Regresijska zavisnost. Jednostavna regresija
|
|
|
- Ανθούσα Μαρής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Regresijska analiza 1 Regresijska analiza Regresijska zavisnost. Jednostavna regresija Regresijska se analiza koristi za donošenje zaključaka o nizu slučajnih varijabli Y 1,...,Y n koje ovise o nezavisnoj varijabli x. Zaključci se donose na temelju niza sparenih mjerenja (x 1, y 1 ),...,(x n, y n ), gdje su x 1,...,x n vrijednosti nezavisne varijable x, a y 1,...,y n odgovarajuće vrijednosti slučajnih varijabli Y 1,..., Y n. U konkretnim primjerima nezavisnu varijablu x često zovemo kontroliranom ili prediktornom varijablom (važno za odabir varijabli u programskom paketu Statistica). Primjer 1: Ako sa x označimo dob osobe, a sa Y krvni tlak osobe, zanimljivo je promatrati vezu izmedu dobi i krvnog tlaka. Krvni tlak za osobe iste dobi možemo modelirati kao slučajnu varijablu s pripadnom distribucijom (npr. normalnom). Budući se starenjem povećava krvni tlak, prirodno je tražiti svojevrstan matematički opis statističke zakonitosti koja obuhvaća vremensku promjenjivost krvnog tlaka. To zapravo znači da moramo promatrati familiju normalnih distribucija, tako da svakoj dobi x pripada odgovarajuća normalna razdioba N(µ(x), σ 2 (x)) krvnog tlaka Y x. Činjenica da se starenjem povećava krvni tlak odražava se na funkciju x µ(x) koja dobi pridružuje srednju vrijednost krvnog tlaka (upravo u toj dobi). Očito je da je ova funkcija monotono rastuća. Dakle, poanta svega je na temelju sparenih mjerenja (x 1, y 1 ),...,(x n, y n ) ustanoviti prirodu ovisnosti slučajnih varijabli Y i o nezavisnoj varijabli x. Ako matematički model definiramo relacijom Y i = f(x i ) + ε i, i = 1,...,n,
2 Regresijska analiza 2 gdje je x f(x) realna funkcija jedne realne varijable, a ε 1,...,ε n nezavisne slučajne varijable t.d. je E[ε i ] = 0 i V ar(ε i ) = σ 2, onda govorimo o jednodimenzionalnom regresijskom modelu. Prvi korak u uspostavljanju ovakvih veza izmedu varijabli Y i x je prikaz podataka u dijagramu raspršenosti iz kojeg se lako vidi grupiraju li se točke (sparena mjerenja) oko pravca (linearna zavisnost) ili neke krivulje (neka druga funkcijska zavisnost: polinomijalna (n 2), logaritamska,...). Primjer 2: krv.sta U bazi podataka krv.sta nalaze se podaci o mjerenim vrijednostima nekoliko različitih analiza krvi u definiranoj populaciji bolesnih osoba. Analitičar želi istražiti može li se odrediti veza izmedu izmjerenih vrijednosti ovih analiza. Utvrdivanje veze i jasno uspostavljanje zakona koji ih povezuje smanjio bi broj potrebnih pretraga krvi. Naime, trebalo bi napraviti samo one koje su medusobno nezavise, dok bi se ostale mogle na osnovu njih prognozirati. Za podatke iz baze prikažite svake dvije varijable u dijagramu raspršenosti i kratko ga proanalizirajte.
3 Regresijska analiza 3 Jednostavna linearna regresija. Regresijski pravac Da bismo postavili što realniju pretpostavku o regresijskoj funkciji, parove podataka (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) prikazujemo točkama u koordinatnom sustavu (dijagram raspršenosti ili scatterplot). Ako pretpostavimo da je graf funkcije f(x) pravac, tj. da je zakonitost koja povezuje nezavisnu varijablu x i vrijednosti slučajnih varijabli Y i linearnog tipa, regresijsku funkciju u algebarskom obliku zapisujemo na sljedeći način: f(x) = α + βx. U tom se slučaju parametar β (koeficijent smjera) naziva koeficijent regresije, a pravac y = α + βx regresijski pravac. Statistički model jednostavne linearne regresije: Pretpostavljamo da su vrijednosti zavisne varijable Y i povezane s vrijednostima nezavisne varijable na sljedeći način: Ovdje su: Y i = α + βx i + ε i, i = 1,..., n. x 1, x 2,..., x n vrijednosti nezavisne (prediktorne) varijable x koje je analitičar izabrao za studiju, ε 1, ε 2,...,ε n predstavljaju nepoznate komponenete greške koja je dodana na linearnu vezu. Ovo su slučajne varijable za koje pretpostavljamo da su medusobno nezavisne i da sve imaju normalnu distribuciju s očekivanjem 0 i istom varijancom σ 2, α i β su nepoznati parametri pretpostavljene veze koje treba procijeniti, tj. odrediti u postupku modeliranja. Kako? Metoda najmanjih kvadrata Problem procjene nepoznatih parametara α i β možemo identificirati sa procjenom nepoznatog nam regresijskog pravca.
4 Regresijska analiza 4 Pretpostavimo da je u sklopu dijagrama raspršenja nacrtan proizvoljan pravac y = α + βx. Iz slike je vidljivo da za vrijednost x i nezavisne varijable x, zavisna varijabla Y i poprima vrijednost (predicted value) α + βx i. Istovremeno uočimo da je stvarna Y i -vrijednost (observed value) jednaka y i. y_i y= + x + x_i x_i Nas će zanimati razlika izmedu tih vrijednosti: d i = y i (α + βx i ). Pretpostavimo da su (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) dani eksperimentalni podaci iz modela koji je upravo opisan. Tada regresijske parametre α i β procjenjujemo metodom najmanjih kvadrata. Ideja metode je da se minimizira suma kvadratnih odstupanja teoretskih od eksperimentalnih vrijednosti, tj. procjene ˆα i ˆβ regresijskih parametara α i β trebamo odrediti tako da vrijedi: D(ˆα, ˆβ) = [y i (ˆα+ˆβx i )] 2 = min (α,β) R 2 [y i (α+βx i )] 2 = min D(α, β). (α,β) R2 Takve procjene ˆα i ˆβ nazivamo procjenama u smislu metode najmanjih kvadrata ili least square estimates regresijskih parametara α i β. Jasno je da je tada najbolja procjena nepoznatog regresijskog pravca y = α + βx upravo pravac ŷ = ˆα + ˆβx.
5 Regresijska analiza 5 Za analitičko rješenje procjena ˆα i ˆβ parametara α i β potrebno nam je sljedeće: x = 1 n ȳ = 1 n x i y i aritmetička sredina vrijednosti x i aritmetička sredina vrijednosti y i S 2 x = 1 n S 2 y = 1 n S xy = 1 n (x i x) 2 srednje kvadratno odstupanje vrijednosti varijable x od x (y i ȳ) 2 srednje kvadratno odstupanje vrijednosti varijable y od ȳ (x i x)(y i ȳ) uzoračka kovarijanca Dobre procjene ˆα i ˆβ parametara α i β u smislu metode najmanjih kvadrata su: ˆβ = S xy, ˆα = ȳ S ˆβ x, x 2 pa je regresijski pravac (točnije, procjena nepoznatog regresijskog pravca) oblika: ŷ = ˆα + ˆβx. Uočimo da, koristeći formulu regresijskog pravca, za svaku pojedinu eksperimentalnu vrijednost x i možemo izračunati pripadnu teorijsku vrijednost y i, pa možemo točno izračunati koliko iznosi svako odstupanje teorijske od eksperimentalne vrijednosti: e i = y i ŷ i = y i (ˆα + ˆβx i ). Ovako dobiven niz vrijednosti e 1,...,e n zovemo rezidualima. Nadalje, suma kvadrata svih reziduala (sum of squares of errors = SSE) je upravo minimalna postignuta vrijednost za D(α, β) i predstavlja jednu
6 Regresijska analiza 6 mjeru kvalitete modela koju označavamo sa SSE: SSE = [y i (ˆα + ˆβx i )] 2 = e 2 i. Primjer 3: krv.sta Koristeći bazu podataka krv.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli CD4 i CD8. Odredite vrijednosti reziduala. Ponovite postupak za još nekoliko parova varijabli. Primjer 4: regresija.sta Koristeći bazu podataka regresija.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli x1 i x2. Odredite vrijednosti reziduala i prokomentirajte dobiveni rezultat. Primjer 5: regresija.sta Koristeći bazu podataka regresija.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli x2 i x2kv. Što uočavate? Možete li na ovoj razini donijeti grubu ocjenu o adekvatnosti linearnog modela za problem? Koji bi model bio prikladniji i zašto?
7 Regresijska analiza 7 Statističko zaključivanje pri regresijskoj analizi Najvažnija praktična pitanje na koje treba odgovoriti pri ovakvom modeliranju su: 1. Koliki dio promjena u mjerenim vrijednostima zavisne varijable je objašnjen dobivenim modelom? (test jakosti modela) Odgovor na ovo pitanje daje koeficijent determinacije R 2 : Odavde je očito da je R 2 = S2 xy. SxS 2 y 2 R = S xy S x S y. Koeficijent determinacije R 2 nam zapravo daje informaciju o tome koliko rasipanja izlaznih podataka potječe od funkcijske ovisnosti x α + βx, a koliko otpada na tzv. rezidualno ili neobjašnjeno rasipanje (tu informaciju očitavamo iz 1 R 2 ). Drugim riječima daje informaciju o tome koliko je jaka funkcijska veza izmedu x i Y. Što je vrijednost koeficijenta R2 bliža 1, zavisnost je jača. 2. Je li ovaj model (Y i = α+βx i +ε i ) bolji od nul-modela (Y i = α+ε i ), tj. modela u kojemu je koeficijent regresije β = 0? (test adekvatnosti modela) Osnova ovog dijela analize je utvrditi koji od gore navedenih modela bolje opisuje funkcijsku ovisnost slučajne varijable Y (čije realizacije označavamo sa y i ) i nezavisne (neslučajne) varijable x. Ukoliko je β = 0 ne možemo govoriti o funkcijskoj ovisnosti izmedu Y i x. Taj problem svodimo na testiranje nulte hipoteze koju formuliramo na jedan od sljedeća dva načina: H 0 : H 0 : β = 0. Funkcijska veza izmedu Y i x ne postoji.
8 Regresijska analiza 8 Sada je jasno da alternativnu hipotezu postavljamo na sljedeći način: H A : H A : β 0. Funkcijska veza izmedu Y i x postoji. Za testiranje ovih hipoteza koristimo T-test, pri čemu je vrijednost test statistike dana izrazom gdje je S x = 1 n 1 t = S x β s n 1 T(n 2), (x i x) 2, s = n SSE n 2 = e2 i n Analiza reziduala: utvrdujemo jesu li ispunjene sve početne pretpostavke koje reziduali trebaju ispunjavati, a te su: Varijance grešaka (koje su, kako znamo, slučajnog karaktera) su jednake. Homogenost varijanci reziduala provjeravamo analizom grafičkog prikaza ovisnosti reziduala e i o procjenjenim vrijednostima ŷ i = ˆα + ˆβx i (tzv. predicted and resids plot u programskom paketu Statistica). Jednostavno donošenje zaključaka o varijanci dano je pomoću sljedećih sličica: Slika 1. Horizontalno rasporedene točke sugeriraju homogenost varijanci.
9 Regresijska analiza 9 Slika 2. Ovakav raspored točaka sugerira stalan rast varijance, dakle varijance nisu homogene. Slika 3. Ovakav raspored točaka sugerira neadekvatnost linearnog modela. Reziduali su normalno distribuirani. Normalnost reziduala provjeravamo analizom histograma reziduala i p-plota reziduala u programskom paketu Statistica. Reziduali moraju biti medusobno nezavisni, tj. vrijednost reziduala koji se odnosi na realizaciju y i slučajne varijable Y nema nikakvog utjecaja na vrijednost reziduala koji se odnosi na realizaciju y j iste slučajne varijable. Ovu pretpostavku provjeravamo analizom grafičkog prikaza reziduala za svaki pojedini slučaj (Case numbers and resids plot u programskom paketu Statistica - promatramo položaj pravca i raspored reziduala u odnosu na njega) i crtanjem dijagrama raspršenja uredenih parova reziduala (e i, e i 1 ), i = 2,...,n.
10 Regresijska analiza 10 Ako reziduali e i zadovoljavaju prethodno navedene pretpostavke, smatramo ih dobrim procjenama stvarnih normalnih grešaka ε i. Primjer 6: statistika.sta Mnogi studenti odlučili su ispit iz Matematičke statistike položiti putem kolokvija. Pri tome se postignuti bodovi na svim kolokvijima zbrajaju i na temelju zbroja bodova procjenjuje ima li student pravo izaći na usmeni dio ispita. U bazi podataka statistka.sta nalazi se zbroj bodova sa prva dva kolokvija (varijabla kol-1-2) i ukupan broj bodova nakon svih provedenih kolokvija (varijabla Ukupno). Odredite regresijski pravac izmedu varijabli Kol-1-2 i Ukupno. Napravite potpunu regresijsku analizu (test jakosti, test adekvatnosti i analizu reziduala). Primjer 7: požar.sta U bazi podataka požar.sta nalaze se podaci o udaljenosti lokacije na kojoj je izbio požar od najbližeg vatrogasnog centra (varijabla Udaljenost-km) i podaci o iznosu štete nastale tim požarom (varijabla Steta-kn). Napravite potpunu regresijsku analizu (test jakosti, test adekvatnosti i analizu reziduala). Primjer 8: ptsp.sta Koristeći bazu podataka ptsp.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli ptspb i ptspb2 (ptspb2 sadrži rezultate testova nakon terapije nekim lijekom, a ptspb odražava stanje prije provedene terapije). Napravite potpunu regresijsku analizu modela (test jakosti, test adekvatnosti i analizu reziduala). Analogno napravite za parove varijabli ptspc i ptspc2, te ptspd i ptspd2.
11 Regresijska analiza 11 Regresijska analiza - priprema za kolokvij Grupa A Primjer 1: regresija-1.sta Koristeći bazu podataka regresija-1.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli X-1 i X-2. Što uočavate? Možete li na ovoj razini donijeti grubu ocjenu o adekvatnosti linearnog modela za problem? Koji bi model bio prikladniji i zašto? Primjer 2: gorivo.sta Koristeći bazu podataka gorivo.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli Udaljenost-posao i Troskovi-gorivo (Udaljenost-posao sadrži podatke o udaljenosti radnog mjesta od mjesta stanovanja za 100 zaposlenih osoba, a Troskovi-gorivo iznos u kunama kojeg ispitanici troše na gorivo da bi se dovezli do posla). Napravite potpunu regresijsku analizu modela (test jakosti, test adekvatnosti i analizu reziduala).
12 Regresijska analiza 12 Regresijska analiza - priprema za kolokvij Grupa B Primjer 3: regresija-2.sta Koristeći bazu podataka regresija-2.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli Y-1 i Y-2. Što uočavate? Možete li na ovoj razini donijeti grubu ocjenu o adekvatnosti linearnog modela za problem? Koji bi model bio prikladniji i zašto? Primjer 4: glukoza.sta Koristeći bazu podataka glukoza.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli Dob-osobe i Koncentracija-glukoze (Dob-osobe sadrži podatke o starosti za 100 ispitanih osoba, a Koncentracija-glukoze nivo glukoze u krvi pojedinog ispitanika). Napravite potpunu regresijsku analizu modela (test jakosti, test adekvatnosti i analizu reziduala).
13 Regresijska analiza 13 Regresijska analiza - priprema za kolokvij Grupa C Primjer 5: regresija-3.sta Koristeći bazu podataka regresija-3.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli Z-1 i Z-2. Što uočavate? Možete li na ovoj razini donijeti grubu ocjenu o adekvatnosti linearnog modela za problem? Koji bi model bio prikladniji i zašto? Primjer 6: apartmani.sta Koristeći bazu podataka apartmani.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli Udaljenost-od-mora i Cijena-apartmana (Udaljenost-od-mora sadrži podatke o udaljenosti apartmana do najbliže plaže, a Cijena-apartmana cijenu apartmana po danu izraženu u kunama). Napravite potpunu regresijsku analizu modela (test jakosti, test adekvatnosti i analizu reziduala).
14 Regresijska analiza 14 Regresijska analiza - priprema za kolokvij Grupa D Primjer 7: regresija-4.sta Koristeći bazu podataka regresija-4.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli W-1 i W-2. Što uočavate? Možete li na ovoj razini donijeti grubu ocjenu o adekvatnosti linearnog modela za problem? Koji bi model bio prikladniji i zašto? Primjer 8: servis.sta Koristeći bazu podataka servis.sta odredite regresijski pravac izmedu varijabli Broj-km i Servis-kn (Broj-km sadrži podatke o prijedenom broju kilometara nekog tipa automobila prije obavljenog prvog servisa, a Servis-kn cijenu servisa nakon tog broja kilometara). Napravite potpunu regresijsku analizu modela (test jakosti, test adekvatnosti i analizu reziduala).
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Korelacijska i regresijska analiza
Korelacijska i regresijska analiza Odnosi među pojavama Odnos među pojavama može biti: deterministički ili funkcionalni i stohastički ili statistički Kod determinističkoga se odnosa za svaku vrijednost
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
REGRESIJSKA ANALIZA zavisnost (korelacija) regresijske tehnike kvantitativno zavisnost (korelaciju) linearna regresija
REGRESIJSKA ANALIZA REGRESIJSKA ANALIZA često imamo dvije ili više varijabli koje su inherentno povezane, odnosno postoji neka zavisnost (korelacija) među njima koju želimo istražiti regresijske tehnike
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE
SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva Odabrana poglavlja inženjerske matematike MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE Studenti: Sara
VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Mašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Uvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
VJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.