Να υπολογίσετε το ph αραιού υδατικού διάλυμα άλατος ^BHh 2 A, της ασθενούς μονόξινης βάσης B και του ασθενούς διπρωτικού οξέος H 2 A, συγκέντρωσης c.

Transcript

1 Να υπολογίσετε το ph αραιού υδατικού διάλυμα άλατος ^BH A, της ασθενούς μονόξινης βάσης B και του ασθενούς διπρωτικού οξέος H A, συγκέντρωσης c. Δίνονται:, ^HA, ^HA, ^B. a Εφαρμογή i. ^NH4 CO 7 11 ^HCO 447, $ 10, a ^HCO 468, $ 10, ^NH ii. ^NH4 S01, M 8 ^HS 891, $ 10, a ^HS , ^NH iii. ^COONH4 4 ^COOH 56, $ 10, a ^COOH 155, $ 10, ^NH 14 Δίνεται: q 5 cc, 101, $ Απόδειξη: ^BH A HB A c c c HB HO HO B c x x x A HO HA OH c HA HO HA OH z z z HO OH HO a ^HB ^B ^x x c x $ ^1 ^A ^HA ^HA a ^HA ^ z $ ^ z c z$ ^ z z ^ ^ ^x ^ z ^4 $ Έστω η συγκέντρωση των οξωνίων. Επειδή ο στόχος μας είναι ο υπολογισμός του ph προσθέτουμε και την εξίσωση: x ] 5g και επιλύουμε το σύστημα των πέντε εξισώσεων ^1, ^, ^, ^4 και ] 5g ως προς. 1

2 Από τις ^1 και ] 5g προκύπτει: x x c x $ c Πλήρης επίλυση του συστήματος. (Χωρίς προσεγγίσεις.) ^6 Από τις ^ και ] 5g προκύπτει: z z $ z $ Από τις ^, ] 5g και ^7 προκύπτει: a c $ c $ c a c^ ^ $ m$ a Από τις ^7 και ^8 προκύπτει: z c ^ $ a ^7 ^8 ^9 Από τις ^4 και ] 5g προκύπτει: ^ z x ^10 $ Με αντικατάσταση στην ^10 των x, και z από τις ^6, ^8 και ^9 προκύπτει: c^ c $ d $ ^ ^ $ a c a n c c c $ d $ n ^11 ^ a Από την ^11 μετά την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει: ^c ^c a _ c i 5 4 a ^c 0 a a a ^1 Η εξίσωση ^1, όπως θα αποδειχθεί παρακάτω, έχει πάντα μία και μοναδική θετική ρίζα που είναι και η ζητούμενη.

3 Από τις ^1 και ] 5g προκύπτει: x x c x $ c Επίλυση του συστήματος με προσεγγίσεις. Λόγω της μεγάλης διαφοράς στην τάξη μεγέθους των a και ^6 & z ^1 μπορούμε να θεωρήσουμε: οπότε από τις ^, ] 5g και ^1 προκύπτει: a $ c a c c$ a ^14 από τις ^4, ] 5g και ^1 προκύπτει: ^ x ^15 $ Με αντικατάσταση στην ^15 των x και από τις ^6 και ^14 προκύπτει: c$ c $ c m ^16 a από τη ^16 μετά τις πράξεις προκύπτει: 4 c c c 0 a a a a a ^ c ^ c ^ c 0 a a a a c c c 0 a a a a ^c ^c ^c 0 a a a c c c 0 a a c c ^c 0 a c c c 0 a 0 ^17 a Η ^17 είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει πάντα μία και μοναδική θετική ρίζα που είναι και η ζητούμενη. Σύμφωνα με τις προσεγγίσεις από τις οποίες προέκυψε δεν θα ισχύει σε περίπτωση

4 πολύ αραιών διαλυμάτων (πολύ μικρό c). Η θετική ρίζα της ^17 είναι: 8 a 0 ^18 Οι τιμές της συγκέντρωσης των οξωνίων και των ph που υπολογίζονται από τις εξισώσεις ^1 και ^18 για την εφαρμογή της άσκησης δίνονται παρακάτω. Οι τιμές εκτός παρένθεσης προκύπτουν από την ^1 και οι τιμές εντός παρένθεσης από την ^17. i. ^NH4 CO 648, $ ^6, 49 $ ph 9, 189 ^9, 188 ii. ^NH4 S01, M 561, $ ^5, 67 $ ph 9, 51 ^9, 46 iii. ^COONH4 4, $ ^4, 197 $ 10 7 ph 6, 77 ^6, 77 Παρατηρούμε ότι η εξίσωση ^17, η οποία είναι πολύ απλή σε σχέση με την αρκετά περίπλοκη ^1, δίνει με πολύ μεγάλη ακρίβεια τα ορθά αποτελέσματα αν και δεν περιέχει ούτε τη c ούτε την. Ύπαρξη και μοναδικότητα θετικής ρίζας της ^1. Η εξίσωση ^1 είναι μια πολυωνυμική εξίσωση πέμπτου βαθμού και θα δείξουμε ότι έχει πάντα μία και μοναδική θετική ρίζα που είναι και η ζητούμενη. Θέτουμε g^ το πρώτο μέλος της ^1 και ισχύει: lim gx ^, g^0 < 0 και lim gx ^ " " άρα η εξίσωση g ^ 0 έχει οπωσδήποτε μία θετική ρίζα (Bolzano). Το γινόμενο των ριζών είναι θετικό άρα για να έχει και δεύτερη θετική ρίζα θα πρέπει να ισχύει μία από τις δύο παρακάτω περιπτώσεις: i. Έχει πέντε θετικές ρίζες. Αν έχει πέντε θετικές ρίζες τότε η gl^ 0 θα έπρεπε να έχει τέσσερις θετικές ρίζες. Άτοπο γιατί είναι πολυωνυμική τετάρτου βαθμού με γινόμενο ριζών αρνητικό. ii. Έχει τρεις θετικές ρίζες. Αν έχει τρεις θετικές ρίζες τότε η gl^ 0 θα έπρεπε να έχει τουλάχιστον δύο θετικές ρίζες. Εφόσον το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό θα πρέπει να έχει τρεις θετικές και μία αρνητική ρίζα. Αυτό προϋποθέτει η gll^ 0 να έχει τουλάχιστον δύο θετικές ρίζες. Επειδή η gll^ 0 είναι πολυωνυμική τρίτου βαθμού και ισχύει: lim gll^x και lim gll^x " " διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις: α. Η gll^ 0 έχει τρεις θετικές ρίζες. Αν έχει τρεις θετικές ρίζες τότε θα έπρεπε η glll^ 0 να έχει δύο θετικές ρίζες. Άτοπο γιατί το άθροισμα των ριζών της glll^ 0 είναι αρνητικό. β. Η gll^ 0 έχει δύο θετικές ρίζες και μία αρνητική ρίζα. Αν έχει δύο θετικές ρίζες και μία αρνητική ρίζα τότε το γινόμενο των ριζών της είναι αρνητικό άρα: c a > 0 > c a 4

5 > a a > και η glll^ 0 θα έχει μία θετική ρίζα. Το άθροισμα των ριζών της glll^ 0 είναι αρνητικό άρα το γινόμενό τους πρέπει να είναι και αυτό αρνητικό για να έχει μία θετική ρίζα. c a < 0 c a < < < Ισχύει όμως > a άρα > a άτοπο γιατί όπως δείξαμε παραπάνω από το γινόμενο των ριζών έχουμε ως προϋπόθεση < a. Επομένως σε κάθε περίπτωση η ^1 έχει πάντα μία και μοναδική θετική ρίζα. 5