ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-2 ΤΑ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ και ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ

Transcript

1 ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-2 ΤΑ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ και ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη ΗΡΑΚΛΕΙΟ - ΚΡΗΤΗ / 34

2 Μπορεί µια χηµική ένωση (Α) να διαπεράσει µια µεβράνη; Σχήµα: Πρωτεΐνες ϐυθισµένες σε µεµβράνη λιπιδίων. Στο εσωτερικό της µεµβράνης (πορτακαλί) είναι οι υδρόφοβες οµάδες ενώ στο εξωτερικό οι υδρόφιλες (µπλε) ( 2 / 34

3 Μπορεί µια χηµική ένωση [Α] να αντιδράσει µε το DNA και να δώσει το σύµπλοκο [Β] ; Σχήµα: Μόριο που αλληλεπιδρά µε τις ϐάσεις του DNA (Physical Chemistry, P. Atkins and J. de Paula, page 640). 3 / 34

4 Photons enter the eye through the cornea, pass through the ocular fluid th ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ The ocular fluid is principally water, and passa through this medium is largely responsible for the chromatic aberration o the blurring of the image as a result of different frequencies being brought different focuses. The chromatic aberration is reduced to some extent by region called the macular pigment that covers part of the retina. The pigme region are the carotene-like xanthophylls (3), which absorb some of the blu hence help to sharpen the image. They also protect the photoreceptor mole too great a flux of potentially dangerous high energy photons. The xanthop delocalized electrons that spread along the chain of conjugated double bond Σχήµα: Απορρόφηση ϕωτονίων από τη ϱοδοψίνη (ϱετινάλη οψίνη) Chemistry, P. Atkins π* πκαι transition lies(physical in the visible. and J. de Paula, Page 502). ΤΙ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΠΑΝΤΑ Η ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ eye, and fall on the retina. Μπορεί µια χηµική ένωση [Α] να ισοµερισθεί µε απορρόφηση ϕωτός και να δώσει το ισοµερές µόριο [Β] ; HO 3 A xanthophyll CHO 4 11-cis-retinal CHO 5 All-trans-retinal About 57 per cent of the photons that enter the eye reach the retina; t scattered or absorbed by the ocular fluid. Here the primary act of vision take which the chromophore of a rhodopsin molecule absorbs a photon in anoth transition. A rhodopsin molecule consists of an opsin protein molecule t attached a 11-cis-retinal molecule (4). The latter resembles half a carotene showing Nature s economy in its use of available materials. The attachmen formation of a protonated Schiff s base, utilizing the CHO group of the phore and the terminal NH2 group of the sidechain, a lysine residue fr The free 11-cis-retinal molecule absorbs in the ultraviolet, but attachment to protein molecule shifts the absorption into the visible region. The rhodop cules are situated in the membranes of special cells (the rods and the co cover the retina. The opsin molecule is anchored into the cell membra hydrophobic groups and largely surrounds the chromophore (Fig ). Immediately after the absorption of a photon, the 11-cis-retinal molecu goes photoisomerization into all-trans-retinal (5). Photoisomerization ta 200 fs and about 67 pigment molecules isomerize for every 100 photon absorbed. The process occurs because the π* π excitation of an electro one of the π bonds (the one indicated by the arrow in 4), its torsional rigid and one part of the molecule swings round into its new position. At that 4 / 34

5 Μπορεί η Θερµοδυναµική να προβλέψει εάν τα αντδρώντα Α ϑα γίνουν Β ή το αντίστροφο; Πότε ϑα έχουµε ισορροπία µεταξύ των Α και Β; A B (1) 5 / 34

6 ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ : ιατήρηση της ολικής ενέργειας - 1 Για ένα ΜΟΝΩΜΕΝΟ σύστηµα η εσωτερική ενέργεια είναι σταθερή. Για ένα ΚΛΕΙΣΤΟ ή ΑΝΟΙΚΤΟ σύστηµα du = q + w + du = 0. (2) r µ idn i. (3) q και w είναι η ϑερµότητα και το έργο που ανταλλάσσει το σύστηµα µε το περιβάλλον. Εάν το έργο είναι της µορφής (P, V ), τότε Για πεπερασµένες µεταβολές du = q PdV + U = q + w + i=1 r µ idn i. (4) i=1 r µ i n i. (5) i=1 6 / 34

7 ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ : ιατήρηση της ολικής ενέργειας - 2 Θερµότητα είναι η ενέργεια που µεταφέρεται λόγω της χαοτικής κίνησης των µορίων, ενώ έργο ονοµάζουµε την ενέργεια που µεταφέρεται λόγω των µηχανικών αλληλεπιδράσεων συστήµατος-περιβάλλοντος. Και οι δύο ποσότητες ϑεωρούνται ϑετικές όταν προσφέρονται από το περιβάλλον στο σύστηµα και αρνητικές όταν το σύστηµα προσφέρει ενέργεια στο περιβάλλον. Τα ποσά ϑερµότητας και έργου εξαρτώνται από τον τρόπο παραγωγής τους και για αυτό οι απειροστές ποσότητες q και w δεν είναι τέλεια διαφορικά (συµβολίζονται µε ). Αντιθέτως, τα du και ds είναι τέλεια διαφορικά και οι τιµές των συναρτήσεων U και S δεν εξαρτώνται από τον τρόπο που το σύστηµα ϕτάνει σε αυτές. Τα U και S είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ. Μπορούµε να ϑεωρήσουµε τον όρο r i=1 µidni ως µια µορφή έργου και να έχουµε το γενικό τύπο du = q + w (6) 7 / 34

8 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΙΙΙ ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΕΣ ΚΑΙ ΜΗ-ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Ορισµός (Ο8) Μια διαδικασία µεταβολής του συστήµατος λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΗ όταν ϐρίσκεται συνεχώς σε κατάσταση ισορροπίας. Αλλως είναι ΜΗ-ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΗ. Α ΙΑΒΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗ-Α ΙΑΒΑΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Ορισµός (Ο9) Μια διαδικασία µεταβολής του συστήµατος λέγεται Α ΙΑΒΑΤΙΚΗ (αντιστρεπτή ή µη-) εάν το σύστηµα είναι ϑερµικά µονωµένο από το περιβάλλον, δηλ. το µη-τέλειο διαφορικό της ϑερµότητας (q) είναι µηδέν, q = 0. 8 / 34

9 ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ : Αύξηση της εντροπίας - 1 Για ένα ΜΟΝΩΜΕΝΟ σύστηµα µια µεταβολή στο χρονικό διάστηµα [t, t + dt] της κατάστασης του συστήµατος πάντα συνεπάγεται αύξηση (ή διατήρηση) της εντροπίας. Παράγεται εντροπία κατά τις Μη-αντιστρεπτές µεταβολές του συστήµατος, ενώ η εντροπία διατηρείται εάν οι µεταβολές είναι αντιστρεπτές. ( dst ) dt U T,V T,ni T 0 (7) Οι ϑερµοδυναµικές καταστάσεις ισορροπίας µε σταθερές την εσωτερική ενέργεια, τον όγκο και τον αριθµό των σωµατιδίων (µονωµένα συστήµατα) αντιστοιχούν σε ΜΕΓΙΣΤΑ της συνάρτησης εντροπίας ως προς µη-περιορισµένες (unconstrained) διαµερίσεις (δες ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ). 9 / 34

10 ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ : Αύξηση της εντροπίας - 2 Μπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι οι καταστάσεις ϑερµοδυναµικής ισορροπίας αντιστοιχούν σε µέγιστα της εντροπίας. Στο Σχήµα το µέγιστο αντιστοιχεί στην κατάσταση ϑερµοδυναµικής ισορροπίας του συστήµατος ενώ όλα τα άλλα σηµεία της κοίλης επιφάνειας αντιστοιχούν σε καταστάσεις (ισορροπίας) του συστήµατος στις οποίες όµως έχουµε επιβάλλει µια διαµέριση. Τις ονοµάζουµε καταστάσεις µε περιορισµούς ενώ την κατάσταση ϑερµοδυναµικής ισορροπίας µε µη-περιορισµούς. Σχήµα: Η ΕΝΤΡΟΠΙΑ ως µέγιστο µιας κοίλης συνάρτησης. S Vj Uj 10 / 34

11 Σχήµα: Η κατάσταση Α περιγράφει το σύστηµα υπό περιορισµό µε την πίεση P 2 > P 1. Οταν το διάφραγµα αφεθεί ελεύθερο η πίεση ϑα ισορροπήσει και µπορεί να παραχθεί έργο. A B T0, P1, V1, n T0,P2,V2,n T,V/2,P,n T,V/2,P,n S1 S2 S/2 S/2 (α) ϑερμο ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΑΕΡΙΟΥ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ (β) ϑερμο ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΜΕ ΜΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ 11 / 34

12 ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ : Ελάττωση της Εσωτερικής Ενέργειας -3 Ενα ΜΟΝΩΜΕΝΟ σύστηµα µπορεί να ϑεωρηθεί ως η ένωση p υποσυστηµάτων επιβάλλοντας µια διαµέριση. Κάθε υποσύστηµα διακρίνεται από τις µεταβλητές (S j, V j, N j ), τις οποίες ϑεωρούµε συνεχείς. Η κατάσταση ισορροπίας αντιστοιχεί στο ελάχιστο της ολικής ενέργειας U(S 1,..., S p, V 1,..., V p, N 1,..., N p) που ϑεωρείται συνάρτηση όλων των µεταβλητών (S j, V j, N j ) και οι οποίες ικανοποιούν τους δεσµούς F 1 = F 2 = F 3 = p S j S T = 0 (8) j=1 p V j V T = 0 (9) j=1 p N j N T = 0. (10) j=1 ( ) dut dt S T,V T,n i T 0 (11) Οι ϑερµοδυναµικές καταστάσεις ισορροπίας µε σταθερές την ενροπία, τον όγκο και τον αριθµό των σωµατιδίων (µονωµένα συστήµατα) αντιστοιχούν σε ΕΛΑΧΙΣΤΑ της συνάρτησης εσωτερικής ενέργειας ως προς µη-περιορισµένες (unconstrained) διαµερίσεις (δες ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ). 12 / 34

13 ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ : Ελάχιστο της Ενέργειας - 4 Στο Σχήµα το ελάχιστο της ενέργειας αντιστοιχεί στην κατάσταση ϑερµοδυναµικής ισορροπίας του συστήµατος χωρίς να επιβάλλουµε κανένα περιορισµό, ενώ όλα τα άλλα σηµεία της κυρτής επιφάνειας αντιστοιχούν σε καταστάσεις (ισορροπίας) του συστήµατος στις οποίες όµως έχουµε επιβάλλει µια διαµέριση. Σχήµα: Η ενέργεια ως ελάχιστο µιας κυρτής συνάρτησης. Vj Sj 13 / 34

14 ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ : Για ΜΟΝΩΜΕΝΑ συστήµατα η Εσωτερική Ενέργεια και η Εντροπία είναι Σχήµα: Η ενέργεια ως κυρτή συνάρτηση. Σχήµα: Η εντροπία ως κοίλη συνάρτηση. S V U 14 / 34

15 ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ : Αύξηση της εντροπίας - 5 Για ένα ΚΛΕΙΣΤΟ ή ΑΝΟΙΚΤΟ σύστηµα, ισχύει TdS q (ανισότητα CLAUSIUS) (12) ή για πεπερασµένες µεταβολές T S q. (13) Η ισότητα στη σχέση Clausius ισχύει για αντιστρεπτές διαδικασίες, TdS = q, T S = q. (14) 15 / 34

16 ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΡΙΤΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ : Η απόλυτη τιµή της Εντροπίας Η εντροπία ενός συστήµατος στην απόλυτη ϑερµοκρασία του µηδενός (T = 0) είναι µηδέν (S = 0). Αυτό συµπεραίνεται από την κβαντική συµπεριφορά του συστήµατος όπου στο απόλυτο µηδέν το σύστηµα ϐρίσκεται στη µη εκφυλισµένη ϑεµελιώδη κατάστασή του (Ω = 1). είτε επίσης το ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ζ. k B = 1, JK 1 είναι η σταθερά Boltzmann S(U) = k B ln Ω. (15) 16 / 34

17 ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ U1, V1, N1 U4, V4, N 4 U2, V 2, N 2 U 3, V 3, N 3 Ui, V i, N i Ενα ΜΟΝΩΜΕΝΟ σύστηµα µπορεί να ϑεωρηθεί ως η ένωση p υποσυστηµάτων επιβάλλοντας µια διαµέριση. Κάθε υποσύστηµα διακρίνεται από τις µεταβλητές (S j, V j, N j ), τις οποίες ϑεωρούµε συνεχείς. Η κατάσταση ισορροπίας αντιστοιχεί στο ελάχιστο της ολικής ενέργειας U(S 1,..., S p, V 1,..., V p, N 1,..., N p) που ϑεωρείται συνάρτηση όλων των µεταβλητών (S j, V j, N j ) και οι οποίες ικανοποιούν τους δεσµούς Σχήµα: Σύστηµα ϑεωρούµενο ως ένωση υποσυστηµάτων. F 1 = F 2 = F 3 = p S j S T = 0 (16) j=1 p V j V T = 0 (17) j=1 p N j N T = 0. (18) j=1 17 / 34

18 ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Από το µεγάλο αριθµό διαµερίσεων ή µικροκαταστάσεων η ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ µπορεί να προβλέψει ποιες αντιστοιχούν στις καταστάσεις ϑερµοδυναµικής ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Για να ϐρούµε τις συνθήκες ισορροπίας εφαρµόζουµε τη µέθοδο των Πολλαπλασιαστών Lagrange (δες ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ ). Αναζητούµε τα ακρότατα της συνάρτησης G(S j, V j, N j, λ i) = U(S j, V j, N j ) 3 λ if i. (19) i=1 G S j G V j G N j = U S j λ 1 = 0 (j = 1,..., p) (20) = U V j λ 2 = 0 (j = 1,..., p) (21) = U N j λ 3 = 0 (j = 1,..., p). (22) 18 / 34

19 ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εποµένως από τις οποίες συµπεραίνουµε T j = λ 1 (j = 1,..., p) (23) P j = λ 2 (j = 1,..., p) (24) µ j = λ 3 (j = 1,..., p), (25) T 1 =... = T p = σταθερά (ϑερµική ισορροπία) P 1 =... = P p = σταθερά (µηχανική ισορροπία) µ 1 =... = µ p = σταθερά (χηµική ισορροπία). 19 / 34

20 Ορισµός Στην κατάσταση Θερµοδυναµικής Ισορροπίας η ΣΥΖΥΓΗΣ ΕΝΤΑΤΙΚΗ µεταβλητή, (ϑερµοκρασία - πίεση - χηµικό δυναµικό), έχει την ίδια τιµή σε όλο το σύστηµα. Οι ποσότητες (S, T), (V, P), (n i, µ i) ονοµάζονται ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. 20 / 34

21 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1 ιατυπώστε τον πρώτο και δεύτερο νόµο της Θερµοδυναµικής ξεχωριστά για µονωµένα και κλειστά (ανοικτά) συστήµατα. 2 Αποδείξτε ότι, η δεύτερη παράγωγος της εσωτερικής ενέργειας ως προς την εντροπία συνδέεται µε τη ϑερµορχωρητικότητα του συστήµατος µε σταθερό τον όγκο. 3 Αποδείξτε την ανισότητα Clausius. 4 Πότε ένα σύστηµα ισορροπεί µε το περιβάλλον του; 21 / 34

22 ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ - 1 Πίνακας: ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ και οι ιδιότητές τους. Εσωτερική Ενέργεια (U) - Μονωµένο Σύστηµα, Μικροκανονική Συλλογή Ενθαλπία (H) - Ισοβαρές Σύστηµα, Ισοβαρής Συλλογή Ελεύθερη Ενέργεια Helmholtz (A) - Κλειστό Σύστηµα, Κανονική Συλλογή Ελεύθερη Ενέργεια Gibbs (G) - Ανοικτό Σύστηµα, Ισόθερµη και Ισοβαρής Συλλογή U H U(S, V, N) = TS + ( P)V + µn H(S, P, N) = U ( P)V du(s, V, N) = TdS + ( P)dV + µdn dh(s, P, N) = d(u + PV ) du(s, V, N) = TdS PdV + µdn dh(s, P, N) = TdS + VdP + µdn ( ) U S ( ) V,N U V ( ) S,N U N S,V = T = P = µ ( ) H S ( ) P,N H P ( ) S,N H N S,P = T = V = µ ( ) T V ( ) S,N T N ( ) S,V P N S,V ( ) = P S ( ) V,N µ = S ( ) V,N µ = V S,N ( ) T P ( ) S,N T N ( ) S,P V N S,P = = = ( ) V S ( ) P,N µ S ( ) P,N µ P S,N 22 / 34

23 ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ - 2 Πίνακας: ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΥΝΑΜΙΚΑ και οι ιδιότητές τους. Εσωτερική Ενέργεια (U) - Μονωµένο Σύστηµα, Μικροκανονική Συλλογή Ενθαλπία (H) - Ισοβαρές Σύστηµα, Ισοβαρής Συλλογή Ελεύθερη Ενέργεια Helmholtz (A) - Κλειστό Σύστηµα, Κανονική Συλλογή Ελεύθερη Ενέργεια Gibbs (G) - Ανοικτό Σύστηµα, Ισόθερµη και Ισοβαρής Συλλογή A G A(T, V, N) = U TS G(T, P, N) = U TS ( P)V da(t, V, N) = d(u TS) dg(t, P, N) = d(u TS + PV ) da(t, V, N) = SdT PdV + µdn dg(t, P, N) = SdT + VdP + µdn ( ) A T ( ) V,N A V ( ) T,N A N T,V = S = P = µ ( ) G T ( ) P,N G P ( ) T,N G N T,P = S = V = µ ( ) S V ( ) T,N S N ( ) T,V P N T,V = = = ( ) P T ( ) V,N µ T ( ) V,N µ V T,N ) -( S P ) T,N -( S N ( ) T,P V N T,P = = = ( ) V T ( ) P,N µ T ( ) P,N µ P T,N 23 / 34

24 Το Μνηµονικό Τετράγωνο Σχήµα: Wikipedia : 24 / 34

25 Μετασχηµατισµοί Legendre Ορισµός (IV-1) Για µη µονωµένα συστήµατα ϑεωρούµε ως ανεξάρτητες µεταβλητές ποσότητες που µπορούµε να ελέγχουµε καλλίτερα στο εργαστήριο, όπως η ϑερµοκρασία και η πίεση. Σε αυτές τις περιπτώσεις τα κατάλληλα ϑερµοδυναµικά δυναµικά περιγράφονται µε ένα µετασχηµατισµό Legendre της εσωτερικής ενέργειας. Οι καταστάσεις ισορροπίας του συστήµατος αντιστοιχούν στα ακρότατα του ϑερµοδυναµικού δυναµικού που έχουν ελάχιστο ως προς τις εκτατικές µεταβλητές και µέγιστο ως προς τις εντατικές µεταβλητές. 25 / 34

26 Μετασχηµατισµοί Legendre και Θερµοδυναµικά υναµικά Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση f (x) είναι µια κυρτή συνάρτηση. Στο Σχήµα a παρατηρούµε ότι κάθε εφαπτοµένη σε µια κυρτή καµπύλη έχει όλη την καµπύλη προς την ίδια πλευρά. Εποµένως, µπορούµε να περιγράψουµε την καµπύλη αντί των σηµείων (x, f (x)) µε το Ϲεύγος τιµών της εφαπτοµένης της καµπύλης στο σηµείο x και της τοµής της εφαπτοµένης µε τον άξονα y, Από τον ορισµό της εφαπτοµένης ( ) df L, δηλ. µε το Ϲεύγος τιµών dx ϐρίσκουµε το µετασχηµατισµό Legendre L 1 f(x) L m 0 x x 1 2 L 2 x m x (( df dx ) ), L (Σχήµα b). x = f (x) L x 0, (26) L = f (x) df x. (27) dx f(x) L(df/dx) (a) (b) (c) x L 1 L m L 2 x 1 x 2 xm x df/dx L(df/dx) = f(x) f x f = df/dx ηλ. αφαιρούµε από τη συνάρτηση f (x) το γινόµενο των συζυγών µεταβλητών που µετασχηµατίζουµε. Από την εξίσωση της παραγώγου υπολογίζουµε το x ως συνάρτηση του 26 / 34

27 Ανεξάρτητες µεταβλητές (S, P, n i ) ΕΝΘΑΛΠΙΑ H(S, P, n i) = U ( P)V (28) ( ) H S P,n i = T, dh = TdS + VdP + ( ) H P S,n i = V r µ idn i (29) i=1 ( ) H n i S,P,n j = µ i. (30) Σε καταστάσεις ισορροπίας η ενθαλπία ϐρίσκεται σε ελάχιστο (ως προς µη-περιορισµένες (unconstrained) εσωτερικές διαµερίσεις) ως αναφορά τις εκτατικές µεταβλητές και µέγιστο ως προς τις εντατικές µεταβλητές. 27 / 34

28 Ανεξάρτητες µεταβλητές (T, V, n i ) ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ HELMHOLTZ A(T, V, n i) = U TS (31) ( ) A T V,n i da = SdT PdV + = S, ( ) A V T,n i = P r µ idn i (32) i=1 ( ) A n i T,V,n j = µ i. (33) Σε καταστάσεις ισορροπίας η ελεύθερη ενέργεια HELMHOLTZ ϐρίσκεται σε ελάχιστο (ως προς µη-περιορισµένες εσωτερικές διαµερίσεις) ως αναφορά τις εκτατικές µεταβλητές και µέγιστο ως προς τις εντατικές µεταβλητές. 28 / 34

29 Ανεξάρτητες µεταβλητές (T, P, n i ) ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ GIBBS G(T, P, n i) = U TS ( P)V = H TS = A + PV (34) Από το ϑεώρηµα Euler για την ελεύθερη ΕΝΕΡΓΕΙΑ Gibbs συµπεραίνουµε r r G(T, P, n i) = µ i(t, P)n i = µ in i (35) i=1 i=1 ( ) G T P,n i dg = SdT + VdP + = S, ( ) G P T,n i = V r µ idn i (36) i=1 ( ) G n i T,P,n j = µ i. (37) Σε καταστάσεις ισορροπίας η ελεύθερη ενέργεια GIBBS ϐρίσκεται σε ελάχιστο (ως προς µη-περιορισµένες εσωτερικές διαµερίσεις) ως αναφορά τις εκτατικές µεταβλητές και µέγιστο ως προς τις εντατικές µεταβλητές. 29 / 34

30 Ανεξάρτητες µεταβλητές (T, V, µ i ) ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Φ r Φ(T, V, µ i) = A n iµ i = A G = PV (38) i=1 r dφ = SdT PdV n idµ i (39) i=1 ( ) Φ = S, T V,µ i ( ) Φ = P, V T,µ i ( ) Φ = n i. (40) µ i T,V,µ j Σε καταστάσεις ισορροπίας η ελεύθερη ενέργεια Φ ϐρίσκεται σε ελάχιστο (ως προς µη-περιορισµένες εσωτερικές διαµερίσεις) ως αναφορά τις εκτατικές µεταβλητές και µέγιστο ως προς τις εντατικές µεταβλητές. 30 / 34

31 Ανεξάρτητες µεταβλητές (T, P, µ i ) Εξίσωση Gibbs-Duhem r Ψ(T, P, µ) = U ST + VP n iµ i = 0 (41) i=1 r dψ(t, P, µ) = SdT VdP + n idµ i = 0 (42) i=1 31 / 34

32 Εξισώσεις Maxwell ( ) T V S ( ) T P S ( ) S V T ( ) S P T ( ) P =, (43) S V ( ) V =, (44) S P ( ) P =, (45) T V ( ) V =. (46) T P 32 / 34

33 Παράδειγµα Επειδή το dh είναι τέλειο διαφορικό ισχύει ή Οµοίως ή Οµοίως ή 2 H S P = ( ) T P S,N 2 H P N = ( ) V N S,P 2 H S N = ( ) T N S,P 2 H P S, (47) ( ) V =. (48) S P,N 2 H N P, (49) ( ) µ =. (50) P S,N 2 H N S, (51) ( ) µ =. (52) S P,N 33 / 34

34 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1 Τι είναι οι µετασχηµατισµοί Legendre. 2 Αποδείξτε την εξίσωση Gibbs-Duhem. 3 Ξεκινώντας από τα διαφορικά της Ελεύθερης Ενέργειας Helmlhotz και Gibbs να εξαγάγετε τις αντίστοιχες εξισώσεις Maxwell. 34 / 34