Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI"

Transcript

1 Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI KONTINUIRANI -dim tko želi znati više KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE Ponovimo

2 Radni materijal

3 Poglavlje DVODIMENZIONALNI Pojam slučajne varijable generalizira se za dvije i n varijabli. U ovom poglavlju posebno će se obraditi diskretni dvodimenzionali slučajni vektor. Pojam n-dim slučajnog vektora važan je za definiciju slučajnog uzorka. Definicija. (n-dim, engl. random vector) Neka su su X : Ω R, X : Ω R,..., X n : Ω R slučajne varijable definirane na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P). Funkciju (X, X,..., X n ) : Ω R n zovemo n-dim slučajni vektor ako vrijedi x, x,..., x n R, {ω Ω : X (ω) x, X (ω) x,..., X n (ω) x n } F i označavamo (X, X,..., X n )(ω) = (X (ω), X (ω),..., X n (ω)), ω Ω. Definicija. (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE n-dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. distribution function of random vector) Neka je (X, X,..., X n ) : Ω R n n-dim slučajni vektor. Funkciju F : R n R definiranu na sljedeći način: F(x, x,..., x n ) := P(X x,..., X n x n ) zovemo funkcija distribucije diskretnog n-dim slučajnog vektora (X, X,.., X n ).

4 .. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI MOTIV. Promatramo slučajni pokus bacanje igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj ako su pali jednaki brojevi, inače. (a) Nadite funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora (X, Y). (b)izračunajte vjerojatnost da je zbroj brojeva koji su pali veći od a manji ili jednak i da su pali isti brojevi? (c) Jesu li X i Y nezavisne varijable? (d) Izračunajte kovarijancu. (e) Jesu li X i Y korelirane varijable? Definicija. DISKRETNI n-dim Ako su slučajne varijable X, X,..., X n diskretne slučajne varijable, onda za slučajni vektor (X, X,..., X n ) kažemo da je diskretni n-dim slučajni vektor. Definicija. (FUNKCIJA VJEROJATNOSTI n-dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. probability function of random vector) Neka je (X, X,..., X n ) : Ω R n n-dim diskretni slučajni vektor. Funkciju f : R n R definiranu na sljedeći način: f (x, x,..., x n ) := P(X = x, X = x,...x n = x n ), (x,..., x n ) R(X, X,..., X n ),, inače zovemo funkcija vjerojatnosti diskretnog n-dim slučajnog vektora (X, X,..., X n ). Definicija.5 DISKRETNI -dim Ako su slučajne varijable X i Y diskretne slučajne varijable, onda za slučajni vektor (X, Y) kažemo da je diskretni dvodimenzionalni slučajni vektor. Definicija. (FUNKCIJA VJEROJATNOSTI diskretnog -dim SLUČAJNOG VEKTORA) Neka su X : Ω R, Y : Ω R diskretne slučajne varijable sa slikama R(X) = {x, x,...}, R(Y) = {y, y,...} Funkciju f : R R definiranu na sljedeći način: f (x, y) := P(X = x i, Y = y j ),, inače x = x i R(X), y = y j R(X), zovemo funkcija vjerojatnosti diskretnog -dim slučajnog vektora (X, Y). Radni materijal

5 . DVODIMENZIONALNI T: SVOJSTVA funkcije vjerojatnosti slučajne varijable X. (i) f (x i, y j ), (ii) f (x i, y j ) =. i= j= Dokaz: tko želi znati više (i) Za (x i, y j ) R, P(X = x i, Y = y j ) = P({ω : X(ω) = x i, Y(ω) = y j }) f (x i, y i ). (ii) Za (x i, y j ) (x k, y l ) {ω : X(ω) = x i, Y(ω) = y j } {ω : X(ω) = x k, Y(ω) = y l } =, svojstvo (ii) slijedi prema svojstvu (P), prebrojive aditivnosti funkcije P: i= f (x i, y j ) = j= i= P(X = x i, Y = y j ) = P(Ω) =. j= NAPOMENA. Diskretni -dim slučajni vektor je zadan sa svojom slikom R((X, Y)) = {(x i, y j ), i =,...; j =,...} i funkcijom vjerojatnosti f slučajne varijable, vrijednostima { f (x i, y j ), i =,...; j =,...}. U literaturi se zato može naći zapis slučajnog vektora (X, Y) kao uredene sheme: X/Y y y... y j... x p p p j... (X, Y) x p p j... x i p i p ij gdje su p ij = f (x i, y j ), i, j {,,...}. PRIMJER. Neka je (Ω, P(Ω), P) diskretni vjerojatnosni prostor slučajnog pokusa bacanje igraće kocke. Ω = {ω, ω, ω,..., ω }, P({ω i }) =, i =,..,. Neka je X : Ω R slučajna varijabla definirana na sljedeći način: X = broj koji je pao. Neka je Y : Ω R slučajna varijabla definirana na sljedeći način: Y = ako je pao paran broj veći od, inače. X je slučajna varijabla. Slika slučajne varijable je skup R(X) = {,,,, 5, }. Y je slučajna varijabla. Slika slučajne varijable je skup R(Y) = {, }. Naći funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora (X, Y). 5 Radni materijal

6 .. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Rješenje: Funkcija vjerojatnosti slučajne varijable X je f : R R f (x, y) := = P(X = x i, Y = y j ),, inače. x = x i R(X), y = y j R(Y), x = x i {, }, y = y j {}, x = x i {,,, 5}, y = y j {}, inače. Slučajni vektor (X,Y) možemo za zadati s X/Y (X, Y) 5 PRIMJER. Neka je (X,Y) slučajni vektor za slučajni pokus izbora dva broja iz {,,}, pri čemu je X= prvi izabrani broj, Y= izabrani broj nije manji od prvog. Naći funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora. Rješenje: (X, Y) X/Y. Definicija.7 (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE DISKRETNOG -dim SLUČAJNOG VEKTORA) Neka je (X, Y) : Ω R diskretni -dim slučajni vektor sa slikom R((X, Y)) = {(x i, y j ), i =,...; j =,...}. Funkciju F : R R definiranu na sljedeći način: F(x, y) := P(X x, Y y) = f (x i, y j ) i: x i x j: y j y zovemo funkcija distribucije diskretnog -dim slučajnog vektora (X, Y). Radni materijal

7 . DVODIMENZIONALNI T: SVOJSTVA funkcije distribucije diskretnog -dim slučajnog vektora: (F) (F) lim F(x, y) = F(, ) = x, y lim F(x, y) = F(, y) = x lim F(x, y) = F(x, ) = y lim F(x, y) = F(, ) = x, y (F) F(x, y) (F) P(a < X b, a < Y b ) = F(b, b ) F(a, b ) F(b, a ) + F(a, a ), a, b, a, b R, a < b, a < b. (F) F je rastuća funkcija po svakoj varijabli. Dokaz: tko želi znati više (F) Kako je dogadaj X, Y nemoguć dogadaj F(, ) := P(X, Y ) = P( ) =. F(, y) = P(X Y y) = P( Y y) = P( ) =. (F) Budući je dogadaj X, Y siguran dogadaj, onda je F(, ) = P(Ω) =. (F) tvrdnja slijedi iz svojstava (F) i (F). (F) Neka su a, b R, a < b, a < b. Računamo P(a < X b, a < Y b ) = P(a < X b, Y b ) P(a < X b, Y a ) = (F(b, b ) F(a, b )) (F(b, a ) F(a, a )). (F) Neka su a, b R, a < b. P(a < X b, Y y) = F(b, y) F(a, y) F(b, ) + F(a, ) = F(b, y) F(a, y). Iz svojstva (F5) slijedi da je F(a, y) F(b, y), funkcija je rastuća po prvoj varijabli. 7 Radni materijal

8 .. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI PRIMJER. Za slučajni vektor (X, Y) iz primjera zadan s X/Y (X, Y) 5 odredite vrijednost funkcije distribucije F(, ), F(, ), F(, ), F(, ), F(, ). Izračunajte vjerojatnost P( < X, < Y ) i P( < X, Y ). Rješenje: F(x, y) = P(X x, Y y) = f (x i, y j ) i: x i x j: y j y F(, ) = f (, ) = p =, F(, ) = f (, ) + f (, ) = p + p =, F(, ) = f (, ) + f (, ) = p + p =, F(, ) = f (, ) + f (, ) + f (, ) + f (, ) = p + p + p + p =, F(, ) = f (, ) + f (, ) + f (, ) + f (, ) = p + p + p + p =. Koristimo formule P(a < X b, a < Y b ) = F(b, b ) F(a, b ) F(b, a ) + F(a, a ) P(a < X b, Y b ) = F(b, b ) F(a, b ) P( < X, < Y ) = F(, ) F(, ) F(, ) + F(, ) = + =. P( < X, Y ) = F(, ) F(, ) = =. ili P( < X, < Y ) = P( ) =, P( < X, Y ) = P({ω }) + P({ω }) = + =. PRIMJER. Bacimo istovremeno dva novčića od kune i od 5 kuna. Neka su X i Y slučajne varijable definirane: X= ako je pao slavuj, inače Radni materijal 8

9 . DVODIMENZIONALNI Y= ako je pao medo, inače. Promatramo slučajni vektor (X,Y). Napišite funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora. Odredite F(, ), P( < X, < Y ) i P( < X, Y ). Rješenje: R(X) = {, }, R(Y) = {, }. R((X, Y)) = {(x i, y j ), i =, ; j =, } = {(, ), (, ), (, ), (, )}. f (x, y) :=, x = x i {, }, y = y j {, }, inače. (X, Y) X/Y, f (, ) = f (, ) = f (, ) = f (, ) =. F(x, y) := P(X x, Y y) = i: x i x j: y j y f (x i, y j ) F(, ) = f (, ) = p = F(, ) = f (, ) + f (, ) = p + p = + =. F(, ) = f (, ) + f (, ) = p + p = + = F(, ) = f (, ) + f (, ) + f (, ) + f (, ) = p + p + p + p = Koristimo formule P(a < X b, a < Y b ) = F(b, b ) F(a, b ) F(b, a ) + F(a, a ) P(a < X b, Y b ) = F(b, b ) F(a, b ) P( < X, < Y ) = F(, ) F(, ) F(, ) + F(, ) = + =. ili P( < X, Y ) = F(, ) F(, ) = =. P( < X, < Y ) = P({(s, m)}) = =, P( < X, Y ) = P({s, 5}}) = =. Prisjetimo se motivacijskog primjera: Radni materijal

10 .. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI PRIMJER.5 motiv Promatramo slučajni pokus bacanje igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj ako su pali jednaki brojevi, inače. (a) Nadite funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora (X, Y). (b) Izračunajte vjerojatnost da je zbroj brojeva koji su pali veći od a manji ili jednak i da su pali isti brojevi? Rješenje: (a) (X, Y) X/Y (b) P( < X, Y = ) = f (, ) + f (5, ) + f (, ) = + + =. Definicija.8 (MARGINALNA FUNKCIJA VJEROJATNOSTI komponenata -dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. marginal distribution) Neka je (X, Y) : Ω R diskretni -dim slučajni vektor sa slikom R((X, Y)) = {(x i, y j ), i =,...; j =,...} i funkcijom vjerojatnosti f : R [, ] f (x, y) := P(X = x i, Y = y j ),, inače. (x, y) = (x i, y j ) R((X, Y)) Funkciju f (x) = f (X = x, Y = proizvoljno) = f (x, y j ), zovemo marginalna funkcija vjerojatnosti komponente X slučajnog vektora (X, Y). Funkciju f (y) = f (X = proizvoljno, Y = y) = f (x i, y) zovemo marginalna funkcija vjerojatnosti komponente Y slučajnog vektora (X, Y). Radni materijal j i

11 . DVODIMENZIONALNI X/Y y y... y j... f (x) x p p... p j... j p j x p p j... j p j x i p i p ij j p ij f (y) i p i... i p ij i j p ij = PRIMJER. U prethodnim primjerima slučajnih vektora odredite marginalne funkcije vjerojatnosti komponenti X i Y slučajnog vektora (X, Y). Rješenje: X/Y f (x) (a) (b) 5 f (y) X/Y f (x) f (y) , X, Y (c) X/Y f (x) f (y) Radni materijal

12 .. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI (d) X/Y f (x) f (y) Definicija. (MARGINALNA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI komponenata -dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. marginal distribution) Neka je (X, Y) : Ω R diskretni -dim slučajni vektor sa slikom R((X, Y)) = {(x i, y j ), i =,...; j =,...} i funkcijom distribucije vjerojatnosti F : R [, ] F(x, y) := P(X x, Y y) = f (x i, y j ) i: x i x j: y j y Funkciju F (x) := F(x, ) = P(X x, < Y ) = f (u), zovemo marginalna funkcija distribucije vjerojatnosti komponente X slučajnog vektora (X, Y). Funkciju F (y) := F(, y) = P( < X, Y y) = f (u) zovemo marginalna funkcija distribucije vjerojatnosti komponente Y slučajnog vektora (X, Y). u x u y Definicija. (NEZAVISNE SLUČAJNE VARIJABLE -dim SLUČAJNOG VEK- TORA, engl. independent variables) Neka je (X, Y) : Ω R -dim slučajni vektor sa funkcijom distribucije vjerojatnosti F(x, y). Za slučajne varijable X i Y kažemo da su nezavisne ako je za svaki (x, y) F(x, y) = F (x) F (y). Radni materijal

13 . DVODIMENZIONALNI Neka je (X, Y) : Ω R diskretni -dim slučajni vektor sa funkcijom vjerojatnosti f (x, y). Za slučajne varijable X i Y kažemo da su nezavisne ako je za svaki (x, y) Inače su X i Y zavisne. f (x, y) = f (x) f (y). PRIMJER.7 U primjerima provjeri jesu li slučajne varijable u slučajnim vektorima (X,Y) nezavisne. Rješenje: (a) nisu jer je npr. f (, ) f () f (), f (, ) =, f () =, f () = ; (b) nisu jer je npr. f (, ) f () f (), f (, ) =, f () = 8, f () = 8 ; (c) jesu jer je f (x i, y j ) = f (x i ) f (y j ), i, j =, ; (d) nisu jer je npr. f (, ) f () f (), f (, ) =, f () = 5, f () =. Definicija. (OČEKIVANJE -dim SLUČAJNOG VEKTORA) Neka je (X, Y) : Ω R -dim slučajni vektor i neka komponente X i Y su slučajne varijable koje imaju očekivnje E(X) i E(Y) onda se matematičko očekivanje slučajnog vektora definira s E(X, Y) = (E(X), E(Y)). Definicija. (OČEKIVANJE funkcije DISKRETNOG -dim SLUČAJNOG VEK- TORA) Neka je (X, Y) : Ω R diskretni -dim slučajni vektor sa slikom R((X, Y)) = {(x i, y j ), i =,.; j =,...} i funkcijom vjerojatnosti f : R [, ] f (x, y) := P(X = x i, Y = y j ),, inače. (x, y) = (x i, y j ) R((X, Y)) Neka je zadana funkcija h : R R. Kažemo da je slučajna varijabla h(x, Y) funkcija od slučajnog vektora (X,Y) i za nju definiramo očekivanje ako red h(x i, y j ) f (x i, y j ) konvergira i označavamo E(h(X, Y)) := i= h(x i, y j ) f (x i, y j ). j= i= j= Radni materijal

14 .. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI PRIMJER.8 E(X Y) = i= x i y j f (x i, y j ) za h(x, y) = x y. j= PRIMJER. Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je jer E(X Y) = E(X) E(Y), E(X Y) = = x i y j f (x i, y j ) = x i y j f (x i ) f (y j ) i= j= i= j= i= j= x i f (x i ) y j f (y j ) = E(X) E(Y). PRIMJER. Ako je (X, X,..., X n ) n-dim slučajni vektor i sve varijable nezavisne onda E(X X... X n ) = E(X ) E(X )... E(X n ). PRIMJER. E(X + Y) = E(X) + E(Y) za h(x, y) = x + y. PRIMJER. Ako je (X, X,..., X n ) n-dim slučajni vektor onda E(X + X X n ) = E(X ) + E(X ) E(X n ). PRIMJER. Neka je (X, Y) diskretni -dim slučajni vektor takav da Y ne poprima vrijednost. Odredi E(sin X Y ). Rješenje: h(x, y) = sin x y E(sin X Y ) = i= h(x i, y j ) f (x i, y j ) = j= i= j= sin x i y j f (x i, y j ) Radni materijal

15 . DVODIMENZIONALNI. KONTINUIRANI -dim tko želi znati više MOTIV. Mladić i djevojka su dogovorili sastanak na trgu u sati. Čekat će se najdulje minuta nakon dolaska. Kolika je vjerojatnost da se susretnu ako su oboje došli na trg od do sati? Definicija. KONTINUIRANI -dim Ako su slučajne varijable X i Y kontinuirane slučajne varijable, onda za slučajni vektor (X, Y) kažemo da je kontinuirani dvodimenzionalni slučajni vektor. Definicija. (FUNKCIJA GUSTOĆE VJEROJATNOSTI kontinuiranog -dim SLUČAJNOG VEKTORA) Neka su X : Ω R, Y : Ω R kontinuirane slučajne varijable sa slikama R(X) i R(Y). Funkciju f : R R definiranu na sljedeći način: (i) f (x, y) (ii) f (x, y)dxdy =. zovemo funkcija gustoće vjerojatnosti kontinuiranog -dim slučajnog vektora (X, Y). Definicija.5 (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE kontinuiranog -dim SLUČAJNOG VEKTORA) Neka je (X, Y) : Ω R kontinuirani -dim slučajni vektor sa slikom R((X, Y)). Funkciju F : R R definiranu na sljedeći način: F(x, y) := P(X x, Y y) = x y f (x, y)dxdy zovemo funkcija distribucije kontinuiranog -dim slučajnog vektora (X, Y). NAPOMENA. Neka je (X, Y) : Ω R kontinuirani -dim slučajni vektor sa slikom R((X, Y)) = [a, b] [c, d].tada vrijedi P(a < X b, c < Y d) = b d a c f (x, y)dxdy. NAPOMENA. Neka je (X, Y) : Ω R kontinuirani -dim slučajni vektor sa slikom R((X, Y)). Neka je dogadaj A vezan uz slučajni pokus i vektor (X, Y). Ako označimo područje u xy ravnini koje odgovara dogadaju A sa D A onda vjerojatnost dogadaja A (geometrijsku vjerojatnost) možemo računati pomoću 5 Radni materijal

16 .. KONTINUIRANI -dim tko želi znati više P(A) = f (x, y)dxdy. D A MOTIV. Mladić i djevojka su dogovorili sastanak na trgu u sati. Čekat će se najdulje minuta nakon dolaska. Kolika je vjerojatnost da se susretnu ako su oboje došli na trg od do sati? Rješenje: Neka su X i Y slučajne varijable koje predtavljaju vrijeme dolaska djevojke i mladića. Pretpostavit ćemo da jednaki vremenski intervali imaju jednaku vjerojatnost, pa su funkcije gustoće vjerojatnosti za obe varijable jednake:, x f (x) =, inače. f (x) =, x, inače. Budući su slučajne varijable X i Y nezavisne možemo odrediti funkciju gustoće vjerojatnosti slučajnog vektora (X, Y) : f (x, y) = f (x) f (y), x, y f (x, y) =, inače. Računamo vjerojatnost dogadaja A = {(x, y) [, ] [, ] : x y < } : P(A) = P( X Y < ) = D A f (x, y)dxdy = 5. (vidite PRIMJER?? u. poglavlju.) Radni materijal

17 . DVODIMENZIONALNI. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI RE- GRESIJE MOTIV. Promatramo slučajni pokus bacanje igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj ako su pali jednaki brojevi, inače. (c) Jesu li X i Y nezavisne varijable? (d) Izračunajte kovarijancu. (e) Jesu li X i Y korelirane varijable? Definicija. (KOVARIJANCA SLUČAJNOG VEKTORA - engl.covariance of X and Y) Neka je (X, Y) : Ω R -dim slučajni vektor. Kovarijanca slučajnog vektora (X, Y) je µ XY = E((X E(X))(Y E(Y))) = E(X Y) E(X) E(Y). Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je µ XY =. PRIMJER. (a) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + µ XY (b) Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). Dokaz: tko želi znati više Ako je h(x, y) = x + y onda je Z = X + Y slučajna varijabla, funkcija slučajnog vektora (X, Y). Var(Z) = E(Z ) (E(Z)) = E((X + Y) ) (E(X + Y)) = E(X + X Y + Y ) (E(X) + E(Y)) = E(X ) + E(X Y) + E(Y ) ((E(X)) + E(X) E(Y) + (E(Y)) ) = E(X ) (E(X)) + E(Y ) (E(Y)) + (E(X Y) E(X) E(Y)) Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je µ XY = pa tvrdnja slijedi iz (a). Definicija.7 (KOEFICIJENT KORELACIJE, engl. correlation coefficient ) Neka je (X, Y) : Ω R -dim slučajni vektor Neka je µ XY kovarijanca slučajnih varijabli X i Y, a σ i σ njihove standardne devijacije. Koeficijent korelacije komponenti X i Y slučajnog vektora je definiran s ρ XY = µ XY σ σ. 7 Radni materijal

18 .. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE T: SVOJSTVA KOEFICIJENTA KORELACIJE ρ XY : (i) ρ XY = ρ YX, (ii) ρ XY, (iii) ρ XY = ako je Y = ax + b, a >, ρ XY = ako je Y = ax + b, a <, (iv) ρ UW = ρ XY, ako je U = ax + b, W = cy + d, a, c. D: tko želi znati više (ii) Za slučajnu varijablu U = σ X σ Y, odredimo varijancu: Var(U) = E(U ) (E(U)) = E(σ X σ σ XY + σ Y ) (σ E(X) σ E(Y)) = σ E(X ) σ σ E(XY) + σ E(Y ) (σ (E(X)) σ σ E(X)E(Y) + σ (E(Y)) ) = σ Var(X) + σ Var(Y) σ σ (E(XY) E(X)E(Y)) = σ σ + σ σ σ σ µ XY = σ σ σ σ µ XY. Budući je varijanca pozitivan broj zaključujemo da je µ XY σ σ, ρ XY. Analogno, promatrajući slučajnu varijablu U = σ X+σ Y dobit ćemo nejednakost µ XY σ σ, ρ XY. (iii) µ XY = E(XY) E(X)E(Y) = E(X(aX + b)) E(X)E(aX + b) = ae(x ) + be(x) a(e(x)) + be(x) = avar(x) = aσ, σ = Var(Y) = Var(aX + b) = a Var(X) = a σ, ρ XY = µ XY σ σ = aσ σ σ a = a a. Definicija.8 (NEKORELIRANE SLUČAJNE VARIJABLE) Neka je (X, Y) : Ω R -dim slučajni vektor Neka je µ XY kovarijanca slučajnih varijabli X i Y, a σ i σ njihove standardne devijacije. Za slučajne varijable X i Y kažemo da su nekorelirane ako je koeficijent korelacije ρ XY =. Ako je ρ XY slučajne varijable su korelirane. Radni materijal 8

19 . DVODIMENZIONALNI PRIMJER.5 (a) Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda su one nekorelirane. (b) Ako su X i Y nekorelirane slučajne varijable onda one ne moraju biti nezavisne. Dokaz: (a) X i Y nezavisne µ XY = ρ XY = X i Y nekorelirane. (b) X i Y nekorelirane ρ XY = ali ne moraju biti X i Y nezavisne (mogu se naći primjeri). NAPOMENA. Neka je zadan slučajni vektor (X, Y) s funkcijom vjerojatnosti f (x, y), ili funkcija gustoće vjerojatnosti. Tražimo funkcijsku vezu izmedu slučajnih varijabli X i Y npr. Y = g(x) tako da E((Y g(x) )) min. Tada se krivulja dana jednadžbom y = g(x) zove regresijska krivulja od Y po X (u smislu najmanjih kvadrata) i odreduje se kao ili y = g(x) = E(Y X = x) = y = g(x) = E(Y X = x) = j= y j f (x, y j ) f (x y f (x, y) f (x) Ako pretpostavimo linearnu ovisnost Y od X tako da je g(x) = ax + b onda kao regresijsku krivulju dobijemo pravac: y µ = ρ XY σ σ (x µ ) je pravac regresije Y po X. Koeficijent a = ρ XY σ = µ XY σ σ je koeficijent regresije Y po X. PRIMJER. Neka je (X, Y) : Ω R -dim slučajni vektor. Neka je µ XY kovarijanca slučajnih varijabli X i Y, ρ XY koeficijent korelacije, σ i σ njihove standardne devijacije, a µ, µ njihova očekivanja. Pretostavimo da su X i Y zavisne slučajne varijable takve da je Y = ax + b. Parametre a i b možemo odrediti metodom najmanjih kvadrata tako da E((Y (ax + b)) ) ima minimalnu vrijednost. a = ρ XY σ = µ XY σ σ je koeficijent regresije Y po X. b = µ ρ XY σ µ = µ µ XY σ σ µ. y µ = µ XY σ (x µ ), Radni materijal

20 .. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE y µ = ρ XY σ σ (x µ ) je pravac regresije Y po X. Analogno, ako je X=aY+b a = ρ XY σ = µ XY σ σ je koeficijent regresije X po Y x µ = µ XY σ (Y µ ), x µ = ρ XY σ σ (y µ ) je pravac regresije X po Y. Dokaz: tko želi znati više (metoda najmanjih kvadrata) Označimo K(a, b) = E((Y ax b) ) = E(Y µ a(x µ ) b + µ aµ ) = σ + a σ aµ XY + (µ b aµ ) K(a, b) je funkcija od varijable i tražimo njen ekstrem. Nužni uvjeti su K a = aσ µ XY (µ b aµ ) =, K b = (µ b aµ ) =. Rješavanjem ovog sustava od jed. s nepoznanice dobit ćemo a = µ XY σ, b = µ aµ = µ µ XY σ µ. NAPOMENA.5 Pravci regresije sijeku se u točki (µ, µ ) koja se zove centar zajedničke distribucije X i Y. Kut izmedu pravaca regresije tgϕ = ρ XY σ σ ρ XY σ +. σ Ako je ρ XY = ili pravci regresije se poklapaju i tada postoji potpuna linearna zavisnost izmedu X i Y. Ako je ρ XY = onda su pravci regresije y = µ, x = µ okpmiti, a ne postoji linearna zavisnost slučajnih varijabli X i Y. PRIMJER.7 Za primjer slučajnog vektora (X, Y) nadite kovarijancu, koeficijent korelacije i pravce regresije. Radni materijal

21 . DVODIMENZIONALNI X/Y f (x) f (y) 8 xi p ij y j xi p ij yj p ij x i yj p ij µ = E(X) = µ = E(Y) = E(X ) = E(Y ) = σ σ x i f (x i ) = y j f (y j ) = x i f (x i ) = y j f (y j ) = = = = = Var(X) = 8 ( 8 ) = = Var(Y) = 8 (5 8 ) = = 8 Kovarijanca je µ XY = E(XY) E(X)E(Y) = =. Pravac regresije Y po X je y µ = µ XY σ (x µ ), y 5 y = x +. Pravac regresije X po Y je x µ = µ XY σ (y µ ), x x = 7 y + 7, y = 7 x. Pravci se sijeku u točki (µ, µ ) = (, 5 ). tgϕ = Koeficijent korelacije je ρ XY = 8 = 8 = 7 (x 8 ), = ; Kut izmedu pravaca regresije je ϕ = 8.. µ XY σ σ = 7 =.5. (y 5 8 ), Radni materijal

22 .. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE y y x ( ) (, ), 5 y 7 x x Slika.: Pravci regresije slučajnog vektora (X, Y). Prisjetimo se motivacijskog primjera: PRIMJER.8 motiv Promatramo slučajni pokus bacanje igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj ako su pali jednaki brojevi, inače. (c) Jesu li X i Y nezavisne varijable? (d) Izračunajte kovarijancu. (e) Jesu li X i Y korelirane varijable? Rješenje: (c) X/Y f (x) f (y) Varijable nisu nezavisne jer je npr. f (, ) f () f (), f (, ) =, f () = 5, f () =. Radni materijal

23 . DVODIMENZIONALNI (d) E(X) = 7, E(Y) =, E(XY) = i x i j y j f (x i, y j ) = 7 Kovarijanca je µ XY = E(XY) E(X) E(Y) =, pa je i koeficijnt korelacije jednak ρ XY =. (e) Varijable su nekorelirane jer je koeficijnt korelacije jednak ρ XY =. Radni materijal

24 .. Ponovimo. Ponovimo DISKRETNI -dim diskretni -dim sl. vek. (X, Y) : Ω R funkcija vjerojatnosti f (x i, y j ) = P(X = x i, Y = y j ), (x i, y j ) R((X, Y)) funkcija distribucije vj. F(x, y) = P(X x, Y y) marginalne funkcije vj. po X f (x) = j f (x, y j ) po Y f (y) = i f (x i, y) nezavisne sl. var. funkcija -dim sl. vek. očekivanje od Z = h((x, Y)) ako su X i Y nezavisna f (x i, y j ) = f (x i ) f (y j ), za sve (x i, y j ) R((X, Y)) Z = h((x, Y)), h : R R E(Z) = i j h(x i, y j ) f (x i, y j ) E(X Y) = i j x i y j f (x i, y j ) E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X Y) = E(X) E(Y) KOVARIJANCA - KORELACIJA PRAVCI REGRESIJE kovarijanca od (X, Y) µ XY = E(XY) E(X) E(Y) koef. korelacije od (X, Y) ρ XY = µ XY σ σ nekorelirane sl. var. ρ XY = pravac regresije Y po X Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + µ XY y µ = µ XY σ (x µ ) Radni materijal

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku

Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku - vježbe - Danijel Krizmanić 28. rujna 2007. Sadržaj Osnove vjerojatnosti 2 2 Kombinatorika i vjerojatnost 5 3 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost 9 4 Geometrijske

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Parametarski zadane neprekidne distribucije

Parametarski zadane neprekidne distribucije Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Kristijan Šućur Parametarski zadane neprekidne distribucije Završni rad Osijek, 217. Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Ako između tri slučajne varijable postoji veza ζ = f (ξ, η) i ako su poznate sve relevantne gustoće vjerojatnosti, tada je

Ako između tri slučajne varijable postoji veza ζ = f (ξ, η) i ako su poznate sve relevantne gustoće vjerojatnosti, tada je Višekomponentne slučajne varijable Srednje vrijednosti i momenti Definicija srednje vrijednosti Ako između tri slučajne varijable postoji veza ζ = f (ξ, η) i ako su poznate sve relevantne gustoće vjerojatnosti,

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Karakteristične funkcije

Karakteristične funkcije Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matea Spajić Karakteristične funkcije Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera u

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Statistika. primjeri i zadaci. Ante Mimica, Marina Ninčević. 30. kolovoza 2010.

Statistika. primjeri i zadaci. Ante Mimica, Marina Ninčević. 30. kolovoza 2010. Statistika primjeri i zadaci Ante Mimica, Marina Ninčević 3. kolovoza. Sadržaj Opisna statistika 5. Zadaci za vježbu................................ 4 Neprekidne slučajne varijable 47. Normalna distribucija..............................

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima.

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Sažetak vjerojatnost Skup ishoda U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Jednostavne događaje u nekom pokusu zvat

Διαβάστε περισσότερα

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1 χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić

(BIO)STATISTIKA. seminari. smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija. pripremila: dr.sc. Iva Franjić (BIO)STATISTIKA seminari smjer: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija pripremila: dr.sc. Iva Franjić Sadržaj DESKRIPTIVNA STATISTIKA 4. Grafički prikaz podataka..................... 4. Srednje vrijednosti

Διαβάστε περισσότερα

Slučajni proces i njegova svojstva

Slučajni proces i njegova svojstva Slučajni proces i njegova svojsva omislav Peković sudeni 29. 1. Slučajni proces Definicija 1.1. (Slučajni proces). Slučajni ili sohasički proces je familija slučajnih varijabli X(, ω) 1. Slučajni proces

Διαβάστε περισσότερα

REGRESIJSKA ANALIZA zavisnost (korelacija) regresijske tehnike kvantitativno zavisnost (korelaciju) linearna regresija

REGRESIJSKA ANALIZA zavisnost (korelacija) regresijske tehnike kvantitativno zavisnost (korelaciju) linearna regresija REGRESIJSKA ANALIZA REGRESIJSKA ANALIZA često imamo dvije ili više varijabli koje su inherentno povezane, odnosno postoji neka zavisnost (korelacija) među njima koju želimo istražiti regresijske tehnike

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Korelacijska i regresijska analiza

Korelacijska i regresijska analiza Korelacijska i regresijska analiza Odnosi među pojavama Odnos među pojavama može biti: deterministički ili funkcionalni i stohastički ili statistički Kod determinističkoga se odnosa za svaku vrijednost

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost i matematička statistika

Vjerojatnost i matematička statistika Vjerojatnost i matematička statistika Ante Mimica Poslijediplomski specijalistički studij aktuarske matematike 29. siječnja 2016. Sadržaj kolegija 1. Opisna analiza podataka 2. Slučajne varijable 3. Funkcije

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

Monte Carlo metode Bojan Basrak, PMF MO Zagreb. Financijski praktikum 29. veljače 2016.

Monte Carlo metode Bojan Basrak, PMF MO Zagreb. Financijski praktikum 29. veljače 2016. Monte Carlo metode Bojan Basrak, PMF MO Zagreb Financijski praktikum 29. veljače 2016. 1 Monte Carlo metode 2 Primjene modeliranje složenih sustava upravljanje portfeljima u financijama i osiguranju procjena

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Slučajna varijabla i vjerojatnost.

Slučajna varijabla i vjerojatnost. Statistika, Prehrambeno-tehnološki fakultet 1 Slučajna varijabla i vjerojatnost. Primjer 1: Promotrimo pokus koji se sastoji od zagrijavanja određene količine vode pod normalnim atmosferskim tlakom na

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Statistika i osnovna mjerenja

Statistika i osnovna mjerenja Statistika i osnovna mjerenja Teorija vjerojatnosti M. Makek 2016/2017 Uvod Pokus bilo koji postupak ili proces koji rezultira opažanjem Ishod moguć rezultat pokusa (različiti ishodi se međusobno isključuju)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K

4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K 4 Unitarni prostori 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K Definicija. Skalarni produkt na V je svaka funkcija p q: V ˆ V Ñ K koja ima sljedeća svojstva:

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingu. Generalizirani linearni model. Lavoslav Čaklović PMF-MO

Matematičke metode u marketingu. Generalizirani linearni model. Lavoslav Čaklović PMF-MO Matematičke metode u marketingu. Generalizirani linearni model Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 Jedan loš linearni model n = 1000, i = 1,..., n { 1 ako yi > 0 y Y = i = 2x i + rnorm(n) 0 inače x i = round(0.001

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα