Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN"

Transcript

1 Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΛΑΝΔΡΑΚΗ ΓΑΡΥΦΑΛΙΑ Επιβλέπων καθηγητής : Μακριδάκης Χαράλαμπος

2 Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1. Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN 1.1 Προκαταρκτικά 1.2 Εκτίμηση σφάλματος Κεφάλαιο 2. ΣΥΝΕΠΕΙΑ Κεφάλαιο 3. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Κεφάλαιο 4. ΣΥΓΚΛΙΣΗ Κεφάλαιο 5. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ Βιβλιογραφία

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι μέθοδοι του Galerkin χρησιμοποιούνται πλέον σε πολλούς τομείς των μαθηματικών,εδώ θα μελετήσουμε τη διακριτοποίηση προβλημάτων αρχικών τιμών.οι μέθοδοι χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, την ασυνεχή και την συνεχή μέθοδο.εδώ θα αναλύσουμε ξεχωριστά και τις δύο μεθόδους. Οι μέθοδοι του Galerkin είναι μονοβηματικής φύσης και δίνουν προσεγγίσεις της λύσης σε όλο το διάστημα στο οποίο αυτή ορίζεται, σε αντίθεση με άλλες μεθόδους,όπως αυτές των Runge-Kutta και τις πολυβηματικές μεθόδους, οι οποίες δίνουν προσεγγίσεις στους κόμβους ενός διαμερισμού.επιπλέον ένα σημαντικό πλεονέκτημα των μεθόδων του Galerkin είναι ότι μπορούμε να μελετήσουμε τις ιδιότητες τους χρησιμοποιώντας τεχνικές που εφαρμόζονται σε μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων.αρκεί να γίνει κατάλληλη τροποποίηση και επέκταση των τεχνικών αυτών οπότε η μελέτη της μεθόδου γίνεται ευκολότερη και πιο συστηματική.γι αυτό το λόγο οι συγκεκριμένοι μέθοδοι ειναι τόσο διαδεδομένοι και εύχρηστοι καθώς ακόμα και όταν εφαρμόζονται σε δύσκολα προβλήματα διευκολύνουν την ανάλυση και την μελέτη της μεθόδου. Στα κεφάλαια που ακολουθούν θα αναλύσουμε τις μεθόδους του Galerkin και θα εκτιμήσουμε το σφάλμα στο κεφάλαιο ένα,θα αποδείξουμε συνέπεια της μεθόδου στο κεφάλαιο δύο,στο κεφάλαιο τρία αποδεικνύουμε ευστάθεια και τέλος στο κεφάλαιο τέσσερα και πέντε θα αποδείξουμε σύγκλιση της μεθόδου και την ύπαρξη των προσεγγιστικών λύσεων που μας δίνει η μέθοδος.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN 1.1 ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΑ Θα περιγράψουμε τις μεθόδους του Galerkin για προβλήματα αρχικών τιμών της μορφής y = f(t, y), t [a, b], y(a) = y, όπου f: [a, b] R R δεδομένη ομαλή συνάρτηση, y R και y [a, b] R η ζητούμενη λύση. Έστω Ν N, h (b a)/n και t a + nh, n = 0,, N ο ομοιόρφος διαμερισμός του διαστήματος [a, b] με βήμα h. Θέτουμε Ι (t, t ], n = 0,, N 1 και περιοριζόμαστε στην περίπτωση ομοιόρφου διαμερισμού, αφού μπορεί να γενικευτεί και στην περίπτωση του μη ομοιόμορφου, λόγω της μονοβηματικής φύσεως της μεθόδου. Ψάχνουμε προσέγγιση Υ της λύσης y του Π.Α.Τ. Ζητείται Υ S όπου με S συμβολίζουμε το σύνολο των συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το [a, b], οι οποίες είναι πολυώνυμα βαθμού το πολύ q 1 σε κάθε υποδιάστημα Ι = (t, t ]. Δηλαδή S = { u: [a, b] R / (u )(t) = a t, a R }. H προσέγγιση Υ πρέπει να ικανοποιεί τα εξής: Y(a) = y και (G.1) Y (t)χ(t)dt + για n = 0,1,, N. (Y Y )χ = ft, Y(t)χ(t)dt χ P (I ),

5 Τα στοιχεία του S μπορεί να είναι ασυνεχή στα σημεία t,,t γι αυτο συμβολίζουμε v =lim v(t) και v =v(t ) για v S. Θα εξηγήσουμε πως καταλήγουμε στον παραπάνω τύπο : Εστω οτι η προσέγγιση Υ P (I ) ικανοποιεί το Π.Α.Τ δηλαδή Y (t) = f(t, Y(t)) ισοδύναμα Y (t)χ(t)dt = ft, Y(t)χ(t)dt χ P (I ). Ολοκληρώνουμε το αριστερό μέρος κατα μέλη και έχουμε Y (t)χ(t)dt = Y(t)χ (t)dt + Y χ Y χ. Έχοντας υποθέσει οτι έχουμε ηδη προσδιορίσει την Υ στο [a, t ], αντικαθιστούμε την τιμή Y με την προσέγγιση Y και έχουμε Y(t)χ (t) +Y χ Y χ = ft, Y(t)χ(t)dt = Y (t)χ(t)dt Y χ + Y χ +Y χ Y χ η οποία οδηγεί στην (G.1). Παράδειγμα Θεωρούμε την απλούστερη περίπτωση της ασυνεχούς μεθόδου του Galerkin, όταν η προσέγγιση γίνεται με κατά τμήματα σταθερές συναρτήσεις, δηλαδή για q = 1. Σ αυτή την περίπτωση η προσέγγιση Y λαμβάνει την ίδια τιμή σε κάθε σημείο του I, συνεπώς ισχύει Y(t) = Y, t I. Επίσης,προφανώς, Y = Y. Αρα η μέθοδος γράφεται στην μορφή (Y Y )χ = f(t, Y )χ(t)dt χ P (I ), και επομένως, αφού οι συναρτήσεις χ είναι κατά τμήματα σταθερές, Y Y = f(t, Y )dt, n = 0,, N 1.

6 Στην περίπτωση γραμμικής διαφορικής εξίσωσης y (t) = a(t)y(t) + f(t), η παραπάνω σχέση γράφεται ως εξής : Y Y = a(t)dt Y + f(t)dt, n = 0,, N ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Για την εκτίμηση του σφάλματος e = y Υ θα εισάγουμε μια προβολή y της ακριβούς λύσης y στο S διότι η y δεν ανήκει σ αυτο. Ετσι θέτοντας ρ= y y θ= y Υ το σφάλμα γράφεται στην μορφή e = ρ + θ. και Στον ορισμό της προβολή y S επιβάλουμε τις ακόλουθες ιδιότητες: y = y(a) = y, y = y, (y y )(t)u(t)dt = 0 u P (I ), n = 0,, N 1. Θα αποδείξουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της y : Με βάση τις παραπάνω ιδιότητες θα δείξουμε οτι η y είναι καλώς ορισμένη στο I. Θέτω Έτσι, Απο τις σχέσεις y(t) = y + a (t t ), t I. y = y(t ) = y + a (t t ) = y. y(t) = y + a (t t ) (y y )(t)u (t)dt = 0, u : = (t t ), i = 1,, q 1 προκύπτει ενα σύστημα q 1 έξισώσεων με αγνώστους τα a,..., a οπότε για να έχει μοναδίκη λύση αρκεί το ομογενές να έχει μόνο την τετριμμένη.

7 Επιλέγω y =0 και έχω y (t)= a (t t ) = (t t )u(t), u(t) = a (t t ) όπου u P (I ) και t Ι. Αρα (t t )(t)[u(t)] dt = 0 συνεπώς u = 0 δηλαδή a,..., a = 0. Δηλαδη απoδείξαμε οτι υπάρχει ακριβώς ενα στοιχείο του S με τις επιθυμητές ιδιότητες. Για την εκτίμηση του ρ = y y θα διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: Για q = 1,δηλαδή για κατά τμήματα σταθερά πολυώνυμα ισχύει : y(t) = y t I οπότε έχουμε : ρ(t) = y(t) y = y(t) y(t ) = απο Cauchy-Schwarz δηλαδή, y (s)ds ρ(t) ( y (s) ds) 2 (t t ) y (s) ds sup ρ(t) h y (s) ds. Άρα τελικά έχουμε sup ρ(t) hsup y (t).

8 Για q 2, δηλαδή στην γενική περίπτωση, θα εφαρμόσουμε το παρακάτω λήμμα για την εκτίμηση του σφάλματος ρ. Λήμμα : Έστω Ι = (t, t ] ένα φραγμένο διάστημα μήκους h, q N, y C [t, t ] και y P (I ) η προβολή όπως την ορίσαμε παραπάνω.τότε υπάρχει μία σταθερα C τέτοια ώστε για το σφάλμα ρ να ισχύει Απόδειξη λήμματος : sup ρ(t) Ch y () (s) ds ή ισοδύναμα sup ρ(t) Ch sup y () (t) Θεωρούμε την γραμμική απεικόνιση y y η οποία αφήνει τα στοιχεία του P (I ) αναλλοίωτα,αφού η y είναι καλώς ορισμένη, και είναι ευσταθής.θεωρούμε μια συνάρτηση u C[0,1] και ζητείται u P τέτοια ώστε u(1) = u(1) (u u)(t)u(t) dt = 0 u P και θα αποδείξουμε ότι η γραμμική απεικόνιση u u είναι ευσταθής,δηλαδή ότι υπάρχει σταθερά c,που εξαρτάται απ το q αλλά είναι ανεξάρτητη της u,τέτοια ώστε max u(t) c max u(t). Υποθέτουμε ότι u(1) = 0 οπότε και u(1) = 0.Έχουμε ορίσει u P οπότε μπορούμε να την γράψουμε στην μορφή : u(t) = (1 t)u(t) με u P.Τώρα έχουμε u(t) dt = (1 t) u(t) dt (1 t) u(t) dt = u(t)u(t)dt. Όμως απο τον ορισμό της u ξέρουμε ότι (u u)(t)u(t) dt = 0, δηλαδή ότι στο διάστημα [0,1] έχουμε ορθογωνιότητα, οπότε ισχύει Επομένως ισχύει u(t)u(t)dt u(t) dt = u(t)u(t)dt u(t)u(t)dt

9 και συνεπώς έχουμε u(t) dt max u(t) u(t)dt. Παρατηρούμε ότι το αριστερό μέλος είναι το τετράγωνο μιας νόρμας της u όπως και ο δεύτερος παράγοντας του γινομένου στο δεξιό μέλος.όμως γνωρίζουμε ότι όλες οι νόρμες σε χώρο πεπερασμένης διάστασης είναι ισοδύναμες αρα καταλήγουμε στην εξής σχέση max u(t) c max u(t) με κατάλληλη σταθερά c. Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται η ευστάθεια για γενικό διάστημα Ι,δηλαδή για συναρτήσεις y C[t, t ] ισχύει η εκτίμηση (Ρ.1) max y(t) c max y(t). Έστω λοιπόν y μια συνάρτηση όπως στην εκφώνηση του λήμματος.θεωρούμε το ρ P (I ) να είναι το πολυώνυμο Taylor της y ως προς το σημείο t οπότε ισχύει ότι ρ = ρ και σύμφωνα με την (Ρ.1) ισχύει max y ρ (t) c max y ρ (t). Τώρα, y y = y ρ y ρ οπότε χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα λαμβάνουμε y y y ρ + y ρ max (y y)(t) (1 + c) max y ρ (t). Αρκεί επομένως να υπολογίσουμε την διαφορά y ρ όπου το ρ μπορεί να αντικατασταθεί από οποιοδήποτε πολυώνυμο βαθμού το πολύ q 1. Τώρα,απο ανάπτυγμα Taylor, έχουμε 1 y(t) = ρ (t) + (q 1)! (t s) y () (s)ds t I max y(t) ρ (t) 1 (q 1)! max t s y () (s)ds

10 Όμως απο την ανισότητα των Cauchy-Schwarz,έχουμε t s y () (s)ds t s ds/ y () (s) ds Οπότε = (h ) / y () (s) ds /. max y(t) ρ (t) (h ) / y () (s) ds και έπεται το εξής : max (y y)(t) (1 + c) 1 2q 1 (h ) / Συνεπώς sup ρ(t) Ch y () (s) ds. / y () (s) ds / /.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΤΗΣ ΑΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΟΥ GALERKIN Θα μελετήσουμε την συνέπεια της μεθόδου για την προβολή y S της ακριβούς λύσης y του Π.Α.Τ. Εστω E P (Ι ) το σφάλμα συνέπειας της ασυνεχούς μεθόδου του Galerkin για την y, [y (t) f(t, y(t)) ]χ(t)dt + (y y )χ = Ε(t)χ(t)dt, χ P (I ) (*) Θα εκτιμήσουμε το Ε(t) με βάση τον παραπάνω τύπο. Κατ αρχάς γνωρίζουμε απο τον ορισμό της y S ότι Έστω χ P (I ), τότε, (y y )(t)χ(t)dt = (y y)(t)χ(t)dt = 0 χ P (I ). (y y)(t)χ (t)dt + (y y )χ (y y )χ = Οπότε έχουμε = (y y )χ = (y y ) χ. y (t)χ(t)dt = y (t)χ(t)dt + (y y ) χ (**). Απο τις (*) και (**) έχουμε : Ε(t)χ(t)dt Ε(t)x(t)dt Θέτω χ = Ε και έχω : Ε(t) dt = [y (t) f(t, y(t)) ]χ(t)dt χ P (I ) = [f(t, y(t)) f(t, y(t)) ]χ(t)dt. = [f(t, y(t)) f(t, y(t)) ]E(t)dt.

12 Όμως f Lipschitz και χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy Schwarz και την αριθμητική - γεωμετρική ανισότητα, για το δεξιό μέλος τη ισότητας,καταλήγουμε στο εξης : [f(t, y(t)) f(t, y(t)) ]E(t)dt L y(t) y(t) E(t) dt Συνεπώς έχουμε L ( y(t) y(t) / dt) ( E(t) dt) y(t) y(t) dt + E(t) dt. / Ε(t) dt y(t) y(t) dt + E(t) dt Ε(t) dt L y(t) y(t) dt. Όμως απο το λήμμα που χρησιμοποιήσαμε για την απόδειξη του σφάλματος ρ έχουμε ότι sup Ε(t) Ch y () (s) ds Από τις παραπάνω σχέσεις έπεται η επιθυμητή εκτίμηση συνέπειας Ε(t) dt Ch y () (t) dt.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Έστω Y S η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών με Y(a) = y και Ζ S μια άλλη λύση του ίδιου προβλήματος με αρχική τιμή Ζ(α) = z. Και οι δύο λύσεις ικανοποιούν την ασυνεχή μέθοδο Galerkin δηλαδή έχουμε : Y (t)χ(t)dt + (Y Y )χ = ft, Y(t)χ(t)dt x P (I ) Z (t)χ(t)dt + (Z Z )χ = ft, Z(t)χ(t)dt x P (I ) n = 0,, N 1, Αφαιρούμε τις 2 σχέσεις κατα μέλη και συμβολίζουμε με ζ την διαφορά Y Ζ οπότε λαμβάνουμε : ζ (t)χ(t)dt + (ζ ζ )χ = ft, Y(t) ft, Z(t)χ(t)dt (Ε.1) Θέτω χ = 2ζ οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται : ζ(t) dt + 2 ζ 2 ζ ζ = ft, Y(t) ft, Z(t)2ζdt 2L ζ(t) dt (αφού f Lipschitz) ζ ζ + 2 ζ 2 ζ ζ 2L ζ(t) dt ζ ζ + 2 ζ ζ + 2L ζ(t) dt. Όμως 2 ζ ζ ζ + ζ συνεπώς έχουμε ζ ζ + 2L ζ(t) dt (Ε.2) Για να προχωρήσουμε στην απόδειξη της ευστάθειας θα αναφέρουμε κάποια βασικά πράγματα για τους τύπους ολοκλήρωσης του Radau. Άν [a, b] ένα διάστημα και q N, τότε υπάρχουν μονοσήμαντα ορισμένοι κόμβοι a < τ < < τ = b και βάρη w,, w τέτοιοι ώστε ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης Q,

14 Q (f) = w f(τ ), να ολοκληρώνει πολυώνυμα βαθμού έως και 2q 2 ακριβώς, δηλαδή p(t)dt = Q (p) p P. Έιμαστε τώρα στη θέση να συνεχίσουμε την απόδειξη της ευστάθειας χρησιμοποιώντας το παρακάτω λήμμα : Λήμμα Έστω 0< τ < < τ = 1 και w,, w οι κόμβοι και τα βάρη του τύπου ολοκλήρωσης Radau στο διάστημα [0,1], ρ P και ρ P το πολυώνυμο παρεμβολής της συνάρτησης φ, φ(t) = () Τότε ισχύει t (0,1], στους κόμβους τ,..., τ. ή ρ (t) ρ(t)dt + ρ(0)ρ(0) = 1 2 ρ(1) + w τ ρ(τ ) ρ (t) Απόδειξη λήμματος ρ(t)dt + ρ(0)ρ(0) 1\2 [ ρ(1) + ρ(t) dt] Εισάγουμε το πολυώνυμο u P με u(t) = [()()] ρ(t) = ρ(0) + tu(t). Έτσι έχουμε φ(t) = ρ(t)/t = u(t) + ρ(0)/t. Επιπλεον το ρ γράφεται στην μορφή : ρ = u + ρ(0)λ οπου Λ P είναι το πολυώνυμο παρεμβολής της συνάρτησης 1/t στα σημεία του Radau, Λ(t ) = 1/t i = 1,, q.

15 Αρχικά υπολογίζουμε το γινόμενο ρ (t) ρ(t)dt = [u(t) + tu (t)][u(t) + ρ(0)λ] dt = = u(t) dt = u(t) dt + t u (t) u(t)dt + ρ(0)[ tu (t)λ(t)dt + u(t)λ(t)dt] u(1) u(t) dt 2 + ρ(0)[ tu (t)λ(t)dt + u(t)λ(t)dt] = 1 2 u(t) dt u(1) + ρ(0)[ + u(t)λ(t)dt]. tu (t)λ(t)dt Τώρα,για s P,χρησιμοποιώντας την ακρίβεια του τύπου του Radau, έχουμε ts (t)λ(t)dt = s (t)dt = s(1) s(0) οποτε στην παραπάνω σχέση έχουμε tu (t)λ(t)dt = u(1) u(0) και tλ (t)λ(t)dt = 1 Λ(0). Επίσης αφου το πολυώνυμο uλ ολοκληρώνεται ακριβώς από τον τύπο Radau λαμβάνουμε τελικά ρ (t) ρ(t)dt = 1 2 u(t) dt u(1) + ρ(0)[ u(1) u(0) + w u(τ )τ ]

16 Όμως u(1) = [ρ(1) ρ(0)]/1, ρ(0)ρ(0) = ρ(0)(u(0) + ρ(0)λ) = ρ(0)u(0) + ρ(0) Λ(0) και επιπλέον το u είναι βαθμού έως 2q 2 δηλαδή ολοκληρώνεται ακριβώς απ τον τύπο του Radau οπότε έχουμε ρ (t) ρ(t)dt = 1 2 [ρ(1) ρ(0)] + ρ(0)u(1) ρ(0)u(0) + w u(τ )τ = ρ(1) + ρ(0) ρ(1)ρ(0) + ρ(0)[ρ(1) ρ(0)] ρ(0)u(0) ρ(0) w u(τ ) + w [u(τ ) + 2u(τ )τ ρ(0)]. Οπότε τελικά λαμβάνουμε την εξής σχέση ρ (t) ρ(t)dt = ρ(1) + [Λ(0) ]ρ(0) w [u(τ ) + 2u(τ )τ ρ(0)] (E.3) Για το πολυώνυμο παρεμβολής γνωρίζουμε ότι tλ (t)λ(t)dt = 1 Λ(0) Λ(0) = 1 tλ (t)λ(t)dt και ολοκληρώνοντας κατα μέλη έχουμε Δηλαδή = 1 () dt Λ(0) = [Λ(1)] [Λ(t)] dt = [Λ(t)] dt Λ(0) = w τ,αφού Λ είναι το πολυώνυμο παρεμβολής της 1/t στα σημεία του Radau. Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην (Ε.3) και χρησιμοποιώντας την σχέση

