SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
|
|
- Ζηνόβιος Ζαΐμης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
2 Predavanje 3 Modelovanje SAUa u s domenu Ishodi učenja: Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da: v Definišu polove, nule i pojačanje sistema i razumiju njihovu ulogu u dinamici sistema. v Primjenom algebre funkcije prenosa svedu strukturni blok dijagram SAUa na osnovnu strukturu v Izvrše transformaciju SBDa u dijagram toka signala, a zatim primjenom Masonovog pravila odrede funkciju prenosa sistema v Za zadati ulazni signal, izračunaju vrijednost signala u bilo kom čvoru dijagrama SAUa 2
3 Funkcija prenosa LTI sistemi se u opštem slučaju opisuju linearnim diferencijalnim jednačinama višeg reda sa konstantnim koeficijentima: n n1 m m1 d y d y dy d u d u du n m 1... n n m m1 1 0 a a a y b b b u dt dt dt dt dt dt Funkcija prenosa sistema, koja se definiše kao odnos između izlaznog i ulaznog signala u kompleksnom domenu, može se dobiti primjenom osobina Laplasove transformacije na prethodnu jednačinu: m Y (s) s b s... b s b G(s), m n n X (s) s a s... a s a m1 m1 1 0 n1 n1 1 0 n A( s) s a s... a s a n 1 n1 1 0 Imenilac funkcije prenosa se zove karakteristični polinom. Korijeni karakterističnog polinoma se zovu polovi sistema. Korijeni brojioca funkcije prenosa se zovu nule sistema. za kauzalne sisteme karakteristični polinom 3
4 Funkcija prenosa Nule i polovi sistema mogu biti čisto realni ili kompleksni. Realni sistemi ne mogu imati jedan kompleksni pol ili nulu, već se oni uvijek pojavljuju u vidu konjugovano kompleksnih parova. Pored polova i nula, vezano za funkciju prenosa, treba definisati i pojam pojačanja sistema. Pojačanje sistema predstavlja odnos slobodnih članova brojioca i imenioca funkcije prenosa: K m s b s... b s b b lim G( s) lim s0 s0 n s a s a s a a m1 m n1 n Kad se pobudi dinamički sistem uvijek se javlja prelazni proces, prije nego što sistem uđe u stacionarno stanje. Priroda prelaznog procesa zavisi od polova i nula sistema. Kad iščeznu tranzijentni procesi, odziv sistema će biti proporcionalan ulaznom signalu sa konstatnom proporcionalnosti K (pojačan ili oslabljen). 4
5 Funkcija prenosa Funkcija prenosa LTI sistema se može definisati i kao Laplaceova transformacija impulsnog (normalnog) odziva g(t). Y() s G( s) L { g( t)} U() s Impulsni odziv g(t) je odziv sistema na Dirakovu funkciju δ(t). () t, t 0 0, t 0 () t gt () Sistem 5
6 Odziv sistema na pobudu Odziv sistema na zadatu pobudu se može odrediti na sljedeće načine: Rješavanjem diferencijalne jednačine sistema Rješavanjem modela sistema u prostoru stanja (na sljedećim predavanjima) Primjenom konvolucije u vremenskom domenu (važi samo za LTI sisteme) Primjenom teoreme o konvoluciji u sdomenu (važi samo za LTI, najjednostavniji metod za rješavanje na papiru ) 6
7 Odziv sistema na pobudu Fudamentalna osobina LTI sistema je ta da se na njih može primijeniti operator konvolucije za računanje odziva sistema na proizvoljnu pobudu. y( t) g( t)* u( t) g( ) u( t ) d u( ) g( t ) d 0 0 Odziv sistema se jednostavnije može izračunati u Laplasovom domenu: Y ( s) G( s) U ( s) y t 1 ( ) L { Y ( s)} Za dokaze pogledati referencu [Linear Systems, MIT] 7
8 Odziv sistema na pobudu Za k=2 N/m, B=3 Ns/m, m=1 kg, odrediti funkciju prenosa, impulsni odziv, kao i odziv sistema na silu F=1N. Za izlaznu promjenljivu usvojiti pređeni put x(t). m mx Bx kx mx Bx kx F Gs () X( s) 1 1 F s ms Bs k s s 2 2 ( ) 3 2 8
9 Odziv sistema na pobudu Gs () X( s) 1 F s s s 2 ( ) 3 2 g( t) L { G( s)} e e 1 t 2t t t y( t) L { F( s) G( s)} e e >> syms s >> G=1/(s^2+3*s+2) >> g=ilaplace(g) >> y=ilaplace(1/s*g) % ulaz je jedinična funkcija 9
10 Odziv sistema na pobudu >> roots([1 3 2]) % polovi sistema ans = 2 1 g( t) L { G( s)} e e 1 t 2t Posmatrani sistem nema nula. Nule određuju koeficijente uz e t i e 2t, tj. kombinaciju ovih komponenti na izlazu. Polovi i nule imaju ključnu ulogu u dinamici sistema!!! 10
11 Odziv sistema na pobudu >> K=limit(G) K = 1/ t t y( t) L { F( s) G( s)} e e yt ( ) Sistem slabi ulazni signal 2 puta!!! Ako na sistem djelujemo konstatnom silom od 1N, tijelo će se pomjeriti za ukupno 0.5m u pravcu djelovanja sile. 11
12 Odziv sistema na pobudu Kako naći odziv sistema na početne uslove (akumulirana energija sistema)? Ukoliko je poznata diferencijalna jednačina kojom je opisan sistem, odziv na početne uslove se može odrediti primjenom Laplasove transformacije na posmatranu jednačinu, pri čemu početne uslove ne treba zanemariti. Kao rezultat, dobiće se zavisnost izlaznog signala od ulaznog signala (funkcija prenosa) i početnih uslova. Primjenom inverzne Laplasove transformacije na dobija se odziv na odgovarajuću pobudu i početne uslove. Ako poznato da je sistem 3s prije početka trenutka posmatranja (t=0s) bio na poziciji 1m i imao brzinu 1 m/s, kako se to odražava na prethodni proračun? Pretpostaviti da je na sistem djelovano impulsom koji ga je poremetio iz ravnoteže. 12
13 Funkcija prenosa MIMO sistema MIMO sistemi sa više ulaza i izlaza u 1 (t) u 2 (t)... u p (t) Sistem... y 1 (t) y 2 (t) y r (t) Y ( s) G ( s) U ( s) G ( s) U ( s)... G ( s) U ( s) i i1 1 i2 2 ip p G ij Yi (s) U (s) (s) j U, k j k 13
14 Funkcija prenosa MIMO sistema Y 1 (s) Y 2 (s)... Y r (s) = G 11 (s) G 12 (s)... G 1p (s) G 21 (s) G 22 (s)... G 2p (s) G r1 (s) G r2 (s)... G rp (s) Y ( s) G( s) U ( s) U 1 (s) U 2 (s)... U p (s) Karakteristični polinom? 14
15 Strukturni blok dijagrami (SBD) Strukturni blok dijagram (SBD) predstavlja još jedan način matematičkog modelovanja sistema. S obzirom da funckija prenosa predstavlja vezu između ulaznog i izlaznog signala, na osnovu nje se ne može sagledati šta se dešava unutar samog sistema. Na SBDu su prikazane glavne promjenjive sistema, veze između tih promjenljivih i funkcije prenosa komponenti sistema. Svaki elemenat ili grupa elemenata se predstavljaju jednim blokom čija je funkcija prenosa poznata. Primjer SBDa je dat sa slici ispod. H 2 s + E E1 2 E G 3 1 G2 G3 Ys () H 1 15
16 Strukturni blok dijagrami (SBD) Linijama između blokova se prikazuju njihove međusobne interakcije Strelice na linijama označavaju smjerove tokova signala (informacija) od jednog elementa do drugog. Krugovi predstavljaju sabirače (diskriminatore) elemente koji formiraju razliku ili zbir dvije ili više promjenljivih. Ovako predstavljen sistem može da formira relativno složenu strukturu koja sadrži više lokalnih povratnih sprega. Ma kako bila složena početna struktura, ona se može svesti na jednu ekvivalentnu funkciju prenosa čitavog sistema. H 2 s + E E1 2 E G 3 1 G2 G3 Ys () H 1 16
17 Strukturni blok dijagrami (SBD) Ovako predstavljen sistem može da formira relativno složenu strukturu koja sadrži više lokalnih povratnih sprega. Ma kako bila složena početna struktura, ona se može svesti na osnovnu strukuru, odnosno na jednu ekvivalentnu funkciju prenosa čitavog sistema. Jedan od načina svođenja SBDa na osnovnu strukturu je primjenom jednostostavnih pravila algebre funkcije prenosa. Y() s Gs ( )? s H 2 s + E E1 2 E G 3 1 G2 G3 Ys () H 1 17
18 Algebra funkcije prenosa Kaskadna veza blokova U(s) G 1 G 2... G n Y(s) U(s) G 1 G 2...G n Y(s) G 1 Paralelna veza blokova U(s) G 2 ± ± Y(s) U(s) ±G 1 ±G 2 ±...±G n Y(s) ± G n Svođenje povratne sprege na jedan blok U(s) ± G H Y(s) U(s) G 1 GH Y(s) 18
19 Algebra funkcije prenosa Premještanje bloka H ispred sabirača U 1 (s) G + 1 G 2 ± H Y(s) U 2 (s) U 1 (s) G 1 H + ± G 2 H Y(s) U 2 (s) Premještanje sabirača ispred bloka G 1 U 1 (s) G + 1 G 2 ± H Y(s) U 2 (s) U 1 (s) + ± Y(s) G 1 G 2 H U 2 (s) G 1 Premještanje sabirača iza bloka G 2 U 1 (s) G + 1 G 2 ± H Y(s) U 2 (s) U 1 (s) + G 1 G 2 ± G 2 H Y(s) U 2 (s) 19
20 Algebra funkcije prenosa Premještanje bloka H iz direktne grane U(s) G 1 G 2 H Y 1 (s) Y 2 (s) U(s) G 1 H G 2 H Y 1 (s) Y 2 (s) Premještanje čvora iza bloka G 2 U(s) G 1 G 2 H Y 1 (s) Y 2 (s) U(s) G 1 G 2 H G 2 Y 1 (s) Y 2 (s) Premještanje čvora ispred bloka G 1 U(s) G 1 G 2 H Y 1 (s) Y 2 (s) U(s) G 1 G 2 G 1 H Y 1 (s) Y 2 (s) 20
21 Primjer prvi način Primjenom algebre funkcije prenosa odrediti funkciju prenosa SAUa prikazanog na slici. H 2 s + E1 E E G 3 1 G2 G3 Ys () H H 2 s + E1 + + G3 E2 + E Ys () G 3 1 GG 2 3 H 1 21
22 Primjer prvi način H 2 G3 s Ys () + E1 E E G 3 1 GG 2 3 Povratna sprega H E1 E2 s GG Ys () 2 3 G 1 1 G G H H G Redna veza 4 s + H 2 G E E2 G1G 2G3 Ys () 1 G2G3 H1 22
23 Primjer prvi način s + H 2 G E E2 G1G 2G3 Povratna sprega Ys () 1 G2G3 H1 4 Povratna sprega 5 E 1 s + G Ys () 1G2G3 1G2G3H1 G1G 2H 2 6 s G Ys () 1G2G3 1 G G G G G H G G H
24 Primjer drugi način Zadatak se može riješiti na drugi način, tako što se napišu algebarske jednačine za svaki sabirač i izlaz i riješi sistem jednačina. H 2 s + E1 E E G 3 1 G2 G3 Ys () H 1 E1 X Y X G2G3E3 Izlaz iz svakog sabirača se po konvenciji zove signal greške. Svaki signal na izlazu iz sabirača treba zapisati u funkciji od ulaznog signala i samih signala greške. 24
25 Primjer drugi način H 2 s + E E1 2 E G 3 1 G2 G3 Ys () H 1 H 2 s + E1 E E G 3 1 G2 G3 Ys () H 1 E1 X Y X G2G3E3 E E G H E E G E G G H E
26 Primjer drugi način H 2 s + E E1 2 E G 3 1 G2 G3 Ys () H 1 E1 X Y X G2G3E3 E E G H E E G E G G H E Y G G E G2G3 E G H E 0 X G1 1G2G3H1 E3 0 E1 Y 0 0 G2G 3 E 2 E 3 AE BX Y CE CA 1 BX CA 1 BX 26
27 Primjer drugi način 1 0 GG GH G 1G G H B 0 0 A C 0 0 GG G Y X 1 CA B 2 3 Razlikovati gornje matrice od modela u prostoru stanja! >> syms G1 G2 G3 H1 H2 >> A=[1 0 G2*G3;1 1 G2*H2;0 G1 1+G2*G3*H1] >> B=[1;0;0] >> C=[0 0 G2*G3] >> G=simplify(C*A^1*B) G = (G1*G2*G3)/(G1*G2*G3 G1*G2*H2 + G2*G3*H1 + 1) G G G G G1G 2G2 G2G3H1 G1G 2H 2 27
28 Primjer drugi način P() s 1 H 2 s + E1 E E G 3 1 G2 G3 P () s 2 Ys () H 1 Nekad treba odrediti funkciju prenosa između ulaza i nekog drugog signala u sistemu. To je nalakše odraditi tako što će se signali od interesa zapisati u funkciji od signala greške i ulaznog signala i formirati nove matrice. Na primjer, signali P 1 (s) i P 2 (s) su jednaki: P1 G2H 2E i P G E Slijedi, da su odgovarajuće izlazne matrice i funkcije prenosa jednake: C C 0 0 GH GH G1 P1 / X C1A B 1 G P / X C A B
29 Dijagram toka signala Dijagram toka signala predstavlja još jedan način za predstavljanje matematičkog modela linearnog dinamičkog sistema. Promjenljive (signali) se označavaju čvorovima, a funkcije prenosa orijentisanim granama. s Ys () G s Ys () 1 G 1 Pri formiranju i analiziranju DTSa postoje sljedeća pravila: U jednom čvoru se može susticati proizvoljan broj grana, isto kao što iz jednog čvora može izlaziti proizvoljan broj grana; Zbir signala sa krajnjih tačaka svih grana koje se sustiču u čvoru čini promjenljivu čvora (signal čvora); Promenljiva čvora se ravnomerno prosljeđuje kroz sve grane koje iz tog čvora izlaze; Signal se kroz granu prostire isključivo u smjeru označenom strelicom. 29
30 Dijagram toka signala U 1 (s) U 2 (s) G 2 (s) G 3 (s) G 1 (s) X(s) H 1 (s) H 2 (s) Y 1 (s) Y 2 (s) U 3 (s) Signal koji izlazi iz čvora je jednak sumi signala koji ulaze u čvor: X ( s) G ( s) U ( s) G ( s) U ( s) G ( s) U ( s) Signal koji izlazi iz čvora se jednako se ravnomjerno raspoređuje na grane koje izlaze iz čvora: Y1( s) X ( s) H1( s) Y ( s) X ( s) H ( s)
31 Dijagram toka signala Direktna ili otvorena putanja je skup grana koje međusobno spajaju dva čvora i pri tome grane kroz svaku tačku prolaze samo jedanput. Petlja (zatvorena putanja) je zatvoren put koji polazi i završava se u istom čvoru i pri čemu se kroz svaku tačku prolazi samo jednom. Dvije putanje (otvorene ili zatvorene) se ne dodiruju ako nemaju zajedničkih čvorova ili grana. U Y Na primjeru sa slike putanja je direktna. Niz grana nije putanja jer dva puta prolazi kroz granu 56. Neke od petlji su: 343, 565, dok, na primjer, putanja 1231 nije petlja (kroz granu 13 se ide u suprotnom smjeru). Putanje 343 i 565 se ne dodiruju, dok putanje 123 i 343 imaju zajednilki čvor.
32 Masonovo pravilo Funkcija prenosa DTSa se određuje na osnovu sljedećeg obrazca: gdje su: P i prenos (pojačanje) ite direktne (otvorene) putanje; D determinanta grafa; G(s) D i D primijenjeno na zatvorene putanje koje ne dodiruju itu direktnu putanju; n broj direktnih putanja u grafu. Y (s) X (s) n i1 PD D i i
33 Determinanta grafa i i j i j k m D 1 L L L L L L...( 1)... L i LL i j Li LjLk zbir pojačanja (prenosa, funkcija prenosa) svih zatvorenih putanja (petlji) grafa; zbir proizvoda pojačanja svih parova zatvorenih putanja koje se međusobno ne dodiruju. zbir proizvoda pojačanja svake tri zatvorenie putanja koje se međusobno ne dodiruju. Brojilac determinante grafa toka signala je KARAKTERISTIČNI POLINOM SISTEMA
34 Transformacija SBD u DTS Strukutni blok dijagram se može transformisati u dijagram tokova signala primjenom sljedećih pravila: Diskriminatori i čvorovi strukturnog blok dijagrama postaju čvorovi grafa toka signala; Blokovi strukturnog blok dijagrama postaju grane grafa toka signala, a funkcije prenosa blokova postaju pojačanja grana; Smjer toka signala se pri transformaciji ne mijenja; Pošto se signali u čvoru GTS po definiciji sabiraju, predznak grane sa kojim ona ulazi u diskriminator strukturnog blok dijagrama se pridružuje funkciji prenosa, odnosno pojačanju odgovarajuće grane.
35 Primjer Skicirati dijagram toka signala SAUa prikazanog na slici, a zatim primjenom Masonovog pravila odrediti funkciju prenosa. H 2 s + E1 E E G 3 1 G2 G3 Ys () H 1 H 2 s 1 E 1 E 1 E2 G1 3 G2 G3 Ys () H 1 35
36 Primjer H 2 s E 1 1 E 1 E2 G1 3 G2 G3 Ys () H 1 Direktne putanje: P 1 = Zatvorene putanje: L 1 =234562, L 2 =34563, L 3 =4564. Nema prozivoda od po dvije ili više putanja koje se ne dodiruju. Determinanta grafa je prema definiciji: D = 1 (L 1 + L 2 + L 3 ) 36
37 Primjer Determinanta grafa je prema definiciji: D = 1 (L 1 + L 2 + L 3 ) D i se dobija na osnovu D tako što se iz D izbace sve petlje koje dodiruju itu direktnu putanju (izbacuju se i svi proizvodi gdje te petlje učestvuju kao činioci). Svaka zatvorena putanja dodiruje direktnu putanju, pa je D 1 = 1. G(s) n PiD i Y (s) i1 P1 D1 P1 X (s) D D 1L L L G G G G1G 2G3 G1G 2H G G H
38 Pojednostavljena struktura upravljanja Za potrebe analize, a kasnije i sinteze regulatora, u ovom kursu se najčešće posmatra pojednostavljana regulaciona kontura (sistem sa jediničnom povratnom spregom): r(t) Regulator d(t) Objekat upravljanja y(t) n(t) Funkcija prenosa objekata upravljanja obuhvata funkcije prenosa procesa, aktuatora i senzora, jer regulator koji se dodaje u direktnoj grani ne vidi proces, aktuator i senzor kao odvojene sisteme. Sa d(t) je označen aditivni poremećaj koji djeluje na ulaz aktuatora i procesa. Šumovi i mjerne nesigurnosti se modeluju na sa n(t). Sa r(t) je označen referentni signal, sa u(t) upravljački signal, a sa y(t) regulisana veličina. 38
39 Funkcije povratnog i spregnutog prenosa r(t) W y(t) r(t) W y(t) P P Potrebno je definisati još dva pojma koje će se često korisiti u toku kursa: funkciju povratnog prenosa i funkciju spregnutog prenosa. Funkcija prenosa u otvorenoj (raskinutoj) petlji se zove funkcija povratnog prenosa (W(s)P(s)). Funkcija prenosa u zatvorenoj petlji se zove funkcija spregnutog prenosa: Y () s W G R ( s ) 1 WP 39
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA Ishodi učenja: Predavanje 4 Prostor stanja: jednačine kretanja i Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da: v Definišu fundamentalnu matricu sistema
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραFunkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.
OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 3: Dinamički modeli sistema u MATLABu
OSNOVI AUTOMATSKO UPAVLJANJA POCESIMA Vežba br. : Dinamički modeli itema u MATLABu I Prenone funkcije Dinamički itemi e mogu prikazati u tri domena: vremenkom, Laplace-ovom i frekentnom. U vremenkom domenu
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραStabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja
Stabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja Najvažnija osobina SAU jeste stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani SAU bude stabilan (u
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραFunkcija prenosa linearnog sistema
Funkcija prenoa linearnog itema Pomatra e kontinualni, linearni, tacionarni item a jednim ulazom i jednim izlazom prikazan na lici. u Slika Definicija: Funkcija prenoa itema e definiše kao odno Laplaove
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραElektromotorni pogon je jedan DINAMIČKI SISTEM, koji se može podeliti na više DINAMIČKIH PODSISTEMA između kojih postoji INTERAKCIJA.
ELEKTROMOTORNI POGON KAO DINAMIČKI SISTEM Elektromotorni pogon je jedan DINAMIČKI SISTEM, koji se može podeliti na više DINAMIČKIH PODSISTEMA između kojih postoji INTERAKCIJA. apstraktan. DINAMIČKI SISTEM
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραDigitalni sistemi automatskog upravljanja
Digitalni sistemi automatskog upravljanja Upotreba digitalnih računara u ulozi kompenzatora i regulatora, u poslednje dve decenije naglo raste. To je posledica rasta njihovih performansi i pouzdanosti,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραPismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραKarakteristike sistema automatskog upravljanja
Karakteristike sistema automatskog upravljanja Do sada je glavna tema bila matematičko modelovanje fizičkih sistema. Sada je potrebno ideju modelovanja, odnosno modele, proširiti i uključiti (obuhvatiti)
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραTermovizijski sistemi MS1TS
Termovizijski sistemi MS1TS Vežbe 03 primer 1 Odredjivanje konvolucije numeričkom integracijom. x=(-2:0.01:2)'; f=triangle_function(x); y=zeros(length(x),1); for brojac=1:length(x) xt=x(brojac); r_f=@(u)triangle_function(u).*triangle_function(u-xt);
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα