Stabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja
|
|
- Ανυβις Τρικούπης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Stabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja Najvažnija osobina SAU jeste stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani SAU bude stabilan (u praksi postoje izuzeci, ali to izlazi van okvira ovog kursa). Posmatrajući sistem sa i bez povratne sprege moguće su različite situacije. Moguće je da sistem sa otvorenom povratnom spregom bude nestabilan, a da postane stabilan nakon zatvaranja povratne sprege. Moguća je obrnuta situacija (pojava mikrofonije zatvaranje pozitivne povratne sprege), a moguće je da sistem pre i posle zatvaranja povratne sprege bude stabilan (ili nestabilan). Zatvaranjem povratne sprege pored stabilnosti sistema, mogu se podešavati i druge osobine kao što su tačnost rada sistema u stacionarnom stanju, brzina odziva, preskok, oscilatornost odziva i sl. Osnovna podela sistema prema stabilnosti jeste na stabilne i nestabilne sisteme, i tu se govori o osobini apsolutne stabilnosti. Kod stabilnih sistema je moguće odrediti i stepen (ili rezervu) stabilnosti tako da se dolazi do pojma relativne stabilnosti. Sistemi se mogu upoređivati prema stepenu stabilnosti, tako da mogu biti relativno stabilniji ili manje stabilni. Interesantna je činjenica da su stabilniji sistemi teži za upravljanje zbog sporijeg reagovanja (odziva) od manje stabilnih. Pored apsolutno stabilnih i nestabilnih sistema (često se ovo apsolutno izostavlja) postoje i granični slučajevi neutralne ili granične stabilnosti. To su sistemi koji ne spadaju ni u jednu grupu ranije definisanih, ali najčešće za male promene parametara prelaze ili u stabilne ili u nestabilne sisteme. Jedna od definicija stabilnosti bi mogla biti: stabilan sistem je dinamički sistem koji na ograničenu (konačnu) pobudu daje ograničen (konačan) odziv. Ovo bi se moglo ilustrovati primerom kuglice, prikazanim na slici. Stabilnost dinamičkih sistema se može posmatrati na isti način kao i kuglica. Odziv sistema zavisi od početnih uslova i delovanja pobude, i može biti opadajući (slika a), rastući (slika b) ili neutralan (slika c) po svojoj amplitudi. Na slici a) je prikazan stabilan sistem, na slici b) nestabilan, a na c) granično (neutralno) stabilan. a) b) c) Slika. Ako se kao pobuda u sistemu posmatra δ(t), koja je konačna pobuda (iščezava tokom vremena) tada se odzivi dinamičkog sistema mogu predstaviti slikom 2, gde je sistem prikazan na slici 2a) stabilan, 2b) granično stabilan i 2c) nestabilan. Slika 2 str. od 20
2 Osobina stabilnosti je u tesnoj vezi sa položajem polova dinamičkog sistema u kompleksnoj s-ravni. Posmatra se elementarna upravljačka struktura, prikazana na slici 3. U(s) + - W(s) Y(s) Slika 3. Elementarna upravljačka struktura sa jediničnom negativnom povratnom spregom Neka je: P m (s) W(s)=K Q n (s), () gde je n m. Funkcija spregnutog prenosa je: W s (s)= W(s) +W(s) = KP m (s) KP m (s)+q n (s). (2) Karakteristična jednačina je: KP m (s)+q n (s)=0, (3) i na osnovu rešenja karakteristične jednačine s i, i=,2,...,n izraz (2) se može napisati u obliku: W s (s) = KP m(s). (4) n (s-s i ) i= Ako je p polova realno i prosto i r pari polova konjugovano kompleksno (p+2r=n), impulsni odziv sistema je: p r A i Y(s) = + s+σ i i= k= B k s+c k s 2 +2α k s+( α 2 k+ω 2 k), (5) gde su: s i =-σ i realni polovi, s k,2 =-α k ±jω k kompleksni, a A i,b k i C k konstante. Primenom inverzne Laplace-ove transformacije izraz (5) prelazi u vremenski domen, pa je: p r y(t) = A i e -σ it + D k e -α kt sin(ωk t+φ k ), (6) i= k= gde su D k konstante koje zavise od B k, C k, α k i ω k. Iz poslednjeg izraza se vidi da će uslov: y ss =y( )= lim y(t)=0, (7) t Biti zadovoljen ako i samo ako je (-σ i )<0 i (-α k )<0, odnosno ako svi polovi sistema imaju realan deo manji od nule (slika 4). Daljom analizom se dolazi do sledećih zaključaka: Ako σ q =0 (-σ i )<0, gde je i q i (-α k )<0 y ss = lim y(t)=a q. Odziv sistema je t konstantan u stacionarnom stanju (A q ) Jedan pol sistema se nalazi u koordinatnom početku a svi ostali u levoj poluravni kompleksne s-ravni, i sistem se nalazi na aperiodičnoj granici stabilnosti (slika 4). Ako α v =0 (-σ i )<0 i (-α k )<0, gde je k v y ss = lim y(t) = D v sin(ω v t+φ v ). Odziv t sistema u stacionarnom stanju je oscilatoran sa konstantnom amplitudom (D v sin(ω v t+φ v )). Postoji par konjugovano kompleksnih polova sistema na imaginarnoj str.2 od 20
3 osi (α v =±jω v ) a svi ostali u levoj poluravni kompleksne s-ravni, i sistem se nalazi na oscilatornoj granici stabilnosti (slika 4). Ako (-σ i )>0 (-α k )>0 lim t y(t) =. Odziv sistema odlazi u beskonačnost, za t. Postoji bar jedan pol sistema u desnoj poluravni kompleksne s-ravni i sistem je nestabilan (slika 4). Slika 4. Na osnovu prethodno navedenog zaključuje se da će sistem biti stabilan ako poseduje sve polove u levoj poluravni kompleksne s-ravni. Ako poseduje bar jedan pol u koordinatnom početku i/ili par polova na imaginarnoj osi, dok se svi ostali polovi nalaze u levoj poluravno kompleksne s-ravni sistem je granično stabilan. Ako sistem poseduje bar jedan pol (ili par konjugovano kompleksnih polova) u desnoj poluravni kompleksne s-ravni, bez obzira na broj polova u levoj poluravni, koordinatnom početku ili imaginarnoj osi, sistem je nestabilan. Na osnovu ovog izlaganja se vidi da kompletnu informaciju o stabilnosti nosi karakteristični polinom sistema. Na osnovu karakterističnog polinoma se formira karakteristična jednačina (3) čija su rešenja polovi sistema. Analizom prirode polova se utvrđuje stabilnost sistema. Rešavanje jednačine (3) nekada može biti prilično komplikovano (rešavanje algebarske jednačine višeg reda) pa se postavlja pitanje: da li se stabilnost sistema može ispitati bez eksplicitnog rešavanja karakteristične jednačine? Može, i u tu svrhu se koriste kriterijumi stabilnosti. Dva algebarska kriterijuma stabilnosti koja će se detaljnije obratiti su kriterijumi Routh-a i Hurwitz-a. Algebarski kriterijumi stabilnosti Routh-a i Hurwitz-a. Posmatra se karakteristična jednačina sistema: f(s)=a n s n +a n- s n a s+a 0 =0, (8) (uobičajena oznaka za karakteristični polinom je f(s), pa će se ona nadalje i koristiti). Nakon rešavanja jednačine (8), polinom f(s) se može napisati u faktorizovanom obliku: f(s)=a n (s-p )(s-p 2 )...(s-p n )=0, (9) gde je p i i-ti (i=,2,...,n) pol sistema. Množenjem činilaca jednačine (9) se dobija: f(s)=a n s n -a n (p +p p n )s n- +a n (p p 2 +p p 3 +p 2 p )s n-2 - -a n (p p 2 p 3 +p p 2 p )s n a n (-) n p p 2...p n =0. (0) Prema poslednjem izrazu se vidi da će svi koeficijenti a n,a n-,...,a,a 0 biti istog znaka ako su svi Re{p i }<0, pa se dolazi do zaključka da je potreban uslov stabilnosti sistema da svi koeficijenti karakterističnog polinoma budu istog znaka (najčešće se to "istog znaka" poistovećuje sa "pozitivni"). Ovo je, nažalost, i dovoljan uslov samo za sisteme prvog i str.3 od 20
4 drugog reda, dok se za sisteme višeg reda moraju vršiti i dodatna ispitivanja. Sistem prvog reda: a s+a 0 =0 s= - a 0 a, pa je s<0 ako su a 0 i a istog znaka. Sistem drugog reda: a 2 s 2 +a s+a 0 =0 s,2 = -a ± a 2-4a 2 a 0 2a 2, i neka su a 2,a,a 0 >0. Ako je a 2 4a 2 a 0 s,2 <0, odnosno ako je a 2 <4a 2 a 0 Re{s,2 }<0. Vidi se da će sistem imati polove sa negativnim realnim delovima ako su svi koeficijenti karakterističnog polinoma istog znaka. Kod sistema višeg reda mora se primeniti neki od kriterijuma za ispitivanje stabilnosti. Takva dva algebarska kriterijuma su nezavisno jedan od drugog postavili početkom XIX veka Routh i Hurwitz. Kriterijumi su bili postavljeni sa ciljem da se odredi priroda rešenja karakteristične jednačine (8) (znak realnog dela svih rešenja jednačine) bez rešavanja iste. Routh-ov kriterijum: Posmatra se karakteristična jednačina (8) i na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma f(s) se formira Routh-ova šema koeficijenata kako je to pokazano tabelom (šema se sastoji iz n+ vrste): s n a n a n-2 a n-4... s n- a n- a n-3 a n-5... s n-2 b b 2 b 3... s n-3 c c 2 c 3... M s 0 h Tabela. Routh-ova šema koeficijenata Prve dve vrste Routh-ove šeme koeficijenata se sastoje od koeficijenata karakterističnog polinoma, dok se elementi počevši od treće vrste pa do kraja izračunavaju na sledeći način: b = a n-a n-2 - a n a n-3 a n- b 2 = a n-a n-4 - a n a n-5 a n- b 3 = a n-a n-6 - a n a n-7 a n- c = b a n-3 - a n- b 2 b c 2 = b a n-5 - a n- b 3 b M Kada je šema formirana, posmatra se prva kolona Routh-ova kolona. Sada važi teorema: broj korena algebarske jednačine koji imaju pozitivne realne delove, jednak je broju promena znaka elemenata u Routh-ovoj koloni. Na osnovu prethodnog može se definisati Routh-ov kriterijum stabilnosti: potreban i dovoljan uslov da bi sistem bio stabilan jeste da svi elementi Routh-ove kolone, formirane na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma, budu istog znaka (što se najčešće svodi na pozitivni ). Sistem će biti granično stabilan ako se u Routh-ovoj koloni pored koeficijenata istog znaka str.4 od 20
5 pojavljuju i nule. Broj granično stabilnih polova je jednak broju prelaza sa nenultih na nulte vrednosti i obrnuto. Primer R: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 3 +s 2 +2s+24. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata: s 3 2 s 2 24 s = -22 s = 24 Routh-ova kolona je: U Routh-ovoj koloni postoje pozitivni i negativni elementi što znači da je sistem nestabilan. Postoje 2 promene znaka ( -22 i ) što znači da sistem poseduje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: -3 i ±j2.65). Primer R2: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 5 +2s 4 +s 3 +3s 2 +4s+5. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata: s 5 4 s s 3-2 (-) 3 2 (3) / 2 s s 32 9 (32) / 9 s 0 5 Elementi u zagradama se dobijaju ako se vrsta pomnoži najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca elemenata vrste. Tokom formiranja Routh-ove šeme koeficijenata dozvoljeno je vrstu pomnožiti proizvoljnim pozitivnim brojem, što je ovde i iskorišteno. To se čini u cilju eliminacije razlomaka i olakšavanja daljeg računanja. U Routh-ovoj koloni postoje pozitivni i negativni elementi što znači da je sistem nestabilan. Postoje 2 promene znaka (2 - i - 9) što znači da sistem poseduje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: -2.05, -0.7±j0.89 i 0.73±j.6). str.5 od 20
6 Primer R3: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 4 +2s 3 +s 2 +2s+. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata: s 4 s s 2 ε s s ε Ako se u Routh-ovoj koloni pojavi nula u vrsti koja nije poslednja, ta nula se privremeno menja malim pozitivnim brojem ε 0 do kraja formiranja šeme. Nakon formiranja šeme se ε zamenjuje nulom i izračunavaju elementi Routh-ove kolone, tako da je Routh-ova kolona sada: U Routh-ovoj koloni postoje pozitivni, nulti i negativni elementi što znači da je sistem nestabilan. Postoje 2 promene znaka (2 0 - i - ) što znači da sistem poseduje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: -.88, i 0.2±j0.98). Primer R4: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 5 +6s 4 +2s 3 +2s 2 +s+6. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata: s 5 2 s s s s ε (ε 0) s 0 6 Svi elementi Routh-ove kolone su nenegativni (postoje pozitivni elementi i jedna nula) što znači da je sistem granično stabilan. Postoje 2 prelaza sa nenultog na nulti elemenat (i obrnuto) (6 0 i 0 6) što znači da sistem poseduje dva granično stabilna pola na imaginarnoj osi (polovi sistema su: -, -2, -3 i ±j). str.6 od 20
7 Primer R5: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 5 +2s 4 +s 3 +2s 2 +s+2. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata: s 5 s s s 2?????? s?????? s 0?????? Ako su u jednoj vrsti svi elementi jednaki nuli dalje određivanje elemenata Routh-ove šeme je nemoguće, jer se dobijaju neodređeni izrazi. U tom slučaju se postupa na sledeći način. Formira se pomoćni polinom R(s) na osnovu koeficijenata neposredno prethodne vrste (najstariji član polinoma je s i sa početka vrste,a ostali članovi se formiraju tako da im eksponenti opadaju za po dva). Odredi se prvi izvod R(s) po promenljivoj s i koeficijenti tog novog polinoma se upisuju umesto nula u posmatranoj vrsti. Sada se normalno nastavlja dalje sa formiranjem elemenata Routh-ove šeme koeficijenata. U ovom slučaju je: R(s)=2s 4 +2s 2 +2, te je: dr(s) ds = 8s3 +4s. Sada Routh-ova šema koeficijenata: s 5 s s s 2 2 s -2 s 0 2 Routh-ova kolona sadrži pozitivne i negativne elemente. Sistem je nestabilan. Postoje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: -2, -0.5±j0.87 i 0.5±j0.87). Primer R6: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 4-0s Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata: s s s 2?????? s?????? s 0?????? R(s)=s 4-0s 2 +6, te je: dr(s) ds = 4s3-20s. Sada Routh-ova šema koeficijenata: s s s s -76 s 0 6 Routh-ova kolona sadrži pozitivne i negativne elemente. Sistem je nestabilan. Postoje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: ±3.06 i ±0.80). str.7 od 20
8 Hurwitz-ov kriterijum: Posmatra se karakteristična jednačina (8) i na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma f(s) se formira Hurwitz-ova determinanta koeficijenata kako je to pokazano tabelom (determinanta h je n-tog reda): a n- a n-3 a n a n a n-2 a n a n- a n h = 0 a n a n M M M M M M a a2 a0 Sada važi teorema: potreban i dovoljan uslov da algebarska jednačina ima sve korene sa negativnim realnim delom jeste da svi dijagonalni minori Hurwitz-ove determinante budu veći od nule. Na osnovu toga se definiše Hurwitz-ov kriterijum stabilnosti na sledeći način: sistem će biti stabilan ako su svi dijagonalni minori Hurwitz-ove determinante, formirane na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma, veći od nule. Prema tome potrebni i dovoljni uslovi za stabilnost sistema, prema Hurwitz-u su: = a n- > 0 2 = a n- a n-3 a n a n-2 = a n- a n-2 - a n a n-3 > 0 3 = M n = h. a n- a n-3 a n-5 a n a n-2 a n-4 > 0 0 a n- a n-3 Pošto se u poslednjoj koloni Hurwitz-ove determinante nalaze sve nule osim a 0, to je: n = n- a 0. Sistem će biti nestabilan ako su neki dijagonalni minori pozitivni a neki negativni. Sistem će biti granično stabilan ako je poslednji dijagonalni minor ( h ) jednak nuli, a svi prethodni pozitivni. n =0 a 0 =0 n- =0. Ako je a 0 =0 tada sistem poseduje pol u koordinatnom početku, a ako je n- =0 sistem poseduje bar jedan par polova na imaginarnoj osi. Moguć je naravno i slučaj a 0 = n- =0, kada postoje polovi i u koordinatnom početku i na imaginarnoj osi. str.8 od 20
9 Primer H: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 3 +s 2 +2s Rešenje: Formira se Hurwitz-ova determinanta: h = Dijagonalni minori su: = 2 = 2-24=-22 3 =24 2 =-528 Pošto su minori različitog znaka sistem je nestabilan. Kako se sada određuje broj nestabilnih polova? Formiraju se sledeći količnici: = 2 = -22 = = = 24 Broj promena znaka u ovom nizu jednak je broju polova sistema sa pozitivnim realnim delom, što je u ovom slučaju dva ( -22 i ). Primer H2: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 4 +6s 3 +6s 2 +4s+6. Rešenje: Formira se Hurwitz-ova determinanta: h = Dijagonalni minori su: = 6 2 = = 66 = = 6 3 = -528 Pošto su minori različitog znaka sistem je nestabilan. = 6 2 = = = Broj promena znaka u nizu količnika jednak je dva, što znači da postoje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: -4.9, -.4 i 0.±j0.9). str.9 od 20
10 Primer H3: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 4 +2s 3 +2s 2 +2s+. Rešenje: Formira se Hurwitz-ova determinanta: h = Dijagonalni minori su: = 2 2 = = 2 = = 3 = 0 Pošto su prva dva minora pozitivna a druga dva nula sistem je granično stabilan i sistem ima dva pola na imaginarno osi (polovi sistema su: -, - i ±j). Primer H4: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s 4 +3s 2 +s+2. Rešenje: Formira se Hurwitz-ova determinanta: h = Dijagonalni minori su: = 0 2 = - 3 = - 4 = -2 Prvi minor je nula a ostali negativni pa je sistem nestabilan. = 0 2 = - 0 = - 3 = = 4 = = 2 Broj promena znaka u nizu količnika jednak je dva, što znači da postoje dva pola sa pozitivnim realnim delom (polovi sistema su: -0.29±j0.84 i 0.29±j.57). str.0 od 20
11 Stabilnost sistema opisanih matematičkim modelom u prostoru stanja Sistem je opisan matematičkim modelom u prostoru stanja: x = Ax + Bu, y = Cx + Du. (a) (b) Funkcija prenosa sistema je: W s (s) = Y(s) U(s) = C adj[si-a] B + det[si-a] D C[sI-A]- B + D =. (2) det[si-a] Iz izraza (2) se vidi da je imenilac funkcije prenosa sistema det[si-a]. Imenilac funkcije prenosa sistema je karakteristični polinom f(s), što znači da je: f(s) = det[si-a]. (3) Sada se za analizu stabilnosti može primeniti neki od ranije navedenih kriterijuma Routh-a ili Hurwitz-a. Znači procedura za analizu stabilnosti sistema opisanih matematičkim modelom u prostoru stanja je:. formira se karakteristični polinom kao det[si-a]; 2. na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma se formira Routh-ova šema koeficijenata ili Hurwitz-ova determinanta; 3. primene se odgovarajući kriterijumi i proceni stabilnost. str. od 20
12 Primer. SAU je prikazan blok dijagramom na slici. Odrediti interval pojačanja K za koji je sistem stabilan. U(s) + + s + 0 Y(s) 3 2 s + 0 s( s + 20s + 224s + 000) - - K 240 Rešenje. Funkcija spregnutog prenosa sistema je Ws(s) = s 4 +20s s s+2400+K. Karakteristični polinom sistema je: f(s) = s s s s K. Rausova šema koeficijenata je: s K s 3 s 2 s s K 7644-K 2400+K Da bi sistem bio stabilan svi elementi Rausove kolone moraju biti istog znaka, što se svodi na uslov: 7644-K> K>0-2400<K< s 2 +2 Primer. Funkcija spregnutog prenosa SAU je Ws(s) = s 5 +s 4 +as 3 +bs 2, gde su a i b +s+ realni pozitivni parametri. Odrediti vrednosti parametara (a,b) za koje će sistem biti stabilan. Rešenje. Karakteristični polinom sistema je: f(s) = s 5 +s 4 +as 3 +bs 2 +s+. Rausova šema koeficijenata je: s 5 a s 4 b s 3 s 2 s s 0 a-b 0 b b-a b str.2 od 20
13 Da bi sistem bio stabilan svi elementi Rausove kolone moraju biti istog znaka, što se svodi na uslove: a>b b>a što je kontradikcija, tako da ni za jednu vrednost parametara a i b sistem nije stabilan. 3s+4 Primer. Funkcija spregnutog prenosa SAU je Ws(s) = s 5 +3s 4 +5s 3 +5s 2, gde je K +2s+K realan parametar. Odrediti interval vrednosti parametra K za koji će sistem biti stabilan. Rešenje. Karakteristični polinom sistema je: f(s) = s 5 +3s 4 +5s 3 +5s 2 +2s+K. Rausova šema koeficijenata je: s s K s 3 s 2 s s 0 Uslov stabilnosti sistema: K>0 (oblast desno od f(k)-ose na slici) 32+3K>0 K > K 32+30K 92-4K-3 =64-38K- K = -0,67 (oblast desno od prave K=-0.67) 64-38K- > < K <.6 (oblas ispod parabole 64-38K- = 0, a iznad K-ose) Objedinjavanjem gornjih uslova dobija se uslov stabilnosti sistema 0<K<.6. Oblast stabilnosti je osenčena na slici. f(k) 64 38K K 2 > K 32 K > 3 K>0 str.3 od 20
14 Primer. Funkcija spregnutog prenosa SAU je Ws(s) = 3s+5 2s 3 +8s 2 + ( +2 ) s+ ( ) 4 +2, gde su i realni parametri. Odrediti oblast stabilnosti sistema u ravni parametara 0. Rešenje. Karakteristični polinom sistema je: f(s) = 2s 3 +8s 2 + ( +2 ) s+ ( 4 +2 ). Rausova šema koeficijenata je: s 3 2 K +2 s s 2 s Uslov stabilnosti sistema: > > 0 > -2. Oblast stabilnosti je prikazana na slici. >0 >-2 Primer. SAU je prikazan blok dijagramom na slici. U ravni parametara a0k odrediti oblast u kojoj je sistem stabilan. U(s) + - K + s + s(s + ) - a s + Y(s) Rešenje. Funkcija spregnutog prenosa sistema je K Ws(s) = s 4 +3s 3 +(3+a)s 2 +(+2a)s+(K+a). Karakteristični polinom sistema je: f(s) = s 4 + 3s 3 + (3+a)s 2 + (+2a)s + (K + a). Rausova šema koeficijenata je: str.4 od 20
15 s 4 a+3 K+a s 3 3 2a+ s 2 s s 0 a+8 3a+3K 2a 2 +8a+8-9K a+k Da bi sistem bio stabilan svi elementi Rausove kolone moraju biti istog znaka, što se svodi na uslove: a+8 > 0 a > -8 a+k > 0 K > -a 2a 2 +8a+8-9K > 0 K < 2 9 (a+2)2. Oblast stabilnosti je prikazana na slici. 2 K = + 9 ( a 9) 2 K 0 5 Oblast stabilnosti 0 a -5 K = -a a = str.5 od 20
16 Primer. SAU je prikazan grafom toka signala na slici. U ravni parametara 0 odrediti oblast u kojoj je sistem stabilan. - s s s Rešenje. Na grafu postoje četiri zatvorene putanje: P = - P 4 = - s 2; P 2 = - s 2; P 3 = - s 3 ; s. Dve se međusobno ne dodiruju, pa je P 2 = P P 2 = s 4. Determinanta grafa je = s 4 + s 3 + ( + ) s 2 + s+ s 4. Karakteristični polinom sistema je f(s) = s 4 + s 3 + ( + ) s 2 + s+ Rausova šema koeficijenata je: s 4 + s 3 Uslovi stabilnosti su a) > 0 b) + - > 0 c) ( -)(- ) > 0 s 2 s s ( - )( - ) a) ( > 0 > 0) ( < 0 < 0) b) + > c) ( - > 0 - > 0) ( - < 0 - < 0) ( < > ) ( > < ) Analizom uslova a) i b) vidi se da uslov ( < 0 < 0) otpada jer ne može biti zadovoljen istovremeno sa + >. Ako su zadovoljeni uslovi a) i c) tada je uslov b) automatski zadovoljen, tako da su konačno uslovi stabilnosti: ( > 0 > 0) [( < > ) ( > < )] Oblast stabilnosti je prikazana na slici. str.6 od 20
17 >0 < Oblast stabilnosti > Oblast stabilnosti > < >0 + > K Primer. Za sistem čija je funkcija povratnog prenosa W(s) = s(s+3)(s+4), odrediti interval pojačanja K tako da polovi sistema u zatvorenoj povratnoj sprezi imaju realni deo manji od -. Rešenje. Karakteristični polinom sistema nakon zatvaranja povratne sprege je f(s) = s 3 + 7s 2 + 2s + K. Uslov da svi polovi sistema imaju realni deo manji od - se može modifikovati uvođenjem nove p-ravni, odnosno smenom promenljivih s=p-. Međusobni odnos s i p-ravni je prikazan na slici. Im{p} Im{s} s = - Re{p} Re{s} Na slici se vidi da će sve tačke iz s-ravni čiji je realni deo manji od -, biti u levoj poluravni kompleksne p-ravni. To znači da je nakon smene promenljivih dovoljno odrediti za koje K će sistem biti stabilan. Za onu vrednost K za koju je sistem stabilan u p-ravni, će biti ispunjen uslov da svi polovi u s-ravni imaju realni deo manji od -. f(p) = f(s) s=p- = p 3 +4p 2 +p+k-6 Rausova šema koeficijenata s 3 s 2 4 K-6 s 0-K s 0 K-6 Uslov stabilnosti sistema je 6 < K <0, odnosno za K (6,0) će realni delovi svih polova sistema biti manji od -. str.7 od 20
18 (K+)s 2 +6s+8 Primer. Funkcija spregnutog prenosa SAU je Ws(s) = s 4 +6s 3 +(K+9)s 2, gde je K +6s+8 realan parametar. Primenom Hurvicovog krierijuma odrediti interval vrednosti parametra K za koji će sistem biti stabilan. Rešenje. Karakteristični polinom sistema je: f(s) = s 4 +6s 3 +(K+9)s 2 +6s+8. Hurvicova determinanta je Dijagonalni minori su: = 6 2 = 6K+48 K > -8 3 = 36K K > 0 h = 288K K > 0 Sistem je stabilan za svako K>0. h = K K+9 8 Primer. Karakteristični polinom sistema je: f(s) = s 5 +s 4 +7s 3 +5s 2 +0s+K, gde je K realan parametar. Primenom Hurvicovog krierijuma odrediti interval vrednosti parametra K za koji će sistem biti stabilan. Rešenje. Hurvicova determinanta je h = Dijagonalni minori su: = 2 = 2 K > -8 3 = K K > 0 4 = K(6-K) K < 6 h = (6-K) K < 6 Sistem je stabilan za svako 0< K < 6. 5 K K K str.8 od 20
19 str.9 od 20
20 str.20 od 20
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραFunkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.
OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραElektromotorni pogon je jedan DINAMIČKI SISTEM, koji se može podeliti na više DINAMIČKIH PODSISTEMA između kojih postoji INTERAKCIJA.
ELEKTROMOTORNI POGON KAO DINAMIČKI SISTEM Elektromotorni pogon je jedan DINAMIČKI SISTEM, koji se može podeliti na više DINAMIČKIH PODSISTEMA između kojih postoji INTERAKCIJA. apstraktan. DINAMIČKI SISTEM
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραKarakteristike sistema automatskog upravljanja
Karakteristike sistema automatskog upravljanja Do sada je glavna tema bila matematičko modelovanje fizičkih sistema. Sada je potrebno ideju modelovanja, odnosno modele, proširiti i uključiti (obuhvatiti)
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραf n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).
Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα( t) u( t) ( t) STABILNOST POJAČAVAČA SA POVRATNOM SPREGOM STABILNOST POJAČAVAČA SA POVRATNOM SPREGOM STABILNOST POJAČAVAČA SA POVRATNOM SPREGOM
Ponašanje pojačavača u vremenskom domenu zavisi od frekvencijske karakteristike, odnosno položaja nula i polova prenosne funkcije. ( N r ( D( B( Pogodan način da se ustanovi stabilnost pojačavača je da
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραKarakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu
Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu ponašanje sistema u prelaznom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραDigitalni sistemi automatskog upravljanja
Digitalni sistemi automatskog upravljanja Upotreba digitalnih računara u ulozi kompenzatora i regulatora, u poslednje dve decenije naglo raste. To je posledica rasta njihovih performansi i pouzdanosti,
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραDimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότερα