Βιομαθηματικά BIO-156

Transcript

1 Βιομαθηματικά BIO-156 Παραγώγιση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 213

2 Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν το όριο lim h + h h υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει θα το ονομάζουμε παράγωγο της στο και θα το d συμβολίζουμε με η Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο θα γράφουμε h lim + h h d Φυσική ερμηνεία της παραγώγου. Η παράγωγος ερμηνεύεται ως στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής μιας ποσότητας.

3 Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου Η παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης του γραφήματος της στο σημείο,. Q+h,+h ε ε P, Έστω h ένας μικρός αριθμός. Πάνω στο γράφημα της βρίσκουμε τα σημεία P, και Q+h,+h στο σχήμα h >. Χαράσσουμε την τέμνουσα ευθεία ε που περνά από τα σημεία P και Q. Καθώς το h +, το Q P και η ευθεία ε τείνει σε μια οριακή θέση ευθεία ε. Παρόμοια, για h <, η τέμνουσα θα τείνει προς την ίδια οριακή θέση ευθεία ε. Την ευθεία ε την ονομάζουμε εφαπτομένη του γραφήματος της στο σημείο,. +h

4 Παραγώγιση και συνέχεια Μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη σε κάποιο σημείο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση,, < είναι παντού συνεχής αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Πράγματι, + h h h h 1, 1, h h > < lim h + + h h + h h 1 1 h + h h h lim lim δεν υπάρχει

5 Θεώρημα: Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή υπάρχει τότε η είναι και συνεχής στο δηλαδή. Απόδειξη Γράφουμε lim ' ' ή ' lim lim h h h h + +, + lim lim lim + υπάρχει

6 Θεωρήματα Έστω και g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο και. Τότε 1. +g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει 2. α είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει 3..g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει 4. Αν, τότε και είναι παραγωγίσιμες στο και a R g g + + a a g g g g + g g 1 [ ] [ ] g g g g g g g

7 Θεωρήματα Έστω και g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο και a R. Τότε 5. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο g, τότε η σύνθεση o g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει o g g g 6. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, τότε και η αντίστροφή της 1, αν υπάρχει, είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει ότι αν 1 τότε 1 1 1

8 Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

9 Παράγωγοι ανώτερης τάξης Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο διάστημα, τότε ορίζεται η πρώτη παράγωγος της,. Αν η είναι παραγωγίσιμη, τότε μπορούμε να ορίσουμε την παράγωγό της που ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της, και συμβολίζεται. Εφόσον οι συναρτήσεις που προκύπτουν παραγωγίζοντας είναι παραγωγίσιμες μπορούμε να συνεχίσουμε την διαδικασία της παραγώγισης. Γενικά, τη n-οστή παράγωγος της τη συμβολίζουμε: n ή d n d n Κάθε πολυώνυμο P έχει μια παράγωγο P ηοποίαείναι επίσης πολυώνυμο, και κάθε ρητή συνάρτηση Q έχει παράγωγο που είναι επίσης ρητή συνάρτηση. Τα πολυώνυμα και οι ρητές συναρτήσεις έχουν παραγώγους όλων των τάξεων. Για ένα πολυώνυμο n-οστού βαθμού, οι παράγωγοι ανώτερης της n-οστής τάξης είναι μηδέν.

10 Μονοτονία συνάρτησης Θεώρημα. Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο α,β. Αν Αν Αν > a, β, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] < a, β, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο [α,β] a, β, τότε η είναι σταθερά στο [α,β] Το θεώρημα ισχύει και για διαστήματα της μορφής [α,β, α,β], α,β, a,

11 Τοπικά ακρότατα Ορισμός. Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ, λέμε ότι έχει στο c Δ τοπικό μέγιστο αν και μόνο αν c c δ, c + δ Δ τοπικό ελάχιστο αν και μόνο αν c c δ, c + δ Δ Όταν μια συνάρτηση έχει στο c τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο τότε λέμε ότι η έχει στο σημείο c τοπικό ακρότατο.

12 Εύρεση τοπικών ακρότατων 1 Θεώρημα. Έστω : Δ R, και c ένα εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ. Αν η έχει τοπικό ακρότατο στο c, τότε είτε είτε δεν υπάρχει. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Π.χ. 2 3, 3 και, αλλά αυτή η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. Για μια συνεχή συνάρτηση τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ για τα οποία ισχύει, ονομάζονται στάσιμα σημεία της. Τα στάσιμα σημεία καθώς και τα σημεία στα οποία η δεν είναι παραγωγίσιμη ονομάζονται κρίσιμα σημεία.

13 Εύρεση τοπικών ακροτάτων 2 Όταν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διαστήματα της μορφής [α,β],[ a,,, β ] τα άκρα του διαστήματος είναι τοπικά ακρότατα. Οι θέσεις των πιθανών τοπικών ακρότατων μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού ένα κλειστό διάστημα [α,β] είναι τα κρίσιμα σημεία και τα άκρα του διαστήματος

14 Κριτήριο της πρώτης παραγώγου Υποθέτουμε ότι c είναι ένα κρίσιμο σημείο της συνάρτησης και ότι η είναι συνεχής στο c. Αν υπάρχει ένα διάστημα c-δ,c+δ τέτοιο ώστε Αν > c δ, c και τότε το c είναι ένα τοπικό μέγιστο. < c, c + δ Αν < c δ, c και > c, c + δ τότε το c είναι ένα τοπικό ελάχιστο.

15 Κριτήριο της δεύτερης παραγώγου Έστω ότι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο σημείο c και c. Αν c> τότε c είναι τοπικό ελάχιστο. Αν c< τότε c είναι τοπικό μέγιστο. Ολικό μέγιστο και ελάχιστο Έστω d ένας σημείο του πεδίου ορισμού της. Η d είναι ολικό μέγιστο αν και μόνο αν d στο πεδίο ορισμού της. Η d είναι ολικό ελάχιστο αν και μόνο αν d στο πεδίο ορισμού της.

16 Καμπυλότητα μιας συνάρτησης Ορισμός. Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο α,β. Το γράφημα της λέγεται κυρτό αν και μόνο αν η είναι γνησίως αύξουσα και κοίλο αν και μόνο αν η είναι γνησίως φθίνουσα. Έστω ότι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β. Αν > a, β, τότε το γράφημα της είναι κυρτό. Αν < a, β, τότε το γράφημα της είναι κοίλο.

17 Σημεία καμπής μιας συνάρτησης Ορισμός. Ένα σημείο c, c ονομάζεται σημείο καμπής της αν και μόνο αν υπάρχει δ > τέτοιο ώστε το γράφημα της έχει αντίθετη καμπυλότητα στο διάστημα c-δ,c από την καμπυλότητα στο διάστημα c,c+δ. Πρόταση. Αν c, c είναι σημείο καμπής, τότε είτε είτε δεν υπάρχει. Τα σημεία καμπής αναζητούνται μεταξύ των ριζών της εξίσωσης και τα σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν υπάρχει.

18 Ασύμπτωτες Η ευθεία yβ είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, όταν lim + β η lim β Ηευθείαα είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, όταν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim, lim είναι ± α + α Ηευθείαyα+β είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, όταν και μόνο όταν lim ± a R και lim ± a β R

19 Μελέτη μιας συνάρτησης Προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού της. Αναζητούμε συμμετρίες άρτια, περιττή, περιοδική. Εξετάζουμε τη συνέχειά της στο πεδίο ορισμού. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία. Προσδιορίζουμε τη μονοτονία. Βρίσκουμε τα τοπικά ακρότατα. Προσδιορίζουμε την καμπυλότητα και τα σημεία καμπής αν υπάρχουν της γραφικής παράστασης της. Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες αν υπάρχουν. Εντοπίζουμε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες.

20 Παράδειγμα y

21 Μέθοδος της διχοτόμησης Ο πιο απλός αλγόριθμος να βρίσκεις ρίζες. Χρησιμοποιεί το θεώρημα του Bolzano. Ξεκινάμε με ένα διάστημα [α,β] όπου η συνάρτηση σταάκραπαίρνειαντίθετεςτιμέςαb<. Μειώνουμε διαδοχικά το μήκος παίρνοντας μια τιμή στο μέσο του διαστήματος. Συνεχίζουμε μέχρι να απομονωθείηλύσημεόσηακρίβειαείναιεπιθυμητή. -13, <. Υπάρχει ρίζα στο -2,-1-3/2< -3/2-1< Υπάρχει ρίζα στο -3/2,-1-5/2> -3/2-5/2< Υπάρχει ρίζα στο -3/2,-5/2 1/2> και 1< 1/2 1< Υπάρχει ρίζα στο 1/2,1 3/4< 1/2 3/4< Υπάρχει ρίζα στο 1/2,3/4 1< και 2> 1 2< Υπάρχει ρίζα στο 1,2 3/2> 1 3/2< Υπάρχει ρίζα στο 1,3/2

22 Παράδειγμα Ένας πληθυσμός βακτηρίων περιγράφεται απότησυνάρτηση e N t 2t Νt : αριθμός βακτηρίων τηη χρονική στιγμή t. α Ποιος είναι ο ρυθμός αύξησης; β Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός αύξησης και σε ποια χρονική στιγμή συμβαίνει;

23 Οι κανόνες του L' Hoˆ pital Έστω και g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις και Πρόταση 1 Αν και a, γ R { +, } lim g a lim, lim g a γ τότε a g g lim lim a a γ Πρόταση 2 Αν lim a ±, lim a g ± και lim g a γ τότε g g lim lim a a γ

24

25

26

27 Θεώρημα του Rolle Αν η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο α,β, συνεχής στο [α,β], και αβ, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε ξ. Θεώρημα Μέσης Τιμής Αν η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο α,β και συνεχής στο [α,β], τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε β a ξ β a

28 Συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής 1. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο Δ είναι, τότε η είναι σταθερή στο Δ. 2. Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει g, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε g +c Δ

29 Παράδειγμα- διαφυγή του zebra danio Σχέση μεταξύ της γωνίας που σχηματίζεται από το μάτι του Zebra danio και το μέγεθος S του θηρευτή που βρίσκεται σε απόσταση και πλησιάζει τη λεία με ταχύτητα v.

30 a tan 2 a 2 S / 2, S arctan 2 Αν t είναι η απόσταση του θηρευτή από τη λεία τη χρονική στιγμή t καιτηνπλησιάζειμεσταθερή ταχύτητα v, τότε η μεταβολή στη θέση του θηρευτή ανά μονάδα χρόνου δίνεται από την d dt v Αφού η απόσταση αλλάζει με το χρόνο το ίδιο θα ισχύει και για τη γωνία S a t 2arctan 2 t Και ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας με da dt 2 Sv + S 2 / 4

31 Παρατήρηση: Ο ρυθμός μεταβολής της οπτικής γωνίας εξαρτάται από το μέγεθος του θηρευτή S, την ταχύτητα v και την απόσταση μεταξύ θηράματος και θηρευτή Όταν, δηλαδή ο θηρευτής έφτασε το θήραμα, τότε da 4v dt S Όταν, δηλαδή ο θηρευτής είναι πολύ μακριά, τότε da dt 7 4v/S da/dt K crit da dt 2 Sv + S 2 / 4 react 5

32 Αντίδραση του zebra danio Υπόθεση το ψάρι αντιδρά όταν ο θηρευτής πλησιάζει τόσο γρήγορα που ο ρυθμός μεταβολήςτηςοπτικήςγωνίαςείναι μεγαλύτερος από μια κρίσιμη τιμής Κcrit da dt 2 + S K 2 crit / 4 K crit Sv K crit 2 + react Sv S 2 / 4 S v K crit S, 4 K crit < 4v S react react K crit S/4 v S 4v/K crit

33 Παραδείγματα Μια εξίσωση που χρησιμοποιείται για τον πυκνοεξαρτόμενο ρυθμό αύξησης ενός πληθυσμού είναι η λογιστική αύξηση G N K N rn K r> : ενδογενήςρυθμόςαύξησηςintrinsic growth rate K> : φέρουσα ικανότητα carrying capacity Na βρεθεί ο πληθυσμός που οδηγεί σε μέγιστο ρυθμό αύξησης Ποιοςείναιομέγιστοςρυθμόςαύξησης; Για ποιοα πληθυσμιακό μέγεθος ο ρυθμός αύξησης μηδενίζεται; Να γίνει η γραφική παράσταση.

34 Μέγεθος και σχήμα κυττάρου Θεωρείστε ένα σφαιρικό κύτταρο που απορροφά θρεπτικά με ρυθμό ανάλογο της επιφάνειας και τα καταναλώνει με ρυθμό ανάλογο του όγκου. Να βρεθεί το μέγεθος π.χ. η ακτίνα του κυττάρου για το οποίο ο ρυθμός μεταβολής των θρεπτικών στο κύτταρο είναι μέγιστος.

35 Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuhauser Calculus or biology and medicine Pearson/Prentice Hall, 24 Chapter 4: Dierentiation Chapter 5: Applications o dierentiation όχι 5.6, 5.7, και 5.8 F. R. Adler. Modeling the dynamics o lie: calculus and probability or lie scientists. Brooks/Cole, Chapter 2: Limits and derivatives Chapter 3: Applications o derivatives and Dynamical systems 3.3, 3.5 και 3.6 M. R. Cullen Mathematics or the biosciences. Techbooks, 1983 Sections: 8-14,16