.1 Ω = n Ω n για την οποία ισχύει: 86

101 6.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΔΙ ΑΧΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘ ΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕ ΙΩΝ Σχήμα 6.1: Συναρτήσεις Βάσης Οπου δ ij η συνάρτηση δέλτα Dirac: δ ij = ϕ ij = δ ij { 1 i = j i j Η προσεγγιστική λυση για το πρόβλημα μας δίνεται από την: Ū(S 1, S 2 ) = n c j ϕ j (S 1, S 2 ) (6.13) j=1 Για μεγαλύτερη ευστάθεια όπως προαναφέραμε προσθέτουμε κάποιους επιπλέον όρους και έτσι αντί των απλών και κατά τμήματα συνεχών συναρτήσεων v κάνουμε χρήση των: ṽ = v + εa v (6.14) Οπου ε ο συντελεστής Peclet 1. Οπως προαναφέραμε ο συντελεστής αυτός εξαρτάται από τη διαμέριση μας, και την αντίστοιχη νόρμα του πίνακα διάχυσης, παραπέμπουμε [35]. Με βάση την μέθοδο Galerkin θα έχουμε: ˆ ˆ ( a ϕ j ϕ i (D ϕ j ) ϕ i rϕ j ϕ i )ds = Ω ϕ i = ϕ i + εα ϕ i (6.15) Αντικαθιστώντας της (6.15) θα έχουμε: ˆ ˆ a ϕ j (ϕ i + εa ϕ i ) ds (D ϕ j ) ( (ϕ i + εα ϕ i )) ds Ω Ω ˆ ˆ U rϕ j (ϕ i + εa ϕ i ) ds = τ Ω Ω U τ ϕ j ϕ i (6.16) Ω ϕ j (ϕ i + εa ϕ i ) 1 Η μέθοδος για την (6.14) όπου προσθέτουμε επιπλέον όρους για μεγαλύτερη ευστάθεια ονομάζεται Petrov Streamline Upwind Galerkin Method 87

102 6.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΔΙ ΑΧΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘ ΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕ ΙΩΝ Οπότε τελικά θα έχουμε: (ˆ ˆ (a ϕ j )ϕ i ds ΩɛΩ h Ω (ˆ ˆ +ε ( a ϕ j )(a ϕ i )ds r Ω = (ˆ ΩɛΩ h Ω Ω ˆ (D ϕ j ) ϕ i ds r ˆ ϕ j ϕ i ds + ε ϕ j (a ϕ i )ds Ω Ω Ω ϕ j ϕ i ds ϕ j (a ϕ i )ds) ) w(τ) ) ẇ(τ) Οι πράξεις βρίσκονται αναλυτικότερα στο [35](Κεφάλαιο 7 σελίδες 97-98). Διακριτοποιώντας και ως προς τον χρόνο με την μέθοδο Crank Nicolson και εισάγοντας τη μέθοδο των γραμμών, καταλήγουμε σε ένα γραμμικό σύστημα της μορφής: Cw(τ) = bẇ(τ) (6.17) Οπου: Οπου: A = ΩɛΩ h (ˆ και αντίστοιχα Ω +ε ΩɛΩ h (ˆ C = G dtθa ˆ ( a ϕ j )ϕ i ds Ω G = δηλαδή G = B + R όπου: Ω ˆ ( a ϕ j )(a ϕ i )ds r Ω ɛω h ˆ (D ϕ j ) ϕ i ds r Ω ) ϕ j ϕ i ds (ˆ ) ϕ j ϕ i ds + ε (ϕ j α ϕ i ) ds Ω ˆ B = ο πίνακας μάζας (mass matrix) ˆ R = και Ω Ω Ω ) ϕ j ϕ i ds ϕ j ϕ i ds (6.18) εϕ j (a ϕ i ) b = (G + dt (1 θ) A) ẇ(τ) Επιβάλοντας κατάλληλες συνοριακές συνθήκες Neumann και Dirichlet αντίστοιχα μπορούμε να λύσουμε το σύστημα (6.17) με χρήση των επαναληπτικών μεθόδων SOR και PSOR(για το Αμερικάνικο Παράγωγο). Απομένει ο υπολογισμός των στοιχείων των C και b. Για τον πίνακα A θα πρέπει να υπολογίσουμε τα στοιχεία 88

103 6.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΔΙ ΑΧΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘ ΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕ ΙΩΝ Σχήμα 6.2: Αναφορικό Τρίγωνο 1. Ω (a ϕ j) ϕ i ds 2. Ω (D ϕ j) ϕ i ds 3. r Ω ϕ jϕ i ds 4. Ω (a ϕ j) (a ϕ i ) 5. r Ω ϕ j (a ϕ i ) ds Για τον προσδιορισμό των στοιχείων 1-5 θα πρέπει να κάνουμε χρήση ενός αναφορικού τριγώνου(reference triangle) και κατάλληλη αλλαγή συντεταγμένων (local-to-global) με βάση το αναφορικό τρίγωνο, βλέπε Σχήμα 6.2. Παραπέμπουμε στα [35], [15], [13]. Το διαφορικό με βάση το τρίγωνο αναφοράς μετασχηματίζεται στην ακόλουθη μορφή: ( ) S 1 = 1 ( ) ( ) y3 y 1 y 1 y 2 ξ S 2 J x 1 x 3 x 2 x 1 η όπου: [( )] x2 x J = det 1 x 3 x 1 = (x y 2 y 1 y 3 y 2 x 1 ) (y 3 y 1 ) (x 3 x 1 ) (y 2 y 1 ) 1 (6.19) και x 1 x 3, y 1 y 3 οι αντίστοιχες τοπικές συντεταγμένες για τα S 1 και S 2 αντίστοιχα. Η αντίστοιχη αναφορική βάση θα είναι: ϕ J1 (ξ, η) = 1 ξ η ϕ J2 (ξ, η) = ξ ϕ J3 (ξ, η) = η Με χρήση των τοπικών συντεταγμένων θα έχουμε: ϕ J1 = 1 2J [(x 2y 3 x 3 y 2 ) + (y 2 y 3 ) S 1 + (x 3 x 2 ) S 2 ] 89

104 6.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΔΙ ΑΧΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘ ΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕ ΙΩΝ ϕ J2 = 1 2J [(x 3y 1 x 1 y 3 ) + (y 1 y 3 ) S 1 + (x 1 x 3 ) S 2 ] ϕ J3 = 1 2J [(x 1y 2 x 2 y 1 ) + (y 1 y 2 ) S 1 + (x 2 x 1 ) S 2 ] Για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων θα χρειαστούμε τον Εσσιανό πίνακα (Hessian Matrix) ϕ J1 S 1 ϕ J2 S 1 ϕ J3 S 1 ϕ J1 S 2 ϕ J2 S 2 ϕ J3 S 2 = 1 y 2 y 3 x 3 x 2 y 3 y 1 x 1 x 3 =: 1 J J H (6.2) y 1 y 2 x 2 x 1 Με βάση τις (6.19), (6.2) είμαστε έτοιμοι να υπολογίσουμε τα στοιχεία Για τον υπολογισμό του 1. θα έχουμε: ˆ ˆ ( ) ( ) rs1 (a ϕ j ) ϕ i ds = ϕj ϕ j Ω Ω rs S 2 1 S 1 ϕ i ds ˆ ( ) ϕ j ϕ j = rs 1 ϕ i + rs 1 ϕ i ds S 1 S 1 Ω ˆ Ω ˆ ϕ j rs 1 ϕ i ds = r S S 1 ϕ i ds ϕ j = r 1 Ω S S 1 1 ϕj1 ϕj2 ϕj3 ( ϕ J1 S 1 ϕ J2 S 1 ) ϕ J3 S 1 = r S ( ) y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y = r S 1 y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 6 y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 όπου Ομοια για ˆ Ω S 1 = x 1 + x 2 + x 3 3 ˆ ϕ j rs 2 ϕ i ds = r S S 2 ϕ i ds ϕ j = r 2 Ω S S 2 2 ϕj1 ϕj2 ϕj3 ( ϕ J1 S 2 ϕ J2 S 2 ) ϕ J3 S 2 όπου: S 2 = y 1 + y 2 + y 3 3 9

105 6.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΔΙ ΑΧΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘ ΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕ ΙΩΝ Συνεπώς το στοιχείο 1. του πίνακα Α θα είναι: ˆ (a ϕ j ) ϕ i ds = r S y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 1 y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 + Ω 6 y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 r S x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 6 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 Για το στοιχείο 2 θα έχουμε: Ω ˆ Ω ˆ (D ϕ j ) ϕ i ds = Ω ( 1 2 σ ρσ 1σ ρσ 1 1σ 2 2 σ2 2 ) ( ) ϕ j ( ϕi ˆ ( 1 = 2 σ2 1S1 2 ϕ j ϕ i + 1 S 1 S 2 2 ρσ ϕ j ϕ i 1σ S 1 S 2 2 ρσ ϕ j ϕ i 1σ S 2 S 1 2 σ2 2S2 2 ϕ j ϕ i S 2 S 2 S 1 ϕ j S 2 S 1 ϕ i S 2 ) ds ) ds Συνεπώς θα πρέπει να υπολογίσουμε τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους ϕ j ϕ i S 1 S 2, ϕj ϕ i S 1 S 2, ϕj ϕ i S 2 S 1, ϕj ϕ i S 2 S 2 ϕ j ϕ i = 1 y 2 y 3 y 3 y 1 ( ) y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 S 1 S 1 2J y 1 y 2 ϕ j ϕ i = 1 y 2 y 3 y 3 y 1 ( ) x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 S 1 S 2 2J y 1 y 2 ϕ j ϕ i = 1 x 3 x 2 x 1 x 3 ( ) y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 S 2 S 1 2J x 2 x 1 ϕ j ϕ i = 1 x 3 x 2 x 1 x 3 ( ) x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 S 2 S 2 2J x 2 x 1 Εκτελώντας τις ανάλογες πράξεις για το στοιχείο 2. θα έχουμε: ˆ (D ϕ j ) ϕ i ds = Ω 1 2 σ2 S y y 3 y 3 y 1 ( ) y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 + 2J y 1 y 2 y 1 2 ρσ 1 2 y 3 1σ 2 S1 S2 y 3 y 1 ( ) x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 + 2J y 1 y 2 (6.21) (6.22) (6.23) (6.24) 91

106 6.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟ ΙΗΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ ΔΙ ΑΧΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡ ΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘ ΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕ ΙΩΝ x 1 2 ρσ 1 3 x 2 1σ 2 S1 S2 x 1 x 3 ( ) y 2 y 3 y 3 y 1 y 1 y 2 + 2J x 2 x σ2 S x x 2 x 1 x 3 ( ) x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 2J x 2 x 1 Οπου S 1 2 = (x1+x2+x3)2 3 και S2 2 = (y1+y2+y3)2 3 Αντίστοιχα για το στοιχείο 3. του πίνακα Α, δηλαδή τον πίνακα μάζας πολλαπλασιασμένο με τη σταθερά r του επιτοκίου θα έχουμε: ˆ r ϕ j ϕ i ds = 2rJ (6.25) Ω Για το στοιχείο 4. θα έχουμε:ˆ (a ϕ j ) (a ϕ i ) ds = Ω y r y 3 S2 1 y 3 y 1 ( ) y 3 y 2 x 1 y 3 y 2 y 1 + 2J y 1 y 2 x r x 2 S2 2 x 1 x 3 ( ) x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 + 2J x 2 x 1 +r S y 1 2 y 3 1 S2 y 3 y 1 ( x 3 x 2 2J y 1 y 2 x 1 x 3 ) x 2 x 1 + r S x 1 3 x 2 1 S2 x 1 x 3 ( y 2 y 3 2J x 2 x 1 y 3 y 1 ) y 1 y 2 Τέλος για το στοιχείο 5. θα έχουμε: ˆ r ϕ j (a ϕ i )ds = r S 1 6 r S 2 6 Ομοια για τα στοιχεία του b θα έχουμε: Ω y 2 y 3 y 2 y 3 y 2 y 3 y 3 y 1 y 3 y 1 y 3 y 1 + y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 92

107 6.3. ΑΣΙΑΤΙΚ Α ΠΑΡ ΑΓΩΓΑ 1. Ω εϕ j (a ϕ i ) ds 2. Ω εϕ j (a ϕ i ) ds Για το στοιχείο 1. του πίνακα μάζας θα έχουμε: ˆ ϕ j ϕ i ds = 2J Ω Τέλος για το στοιχείο 2. έχουμε: ˆ εϕ j (a ϕ i ) ds = ε r S y 2 y 3 y 2 y 3 y 2 y 3 1 y 3 y 1 y 3 y 1 y 3 y 1 + r S x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 Ω 6 6 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x Ασιατικά Παράγωγα Τα ασιατικά παράγωγα έχουν ως συνάρτηση αποπληρωμής τη συνάρτηση του γεωμετρικού μέσου των δύο υποκείμενων προϊόντων, η χρήση της οποίας μειώνει την ευαισθησία του παραγώγου σε αλλαγές που γίνονται στη μεταβολή της τιμής του υποκείμενου προϊόντος. Υποθέτουμε ότι η μετοχή ακολουθεί την παρακάτω εξίσωση: ds = µsdt + σsdw Ορίζουμε τον γεωμετρικό μέσο σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή ως ακολούθως: A = 1 t ˆ t S (τ) dt για για τ = T t ο αντίστοιχος πίνακας διάχυσης D για το συγκεκριμένο παράγωγο θα είναι: D = 1 ( ) σ 2 S 2 2 και το αντίστοιχο δίανυσμα: ( ) rs a = S A T τ όπου το αντίστοιχο διαφορικό θα ορίζεται: ( ) = S A η συνάρτηση αποπληρωμής για ένα fixed Asian Call σε χρόνο τ = ή τ = T θα είναι: U (S = A, τ = ) = max (A K, ) (6.26) 93

108 6.4. ΟΜ ΟΛΟΓΑ όπου Κ η αντίστοιχη τιμή άσκησης Οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες θα είναι: U (S, A, τ) = A καθώς S, A, S = A (6.27) U τ = A U ru T τ A καθώς S (6.28) ( ) U S A U τ = ru T t A για S, S A (6.29) U τ = 1 ( ) 2 σ2 S 2 2 U U S A U + rs S2 S + ru T τ A για A (6.3) U τ = 1 ( ) 2 σ2 S 2 2 U U S A U + rs S2 S + ru T τ A για A, S A (6.31) 6.4 Ομόλογα Στην ενότητα αυτή με βάση τη γενικευμένη εξίσωση διάχυσης (6.4) θα περιγράψουμε την αριθμητική τιμολόγηση ομολόγων και συγκεκριμένα των μετατρέψιμων ομολόγων (convertible bonds). Τα μετατρέψιμα ομόλογα είναι τύποι ομολόγων, των οποίων ο κάτοχος μπορεί να μετατρέψει το ομόλογο σε μια μετοχή ίδιας ονομαστικής αξίας έχει χρόνο ωρίμανσης 1 έτη και άνω, και εκδίδονται συνήθως από εταιρείες με χαμηλή πιστοληπτική ικανότητα. Θεωρούμε το μοντέλο επιτοκίου με εξίσωση και το υπόδειγμα της μετοχής που περιγράφεται από την ακόλουθη στοχαστική διαφορική εξίσωση dr = ã (b r) dt + σ r r c dw r ã (r, t) = w(r, t)λ(r, t) u(r, t) όπου w, u είναι συναρτήσεις που καθορίζουν τη συμπεριφορά της καμπύλης του r και λ το επιτοκίο ρίσκου της χρηματααγοράς, για περαιτέρω πληροφορίες παραπέμπουμε στο [3] (Κεφάλαιο 15 σελίδες ). για τ = T t θα έχουμε: ds = µsdt + σ S SdW s ( ) σs S 2 ρσ S σ r Sr c D = 1 2 ρσ S σ r Sr c σ 2 rr 2 c το αντίστοιχο διάνυσμα α: ( ) rs a = ã (b r) λσ r r c 94

109 6.5. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ ΜΕ Δ ΥΟ ΥΠΟΚΕ ΙΜΕΝΑ ΠΡΟϊ ΟΝΤΑ ο αντίστοιχος διαφορικός τελεστής Η αρχική συνθήκη για το πρόβλημα = ( ) S r U (S, r, τ = ) = max (F, ωs) όπου F είναι η ονομαστική αξία του ομολόγου, ω είναι ο λόγος μετατροπής (conversion ratio) ο οποίος εκφράζει τον αριθμό των μετοχών που μπορεί να ανταλλάξει κάποιος με το αντίστοιχο ομόλογο. Από το λόγο μετατροπής ω και από την συνθήκη για το δικαίωμα αγοράς call έχουμε: U (S, r, τ) ωs U (S, r, τ) C p όπου C p είναι η τιμή για το αντίστοιχο δικαίωμα αγοράς call Οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες θα είναι: U τ = 1 2 σ2 rrc 2 2 U r 2 + (ã (b r) λσ rr c ) U ru καθώς S (6.32) r U τ = 1 2 σ2 SS 2 2 U S 2 + ãb U r (6.33) U (S, r, τ) = C p (6.34) U (S, r, τ) = min (ωs, C p ) (6.35) Το ανωτέρω μοντέλο είναι ενδιαφέρον αριθμητικά για πολλούς λόγους. Πρώτά από όλα εφαρμόζουμε παντού συνοριακές συνθήκες Dirichlet. Επιπλέον υπάρχουν περιοχές στο χωρίο μας όπου οι όροι διάχυσης D σχετίζονται με τους όρους μεταφοράς α (convective terms) 6.5 Αμερικάνικο Παράγωγο με δύο υποκείμενα προϊόντα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης με δύο υποκείμενα προϊόντα Worst of two Assets. Ορίζουμε το διαφορικό τελεστή = ( ) S 1 S 2 95

110 6.5. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΠΑΡ ΑΓΩΓΟ ΜΕ Δ ΥΟ ΥΠΟΚΕ ΙΜΕΝΑ ΠΡΟϊ ΟΝΤΑ και U (S 1, S 2, t) η αξία του Αμερικάνικου παραγώγου με δύο υποκείμενα προϊόντα. Ο αντίστοιχος πίνακας διάχυσης για τ = T t θα δίνεται απο την ακόλουθη σχέση: D = 1 ( ) σ 2 1 S1 2 ρσ 1 σ 2 S 1 S 2 2 ρσ 1 σ 2 S 1 S 2 σ2s Το αντίστοιχο διάνυσμα α θα δίνεται: a = ( ) rs1 rs 2 Η συνάρτηση αποπληρωμής για το παράγωγο με δύο υποκείμενα προϊόντα (Worst of Two Assets) U (S 1, S 2, ) = max (K min (S 1, S 2 ), ) Για το Αμερικάνικο παράγωγο η πρόωρη άσκηση (early exercise ) δίνεται απο την συνάρτηση εμποδίου (obstacle function): Οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες: U (S 1, S 2, τ) max (K min (S 1, S 2 ), ) U (S 1, S 2, τ) = K για S 1, S 2 (6.36) U (S 1, S 2, τ) = για S 1, S 2, S 1 = S 2 (6.37) U τ = 1 2 σ2 1S1 2 2 U U S1 2 + rs 1 ru για S 2, S 1 S 2 (6.38) S 1 U τ = 1 2 σ2 2S2 2 2 U U S2 2 + rs 2 ru για S 1, S 1 S 2 (6.39) S 2 96

111 Κεφάλαιο 7 Αριθμητικές Εφαρμογές Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τρεις βασικές εφαρμογές για την αποτίμηση Αμερικάνικων παραγώγων. Συγκεκριμένα θα παρουσιάσουμε το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης με χρήση πεπερασμένων στοιχείων, πεπερασμένων διαφορών και του διωνυμικού μοντέλου, καθώς και του αντίστοιχου Αμερικάνικου δικαιώματος αγοράς με και χωρίς απόδοση μερισμάτων στο υποκείμενο προϊόν. Τέλος θα αποτιμήσουμε το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης με δύο υποκείμενα προϊόντα και συγκεκριμένα του Worst of Two Assets. Ολες οι ανωτέρω εφαρμογές έγιναν με χρήση της MATLAB(R29) και χρήση υπολογιστή με επεξεργαστή Intel Pentium 2.2 GHz. 7.1 Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Ως πρώτη εφαρμογή θα ξεκινήσουμε με την τιμολόγηση των Αμερικάνικων δικαιωμάτων πώλησης, καθώς και των αντίστοιχων Greeks για το παράγωγο αυτό. Η δυσκολία στην τιμολόγηση των Αμερικάνικων δικαιωμάτων πώλησης έγκειται στον προσδιορισμό του ελευθέρου συνόρου, ο οποίος θα γίνει αριθμητικά. Με χρήση των πεπερασμένων στοιχείων όπως περιγράφτηκε στο Κεφάλαιο 4 καταλήξαμε: όπου και ( v (ν+1) y (ν+1) h ) ( Cy (ν+1) h ) b (7.1) C = B + τθa (7.2) b = (B τ(1 θ)a) y (ν+1) h + d (ν) (7.3) με τα A, B και d (ν) να δίνονται από τις (4.43), (4.44),(4.47) αντίστοιχα. Επισημαίνουμε ότι η (7.1) θα λυθεί με χρήση του αλγορίθμου PSOR βλέπε Κεφάλαιο 5, Αλγόριθμος Για τη χωρική διακριτοποίηση βασιζόμενοι στο [2] κάνουμε χρήση του 97

112 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ διαστήματος ( a, a) με a = 5 και h = 2a N το αντίστοιχο χωρικό βήμα διακριτοποίησης όπου Ν το μέγεθος της διακριτοποίησης μας. Αντίστοιχα για τη χρονική διακριτοποίηση θα έχουμε [, τ max ] όπου τ max = 1 2 σ2 T και τ = τmax M το αντίστοιχο χρονικό βήμα και Μ το αντίστοιχο μέγεθος του αριθμού των χρονικών διακριτοποιήσεων. Αντίστοιχα για τις πεπερασμένες διαφορές καταλήγουμε: όπου τα C b και g δίνονται από (3.36), (3.39), (2.17) (Cy b) (y g) = (7.4) Με χρήση των πεπερασμένων στοιχείων για S = 5, K = 5, r =.1, σ =.4, T = 1 και για M = N = 6 θα έχουμε: American Option Payoff European Option 35 Option Price Spot Price Σχήμα 7.1: Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης για S = 5, K = 5, r =.1, σ =.4, T = 1 Σχήμα 7.2: Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης για S = 5, K = 5, r =.1, σ =.4, T = 1 στις 3 διαστάσεις Παρουσιάζουμε στη συνέχεια με χρήση της επαναλήπτικής μεθόδου PSOR το γενικό αλγόριθμο για τις μεθόδους των πεπερασμένων στοιχείων και πεπερασμένων διαφορών όπως αυτός περιγράφεται στο [35]. Βασιζόμενοι στον Αλγόριθμο 7.1.1, η τιμολόγηση του Ευρωπαϊκου Δικαιώματος Πώλησης ( αλγόριθμος SOR) μπορεί να γίνει εύκολα αντικαθιστώντας το: με το: x 2i = max{ω temp + (1 ω)x 1i, g(x i+1, τ j )} x 2i = (ω temp + (1 ω)x 1i ) στον αλγόριθμο μας. Παρουσιάζουμε στη συνέχεια τα αριθμητικά αποτελέσματα για τις 3 μεθόδους για 98

113 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ Αλγόριθμος Ο αλγόριθμος του Αμερικάνικου Δικαιώματος Πώλησης FEM b (ν) i FDM b (ν) i Δεδομένα K, S, T, σ, r, M, N a = 5 h = 2a N x = a : h : a τ max = 1 2 σ2 T, τ = τmax M k 1 = 2r σ (χωρίς απόδοση μερισμάτων) 2 g για το δικαίωμα πώλησης βλέπε (2.17) Πεπερασμένα Στοιχεία (FEM) C, b βλέπε (4.45), (4.46) Πεπερασμένες Διαφορές (FDM) C, b βλέπε (3.36), (3.39) y i = g(x i, ) PSOR loop for v = 1 : M do = (B τ(1 θ)a)y (ν) i = By (ν) i + d (ν) i x (v 1) 2 = max{y (v 1) i, g(x i, τ v 1 )} for i = 1 : N 1 do while ( do x 1 x 2 > eps) + d (ν) i x 1 = x 2 ( temp = b i j=i 1 (C ijx (k 1) 2j ) j=i+1 C ijx (k) 2j ) x 2i = max{ω temp + (1 ω)x 1i, g(x i+1, τ j )} end while end for y(τ j, x i+1 ) = x 2i end for exact= Interpolate(M : M + 1, y(m : M + 1, N/2)) Final V alue=kexp(.5(k 1 1)exact.25 ( (k 1 1) 2 + 4k 1 ) τmax )exact 99

114 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 και αντίστοιχα για την επαναληπτική μέθοδο PSOR με ω = 1.3 και eps = 1e 7, θα έχουμε: Πίνακας 7.1: Αριθμητικά Αποτελέσματα Δικαιώματος Πώλησης για τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, των Πεπερασμένων Διαφορών και του Διωνυμικού Μοντέλου για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 M = N FEM FDM Binomial 3 4, , , , ,286 4, , , , , , , , , ,2844 Από τα αποτέλεσματα του αλγορίθμου μας και βασιζόμενοι στο [2] ότι η υπολογιστική μας λύση για το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης με τα ανωτέρω χαρακτηριστικά είναι 4,2842, παρατηρούμε ότι η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων προσεγγίζει ελαφρώς καλύτερα απο τις υπόλοιπες μεθόδους την ακριβή μας λύση. Τέλος το διωνυμικό μοντέλο είναι πολύ πιο γρήγορο από τη μέθοδο των πεπεραμσένων στοιχείων και τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, όμως έχει πιο αργή σύγκλιση στην ακριβή μας λύση, και η προσέγγιση της έχει παρόμοια αποτελέσματα με αυτή των δύο μεθόδων. 1

115 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ Αλγόριθμος Ο αλγόριθμος Πρόωρης Άσκησης για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης ε = K 1 5 if = max{i : P (, S i ) + S i K < ε } if S < S if then STOP end if Προσδιορισμός Καμπύλης Πρόωρης Άσκησης Για τον προσδιορισμό της πρόωρης άσκησης βασιζόμενοι στο [2] θα έχουμε τον Αλγόριθμο FEM Binomial FDM Stock Price Spot Price Time Time Σχήμα 7.3: Καμπύλη Πρόωρης Ά- σκησης του Αμερικάνικου Δικαιώματος Πώλησης με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 Σχήμα 7.4: Καμπύλη Πρόωρης Ασκήσης για τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων (κόκκινη γραμμή) για την Μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών (μπλέ άστρο) και με το Διωνυμικό Μοντέλο (πράσινη γραμμή) για K = 5, r =.1,σ =.4, T = 5/12 Από το Σχήμα 7.4 παρατηρούμε ότι ο αλγόριθμος πρόωρης άσκησης για την μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων έχει όμοια αποτελέσματα με τον αντίστοιχο της μεθόδου των Πεπερασμένων Διαφορών. Βασιζόμενοι στον Αλγόριθμο παρουσιάζουμε στον πίνακα 7.2 την τιμή πρόωρης άσκησης για το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης με K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 Από τα στοιχεία τα αποτελέσματα του αλγοριθμού η τιμή πρόωρης άσκησης για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 θα είναι 36,

116 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ Πίνακας 7.2: Αριθμητικά Αποτελέσματα Πρόωρης Άσκησης με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 M = N S f () 3 35, , , , , FEM Binomial Σχήμα 7.5: Σύγλιση της Πρόωρης Άσκησης S f για την μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων και το Διωνυμικό Μοντέλο για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης K = 5, r =.1, σ =.4 T = 5/12 Από τα στοιχεία του Πίνακα 7.3 και δεδομένου ότι η πρόωρη άσκηση για το αέναο Αμερίκανικο Δικαίωμα Πώλησης,η όποια όπως παρουσιάσαμε δίνεται αναλυτικά βλέπε (1.44), για K = 5, r =.1, σ =.4 έχει τιμή 27,7778 συμπαιρένουμε ότι ο αλγόριθμος πρόωρης άσκησης για την μέθοδο των Πεπεράσμενων Στοιχείων έχει ικανοποιητικά αποτελέσματα. 12

117 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ Πίνακας 7.3: Αριθμητικά Αποτελέσματα Πρόωρης Άσκησης με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων και το Διωνυμικό Μοντέλο ως προς το Αντίστοιχο Αέναο Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης για K = 5, r =.1, σ =.4 με M = N = 16 T FEM Binomial 5/12 36, , ,372 33, ,284 29, , , , , , , , , , , Early Exercise FEM Early Exercise Binomial Early Exercise Perpetual 34 Early Exercise Time Σχήμα 7.6: Σύγκλιση της Πρόωρης Άσκησης για την μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων και το Διωνυμικό Μοντέλο ως προς το Αέναο Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης για K = 5, r =.1, σ =.4 με χρόνο άσκησης έως T = 3 με M = N = Αριθμητικά Αποτελέσματα για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Στη συνέχεια παραθέτουμε το σφάλμα, το log-απόλυτο σφάλμα, τη σύγκλιση και τον υπολογιστικό χρόνο για τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για το Αμερικάνικο δικαίωμα πώλησης με τα ανωτέρω χαρακτηριστικά. 13

118 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ 1.5 x 1 4 Error 1 3 LogLog Error (αʹ) Error (βʹ) Log Error Value vs Exact 3 Time (γʹ) Convergence (δʹ) Computational Time Σχήμα 7.7: Αριθμητικά Αποτελέσματα για τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για το Δικαίωμα Πωλήσης για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 Αντίστοιχα για S = K = 1, r = 6%, σ =.4,ω = 1.15 και T =.5 και βασίζομενοι στο [19] όπου η υπολογιστική λύση P (S, T ) είναι ο αριθμητικός μέσος 1 βήματων και 11 βημάτων του διωνυμικού μοντέλου με τιμή 9,9458 θα έχουμε: 14

119 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ.14 Error 1 LogLog Error (αʹ) Error (βʹ) Log Error 9.96 Value vs Exact 3 Time (γʹ) Convergence (δʹ) Computational Time Σχήμα 7.8: Αριθμητικά Αποτελέσματα για τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πωλήσης για S = K = 1, r = 6%, σ =.4,ω = 1.15 και T =.5 15

120 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ Αξίζει να επισημανθεί η σημασία του συντελεστή eps στον αλγόριθμο της επαναληπτικής μεθόδου PSOR για τον οποίο παρατηρείται ότι όσο αυξάνεις την ακρίβεια του, αυξάνει η αντίστοιχη συγκλιση της μέθοδου των πεπερασμένων στοιχειων στην αναλυτική μας λύση, αυξάνει όμως σημαντικά και ο αντίστοιχος υπολογιστικός χρόνος για την υλοποίηση του αλγορίθμου. Ενδεικτικά για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12, ω = 1.3 και eps = 1e 7 θα έχουμε: Value vs Exact 3 Time (αʹ) Convergence (βʹ) Computational Time Σχήμα 7.9: Σύγκλιση και ο αντίστοιχος υπολογιστικός χρόνος για την μέθοδο των Πεπερασμένων στοιχειων γιαk = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 και eps = 1e 7 Αντίστοιχα για eps = 1e 8 θα έχουμε: Value vs Exact 35 Time (αʹ) Convergence (βʹ) Computational Time Σχήμα 7.1: Σύγκλιση και ο αντίστοιχος υπολογιστικός χρόνος για την μέθοδο των Πεπερασμένων στοιχειων για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 και eps = 1e 8 16

121 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ Στο Σχήμα 7.11 παραθέτουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα για ττην μέθοδο των Πεπερασμένων στοιχείων την μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών και του Διωνυμικού Μοντέλου. Από τα Σχήμα 7.11(αʹ), Σχήμα 7.11(βʹ), Σχήμα 7.11(γʹ), και Σχήμα 7.11(δʹ), παρατηρούμε ότι η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων συγκλίνει καλύτερα από την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών και του διωνυμικού μοντέλου, ωστόσο, ο υπολογιστικός χρόνος είναι αισθητά μεγαλύτερος σε σχέση με τις υπόλοιπες δύο μεθόδους. 8 x 1 3 Error 7 FEM FDM Binomial 1 2 LogLog Error FEM FDM Binomial (αʹ) Error (βʹ) Log Error Value vs Exact 35 Computational Time FEM FDM Binomial FEM FDM Binomial Exact (γʹ) Convergence (δʹ) Computational Time Σχήμα 7.11: Σύγκριση των Αριθμητικών Αποτελεσμάτων για τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, των Πεπερασμένων Διαφορών και του Διωνυμικού Μοντέλου, για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πωλήσης με S = K = 5, r =.1%, σ =.4,ω = 1.3 και T = 5/12 eps = 1e 7 με αριθμό βημάτων έως Τετραγωνικές Συναρτήσεις Βάσης για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουμε την χρήση των τετραγωνικών συναρτήσεων(quadratic shape functions) ως βάση υψηλότερης τάξης στοιχείων, για την αποτίμηση του Αμερικάνικου Δικαιώματος Πώλησης. Ορίζουμε με V N = {v(x), τέτοια ώσ τε η v(x) είναι κατά τμήματα τετραγωνική σ υνάρτησ η} 17

122 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ Σχήμα 7.12: Τετραγωνικές Συναρτήσεις Η τετραγωνική συνάρτηση θα έχει την μορφή: και θα πρέπει να ικανοποιεί: Συνεπώς θα έχουμε: ϕ(x) = a i x 2 + b i x + c i x i x x i+1 lim x x i ϕ(x) = lim x x + i ϕ(x) xɛ[x i, x i+1 ] a i 1 x 2 i 1 + b i 1 x i 1 + c i 1 = a i x 2 i + b i x i + c i Υπάρχουν Ν-1 εσωτερικοί κόμβοι και συνολικοί βαθμοί ελευθερίας είναι 3Ν-(Ν-1)-2=2Ν-1. Συνεπώς οριζούμε τις μεταβλητές και z 2i = x i, z 2i+1 = x i + x i+1, z 2i+2 = x i+1 2 ϕ i (x) = { 1 για i = j αλλού Η βάση στο [x i, x i+1 ] θα έχει την ακόλουθη μορφή z < x i (z z ϕ 2i (z) = 2i+1)(z z 2i+2) (z 2i z 2i+1)(z 2i z 2i+2) x i 1 z < x i x i+1<z z < x i+1 (z z ϕ 2i+1 (z) = 2i)(z z 2i+2) (z 2i z 2i+1)(z 2i z 2i+2) x i z < x i+1 x i+1<z 18

123 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ και z < x i (z z ϕ 2i+2 (z) = 2i)(z z 2i+1) (z 2i+2 z 2i)(z 2i+2 z 2i+1) x i z < x i+1 x i+1<z Συνεπώς η χωρική διακριτοποιήση με χρήση των τετραγωνικών συναρτησέων θα έχει την μορφή: y h (x) = 2N 1 i=1 y h,i ϕ i (x) Με χρήση της ολοκλήρωσης Gauss τύπου 3, δηλαδή με τρία βαρή w 1, w 2, w 3 και σημεία x 1, x 2, x 3 τέτοια ώστε: ˆ 1 1 g(x)dx = w 1 g(x 1 ) + w 2 g(x 2 ) + w 3 g(x 3 ) με w 1 = w 3 = 5/9 w 2 = 8/9 και x 1 = 3/5 x 2 = x 3 = 3/5 Ευκόλα μπορούμε να υπολογίσουμε τα στοιχεία του τοπικού πίνακα μάζας B ei και του stiffness A ei e i ϕ 2i ϕ 2i dx e i ϕ 2i ϕ 2i+1 dx e i ϕ 2i ϕ 2i+2 dx B ei = e i ϕ 2i+1 ϕ 2i dx e i ϕ 2i+1 ϕ 2i+1 dx e i ϕ 2i+1 ϕ 2i+2 dx e i ϕ 2i+2 ϕ 2i dx e i ϕ 2i+2 ϕ 2i+1 dx e i ϕ 2i+2 ϕ 2i+2 dx και e i ϕ 2i ϕ 2i dx e i ϕ 2i ϕ 2i+1 dx e i ϕ 2i ϕ 2i+2 dx A ei = e i ϕ 2i+1 ϕ 2i dx e i ϕ 2i+1 ϕ 2i+1 dx e i ϕ 2i+1 ϕ 2i+2 dx e i ϕ 2 i+2 ϕ 2i dx e i ϕ 2i+2 ϕ 2i+1 dx e i ϕ 2i+2 ϕ 2i+2 dx Τέλος οι πίνακες C και b δίνονται από τις (4.45) και (4.46) με εφαρμογή αντίστοιχων συνοριακών συνθηκών. Εν αντιθέσει με τις πεπερασμένες διαφορές και τα P 1 πεπερασμένα στοιχεία ο υπολογστικός χρόνος, για την υλοποίηση της PSOR ειναι αρκετά μεγάλος, για τον λόγο αυτό, παιρνουμε μικρότερο αριθμό βημάτων. Πίνακας 7.4: Αριθμητικά Αποτελέσματα για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης με χρήση τετραγωνικών συναρτήσεων P2(FEM) με K = 5, r =.1, σ =.4 M = N P2 FEM Sf P2 3 4, , , , , , , ,

124 7.1. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ Π ΩΛΗΣΗΣ FEM Quadratic Exact (αʹ) Convergence P2 για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 (βʹ) Log Error P2 για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 Σχήμα 7.13: Συγκλίση και Log Σφάλμα για το Αμερικάνικο Δικαιώμα Πώλησης με χρήση τετραγωνικών συαναρτήσεων, για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/ Τα Greeks για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης Τέλος για τα Greeks εν αντιθέσει με τα Ευρωπαϊκά δικαιώματα όπου υπάρχουν αναλυτικές σχέσεις για τον προσδιορισμό τους, στα Αμερικάνικα δικαιώματα ο προσδιορισμός του θα γίνει αριθμητικά. Στην εργασία αυτή ο προσδιορισμός γίνεται με τη χρήση των πεπερασμένων διαφορών, για τον προσδιορισμό τους με χρήση πεπερασμένων στοιχέίων παραπέμπουμε στα [1], [7]. Βασιζόμενοι στο [4] με χρήση των πεπερασμένων διαφορών θα έχουμε: Δεδομένου την τελική αξία του Αμερικάνικου διακαιωματος πώλησης από τον αλγόριθμο : Delta( ) = P (x i+1, τ final ) P (x i 1, τ final ) 2h Gamma(Γ) = P (x i+1, τ final ) 2P (x i, τ final ) + P (x i 1, τ final ) 2h Αντί της χρονικής διακριτοποίησης με χρήση πεπερασμένων στοιχείων, βασίζομενοι στην σχέση αναμέσα στα Greeks βλέπε (1.47) θα έχουμε: (7.5) (7.6) Θ + rs σ2 S 2 Γ = rp Λύνοντας ως προς Θ την ανωτέρω εξίσωση θα έχουμε: Θ = rp 1 2 σ2 S 2 Γ rs Για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12, θα έχουμε: 11

125 7.2. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ ΑΓΟΡ ΑΣ.1 Delta Greek American Delta European Delta.6 Gamma Greek American Gamma European Gamma Delta.5 Gamma Spot Price Spot Price (αʹ) Delta για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 (βʹ) Gamma για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/ Theta Greek American Theta European Theta Theta Spot Price (γʹ) Theta για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/12 Σχήμα 7.14: Τα Greeks για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Πώλησης, για K = 5, r =.1, σ =.4, T = 5/ Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς Ως δεύτερη εφαρμογή θα παρουσιάσουμε το Αμερικάνικο δικαίωμα αγοράς χώρις απόδοση μερισμάτων που όπως προαναφέραμε η τίμη του θά είναι ίδια με αυτή του Ευρωπαϊκού Δικαίωματος Αγοράς και στη συνέχεια θα προυσιάσουμε την ίδια εφαρμογή με απόδοση μερισμάτων με χρήση των πεπερασμένων στοιχείων. Με χρήση της (3.32) ως συνάρτηση εμπόδιο, μπορούμε να κάνουμε την διακριοποίηση μας με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και των πεπερασμένων διαφορών αντίστοιχα. Συνεπώς για K = 1, r =.25, σ =.6, T = 1 και χωρίς απόδοση μερισμάτων στο υποκείμενο προϊόν, με χρήση των πεπερασμένων στοιχείων θα έχουμε: 111

126 7.2. ΑΜΕΡΙΚ ΑΝΙΚΟ ΔΙΚΑ ΙΩΜΑ ΑΓΟΡ ΑΣ American Option Payoff European Option 7 Option Price Spot Price Σχήμα 7.15: Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς χωρίς καταβολή μερισμάτων για K = 1, r =.25, σ =.6, T = 1 Σχήμα 7.16: Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς χωρίς καταβολή μερισμάτων για K = 1 r =.25, σ =.6, T = 1 στις 3 διαστάσεις Πίνακας 7.5: Αριθμητικά Αποτελέσματα των μεθόδων των Πεπερασμένων Στοιχείων (FEM), των Πεπερασμενων Διαφορών και του Διωνυμικού Μοντέλου για το Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς (Χωρίς Μερίσματα) για K = 1, r =.25, σ =.6, T = 1 M = N FEM FDM Binomial 15 3,3742 3,3752 3, ,1955 3,3761 3, ,1713 3,3763 3, ,1559 3,3764 3, ,1488 3,3764 3, ,1276 3,3764 3,3759 Από τα στοιχεία του Πίνακα 7.5 και δεδομένου ότι η αναλυτική λύση για το Ευρωπαϊκό Δικαίωμα Αγοράς είναι 3,3766, παρατηρούμε εν αντιθέσει με τα πεπερασμένα στοιχεία, η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών προσεγγίζει πολύ καλά την αναλυτική μας λύση. Στον Πίνακα 7.6 παρουσιάζουμε το Αμερικάνικο Δικαίωμα Αγοράς στην περίπτωση καταβολής μερισμάτων για K = 1, r =.25, σ =.6, T = 1 και μερίσμα δ =.2 Από τα αριθμητικά αποτελέσματα του Πίνακα 7.6 και βασιζόμενοι στο [2] όπου η υπολογιστική μας λύση είναι 2,18728 παρατηρούμε ότι και οι τρεις μέθοδοι συκλίνουν εξίσου καλά στην αναλυτική μας λύση. Στο Σχήμα 7.18 παρουσιάζουμε το σφάλμα, τον υπολογιστικό χρόνο, και τη σύγκλιση στην 112