17 [ρ(0)] τ + [u(τ )] + 2ρ(0)u(τ )τ = τ ρ(τ ), η οποία έπεται απο την σχέση u(τ) = [()()] u(τ) + ρ(0)τ = ρ(τ)τ αν την υψώσουμε στο τετράγωνο, οδηγούμαστε στην ζητούμενη σχέση. Έχουμε δηλαδή Επί πλέον, ρ (t) ρ(t)dt + ρ(0)ρ(0) = 1\2 [ ρ(1) + w τ ρ(τ ) ] ρ (t) ρ(t)dt + ρ(0)ρ(0) [ ρ(1) + w ρ(τ ) ] = [ ρ(1) + ρ(t) dt. Για την συνέχεια της αποδειξης θα χρησιμοποιήσουμε το προηγούμενο λήμμα στο διάστημα [t, t ] και εχουμε το εξης : Έστω ρ P στο διάστημα [t, t ] και έστω φ(t) = (t t )ρ(t)/(t t ) και ρ P το πολυώνυμο παρεμβολής της συνάρτησης φ στα σημεία του Radau t,, i = 1,, q. Tότε ισχύει ρ (t)ρ(t)dt + ρ(t ) ρ(t ) = 1 2 [ ρ(t ) + w τ ρ(τ, ) ] (Ε.4) [ ρ(t ) + ρ(t) dt ] Επιπλέον θα χρησιμοποιήσουμε τις παρακάτω σχέσεις για την ολοκλήρωση της απόδειξης. u(t ) u(t) dt u P (I ) (Ε.5) u(t) dt / u (t) dt / u P (I ) (E.6) όπου u P (I ) είναι το πολυώνυμο παρεμβολής της συνάρτησης hu(t)/(t t ) στα σημεία του Radau t,,, t, στο διάστημα I και επίσης 0 < τ < < τ = 1 τα σημεία του Radau στο [0,1].

18 Στην σχέση (Ε.1) θέτουμε χ = ζ, όπου ζ, ζ έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τα ρ, ρ πού ορίσαμε παραπάνω, και έχουμε ζ (t)ζ(t)dt + ζ ζ = ζ ζ + ft, Y(t) ft, Z(t)ζ(t)dt. Όμως ζ (t)ζ(t)dt + ζ ζ απο Lipschitz το δεξιό μέλος γίνεται [ ζ + ζ(t) dt] απο (Ε.4) και ζ ζ + ft, Y(t) ft, Z(t)ζ(t)dt έχουμε ζ ζ + L ζ(t) ζ(t) οπότε ζ + ζ(t) dt 2ζ ζ + 2L ζ(t) ζ(t) dt 2ζ ζ + 2L ζ(t) dt απο (Ε.6) / ζ(t) dt/ 2ζ ζ + 2L ζ(t) dt Τώρα 2ζ ζ 2c ζ + ζ 2ζ ζ 2c ζ + ζ(t) dt και απο την (Ε.5) έχουμε αρα τελικά λαμβάνουμε ζ + ζ(t) dt 2c ζ + ζ(t) dt + 2L ζ(t) dt ζ + ζ(t) dt 2c ζ ζ(t) dt 2c ζ. Θεωρούμε h αρκετά μικρό, ώστε οπότε λαμβάνουμε 2L ζ(t) dt 16chL ζ. Θέτω c = 16cL και χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση στην (Ε.2) λαμβάνουμε ζ ζ + 2L ζ(t) dt (1 + c h) ζ e ζ οπότε επαγωγικά συμπαιρένουμε ότι :

19 για n=0 για n=1 ζ e ζ ζ e ζ e ζ... ζ e ζ = e () ζ. Επομένως έχουμε max ζ e ( )/ ζ ή ισοδύναμα max Y(t ) Z(t ) e ( )/ Y(a) Z(a). Επί πλέον, μπορούμε να αποδείξουμε ευστάθεια σε όλο το διάστημα [α,b]. Κατ αρχάς ισχυει η ακόλουθη εκτίμηση : sup ζ(t) ζ(t) dt διότι : ζ(t) dt = (t t ) ζ(y) dy όπου ζ(y) = ζ(t + hy), y [0,1] και προφανώς είναι πολυώνυμο ίδιου βαθμού με το ζ στο [0,1]. Όμως (t t ) ζ(y) dy Chmax ζ(y) = Chmax ζ(t). Συνδιάζοντας την παραπάνω σχέση με την 2L ζ(t) dt 16chL ζ (απο την απόδειξη της ευστάθειας στο [t, t ] ) λαμβάνουμε sup ζ(t) ζ = 8c ζ. Επομένως όπως και στην απόδειξη της ευστάθειας στο διάστημα [t, t ] καταλήγουμε στο εξής : sup ζ(t) 2 2ce ( )/ ζ ή ισοδύναμα sup Y(t) Z(t) 2 2ce ( )/ Y(a) Z(a).

20 3.2 Β-ευστάθεια ασυνεχών μεθόδων Galerkin Για να αποδέιξουμε ότι η ασυνεχής μέθοδος του Galerkin είναι Β-ευσταθής αρκεί να δείξουμε ότι για οποιεσδήποτε λύσεις, που ικανοποιούν τον τύπο της μεθόδου και αντιστοιχούν στις αρχικές τιμές y, z,ισχύει y z y z. Σημειώνουμε ότι συμβολίζουμε με την ευκλείδια νόρμα. Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε τα εξής : Υποθέτουμε ότι η f είναι φθίνουσα συνάρτηση ως προς την δεύτερη μεταβλητή της. Επιλέγω χ = ζ = Υ Ζ στην (Ε.1) οπότε το δεξιό μέλος γίνεται μη θετικό εφόσον f φθίνουσα και ικανοποιέι την εξής : Ετσι έχουμε ft, Y(t) ft, Z(t)Y(t) Z(t) 0 ζ (t)ζ(t)dt + ζ ζ ζ + ζ ζ ζ. Όμως παρατηρούμε ότι ζ ζ ζ = 2 ζ ζ ζ αρα έχουμε ζ ζ ζ ζ ζ ζ Επομένως έχουμε όντως Y(t ) Z(t ) Y(t ) Z(t ) ή Y Z Y Z. Καταλήξαμε επομένως στο συμπέρασμα ότι η ασυνεχής μέθοδος του Galerkin είναι Β-ευσταθής.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΓΚΛΙΣΗ Σκοπός μας είναι να υπολογίσουμε το σφάλμα e = y Y όπου y η ακριβής λύση και Υ η προσέγγιση που δίνει η ασυνεχής μέθοδος Galerkin. Έχουμε εισάγει την y να είναι η προβολή της ακριβούς λύσης και με την βοήθεια της γράφουμε το σφάλμα e στην μορφή e = ρ + θ όπου ρ = y y και θ = y Υ. Το πρώτο μέρος εχει ήδη υπολογιστεί αρα απομένει να υπολογίσουμε το θ. Θα χρησιμοποιήσουμε τις ακόλουθες σχέσεις : Y (t)χ(t)dt + (Y Y ) χ = ft, Y(t)χ(t)dt και τον τύπο της συνέπειας της μεθόδου για την προβολή y Ε(t)χ(t)dt = [y (t) f(t, y(t)) ]χ(t)dt + (y y ) χ. Αφαιρώντας την πρώτη απ την δεύτερη λαμβάνουμε (Σ.1) θ (t)χ(t)dt + (θ θ ) χ = ft, y(t) ft, Y(t)χ(t)dt + Ε(t)χ(t)dt. Επιλέγω χ = 2θ και έχουμε το εξής : 2 θ (t)θ(t)dt + (θ θ )2θ = ft, y(t) ft, Y(t)2θ(t)dt + Ε(t)2θ(t)dt θ θ + 2 θ 2θ θ 2L θ(t) dt + 2 Ε(t)θ(t)dt θ θ + 2θ θ + 2L θ(t) dt + 2 Ε(t)θ(t)dt θ θ + 2L θ(t) dt + 2 Ε(t)θ(t)dt. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy-Schwartz και την αριθμητική-γεωμετρική ανισότητα για τον τελευταίο όρο στο δεξιό μέλος παίρνουμε

22 2 Ε(t)θ(t)dt 2( E(t) dt) E(t) dt ( θ(t) dt) + θ(t) dt. Επομένως με βάση το παραπάνω έχουμε θ θ + (2L + 1) θ(t) dt + E(t) dt (Σ.2). Επιλέγοντας τώρα χ = θ στην (Σ.1) (όπου οι θ και θ συνδέονται με τα ρ και ρ όπως στο λήμμα που χρησιμοποιήσαμε στην απόδειξη της ευστάθειας ) και χρησιμοποιώντας τον τύπο (Ε.4) και την συνθήκη Lipschitz λαμβάνουμε την εξής σχέση : θ (t)θ(t)dt + θ θ = θ θ + ft, y(t) ft, Y(t)θ(t)dt + Ε(t)θ(t)dt θ + θ dt 2θ θ + 2L θ(t) θ(t)dt + 2 Ε(t)θ(t)dt. Όπως και στην απόδειξη της ευστάθειας θα εφαρμόσουμε την ανισότητα Cauchy- Schwarz και χρησιμοποιώντας την (Ε.6) οδηγούμαστε στη εκτίμηση θ + θ dt 2θ θ + 2L θ(t) dt + 2 Ε(t)θ(t)dt 2c θ + 1 2h θ(t) dt + 2L 1 θ(t) dt + 2 Ε(t)θ(t)dt τ 2L θ(t) dt 2c θ + 2 Ε(t)θ(t)dt. Όμως απο γνωστές ανισότητες και με βάση την (Ε.6) έχουμε 2 Ε(t)θ(t)dt E(t) dt + θ(t) dt E(t) dt + θ(t) dt. Οπότε έχουμε 1 2h 2L 1 1 τ τ θ(t) dt 2c θ + E(t) dt.

23 Για h αρκετά μικρό ώστε 2L η παραπάνω μας δίνει (2L + 1) θ(t) dt με c = max{8c(2l + 1), 4(2L + 1)}. hc θ + hc E(t) dt Συνδιάζοντας την παραπάνω σχέση με την (Σ.2) λαμβάνουμε θ (1 + hc ) θ + E(t) dt. Απο αυτήν την εκτίμηση, επαγωγικά, συμπαιρένουμε ότι θ e () θ + E(t) dt n = 1,, N Τώρα, θ = y(a) Y(a) = y y = 0. Επίσης σύμφωνα με την εκτίμηση συνέπειας έχουμε Επομένως λαμβάνουμε τελικά από την οποία έπεται ότι ή ισοδύναμα E(t) dt Ch θ Ce () h y () (t) dt. y () (t) dt max θ Ce ()/ h max y(t ) Y(t ) Ce ()/ h y () (t) dt / y () (t) dt που είναι η επιθυμητή εκτίμηση του σφάλματος στους κόμβους. / Επιπλέον θα αποδείξουμε την σύγκλιση σε όλο το διάστημα [α, b] με όμοιο τρόπο όπως στην απόδειξη της ευστάθειας.

24 Κατ αρχάς γνωρίζουμε ότι sup θ(t) θ(t) dt. Συνδυάζοντας αυτή την εκτίμηση με την σχέση λαμβάνουμε (2L + 1) θ(t) dt sup θ(t) hc θ + hc E(t) dt θ + E(t) dt. Επομένως αν λάβουμε υπ όψιν μας την εκτίμηση του σφάλματος στους κόμβους που υπολογίσαμε παραπάνω καθώς και την εκτίμηση συνέπειας καταλήγουμε στο εξής : με κατάλληλη σταθερά C. Ε(t) dt Ch y () (t) dt sup [,] θ(t) C y () (t) dt/ h Τέλος απο γνωστό λήμμα γνωρίζουμε ότι sup ρ(t) Ch sup y () (t) όποτε καταλήγουμε στην εξής σχέση : sup [,] y(t) Υ(t) Ch που είναι η επιθυμητή εκτίμηση του σφάλματος σε όλο το διάστημα [α, b]. Σημειώνουμε επίσης ότι στην παραπάνω σχέση υποθέτουμε ότι η ακριβής λύση είναι q φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, b].

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ Θα αποδείξουμε αρχικά ότι υπάρχουν οι προσεγγιστικές λύσεις της ασυνεχούς μεθόδου Galerkin, δηλαδή ότι η προσέγγιση Y S είναι όντως καλώς ορισμένη, και στη συνέχεια ότι είναι μοναδική. Έστω λοιπόν Υ, Ζ δύο λύσεις που ικανοποιούν την εξίσωση της ασυνεχούς μεθόδου τέτοιες ώστε Ζ = Y.Τότε για την διαφορά τους ζ = Y Z, όπως έχουμε αποδείξει στο κεφάλαιο της ευστάθειας, ισχύει ζ + ζ(t) dt Αφού τώρα ζ = Y Z = 0 έχουμε τελικά 2ζ ζ + 2L ζ(t) dt. 1 2L τ h ζ(t) dt 0. Για h < τ /(2L), ο συντελεστής στο αριστερό μέλος είναι θετικός και αμέσως συμπαιρένουμε ότι ζ = 0, δηλαδή ότι Y = Z. Για να αποδείξουμε ύπαρξη της λύσης θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer το οποίο μας λέει το εξής : Αν Κ είναι ένα μη κενό, κυρτό, κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του R και f K K μια συνεχής συνάρτηση, τότε η f έχει στο Κ τουλάχιστον ένα σταθερό σημείο, δηλαδή x K τέτοιο ώστε f(x ) = x. Έστω λοιπόν w P (I ) και w P (I ) το πολυώνυμο παραμβολής της συνάρτησης hw(t)/(t t ) στα σημεία του Radau t,, i = 1,, q στο διάστημα [t, t ], t < t, < < t, = t. Θα προσπαθήσουμε να γράψουμε την εξίσωση της μεθόδου σε καταλληλότερη μορφή για τους σκοπούς μας γι αυτο εισάγουμε στον P (I ) το εσωτερικό γινόμενο ως u, w = u(t)w(t)dt u, w P (I ).

26 Ορίζουμε τώρα την απεικόνιση G: P (I ) P (I ) (Y. 1) G(u), w = u (t) ft, u(t) w(t)dt + (u Y )w, για κάθε u, w P (I ). Όμως το G(u) είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ q 1 άρα γράφεται στην μορφή G(u)(t) = a + a t + + a t και λαμβάνοντας υπ όψιν το γεγονός ότι ικανοποιείται η (Υ.1) για τις συναρτήσεις w (t) = t, j = 0,, q 1,οι οποίες αποτελούν βάση του P (I ), διαπιστώνουμε ότι το πρόβλημα (Υ.1) μπορεί να γραφεί ως γραμμικό σύστημα q εξισώσεων με q αγνώστους. Έχουμε επομένως ενα σύστημα ο πίνακας του οποίου είναι πίνακας του Gram για τις ανεξάρτητες συναρτήσεις w,, w, συνεπώς, αντιστρέψιμος. Αρα μπορούμε να γράψουμε την (Ε.1) ισοδύναμα στην μορφή G(Y) = 0. Αρκεί επομένως να βρούμε το σημείο Y το οποίο μηδενίζει την συνάρτηση.σύμφωνα με την (Y. 1), για u P (I ),έχουμε G(u), u = u (t)u(t)dt + u u ft, u(t)u(t)dt Y u. Όμως απο την (Ε.4) έχουμε (Y. 2) G(u), u 1 2 u + 1 2h u(t) dt ft, u(t)u(t)dt Y u. Χρησιμοποιώντας την συνθήκη Lipschitz και την ανισότητα των Cauchy-Schwarz έχουμε ft, u(t)u(t)dt = ft, u(t) f(t, 0)u(t)dt f(t, 0)u(t)dt L u(t) u(t) dt + f(t, 0) u(t) dt / u(t) dt / u(t) dt

27 / + f(t, 0) dt / u(t) dt. Επομένως, σύμφωνα με την (Ε.6) και την αριθμητική-γεωμετρική ανισότητα, ft, u(t)u(t)dt L τ u(t) dt + 1 τ f(t, 0) dt / L + 1 u(t) dt + 1 f(t, 0) dt τ 4τ / u(t) dt L + 1 ft, u(t)u(t)dt u(t) dt 1 f(t, 0) dt. τ 4τ Απομένει να υπολογίσουμε τον τελευταιό όρο της (Υ.2). Προφανώς, Y u c Y + 1 4h u για οποιαδήποτε θετική σταθερά c, οπότε, σύμφωνα με την (Ε.5), Y u c Y + 1 4h u(t) dt Y u c Y 1 4h u(t) dt. Τώρα,σύμφωνα με τους παραπάνω υπολογισμούς, η (Υ.2) δίνει G(u), u 1 4h L + 1 u(t) dt c Y 1 f(t, 0) dt. τ 4τ Για h < τ /(4L + 4) ο συντελεστής του πρώτου όρου στο δεξιό μέλος είναι θετικός, οπότε για u με αρκετά μεγάλη νόρμα συμπεραίνουμε ότι G(u), u 0. Έχουμε επομένως,σύμφωνα με το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer, την ύπαρξη ενος σημείου στο οποίο μηδενίζεται η G.

28 Βιβλιογραφία 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, ΓΕΩΡΓΙΟΣ Δ. ΑΚΡΙΒΗΣ, ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Α. ΔΟΥΓΑΛΗΣ 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΓΕΩΡΓΙΟΣ Δ. ΑΚΡΙΒΗΣ, ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Α. ΔΟΥΓΑΛΗΣ 3. Understanding and implementing the finite element, Mark S. Gockenbach

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση Κεφάλαιο 3 Πρόβλημα δύο σημείων Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μεθόδο πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα Σ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως, τα οποία καλούνται και προβλήματα δύο σημείων. Ο λόγος που θα ασχοληθούμε

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα.

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα. Άσκηση Έστω f, g: κυρτές συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή Λύση Θα δείξουμε ότι η h ( ) Θέτουμε h( ) gof ( ) g f ( ) είναι γνησίως αύξουσα h( ) g f ( ) f ( ) Έχουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές

Πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ο πίνακας: 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑ RC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΚΥΚΛΩΜΑ RC ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑ ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΙΕΓΕΡΣΗ Εννοούμε την απόκριση ενός γραμμικού, χρονικά αμετάβλητου κυκλώματος σε μια μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() εφαρμοζόμενη στον χρόνο = 0 (απόκριση μηδενικής κατάστασης). Η

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες (1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από 4 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου ΥΠΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ-ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΕΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ - ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση Αφορμή γι αυτή τη σύντομη εργασία έδωσε μια ημερίδα διδασκαλίας των Μαθηματικών, η οποία οργανώθηκε από το Σχολικό Σύμβουλο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι για την επίλυση ΠΑΤ Δ.Ε.

Αριθμητικές Μέθοδοι για την επίλυση ΠΑΤ Δ.Ε. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι για την επίλυση ΠΑΤ Δ.Ε. 4.1 Προβλήματα αρχικών τιμών Στο κεφάλαο αυτό θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας Κεφάλαιο 5 Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή παραβολική εξίσωση, την εξίσωση της θερμότητας, στη μια διάσταση ως προς τον χώρο. Θα κατασκευάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα