Σχέσεις. Ορισμός Εστω σύνολα A, B. (Διμελής) σχέση ονομάζεται ένα σύνολο R A B. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ A = B = {σύνολο των ενεργών φοιτητών του di}. 1 a X, ara.

Transcript

1 Σχέσεις Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Εστω σύνολα A, B. (Διμελής) σχέση ονομάζεται ένα σύνολο R A B. Η έννοια της σχέσης γενικεύει την έννοια της συνάρτησης με πεδίο ορισμού το A και σύνολο αφίξεως το B. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ A = B = {σύνολο των ενεργών φοιτητών του di}. R = {(x, y) x συμπαθεί y}. Συμβολισμός: συχνά xry ή x y αντί (x, y) R. Ιδιότητες Σχέσεων Σχέσεις Ισοδυναμίας Μια διμελής σχέση R πάνω σε ένα σύνολο X καλείται 1 ανακλαστική αν a X, ara. 2 συμμετρική αν a, b X, arb συνεπάγεται bra. αντισυμμετρική αν a, b X, arb και bra, συνεπάγεται ότι a = b. 4 μεταβατική αν a, b, c X, arb και brc, συνεπάγεται ότι arc. Παράδειγμα: έστω X = Z. Ορισε x y αν x y. Παράδειγμα: έστω X = 2 Z. Ορισε A B αν A B =. Μια διμελής σχέση R πάνω σε ένα σύνολο X καλείται σχέση ισοδυναμίας αν η R είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική, δηλαδή: 1 a X, ara. 2 a, b X, arb συνεπάγεται bra. a, b, c X, arb και brc, συνεπάγεται ότι arc. Παράδειγμα: έστω X = Z. Ορισε xry αν x y (mod 5). Αντιπαράδειγμα: η σχέση «συμπαθεί» δεν είναι σχέση ισοδυναμίας! Αντιπαράδειγμα: x y, x, y N.

2 Κλάσεις Ισοδυναμίας Ορισμός Εστω R A A μια σχέση ισοδυναμίας. Κλάση ισοδυναμίας ενός x A ορίζεται ως το σύνολο [x] := {y A xry}. Κλάσεις Ισοδυναμίας Ορισμός Εστω R A A μια σχέση ισοδυναμίας. Κλάση ισοδυναμίας ενός x A ορίζεται ως το σύνολο [x] := {y A xry}. για τη σχέση x y (mod 5) [7] = {...,, 2, 7, 12, 17, 22,...}. Παρατηρείστε [7] = [12] = [22] κοκ. Κλάσεις Ισοδυναμίας Ορισμός Εστω R A A μια σχέση ισοδυναμίας. Κλάση ισοδυναμίας ενός x A ορίζεται ως το σύνολο [x] := {y A xry}. Θεώρημα Οι κλάσεις ισοδυναμίας μιας σχέσης R πάνω στο σύνολο A ορίζουν μια διαμέριση του A. Κλάσεις Ισοδυναμίας Ορισμός Εστω R A A μια σχέση ισοδυναμίας. Κλάση ισοδυναμίας ενός x A ορίζεται ως το σύνολο [x] := {y A xry}. Θεώρημα Οι κλάσεις ισοδυναμίας μιας σχέσης R πάνω στο σύνολο A ορίζουν μια διαμέριση του A. Οι πέντε κλάσεις της σχέσης x y (mod 5) διαμερίζουν το Z: {..., 9, 4, 1, 6, 11, 16, 21,...} {..., 8,, 2, 7, 12, 17, 22,...} {..., 7, 2,, 8, 1, 18, 2,...} {..., 6, 1, 4, 9, 14, 19, 24,...} {..., 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25,...}

3 Παράδειγμα Δίνεται γράφημα G = (V, E). Ορίστε στο V τη σχέση : x y αν υπάρχει στον G μονοπάτι από το x στο y. Σχέσεις Μερικής Διάταξης Μια διμελής σχέση πάνω σε ένα σύνολο X καλείται μερική διάταξη αν η είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική, δηλαδή: 1 a X, a a. 2 a, b X, a b και b a, συνεπάγεται ότι a = b. a, b, c X, a b και b c, συνεπάγεται ότι a c. Είναι η σχέση σχέση ισοδυναμίας; Αν ναι, ποιες είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας; Παράδειγμα: X = N και a b αν a b. Παράδειγμα: X = N N και (p 1, q 1 ) (p 2, q 2 ) αν p 1 < p 2 ή [p 1 = p 2 και q 1 q 2 ] (λεξικογραφική διάταξη). Παράδειγμα: έστω X = 2 N και =. Αντιπαράδειγμα: X = σύνολο άπειρων ακολουθιών πραγματικών αριθμών και a b ανν a υπακολουθία της b. Γραφική αναπαράσταση διατεταγμένων συνόλων Εστω (X, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο. Δυο στοιχεία x, y X καλούνται συγκρίσιμα αν x y, ή y x. Σχέση διαιρετότητας στο X = {1, 2,, 6, 12}: 12 Αν x y και x y γράφουμε x < y. 6 2 Σύνολο X X καλείται αλυσίδα αν οποιαδήποτε δύο στοιχεία του X είναι συγκρίσιμα. Προσοχή: αν x, y X, z X, και x < z < y δεν έπεται υποχρεωτικά ότι z X. Σύνολο X X καλείται αντιαλυσίδα αν οποιαδήποτε δύο διακεκριμένα στοιχεία του X δεν είναι συγκρίσιμα. Διάγραμμα Hasse: Γράφημα σχεδιασμένο στο επίπεδο με κορυφές τα στοιχεία του συνόλου X. Κορυφές που συνδέονται μέσω της συνδέονται με ακμή, παραλείπονται όλες οι ακμές που συνάγονται από τη μεταβατικότητα. Αν v w, η κορυφή v σχεδιάζεται χαμηλότερα από την κορυφή w. 1

4 h k Γραφική αναπαράσταση διατεταγμένων συνόλων Γραφική αναπαράσταση διατεταγμένων συνόλων 1.6. NEIGHBORING ELEMENTS. BOUNDS 2 MathWorld c) Παραδείγματα τριών διαφορετικών έγκυρων διαγραμμάτων a b Hasse για το ίδιο διατεταγμένο σύνολο. abc I> <J d e f d) a c b PN d e f x y αν υπάρχει μονότονο μονοπάτι από το x στο y, δηλ. μονοπάτι που μόνο ανεβαίνει. f) e) c cab )$( d f e Το διάγραμμα Hasse μιας ολικής διάταξης είναι πάντα THINGS TO TRY: path graph Path Figure Graph μονοπάτι. 1.1: a) The complete graph with five vertices Ks, b) The diagram of a 5x5 Hilbert matrix ordered set (the set P2 i [25]), c)-e) Three diagrams for the same commo ordered divisors of 60 ad set 96 (poits to be idetified by a isomorphism have the same letters), f) The "diagram" of a ifiite ordered set (this "spider", as Rutkowski amed it, is take from [270], Remark 5.1). of Διατεταγμένο T is o-empty. σύνολο Accordig P = {a, to b, our c, d} assumptio που ορίζεται if U από exists. τις We shall prove ανισότητες if U a = < sup c, T. a < d, b < c, b < d. First we have t 2 u for every t E T ad every u E U. Ad so every t E T is a lower boud of U, hece t 2 if U (which is the greatest lower boud Στο Σχήμα of U). (i) So δύο if ορθές U is a αναπαραστάσεις upper boud of του T, ad με διαγράμματα the also the least Hasse, upper boud στο Σχήμα of T, that (ii) λανθασμένες. meas if U = sup T. Ολική διάταξη Ορισμός Εστω (P, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο. Η σχέση καλείται ολική διάταξη αν Discrete Mathematics > Graph Theory > Simple Graphs > Acyclic Graphs > Discrete Mathematics > Graph Theory > Simple Graphs > Asymmetric Graphs > Discrete Mathematics > Graph Theory > Simple Graphs > Bicolorable Graphs > More... x, y P, x y ή y x. Usually the values sup T ad if T deped o the "surroudig" set P. They are ascribed to T from outside. Cotrary to this the values max T ad mi T are determied iterally. I this cotext we itroduce aother cocept (miimal elemet), which should ot be cofused with the cocept "least elemet" : 6.10 Defiitio. A elemet a of a poset (P, 5) is said to be miimal (resp. maximal), if o elemet x of P exists which satisfies x < a (resp. x > a). We deote the set of all miimal (resp. maximal) elemets of P by Mi(P) (resp. Ma(P)) Remark. If a poset has a least elemet, the this is also a Ελαχιστικά miimal elemet, στοιχεία aalogously the greatest elemet is also a maximal elemet. I a liearly ordered set the otios "miimal elemet" ad Ορισμός "least elemet" evidetly coicide, also "maximal" ad "greatest". But Search MathWorld this is usually ot the case: Εστω (P, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο. Το στοιχείο z 6.12 P καλείται Example. ελαχιστικό Cosider (miimal) a set of ανfive δενelemets υπάρχει a, x b, c, Pd, τ. e, ώ. whose x order < z. 5 is give by a < c < e, b < c < d, a 11 b, d 11 e. See Figure 1. Figure I The path graph is a tree with two odes of vertex degree 1, ad the other odes of vertex degree 2. A path graph is therefore a graph that ca be draw so that all of its vertices ad edges lie o a sigle straight lie (Gross ad Yelle 2006, p. 18). The path graph of legth is implemeted i the Wolfram Laguage as PathGraph[Rage[]] or Path[] i the Το zi this P καλείται set a ad ελάχιστο b are miimal (miimum) elemets, αν x d ad P, e zare x. maximal Ενα eleμερικά mets. διατεταγμένο This set has either σύνολοa δεν greatest έχει απαραίτητα or a least elemet. ελάχιστο στοιχείο. 6.1 Example. Eve if a poset cotais exactly oe miimal elemet, this eed ot be the least elemet: Let P be the followig poset: P

5 x < a (resp. x > a). We deote the set of all miimal (resp. maximal) elemets of P by Mi(P) (resp. Ma(P)) Remark. If a poset has a least elemet, the this is also a miimal elemet, aalogously the greatest elemet is also a maximal elemet. I a liearly ordered set the otios "miimal elemet" ad Ορισμός "least elemet" evidetly coicide, also "maximal" ad "greatest". But this is usually ot the case: Εστω (P, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο. Το στοιχείο z 6.12 P καλείται Example. μεγιστικό Cosider (maximal) a set αν of five δεν υπάρχει elemets xa, b, Pc, τ. d, e, ώ. whose z order < x. 5 is give by a < c < e, b < c < d, a 11 b, d 11 e. See Figure 1. Μεγιστικά στοιχεία Ακόμα κι αν το P περιέχει ένα μοναδικό ελαχιστικό στοιχείο, μπορεί να μην περιέχει ελάχιστο! Γιατί; Δώστε αντιπαράδειγμα. Figure I Ομοίως για τα μεγιστικά. Το zi this P καλείται set a ad μέγιστο b are miimal (maximum) elemets, αν xd ad P, e x are z. maximal Ενα eleμερικά mets. διατεταγμένο This set has either σύνολοa δεν greatest έχει απαραίτητα or a least elemet. μέγιστο στοιχείο. 6.1 Example. Eve if a poset cotais exactly oe miimal elemet, this eed ot be the least elemet: Let P be the followig poset: P cotais all itegers ad i additio to this exactly oe elemet x,which Υπαρξη ελαχιστικού (ή μεγιστικού) στοιχείου Πρόταση Εστω (P, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο, όπου P πεπερασμένο. Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ελαχιστικό στοιχείο. Απόδειξη. Διάλεξε x P τέτοιο ώστε L x = {y P y x} έχει το ελάχιστο πλήθος στοιχείων. Αν L x = 1, τότε το L x = {x}, άρα x ελαχιστικό. Αν L x > 1, διάλεξε y L x, y x. Από μεταβατικότητα L y L x, και επειδή x L y, L y L x. Δηλαδή L y < L x, άτοπο. Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή (2 S, ) ορίζει μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα υποσύνολα του S. Θα εξετάσουμε κάποιες ιδιότητες αυτής της δομής. Κυρίως ερωτήματα της μορφής: πόσα υποσύνολα του S έχουν μια δεδομένη ιδιότητα. Η πρόταση δεν ισχύει για άπειροσύνολα. Δώστε αντιπαράδειγμα.

6 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή (2 S, ) ορίζει μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα υποσύνολα του S. Θεώρημα Εστω A μια συλλογή διακεκριμένων υποσυνόλων του S τ. ώ. A i A j, για κάθε A i, A j A. Τότε A 2 1. its elemets which is trasitive ad atysymmetric: if x<yad y<zthe x<z, but x<y y<xcaot both hold. We write x y if x<yor x = y. Elemets x ad y are comparabl either x y or y x (or both) hold. A chai i a poset P is a subset C P such that ay two of its poits are compara Dually, a atichai is a subset A P such that o two of its poits are comparable. Obse that C A 1, i.e., every chai C ad every atichai A ca have at most oe elemet commo (for two poits i their itersectio would be both comparable ad icomparable). Here are some frequetly ecoutered examples of posets: a family of sets is partially orde by set iclusio; a set of positive itegers is partially ordered by divisio; a set of vectors i R partially ordered by (a 1,...,a ) < (b 1,...,b )iff a i b i for all i, ad a i <b i for at least oe Small posets may be visualized by drawigs, kow as Hasse diagrams: x is lower i the pl tha y wheever x<yad there is o other poit z P for which both x<zad z<y. example: {a,b,c} 18 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή (2 S, ) ορίζει μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα υποσύνολα του S. Θεώρημα Εστω A μια συλλογή διακεκριμένων υποσυνόλων του S τ. ώ. A i A j, για κάθε A i, A j A. Τότε A 2 1. {b,c} {a} {a,c} {b} Partial ordered sets provide a commo frame for may combiatorial cofiguratios a partially ordered set (or poset, for O short) is a set P together 1 with a biary relatio its elemets which is trasitive ad atysymmetric: if x<yad y<zthe x<z, but y<xcaot both hold. 1. We Decompositio write x y if i x<yor chais ad x = atichais y. Elemets x ad y are co either x y or y x (or both) hold. AAchai decompositio i a poset of apposet is aissubset its partitio C ito P such mutually thatdisjoit ay two chais of its or atichais. poits aregi c a poset P, our goal is to decompose it ito as few chais (or atichais) as possible. Oe direct Dually, a atichai is a subset A P such that o two of its poits are comparabl is easy: if a poset P has chai (atichai) of size r the it caot be partitioed ito fewer t Εστω that C r atichais πεπερασμένο A 1, i.e., (chais). σύνολο every The reaso Schai με here S C is= ad simple:. every Η δομή atichai ay two (2 S poits, ) Aορίζει ca have at most oe of the same chai must lie μια commo differet σχέση (for members μερικής two poits ofδιάταξης a partitio i their πάνω ito itersectio atichais. στα υποσύνολα would be του both S. comparable ad icompar Here Is this areoptimal? some frequetly If P has ecoutered o chai (or atichai) examples of size posets: greater a family tha r, ofissets it the is partia poss byto set partitio iclusio; P ito a set r atichais of positive(or itegers chais, is respectively)? partially ordered Oe directio by divisio; is straightforward a set of vecto( Θυμίζουμε partially Exercise ordered?? πως for a αντιαλυσίδα by alterative (a 1,...,aproof): καλείται ) < (b 1,...,b ένα σύνολο )iff a i A b i υποσυνόλων for all i, ad a i <b i for at le του SSmall Theorem τα οποία posets 8.1. είναι may be Suppose μηvisualized συγκρίσιμα by drawigs, that the largest ως προς chaiτη kow i σχέση as Hasse the poset μερικής diagrams: x is lower i P has size r. TheP ca διάταξης tha y wheever partitioed ito. Δηλαδή, x<yad r atichais. αν Athere i, A j is A, o Aother i Apoit j. z P for which both x<zad example: Proof. Let A i be the set of poits {a,b,c} x P such that the logest chai, whose 18 greatest elem is x, has i poits (icludig x). The, by the hypothesis, A i = for i r + 1, ad he P = A 1 A 2 A r is a partitio of P ito r mutually disjoit subsets (some of them m be also empty). Moreover, each A i is a atichai, sice if x, y A i ad x<y, the 9 the log {b,c} {a,c} {a,b} 6 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή (2 S, ) ορίζει μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα υποσύνολα του S. Θεώρημα Εστω A μια συλλογή διακεκριμένων υποσυνόλων του S τ. ώ. A i A j, για κάθε A i, A j A. Τότε A 2 1. Αποδειξη: Αν A A, για Ā = S A, Ā A, αφού A Ā =. Επομένως A 2 1. CHAPTER 8 {a,b} Chais ad Atichais {c} Το άνω φράγμα δεν μπορεί να βελτιωθεί. Τα υποσύνολα του {1,..., } που περιέχουν το 1 έχουν πλήθος 2 1. {a} {b} {c} 2 O 1 1. Decompositio i chais ad atichais

7 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή (2 S, ) ορίζει μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα υποσύνολα του S. Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή (2 S, ) ορίζει CHAPTER 8 μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα CHAPTER υποσύνολα 8 του S. Θυμίζουμε πως αντιαλυσίδα καλείται ένα σύνολο A υποσυνόλων του S τα οποία είναι μη συγκρίσιμα Chais ως ad προςatichais τη σχέση μερικής Θυμίζουμε πως αντιαλυσίδα Chais καλείταιad ένα σύνολο Atichais A υποσυνόλων διάταξης. Δηλαδή, αν A i, A j A, A i A j. του S τα οποία είναι μη συγκρίσιμια ως προς τη σχέση μερικής διάταξης. Δηλαδή, αν A i, A j A, A i A j. Partial ordered sets provide a commo frame for may combiatorial cofiguratios. Partial Formally, ordered sets provide a commo frame for may combiatorial cofiguratios. Fo {a,b,c} a partially ordered set (or poset, for short) is a set P together with a biary relatio a partially < betwee ordered set (or poset, for short) is a set P together with a biary relatio < b its elemets which is trasitive ad atysymmetric: if x<yad y<zthe x<z, but itsπόσο elemets x<yad μεγάλη whichμπορεί is trasitive να είναι adμια atysymmetric: αντιαλυσίδα; if x<yad Η οικογένεια y<zthe x<z, but x< y<xcaot both hold. We write x y if x<yor x = y. Elemets x ad y arey<xcaot comparable όλων τωνifυποσυνόλων both hold. We τουwrite S μεx τον yίδιο if x<yor πληθικόx αριθμό = y. Elemets k, x ad y are compa either x y or y x (or{b,c} both) hold. {a,c} {a,b} either k = x0, 1,...,, είναι αντιαλυσίδα. Κάθε τέτοια αντιαλυσίδα A chai i a poset P is a subset C P such that ay two of its poits are comparable. έχει ( y or y x (or both) hold. A chai k) στοιχεία. i a poset P is a subset C P such that ay two of its poits are comp Dually, a atichai is a subset A P such that o two of its poits are comparable. Dually, Observe a atichai is a subset A P such that o two of its poits are comparable. O {a} {b} {c} that C A 1, i.e., every chai C ad every atichai A ca have at most oe that elemet C A i 1, i.e., every ( Γνωρίζουμε πως max ) chai ( k k = C ad every atichai A ca have at most oe elem commo (for two poits i their itersectio would be both comparable ad icomparable). commo (for two poits i their itersectio /2 ) (γιατί;). would Υπάρχουν αντιαλυσίδες με μέγεθος μεγαλύτερο από ( be both comparable ad icomparabl Here are some frequetly ecoutered examples of posets: a family of sets is partially Here ordered are some frequetly ecoutered examples /2 ) of posets: ; a family of sets is partially by set iclusio; a set of positive itegers Ois partially ordered by divisio; a set of vectors by set iclusio; R is a set of positive itegers is partially ordered by divisio; a set of vectors partially ordered by (a 1,...,a ) < (b 1,...,b )iff a i b i for all i, ad a i <b i for atpartially least oeordered i. by (a 1,...,a ) < (b 1,...,b )iff a i b i for all i, ad a i <b i for at least Small posets may be visualized by drawigs, kow as Hasse diagrams: x is lower ismall the plae posets may be visualized by drawigs, kow as Hasse diagrams: x is lower i th Σχέσεις Ισοδυναμίας Μερικές Διατάξεις Θεώρημα του Sperer Θεώρημα του Dilworth Εφαρμογές του Θ. Dilworth tha y wheever x<yad there is o other poit z P for which both x<zad tha z<y. y wheever For x<yad there is o other poit z P for which both x<zad z< example: example: {a,b,c} 18 {a,b,c} 18 Σχέσεις Ισοδυναμίας Μερικές Διατάξεις Θεώρημα του Sperer Θεώρημα του Dilworth Εφαρμογές του Θ. Dilworth {b,c} {a,c} {a,b} 6 9 {b,c} {a,c} {a,b} 6 9 {a} {b} {c} 2 {a} {b} {c} 2 O 1 O 1 ( Παράδειγμα διατεταγμένου συνόλου 2 S όπου S =. ( /2 ) = ( Παράδειγμα διατεταγμένου συνόλου 2 1) S όπου S =. =, άρα 1. υπάρχει Decompositio αντιαλυσίδα i chais μεγέθους ad atichais. ( /2 ) = 1) =, άρα 1. υπάρχει Decompositio αντιαλυσίδα i chais μεγέθους ad atichais. A decompositio of a poset is its partitio ito mutually disjoit chais or atichais. A decompositio Give of a poset is its partitio ito mutually disjoit chais or atichais a poset P, our goal is to decompose it ito as few chais (or atichais) as possible. aoe poset directio P, our goal is to decompose it ito as few chais (or atichais) as possible. Oe d is easy: if a poset P has a chai (atichai) of size r the it caot be partitioed ito is easy: fewerif tha a poset P has a chai {{a}, (atichai) {b}, {c}} of size r the it caot be partitioed ito few r atichais (chais). The reaso here is simple: ay two poits of the same chai r atichais must lie i(chais). The reaso here is simple: ay two poits of the same chai mu differet members of a partitio ito atichais. differet είναι μια members αντιαλυσίδα of a partitio μεγέθους ito atichais.. Is this optimal? If P has o chai (or atichai) of size greater tha r, is it theis possible this optimal? If P has o chai (or atichai) of size greater tha r, is it the to partitio P ito r atichais (or chais, respectively)? Oe directio is straightforward to partitio (see P ito r atichais (or chais, respectively)? Oe directio is straightforwa

8 Θεώρημα (Sperer, 1928) Εστω A μια αντιαλυσίδα υποσυνόλων του S με S =. Τότε ( ) A. /2 Θεώρημα (Sperer, 1928) Εστω A μια αντιαλυσίδα υποσυνόλων του S με S =. Τότε ( ) A. /2 Αποδειξη: Εστω A S. Ο αριθμός των μεταθέσεων των CHAPTER 8 στοιχείων του S που ξεκινάνε με τα A στοιχεία του A είναι A!( A )!. Μεταθέσεις που ξεκινάνε με δύο διαφορετικά σύνολα από το A είναι διακεκριμένες Chais ad (γιατί;). Atichais Επομένως A!( A )!!. Partial ordered sets provide A A a commo frame for may combiatorial cofiguratios. Fo Άσκηση 1. Δώστε το καλύτερο κάτω φράγμα που μπορείτε στο πλήθος των διακεκριμένων αντιαλυσίδων της δομής (2 S, ), όπου S =. a partially p k := αριθμός orderedστοιχείων set (or poset, τουfor A short) μεγέθους is a k. set P together with a biary relatio < b its elemets which is trasitive ad atysymmetric: k!( k)!p k! if x<yad y<zthe x<z, but x< p y<xcaot both hold. We write x y if x<yor ( k x 1. = y. Elemets x ad y are compa either x y or y kx (or both) hold. k k) A chai i Άρα A = a poset k p P k = ( is ) a subset pc k /2 k ( /2 ) P ( such) that ay p k /2 k ( k) two ( of its poits are comp Dually, a atichai is a subset A P such that o two of /2 ). its poits are comparable. O that C A 1, i.e., every chai C ad every atichai A ca have at most oe elem commo (for two poits i their itersectio would be both comparable ad icomparabl Here are some frequetly ecoutered examples of posets: a family of sets is partially by set iclusio; a set of positive itegers is partially ordered by divisio; a set of vectors partially Αποσύνθεση orderedενός by (aδιατεταγμένου 1,...,a ) < (b 1,...,b σύνολου )iffp aκαλείται i b i for μια all i, ad a i <b i for at least διαμέριση Small posets τουmay σε αμοιβαία be visualized ξένες by drawigs, αλυσίδες. kow as Hasse diagrams: x is lower i th tha y wheever x<yad there is o other poit z P for which both x<zad z< example: c(p) := ελάχιστος αριθμός αλυσίδων σε μια αποσύνθεση του P. {a,b,c} 18 Άσκηση 2. Βρείτε το μέγιστο μέγεθος αλυσίδας της δομής (2 S, ), όπου S =. {b,c} {a,c} {a,b} 6 9 Άσκηση. Δώστε το καλύτερο κάτω φράγμα που μπορείτε στο πλήθος των διακεκριμένων αλυσίδων της δομής (2 S, ), όπου S =. {a} O {b} Τετριμμένα στο παράδειγμα c(p) 8. Τελικά c(p) =. 1. Decompositio i chais ad atichais A decompositio of a poset is its partitio ito mutually disjoit chais or atichais a poset P, our goal is to decompose it ito as few chais (or atichais) as possible. Oe d {c} 2 1

9 r(p) := μέγιστο μέγεθος αντιαλυσίδας στο P. Υπάρχει σχέση ανάμεσα στο c(p) και το r(p); r(p) := μέγιστο μέγεθος αντιαλυσίδας στο P. Υπάρχει σχέση ανάμεσα στο c(p) και το r(p); Παρατήρηση Σε κάθε πεπερασμένο διατεταγμένο σύνολο P, r(p) c(p). Δοσμένης μια συλλογής από αλυσίδες, μια αντιαλυσίδα μπορεί να περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε αλυσίδα της συλλογής. Παρατήρηση Σε κάθε πεπερασμένο διατεταγμένο σύνολο P, r(p) c(p). Δοσμένης μια συλλογής από αλυσίδες, μια αντιαλυσίδα μπορεί να περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε αλυσίδα της συλλογής. Θεώρημα (Dilworth, 1950) Σε κάθε πεπερασμένο διατεταγμένο σύνολο P, c(p) r(p). Πόρισμα Σε κάθε πεπερασμένο διατεταγμένο σύνολο P, c(p) = r(p). Απόδειξη του Θεωρήματος του Dilworth Με επαγωγή στο P. Εστω a ένα μεγιστικό στοιχείο του P και = r(p ), όπου P = P {a}. Από Ε.Υ., P ένωση ξένων αλυσίδων C 1,..., C. Θα δείξουμε ότι το P είτε περιέχει μια αντιαλυσίδα μεγέθους + 1 είτε είναι ένωση το πολύ αλυσίδων. Κάθε αντιαλυσίδα μεγέθους στο P περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε C i. Εστω a i το μεγιστικό στοιχείο της C i που ανήκει σε κάποια αντιαλυσίδα μεγέθους του P. ΛΗΜΜΑ: το A = {a 1,..., a } είναι αντιαλυσίδα. Απόδειξη του ΛΗΜΜΑΤΟΣ Γνωρίζουμε ότι μία αντιαλυσίδα δεν μπορεί να περιέχει πάνω από ένα στοιχείο από την ίδια αλυσίδα. Επομένως μία αντιαλυσίδα μεγέθους στο P πρέπει να περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε αλυσίδα C i, i = 1,...,. Εστω ότι το Λήμμα δεν ισχύει και υπάρχουν a i, a j, i j, τέτοια ώστε a i < a j. Εξ ορισμού το a j ανήκει σε κάποια αντιαλυσίδα X μεγέθους και η X πρέπει να περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο a i από τη C i. Τότε πρέπει a i < a i, άτοπο γιατί έχουμε ορίσει το a i ως το μεγιστικό στοιχείο της C i που ανήκει σε αντιαλυσίδα μεγέθους.

10 Απόδειξη του Θεωρήματος του Dilworth Με επαγωγή στο P. Εστω a ένα μεγιστικό στοιχείο του P και = r(p ), όπου P = P {a}. Από Ε.Υ., P ένωση ξένων αλυσίδων C 1,..., C. Θα δείξουμε ότι το P είτε περιέχει μια αντιαλυσίδα μεγέθους + 1 είτε είναι ένωση το πολύ αλυσίδων. Κάθε αντιαλυσίδα μεγέθους στο P περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε C i. Εστω a i το μεγιστικό στοιχείο της C i που ανήκει σε κάποια αντιαλυσίδα μεγέθους του P. ΛΗΜΜΑ: το A = {a 1,..., a } είναι αντιαλυσίδα. Αν A {a} αντιαλυσίδα στο P, τελειώσαμε. Απόδειξη του Θεωρήματος του Dilworth Με επαγωγή στο P. Εστω a ένα μεγιστικό στοιχείο του P και = r(p ), όπου P = P {a}. Από Ε.Υ., P ένωση ξένων αλυσίδων C 1,..., C. Θα δείξουμε ότι το P είτε περιέχει μια αντιαλυσίδα μεγέθους + 1 είτε είναι ένωση το πολύ αλυσίδων. Κάθε αντιαλυσίδα μεγέθους στο P περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε C i. Εστω a i το μεγιστικό στοιχείο της C i που ανήκει σε κάποια αντιαλυσίδα μεγέθους του P. ΛΗΜΜΑ: το A = {a 1,..., a } είναι αντιαλυσίδα. Αν A {a} αντιαλυσίδα στο P, τελειώσαμε. Ειδάλλως a > a i για κάποιο i. Τότε K = {a} {x C i : x a i } αλυσίδα στο P, και δεν υπάρχουν αντιαλυσίδες στοιχείων στο P K, (αφού a i το μεγιστικό στοιχείο του C i που συμμετέχει σε τέτοια αντιαλυσίδα), άρα από Ε.Υ. το P K είναι ένωση το πολύ 1 αλυσίδων. Δηλ. το P είναι ένωση το πολύ αλυσίδων. Παρατηρήσεις στο Θεώρημα του Dilworth Παρατήρηση Αποδείξαμε το θεώρημα για οποιοδήποτε πεπερασμένο διατεταγμένο σύνολο P, όχι μόνο για τη δομή (2 S, ). Θεώρημα (Hall και άλλοι, ) Ενα διμερές γράφημα G = (L R, E) περιέχει ταίριασμα του L αν για κάθε υποσύνολο S του L S Γ(S). Αποδειξη: Εστω P = L R. Ορίζουμε σχέση μερικής διάταξης: για x R, y i L, x<y i, αν x Γ({y i }). Παρατήρηση Γνωστά θεωρήματα, όπως το Θεώρημα του Hall, προκύπτουν ως πορίσματα του Θεωρήματος του Dilworth. Ακολουθούν δύο τέτοια παραδείγματα με θεωρήματα που έχουμε κάνει στο μάθημα. Το R είναι αντιαλυσίδα του P (εύκολο) με μέγιστο μεγέθος (γιατί;). Από Dilworth, υπάρχει αποσύνθεση C του P σε R ξένες αλυσίδες. Κάθε μία από τις αλυσίδες της C πρέπει να περιέχει ένα στοιχείο του R. Άρα οι L αλυσίδες που καλύπτουν το L είναι της μορφής {x i, y i }, x i Γ({y i }), i = 1,..., m. Οι αντίστοιχες ακμές είναι το ταίριασμα του L.

11 Εχουμε αποδείξει στην τάξη το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα (Erdős-Szekeres, 195) Εστω A = (a 1,..., a 2 +1) ακολουθία πραγματικών αριθμών. Η A περιέχει αύξουσα υπακολουθία με + 1 όρους ή φθίνουσα υπακολουθία με + 1 όρους. Θα δείξουμε πως το Θεώρημα Erdős-Szekeres είναι επίσης πόρισμα του Θεωρήματος του Dilworth. Θεώρημα (Erdős-Szekeres, 195) Εστω A = (a 1,..., a 2 +1) ακολουθία πραγματικών αριθμών. Η A περιέχει αύξουσα υπακολουθία με + 1 όρους ή φθίνουσα υπακολουθία με + 1 όρους. Αποδειξη: Ορισε μερική διάταξη στο A : a i a j, αν a i a j και i j. Αν υπάρχει αποσύνθεση του A σε το πολύ αλυσίδες, μία αλυσίδα περιέχει τουλάχιστον ( 2 + 1)/ = + 1 στοιχεία. Αν κάθε αποσύνθεση του A απαιτεί τουλάχιστον + 1 αλυσίδες, υπάρχει αντιαλυσίδα μεγέθους τουλάχιστον + 1. Οι αλυσίδες αντιστοιχούν σε αύξουσες υπακολουθίες και οι αντιαλυσίδες σε φθίνουσες υπακολουθίες (γιατί;). Ομοίως αποδεικνύεται η παρακάτω γενίκευση. Το «δυϊκό» του Θεωρήματος του Dilworth ισχύει. Θεώρημα (Mirsky, 1971) Το μέγιστο μέγεθος αλυσίδας σε ένα πεπερασμένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο P ισούται με το ελάχιστο πλήθος ξένων αντιαλυσίδων σε μια αποσύνθεση του P. Θεώρημα (Erdős-Szekeres, 195) Εστω A = (a 1,..., a ) ακολουθία πραγματικών αριθμών με rs + 1. Η A περιέχει αύξουσα υπακολουθία με r + 1 όρους ή φθίνουσα υπακολουθία με s + 1 όρους. Συμβολίζουμε με z(p) το μέγιστο μέγεθος αλυσίδας και a(p) το ελάχιστο πλήθος ξένων αντιαλυσίδων σε μια αποσύνθεση. Θα δείξουμε ότι 1 z(p) a(p). 2 a(p) z(p). Αν υπάρχει αποσύνθεση του P σε r αντιαλυσίδες A 1,..., A r, οποιαδήποτε αλυσίδα C θα έχει μέγεθος το πολύ r, αφού η C δεν μπορεί να περιέχει πάνω από ένα στοιχείο από κάθε αντιαλυσίδα. Άρα z(p) a(p). Η άλλη κατεύθυνση του θεωρήματος είναι ξανά η πιο

12 Σχέσεις Ισοδυναμίας Μερικές Διατάξεις Θεώρημα του Sperer Θεώρημα του Dilworth Εφαρμογές του Θ. Dilworth Θεώρημα Αν η μεγαλύτερη αλυσίδα C στο P έχει μέγεθος r, υπάρχει αποσύνθεση του P που αποτελείται από το πολύ r αντιαλυσίδες. Δηλ. a(p) z(p). Αποδειξη: Για r = 1 ισχύει.υπέθεσε ότι το θεώρημα ισχύει για r 1 1, θα δείξουμε για r 2. Ορισε M το σύνολο των μεγιστικών στοιχείων στο P. Το M είναι αντιαλυσίδα. Αν το P M περιέχει αλυσίδα x 1 < x 2 <... < x r αυτή ως μέγιστη στο P θα ήταν και μεγιστική στο P, επομένως x r M, άτοπο. Άρα η μέγιστη αλυσίδα στο P M έχει το πολύ r 1 στοιχεία. Από την επαγωγική υπόθεση το P M είναι ένωση το πολύ r 1 ξένων αντιαλυσίδων. Αυτές μαζί με την M δίνουν την επιθυμητή αποσύνθεση του P σε το πολύ r αντιαλυσίδες.