Prosta linearna regresija (primer)
|
|
- Ζαρά Γεωργίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 STATISTIKA Prosta linearna regresija (primer) Doc. Dr Slađana Spasić Ass. Ana Simićević Beograd Predavanje 15
2 Regresiona i korelaciona analiza Na ovom predavanju razmatraćemo međusobnu vezu dve promenljive i to na osnovu: 1. regresione analize. korelacione analize. Upotrebom regresionih modela može se oceniti kako se menja jedna promenljiva pod uticajem promene druge promenljive. Koeficijent korelacije u korelacionoj analizi pokazuje da li između varijacija dve promenljive postoji kvantitativno slaganje, ali on ne daje informaciju o stepenu promene jedne promenljive kojanastaje kao rezultat promene druge promenljive Beograd Predavanje 15 / 1
3 Deterministička i stohastička veza Naše interesovanje ćemo usmeriti na istraživanje međusobnih veza i uticaja između dve ili više pojava. Pojave na osnovu veza između promenljivih možemo podeliti na determinističke i stohastičke. Deterministička veza se javlja kada jednoj vrednosti nezavisno promenljive X odgovara tačno jedna vrednost zavisno promenljive Y. Ova veza se još naziva egzaktna ili funkcionalna. Stohastičke veze su slabije i kod njih jednoj vrednosti nezavisno promenljive X odgovara više mogućih vrednosti zavisno promenljive Y. Svaku od tih vrednosti zavisno promenljiva može uzeti sa određenom verovatnoćom, pa je zavisno promenljiva Y slučajna promenljiva Beograd Predavanje 15 /
4 Deterministička i stohastička veza Suština stohastičke veze je sledeća: Prosek Y f (X) Veze kod kojih porastu (opadanju) nezavisne promenljive X odgovara porast (opadanje) zavisno promenljive Y nazivaju se direktne veze. Ako porastu X odgovara opadanje Y takve veze se zovu inverzne (obrnute). Osim ovoga, veze mogu biti linearne ili nelinearne Beograd Predavanje 15 / 3
5 Ciljevi regresione i korelacione analize Regresiona i korelaciona analiza primenjuju se u istraživanju kvantitativnog slaganja varijacija između dve ili više pojava. Kod regresione analize neophodno je unapred odrediti koja pojava će imati ulogu nezavisne, a koja zavisne promenljive. Ovo je određeno prirodom analiziranih pojava. Kod korelacione analize je svejedno koja je pojava okarakterisana kao nezavisno, a koja kao zavisno promenljiva. Rezultat korelacione analize je isti u oba slučaja. U slučaju korelacione analize više pojava potrebno je fiksirati jednu zavisnu promenljivu, a ostale će biti nezavisne Beograd Predavanje 15 / 4
6 Ciljevi regresione i korelacione analize Cilj regresije je da se utvrdi priroda veze, tj. oblik zavisnosti među posmatranim pojavama. Ovo se postiže odgovarajućim regresionim modelima. Regresioni model je statistički model koji matematičkim formulama, uz određene pretpostavke najbolje opisuje kvantitativnu zavisnost između varijacija posmatranih pojava u realnosti. Kako je reč o stohastičkim vezama, regresioni model pokazuje prosečno slaganje varijacija ispitivanih pojava. Korelaciona analiza ispituje da li između varijacija posmatranih pojava postoji slaganje i, ako postoji, u kom stepenu Beograd Predavanje 15 / 5
