ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΩΡΙΑ ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Η Θεωρία διατεταγµένων παρατηρήσεων heory of order a ασχολείται µε τις ιδιότητες και εφαρµογές διατεταγµένων τυχαίων µεταβλητών καθώς και συναρτήσεων των µεταβλητών αυτών Αν τυχαίες µεταβλητές διαταχθούν σε αύξουσα σειρά µεγέθους τότε οδηγούµαστε στο διατεταγµένο δείγµα όπου µε δείγµατος έχουµε συµβολίσει τη µικρότερη διατεταγµένη παρατήρηση του τη δεύτερη µικρότερη διατεταγµένη παρατήρηση του δείγµατος τη µεγαλύτερη διατεταγµένη παρατήρηση του δείγµατος γενικά µε έχει συµβολιστεί η οστή διατεταγµένη παρατήρηση σε ένα δείγµα µεγέθους Αξίζει να σηµειωθεί ότι ακόµη και στην περίπτωση που οι µη διατεταγµένες τυχαίες µεταβλητές είναι ανεξάρτητες drbued d οι τυχαίες µεταβλητές και ισόνοµες depede ad deally των παραπάνω ανισοτικών σχέσεων που πρέπει να ικανοποιούν Παραδείγµατα τυχαίων µεταβλητών είναι εξαρτηµένες λόγω που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι οι ακραίες τιµές eree value { } και a{ } καθώς επίσης και συναρτήσεις όπως το εύρος rage W η διάµεσος eda δ / / αν το µέγεθος του δείγµατος είναι περιττός / αν το µέγεθος του δείγµατος είναι άρτιος η ακραία απόκλιση από το δειγµατικό µέσο eree devae fro he aple ea ενώ στις περιπτώσεις στις οποίες το τυχαίο δείγµα ακολουθεί κανονική κατανοµή Νµσ ιδιαίτερα χρήσιµη είναι και η κατανοµή του τυποποιηµένου εύρους

2 udezed rage W / Sν όπου S ν είναι µια αµερόληπτη εκτιµήτρια της παραµέτρου σ µε ν βαθµούς ελευθερίας Οι ακραίες τιµές συµβάλουν σηµαντικά στη στατιστική µελέτη φυσικών φαινοµένων πχ πληµµυρών ξηρασίας και στη θεωρία πλειστηριασµών Krha το εύρος χρησιµοποιείται στον Έλεγχο Ποιότητας ως απλή εκτίµηση της τυπικής απόκλισης σ του υπό µελέτη χαρακτηριστικού η διάµεσος βρίσκει εφαρµογές στις χρονοσειρές και στην κατασκευή µη παραµετρικών διαγραµµάτων ελέγχου η ακραία απόκλιση αποτελεί βασικό εργαλείο για τον εντοπισµό έκτροπων παρατηρήσεων ouler Grubb 969 Bare & Lew 984 ενώ το τυποποιηµένο εύρος που εξετάζεται λεπτοµερώς στις εργασίες του Boreu χρησιµοποιείται σε ελέγχους βιοϊσοδυναµίας και προβλήµατα ανάλυσης διακύµανσης Οι Sarha & Greeberg χρησιµοποίησαν γραµµικές συναρτήσεις διατεταγµένων παρατηρήσεων για να εκτιµήσουν παραµέτρους θέσης και κλίµακας τόσο σε πλήρη όσο και σε ελλιπή δεδοµένα η συνάρτηση πυκνότητας µιας γραµµικής συνάρτησης διατεταγµένων παρατηρήσεων υπολογίζεται σε ειδικές περιπτώσεις κατανοµών όπως για παράδειγµα για την εκθετική και την οµοιόµορφη στις εργασίες των Al & Obadullah 98 και Al & Mead 969 αντίστοιχα Εκτενής µελέτη γραµµικών εκτιµήσεων της µέσης τιµής σε κανονικούς πληθυσµούς όπως για παράδειγµα ειγµατικός µέσος aple ea Περικοµµένος µέσος red ea r T r r r Worzed µέσος W r r r r r r Τροποποιηµένη εκτιµήτρια µέγιστης πιθανοφάνειας odfed au lelhood eaor r rβ r M r rβ r r όπου r Γραµµικά σταθµισµένος µέσος learly weghed ea L r / r / r r r

3 πραγµατοποιείται στην εργασία των Davd & Shu 978 µε βάση τους πίνακες που δίνονται στην εργασία των Davd e al 977 Επιπλέον η ακραία τιµή έχει χρησιµοποιηθεί εκτενώς για την εκτίµηση παραµέτρων σε µη κανονικές κατανοµές Συγκεκριµένα οι Cohe & Whe Cohe 988 και Cohe e al υπολόγισαν εκτιµήτριες µέγιστης πιθανοφάνειας για τις παραµέτρους διαφόρων κατανοµών όπως της Webull της λογαριθµοκανονικής ή της γενικευµένης Γάµµα κατανοµής Ένα ακόµη πεδίο στο οποίο η θεωρία διατεταγµένων παρατηρήσεων παίζει σηµαντικό ρόλο είναι η ταξινόµηση rag και επιλογή πληθυσµών όταν η βασική υπόθεση είναι ότι οι τυχαίες µεταβλητές προέρχονται από διαφορετικούς πληθυσµούς Στόχος είναι η αξιολόγηση και επιλογή του καλύτερου πληθυσµού µε βάση τα διαθέσιµα δεδοµένα Για περισσότερες λεπτοµέρειες ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στη µονογραφή των Gbbo e al 977 Επιπλέον η θεωρία διατεταγµένων παρατηρήσεων βρίσκει εφαρµογή στη διαδικασία πολλαπλών συγκρίσεων όταν οι εµπλεκόµενες τυχαίες µεταβλητές δεν είναι ισόνοµες βλ Hohberg & Tahae 987 αλλά και στη δηµιουργία µη παραµετρικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης για διάφορα ποσοστηµόρια ή διαφορές αυτών της κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής βλ Krew 976 Guldbaud 98 Flger & Wolfe 979 και Brol 99 Η θεωρία διατεταγµένων παρατηρήσεων έχει επίσης ουσιαστική συµβολή στη µελέτη συστηµάτων αξιοπιστίας Ένα σύστηµα µονάδων ονοµάζεται απόταg αν λειτουργεί όταν και µόνο όταν λειτουργούν τουλάχιστον από τις µονάδες του Είναι φανερό ότι ο χρόνος έως την αποτυχία του συστήµατος δηλαδή ο χρόνος ζωής του συστήµατος είναι η οστή διατεταγµένη παρατήρηση ή ισοδύναµα ο χρόνος µέχρι να µείνουν σε λειτουργία λιγότερες από µονάδες Οι ειδικές περιπτώσεις και αντιστοιχούν στο παράλληλο και το σειριακό σύστηµα Στη Θεωρία Αξιοπιστίας υπάρχει πληθώρα συστηµάτων των οποίων ο χρόνος ζωής µπορεί να µελετηθεί µε τη βοήθεια των κατανοµών των διατεταγµένων παρατηρήσεων Αναλυτικότερη παρουσίαση δίνεται σε επόµενο κεφάλαιο του παρόντος κειµένου Επιπλέον στοχαστικές διατάξεις ανάµεσα στους χρόνους ζωής συστηµάτων αξιοπιστίας οι οποίες υλοποιούνται µε τη στοχαστική σύγκριση διατεταγµένων παρατηρήσεων προσφέρουν σηµαντικές πληροφορίες για την

4 ποιότητα και τη λειτουργία των συστηµάτων αυτών βλ K 99 Bapa & Korwar 994 Bolad e al 994 Hu e al και Korwar Σηµαντική είναι επίσης η συµβολή της θεωρίας διατεταγµένων παρατηρήσεων στο Στατιστικό Έλεγχο Ποιότητας Βασικά εργαλεία για την παρακολούθηση µιας παραγωγικής διαδικασίας είναι τα διαγράµµατα ελέγχου orol har τα οποία έχουν στόχο να εντοπίσουν τυχόν ειδικά αίτια µεταβλητότητας του υπό µελέτη χαρακτηριστικού Η κατασκευή πολλών διαγραµµάτων ελέγχου βασίζεται σε διατεταγµένες παρατηρήσεις ή συναρτήσεις αυτών όπως είναι το εύρος R har και η διάµεσος eda har Επιπροσθέτως πολλοί στατιστικοί έλεγχοι καλής προσαρµογής των δεδοµένων σε συγκεκριµένη κατανοµή στηρίζονται σε διατεταγµένες παρατηρήσεις καθώς βασίζονται σε αποκλίσεις ανάµεσα στην εµπειρική και τη θεωρητική κατανοµή του υπό µελέτη δείγµατος βλ Tu 988 Για παράδειγµα ένα γράφηµα των διατεταγµένων παρατηρήσεων έναντι απλών συναρτήσεων των τάξεων ra τους έχει αποδειχθεί ιδιαίτερα χρήσιµο για παρόµοια προβλήµατα Στην εργασία του Nelo 97 έχει αναπτυχθεί η συγκεκριµένη τεχνική µε γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης κινδύνου hazard fuo προκειµένου να εκτιµηθούν παράµετροι από προοδευτικά λογοκριµένα δείγµατα progrevely eored aple H µελέτη των διατεταγµένων παρατηρήσεων έχει επεκταθεί και στις περιπτώσεις που οι τυχαίες µεταβλητές είναι εξαρτηµένες και µη ισόνοµες Οι Boele 987 και Sahe & D 99 αποδεικνύουν αναδροµικές σχέσεις για τον υπολογισµό της κατανοµής τέτοιων διατεταγµένων παρατηρήσεων ενώ στις εργασίες των Se 97 Pledger & Proha 97 Proha & Sehuraa 976 Hu & Hu 998 και K e al 988 παρουσιάζονται ενδιαφέροντα αποτελέσµατα ανισοτικές σχέσεις για την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής και στοχαστικές διατάξεις ανάµεσα σε εξαρτηµένες και µη ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές που βρίσκουν εφαρµογή σε συστήµατα αξιοπιστίας µε εξαρτηµένες και µη ισόνοµες µονάδες Για εκτενή ανάλυση µη ισόνοµων διατεταγµένων παρατηρήσεων ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στην εργασία του Balarha 7 Τέλος µία ακόµη εφαρµογή της θεωρίας των διατεταγµένων παρατηρήσεων εντοπίζεται σε τεχνικές συµπίεσης δεδοµένων daa opreo στις οποίες µεγάλος αριθµός δεδοµένων αντικαθίσταται µε µικρό αριθµό κατάλληλα επιλεγµένων διατεταγµένων παρατηρήσεων για περισσότερες 4

5 λεπτοµέρειες ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στην εργασία των Eeberger & Poer 965 Η συγκεκριµένη εφαρµογή χρήζει ιδιαίτερης σηµασίας σε προγράµµατα διαστηµικών αποστολών Από κοινού κατανοµή διατεταγµένων παρατηρήσεων Στη συνέχεια θα υποθέτουµε ότι είναι ανεξάρτητες και απόλυτα συνεχείς τυχαίες µεταβλητές µε κοινή συνάρτηση πιθανότητας f και αθροιστική συνάρτηση κατανοµής F και θα συµβολίζουµε µε τις αντίστοιχες διατεταγµένες παρατηρήσεις Τότε δεδοµένων των αντίστοιχων παρατηρούµενων τιµών για τις διατεταγµένες παρατηρήσεις οι τυχαίες µεταβλητές λαµβάνουν τις τιµές οι οποίες λόγω συµµετρίας είναι ισοπίθανες για κάθε µία από τις! µεταθέσεις των ακεραίων { } Ως αποτέλεσµα καταλήγουµε στην ακόλουθη µορφή για την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των διατεταγµένων παρατηρήσεων βλ Balarha & Cohe 99 f! f Για παράδειγµα αν οι τυχαίες µεταβλητές ακολουθούν την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα τότε η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των διατεταγµένων παρατηρήσεων θα δίνεται από τον τύπο f! Από κοινού κατανοµή δύο διατεταγµένων παρατηρήσεων Έστω ότι λαµβάνονται δύο διατεταγµένες παρατηρήσεις από το σύνολο των τυχαίων µεταβλητών Ένας τρόπος για να καταλήξουµε στην από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των είναι ολοκληρώνοντας την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των διατεταγµένων παρατηρήσεων που δίνεται στη σχέση ως προς f! f f Έτσι παίρνουµε 5

6 f f d d f f d d f f d d Υπολογίζοντας τα παραπάνω ολοκληρώµατα λαµβάνουµε αντιστοίχως τα ακόλουθα αποτελέσµατα f f d d { F }! και { F F } f f d d! { F } f f d d! Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκφράσεις για τις τρεις οµάδες ολοκληρωµάτων στη σχέση η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των ακόλουθη µορφή f!!! παίρνει την { F } { F F }! { F } f f 4 Αν θέσουµε στη σχέση 4 και τότε προκύπτει εύκολα η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της µικρότερης και της µεγαλύτερης διατεταγµένης παρατήρησης η οποία θα δίνεται από τον τύπο f { F F } f f Θέτοντας στη σχέση 4 µπορούµε να πάρουµε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας δύο οποιονδήποτε διαδοχικών διατεταγµένων παρατηρήσεων η οποία θα έχει την εξής µορφή! { F } { F } f f!! f 6

7 Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των διατεταγµένων παρατηρήσεων όπως αυτή δίνεται στη σχέση 4 είναι δυνατόν να µελετηθεί και µε έναν δεύτερο εναλλακτικό τρόπο ο οποίος είναι αλγεβρικά απλούστερος και επιτρέπει περαιτέρω γενικεύσεις που µπορούν να εφαρµοσθούν σε πολυπλοκότερα προβλήµατα ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στα κείµενα των Davd Davd & Shu 978 και Arold & Balarha 989 Πιο συγκεκριµένα το ενδεχόµενο δ δ αντιστοιχεί στην ακόλουθη τοποθέτηση των τυχαίων µεταβλητών του αρχικού δείγµατος µία από τις τυχαίες µεταβλητές λαµβάνει τιµή στο διάστηµα δ ] µία δεύτερη λαµβάνει τιµή στο διάστηµα δ ] και για τις υπόλοιπες ικανοποιούνται οι επόµενοι περιορισµοί βλ και σχήµα τυχαίες µεταβλητές είναι µικρότερες ή ίσες από την τιµή τυχαίες µεταβλητές είναι µεγαλύτερες από την τιµή δ και µικρότερες ή ίσες από την τιµή τυχαίες µεταβλητές είναι µεγαλύτερες από την τιµή δ ΣΧΗΜΑ ] 678 ] δ ] } ] δ Η πιθανότητα να παρατηρηθεί η παραπάνω διάταξη δίνεται από την ακόλουθη έκφραση η οποία προκύπτει άµεσα από τη συνάρτηση πιθανότητας της πολυωνυµικής κατανοµής P δ δ!!! { F } { F F δ }! { F δ } { F δ F { F δ F } O δ δ O δ δ } 7

8 Στις ποσότητες δ δ και O δ δ έχουν ενσωµατωθεί οι O πιθανότητες ότι παραπάνω από µία τµ λαµβάνουν τιµή στα διαστήµατα δ ] και δ ] αντίστοιχα Συνεπώς η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των διατεταγµένων παρατηρήσεων θα προκύψει από την τελευταία σχέση ως εξής f P l δ δ δ δ!! δ δ! { F } { F F }! { F } f f οπότε καταλήγουµε και πάλι στην έκφραση 4 Στην περίπτωση που οι τυχαίες µεταβλητές ακολουθούν οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των ακραίων τιµών δίνεται από τον ακόλουθο τύπο f Η τελευταία έκφραση έχει σηµαντική συµβολή στη µελέτη των κατανοµών του εύρους και του µέσου εύρους drage Για περισσότερες λεπτοµέρειες ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στις εργασίες των Gubel Gubel e al 965 και τις µονογραφές των Caella & Berger και Gubel 958 Στο σηµείο αυτό αξίζει να σηµειωθεί πως η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής των διατεταγµένων παρατηρήσεων προκύπτει αν ολοκληρώσουµε την έκφραση της από κοινού συνάρτησης πυκνότητας των όπως αυτή δίνεται στη σχέση 4 διαδοχικά ως προς και Έτσι θα πάρουµε F F F!!!! d d 5 8

9 Εναλλακτικά η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής των µπορεί να εκφρασθεί ως ακολούθως F P Pτουλάχιστον τµ είναι µικρότερες ή ίσες από την τιµή και τουλάχιστον είναι µικρότερες ή ίσες από την τιµή r r P ακριβώς r τµ και ακριβώς τµ! { F r! r!! είναι µικρότερες ή ίσες από την τιµή είναι µικρότερες ή ίσες από την τιµή r } { F F } r { F Συνεπώς η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής των διατεταγµένων παρατηρήσεων αποτελεί την ουρά της δισδιάστατης διωνυµικής κατανοµής στην ορθογώνια περιοχή Σηµειώνουµε ότι συγκρίνοντας τις δύο παραπάνω εκφράσεις προκύπτει η ακόλουθη χρήσιµη ισότητα για p p } r! p r! r!! r p p r p!!! p p! d d Είναι φανερό από τη σχέση 5 πως η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής των διατεταγµένων παρατηρήσεων είναι µια µη πλήρης διδιάστατη συνάρτηση Βήτα Μια διαφορετική προσέγγιση της παραπάνω συνάρτησης δίνεται στην εργασία του Galabo 975 Η συσχέτιση των διατεταγµένων παρατηρήσεων έχει µελετηθεί από τους Bofger & Bofger 965 για την περίπτωση της δισδιάστατης κανονικής κατανοµής ενώ για µη κανονικές κατανοµές από τον Bofger 97 Για µια γενικότερη ανασκόπηση στα αποτελέσµατα της συσχέτισης πολυµεταβλητών δεδοµένων ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στην εργασία του Bare 976 Στη συνέχεια θα εφαρµόσουµε τα παραπάνω αποτελέσµατα για να µελετήσουµε δύο διατεταγµένες παρατηρήσεις στην περίπτωση που οι τυχαίες µεταβλητές U είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες και προέρχονται από 9

10 την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα Χρησιµοποιώντας τη σχέση 4 η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των διατεταγµένων παρατηρήσεων U U παίρνει την ακόλουθη µορφή u u u u u u f!!!! u u 6 Αξίζει να επισηµανθεί ότι η 6 είναι η συνάρτηση πυκνότητας της δισδιάστατης κατανοµής Βήτα ή κατανοµής Drhle ενώ ο σταθερός όρος που εµφανίζεται στην ίδια σχέση είναι της µορφής } { B όπου b a B είναι η τριπαραµετρική πλήρης συνάρτηση Βήτα b a Γ Γ b Γ a Γ b a B και d e z Γ z είναι η πλήρης συνάρτηση Γάµµα Με τη βοήθεια της σχέσης 6 µπορούµε να υπολογίσουµε την οστή ροπή των διατεταγµένων παρατηρήσεων U U όπως φαίνεται παρακάτω u du du u u f u u U U E µ!!!! B B ενώ µετά από αλγεβρικές απλοποιήσεις καταλήγουµε στην ακόλουθη έκφραση!!!!!! µ Θέτοντας στην τελευταία σχέση λαµβάνουµε τον ακόλουθο τύπο U U E µ και εισάγοντας τον συµβολισµό p U E µ υπολογίζεται η συνδιακύµανση των δύο τυχαίων µεταβλητών U U ως εξής

11 όπου p Cov U U µ µ µ p p Αξίζει να σηµειωθεί ότι από την τελευταία σχέση είναι φανερό ότι η συνδιακύµανση των τµ U U είναι µη µηδενική γεγονός που επιβεβαιώνει ότι δύο διατεταγµένες παρατηρήσεις από ένα τυχαίο δείγµα είναι εξαρτηµένες µεταβλητές Ωστόσο οι τυχαίες µεταβλητές U U / και U αποδεικνύεται ότι είναι ανεξάρτητες και ότι ακολουθούν Βήτα κατανοµές µε παραµέτρους και αντίστοιχα Πρόσθετες ενδιαφέρουσες ιδιότητες σχετικά µε διατεταγµένες παρατηρήσεις από την οµοιόµορφη κατανοµή δίνονται στις εργασίες των Malu 95 και Davd & Joho 954 Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο τριγωνικός κανόνας ragle rule που ικανοποιούν οι οστές ροπές των διατεταγµένων παρατηρήσεων U U για όπως φαίνεται στον ακόλουθο τύπο µ µ µ µ Η τελευταία αναδροµική σχέση που αρχικά αποδείχθηκε στην εργασία του Govdaraulu 96 επιτρέπει τον υπολογισµό των οστών ροπών από κατάλληλα επιλεγµένα ζεύγη διατεταγµένων παρατηρήσεων αν είναι διαθέσιµες οι συγκεκριµένες ροπές στα δείγµατα µεγέθους µικρότερου από Παράλληλα οι Sraa 96 και Balarha e al 99 έχουν αποδείξει για την ακόλουθη αναδροµική σχέση για τις οστές ροπές r r µ µ r r r r ενώ οι συνδιακυµάνσεις δύο διατεταγµένων παρατηρήσεων U U για ικανοποιούν την ακόλουθη αναδροµική σχέση βλ Balarha 989 Cov U U Cov U U Cov U U { Cov U U µ µ µ µ }

12 Για γενικότερα αποτελέσµατα σχετικά µε τη συνδιακύµανση συναρτήσεων διατεταγµένων παρατηρήσεων ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στην εργασία του Q 994 Χρησιµοποιώντας τη σχέση 5 η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανοµής των διατεταγµένων παρατηρήσεων τυχαίες µεταβλητές U διάστηµα παίρνει την ακόλουθη µορφή F u u u u U U για την περίπτωση που οι ακολουθούν οµοιόµορφη κατανοµή στο!!!! 4 Κατανοµή µίας διατεταγµένης παρατήρησης d d u u 7 Στην ενότητα αυτή θα µελετήσουµε την κατανοµή µιας διατεταγµένης παρατήρησης που επιλέγεται από το σύνολο των ανεξάρτητων και ισόνοµων τυχαίων µεταβλητών Ακολουθώντας ίδια µεθοδολογία µε αυτή που εφαρµόσθηκε στην προηγούµενη παράγραφο η συνάρτηση πυκνότητας της µπορεί να προκύψει από τη σχέση µε διαδοχικές ολοκληρώσεις ως προς όπως φαίνεται ακολούθως f! f f f d d f f d d Ωστόσο γνωρίζοντας την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας 4 δύο διατεταγµένων παρατηρήσεων µπορούµε να καταλήξουµε στη ζητούµενη πυκνότητα της ολοκληρώνοντας την έκφραση 4 µόνο ως προς Πιο συγκεκριµένα η περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας της παίρνει την παρακάτω µορφή f! { F } { F } f!! 8

13 Για παράδειγµα η συνάρτηση πυκνότητας της ελάχιστης και της µέγιστης διατεταγµένης παρατήρησης προκύπτει θέτοντας στη σχέση 8 και αντίστοιχα οπότε θα πάρουµε και f f { F } f { F } f Εναλλακτικά προκειµένου να υπολογίσουµε την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας της δ µπορούµε να εκφράσουµε το ενδεχόµενο ως εξής µία από τις τυχαίες µεταβλητές λαµβάνει τιµή στο διάστηµα δ ] έτσι ώστε βλ το ακόλουθο σχεδιάγραµµα τυχαίες µεταβλητές να είναι µικρότερες ή ίσες από την τιµή τυχαίες µεταβλητές να είναι µεγαλύτερες από την τιµή δ ] ΣΧΗΜΑ ] δ Η πιθανότητα να παρατηρηθεί η παραπάνω διάταξη εκφράζεται ως εξής P δ! { F!! } { F δ } F δ F } O δ { όπου ο όρος O δ αντιστοιχεί στην πιθανότητα ότι παραπάνω από µία τµ λαµβάνουν τιµή στο διάστηµα δ ] Συνεπώς η συνάρτηση πυκνότητας της διατεταγµένης παρατήρησης τελευταία σχέση ως ακολούθως f l P δ δ δ προκύπτει από την! { F } { F } f!! και έτσι καταλήγουµε και πάλι στην έκφραση 8 9

14 Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της φαίνεται παρακάτω F P µπορεί να εκφρασθεί όπως Pτουλάχιστον τµ είναι µικρότερες ή ίσες από την τιµή } r r r r { F } { F Είναι φανερό από την τελευταία σχέση πως η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της εκφράζεται µέσω της ουράς al probably της διωνυµικής κατανοµής b F όπου είναι το πλήθος των δοκιµών και F η πιθανότητα επιτυχίας Στο σηµείο αυτό αξίζει να σηµειωθεί ότι η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της µπορεί εναλλακτικά να γραφεί µε τη βοήθεια της αρνητικής διωνυµικής κατανοµής όπως απέδειξαν οι Per e al 986 Πράγµατι έχουµε διαδοχικά F P Pσυµβαίνουν επιτυχίες σε σύνολο το πολύ δοκιµών µε πιθανότητα επιτυχίας F { F } { F } { F } { F } { F } { F } Ταυτόχρονα είναι γνωστό πως η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της για ικανοποιεί τις ακόλουθες αναδροµικές σχέσεις βλ Davd & Shu 978 και F για r F r { } r { } F F r r Fr r r { } r { } F F r r Fr r 4

15 Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο τριγωνικός κανόνας ragle rule που ικανοποιούν οι ροπές µιας διατεταγµένης παρατήρησης φαίνεται στον ακόλουθο τύπο Eναλλακτικά οι ροπές έκφραση µ µ µ U για όπως τάξης µπορούν να υπολογισθούν από την επόµενη r r µ r r r µ r Αν θέσουµε / στον παραπάνω τριγωνικό κανόνα παίρνουµε { / / } µ µ / µ και για την ειδική περίπτωση προκύπτει άµεσα η σχέση ή ισοδύναµα { µ / µ / } µ / E { / / } E / η οποία δηλώνει ότι η αναµενόµενη τιµή της δειγµατικής διαµέσου σε ένα δείγµα µεγέθους είναι ίση µε την αναµενόµενη τιµή της δειγµατικής διαµέσου σε ένα δείγµα περιττού µεγέθους Στη συνέχεια θα εφαρµόσουµε τα παραπάνω αποτελέσµατα για τη συνάρτηση πυκνότητας και την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής µίας διατεταγµένης παρατήρησης για την περίπτωση που οι τυχαίες µεταβλητές U είναι ανεξάρτητες ισόνοµες και προέρχονται από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα Χρησιµοποιώντας τη σχέση 8 η συνάρτηση πυκνότητας της διατεταγµένης παρατήρησης U δίνεται από τον ακόλουθο τύπο f!!! και είναι φανερό πως η κατανοµή της τµ u u u u U ταυτίζεται µε την κατανοµή Βήτα µε παραµέτρους και για εκτενή µελέτη της κατανοµής Βήτα ο αναγνώστης παραπέµπεται στα κείµενα των Joho e al 995 και Κούτρας 5

16 Με τη βοήθεια της τελευταίας σχέσης µπορούµε να υπολογίσουµε την οστή ροπή της διατεταγµένης παρατήρησης U ως εξής µ E U u f u du B / B ή ισοδύναµα!! µ!! Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της τον ακόλουθο τύπο ή εναλλακτικά βλ σχέση 9 FU u r FU u u u r r η οποία είναι µια συνάρτηση Βήτα u U δίνεται σύµφωνα µε την από!!! r d u Συγκρίνοντας τις τελευταίες σχέσεις µε τις 9 και καταλήγουµε στην ακόλουθη έκφραση για την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής µίας διατεταγµένης παρατήρησης από τυχαίο δείγµα µεγέθους που προέρχεται από οποιαδήποτε κατανοµή F F F!!! d Στο σηµείο αυτό αξίζει να σηµειωθεί ότι στη διεθνή βιβλιογραφία έχουν διατυπωθεί και αποδειχθεί αντίστοιχα αποτελέσµατα υπολογισµού των ροπών µιας διατεταγµένης παρατήρησης που προέρχεται από άλλες συνεχείς κατανοµές όπως για παράδειγµα την κατανοµή Pareo Huag 99 την εκθετική κατανοµή Joh την κατανοµή Webull Leble 955 τη λογιστική Gupa & Shah 965 Balarha & Koherlaoa 986 την κανονική Tehroew 956 Sarha & Greeberg 956 την κατανοµή Γάµµα Gupa 96 κα 5 Ιδιότητες των διατεταγµένων παρατηρήσεων Στη συγκεκριµένη παράγραφο θα παρουσιάσουµε γνωστά αποτελέσµατα που αφορούν τις διατεταγµένες παρατηρήσεις τα οποία θα φανούν χρήσιµα σε επόµενα 6

17 κεφάλαια Θεωρούµε ότι U U U είναι ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους που προέρχεται από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα και ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους που προέρχεται από µία κατανοµή F Επιπλέον U U U και είναι τα διατεταγµένα δείγµατα που προκύπτουν από τα παραπάνω δείγµατα αντιστοίχως Είναι γνωστό ότι αν η κατανοµή F είναι συνεχής τότε ο µετασχηµατισµός U F παράγει την οµοιόµορφη κατανοµή Συνεπώς όταν η F είναι συνεχής ισχύει ότι d F U όπου d συµβολίζει την ταύτιση των κατανοµών που ακολουθούν οι δύο τυχαίες µεταβλητές Αν F είναι η αντίστροφη αθροιστική συνάρτηση η οποία ορίζεται ως ακολούθως F τότε θα ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις F F u f{ F u} u u F F και οδηγούµαστε στην ισοδυναµία βλ Serflg 98 u F F Συνεπώς για F έχουµε τα εξής u u F P ή ισοδύναµα P F F P U F P F U και d F U d F U Οι σχέσεις και οι οποίες είχαν αρχικά παρατηρηθεί από τους Sheffe και Tuey 945 µπορούν µε τη βοήθεια της σχέσης να οδηγήσουν στην αθροιστική συνάρτηση κατανοµής και τη συνάρτηση πυκνότητας της διατεταγµένης παρατήρησης Επιπλέον µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης ενός ποσοστηµορίου F p του πληθυσµού των οποίων τα όρια είναι διατεταγµένες παρατηρήσεις Πιο συγκεκριµένα αν η κατανοµή είναι απόλυτα συνεχής τότε F F p p και συνεπώς έχουµε 7

18 P F p P F p P U r r p p r r p Όµως για ισχύουν τα ακόλουθα P F p P F p F p P F p F p P F p P F p Εφόσον η τυχαία µεταβλητή είναι απόλυτα συνεχής η τελευταία ισότητα γράφεται στην ακόλουθη µορφή P F p P F p P F p r p r r p r 4 Συνεπώς µπορούµε να κατασκευάσουµε διάστηµα εµπιστοσύνης για την ποσότητα F p της µορφής Y Y ] µε συντελεστή που δίνεται στην 4 Είναι φανερό [ πως το διάστηµα εµπιστοσύνης που δηµιουργείται µε τον τρόπο αυτό δεν εξαρτάται από την κατανοµή F και µπορεί να προσδιορισθεί µε τη βοήθεια των πινάκων της διωνυµικής κατανοµής Η συγκεκριµένη µέθοδος µπορεί να γενικευθεί για την κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης για διαφορές ποσοστηµορίων όπως για παράδειγµα για το γνωστό ενδοτεταρτηµοριακό εύρος eruarle rage Για περισσότερες λεπτοµέρειες ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στις εργασίες των Thopo 96 MKo 964 και Heaperger & Sheaher 986 Οι επόµενες δύο προτάσεις συνδέουν τη δεσµευµένη κατανοµή διατεταγµένων παρατηρήσεων η δέσµευση αναφέρεται σε µία διατεταγµένη παρατήρηση µε την κατανοµή διατεταγµένων παρατηρήσεων που προέρχονται από πληθυσµό του οποίου η κατανοµή είναι µία περικοµµένη µορφή της αρχικής κατανοµής F του πληθυσµού Πρόταση Έστω ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους που προέρχεται από µία κατανοµή F και το αντίστοιχο διατεταγµένο δείγµα Τότε η δεσµευµένη κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής δοθέντος ότι για είναι ίδια µε την κατανοµή της οστής διατεταγµένης παρατήρησης από ένα 8

19 δείγµα µεγέθους που προέρχεται από την περικοµµένη αριστερά στην τιµή κατανοµή F Πρόταση Έστω ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους που προέρχεται από µία κατανοµή F και το αντίστοιχο διατεταγµένο δείγµα Τότε η δεσµευµένη κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής δοθέντος ότι για είναι ίδια µε την κατανοµή της οστής διατεταγµένης παρατήρησης από ένα δείγµα µεγέθους που προέρχεται από την περικοµµένη δεξιά στην τιµή κατανοµή F Τα αποτελέσµατα των παραπάνω προτάσεων γενικεύονται και στην περίπτωση που η δέσµευση γίνεται µε δύο διατεταγµένες παρατηρήσεις Για τις αποδείξεις των Προτάσεων και αλλά και τις γενικεύσεις αυτών ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στη µονογραφή των Arold e al 99 Στην περίπτωση που η κατανοµή του υπό µελέτη δείγµατος είναι συµµετρική γύρω από το µηδέν η κατανοµή των διατεταγµένων παρατηρήσεων παρουσιάζει ενδιαφέρουσες ιδιότητες Πιο συγκεκριµένα χρησιµοποιώντας τις ακόλουθες σχέσεις η σχέση 8 οδηγεί στο συµπέρασµα ενώ από τη σχέση 4 έχουµε το εξής f f F F d d Τα δύο τελευταία αποτελέσµατα µειώνουν σηµαντικά το υπολογιστικό βάρος των ροπών των διατεταγµένων παρατηρήσεων που προέρχονται από συµµετρικές κατανοµές Για παράδειγµα για τις ροπές µ E µίας διατεταγµένης παρατήρησης ισχύει ότι µ µ και συνεπώς για προκύπτει η ακόλουθη σχέση µ µ 9

20 ενώ για τις ροπές έχουµε ότι µ δύο διατεταγµένων παρατηρήσεων µ µ και παίρνουµε µ µ Τέλος για τη συνδιακύµανση των ισχύει Cov Cov Η θεωρία διατεταγµένων παρατηρήσεων έχει σηµαντική συµβολή στη µελέτη συστηµάτων αξιοπιστίας Για παράδειγµα ο χρόνος ζωής ενός συστήµατος απότα F το οποίο αποτυγχάνει αν και µόνο αν αποτύχουν τουλάχιστον µονάδες του ταυτίζεται µε τον οστό διατεταγµένο χρόνο ζωής των µονάδων του δηλαδή ο χρόνος ζωής του παραπάνω συστήµατος έχει την ίδια κατανοµή µε τη διατεταγµένη παρατήρηση µεταβλητών το που προέρχεται από ένα σύνολο τυχαίων παριστάνει το χρόνο ζωής της οστής µονάδας του συστήµατος Με ανάλογο τρόπο προκύπτει πως στο σύστηµα απόταg όπως αυτό ορίζεται στην Παράγραφο η οστή διατεταγµένη αποτυχία µονάδας του προκαλεί την αποτυχία του συστήµατος δηλαδή ο χρόνος ζωής του παραπάνω συστήµατος έχει την ίδια κατανοµή µε τη διατεταγµένη παρατήρηση που προέρχεται από ένα σύνολο τυχαίων µεταβλητών Η εφαρµογή των αποτελεσµάτων της εργασίας του Cole 95 προσφέρει για τον παραπάνω τύπο συστηµάτων αναδροµικές σχέσεις για το χρόνο ζωής τους Πρόσθετα συµπεράσµατα σχετικά µε αναδροµικές σχέσεις διατεταγµένων παρατηρήσεων περιλαµβάνονται στις εργασίες των Arold 977 Joh 97 και Joh & Balarha 98 6 Ιδιότητες γήρανσης των διατεταγµένων παρατηρήσεων Στη συγκεκριµένη παράγραφο θα µελετήσουµε ιδιότητες γήρανσης των διατεταγµένων παρατηρήσεων που προέρχονται από διάφορες κλάσεις κατανοµών Συγκεκριµένα αφού δώσουµε σύντοµα τους απαραίτητους ορισµούς θα εξετάσουµε αν διατηρείται το είδος γήρανσης της κατανοµής της οστής διατεταγµένης

21 παρατήρησης ενός τυχαίου δείγµατος µεγέθους Τα αποτελέσµατα που θα παρουσιασθούν στην παρούσα παράγραφο είναι γνωστά στη διεθνή βιβλιογραφία και βρίσκουν σηµαντικές εφαρµογές στη Θεωρία Αξιοπιστίας όπως για παράδειγµα στη µελέτη του χρόνου ζωής του συστήµατος απότα F Θεωρούµε ένα σύστηµα αξιοπιστίας µε µονάδες Έστω ότι µια µονάδα έχει λειτουργήσει χωρίς αποτυχία στο χρονικό διάστηµα [ ] για µε Αν συµβολίσουµε το χρόνο ζωής της µονάδας τυχαία µεταβλητή τότε η πιθανότητα να λειτουργήσει χωρίς αποτυχία για επιπλέον χρονικές µονάδες δηλαδή µε άλλα λόγια η πιθανότητα να επιβιώσει στο χρονικό διάστηµα ] θα είναι ίση µε P P > R > > P > R όπου R P > εκφράζει την πιθανότητα να ζήσει η µονάδα µέχρι τη χρονική στιγµή αξιοπιστία της µονάδας τη στιγµή Επιπλέον η πιθανότητα αποτυχίας της µονάδας στο ίδιο αυτό διάστηµα ] θα είναι P P R R > 5 P > R Αν υπάρχει η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης αξιοπιστίας R τότε θα δίνεται από τον τύπο οπότε ' R R R l 6 R ' R R R R l l 7 R R R Από τις σχέσεις παίρνουµε R ' R P > l Ο λόγος

22 R P λ l R > ' είναι η στιγµιαία βαθµίδα αποτυχίας falure rae hazard rae ey of falure και εκφράζει το δεσµευµένο ρυθµό αποτυχίας της µονάδας στο διάστηµα ] για δεδοµένου ότι > Η συνάρτηση αυτή µπορεί να ερµηνευθεί σαν ρυθµός αποτυχίας µε την ακόλουθη έννοια Αν υπάρχει µεγάλος αριθµός µονάδων έστω σε λειτουργία τη στιγµή τότε η ποσότητα λ είναι κατά προσέγγιση ίση µε τον αριθµό αποτυχιών ανά µονάδα χρόνου εναλλακτικά µπορούµε να πούµε ότι η βαθµίδα αποτυχίας είναι κατά προσέγγιση ίση µε τον αριθµό αποτυχιών ανά µονάδα χρόνου ανά µονάδα σε κίνδυνο Επιπρόσθετα αν T είναι ο χρόνος ζωής ενός συστήµατος που αποτελείται από µονάδες και R T η αξιοπιστία του τότε η βαθµίδα αποτυχίας λ του συστήµατος θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση RT λ T R Για περισσότερες λεπτοµέρειες σχετικά µε τη βαθµίδα αποτυχίας ενός µονότονου συστήµατος ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στις εργασίες των Eary & Proha 96 Eary & Marhall 964 και τις µονογραφές των Barlow & Proha T Στη συνέχεια θα δώσουµε τους ορισµούς ορισµένων κλάσεων κατανοµών οι οποίες θα µας απασχολήσουν στη συνέχεια της συγκεκριµένης Παραγράφου Η οικογένεια των κατανοµών µε την ιδιότητα η βαθµίδα αποτυχίας τους να είναι αύξουσα φθίνουσα συνάρτηση του ονοµάζεται οικογένεια Ireag Falure Rae IFR Dereag Falure Rae DFR Πιο συγκεκριµένα η οικογένεια κατανοµών IFR DFR ορίζεται ως ακολούθως Ορισµός Μια µη διακριτή κατανοµή F είναι IFR DFR αν και µόνο αν ο λόγος ' T F F F F F F αυξάνεται µειώνεται ως προς ή ισοδύναµα αν η συνάρτηση F F / F είναι φθίνουσα αύξουσα ως προς για και για > ώστε F

23 Ο επόµενος ορισµός αφορά τις οικογένειες κατανοµών Ireag Falure Rae o Average IFRA και Dereag Falure Rae o Average DFRA Ορισµός Μια κατανοµή F λέµε ότι είναι IFRA DFRA αν για > ο λόγος αυξάνεται µειώνεται ως προς το λ d ιαισθητικά αν µια κατανοµή είναι IFRA DFRA τότε η βαθµίδα αποτυχίας της αυξάνεται µειώνεται όχι συνεχώς όπως στην περίπτωση µιας IFR DFR κατανοµής αλλά «κατά µέσο όρο» Ο επόµενος ορισµός αφορά τις οικογένειες κατανοµών NBU ew beer ha ued και NWU ew wore ha ued Ορισµός Μια κατανοµή F είναι NBU NWU αν και µόνο αν F y F F y για y Η ιδιότητα NBU NWU δηλώνει ότι η πιθανότητα επιβίωσης πέρα από την ηλικία y δεδοµένου ότι η µονάδα λειτουργεί τη χρονική στιγµή η οποία δίνεται από τον τύπο F y / F είναι µικρότερη ή ίση µεγαλύτερη ή ίση από την πιθανότητα επιβίωσης πέραν του χρόνου y για µια καινούρια µονάδα η ισότητα ισχύει µόνο στην περίπτωση της εκθετικής κατανοµής Θεωρούµε στη συνέχεια ότι είναι ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους που προέρχεται από µία κατανοµή F και είναι οι αντίστοιχες διατεταγµένες παρατηρήσεις Οι Barlow & Proha 975 απέδειξαν τη διατήρηση των ιδιοτήτων γήρανσης των παρατηρήσεων του αρχικού δείγµατος όπως φαίνεται στην ακόλουθη Πρόταση Πρόταση α Αν η κατανοµή F των τυχαίων µεταβλητών είναι IFR IFRA τότε και η κατανοµή F των είναι IFR IFRA β Αν η κατανοµή F της τυχαίας µεταβλητής είναι IFR IFRA τότε και η κατανοµή F των είναι IFR IFRA

24 Στην εργασία του Taaha 988 αποδεικνύεται η ακόλουθη Πρόταση που σχετίζεται µε τη διατήρηση της ιδιότητας IFR DFR από την οστή διατεταγµένη παρατήρηση στην αµέσως επόµενη προηγούµενη του ίδιου τυχαίου δείγµατος Πρόταση 4 α Αν η κατανοµή F της τυχαίας µεταβλητής είναι IFR τότε και η κατανοµή της είναι IFR β Αν η κατανοµή F της τυχαίας µεταβλητής είναι DFR τότε και η κατανοµή της είναι DFR Ο Nagaraa 99 γενίκευσε τα αποτελέσµατα της Πρότασης 4 µελετώντας τη διατήρηση ιδιοτήτων γήρανσης από την οστή διατεταγµένη παρατήρηση ενός τυχαίου δείγµατος µεγέθους σε διατεταγµένες παρατηρήσεις διαφορετικού µεγέθους Τα αποτελέσµατα της εργασίας του δίνονται στην Πρόταση 5 Πρόταση 5 α Αν η κατανοµή F της τυχαίας µεταβλητής είναι IFR τότε και οι κατανοµές F F των είναι IFR β Αν η κατανοµή F της τυχαίας µεταβλητής είναι DFR τότε και οι κατανοµές F F των είναι DFR Αξίζει να σηµειωθεί ότι η Πρόταση 5 ισχύει και για άλλες οικογένειες κατανοµών όπως η IFRA DFRA και NBU NWU Ένα πρόσθετο αποτέλεσµα διατήρησης προκύπτει αν ικανοποιείται µια συγκεκριµένη συνθήκη για την τάξη της διατεταγµένης παρατήρησης όπως φαίνεται στην ακόλουθη Πρόταση Πρόταση 6 α Αν η κατανοµή F της τυχαίας µεταβλητής είναι IFR και τότε και η κατανοµή της είναι IFR β Αν η κατανοµή F της τυχαίας µεταβλητής και DFR τότε και η κατανοµή της είναι DFR είναι Οι Προτάσεις 5 και 6 βρίσκουν ποικίλες εφαρµογές και ενδιαφέρουσες ερµηνείες Για παράδειγµα αν θεωρήσουµε ότι το µέγεθος του δείγµατος είναι περιττός 4

25 αριθµός και θέσουµε τότε η διατεταγµένη παρατήρηση / εκφράζει τη δειγµατική διάµεσο Συνεπώς µπορούµε να συµπεράνουµε ότι αν η διάµεσος ενός δείγµατος µεγέθους ακολουθεί IFR DFR κατανοµή τότε και οι διάµεσοι όλων των δειγµάτων µε περιττό µέγεθος µεγαλύτερο µικρότερο από ακολουθούν IFR DFR κατανοµές Επιπλέον τα παραπάνω αποτελέσµατα συντελούν και στη µελέτη του χρόνου ζωής συστηµάτων αξιοπιστίας µε ανεξάρτητες και ισόνοµες µονάδες Συγκεκριµένα αν ο χρόνος ζωής ενός παράλληλου συστήµατος µε µονάδες ακολουθεί κατανοµή IFR IFRA ή NBU τότε όλα τα παράλληλα συστήµατα µε περισσότερες από µονάδες έχουν χρόνους ζωής µε αυτές τις ιδιότητες αντίστοιχα Παρόµοια συµπεράσµατα εξάγονται και για τις κλάσεις κατανοµών DFR DFRA και NWU 7 Στοχαστική σύγκριση των διατεταγµένων παρατηρήσεων Η ιδέα της στοχαστικής διάταξης µεταξύ δύο τυχαίων µεταβλητών είναι ένα χρήσιµο εργαλείο στη σύγκριση των χρόνων ζωής συστηµάτων αξιοπιστίας Στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν διάφοροι τύποι στοχαστικής σύγκρισης ωστόσο στο παρόν κείµενο θα περιοριστούµε στη συνήθη στοχαστική διάταξη uual oha orderg στη διάταξη µε βάση τη βαθµίδα αποτυχίας hazard rae orderg και τη διάταξη του λόγου πιθανοφάνειας lelhood rao orderg οι ορισµοί των οποίων δίνονται παρακάτω για περισσότερες λεπτοµέρειες σχετικά µε τις στοχαστικές διατάξεις µεταξύ τυχαίων µεταβλητών ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στη µονογραφία των Shaed & Shahuar 994 Ορισµός 4 Αν Τ Τ είναι δύο τυχαίες µεταβλητές τµ τότε λέµε ότι η τµ Τ είναι µεγαλύτερη από την Τ ως προς τη συνήθη στοχαστική διάταξη συµβολικά T T αν ισχύει η σχέση F T F T για όλα τα Πιο απλά η συγκεκριµένη διάταξη σηµαίνει ότι για κάθε η τµ Τ είναι πιο πιθανόν να υπερβεί την τιµή από ότι η Τ Ορισµός 5 Αν Τ Τ είναι δύο τυχαίες µεταβλητές τµ τότε λέµε ότι η τµ Τ είναι µεγαλύτερη από την Τ ως προς τη διάταξη βαθµίδας αποτυχίας συµβολικά T T αν η συνάρτηση hr 5

26 είναι αύξουσα ως προς F T / F T Ο ορισµός της διάταξης αυτής είναι ισοδύναµος µε την ακόλουθη ανίσωση P [ T > T > ] P[ T > T > ] για κάθε Συνεπώς διαισθητικά η διάταξη βαθµίδας αποτυχίας σηµαίνει ότι ο υπολειπόµενος χρόνος ζωής της Τ είναι στοχαστικά µεγαλύτερος από τον αντίστοιχο υπολειπόµενο χρόνο ζωής της Τ δεδοµένου ότι έχουν και οι δύο επιβιώσει µέχρι τη χρονική στιγµή βλ Bolad & El-Neweh 995 Ορισµός 6 Αν Τ Τ είναι δύο τυχαίες µεταβλητές τµ τότε λέµε ότι η τµ Τ είναι µεγαλύτερη από την Τ ως προς τη διάταξη του λόγου πιθανοφάνειας συµβολικά T lr T αν η συνάρτηση είναι αύξουσα ως προς f T / f T Από τον ορισµό αυτό έχουµε ότι αν T T τότε η πιθανότητα lr P T η οποία είναι ανάλογη προς τη συνάρτηση πυκνότητας f T αυξάνεται µε µεγαλύτερο ρυθµό έναντι της πιθανότητας P T η οποία είναι ανάλογη προς τη συνάρτηση πυκνότητας για το ίδιο πλάτος f T Για τους παραπάνω τύπους διάταξης µεταξύ δύο τυχαίων µεταβλητών T και T ισχύουν οι ακόλουθες συνεπαγωγές T lr T T T hr T T Η επόµενη πρόταση θεµελιώνει στοχαστικές συγκρίσεις µεταξύ δύο διατεταγµένων παρατηρήσεων ενός τυχαίου δείγµατος Πρόταση 7 α Αν τότε ισχύει τη σχέση hr β Αν ισχύει ότι λ λ για και τότε hr 6

27 γ Αν ισχύει ότι λ λ για και τότε hr Επιπλέον αν οι τυχαίες µεταβλητές είναι ανεξάρτητες και η κατανοµή της είναι απόλυτα συνεχής τότε ισχύουν οι ακόλουθες διατάξεις λόγου πιθανοφάνειας και lr 8 lr Θεωρούµε τώρα ότι Y Y Y είναι ένα δεύτερο τυχαίο δείγµα µεγέθους που προέρχεται από την κατανοµή G και συµβολίζουµε µε αντίστοιχες διατεταγµένες παρατηρήσεις Είναι γνωστό ότι για διάταξη µεταξύ δύο τυχαίων µεταβλητών Y Y Y τις η στοχαστική Y διατηρείται και µεταξύ των αντίστοιχων διατεταγµένων παρατηρήσεων δηλαδή ισχύει η ακόλουθη συνεπαγωγή Y Y Στην εργασία του Ma 997 για την ειδική περίπτωση ακόλουθη Πρόταση αποδεικνύεται η Πρόταση 8 Αν οι τυχαίες µεταβλητές τµ είναι ισόνοµες αλλά όχι ανεξάρτητες και οι τµ ακόλουθα Y Y Y είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες τότε ισχύουν τα α Αν β Αν τότε ισχύει ότι Y για Y τότε ισχύει ότι Y για Y Οι Lllo e al εξετάζουν τη διατήρηση της διάταξης λόγου πιθανοφάνειας για τη γενική περίπτωση Συγκεκριµένα αν για όλες τις τιµές ισχύει ότι Y lr τότε προκύπτουν οι ακόλουθες διατάξεις για r και r Y r lr 7

28 Οι στοχαστικές διατάξεις µεταξύ διατεταγµένων παρατηρήσεων έχουν ιδιαίτερη συµβολή στη µελέτη και σύγκριση των χρόνων ζωής µονότονων συστηµάτων αξιοπιστίας Είναι γνωστό ότι οι χρόνοι ζωής των σειριακών συστηµάτων διατάσσονται σύµφωνα µε τη συνήθη στοχαστική διάταξη δηλαδή ότι ισχύει Οι Hu e al απέδειξαν πως οι χρόνοι ζωής διατάσσονται και σύµφωνα µε τη διάταξη λόγου πιθανοφάνειας όταν οι µονάδες είναι ανεξάρτητες και ικανοποιούν τη σχέση Οι Navarro & Shaed 6 µελέτησαν την περίπτωση που οι τυχαίες µεταβλητές lr lr lr είναι εξαρτηµένες συµπεραίνοντας ότι οι χρόνοι ζωής των σειριακών συστηµάτων µε εξαρτηµένες µονάδες δεν ικανοποιούν πάντα τη διάταξη κατά βαθµίδα αποτυχίας Για τη συγκεκριµένη περίπτωση στην εργασία του Navarro 8 διατυπώνονται συνθήκες που αν ικανοποιούνται τότε τα σειριακά συστήµατα διατάσσονται σύµφωνα µε την παραπάνω διάταξη Επιπλέον οι Khaled & Kohar και Bolad e al 994 θεµελιώνουν στοχαστικές συγκρίσεις για παράλληλα συστήµατα ενώ οι M & Shaed απέδειξαν ότι αν οι µονάδες διατάσσονται στοχαστικά τότε και τα συστήµατα απόταf που αποτελούνται από αυτές διατάσσονται σύµφωνα µε τη στοχαστική διάταξη Οι Pledger & Proha 97 παρουσιάζουν ενδιαφέροντα αποτελέσµατα για τα συστήµατα απόταf τα οποία γενικεύονται περαιτέρω στην εργασία των Proha & Sehuraa 976 ενώ οι υπολειπόµενοι χρόνοι ζωής των παραπάνω συστηµάτων διατάσσονται στοχαστικά από τους Khaled & Shaed 7 Για πρόσθετα αποτελέσµατα σχετικά µε στοχαστικές συγκρίσεις υπολειπόµενων χρόνων ζωής που συνδέονται µε ιδιότητες γήρανσης µονότονων συστηµάτων ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στις εργασίες των Ahad & Kayd Belzue e al 4 και Belzue e al 999 Τέλος αξίζει να σηµειωθεί ότι οι L & Zuo και L & Che 4 εξέτασαν τις τυχαίες µεταβλητές ] µελετώντας τις ιδιότητες γήρανσης τους [ ενώ οι L & Zuo 4 συνέκριναν την Y > ] µε την Y > ] [ Y [ Y σύµφωνα µε τη συνήθη στοχαστική διάταξη διατυπώνοντας σηµαντικά συµπεράσµατα για τους χρόνους ζωής των συστηµάτων απόταf 8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΛΕΤΗ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΓΗΡΑΝΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΥΠΟΓΡΑΦΗΣ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε ένα σηµαντικό χαρακτηριστικό των συστηµάτων αξιοπιστίας που ονοµάζεται υπογραφή gaure και παρουσιάζουµε αποτελέσµατα που τη σχετίζουν µε τους χρόνους ζωής των συστηµάτων Συγκεκριµένα στην Παράγραφο δίνονται οι απαραίτητοι ορισµοί βασικών εννοιών των δοµών αξιοπιστίας καθώς επίσης και γνωστά αποτελέσµατα που συνδέουν την υπογραφή ενός συστήµατος µε τα σύνολα διακοπής και τη συνάρτηση αξιοπιστίας του Στην Παράγραφο παρουσιάζεται µια νέα µέθοδος εύρεσης της γεννήτριας των συντεταγµένων της υπογραφής ενός συστήµατος ενώ στην Παράγραφο 4 η µελέτη επικεντρώνεται στη διατήρηση ιδιοτήτων γήρανσης κατά το σχηµατισµό ενός µονότονου συστήµατος Πιο συγκεκριµένα διατυπώνονται συνθήκες οι οποίες αν ισχύουν εξασφαλίζουν τη διατήρηση του είδους γήρανσης των µονάδων και στο σύστηµα που σχηµατίζουν Το σύστηµα συνεχόµενο απότα F αποτελεί το αντικείµενο µελέτης της Παραγράφου 5 όπου εφαρµόζονται τα γενικότερα αποτελέσµατα των προηγούµενων παραγράφων για το συγκεκριµένο σύστηµα θεµελιώνονται αναδροµικές σχέσεις για τον υπολογισµό της υπογραφής του αποδεικνύεται µια ενδιαφέρουσα σχέση που συνδέει τις υπογραφές του ευθύγραµµου και του κυκλικού συστήµατος και παρουσιάζονται διάφορα αριθµητικά αποτελέσµατα Στις Παραγράφους 6 και 7 πραγµατοποιείται η ανάλυση δύο παραλλαγών του παραπάνω συστήµατος ενώ η Παράγραφος 8 περιλαµβάνει αποτελέσµατα σχετικά µε τη στοχαστική διάταξη των χρόνων ζωής συστηµάτων αξιοπιστίας µε χρήση της υπογραφής τους 9

30 Βασικές έννοιες της δοµικής αξιοπιστίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουµε θεµελιώδεις έννοιες για τη µελέτη συστηµάτων αξιοπιστίας Η απόδοση ενός συστήµατος αλλά και των µονάδων που το αποτελούν µπορεί να µετρηθεί µε διάφορους τρόπους Συνηθέστερα για την περιγραφή της κατάστασης της µονάδας ενός συστήµατος αξιοπιστίας χρησιµοποιείται µια δείκτρια συνάρτηση που ορίζεται ως εξής αν αν η η µονάδα µονάδα λειτουργεί δεν λειτουργεί Όµοια το σύστηµα ανάλογα µε το ποιες µονάδες του λειτουργούν και ποιες όχι δύναται και αυτό να βρεθεί σε δύο καταστάσεις λειτουργία ή µη λειτουργία Για την περιγραφή της κατάστασης του συστήµατος µπορεί να χρησιµοποιηθεί µια αντίστοιχη δείκτρια συνάρτηση που ορίζεται ως εξής αν το σύστηµα λειτουργεί ϕ αν το σύστηµα δεν λειτουργεί Η κατάσταση του συστήµατος καθορίζεται πλήρως από τις καταστάσεις των µονάδων που το αποτελούν δηλαδή ϕ ϕ ϕ όπου είναι το διάνυσµα κατάστασης των µονάδων του συστήµατος Ορισµός Η συνάρτηση { } { } φ η οποία σε κάθε διάνυσµα κατάστασης των µονάδων του συστήµατος απεικονίζει την κατάσταση ϕ του συστήµατος λέγεται συνάρτηση δοµής ruure fuo του συστήµατος Ένα φυσικό σύστηµα θα ήταν κάπως ασυνήθιστο ή πιθανόν φτωχά σχεδιασµένο αν η βελτίωση της απόδοσης µίας µονάδας του προκαλούσε χειροτέρευση του συστήµατος αυτό θα σήµαινε µετάβαση του συστήµατος από κατάσταση λειτουργίας σε κατάσταση αποτυχίας Για το λόγο αυτό περιορίζουµε το ενδιαφέρον µας σε συναρτήσεις δοµής που είναι αύξουσες ως προς την ποιότητα κάθε µονάδας µε την έννοια ότι η βελτίωση µίας µονάδας του συστήµατος συνεπάγεται

31 και την παράλληλη βελτίωση ή τουλάχιστον τη µη χειροτέρευση του συστήµατος Επιπλέον για να αποφύγουµε µελέτη συστηµάτων µε ελάχιστη αξία και σηµασία δεν θα µελετήσουµε συστήµατα η κατάσταση των οποίων δεν εξαρτάται από την κατάσταση των µονάδων τους Έχοντας τα παραπάνω υπόψη φτάνουµε στον επόµενο ορισµό Ορισµός Ένα σύστηµα ονοµάζεται µονότονο ή µονότονης δοµής ohere ruure αν ισχύουν τα εξής α Η συνάρτηση δοµής του ϕ είναι αύξουσα δηλαδή αν y τότε ϕ ϕ ϕ y y y ϕ y β Κάθε µονάδα του επηρεάζει το σύστηµα δηλαδή η φ δεν είναι σταθερή ως προς κάποια συντεταγµένη Όταν για τα διανύσµατα y { } συνεπώς η συνθήκη α παίρνει την ακόλουθη µορφή ισχύει y θα γράφουµε y αν y τότε φ φ y Συναρτήσεις δοµής που είναι αύξουσες µε την έννοια που δίνεται στη συνθήκη α του Ορισµού ονοµάζονται ηµιµονότονες e-ohere Τα µόνα ηµιµονότονα συστήµατα που δεν είναι µονότονα είναι οι δύο περιπτώσεις ϕ και ϕ δηλαδή ένα σύστηµα που δουλεύει πάντα ή ένα σύστηµα που δεν δουλεύει ποτέ Στις περιπτώσεις αυτές οι µονάδες δεν επηρεάζουν προφανώς την κατάσταση του συστήµατος και συνεπώς για τέτοια συστήµατα δεν ισχύει η συνθήκη β του παραπάνω ορισµού βλ Raaurhy 99 Η ιδιότητα της συνάρτησης δοµής των µονότονων συστηµάτων να είναι αύξουσα φαίνεται να περιγράφει πολλά πραγµατικά συστήµατα Σε περιπτώσεις που λειτουργούν επαρκείς µονάδες για να εξασφαλίσουν τη λειτουργία του συστήµατος τότε η λειτουργία επιπλέον µονάδων θα µπορούσε να βελτιώσει µόνο τα πράγµατα ενώ αντίθετα αν έχουν αποτύχει επαρκείς µονάδες ώστε να προκληθεί αποτυχία του συστήµατος τότε η αποτυχία και επιπλέον µονάδων δεν θα µπορούσε να βελτιώσει την κατάσταση του συστήµατος να το επαναφέρει σε λειτουργία Η συνθήκη α είναι ισοδύναµη µε το ότι η φ είναι αύξουσα κατά συντεταγµένες δηλαδή ότι για όλα τα ισχύει ϕ ϕ για κάθε

32 ενώ για κάθε µονότονο σύστηµα ισχύουν τα ακόλουθα φ φ Για τον υπολογισµό της συνάρτησης δοµής ενός µονότονου συστήµατος αξιοπιστίας χρειάζονται οι εξής έννοιες Ένα διάνυσµα { } καλείται ελάχιστο διάνυσµα λειτουργίας εδλ al pah veor αν ϕ και ϕ y για κάθε y Αν το διάνυσµα { } είναι ελάχιστο διάνυσµα λειτουργίας τότε το P { } { } καλείται ελάχιστο σύνολο λειτουργίας εσλ al pah e Ένα διάνυσµα { } καλείται ελάχιστο διάνυσµα διακοπής εδδ al u veor αν ϕ και ϕ y για κάθε y> Αν το διάνυσµα { } είναι ελάχιστο διάνυσµα διακοπής τότε το C e { } { } καλείται ελάχιστο σύνολο διακοπής εσδ al u Για την κατάσταση ενός µονότονου συστήµατος αξιοπιστίας ισχύει η ακόλουθη Πρόταση Πρόταση α Ένα µονότονο σύστηµα λειτουργεί ϕ αν και µόνο αν όλες οι µονάδες κάποιου εσλ λειτουργούν δηλαδή P P β Ένα µονότονο σύστηµα δεν λειτουργεί ϕ αν και µόνο αν όλες οι µονάδες κάποιου εσδ δεν λειτουργούν C C Ο υπολογισµός της συνάρτησης δοµής ενός µονότονου συστήµατος αξιοπιστίας επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια των ακόλουθων Προτάσεων Πρόταση Αν P { P P } P M είναι η οικογένεια των ελαχίστων συνόλων λειτουργίας εσλ µιας µονότονης δοµής τότε η συνάρτηση δοµής δίνεται από τον τύπο ϕ { } C M M a P P P M

33 Πρόταση Αν C { C C } C N είναι η οικογένεια των ελαχίστων συνόλων διακοπής εσδ µιας µονότονης δοµής τότε η συνάρτηση δοµής δίνεται ως ακολούθως ϕ { } N N C C C C N Για την απόδειξη των Προτάσεων και και πληθώρα παραδειγµάτων υπολογισµού γνωστών συστηµάτων ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στα κείµενα των Gerbah 989 και Κούτρας 7 Οι συναρτήσεις δοµής προσφέρουν ένα δείκτη προσδιορισµού του συγκριτικού επιπέδου των µονότονων συστηµάτων ωστόσο δεν έχουν αποδειχθεί ιδιαίτερα χρήσιµες στο ρόλο αυτό Μολονότι η συνάρτηση δοµής για κάθε µονότονο σύστηµα είναι µοναδική οι συγκεκριµένες συναρτήσεις είναι αλγεβρικές παραστάσεις που είναι δύσκολο να συγκριθούν και να υπολογισθούν όπως φαίνεται από τις Προτάσεις και Το παραπάνω πρόβληµα επιδεινώνεται από το γεγονός ότι η µετονοµασία των µονάδων του συστήµατος προκαλεί την αλλαγή της συνάρτησης δοµής σε µία ισοδύναµη µορφή Στην εργασία του Saaego 985 προτείνεται ένας εναλλακτικός δείκτης για την κατάσταση ενός µονότονου συστήµατος ο οποίος ονοµάζεται υπογραφή gaure Ο ορισµός της υπογραφής ενός συστήµατος που δίνεται στη συγκεκριµένη εργασία περιλαµβάνει την υπόθεση ότι οι µονάδες του συστήµατος είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες depedely deally drbued Πιο συγκεκριµένα θεωρούµε ένα µονότονο σύστηµα µε ανεξάρτητες και ισόνοµες µονάδες d των οποίων οι χρόνοι ζωής προέρχονται από µια συνεχή κατανοµή F Αν Τ είναι ο χρόνος ζωής του συστήµατος τότε η αποτυχία του συστήµατος θα συµπίπτει πάντα µε το χρόνο ζωής της οστής µονάδας για κάποιο { } Συγκεκριµένα αν δηλώνει το οστό µικρότερο χρόνο ζωής µονάδας για { } τότε έχουµε ότι ο χρόνος ζωής του συστήµατος T µε πιθανότητα Ορισµός Υπογραφή gaure ενός µονότονου d συστήµατος µε µονάδες ονοµάζεται το διάνυσµα πιθανότητας µε συντεταγµένες P T

34 όπου { } είναι το διατεταγµένο τυχαίο δείγµα από τη συνεχή κατανοµή F των χρόνων ζωής των µονάδων του συστήµατος Η ιδέα της υπογραφής ενός συστήµατος αναπτύχθηκε φυσιολογικά από µια συγκεκριµένη ιδιότητα των µονότονων συστηµάτων στα οποία οι µονάδες είναι ισόνοµες και ανεξάρτητες Για τέτοια συστήµατα η πιθανότητα ότι το σύστηµα αποτυγχάνει στην οστή αποτυχία µονάδας δεν εξαρτάται από την κατανοµή F των χρόνων ζωής των µονάδων Αντίθετα η πιθανότητα αυτή είναι συνάρτηση µόνο του σχεδιασµού του συστήµατος συνεπώς η υπογραφή αποτελεί καθαρό µέτρο αξιολόγησης του σχεδιασµού ενός συστήµατος αξιοπιστίας Η υπόθεση ισόνοµων και ανεξάρτητων µονάδων σε ένα σύστηµα βοηθάει στη σύγκριση µεταξύ συστηµάτων αξιοπιστίας µιας και εξαλείφει παράδοξα συµπεράσµατα όπως το γεγονός ότι ένα σειριακό σύστηµα µε καλές µονάδες µπορεί να έχει καλύτερη απόδοση από ένα παράλληλο σύστηµα µε χαµηλής ποιότητας µονάδες µολονότι ένα παράλληλο σύστηµα είναι σαφώς ανώτερο ως προς το σχεδιασµό του από ένα σειριακό Ανάµεσα στα πλεονεκτήµατα της υπογραφής ως µέτρου αξιολόγησης του σχεδιασµού ενός συστήµατος περιλαµβάνεται το γεγονός ότι µπορούν να εφαρµοσθούν οι βασικές µαθηµατικές αρχές της Συνδυαστικής συντελώντας στον σχετικά εύκολο υπολογισµό της Επιπλέον είναι ξεκάθαρο πως µπορεί να εφαρµοσθεί η θεωρία διατεταγµένων παρατηρήσεων από τυχαία d δείγµατα που προέρχονται από µια συνεχή κατανοµή F για τη διερεύνηση των χαρακτηριστικών των χρόνων ζωής των µονάδων ενός συστήµατος για περισσότερες λεπτοµέρειες ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στις εργασίες των Bolad & Saaego 4 ή Navarro e al 8 Το γεγονός ότι η υπογραφή εξαρτάται µόνο από την τυπολογία του συστήµατος και όχι από την κατανοµή F είναι συνέπεια του γεγονότος ότι κάθε µία από τις! διατάξεις των χρόνων ζωής των µονάδων του συστήµατος είναι το ίδιο πιθανόν να συµβεί υπό την d υπόθεση Συνεπώς η πιθανότητα ότι η αποτυχία της οστής µονάδας είναι µοιραία για το σύστηµα εξαρτάται αποκλειστικά από την πιθανότητα ότι η τελευταία µονάδα που λειτουργεί σε ένα ελάχιστο σύνολο διακοπής εσδ είναι ταυτόχρονα η οστή µονάδα που αποτυγχάνει γενικά στο σύστηµα Με άλλα λόγια για να υπολογισθεί η υπογραφή ενός συστήµατος αρκεί να εξετασθούν τα εσδ και να µετρηθούν πόσοι συνδυασµοί ανάµεσα στις ισοπίθανες 4

35 µεταθέσεις των συµπίπτουν ακριβώς µε την αποτυχία κάποιου εσδ κατά το συµβάν Εποµένως εναλλακτικά η υπογραφή ενός µονότονου συστήµατος µε µονάδες µπορεί να δοθεί µέσω των µεταθέσεων των χρόνων ζωής των µονάδων του συστήµατος ως εξής Ορισµός 4 Υπογραφή gaure ενός µονότονου d συστήµατος µε µονάδες ονοµάζεται το διάνυσµα πιθανότητας µε συντεταγµένες της µορφής όπου A! A είναι το πλήθος των µεταθέσεων των χρόνων ζωής των µονάδων του συστήµατος για τις οποίες η οστή αποτυχία προκαλεί αποτυχία του Στο σηµείο αυτό θα εισάγουµε την έννοια των ελαχίστων διατεταγµένων συνόλων διακοπής τα οποία θα χρησιµοποιήσουµε σε ένα διαφορετικό ορισµό της υπογραφής ενός µονότονου συστήµατος αξιοπιστίας Ορισµός 5 Έστω ένα µονότονο σύστηµα µε µονάδες και C { } το σύνολο που δηλώνει τις µονάδες αυτές Ένα υποσύνολο K { π π π } όπου π είναι κάποια µετάθεση των µε του συνόλου C ορίζεται ως διατεταγµένο σύνολο διακοπής αν οι σχέσεις π π π υποδηλώνουν για το χρόνο ζωής του συστήµατος Τ ότι ισχύει Τ π Επιπλέον το σύνολο είναι ελάχιστο διατεταγµένο σύνολο διακοπής αν είναι διατεταγµένο σύνολο διακοπής ενώ το σύνολο { π π π } δεν είναι ιαιρώντας τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του κλάσµατος στον Ορισµό 4 της υπογραφής που δόθηκε παραπάνω µε την ποσότητα! προκύπτει ένας ισοδύναµος ορισµός της υπογραφής που χρησιµοποιεί τα ελάχιστα διατεταγµένα σύνολα διακοπής του συστήµατος όπως φαίνεται στον ακόλουθο τύπο K πλήθος ελαχίστων διατεταγµένων συνόλων διακοπής µεγέθους όπου!! 5

36 Στην εναλλακτική αυτή έκφραση για τις συντεταγµένες του διανύσµατος της υπογραφής ενός συστήµατος λαµβάνονται υπόψη µόνο οι διατάξεις των από τις µονάδες Συνεπώς µπορούµε να βλέπουµε την οστή συντεταγµένη της υπογραφής ενός συστήµατος σαν την αναλογία των διατεταγµένων υποσυνόλων µεγέθους του { } που είναι ελάχιστα διατεταγµένα σύνολα διακοπής Με άλλα λόγια για να υπολογίσουµε την υπογραφή ενός συστήµατος πρέπει πρώτα να βρούµε τα ελάχιστα διατεταγµένα σύνολα διακοπής και στη συνέχεια µε βάση τον τελευταίο τύπο να προσδιορίσουµε όλες τις συντεταγµένες Τα ελάχιστα διατεταγµένα σύνολα διακοπής είναι σύνολα που περιέχουν µονάδες ώστε ο χρόνος ζωής του συστήµατος να µην υπερβαίνει τον οστό διατεταγµένο χρόνο ζωής µονάδας του συγκεκριµένου συνόλου και ταυτόχρονα αφαιρώντας τη µονάδα µε τον οστό διατεταγµένο χρόνο το σύνολο να παύει να είναι διατεταγµένο σύνολο διακοπής Η χρησιµότητα της υπογραφής στη µελέτη του χρόνου ζωής ενός συστήµατος αξιοπιστίας γίνεται φανερή από την ακόλουθη πρόταση η οποία αρχικά δόθηκε στην εργασία του Saaego 985 και παρουσιάζεται εκτενώς στη µονογραφία του Saaego 7 Πρόταση 4 Έστω οι χρόνοι ζωής των ισόνοµων και ανεξάρτητων µονάδων ενός µονότονου συστήµατος και Τ ο χρόνος ζωής του συστήµατος Τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση όπου F F P T > F F Για την απόδειξη της Πρότασης 4 ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στην εργασία των Kohar e al 999 Η Πρόταση 4 δηλώνει ότι αν έχουµε ένα σύστηµα µε ανεξάρτητες και ισόνοµες µονάδες από µια κατανοµή F τότε η κατανοµή του χρόνου ζωής Τ του συστήµατος µπορεί να εκφρασθεί ως µια συνάρτηση η οποία εξαρτάται από το σχεδιασµό του συστήµατος µόνο µέσω της υπογραφής του Αξίζει να σηµειωθεί ότι η σχέση µπορεί να γενικευτεί και να εφαρµοσθεί στην περίπτωση όπου οι χρόνοι ζωής των µονάδων ενός συστήµατος είναι ανταλλάξιµοι ehageable 6