ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΝΑΕΡΙΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Transcript

1 ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΝΑΕΡΙΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΝΤΩΝΙΟΥ Ε. ΤΖΙΝΕΥΡΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΥΧΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ 3 ΜΑΡΤΙΟΣ 9

2

3

4

5 Αφιερώνεται στους γονείς μου και στα αδέρφια μου i

6 ii

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Παραγωγής, Μεταφοράς, Διανομής και Χρησιμοποιήσεως Ηλεκτρικής Ενέργειας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών από τον Δεκέμβριο 4 έως τον Μάρτιο 9 υπό την επίβλεψη του Καθηγητή κ. Δημητρίου Τσανάκα. Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα Καθηγητή κ. Δημήτριο Τσανάκα για την πρόταση του θέματος, για την ουσιαστική καθοδήγησή του καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της διατριβής, για τις ευρύτερες γνώσεις που μου προσέφερε πάνω στα συστήματα ηλεκτρικής ενέργειας αλλά και για τις προϋποθέσεις που μου εξασφάλισε για την εκπόνηση της παρούσας διατριβής. Επιθυμώ επίσης να ευχαριστήσω τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Κ. Σώρρα και τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Θ. Ζαχαρία, μέλη της Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής, για τις ουσιαστικές υποδείξεις και παρατηρήσεις τους καθώς και τους Καθηγητές κ. Ε. Διαλυνά, κ. Α. Σαφάκα, κ. Ν. Βοβό και κ. Α. Αλεξανδρίδη, μέλη της Επταμελούς Εξεταστικής Επιτροπής, για το ενδιαφέρον που έδειξαν για τη διατριβή μου. Ευχαριστώ θερμά τους Γενικούς Διευθυντές Μεταφοράς της ΔΕΗ κ. Κ. Βασιλειάδη και κ. Δ. Μπουσδέκη για την οικονομική υποστήριξη μέσω της Επιτροπής Ερευνών του Πανεπιστημίου Πατρών, καθώς και τους Διευθυντές της Διεύθυνσης Νέων Έργων Μεταφοράς της ΔΕΗ κα Φ. Στρίντζη και κ. Α. Γεωργόπουλο και τα στελέχη της Διεύθυνσης αυτής κ. Λ. Παπαϊωάννου, κ. Κ. Καραμανή, κ. Ε. Κορονιωτάκη, και κ. Κ. Μακρυκώστα για τη συνεργασία μας. Ευχαριστώ επίσης τον φίλο μου Ευάγγελο Μίμο για τη συνεργασία μας και την εποικοδομητική ανταλλαγή απόψεων πάνω στην κοινή επιστημονική περιοχή των διατριβών μας. Επιθυμώ επίσης να εκφράσω τις θερμές ευχαριστίες μου στην αγαπημένη μου Χριστίνα Λιακατά για τη συμπαράστασή της όλα αυτά τα χρόνια. iii

8 iv

9 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή. Γενικά. Στόχος της διατριβής.3 Βιβλιογραφική διερεύνηση.4 Κανονισμοί προστασίας των ανθρώπων έναντι ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων 5 Ανάλυση του ηλεκτρικού πεδίου εναέριων γραμμών με τη χρήση διπλών μιγαδικών αριθμών και αναπτυγμάτων πολυπόλων 7. Εισαγωγή 7. Μοντελοποίηση των εναέριων γραμμών Βασικές παραδοχές 8.3 Βασική σχέση υπολογισμού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου.4 Οι μιγαδικοί αριθμοί ως ανύσματα αποστάσεων και ως ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενα μεγέθη.5 Η χρονική συνάρτηση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου 3.6 Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ως ελλειπτικά στρεφόμενο άνυσμα 5.7 Η ενδεικνυμένη τιμή του στρεφόμενου ανύσματος 7.8 Το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ως διπλός μιγαδικός αριθμός 9.8. Καθορισμός των ημιαξόνων της διαγραφόμενης έλλειψης.8. Υπολογισμός της ενδεικνυμένης τιμής της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Καθορισμός του τύπου της πόλωσης 5.9 Παράδειγμα υπολογισμού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου με τη χρήση διπλών μιγαδικών αριθμών 7. Υπολογισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου γραμμών απλού κυκλώματος με τη χρήση αναπτυγμάτων πολυπόλων και διπλών μιγαδικών αριθμών 33. Ανάλυση των φορτίων των αγωγών γραμμών απλού κυκλώματος σε συμμετρικές συνιστώσες 37 3 Ανάπτυξη αναλυτικών σχέσεων της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου γραμμών απλού κυκλώματος με οριζόντια διάταξη των αγωγών των φάσεων 4 3. Εισαγωγή 4 v

10 3. Περιγραφή των γραμμών απλού κυκλώματος με οριζόντια διάταξη των αγωγών των φάσεων Υπολογισμός των φορτίων των αγωγών Ανάλυση των φορτίων των αγωγών σε συμμετρικές συνιστώσες Ανάπτυξη της ακριβούς σχέσης της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το ευθύ σύστημα Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το αντίστροφο σύστημα Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το ομοπολικό σύστημα Σύγκριση του ηλεκτρικού πεδίου του ευθέως, του αντιστρόφου και του ομοπολικού συστήματος των φορτίων Καθορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου από τις συμμετρικές της συνιστώσες Διερεύνηση της επίδρασης των βασικών γεωμετρικών αποστάσεων στην ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ανάπτυξη προσεγγιστικών σχέσεων για τις συμμετρικές συνιστώσες των φορτίων και για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Προσεγγιστικές σχέσεις για τις συμμετρικές συνιστώσες των φορτίων Προσεγγιστικές σχέσεις για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Προσέγγιση με τους πρώτους μη μηδενικούς όρους των αναπτυγμάτων πολυπόλων Προσέγγιση με τη χρήση του φορτίου του ευθέως συστήματος Προσέγγιση με τη θεώρηση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια του εδάφους Προσέγγιση με απλοποίηση της ακριβούς σχέσης Συγκριτική θεώρηση των προσεγγιστικών σχέσεων 75 4 Ανάπτυξη αναλυτικών σχέσεων της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου γραμμών απλού κυκλώματος με κατακόρυφη διάταξη των αγωγών των φάσεων Εισαγωγή Περιγραφή των γραμμών απλού κυκλώματος με κατακόρυφη διάταξη των αγωγών των φάσεων Υπολογισμός των φορτίων των αγωγών Ανάλυση των φορτίων σε συμμετρικές συνιστώσες 8 vi

11 4.5 Συγκεντρωτική παρουσίαση των σχέσεων των συμμετρικών συνιστωσών των φορτίων Ανάπτυξη της ακριβούς σχέσης της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από τη διάταξη των πραγματικών αγωγών Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το ευθύ σύστημα Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το αντίστροφο σύστημα Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το ομοπολικό σύστημα Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από τη διάταξη των ειδώλων των αγωγών Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το ευθύ σύστημα Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το αντίστροφο σύστημα Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το ομοπολικό σύστημα Καθορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου από τις συμμετρικές της συνιστώσες Ανάπτυξη προσεγγιστικών σχέσεων για τις συμμετρικές συνιστώσες των φορτίων και για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Προσεγγιστικές σχέσεις για τις συμμετρικές συνιστώσες των φορτίων Προσεγγιστικές σχέσεις για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Προσέγγιση με τους πρώτους μη μηδενικούς όρους των αναπτυγμάτων πολυπόλων Προσέγγιση με τη χρήση του φορτίου του ευθέως συστήματος Προσέγγιση με τη θεώρηση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια του εδάφους Προσέγγιση με απλοποίηση της ακριβούς σχέσης Συγκριτική θεώρηση των προσεγγιστικών σχέσεων 3 5 Ανάπτυξη αναλυτικών σχέσεων της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου γραμμών απλού κυκλώματος με τριγωνική διάταξη των αγωγών των φάσεων 5 5. Εισαγωγή 5 5. Περιγραφή των γραμμών απλού κυκλώματος με τριγωνική διάταξη των αγωγών των φάσεων Υπολογισμός των φορτίων των αγωγών Ανάλυση των φορτίων σε συμμετρικές συνιστώσες Ανάπτυξη της ακριβούς σχέσης της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου vii

12 5.5. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το ευθύ σύστημα Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το ομοπολικό σύστημα Καθορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου από τις συμμετρικές της συνιστώσες Ανάπτυξη προσεγγιστικών σχέσεων για τις συμμετρικές συνιστώσες των φορτίων και για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Προσεγγιστικές σχέσεις για τις συμμετρικές συνιστώσες των φορτίων Προσεγγιστικές σχέσεις για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Προσέγγιση με τους πρώτους μη μηδενικούς όρους των αναπτυγμάτων πολυπόλων Προσέγγιση με τη χρήση του φορτίου του ευθέως συστήματος Προσέγγιση με τη θεώρηση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια του εδάφους Προσέγγιση με απλοποίηση της ακριβούς σχέσης Συγκριτική θεώρηση των προσεγγιστικών σχέσεων 4 6 Αναλυτικός υπολογισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου γραμμών με τους αγωγούς στις κορυφές κανονικού πολυγώνου 4 6. Εισαγωγή 4 6. Υπολογισμός των ροπών λ τάξης γραμμών με τους αγωγούς στις κορυφές κανονικού πολυγώνου Καθορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου γραμμών με τους αγωγούς στις κορυφές κανονικού πολυγώνου Υπολογισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου γραμμών διπλού κυκλώματος με τους αγωγούς στις κορυφές κανονικού εξαγώνου Γενικά Υπολογισμός των φορτίων των αγωγών και ανάλυση των φορτίων στις συμμετρικές τους συνιστώσες Υπολογισμός των ροπών λ τάξης Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το ευθύ σύστημα Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το αντίστροφο σύστημα Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από το ομοπολικό σύστημα Καθορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου από τις συμμετρικές της συνιστώσες 58 viii

13 7 Ανάπτυξη αναλυτικών σχέσεων της μαγνητικής επαγωγής γραμμών διπλού κυκλώματος Εισαγωγή Μέθοδος υπολογισμού της μαγνητικής επαγωγής γραμμών διπλού κυκλώματος Ακριβείς σχέσεις για τις γραμμές τύπου βαρελιού Συμμετρική διάταξη των αγωγών των φάσεων Βέλτιστη διάταξη των αγωγών των φάσεων Ακριβείς σχέσεις για τις γραμμές τύπου ελάτου Ακριβείς σχέσεις για τις γραμμές τύπου Δουνάβεως Ανάπτυξη προσεγγιστικών σχέσεων της μαγνητικής επαγωγής Γραμμές τύπου βαρελιού Γραμμές τύπου ελάτου Γραμμές τύπου Δουνάβεως 9 8 Συμπεράσματα 95 9 Περίληψη 99 Παράρτημα Α Ορισμός και ιδιότητες των διπλών μιγαδικών αριθμών 3 Α. Εισαγωγή 3 Α. Οι διπλοί μιγαδικοί αριθμοί ως επέκταση των μιγαδικών αριθμών 4 Α.3 Αξιωματικός ορισμός των διπλών μιγαδικών αριθμών 5 Α.4 Οι βασικές ιδιότητες των πράξεων των διπλών μιγαδικών αριθμών 6 Α.5 Η αντιστροφή των διπλών μιγαδικών αριθμών 7 Α.6 Το μέτρο των διπλών μιγαδικών αριθμών 9 Παράρτημα Β Επαλήθευση των ακριβών αναλυτικών σχέσεων της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και της μαγνητικής επαγωγής Β. Εισαγωγή Β. Πρόγραμμα υπολογιστή για τον καθορισμό των πεδιακών εντάσεων ix

14 Βιβλιογραφία 5 Πίνακας Συμβόλων και Δεικτών 3 Summary 7-3 x

15 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Γενικά Η μεταφορά, διανομή και χρησιμοποίηση ηλεκτρικής ενέργειας είναι συνυφασμένη με την ύπαρξη ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων, στα οποία εκτίθενται οι άνθρωποι. Από τα τέλη του 97 έχει προκύψει το ερώτημα, κατά πόσο η έκθεση σε αυτά τα χαμηλόσυχνα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία μπορεί να προκαλέσει δυσμενείς επιδράσεις στην υγεία των ανθρώπων. Για να δοθεί απάντηση στο ερώτημα αυτό έχει μέχρι σήμερα διεξαχθεί εκτενής έρευνα σε ένα ευρύ φάσμα επιστημών, όπως της ιατρικής, της επιδημιολογίας, της βιολογίας και της ηλεκτρολογίας. Ιδιαίτερα οι εναέριες γραμμές μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας προκαλούν έντονη ανησυχία στο γενικό πληθυσμό εξαιτίας του μεγάλου μεγέθους των πύργων τους και του μεγάλου μήκους, στο οποίο εκτείνονται. Έχει διεξαχθεί ένας μεγάλος αριθμός επιδημιολογικών μελετών για τη διερεύνηση πιθανής συσχέτισης των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων εναέριων γραμμών μεταφοράς με διάφορες μορφές καρκίνου. Η ανάλυση των πεδίων στο περιβάλλον των γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας παρουσιάζει συνεπώς μεγάλο ενδιαφέρον. Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται αρχικά ο στόχος της παρούσας διατριβής. Στη συνέχεια γίνεται βιβλιογραφική διερεύνηση για τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία χαμηλής συχνότητας διαφόρων πηγών με έμφαση στα πεδία των εναερίων γραμμών. Τέλος, παρουσιάζονται οι κανονισμοί προστασίας των ανθρώπων έναντι ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων και γίνεται σύντομη αναφορά στα πρόσφατα συμπεράσματα της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας σχετικά με την έκθεση στα πεδία αυτά.. Στόχος της διατριβής Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και η μαγνητική επαγωγή (πεδιακές εντάσεις) στο περιβάλλον των γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας μπορούν να καθοριστούν είτε με αριθμητικές είτε με αναλυτικές μεθόδους. Με τις αριθμητικές μεθόδους γίνονται υπολογισμοί για συγκεκριμένες διατάξεις, οι οποίοι καταλήγουν σε αριθμητικές τιμές για τις πεδιακές εντάσεις. Τα αποτελέσματα των αριθμητικών μεθόδων στερούνται γενικότητας και απαιτούνται πολλές επαναλήψεις για την διαπίστωση της επίδρασης των διαφόρων παραμέτρων. Με τις αναλυτικές μεθόδους αναπτύσσονται μαθηματικές σχέσεις, οι οποίες επιτρέπουν αφενός τον άμεσο υπολογισμό των πεδιακών εντάσεων και αφετέρου δείχνουν την ακριβή εξάρτηση των πεδιακών εντάσεων από όλες τις ηλεκτρικές και γεωμετρικές παραμέτρους. Προκύπτουν έτσι χρήσιμα συμπεράσματα, τόσο για τη διερεύνηση υφισταμένων γραμμών όσο και για τον σχεδιασμό νέων γραμμών.

16 Ο στόχος της διατριβής είναι η ανάπτυξη αναλυτικών σχέσεων κατάλληλων για τον υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στο περιβάλλον εναέριων γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας για τον υπολογισμό της μαγνητικής επαγωγής στο περιβάλλον εναέριων γραμμών διπλού κυκλώματος για τον υπολογισμό όλων των παραμέτρων του ανύσματος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου (ενδεικνυμένη τιμή, ανύσματα του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα της διαγραφόμενης έλλειψης, πόλωση) για την διαπίστωση της επίδρασης όλων των βασικών ηλεκτρικών παραμέτρων (τάσεις και εντάσεις των αγωγών, διάταξη των φάσεων) και όλων των βασικών γεωμετρικών παραμέτρων (ακτίνες των αγωγών, αποστάσεις μεταξύ των αγωγών και μεταξύ των αγωγών και του εδάφους, απόσταση μεταξύ της γραμμής και του θεωρούμενου σημείου υπολογισμού) στις πεδιακές εντάσεις..3 Βιβλιογραφική διερεύνηση Τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά πεδία που δημιουργούνται από τα στοιχεία των συστημάτων ηλεκτρικής ενέργειας αποτελούν αντικείμενο πολλών επιστημονικών εργασιών. Στην πρόσφατη εργασία [] αναλύονται, υπολογίζονται και μετρώνται τα μαγνητικά πεδία χαμηλής συχνότητας ηλεκτρικών εγκαταστάσεων και δικτύων. Οι πεδιακές εντάσεις υπολογίζονται με τη χρήση αριθμητικών μεθόδων, όπως είναι η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων και η μέθοδος των ροπών που αναφέρονται στις εργασίες [] και [3]. Στην εργασία [4], για παράδειγμα, χρησιμοποιείται η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων και στην εργασία [5] προτείνεται μια αριθμητική μέθοδος για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου υποσταθμών υψηλής τάσης. Οι πεδιακές εντάσεις στο περιβάλλον των γραμμών, υποσταθμών και συσκευών εσωτερικών ηλεκτρικών εγκαταστάσεων καθορίζονται επίσης με τη διεξαγωγή μετρήσεων, όπως στις εργασίες [6] έως [7]. Οι κανονισμοί [8] και [9] θέτουν τις προδιαγραφές για τα όργανα και καθορίζουν τις τεχνικές και τις διαδικασίες μετρήσεως των πεδιακών εντάσεων. Η ανάπτυξη αναλυτικών σχέσεων για τον υπολογισμό των πεδιακών εντάσεων στις περισσότερες περιπτώσεις δεν είναι εφικτή εξαιτίας του μεγάλου βαθμού πολυπλοκότητας του ηλεκτρικού εξοπλισμού. Υπάρχουν ωστόσο περιπτώσεις, όπως στο περιβάλλον των γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας, στις οποίες μπορούν να προκύψουν αναλυτικές σχέσεις. Στις βασικές εργασίες [] και []-[3] εξετάζεται η μορφή του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται από τις γραμμές ηλεκτρικής ενέργειας. Σε κάθε σημείο του χώρου το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο έχουν τη μορφή στρεφόμενων πεδίων. Το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και το άνυσμα της μαγνητικής επαγωγής σε κάθε

17 σημείο στρέφονται και διαγράφουν εντός μιας περιόδου τις περιφέρειες ελλείψεων. Στις εργασίες αυτές οι γραμμές θεωρείται ότι απαρτίζονται από ευθύγραμμους και παράλληλους αγωγούς μεγάλου μήκους (πολύ μεγαλύτερου από τις αποστάσεις μεταξύ των αγωγών). Το μοντέλο αυτό είναι πολύ ικανοποιητικό, [4]. Κατ αυτόν τον τρόπο τα ανύσματα των πεδιακών εντάσεων περιορίζονται στις δύο διαστάσεις του επιπέδου που είναι κάθετο στην όδευση της γραμμής. Στις εργασίες αυτές αποδεικνύεται επίσης ότι τα δύο πεδία είναι πρακτικά αποζευγμένα και ότι το μεν ηλεκτρικό πεδίο εξαρτάται από τις τάσεις των αγωγών το δε μαγνητικό πεδίο από τις εντάσεις των αγωγών. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο που δημιουργούνται από τις γραμμές ηλεκτρικής ενέργειας υπολογίζονται συνήθως από το ανυσματικό άθροισμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και της μαγνητικής επαγωγής αντίστοιχα που δημιουργούνται από κάθε αγωγό ξεχωριστά, [], [], []. Παρότι η μέθοδος αυτή είναι κατάλληλη για τον αριθμητικό υπολογισμό των πεδιακών εντάσεων μέσω υπολογιστή δεν προσφέρεται για την εξαγωγή συμπερασμάτων ως προς την εξάρτηση των πεδιακών εντάσεων από τις διάφορες βασικές παραμέτρους των γραμμών. Για παράδειγμα, στις εργασίες [5] έως [7] διεξάγονται πολλές παραμετρικές διερευνήσεις ως προς τις διατάξεις των φάσεων, τις τάσεις και τα ύψη των αγωγών προκειμένου να διαπιστωθεί η μείωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και της μαγνητικής επαγωγής με τη χρήση της βέλτιστης διάταξης των αγωγών των φάσεων. Οι αναλυτικές σχέσεις προσφέρουν το πλεονέκτημα του άμεσου και ακριβούς υπολογισμού των πεδιακών εντάσεων και τη δυνατότητα εύκολων παραμετρικών διερευνήσεων για την εκτίμηση της επίδρασης των βασικών παραμέτρων, χωρίς τη χρησιμοποίηση αριθμητικών μεθόδων. Οι εργασίες [8] έως [33] αναφέρονται στον υπολογισμό των πεδιακών εντάσεων στο περιβάλλον των εναέριων γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας. Αναλυτικές σχέσεις για τη μαγνητική επαγωγή των εναέριων γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας έχουν αναπτυχθεί στις εργασίες [34] έως [37]. Δεν έχουν αναπτυχθεί αντίστοιχες αναλυτικές σχέσεις για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Στην εργασία [34] παρουσιάζονται προσεγγιστικές σχέσεις για τον υπολογισμό της μαγνητικής επαγωγής με επαρκή ακρίβεια μόνο σε μακρινές αποστάσεις από τις γραμμές. Στις εργασίες [35], [36] αναπτύσσονται ακριβείς αναλυτικές σχέσεις της μαγνητικής επαγωγής για γραμμές απλού κυκλώματος καθώς και για γραμμές διπλού κυκλώματος θεωρώντας τους αγωγούς στις κορυφές κανονικού εξαγώνου. Στην πρόσφατη εργασία [37] εφαρμόζεται μία διαφορετική μέθοδος υπολογισμού, με την οποία αναπτύσσονται πάλι ακριβείς αναλυτικές σχέσεις της μαγνητικής επαγωγής γραμμών απλού κυκλώματος και γραμμών διπλού κυκλώματος τύπου ελάτου. Για την εξαγωγή των αναλυτικών σχέσεων στις εργασίες [35] και [36] χρησιμοποιούνται οι διπλοί μιγαδικοί αριθμοί για την παράσταση του ανύσματος της μαγνητικής επαγωγής. Οι διπλοί μιγαδικοί αριθμοί έχουν χρησιμοποιηθεί στο παρελθόν και για την παράσταση του 3

18 ελλειπτικά πολωμένου ανύσματος του ηλεκτρικού πεδίου του φωτός, [38]. Πληρέστερη ανάλυση για το σύνολο των διπλών μιγαδικών αριθμών και τις ιδιότητές τους βρίσκεται στις εργασίες [39], [4]. Για τη μείωση των πεδιακών εντάσεων των γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας έχουν προταθεί διάφορες μέθοδοι. Με την τριγωνική ή την κατακόρυφη διάταξη των αγωγών των φάσεων γραμμών απλού κυκλώματος, οι πεδιακές εντάσεις περιορίζονται σε σχέση με την οριζόντια διάταξη, [], [4]. Επίσης, η χρήση κατάλληλου βρόχου κάτω από τις γραμμές θωρακίζει τον χώρο κάτω απ αυτόν λόγω του επαγόμενου ρεύματος, [4] έως [44]. Η χρήση πολυφασικών συστημάτων σε συνδυασμό με τη χρήση γραμμών μειωμένων διαστάσεων προτείνεται στην εργασία [45] για τη μείωση των πεδιακών εντάσεων, ενώ στις εργασίες [46], [47] προτείνεται ο διαχωρισμός του ρεύματος των φάσεων σε περισσότερους αγωγούς και η τοποθέτηση αυτών σε κατάλληλες θέσεις διαμορφώνοντας νέους τύπους πύργων. Στις εργασίες [4], [47] και [48] προτείνεται η χρήση γραμμών μειωμένων διαστάσεων και στις εργασίες [5]-[7] και [48] προτείνεται η αναδιάταξη των φάσεων γραμμών διπλού κυκλώματος για τη μείωση των πεδιακών εντάσεων σε περιοχές έξω από τη ζώνη δουλείας των γραμμών. Από τις παραπάνω μεθόδους μείωσης των πεδιακών εντάσεων, η χρήση βρόχων θωράκισης και πολυφασικών συστημάτων εμφανίζουν μεγάλη δυσκολία στην εφαρμογή τους και γι αυτό δεν εφαρμόζονται. Αντιθέτως, η χρήση γραμμών μειωμένων διαστάσεων και η βέλτιστη διάταξη των αγωγών των φάσεων γραμμών διπλού κυκλώματος, έχουν καθιερωθεί ως πρακτικές μέθοδοι μείωσης των πεδιακών εντάσεων. Στην Ελλάδα μέχρι πριν λίγα χρόνια οι γραμμές διπλού κυκλώματος 4kV κατασκευάζονταν με τη συμμετρική διάταξη των αγωγών των φάσεων ενώ σήμερα οι νέες γραμμές κατασκευάζονται με τη βέλτιστη διάταξη των αγωγών των φάσεων. Στην εργασία [49] εξετάζονται εννέα εναλλακτικές λύσεις εναέριων γραμμών και υπόγειων καλωδίων για τη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας σε περιαστικές περιοχές και αναζητείται η βέλτιστη λύση από πλευράς πεδιακών εντάσεων. Ως βέλτιστη προέκυψε η λύση με γραμμές διπλού κυκλώματος με ιστούς (μειωμένες διαστάσεις) και με βέλτιστη διάταξη των αγωγών των φάσεων. Στις εργασίες [5] έως [58], οι εναέριες γραμμές συγκρίνονται με τα υπόγεια καλώδια τεχνικά, οικονομικά και περιβαλλοντικά για τη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας. Στις εργασίες [59] και [6] παρουσιάζονται μοντέλα γραμμών υψηλής και υπερυψηλής τάσης υπό κλίμακα για τη πραγματοποίηση μετρήσεων. Τα μοντέλα γραμμών επιτρέπουν τη πειραματική διερεύνηση των πολλών δυνατοτήτων της διάταξης των αγωγών των φάσεων γραμμών διπλού κυκλώματος για την αναζήτηση της βέλτιστης διάταξης. 4

19 .4 Κανονισμοί προστασίας των ανθρώπων έναντι ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων Τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά πεδία των γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας, των υποσταθμών, των ηλεκτρικών εγκαταστάσεων, των συσκευών και των μηχανών, θεωρούνται ως περιβαλλοντικοί παράγοντες. Στη πρόσφατη εργασία [6] δίδονται τα επίπεδα έκθεσης των ανθρώπων στα πεδία διαφόρων πηγών και τα επιτρεπόμενα όρια έκθεσης για την προστασία των ανθρώπων. Γίνεται επίσης αναφορά στην επιστημονική τεκμηρίωση των ορίων και παρουσιάζονται συνοπτικά τα τελευταία συμπεράσματα αρμοδίων φορέων σχετικά με τις επιδράσεις των πεδίων στην υγεία. Οι επιτρεπόμενες τιμές της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και της μαγνητικής επαγωγής, ώστε να παρέχεται η προστασία των ανθρώπων έναντι των πεδίων, δίδονται στην οδηγία της ICNIRP [6]. Τα όρια αυτά, για συνεχή έκθεση του κοινού σε πεδία συχνότητας 5Ηz, είναι: Ε = 5kV/m για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Β = μτ για την μαγνητική επαγωγή. Η ICNIRP (Διεθνής Επιτροπή Προστασίας έναντι Μη Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας) είναι ένας ανεξάρτητος επιστημονικός οργανισμός, ο οποίος παρέχει επιστημονικά τεκμηριωμένη καθοδήγηση και συστάσεις για την προστασία από την έκθεση σε μη ιοντίζουσα ακτινοβολία και αναπτύσσει οδηγίες με επιτρεπόμενα όρια έκθεσης. Η ΙCNIRP είναι ο επίσημα αναγνωρισμένος οργανισμός για τη μη ιοντίζουσα ακτινοβολία από την Παγκόσμια Οργάνωση Υγείας, την Ευρωπαϊκή Ένωση, το Διεθνές Γραφείο Εργασίας και άλλους φορείς, και διατηρεί στενή συνεργασία με όλους τους διεθνείς φορείς που ασχολούνται με τη προστασία από τη μη ιοντίζουσα ακτινοβολία. Για τον καθορισμό των ορίων της ICNIRP εξετάστηκαν και σταθμίστηκαν όλες οι επιστημονικές δημοσιεύσεις σχετικά με την επίδραση των πεδίων στην υγεία. Η ICNIRP προβαίνει στην εξέταση όλων των νεότερων σχετικών εργασιών. Τα όρια της οδηγίας [6] του 998 δεν έχουν επηρεαστεί από τις νεότερες εργασίες, σύμφωνα με το σχετικό βιβλίο [63] της ICNIRP, το οποίο δημοσιεύτηκε το 3, και την έκδοση [64] της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας, η οποία δημοσιεύτηκε το 7. Σύμφωνα με τη δημοσίευση [64] της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας υπάρχουν εδραιωμένες βιολογικές επιδράσεις (βραχυπρόθεσμες επιδράσεις) από την έκθεση σε υψηλές τιμές των πεδιακών εντάσεων (πολύ μεγαλύτερες των ορίων), οι οποίες ερμηνεύονται με αναγνωρισμένους βιοφυσικούς μηχανισμούς. Όσον αφορά στις ενδεχόμενες μακροπρόθεσμες επιδράσεις, ένα μεγάλο μέρος της επιστημονικής έρευνας επικεντρώνεται στην αναζήτηση σχέσης μεταξύ του μαγνητικού πεδίου και της παιδικής λευχαιμίας για τιμές της μαγνητικής επαγωγής πολύ χαμηλότερες του παραπάνω ορίου. Η αναζήτηση αυτή οφείλεται σε αναλύσεις επιδημιολογικών μελετών, οι οποίες επιδεικνύουν μια τάση αύξησης 5

20 της παιδικής λευχαιμίας από την έκθεση σε μαγνητικά πεδία στα σπίτια μέσης τιμής από,3 έως,4μτ. Σύμφωνα με τη Παγκόσμια Οργάνωση Υγείας, η επιδημιολογική απόδειξη είναι αδύναμη λόγω μεθοδολογικών προβλημάτων. Πρόσθετα, δεν υπάρχουν αποδεκτοί βιοφυσικοί μηχανισμοί που να δείχνουν ότι οι εκθέσεις σε χαμηλά επίπεδα σχετίζονται με την ανάπτυξη καρκίνου. Συνεπώς, εάν υπάρχουν επιδράσεις από εκθέσεις σε αυτά τα πεδία χαμηλού επιπέδου, θα είναι μέσω ενός βιολογικού μηχανισμού που είναι άγνωστος μέχρι τώρα. Επιπλέον, οι μελέτες σε πειραματόζωα είναι πολύ αρνητικές. Συνεπώς, στο σύνολο, η απόδειξη που σχετίζεται με την παιδική λευχαιμία δεν είναι αρκετά ισχυρή για να θεωρηθεί αιτιατή. Η Παγκόσμια Οργάνωση Υγείας αναφέρει ότι οι επιδράσεις στην υγεία που σχετίζονται με τη βραχυπρόθεσμη, υψηλού επιπέδου έκθεση έχουν εδραιωθεί και αποτελούν τη βάση των δύο διεθνών οδηγιών για όρια έκθεσης, των οδηγιών της ΙCNIRP του 998, και του προτύπου της IEEE [65] του. Επί του παρόντος, η επιστημονική απόδειξη που σχετίζεται με πιθανές επιδράσεις στην υγεία από μακροπρόθεσμη, χαμηλού επιπέδου έκθεση σε πεδία εξαιρετικά χαμηλής συχνότητας θεωρείται ανεπαρκής, για να δικαιολογείται μείωση των ποσοτικών ορίων έκθεσης. Τα όρια της ICNIRP υιοθετήθηκαν στη σχετική σύσταση του Συμβουλίου της Ευρωπαϊκής Ένωσης [66] το 999, μετά την επικύρωσή τους από την Επιστημονική Συντονιστική Επιτροπή της Ευρωπαϊκής Επιτροπής. Στο γερμανικό ομοσπονδιακό διάταγμα του 996 [67] τα όρια συμπίπτουν με τα όρια της ICNIRP ενώ τα όρια της ICNIRP υιοθετήθηκαν και στον βρετανικό κανονισμό [68] το 4. Τα όρια της ΙCNIRP περιλαμβάνονται στις εθνικές νομοθεσίες των περισσότερων χωρών της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Στην Ελλάδα δημοσιεύθηκε το η Κοινή Υπουργική Απόφαση [69], στην οποία υιοθετούνται τα όρια της Ευρωπαϊκής Επιτροπής. Το 4 δημοσιεύτηκε και η Οδηγία του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου και Συμβουλίου [7], στην οποία αναγνωρίζονται ως επιτρεπόμενα όρια κατά την επαγγελματική απασχόληση τα όρια της ICNIRP. Τονίζεται τέλος η σύσταση της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας σύμφωνα με την οποία όταν κατασκευάζονται νέες εγκαταστάσεις και σχεδιάζεται νέος εξοπλισμός, συμπεριλαμβανομένων συσκευών, μπορούν να αναζητώνται μέθοδοι χαμηλού κόστους για τη μείωση της έκθεσης. Κατάλληλα μέτρα μείωσης της έκθεσης μπορούν να διαφέρουν από χώρα σε χώρα. Ωστόσο, πολιτικές που βασίζονται στην υιοθέτηση αυθαίρετων ορίων χαμηλής έκθεσης δεν είναι δικαιολογημένες. 6

21 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΕΝΑΕΡΙΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΔΙΠΛΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΩΝ ΠΟΛΥΠΟΛΩΝ. Εισαγωγή Τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά πεδία που δημιουργούνται από τις εναέριες γραμμές ηλεκτρικής ενέργειας μπορούν να παρασταθούν ως διπλοί μιγαδικοί αριθμοί. Η παράσταση αυτή έχει αποδειχτεί ότι απλοποιεί τις μαθηματικές εκφράσεις και διευκολύνει τον υπολογισμό των πεδιακών εντάσεων στο περιβάλλον των γραμμών. Στις εργασίες [35], [36] και [7] οι διπλοί μιγαδικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου γραμμών μεταφοράς, στην εργασία [38] για την παράσταση του ηλεκτρικού πεδίου του φωτός και στις εργασίες [7] και [73] για την υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου γραμμών απλού κυκλώματος. Ο ορισμός και οι ιδιότητες των διπλών μιγαδικών αριθμών δίδονται στο παράρτημα Α, ενώ αναλυτική περιγραφή τους βρίσκεται στις εργασίες [39] και [4]. Στην παράσταση των πεδιακών εντάσεων με διπλούς μιγαδικούς αριθμούς χρησιμοποιείται ένα σύνολο μιγαδικών αριθμών για την παράσταση των ανυσματικών αποστάσεων και ένα δεύτερο σύνολο μιγαδικών αριθμών για την παράσταση των χρονικά ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενων ποσοτήτων, όπως είναι οι τάσεις, τα ηλεκτρικά φορτία και οι εντάσεις των αγωγών. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται αρχικά οι βασικές παραδοχές για την ανάλυση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και δίδεται η βασική σχέση υπολογισμού της στο περιβάλλον των εναέριων γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας. Στη συνέχεια, το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου αναλύεται, με τη χρήση ενός συνόλου μιγαδικών αριθμών για την παράσταση των φορτίων των αγωγών, σε άθροισμα δύο ανυσμάτων στο χώρο, του πραγματικού και του φανταστικού ανύσματος. Βάσει της παράστασης αυτής υπολογίζεται η χρονική συνάρτηση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου από την οποία επιβεβαιώνεται η ελλειπτική μορφή του ηλεκτρικού πεδίου. Μέσω της παράστασης αυτής υπολογίζονται επίσης αναλυτικές σχέσεις για τα μέτρα του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα της διαγραφόμενης έλλειψης, για τις γωνίες εμφάνισής τους, και για την ενδεικνυμένη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Γνωρίζοντας τα μέτρα και τις γωνίες εμφάνισης των ημιαξόνων της έλλειψης, το ηλεκτρικό πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο στο περιβάλλον των γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας περιγράφεται πλήρως. Στη συνέχεια, με τη χρήση ενός δεύτερου συνόλου μιγαδικών αριθμών για την παράσταση των ανυσματικών αποστάσεων, προκύπτει η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ως διπλός μιγαδικός αριθμός. Με βάση τη παράσταση αυτή αναπτύσσονται απλές αναλυτικές σχέσεις για τον άμεσο υπολογισμό του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα της διαγραφόμενης 7

22 έλλειψης και τις γωνίες εμφάνισής τους καθώς και για τον υπολογισμό της ενδεικνυμένης τιμής του ηλεκτρικού πεδίου. Αναπτύσσονται επίσης οι συνθήκες γραμμικής και κυκλικής πόλωσης από την πλήρωση των οποίων ανιχνεύονται τα σημεία στα οποία η ελλειπτική πόλωση γίνεται γραμμική ή κυκλική. Ως παράδειγμα, υπολογίζεται η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου με τη χρήση διπλών μιγαδικών αριθμών στο περιβάλλον δύο παράλληλα οδευουσών γραμμών μεταφοράς 5kV απλού κυκλώματος. Τέλος, αναπτύσσεται μια γενική μέθοδος για τον υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου από γραμμές απλού κυκλώματος. Η μέθοδος αυτή βασίζεται στη χρήση του αναπτύγματος πολυπόλων για τη παράσταση του ανύσματος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και στην ανάλυση των φορτίων των αγωγών στις συμμετρικές τους συνιστώσες. Με τη μέθοδο αυτή προκύπτει η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ως διπλός μιγαδικός αριθμός, από τον οποίο είναι δυνατός ο πλήρης καθορισμός του ηλεκτρικού πεδίου σε οποιοδήποτε σημείο στο περιβάλλον κάθε τύπου γραμμής απλού κυκλώματος.. Μοντελοποίηση των εναέριων γραμμών Βασικές παραδοχές Το σχήμα - δείχνει μια εναέρια γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας. Η διεύθυνση του άξονα z ορίζεται στη διεύθυνση όδευσης της γραμμής. Οι αγωγοί της γραμμής, λόγω του βάρους τους, δεν είναι ευθύγραμμοι αλλά ακολουθούν την αλυσοειδή καμπύλη. Σχήμα -. Εναέρια γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας. 8

23 Για τον υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργείται στο περιβάλλον της γραμμής χρησιμοποιείται γενικά το μοντέλο του σχήματος - αποτελούμενο από ευθύγραμμους και παράλληλους αγωγούς πολύ μεγάλου μήκους σε σχέση με τις μεταξύ τους αποστάσεις. Το μοντέλο αυτό θεωρείται ακριβές για τον υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στη περίπτωση κατά την οποία το βέλος κάμψης των αγωγών είναι μικρό σε σχέση με το μήκος του ανοίγματος, όπως συνήθως συμβαίνει στη πράξη. Για ανοίγματα της τάξης των 35m σε γραμμές μεταφοράς, ένα τυπικό βέλος κάμψης είναι περίπου m. Στο μέσο του ανοίγματος οι αγωγοί παρουσιάζουν τη μικρότερη κλίση και το μοντέλο δίνει στη θέση αυτή τη μέγιστη ακρίβεια. Σχήμα -. Μοντέλο της εναέριας γραμμής του σχήματος -. Στο περιβάλλον των εναέριων γραμμών μαζί με το ηλεκτρικό πεδίο συνυπάρχει και το μαγνητικό πεδίο. Τα δύο αυτά πεδία θεωρούνται ως αποζευγμένα. Η θεώρηση αυτή είναι ορθή λόγω της εξαιρετικά χαμηλής συχνότητας και δεν αντιβαίνει τους νόμους του Maxwell, στους οποίους η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και η μαγνητική επαγωγή εμφανίζονται ως αλληλένδετα μεγέθη, [74] έως [76]. Σύμφωνα με τους νόμους του Maxwell το μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο και το μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο δημιουργεί μαγνητικό πεδίο. Το μήκος κύματος που αντιστοιχεί σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα συχνότητας f=5hz είναι λ=6.km. Τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά πεδία που δημιουργούνται με τον μηχανισμό αυτό είναι πολύ μικρότερα από τα αντίστοιχα πεδία που δημιουργούνται από τα φορτία και τα ρεύματα των αγωγών. Συνεπώς τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά πεδία στο περιβάλλον των γραμμών είναι αποζευγμένα και μπορούν να εξετάζονται ξεχωριστά. Η θεώρηση αυτή αναλύεται και στην εργασία [3]. Για τον υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου θεωρείται ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία στο χώρο. Επίσης, η γη θεωρείται ως τέλειος αγωγός επειδή ο χρόνος που 9

24 απαιτείται για την αποκατάσταση της ισορροπίας των φορτίων στην επιφάνειά της, υπό την επίδραση μιας μεταβολής στο εφαρμοζόμενο πεδίο, είναι εξαιρετικά μικρός (,ns έως ns) συγκριτικά με την περίοδο της συχνότητας των 5Hz (ms). Η διηλεκτρική σταθερά ε του αέρα είναι πρακτικά ανεξάρτητη των καιρικών συνθηκών και λαμβάνεται ίση με τη διηλεκτρική σταθερά του κενού ε 36π Αs Vm 9 = (-) Το ηλεκτρικό πεδίο στο περιβάλλον των εναέριων γραμμών διαταράσσεται με την είσοδο ανθρώπων σε αυτό. Οι τιμές των επιτρεπόμενων ορίων για την έκθεση των ανθρώπων είναι τιμές του αδιατάραχτου πεδίου. Για το λόγο αυτό, η μέτρηση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου γίνεται με την τήρηση αποστάσεων μεταξύ του αισθητήρα του οργάνου και του χειριστή του, οι οποίες δίδονται στα πρότυπα [8] και [9]. Οι αγωγοί προστασίας των γραμμών μεταφοράς πρακτικά δεν επηρεάζουν το ηλεκτρικό πεδίο στην επιφάνεια του εδάφους. Η παρουσία τους προκαλεί μείωση του ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια του εδάφους, η οποία δεν υπερβαίνει το -%, επειδή οι αγωγοί αυτοί βρίσκονται πάνω από τους αγωγούς των φάσεων, πιο μακριά από το έδαφος. Εξαιτίας του πολύ μικρού σφάλματος που υπεισέρχεται, η επίδραση των αγωγών προστασίας στην ένταση του ηλεκτρικού πεδίου θεωρείται ως αμελητέα..3 Βασική σχέση υπολογισμού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Το σχήμα -3 δείχνει την εγκάρσια τομή συστήματος n κυλινδρικών αγωγών, οι οποίοι μπορεί να θεωρηθεί ότι απαρτίζουν μια εναέρια γραμμή ηλεκτρικής ενέργειας ή περισσότερες παράλληλα οδεύουσες γραμμές. Οι αγωγοί φέρουν φορτία στιγμιαίας τιμής q, q, q n ανά μονάδα μήκους. Το έδαφος αποτελεί μια ισοδυναμική επιφάνεια με δυναμικό ίσο με μηδέν. Σύμφωνα με τη θεωρία των ειδώλων, η ισοδυναμική επιφάνεια μηδενικού δυναμικού αντικαθίσταται από τα είδωλα των αγωγών, τα οποία βρίσκονται αντικατοπτρικά στην άλλη πλευρά της ισοδυναμικής επιφάνειας [], [] και [76]. Το σχήμα -3 δείχνει τους n αγωγούς με τα είδωλά τους καθώς και καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με τη κατεύθυνση του άξονα z στη κατεύθυνση όδευσης της γραμμής. Έστω P τυχαίο σημείο του χώρου, όπου υπολογίζεται η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Η στιγμιαία τιμή του ανύσματος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ε k, που οφείλεται στη στιγμιαία τιμή του φορτίου q k του τυχαίου αγωγού k, δίδεται από τη σχέση qk ε = k Rk πε R k (-) R k Rk

25 όπου ε R k R k η διηλεκτρική σταθερά του κενού η ανυσματική απόσταση του σημείου P από τον αγωγό k η ανυσματική απόσταση του σημείου P από το είδωλο του αγωγού k k R k, R τα μέτρα των ανυσμάτων R k, R αντίστοιχα. k q q k q n q R k ε R k ε Rk ε k R k q q q k q n Σχήμα -3. Στιγμιαία τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ε k σε τυχαίο σημείο P του χώρου, που οφείλεται στη στιγμιαία τιμή του φορτίου q k. Η στιγμιαία τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου που οφείλεται στο σύνολο των n αγωγών ισούται με το ανυσματικό άθροισμα όλων των εντάσεων ε k και δίδεται από τη σχέση: n n ε q = k ε k = πε k k k= k= R R k R R (-3) k

26 Η σχέση (-3) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση για τον αριθμητικό υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε οποιοδήποτε σημείο στο περιβάλλον της γραμμής με δεδομένα τις σχετικές θέσεις των αγωγών ως προς το σημείο υπολογισμού και τις στιγμιαίες τιμές των φορτίων των αγωγών..4 Οι μιγαδικοί αριθμοί ως ανύσματα αποστάσεων και ως ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενα μεγέθη Είναι γνωστό ότι ένα άνυσμα R = aeˆ + beˆ του επιπέδου xy αντιστοιχίζεται με ένα μιγαδικό x y αριθμό a + jb στο μιγαδικό επίπεδο. Το σχήμα -4 δείχνει την αντιστοίχηση του ανύσματος R στο επίπεδο xy με το μιγαδικό αριθμό a + jb στο μιγαδικό επίπεδο. aeˆ + beˆ a + jb x y Σχήμα -4. Αντιστοίχηση του ανύσματος R = aeˆ + beˆ με τον μιγαδικό αριθμό R = a + jb. x y Στη συνέχεια, το σύνολο των μιγαδικών αριθμών με φανταστική μονάδα το j θα χρησιμοποιείται για την παράσταση όλων των ανυσματικών αποστάσεων. Συνεπώς ο μιγαδικός αριθμός R = a + jb θα αντιπροσωπεύει το άνυσμα R = aeˆ + beˆ. Είναι επίσης γνωστό ότι ένα χρονικά ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενο μέγεθος μπορεί να παρασταθεί με ένα μιγαδικό αριθμό. Έστω η ακόλουθη χρονική συνάρτηση u(t), η οποία εκφράζει ένα ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενο μέγεθος ενδεικνυμένης τιμής U, κυκλικής συχνότητας ω και φάσης φ, ut () = Ucos(ωt+ φ) (-4) x y Η συνάρτηση u(t) της σχέσης (-4) μπορεί να γραφεί ως i(ωt+ φ) iφ iωt iωt ( ) ( ) ( ) u() t = Re Ue = Re Ue e = Re Ue (-5)

27 Βάσει της παραπάνω σχέσης υπάρχει μία ένα προς ένα αντιστοιχία της συνάρτησης u(t) της σχέσης (-4) με τον μιγαδικό αριθμό U =U e iφ. Στη συνέχεια, το σύνολο των μιγαδικών αριθμών με φανταστική μονάδα το i θα χρησιμοποιείται για την παράσταση όλων των ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενων μεγεθών. Συνεπώς ο μιγαδικός αριθμός U = a + ib θα αντιπροσωπεύει το ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενο μέγεθος u(t) ενδεικνυμένης τιμής U ( a b ) = + και φάσης φ tan ( ba) =..5 Η χρονική συνάρτηση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Στην περίπτωση των γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας τα φορτία των αγωγών μεταβάλλονται ημιτονοειδώς με τη συχνότητα των 5Ηz. Συνεπώς το φορτίο q k του τυχαίου αγωγού k εκφράζεται από μια σχέση της μορφής ( ) q = Q cos ωt+ φ (-6) k k k όπου Q k η ενδεικνυμένη τιμή του φορτίου, ω η κυκλική συχνότητα και φ k η φασική γωνία του φορτίου q k. Χρησιμοποιώντας τη μιγαδική παράσταση μεταβαλλόμενο μέγεθος q k, η σχέση (-6) μπορεί να γραφεί ως q k = Re iωt ( Q e ) k k k iφ k Q = Q e για το ημιτονοειδώς (-7) Αναλύοντας τον μιγαδικό αριθμό προκύπτει: Q στο πραγματικό και στο φανταστικό μέρος του k Q = Q + iq (-8) k k,r k,i Με αντικατάσταση της σχέσης (-8) στη σχέση (-7) προκύπτει η χρονική συνάρτηση του φορτίου q k συναρτήσει του πραγματικού και του φανταστικού μέρους ( kr, ki, ) q = Q cosωt Q sinωt (-9) k Αντικαθιστώντας τη στιγμιαία τιμή του φορτίου από τη παραπάνω σχέση στη σχέση (-3) της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, προκύπτει η ακόλουθη σχέση για τη στιγμιαία τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου όπου ( t t) ε = Ε cosω Ε sin ω (-) r i 3

28 n Q k,r E = r R πε k R k k = Rk R (-) k n Q k,i E = i R πε k R k k = Rk R (-) k Τα ανύσματα E r και E i καλούνται το πραγματικό και το φανταστικό άνυσμα του πεδίου αντίστοιχα και περιγράφουν πλήρως το δημιουργούμενο ηλεκτρικό πεδίο. Συγκρίνοντας τις σχέσεις (-) και (-) με τη σχέση (-3) προκύπτει ότι το άνυσμα E r μπορεί να υπολογιστεί θεωρώντας ότι όλα τα φορτία των αγωγών είναι ίσα με το πραγματικό τους μέρος και το άνυσμα E i θεωρώντας ότι όλα τα φορτία είναι ίσα με το φανταστικό τους μέρος. Από τη σχέση (-) προκύπτει ότι το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ε διατηρείται στο επίπεδο που ορίζουν τα ανύσματα E r και E i. Το μέτρο του ανύσματος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου υπολογίζεται από τη σχέση (-) ως ( Ε cosω Ε sinω ) ε = t t r i = r i r i = Ε cos ωt + Ε sin ωt Ε Ε sinωt cosωt ( ) r i r i t r i = Ε + Ε + Ε Ε cos ω Ε Ε sin ωt = (-3) Το μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί επίσης να γραφεί από τη σχέση (-3) ως ( ) r i cos ω ω a ε = Ε + Ε + c t t (-4) όπου c = ( Εr Εi ) + ( ΕrΕ i) (-5) και Ε ω tan rε t i a = arc Er Ei (-6) Η σχέση (-4) εκφράζει τη στιγμιαία τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει του πραγματικού και του φανταστικού ανύσματος E r και E i αντίστοιχα. Από τη σχέση (-4) 4

29 προκύπτει η μέγιστη και η ελάχιστη στιγμιαία τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου καθώς και οι χρονικές στιγμές στις οποίες αυτές εμφανίζονται. Έτσι, η μέγιστη στιγμιαία τιμή προκύπτει ε max = r i Ε + Ε + c (-7) και εμφανίζεται όταν ωt = ωt ή ωt = ωt + π (-8) a Η ελάχιστη στιγμιαία τιμή προκύπτει a ε min = r i Ε + Ε c (-9) και εμφανίζεται όταν ωt = ω t + (π/) ή ωt = ω t + (3π/) (-) a a.6 Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ως ελλειπτικά στρεφόμενο άνυσμα Όπως προέκυψε από τη σχέση (-8), η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου αποκτά τη μέγιστη στιγμιαία τιμή της όταν ωt=ωt a. Ορίζοντας ως ωt τη διαφορά φάσης του ανύσματος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου από τη γωνία ωt a, ω t = ωt ωt a (-) το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ε γράφεται από τη σχέση (-) ως ( t t ) ( t t ) r a i a [ Εr ( t ta t ta) Εi ( t ta t ta) ] [( Εr ta Εi ta) t ( Εr ta Εi ta) t ] ε = Ε cos ω + ω Ε sin ω + ω = = cos ω cosω sinω sinω sinω cosω + cosω sinω = = cosω sinω cos ω sinω + cosω sin ω = ( Ε t Ε t ) = cosω + sinω a b (-) όπου Ε = Ε cosωt Ε sin ωt (-3) a r a i a και Ε = Ε sinωt Ε cos ωt (-4) b r a i a 5

30 Αντικαθιστώντας ωt = (ωt=ωt a ) στη σχέση (-) προκύπτει ότι ε Ε. Συνεπώς το = a άνυσμα Ε a είναι η ενδεικνυμένη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου όταν το μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου αποκτά τη μέγιστη τιμή του. Όμοια, αντικαθιστώντας ωt =π/ (ωt=ωt a +π/) στη σχέση (-), προκύπτει ότι ε Ε. Συνεπώς το άνυσμα Ε b = b είναι η ενδεικνυμένη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου όταν το μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου αποκτά την ελάχιστη τιμή του. Από τη σχέση (-) προκύπτει ότι το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου διατηρείται στο επίπεδο που ορίζουν τα ανύσματα Ε a και Ε b. Τα ανύσματα Ε a και Ε b είναι κάθετα μεταξύ τους, επειδή το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν: ( cos ωt sin ωt ) ( sin ωt cos ωt ) Ε Ε = Ε Ε Ε Ε = a b r a i a r a i a ( Εi Εr ) sin ωta cos ωta + ΕrΕi( sin ωta cos ωta) = = ( ) sin ωta = Εi Εr ΕrΕi cos ωta = ( ) tan ωta = Ε Ε Ε Ε ΕΕ r i ( ) ( Εi Εr ) cos ωt i r r i a = Ε Ε Ε Ε cos ωt = i r r i a Από την καθετότητα των ανυσμάτων Ε a και Ε b και τη σχέση (-) προκύπτει ότι το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ε διαγράφει κατά τη διάρκεια μιας περιόδου τη περιφέρεια έλλειψης με μεγάλο ημιάξονα Ε a και μικρό ημιάξονα Ε b. Από τη σχέση (-) προκύπτει επίσης ότι - για ωt =, ε Ε = a - για ωt = π/, ε Ε = b - για ωt = π, ε Ε = a - για ωt = 3π/, ε Ε = b Η διαδοχή με την οποία εμφανίζονται οι παραπάνω στιγμιαίες τιμές του ανύσματος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ορίζει και τη φορά διαγραφής της έλλειψης. Επομένως το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ε κινείται από τη κατεύθυνση του μεγάλου ημιάξονα για ωt = προς τη κατεύθυνση του μικρού ημιάξονα για ωt =π/, προς την αντίθετη κατεύθυνση του μεγάλου ημιάξονα για ωt =π και προς την αντίθετη κατεύθυνση του μικρού = 6

31 ημιάξονα για ωt =3π/. Το σχήμα -5 δείχνει την έλλειψη που διαγράφει το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και τη φορά διαγραφής της. ε E b E a Σχήμα -5. Η διαγραφόμενη έλλειψη από το στρεφόμενο άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ε. Η διαγραφόμενη έλλειψη από το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου περιγράφεται πλήρως γνωρίζοντας τα μέτρα και τις γωνίες εμφάνισης του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα. Η ελλειπτική πόλωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου γίνεται γραμμική όταν το μέτρο του μικρού ημιάξονα της διαγραφόμενης έλλειψης μηδενίζεται ή όταν οι γωνίες εμφάνισης των δύο ημιαξόνων έχουν διαφορά φάσης ή π. Επίσης, η ελλειπτική πόλωση γίνεται κυκλική όταν το μέτρο του μεγάλου ημιάξονα γίνεται ίσο με το μέτρο του μικρού ημιάξονα..7 Η ενδεικνυμένη τιμή του στρεφόμενου ανύσματος Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο περιβάλλον των γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας συνήθως χαρακτηρίζεται μόνο από την ενδεικνυμένη τιμή της. Η ενδεικνυμένη τιμή χρησιμοποιείται γενικά για τον καθορισμό του μεγέθους περιοδικώς μεταβαλλόμενων μεγεθών. Για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου η ενδεικνυμένη τιμή δίδεται από την ακόλουθη γενική σχέση: E rms T = ε dt T (-5) όπου Τ η περίοδος του μεταβαλλόμενου ανύσματος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και ε η στιγμιαία τιμή του. 7

32 Το μέτρο ε σχετίζεται με τα μέτρα των συνιστωσών ε x, ε y και ε z στους τρεις άξονες του χώρου x, y και z αντίστοιχα, με την ακόλουθη σχέση: ( ) εx εy εz ε = + + (-6) Από τις σχέσεις (-5) και (-6) προκύπτει η σχέση (-7) για την ενδεικνυμένη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, ( ) rms x y z E = E + E + E (-7) όπου Ε x, Ε y και Ε z είναι οι ενδεικνυμένες τιμές στους άξονες x, y και z αντίστοιχα. Η σχέση (-7) είναι γενική και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε σύστημα τριών ορθογωνίων αξόνων x, y και z στον χώρο. Θεωρώντας ως άξονες x και y τους άξονες στη κατεύθυνση του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα της διαγραφόμενης έλλειψης αντίστοιχα, και ως άξονα z τον άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο της έλλειψης, η ενδεικνυμένη τιμή θα δίδεται από τη σχέση: ( ) rms a b E = E + E (-8) αφού E a και E b είναι οι ενδεικνυμένες τιμές της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στην κατεύθυνση του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα αντίστοιχα. Η σχέση (-8) συσχετίζει την ενδεικνυμένη τιμή Ε rms με τα μέτρα των ημιαξόνων της διαγραφόμενης έλλειψης. Μια δεύτερη σχέση για την ενδεικνυμένη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να προκύψει συναρτήσει των μέτρων του πραγματικού και του φανταστικού ανύσματος Ε r και Ε i αντίστοιχα. Με αντικατάσταση της σχέσης (-4), η οποία εκφράζει το μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει του πραγματικού και του φανταστικού ανύσματος, στη σχέση ορισμού της ενδεικνυμένης τιμής (-5), προκύπτει: T Εr Εi cos ω a ( Er Ei ) Erms = + + c ( t ωt ) dt = T = + (-9) 8

33 .8 Το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ως διπλός μιγαδικός αριθμός Το ελλειπτικά στρεφόμενο άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου κινείται στο επίπεδο, το οποίο είναι κάθετο στην όδευση μιας ή περισσοτέρων παράλληλων γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας. Μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παράσταση των ανυσμάτων του επιπέδου αυτού. Μιγαδικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται όμως και για την παράσταση των χρονικά ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενων ποσοτήτων, όπως τα ηλεκτρικά φορτία των αγωγών. Η ταυτόχρονη παράσταση των ανυσμάτων του επιπέδου και των χρονικά ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενων ποσοτήτων χρησιμοποιώντας ένα σύνολο μιγαδικών αριθμών δεν είναι εφικτή. Για το λόγο αυτό, απαιτείται η χρήση των διπλών μιγαδικών αριθμών. Για την παράσταση των ανυσματικών αποστάσεων χρησιμοποιούνται οι μιγαδικοί αριθμοί με φανταστική μονάδα το j και απεικονίζονται με έντονη γραφή, για παράδειγμα R=a+jb. Για την παράσταση των χρονικά ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενων ποσοτήτων χρησιμοποιούνται οι μιγαδικοί αριθμοί με φανταστική μονάδα το i και απεικονίζονται με υπογράμμιση, για παράδειγμα U=U e iφ. Έντονη υπογραμμισμένη γραφή απεικονίζει τους διπλούς μιγαδικούς αριθμούς, όπως την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε. Με βάση τη παράσταση με διπλούς μιγαδικούς αριθμούς, το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργείται από τη διάταξη των n παράλληλων αγωγών στο σημείο P του χώρου μπορεί να γραφεί από τη σχέση (-3) ως n Q E = k R πε k R k k = Rk R (-3) k Αναλύοντας το φορτίο Q στο πραγματικό και το φανταστικό μέρος του, σχέση (-8), το k άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου προκύπτει E = E + i E (-3) r i όπου Ε r και Ε i το πραγματικό και το φανταστικό άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου αντίστοιχα, όπως δίδονται από τις σχέσεις (-) και (-). n Q k,r E r = R πε k R k k = Rk R (-) k n Q k,i E i = R πε k R k k = Rk R (-) k Τα ανύσματα Ε r και Ε i είναι ανύσματα του επιπέδου xy, επομένως 9

34 E = E eˆ + E eˆ (-3) r r,x x r,y y E = E eˆ + E eˆ (-33) i i,x x i,y y όπου E r,x, E i,x είναι οι συνιστώσες στον άξονα x και E r,y, E i,y οι συνιστώσες στον άξονα y. Τα ανύσματα του επιπέδου Ε r και Ε i παριστάνονται ως μιγαδικοί αριθμοί με φανταστική μονάδα j ως ακολούθως E = E + je (-34) r r, x r, y E = E + je (-35) i i, x i, y Με αντικατάσταση των σχέσεων (-34) και (-35) στη σχέση (-3), προκύπτει η ακόλουθη σχέση E (-36) = E rx, + je ry, + ie ix, + ije iy, Η σχέση (-36) εκφράζει το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ως διπλό μιγαδικό αριθμό. Η σχέση αυτή μπορεί επίσης να γραφεί ως ( E, + ie, ) + j( E, + ie, ) E (-37) = rx ix ry iy Η σχέση (-37) δείχνει ότι το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι ένα άνυσμα στο επίπεδο xy, του οποίου οι συνιστώσες στους άξονες x και y είναι ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενα μεγέθη στο χρόνο. Συνεπώς, το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να γραφεί από τη σχέση (-37) ως E = E + je (-38) x y όπου E x και E y είναι οι χρονικά μεταβαλλόμενες συνιστώσες στους άξονες x και y αντίστοιχα οι οποίες δίδονται από τις σχέσεις, E = E + ie (-39) x rx, ix, E = E + ie (-4) y r, y i, y Το σχήμα (-6) δείχνει το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Ε και τις χρονικά μεταβαλλόμενες συνιστώσες E x και E y. Η σύνθεση των συνιστωσών E x και E y κάθε χρονική στιγμή οδηγεί στη διαγραφόμενη έλλειψη.

35 Σχήμα -6. Η διαγραφόμενη έλλειψη της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ως άθροισμα των συνιστωσών E x και E y. Το άνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργείται από μία ή περισσότερες παράλληλα οδεύουσες γραμμές ηλεκτρικής ενέργειας εκφράζεται ως διπλός μιγαδικός αριθμός από μια γενική σχέση της μορφής, E = ε + jε + iε + ijε (-4) 3 4 όπου ε, ε, ε 3 και ε 4 είναι πραγματικοί αριθμοί. Στη συνέχεια αναπτύσσονται αναλυτικές σχέσεις για τον καθορισμό των ημιαξόνων της έλλειψης, της ενδεικνυμένης τιμής και του τύπου της πόλωσης στο τυχαίο σημείο P του χώρου, οι οποίες εξαρτώνται μόνο από τις συνιστώσες ε, ε, ε 3 και ε 4 του διπλού μιγαδικού αριθμού..8. Καθορισμός των ημιαξόνων της διαγραφόμενης έλλειψης Από τη σύγκριση των σχέσεων (-36) και (-4) προκύπτει η ακόλουθη αντιστοιχία για τις συνιστώσες ε, ε, ε 3 και ε 4, ε = E rx, ε ε ε = E r, y = E 3 ix, = E 4 iy, (-4)

36 Η διαγραφόμενη έλλειψη του ηλεκτρικού πεδίου στο τυχαίο σημείο P του χώρου καθορίζεται πλήρως με τον υπολογισμό των ανύσματων του μεγάλου ημιάξονα Ε a και του μικρού ημιάξονα Ε b. Αντικαθιστώντας τα ανύσματα Ε r και Ε i από τις σχέσεις (-34) και (-35) στις σχέσεις (-3) και (-4) των ανυσμάτων Ε a και Ε b, τα ανύσματα των ημιαξόνων της έλλειψης προκύπτουν από τις σχέσεις: (,, ) cos ω (,, ) Ε = E + je t E + je sin ωt (-43) a r x r y a i x i y a (,, ) sin ω (,, ) Ε = E + je t E + je cos ωt (-44) b r x r y a i x i y a όπου ωt a η γωνία η οποία δίδεται από τη σχέση (-6). ωt a = arctan Ε Ε E r i r Ei (-6) Λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (-9) και (-3) για τα ανύσματα Ε r και E i, η γωνία ωt a υπολογίζεται από τη σχέση (-6) ως ακολούθως ωt a E E + E E = arctan E E E E rx, ix, ry, iy, rx, + ry, ix, iy, (-45) Με βάση την αντιστοιχία της σχέσης (-4), η γωνία ωt a προκύπτει συναρτήσει των συνιστωσών ε, ε, ε 3 και ε 4 από τη σχέση: ωt a εε3+ εε = arctan 4 ε + ε ε3 ε (-46) 4 Χρησιμοποιώντας πάλι την αντιστοιχία της σχέσης (-4) στις σχέσεις (-43) και (-44), τα ανύσματα του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα, Ε a και E b αντίστοιχα, προκύπτουν συναρτήσει των συνιστωσών ε, ε, ε 3 και ε 4 ως ( ε t ε t ) + j( ε t ε t ) Ε = cosω sin ω cos ω sin ω (-47) a a 3 a a 4 a ( ε t ε t ) + j( ε t ε t ) Ε = sinω cos ω sin ω cos ω (-48) b a 3 a a 4 a Οι παραπάνω σχέσεις εκφράζουν τους ημιάξονες Ε a και E b ως ανύσματα στο επίπεδο xy. Από τις σχέσεις αυτές υπολογίζονται τα μέτρα και οι γωνίες εμφάνισης των ανυσμάτων αυτών ως ακολούθως

37 = a ( εcosω a ε3sin ω a) + ( ε cos ω a ε4 sin ω a) Ε t t t t = b ( ε sin ω a+ ε3 cos ω a ) + ( ε sin ω a + ε4 cos ω a) Ε t t t t (-49) (-5) θ θ a b ε cosωt ε sinωt = arc tan a 4 a εcosωta ε3sinωt (-5) a ε sinωt + ε cosωt = arc tan a 4 a εsinωta+ ε3cosωt (-5) a όπου Ε a και Ε b τα μέτρα των ανυσμάτων Ε a και E b και θ a, θ b οι γωνίες των ανυσμάτων αυτών ως προς τον οριζόντιο άξονα x. Οι ημιάξονες Ε a και Ε b προκύπτουν επίσης από τις σχέσεις (-49) και (-5) ως ακολούθως ( ) ( + ) Εa = ε ε ε ε ε ε ε ε 4 εε ε ε ( ) ( + ) Εb = ε ε ε ε ε ε ε ε 4 εε ε ε (-53) (-54) Οι σχέσεις (-5) έως (-54) είναι γενικές και εκφράζουν τις γωνίες εμφάνισης και τα μέτρα των ημιαξόνων της έλλειψης συναρτήσει των συνιστωσών ε, ε, ε 3 και ε 4 του διπλού μιγαδικού αριθμού. Με τις σχέσεις αυτές είναι δυνατός ο άμεσος καθορισμός της διαγραφόμενης έλλειψης σε οποιοδήποτε σημείο στο περιβάλλον των γραμμών ηλεκτρικής ενέργειας όταν είναι γνωστή η παράσταση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ως διπλός μιγαδικός αριθμός, χωρίς να απαιτείται ο υπολογισμός στιγμιαίων τιμών. Το σχήμα -7 δείχνει τη διαγραφόμενη έλλειψη της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στο τυχαίο σημείο P του χώρου, τονίζοντας τους ημιάξονες Ε a και Ε b και τις γωνίες εμφάνισής τους θ a και θ b. Η σχετική θέση των ημιαξόνων της έλλειψης καθορίζει και τη φορά διαγραφής της. 3