7 Vrste regresionih modela Prilikom istraživanja međusobnih veza dveju promenljivih primenjuju se metode proste (linearne i nelinearne) regresione i korelacione analize. U slučaju više promenljivih reč je i metodama višestruke (linearne i nelinearne) regresione i korelacione analize. Mi ćemo se ograničiti na linarne metode Beograd Predavanje 15 / 6
8 Prosta linearna regresija Prost regresioni model je matematički model koji ima samo dve promenljive: zavisnu i nezavisnu. Zavisna promenljiva je ona čije varijacije treba objasniti na osnovu promena nezavisne promenljive. Prost linearni regresioni model je regresioni model kojim se opisuje linearna veza između zavisne i nezavisne promenljive Beograd Predavanje 15 / 7
9 Dijagram raspršenosti Prvi korak u analizi zavisnosti dve pojave je grafičko prikazivanje empirijske serije podataka, bilo da se odnose na osnovni skup ili uzorak. Na istim elementima skupa ili uzorka posmatramo dva obeležja, npr. kod 0 firmi posmatramo troškove reklame i obim prodaje. Zatim treba identifikovati koje obeležje predstavlja nezavisno promenljivu X, a koje zavisno promenljivu Y. Tako se dobija niz od n (N) uređenih parova (X 1,Y 1 ), (X,Y ),..., (X n,y n ). Na apscisu se nanose vrednosti nezavisno promenljive X, a na ordinatu vrednosti zavisno promenljive Y. Takav grafički prikaz naziva se dijagram raspršenosti Beograd Predavanje 15 / 8
10 Podsetimo se jednačine prave: Prost linearni regresioni Linearna jednačina ili jednačina linearne veze u ovom slučaju: y a + bx model x je nezavisno promenljiva y je zavisno promenljiva a je konstanta u linearnoj jednačini otsečak na y osi b je koeficijent nagiba prave Beograd Predavanje 15 / 9
11 Prost linearni regresioni model Cilj regresije je predvideti vrednosti y za pojedine vrednosti x. Kako je reč o stohastičkim vezama između x i y ne može se tačno predvideti vrednost y za određenu vrednost x. Zato se kao moguće rešenje traži regresiona prava (kriva) koja će najmanje odstupati od empirijskih podataka. Određivanje koeficijenata te linearne jednačine omogućuje nam da vršimo traženo predviđanje. Takvo predviđanje neće biti egzaktno jer se mora uzeti u obzir i greška zbog stohastičke prirode veze Beograd Predavanje 15 / 10
12 Model proste linearne regresije u opštem obliku: gde su Y i x i Y i β 0 + β 1 x i + ε i i-ta zavisna promenljiva i 1,,, N i-ta vrednost nezavisna promenljiva β 0 i β 1 nepoznate konstante, regresioni parametri ε i Prost linearni regresioni model stohastički član ili slučajna greška N veličina osnovnog skupa Nezavisno promenljiva X se naziva objašnjavajućom promenljivom jer pomoću nje pokušavamo da objasnimo varijacije promenljive Y Beograd Predavanje 15 / 11
13 Ocenjivanje: Metod najmanjih kvadrata Na osnovu dijagrama raspršenosti odabira se tip krive koji najviše odgovara empirijskim podacima. Tek tada na osnovu dijagrama, ako on ukazuje na linearnu vezu dveju pojava, prelazimo na drugu etapu regresione analize ocenjivanje nepoznatih parametara: slobodnog člana β 0 i koeficijenta nagiba β 1. Slučajnom greškom u stohastičkom regresionom modelu obuhvaćene su: 1. nedostajuće ili izostavljene promenljive (efekti promenljivih koje nisu direktno uključene u model),. slučajne varijacije (domaćinstvo može u jednom mesecu da organizuje više zabava i potroši više na hranu, a sledećeg meseca zbog dečje ekskurzije ili kupovine nameštaja prištedeće na hrani Beograd Predavanje 15 / 1
14 U regresionom modelu su β 0 i β 1 parametri osnovnog skupa. Međutim, kako nisu poznati svi podaci o osnovnom skupu, regresioni model osnovnog skupa ocenjujemo na osnovu podataka iz uzorka. Ocene nepoznatih parametara, odsečka β 0 i koeficijenta nagiba β 1 se označavanju sa b 0 i b 1. Cilj je da se na osnovu uzorka dođe do najboljih mogućih ocena b 0 i b 1 i time postavi ocenjeni model uzorka (linija regresije u uzorku): Ocenjivanje: Metod najmanjih kvadrata ˆ + Yi b0 b1 x i gde je ona vrednost Y koja se tačno nalazi na najbolje Yˆi prilagođenoj liniji regresije, pa se naziva prilagođena ili predviđena vrednost Y Beograd Predavanje 15 / 13
15 Ocenjivanje: Metod najmanjih kvadrata Stvarne vrednosti promenljive Y nazivaju se empirijske vrednosti. Razlika između stvarne i očekivane (prosečne) vrednosti Y u osnovnom skupu predstavlja slučajnu grešku ε. Npr. To je razlika između iznosa koje je domaćinstvo jednog meseca stavrno potrošili za hranu i prosečne vrednosti dobijene na osnovu regresione prave osnovnog skupa. Razlika između stvarne i ocenjene vrednosti Y u uzorku naziva se rezidual i označava se sa e. Rezidual predstavlja ocenu slučajne greške, ε. e Yˆ Yˆ gde je Y stvarna vrednost, a ocenjena vrednost Y. Y Beograd Predavanje 15 / 14
16 Ocenjivanje: Metod najmanjih kvadrata Dijagram raspršenosti i regresione prave Suma svih reziduala je uvek jednaka 0. ( Y Yˆ) Beograd Predavanje 15 / 15 e 0
17 Ocenjivanje: Metod najmanjih kvadrata Kako je suma svih reziduala jednaka 0 njenim minimiziranjem i ne možemo dobiti najbolje prilagođenu regresionu krivu, ali minimiziranjem sume kvadrata reziduala (SKR) mogu se dobiti vrednosti b 0 i b 1 u regresionom modelu uzorka. Od svih mogućih pravih linija treba odabrati onu koja ima najmanju sumu kvadrata vertikalnih odstupanja (reziduala). SKR e gde jey stvarna vrednost, a ocenjena vrednost Y. Minimiziranjem sume kvadrata reziduala dobijaju se b 0 i b 1, kao ocene regresionih parametara β 0 i β Beograd Predavanje 15 / 16 Yˆ ( Y Yˆ)
18 Ocenjivanje: Metod najmanjih kvadrata Koeficijenti regresione prave uzorka, odnosno metodu najmanjih kvadrata glase: SP xy 1 b0 Y b1 X SK xx b ocene po SP xy XY X n Y SK xx X n X ( ) gde je SK i SP označavaju odgovarajuću sumu kvadrata i sumu proizvoda Beograd Predavanje 15 / 17
19 Testiranje značajnosti regresione veze Da bi primena regresione linije uzorka pri predviđanju vrednosti zavisne promenljive Y bila opravdana, neophodno je prethodno ispitati da li uopšte postoji linearno slaganje između varijacija posmatrane dve promenljive u osnovnom skupu. Prilikom testiranja hipoteze o regresionom parametru β 1 testiramo nultu hipotezu da je parametar β 1 0 što je ekvivalentno hipotezi da promenljiva X ne utiče na promenljivu Y Beograd Predavanje 15 / 18
20 Testiranje značajnosti regresione veze Nulte i alternativna hipoteza o regresionom parametru β 1 : H 0 : β 1 0 (Između varijacija posmatranih pojava ne postoji linearna veza, odnosno X ne utiče na Y) H 1 : β 1 0 (Između varijacija posmatranih pojava postoji linearna veza, odnosno X utiče na Y) Statistika t testa za testiranje hipoteze o β 1 glasi: b 1 1 t S 1 β b 1 b S b 1 S b Broj stepeni slobode je df n -. Testiranje se sprovodi na isti način kao kod aritmetičke sredine skupa Beograd Predavanje 15 / 19 1 x s n x
21 Prosta linearna korelacija Cilj korelacione analize je da se utvrdi da li između varijacija posmatranih pojava postoji kvantitativno slaganje (korelaciona veza) i ako postoji u kom stepenu. Ako se posmatraju dve pojave reč je o prostoj korelaciji, a ako je reč o više pojava onda o višestrukoj korelaciji. Takođe moguće je ispitati da li je reč o linearnoj ili krivolinijskoj vezi. Mi ćemo govoriti o prostoj linearnoj korelaciji Beograd Predavanje 15 / 0
22 Prosta linearna korelacija Za razliku od regresione analize u korelacionoj analizi se obe posmatrane pojave tretiraju kao slučajne promenljive. Ovde nema razlike između zavisne i nezavisne promenljive. Svejedno je koju ćemo pojavu označiti sa X a koju sa Y, jer će se dobiti identični rezultati. Zadatak proste linearne korelacije jeste da pokaže da između varijacija dve pojave postoji prosta pravolinijska veza Beograd Predavanje 1 / 1
23 Koeficijent proste linearne korelacije Koeficijent korelacije predstavlja pokazatelj stepena kvantitativnog slaganja između promenljivih. Koeficijent proste linearne korelacije u osnovnom skupu obeležava se sa ρ, a u uzorku sa r i može uzeti vrednosti samo u intervalu -1 i 1, tj. -1 ρ 1 i -1 r 1 Ako je r 1 između dve promenljive postoji perfektna pozitivna linearna korelacija, tj. sve tačke dijagrama raspršenosti se nalaze na rastućoj pravoj. Ako je r -1 između dve promenljive postoji perfektna negativna linearna korelacija, tj. sve tačke dijagrama raspršenosti se nalaze na opadajućoj pravoj Beograd Predavanje 15 /
24 Koeficijent proste linearne korelacije Ako su empirijske tačke raspršene svuda po dijagramu tada između dve promenljive ne postoji linearna korelacija i tada je r 0. Koeficijent proste linearne korelacije između dve promenljive u uzorku ili Pirsonov koeficijent korelacije, r, se izračunava kao: r n x n xy x ( x) n y ( y) y Formula je simetrična u odnosu na promenljive X i Y, pa je sve jedno koju smo promenljivu kako označili Beograd Predavanje 15 / 3
25 Testiranje značajnosti ocene koeficijenta proste linearne korelacije Testiranje hipoteze o koeficijentu proste linearne korelacije na osnovnom skupu ρ, na osnovu njegove ocene iz slučajnog uzirka r se zasniva na pretpostavci o normalnosti zajedničke raspodele za promenljive X i Y. Prilikom testiranja koristimo t raspodelu verovatnoća. Nulta hipoteza H 0 : ρ 0 (u osnovnom skupu ne postoji linearna korelacija između dve promenljive) Alternativna hipoteza H 1 : ρ 0 (u osnovnom skupu postoji linearna korelacija između dve promenljive) Beograd Predavanje 15 / 4
26 Testiranje značajnosti ocene koeficijenta proste linearne korelacije Testiranje hipoteze o koeficijentu proste linearne korelacije na osnovnom skupu ρ se svodi na određivanje vrednosti statistike testa koja ima Studentovu t raspodelu sa (n ) stepena slobode: t 1 gde je r ocenjena vrednost parametra ρ. r n r Beograd Predavanje 15 / 5
27 Regresiona analiza: kompletan primer Primer: Izabran je uzorak od 8 vozača koji poseduju polise osiguranja. U tabeli se nalaze podaci o vozačkom iskustvu u godinama i iznosu mesečne premije auto osiguranja u evrima. Vozačko iskustvo Premija auto osiguranja Beograd Predavanje 15 / 6
28 Regresiona analiza: kompletan primer 1. Da li premija auto osiguranja zavisi od vozačkog iskustva ili vozačko iskustvo zavisi od premije osiguranja?. Da li se očekuje pozitivna ili negativna korelaciona veza između dve promenljive? Rešenje: Intuitivno, a i na osnovu teorije očekujemo da će premija osiguranja zavisiti od vozačkog iskustva. To znači da će premija osiguranja biti zavisna, a vozačko iskustvo objašnjavajuća promenljiva u regresionom modelu. Nove vozače osiguravajuće kuće tretiraju kao vozače visokog rizika, pa oni moraju da plate veće iznose premija. Zato, očekujemo da će linearna veza biti negativna, odnosno da će biti negativan znak koeficijenta korelacije osnovnog skupa ρ i regresionog parametra osnovnog skupa β Beograd Predavanje 15 / 7
29 Regresiona analiza: primer 3. Izračunati SK xx, SK yy i SK xy Vozačko iskustvo, x Premija auto osiguranja, y xy x y Σx90 Σy474 Σxy4739 Σx 1396 Σx Beograd Predavanje 15 / 8
30 Regresiona analiza: primer x x n Vrednosti aritmetičkih sredina za x i y su: ,5 y y n ,5 SP xy SK xx SK xy SK i SP označavaju odgovarajuće sume kvadrata i sume proizvoda. x xy n x y y , ( x) n 8 383, Beograd Predavanje 15 / 9 ( y) n ,5000
31 Regresiona analiza: primer 4. Na osnovu objašnjavajuće i zavisne promenljive iz 1. odrediti regresionu pravu po metodu najmanjih kvadrata. Koeficijenti regresione prave uzorka, odnosno metodu najmanjih kvadrata glase: b SP 593, ,5000 xy 1 SK xx 1,5476 b0 y b1 x 559,5 ( 1,5476) 11,5 Ocenjena linija regresije u ovom primeru glasi: ˆ 1 ocene po 76,6605 y b + b x 76,6605 1, 5476x Beograd Predavanje 15 / 30
32 Regresiona analiza: kompletan primer 5. Objasniti značenje dobijenih ocenjenih vrednosti b 0 i b 1. Rešenje: Ocenjena vrednost b 0 predstavlja vrednost za x0. To je prosečni mesečni nivo premije osiguranja za vozača bez vozačkog iskustva. Ocenjena vrednost b 1-1,5476 pokazuje da sa porastom vozačkog iskustva za 1 godinu, mesečna premija osiguranja u proseku opada za oko 1,55 evra. Kako je b 1 negativno, y opada sa porastom x. ŷ Beograd Predavanje 15 / 31
33 Regresiona analiza: kompletan primer 6. Nacrtati dijagram raspršenosti i ocenjenu regresionu pravu. Dijagram raspršenosti i regresiona prava Premija osiguranja Vozačko iskustvo Series1 Linear (Series1) Beograd Predavanje 15 / 3
34 Koeficijent proste linearne korelacije Koeficijent proste linearne korelacije između dve promenljive u uzorku, r, se izračunava kao: r SK n SP xx xy SK x yy 7. Izračunajte koeficijente r i r i objasnite njihovo značenje. n ( xy x) 593,5 x n 383,5 1557,5 y y ( 0,77 y) ( 0,77) 0,59 Vrednost r -0,77 ukazuje da u uzorku od 8 vozača postoji jaka negativna korelaciona veza između vozačkog iskustva i mesečne premije auto osiguranja. Vrednost r se naziva koeficijent determinacije i ukazuje da je 59% ukupnih varijacija mesečne premije objašnjeno vozačkim iskustvom, a 41% je rezultat drugih uticaja. r Beograd Predavanje 15 / 33
35 Regresiona analiza: primer 8. Oceniti mesečnu premiju auto osiguranja vozača sa 10 godina vozačkog iskustva. Na osnovu regresione prave uzorka, ocenjena vrednost y za x10 iznosi: ˆ 0 1 y b + b x 76,6605 1,5476x 76,6605 1, ,18 evra Očekivani mesečni iznos premije auto osiguranja vozača sa 10 godina iskustva je 61,18 evra Beograd Predavanje 15 / 34
36 Regresiona analiza: primer 9. Izračunati standardnu grešku regresije. Standardna greška regresije je ocena standardne devijacije slučajne greške, S i iznosi: s SK yy b 1 n SP xy 1557,5 ( 1,5476) ( 593,5) 8 10, Beograd Predavanje 15 / 35
37 Regresiona analiza: primer 9. Formirati 90% interval poverenja za parametar β 1. Ocenjena vrednost standardne greške ocene b 1 : s s 10,3199 S 0, ,5 b SK x n x xx Za 90% interval poverenja, površina na svakom kraju pod krivom t raspodele je: α/ (1-0,90)/ 0,05, a broj stepeni slobode je df n Na osnovu tablice t raspodele, tablična vrednost za α/0,05 i df 6 je 1, % interval poverenja za parametar β 1 je b 1 ts b1-1,5476 1,943 (0,570) -1,5476±1,040 -,57 < β 1 <, Beograd Predavanje 15 / 36
38 Testiranje hipoteze o parametru β Sa nivoom značajnosti od 5% testirajte hipotezu da je β 1 negativno. Testiranje se obavlja u 5 etapa. Korak 1. Formulisanje nulte i alternativne hipoteze: H 0 : β 1 0 (Regresioni parametar je jednak 0) H 1 : β 1 < 0 (Regresioni parametar je jmanji od 0 ) Korak. Izbor raspodele koja će se koristiti. Kako σ ε nije poznato, za testiranje hipoteze ćemo koristiti t raspodelu, odnosno t statistiku testa Beograd Predavanje 15 / 37
39 Testiranje hipoteze o parametru β 1 Korak 3. Određivanje oblasti odbacivanja i neodbacivanja Nivo značajnosti je α0,05. Znak < u alternativnoj hipotezi ukazuje da je test levostran, sa jednom oblašću odbacivanja nulte hipoteze sa leve strane. Površina na levom kraju krive t raspodele je α 0,05. Broj stepeni slobode je df n Kritična vrednost t se nalazi u tablicama za t raspodelu, za vrednosti df 6 i površine (plavo) ispod krive t raspodele za 0,05 i iznosi -1,943. α 0,05-1,943 0 Odbacuje se H 0 Ne odbacuje se H Beograd Predavanje 15 / 38
40 Testiranje hipoteze o parametru β 1 Korak 4. Izračunavanje vrednosti statistike testa Vrednost statistike testa izračunavamo na sledeći način: t b β 1 s b 1 1-1,5476-0,570 0 Iz H 0, Beograd Predavanje 15 / 39
41 Testiranje hipoteze o parametru β 1 Korak 5. Donošenje odluke Pošto se realizovana vrednost statistike t testa, t -,937 nalazi u oblasti odbacivanja nulte hipoteze donosimo odluku o odbacivanju nulte hipoteze. Sledi da nultu hipotezu odbacujemo uz nivo značajnosti od 0,05 i zaključujemo da je, na osnovu podataka u uzorku, parametar β1 negativan, odnosno da mesečni iznos premije auto osiguranja u osnovnom skupu vozača u proseku opada sa povećanjem vozačkog iskustva Beograd Predavanje 15 / 40
42 Hvala na pažnji! Beograd Predavanje 15
Testiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα11. glava PROSTA KORELACIONA I REGRESIONA ANALIZA
PROSTA KORELACIONA I REGRESIONA ANALIZA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. shvatite razliku između funkcionalne i stohastičke veze i razumete stohastički model. znate
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Διαβάστε περισσότεραPostoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi.
Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi. U SPSS-u su obradjeni: t test razlike između aritmetičke sredine osnovnog skupa i uzorka t test razlike
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).
Str. 53;76; Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραStr
Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραRegresija i korelacija
Regresija i korelacija Goran Trajković septembar, 008. godine Regresija i korelacija Regresijom i korelacijom analizira se povezanost (asocijacija, odnos) dve ili više varijabli. Korelacija podrazumeva
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραNeparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja se nazivaju neparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 644;1;148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Hi-kvadrat testovi χ Str. 646;1;149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραStatističke metode. doc. dr Dijana Karuović
Statističke metode doc. dr Dijana Karuović STATISTIČKE METODE Danas jedan od glavnih metoda naučnog saznanja Najvažnije statističke metode koje se upotrebljavaju: Metod uzorka Metod srednjih vrednosti
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραAnaliza varijanse sa jednim Posmatra se samo jedna promenljiva
ANOVA Analiza varijanse (ANOVA) Analiza varijanse sa jednim faktorom Proširena ANOVA tabela 2 Tehnike za analizu podataka Analiza varijanse sa jednim faktorom Posmatra se samo jedna promenljiva Posmatra
Διαβάστε περισσότερα, i = 1, 2, n. Tabela 1 Koeficijent proste korelacije. Standardizovani regresioni koeficijent. Regresioni koeficijent b
Višestruka regresija i korelacija Ako se ispituje zavisnost jedne pojave od dve ili više nezavisnih pojava, onda se govori o višestrukoj ili multiploj regresiji. Zadatak regresije je da otkrije što više
Διαβάστε περισσότεραnepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα9.1 Testovi hipoteza u statistici
196 9 Testiranje parametarskih hipoteza 9.1 Testovi hipoteza u statistici Popularan metod dokazivanja teorema u matematici je deductio ad absurdum, dovod enje do protivrečnosti ako se pretpostavi suprotno
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραREGRESIJSKA ANALIZA zavisnost (korelacija) regresijske tehnike kvantitativno zavisnost (korelaciju) linearna regresija
REGRESIJSKA ANALIZA REGRESIJSKA ANALIZA često imamo dvije ili više varijabli koje su inherentno povezane, odnosno postoji neka zavisnost (korelacija) među njima koju želimo istražiti regresijske tehnike
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραREGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA
REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA Reč regresija dospela je u statistiku kada je 1855.godine Fransis Galton objavio publikaciju u kojoj je analizirao visinu sinova u zavisnosti od visine očeva. Zaključak
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραKorelacijska i regresijska analiza
Korelacijska i regresijska analiza Odnosi među pojavama Odnos među pojavama može biti: deterministički ili funkcionalni i stohastički ili statistički Kod determinističkoga se odnosa za svaku vrijednost
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραUvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za
Osnovne teorije odlučivanja Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za donošenje dobre odluke:
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIJSKE TEHNIKE
NEPARAMETRIJSKE TEHNIKE Neparametrijske tehnike se koriste za obradu podataka dobijenih na nominalnim i ordinalnim skalama. za testiranje značajnosti distribucije frekvencija po kategorijama jedne nominalne
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραAutori: Dr Biljana Popović, redovni profesor Prirodno matematičkog fakulteta u Nišu Mr Borislava Blagojević, asistent Gradjevinskog fakulteta u Nišu
Biblioteka: ACADEMIA Autori: Dr Biljana Popović, redovni profesor Prirodno matematičkog fakulteta u Nišu Mr Borislava Blagojević, asistent Gradjevinskog fakulteta u Nišu MATEMATIČKA STATISTIKA SA PRIMENAMA
Διαβάστε περισσότεραPočela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti
Analiza brojčanih podataka Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice Kolegij: Počela biostatistike Statistička hipoteza postupak testiranja 1. postavljanje hipoteze: H 0, H 1 2. odabir
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραVEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013.
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013. 1. Novqi se baca tri puta. (a) Zapisati skup svih mogu ih ishoda. (b) Oznaqimo sa A k događaj da je u k-tom bacanju palo pismo, k {1, 2, 3}. Koriste
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραNUMERIČKA INTEGRACIJA
NUMERČKA NTEGRACJA ZADATAK: Odrediti približnu vrednost integrala ntegral određujemo pomoću formule: f ( x) = p( x) + R( x) vrednost integrala polinoma R ocena greške a b f ( xdx ) Kvadraturne formule
Διαβάστε περισσότερα7. glava STATISTIČKO OCENJIVANJE CILJEVI POGLAVLJA. Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da:
STATISTIČKO OCENJIVANJE CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete smisao statističkog ocenjivanja 2. shvatite razliku između tačkastih i intervalnih ocena 3. konstruišete
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραPOSTAVLJANJE I TESTIRANJE HIPOTEZA
POSTAVLJANJE I TESTIRANJE HIPOTEZA Hipoteza je precizno formulisana verbalna tvrdnja, pretpostavka o karakteristici jednog skupa ili o odnosu vrednosti posmatrane karakteristike u više skupova. U statističkim
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότερα