HY Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς"

Transcript

1 HY Ιατρική Απεικόνιση ιδάσκων: Kώστας Μαριάς

2 10. MRI

3 Μαγνητική Ροπή τα βασικά. The magnetic moment can be considered to be a vector quantity with direction perpendicular to the current loop in the right-hand-rule direction. The torque is given by As seen in the geometry of a current loop, this torque tends to line up the magnetic moment with the magnetic field B, so this represents its lowest energy configuration. The potential energy associated with the magnetic moment is so that the difference in energy between aligned and antialigned is These relationships for a finite current loop extend to intrinsic magnetic moment associated with electron spin and nuclear magnetic moments.

4 Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισµός Η φασµατοσκοπία µε πυρηνικό µαγνητικό συντονισµό ή NMR (Nuclear Magnetic Resonance) θεµελιώθηκε πειραµατικά από τους Felix Bloch του Πανεπιστηµίου Stanford και Edward M. Purcell του Πανεπιστηµίου Ηarvard, δουλειά για την οποία οι ερευνητές αυτοί πήραν το βραβείο Νόµπελ του Ήταν γνωστό από τη δεκαετία του 1920 ότι οι πυρήνες ορισµένων ατοµικών στοιχείων ( 1 H, 31 Ρ, 19 F, 23 Na, 13 C, και 14 Ν) που έχουν περιττό αριθµό πρωτονίων ή νετρονίων συµπεριφέρονται ουσιαστικά σαν µικροί µαγνήτες µε χαρακτηριστική µαγνητική ροπή. Στη φυσική τους κατάσταση, περιστρέφονται γύρω από τον άξονα τους και η κατεύθυνση του άξονα κάθε µικρού µαγνήτη είναι τυχαία µε αποτέλεσµα η συνισταµένη µαγνητική ροπή να είναι µηδέν.

5 Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισµός Όταν όµως ένας βιολογικός ιστός που περιέχει τέτοιους πυρήνες βρεθεί υπό την επίδραση στατικού µαγνητικού πεδίου, οι πυρήνες αυτοί συµπεριφέρονται όπως η γνωστή µας σβούρα κάτω από την επίδραση του πεδίου βαρύτητας. Το διάνυσµα µαγνητικής ροπής του κάθε πυρήνα δεν παραµένει στατικό και ευθυγραµµισµένο µε την κατεύθυνση του µαγνητικού πεδίου, αλλά περιστρέφεται γύρω από τον άξονα του πεδίου αυτού µε µια χαρακτηριστική κίνηση που ονοµάζεται µετάπτωση (precession) ω ο = γh o Μεταπτωτική κίνηση πυρήνων µε περιττό αριθµό πρωτονίων ή νετρονίων γύρω από την κατεύθυνση στατικού µαγνητικού πεδίου

6 Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισµός Η συχνότητα µετάπτωσης, γνωστή επίσης σαν συχνότητα Larmor, είναι ανάλογη της έντασης του µαγνητικού πεδίου και διαφέρει από πυρήνα σε πυρήνα. Συγκεκριµένα, η γωνιακή συχνότητα µετάπτωσης ω o δίνεται από τη σχέση ω ο = γh o όπου Η ο είναι η ένταση του στατικού µαγνητικού πεδίου και γ είναι µια σταθερά που ονοµάζεται γυροµαγνητικός λόγος και έχει διαφορετική τιµή για κάθε ατοµικό πυρήνα. Ο πυρήνας του Υδρογόνου υπάρχει σε µεγάλη αφθονία στους βιολογικούς ιστούς και έτσι είναι αυτός που χρησιµοποιείται πιο συχνά από κάθε άλλο πυρήνα για την απεικόνιση της ανθρώπινης ανατοµίας µε βάση το φαινόµενο του πυρηνικού µαγνητικού συντονισµού.

7 Κάτω από την επίδραση στατικού µαγνητικού πεδίου, οι πυρήνες Υδρογόνου περιορίζονται από την κβαντική µηχανική στο να στραφούν σε µία από δύο κατευθύνσεις, εκείνη του µαγνητικού πεδίου (θεµελιώδης κατάσταση) ή την αντίθετη προς αυτή (διεγερµένη κατάσταση). Οι πυρήνες που βρίσκονται σε θεµελιώδη κατάσταση είναι κατά ένα µικρό ποσοστό (1,4 πυρήνες σε σύνολο πυρήνων) περισσότεροι από εκείνους που βρίσκονται σε διεγερµένη κατάσταση. Λόγω του µικρού αυτού πλεονάσµατος πυρήνων σε θεµελιώδη κατάσταση, έχουµε µια ολική µαγνήτιση µικρού µεγέθους στην κατεύθυνση του µαγνητικού πεδίου και από αυτήν προέρχεται τελικά το σήµα στην επεξεργασία του οποίου στηρίζεται η ανακατασκευή της εικόνας.

8

9

10 Η ολική αυτή µαγνήτιση στην κατεύθυνση του µαγνητικού πεδίου είναι η συνισταµένη των διανυσµάτων µαγνητικής ροπής των πυρήνων που βρίσκονται σε µεταπτωτική κίνηση γύρω από τον άξονα του στατικού µαγνητικού πεδίου και µε κάποια διαφορά φάσεως ο ένας από τον άλλο... Η ολική µαγνήτιση (Μ) πυρήνων Υδρογόνου που βρίσκονται σε µεταπτωτική κίνηση γύρω από την κατεύθυνση στατικού µαγνητικού πεδίου (Η 0 ) είναι η συνισταµένη των διανυσµάτων µαγνητικής ροπής των πυρήνων αυτών.

11 Για να εφαρµόσουµε αποτελεσµατικά µια πρόσθετη δύναµη πάνω σε ένα αντικείµενο το οποίο εκτελεί µεταπτωτική κίνηση, η δύναµη αυτή πρέπει να ταλαντούται µε τη συχνότητα µετάπτωσης του αντικειµένου (συντονισµός). Στην περίπτωση πυρήνων Υδρογόνου, τη δύναµη αυτή ασκεί ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα, µε µορφή παλµού ραδιοσυχνοτήτων RF και µε συχνότητα ίση µε τη χαρακτηριστική συχνότητα µετάπτωσης των πυρήνων αυτών, που σε ένα µαγνητικό πεδίο ενός Tesla ( Gauss) είναι 42,57 MHz. Όταν δηλαδή η συχνότητα της εξωτερικής ακτινοβολίας συντονιστεί (από αυτό προέρχεται και ο όρος πυρηνικός µαγνητικός συντονισµός) µε τη συχνότητα µετάπτωσης ενός είδους πυρήνων, ασκείται πάνω σ' αυτούς µια πρόσθετη δύναµη που αναγκάζει το διάνυσµα ολικής µαγνήτισης του συστήµατος των πυρήνων αυτών να αποκλίνει από την κατεύθυνση z του στατικού µαγνητικού πεδίου και να πέσει τελικά πάνω στο επίπεδο xy.

12 Μόλις διαταραχθεί το σύστηµα από την κατάσταση ισορροπίας και το διάνυσµα µαγνήτισης αποκλίνει έστω και λίγο από την κατεύθυνση του µαγνητικού πεδίου, αρχίζει το ίδιο να περιστρέφεται µε µεταπτωτική κίνηση γύρω από αυτό ενώ, όσο διαρκεί ο παλµός ραδιοσυχνοτήτων (RF pulse), αποκλίνει όλο και περισσότερο προς το επίπεδο xy. Ανάλυση ολικής µαγνήτισης σε επιµήκη µαγνήτιση (Μz) και εγκάρσια µαγνήτιση (Μxy) καθώς εφαρµόζεται παλµός ραδιοσυχνοτήτων που αναγκάζει το διάνυσµα ολικής µαγνήτισης (Μ) να αποκλίνει από τον άξονα z προς το επίπεδο xy

13 Οι συνιστώσες Μ Ζ και Μxy ονοµάζονται επιµήκης µαγνήτιση και εγκάρσια µαγνήτιση αντίστοιχα. Στην κατάσταση ισορροπίας, Μ Ζ = Μ 0 και Mxy = 0. Όταν όµως το σύστηµα διεγερθεί από έναν παλµό ραδιοσυχνοτήτων στη συχνότητα συντονισµού, η Μ Ζ µειώνεται καθώς η Mxy αυξάνεται και περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z µε συχνότητα ω 0. Μετά το τέλος του παλµού, η Μ Ζ επιστρέφει εκθετικά σαν συνάρτηση του χρόνου στην αρχική της τιµή Μ 0, ενώ η Mxy µηδενίζεται επίσης εκθετικά. Ανάλυση ολικής µαγνήτισης σε επιµήκη µαγνήτιση (Μz) και εγκάρσια µαγνήτιση (Μxy) καθώς εφαρµόζεται παλµός ραδιοσυχνοτήτων που αναγκάζει το διάνυσµα ολικής µαγνήτισης (Μ) να αποκλίνει από τον άξονα z προς το επίπεδο xy

14 Καθώς το σύστηµα πυρήνων επιστρέφει στην αρχική κατάσταση ισορροπίας, οι πυρήνες αποβάλλουν ενέργεια εκπέµποντας ακτινοβολία συχνότητας ίση µε τη συχνότητα συντονισµού στη περιοχή ραδιοσυχνοτήτων και µεταφέροντας µέρος της ενέργειας τους στα γύρω µόρια. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται "διαδικασία χαλάρωσης ή αποκατάστασης", ενώ οι ραδιοσυχνότητες που εκπέµπονται από τους πυρήνες καταγράφονται από ένα πηνίο και αποτελούν το σήµα που χρησιµοποιείται στην ανακατασκευή των εικόνων πυρηνικού µαγνητικού συντονισµού. Οι διαδικασίες επιστροφής των δύο συνιστωσών µαγνήτισης στις αρχικές τους τιµές µετά το τέλος του παλµού χαρακτηρίζονται από τις σταθερές χρόνου Τ1 και Τ2 που ονοµάζονται χρόνος επιµήκους µαγνητικής χαλάρωσης και χρόνος εγκάρσιας µαγνητικής χαλάρωσης αντίστοιχα. Τ 1 Τ 2

15 Οι Τ1 και Τ2 δεν είναι ίσες και γενικά η Τ2 είναι µικρότερη της Τ1. Η Τ1 ονοµάζεται και "σταθερά χρόνου χαλάρωσης σπινπλέγµατος" λόγω του ότι ο χρόνος που παίρνει το σύστηµα για να επανέλθει στην κατάσταση ισορροπίας κατά µήκος του άξονα z εξαρτάται από το ρυθµό µε τον οποίο η ενέργεια µεταφέρεται από τους πυρήνες (σπιν) πίσω στο υπόλοιπο πλέγµα. Η Τ2 είναι η σταθερά χρόνου προσωρινής εγκάρσιας µαγνήτισης των πυρήνων. Μετά από ένα παλµό ραδιοσυχνοτήτων που στρέφει το διάνυσµα µαγνήτισης στο επίπεδο xy και αναγκάζει τους πυρήνες να περιστρέφονται συγχρονισµένα (δηλαδή µε την ίδια φάση) γύρω από τον άξονα z, η συµφωνία φάσεων αρχίζει να χάνεται σταδιακά καθώς οι πυρήνες δέχονται την επίδραση διαφόρων τοπικών µαγνητικών πεδίων και αλλάζει η συχνότητα µετάπτωσης, µε αποτέλεσµα σύντοµα να µηδενισθεί η συνισταµένη εγκάρσια µαγνήτιση.

16

17 Η Τ2 είναι ακόµη ενδεικτική της σχέσης µεταξύ της έντασης του εξωτερικού µαγνητικού πεδίου και εκείνης των τοπικών µαγνητικών πεδίων. Επειδή η συµφωνία φάσεων των πυρήνων χάνεται µε το µηχανισµό ανταλλαγής ενέργειας µεταξύ τους, η Τ2 ονοµάζεται επίσης "σταθερά χρόνου χαλάρωσης σπιν-σπιν". Οι Τ1 και Τ2 εξαρτώνται από τη µοριακή δοµή των ιστών, τη φυσική τους κατάσταση (δηλαδή, αν συµπεριφέρονται περισσότερο σαν υγρά ή σαν στερεά), και τις εντάσεις των εσωτερικών µαγνητικών πεδίων. Η παρουσία γειτονικών ατόµων επηρεάζει τοπικά την ένταση του µαγνητικού πεδίου και εποµένως και τη συχνότητα συντονισµού. Αυτές οι µικρές αλλαγές στη συχνότητα συντονισµού χρησιµεύουν στο να χαρακτηρισθεί το χηµικό περιβάλλον αυτών των πυρήνων, κάτι που είναι ιδιαίτερα χρήσιµο στην κλινική διαγνωστική διαδικασία.

18 Το φαινόµενο του NMR µας επιτρέπει να απεικονίσουµε τη συγκέντρωση ρ(x, y) των διαφόρων πυρήνων και ιδιαίτερα του Υδρογόνου, τις τοπικές τιµές των σταθερών χαλάρωσης Τ1 και Τ2 ή και κάποιο συνδυασµό των τριών παραµέτρων. Ενδεικτικά, θα περιγράψουµε παρακάτω µια µόνο από τις τεχνικές αυτές που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την απεικόνιση της συγκέντρωσης (πυκνότητας) των πυρήνων Υδρογόνου στους βιολογικούς ιστούς µια και βασίζεται στη µέθοδο ανακατασκευής εικόνων από προβολές της υπολογιστικής τοµογραφίας. Η µαθηµατική µέθοδος ανακατασκευής της εικόνας είναι ακριβώς η ίδια, όµως ο τρόπος µέτρησης πολλαπλών προβολών της ρ(χ, y) βασίζεται στην καταγραφή και ανάλυση της ακτινοβολίας ραδιοσυχνοτήτων που εκπέµπουν οι διάφοροι πυρήνες καθώς επιστρέφουν στην αρχική τους κατάσταση ισορροπίας µετά την άρση του παλµού ραδιοσυχνοτήτων.

19 Μετά το τέλος του παλµού ραδιοσυχνοτήτων, οι πυρήνες Υδρογόνου επιστρέφουν στην αρχική τους κατάσταση αποβάλλοντας ακτινοβολία µε χαρακτηριστική συχνότητα που καθορίζεται από την ένταση του µαγνητικού πεδίου το οποίο επιδρά στον κάθε πυρήνα. Εποµένως, αν µπορούσαµε να επηρεάσουµε το µαγνητικό πεδίο ούτως ώστε να έχει διαφορετική τιµή σε κάθε σηµείο µιας τοµής του ανθρώπινου σώµατος, οι διεγερµένοι πυρήνες θα είχαν διαφορετική συχνότητα συντονισµού ανάλογα µε τη θέση τους στο χώρο. Αντίστροφα, η θέση κάθε πυρήνα θα ήταν κωδικοποιηµένη µέσω της συχνότητας και το διδιάστατο φάσµα συχνοτήτων θα µας έδινε απ' ευθείας και την χωρική κατανοµή των πυρήνων υπό την µορφή εικόνας της οποίας η ένταση θα αντιπροσώπευε τον αριθµό των πυρήνων που περιέχονται µέσα σε κάθε στοιχειώδη όγκο ιστών.

20 Σε ένα κυλινδρικό δοχείο γεµάτο νερό, εκτός από το στατικό µαγνητικό πεδίο Η ο, εφαρµόζουµε ένα ακόµη µαγνητικό πεδίο Η που έχει την ίδια κατεύθυνση και του οποίου η ένταση αυξάνεται γραµµικά από αριστερά προς τα δεξιά. Έτσι, η ολική ένταση του στατικού µαγνητικού πεδίου σε κάθε οριζόντια θέση είναι γνωστή και ίση µε Η 0 + Η, ενώ η συχνότητα συντονισµού των πυρήνων που περιέχονται σε κάθε µια από τις κάθετες στήλες δίνεται από τη σχέση ω ο = γ(η ο + Η).

21 Μετά τη διέγερση των πυρήνων αυτών µε έναν παλµό ραδιοσυχνοτήτων ευρέως φάσµατος, αυτοί θα αρχίσουν να εκπέµπουν σήµατα σε συγκεκριµένες ραδιοσυχνότητες ανάλογα µε την οριζόντια θέση τους, το µέγεθος των οποίων µειώνεται εκθετικά µε σταθερά χρόνου Τ2. Τα σήµατα αυτά προστίθενται και ανιχνεύονται ταυτόχρονα από ένα πηνίο σαν ένα σύνθετο σήµα. Το φάσµα αυτού του σήµατος, που παίρνουµε µε µετασχηµατισµό Fourier, µας δίνει την ένταση κάθε συχνότητας που αντιστοιχεί στον αριθµό πυρήνων Υδρογόνου που είναι συντονισµένοι στη συγκεκριµένη συχνότητα και εποµένως έχουν την ίδια οριζόντια θέση.

22 Μέθοδος κωδικοποίησης της θέσης των πυρήνων Υδρογόνου, µέσω της συχνότητας συντονισµού, µε την εφαρµογή πρόσθετου µαγνητικού πεδίον µε γραµµικά αυξανόµενη ένταση στην ίδια κατεύθυνση µε εκείνη τον στατικού µαγνητικού πεδίου

23 Μια και η ένταση του µαγνητικού πεδίου είναι γνωστή σε κάθε οριζόντια θέση, η συχνότητα µπορεί εύκολα να µετατραπεί σε οριζόντια απόσταση και το φάσµα συχνοτήτων να ερµηνευθεί και χρησιµοποιηθεί σαν προβολή του αριθµού των πυρήνων στην κάθετη κατεύθυνση. Για αντικείµενα µε σύνθετες κατανοµές πυρήνων Υδρογόνου, µπορούµε να περιστρέψουµε ηλεκτρονικά το µαγνητικό πεδίο Η σε διαφορετικές κατευθύνσεις και να πάρουµε πολλαπλές προβολές της κάθε κατανοµής... Από τις προβολές αυτές µπορούµε να ανακατασκευάσουµε και να απεικονίσουµε την κατανοµή των πυρήνων Υδρογόνου χρησιµοποιώντας τις µεθόδους της υπολογιστικής τοµογραφίας. I(f n ) [H] f n x n f n

24 Με βάση όσα ξέρουµε σήµερα, η διαγνωστική απεικόνιση µε NMR δεν έχει αρνητικές επιδράσεις στον ανθρώπινο οργανισµό και δίνει πληροφορίες που είναι συµπληρωµατικές εκείνων που παίρνουµε µε άλλες διαγνωστικές µεθόδους. Σηµαντική ακόµη θεωρείται η δυνατότητα που µας δίνει η µέθοδος αυτή, να απεικονίζουµε τους πυρήνες διαφόρων ατοµικών στοιχείων επιλέγοντας την κατάλληλη συχνότητα του παλµού διέγερσης ούτως ώστε αυτή να είναι ίση µε τη συχνότητα µετάπτωσης του πυρήνα που µας ενδιαφέρει. Το να συντονίσουµε το σύστηµα µας στη συχνότητα µετάπτωσης κάποιου πυρήνα µοιάζει µε το συντονισµό του ραδιοφώνου µας στη συχνότητα εκποµπής κάποιου ραδιοφωνικού σταθµού.

25 Άλλοι πυρήνες µε ιδιαίτερη κλινική σηµασία είναι αυτοί του ισοτόπου 31Ρ και του 23Na που, σε µαγνητικό πεδίο ενός Tesla (10000 gauss), έχουν συχνότητες συντονισµού 17,24 MHz και 11,26 MHz αντίστοιχα. Αυτές οι συχνότητες, όπως και του πυρήνα Υδρογόνου, είναι στη δέσµη ραδιοσυχνοτήτων του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος και δεν επιδρούν στα µόρια ζώντων οργανισµών. υστυχώς, η ευαισθησία των περισσοτέρων πυρήνων στο φαινόµενο του NMR καθώς και η συγκέντρωση τους στους βιολογικούς ιστούς είναι πολύ µικρότερη από εκείνη του πυρήνα Υδρογόνου και δεν δίνουν αρκετά ισχυρό σήµα για την ανακατασκευή εικόνων της ίδιας διαγνωστικής ποιότητας.

26 Σήµερα, η απεικονιστική αυτή µέθοδος βασίζεται κυρίως στο µαγνητικό συντονισµό των πυρήνων Υδρογόνου, οι οποίοι βρίσκονται σε µεγάλη αφθονία στο ανθρώπινο σώµα. Το σώµα µας αποτελείται κατά 75% από νερό, κάθε µόριο του οποίου έχει δύο πυρήνες Υδρογόνου, ενώ η κατανοµή νερού και άλλων µικρών µορίων που είναι πλούσια σε Υδρογόνο (π.χ. λιπίδια) αλλοιώνεται σε αρκετές παθολογικές καταστάσεις. Ο µεγάλος αριθµός µορίων νερού έχει ως αποτέλεσµα να έχουµε εικόνες µεγάλης ευκρίνειας.

27 MRI k-space reconstruction The concept of the magnetic moment µ (or spin) of atomic nuclei in the presence of a magnetic field B 0. The motion of µ about B 0 is known as precession. B 0 µ

28 MRI k-space reconstruction Due to the weak strength of static nuclear moment of 1H (the ratio of the induced magnetisation to the applied field is only 4x10-9 ) resonance techniques have been developed to enable the measurement of these small magnetic signals (Bloch). The essential idea is to measure the magnetic moment whilst it oscillates in a plane perpendicular to a static field. By tilting the moment away from the static field it is possible to measure the effects of the torque on the moment by observing the change in the oscillation (precession). In turn, the frequency of rotation, ωo is proportional to the field: ω o = -γb o where γ, the gyromagnetic ratio, is a constant that characterises a specific nucleus and Bo is the magnetic field strength (and defines the z-axis of the field geometry). This precession frequency is known as the Larmor frequency.

29 MRI k-space reconstruction As the precessing moments constitute a time-varying flux, a measurable voltage is produced which can be detected using a loop antenna arranged to receive the x,y components of induction. The actual tilting of the proton magnetization away from the static field is achieved via a weak rotating radiofrequency (RF) field. This rotating field induces a fictitious field in the z direction with a strength of ω/γ. By adjusting the frequency of the RF field to be equivalent to ω o, the effects of the Bo field are cancelled out. However the Larmor equation still holds true within the reference frame of the rotating moment and therefore the frequency of excitation is γb 1, where B 1 is the amplitude of the modulating RF field.

30 MRI k-space reconstruction

31 MRI k-space reconstruction To maximise the measurement of this signal, the proton spins are flipped completely into the transverse plane via a π/2 RF pulse (which requires γb o τ = π/2, where τ is the duration of the pulse). Similarly, a RF pulse that rotates spines by π radians can be used to invert the spin characteristics and is used to refocus transverse (εγκάρσια, κάθετα) spins that have de-phased due to the primary B o field inhomogeneity. This technique is called spin echo and is an important pulse sequence for clinical MRI imaging.

32 MRI k-space reconstruction B 0 z M 0 z x y x=b 1 y M 0 The rotating coordinate system of the MRI acquisition process. On the left, nuclei spins precessing around an external field B 0. There is no net magnetisation in the xy plane. On the right, after an RF pulse B1, the magnetisation of the spins (M 0 ) is tipped away from equilibrium. The spins are still precessing abound B 0, but the precession is no longer random a net magnetisation has been produced in the xy plane. This case is illustrate for a 90 0 pulse.

33 MRI k-space reconstruction In order to reconstruct a 2D or 3D map of the distribution of the different spin characteristics (and hence differentiate tissues that have individual molecular properties), the magnetic field is spatially varied to enable the location of individual spins to be geometrically resolved. This is achieved by using a magnetic field gradient which causes each region in the volume of tissue to oscillate at a distinct frequency. Fourier analysis is then used to reconstruct a map of the different spins using an analysis framework called k-space.

34 MRI k-space reconstruction To generate an image map from the distribution of spins, a volume integral is received from what can be understood as an array of oscillators. By ensuring that the phase signature of each oscillator is individually identifiable, a unique location can be assigned to each spin and hence reconstruct an image. During signal acquisition, the applied magnetic field is oriented in the z direction with individual spins precessing in the xy plane at the Larmor frequency. Therefore a spin at position r=(x,y,z) has a unique phase θ that describes the spin angle relative to the y axis in the xy plane. θ ( r, t) = γ B z ( r, τ ). dτ t 0 where B Z (r,t) is the z component of the instantaneous local magnetic flux density. This equation is ideal and assumes that there is no x or y field components.

35 MRI k-space reconstruction A coil large enough to receive a time-varying flux uniformly from the total volume of spines produces and electro-motive force (EMF-ηλεκτρεγερτική δύναµη) proportional to: d iθ ( r, t) s( t) M e dr dt ( r). V where M(r) is the equilibrium moment density at each point r. In practical terms, the objective is to superimpose a linear field gradient on the static Bo field. This field is oriented in the z direction with a magnitude that varies linearly with coordinate direction. This field is described by the vector field xg ẑ x where ẑ is the unit vector in the z direction.

36 MRI k-space reconstruction In general, the gradient is xg x + yg y + zg )ẑ or G. rzˆ ( z As these gradients vary with time, the total field in the z direction is: B z ( r, t) = B0 + G( t). r and the received signal is: iγ d iγb0t 0 s( t) e M ( ) e dt r V t G( τ ). r. dτ. dr

37 y MRI k-space reconstruction Selected slice x z MRI Magnet Slice selection field gradient z 1 z 2 G z RF Pulse t ω 1 ω 2 A diagram showing the use of a magnetic gradient to localise the excitation of nuclei to those in a single slice of tissue/patient. A sinc pulse is modulated to the centre slice frequency resulting in a signal that contains frequencies ω1<ω<ω2. ω

38 MRI k-space reconstruction The centre frequency γbo is always larger than the bandwidth of the received signal. Therefore the derivative operation is approximately equivalent to multiplication by -iωo. The signal is demodulated by the waveform to obtain the baseband signal: iγ 0 S( t) iω M ( r) e Substituting for the integral in the exponential: the received baseband signal can be written as: 0 V t k( t) = γ G( τ ). dτ S( t) V 0 M ( r) e ik ( t). r G( τ ). r. dτ Equation is clearly the Fourier transform of M(r) evaluated at k(t). t. dr. dr

39 MRI k-space reconstruction In turn, S(t) scans the spatial frequencies of the function M(r): S( t) I( k( t)) remember t k( t) = γ G( τ ). dτ 0 where I(k) is the 3D Fourier transformation of the distribution M(r). Thus the actual volume (image) acquisition of MRI can be reconstructed with linear gradients as a scan of k-space or the spatial Fourier transform of the image. After a region of k-space is scanned, the image M(r) is reconstructed using an inverse Fourier transform. There are may ways of scanning/populating k-space and some of the more novel MRI techniques use interesting frequencydomain tricks and shortcuts to improve image quality and acquisition speed.

40 MRI k-space reconstruction Many different kinds of gradient waveforms can be used to scan k-space with different kinds of image reconstruction characteristics. One of the more common techniques (which is also easy to illustrate) is two-dimensional Fourier transform imaging and involves traversing through k-space along horizontal trajectories covering a 2D rectilinear grid. The horizontal lines are acquired using a discrete number of excitations (256 or 512 is common) separated by a relaxation time TR, which is determined by the required image contrast, RF flip angle, and the T-1 (spin-lattice relaxation) of the desired components of the image.

41 MRI k-space reconstruction These horizontal scans through k-space are defined by a kind of raster offset in ky (by a variable area y-gradient pulse) which are called phase encodes because the adjust the phase of the signal, rather than the frequency. Image reconstruction is performed by acquiring horizontally (with a constant x gradient) for each phase encode.

42 MRI k-space reconstruction k y Slice Selection RF Phase encode Readout k x G z G y Phase encode G x Analogue to Digital Conversion Readout The diagram on the left shows the scanning pattern of the simple 2D Fourier transform imaging sequence. The right is a timing diagram for the gradient and RF waveforms that produce this pattern (only a few lines of the horizontal k- space are shown). The phase-encode period initiates each acquisition at a different ky and at -kx(max).

43 MRI k-space reconstruction k y RF Slice Selection Phase encode Readout k x G z G y Phase encode G x Analogue to Digital Conversion Readout Data is collected during each horizontal traversal. After all k-space lines have been filled, a 2D fast Fourier transform (FFT) is used to reconstruct the image. The RF pulse and the z gradient waveform together restrict the acquisition image to a particular slice through the patient.

44 Αντιπροσωπευτικές εικόνες πυρήνων Υδρογόνου µε µεθόδους απεικόνισης βασισµένες στο φαινόµενο πυρηνικού µαγνητικού συντονισµού α) Τοµή ανθρωπινου εγκεφάλου, β) Τοµή οφθαλµού, και γ) Τοµή θώρακα που δείχνει τη θωρακοσφυική µοίρα της σπονδυλικής στήλης Η καρδιά φαίνεται σαν περιοχή χαµηλής έντασης (µαύρης) γιατί οι πυρήνες Υδρογόνου που έχουν δεχθει τον παλµό ραδιοσυχνοτήτων και βρίσκονται σε κατάσταση συντονισµού ρέουν µε το αίµα εκτός τοµής, και αντικαθίστανται από άλλους πυρήνες που δεν εκπέµπουν σήµα

45 Ανακατασκευή τοµής του εγκεφάλου µε τη µέθοδο υπολογιστικής τοµογραφίας µέσω δέσµης ακτινών Χ (αριστερά) και µε τη µέθοδο πυρηνικού µαγνητικού συντονισµού (δεξιά).

46 Τ 1 Τ 2

HY Ιατρική Απεικόνιση. Διδάσκων: Kώστας Μαριάς

HY Ιατρική Απεικόνιση. Διδάσκων: Kώστας Μαριάς HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση Διδάσκων: Kώστας Μαριάς 11. MRI #2 MRI supplement Για να μετρήσουμε τη μαγνήτιση του ιστού πρέπει να προκαλέσουμε κάποια μεταβολή. z B 0 Θυμίζουμε ότι μόνο μεταβαλλόμενο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR

Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR Βασικές αρχές της Φασµατοσκοπίας NMR Φώτης Νταής Καθηγητής Πανεπιστηµίου Κρήτης, Τµήµα Χηµείας Φασµατοσκοπία NMR Ο Πυρηνικός µαγνητικός Συντονισµός (NMR) είναι ένα φαινόµενο που συµβαίνει όταν πυρήνες

Διαβάστε περισσότερα

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3) Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις V: Υπολογιστική Τομογραφία CT, MRI, PET

Σημειώσεις V: Υπολογιστική Τομογραφία CT, MRI, PET HY 673 - Ιατρική Απεικόνιση Στέλιος Ορφανουδάκης Κώστας Μαριάς Σημειώσεις V: Υπολογιστική Τομογραφία CT, MRI, PET Σεπτέμβριος 2003-Φεβρουάριος 2004 Υπολογιστική Τομογραφία α. Γενικές Αρχές: Στην κλασική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς

HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση ιδάσκων: Kώστας Μαριάς 9. Υπολογιστική τοµογραφία και 3 απεικόνιση-περίληψη/συµπεράσµατα Για την Ιστορία Nobel prizes Roentgen (1901): Discovery of X-rays X Hounsfield & Cormack

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

ιέγερση πυρήνων να εφαρµόζεται κάθετα προς το Β 0 B 1 = C * cos (ω o

ιέγερση πυρήνων να εφαρµόζεται κάθετα προς το Β 0 B 1 = C * cos (ω o ιέγερση πυρήνων Όταν η µαγνήτιση βρίσκεται στον άξονα, τότε λέµε ότι το σύστηµα των σπιν βρίσκεται στην κατάσταση θερµικής ισορροπίας Για να διεγερθούν οι πυρήνες πρέπει να απορροφήσουν ενέργεια από κάποια

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

Φασµατοσκοπία NMR. Απόστολος Σπύρος Γ-207, ισόγειο κτιρίου Χηµείας. Τηλ

Φασµατοσκοπία NMR. Απόστολος Σπύρος Γ-207, ισόγειο κτιρίου Χηµείας. Τηλ Φασµατοσκοπία NMR Απόστολος Σπύρος Γ-207, ισόγειο κτιρίου Χηµείας Τηλ.. 2810 545085 aspyros@chemistry.uoc.gr http://www.chemistry.uoc.gr/aspyros F. Bloch, W. W. Hansen, Martin Packard. Nuclear Induction.

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗ κ. ΚΟΥΠΠΑΡΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗ κ. ΚΟΥΠΠΑΡΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗ κ. ΚΟΥΠΠΑΡΗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Σημειώσεις από τα μαθήματα Φαρμακευτικής Ανάλυσης του καθηγητή κ. Ιωάννη Κουντουρέλλη ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ 12 13 Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy

Διαβάστε περισσότερα

Derivation of Optical-Bloch Equations

Derivation of Optical-Bloch Equations Appendix C Derivation of Optical-Bloch Equations In this appendix the optical-bloch equations that give the populations and coherences for an idealized three-level Λ system, Fig. 3. on page 47, will be

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Πυρηνική Σταθερότητα, σπιν & μαγνητική ροπή

Διάλεξη 2: Πυρηνική Σταθερότητα, σπιν & μαγνητική ροπή Διάλεξη 2: Πυρηνική Σταθερότητα, σπιν & μαγνητική ροπή Πυρηνική Σταθερότητα Ο πυρήνας αποτελείται από πρωτόνια και νετρόνια τα οποία βρίσκονται συγκεντρωμένα σε έναν πάρα πολύ μικρό χώρο. Εύκολα καταλαβαίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς

HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση ιδάσκων: Kώστας Μαριάς 7. Υπολογιστική τοµογραφία Η ανάγκη απεικόνισης στις 3- ιαστάσεις Στην κλασική ακτινολογία η τρισδιάστατη ανθρώπινη ανατοµία προβάλλεται πάνω στο ακτινογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισμός Υδρογόνου: Απεικόνιση και Διαχωρισμός Νερού και Λιπιδίων

Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισμός Υδρογόνου: Απεικόνιση και Διαχωρισμός Νερού και Λιπιδίων Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισμός Υδρογόνου: Απεικόνιση και Διαχωρισμός Νερού και Λιπιδίων Ελένη Καλδούδη Προσκεκλημένη Ομιλία στο Εθνικό Κέντρο Έρευνας Φυσικών Επιστημών ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Αθήνα, 23 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα

1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα IPHO_42_2011_EXP1.DO Experimental ompetition: 14 July 2011 Problem 1 Page 1 of 5 1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα Για ένα πυκνωτή χωρητικότητας ο οποίος είναι μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT -

ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT - ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT - Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Διαφορετικοί Τύποι Μετασχηµατισµού Fourier Α. ΣΚΟΔΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13 Φασματοσκοπία

Κεφάλαιο 13 Φασματοσκοπία Κεφάλαιο 13 Φασματοσκοπία Φασματοσκοπία υπερύθρου Φασματοσκοπία ορατού-υπεριώδους Φασματοσκοπία πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού Φασματοσκοπία μάζας 13.1 Οι αρχές της μοριακής φασματοσκοπίας: Ηλεκτρομαγνητική

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal

Διαβάστε περισσότερα

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν.

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Experiental Copetition: 14 July 011 Proble Page 1 of. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Ένα μικρό σωματίδιο μάζας (μπάλα) βρίσκεται σε σταθερή απόσταση z από το πάνω μέρος ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ενόργανη Ανάλυση Εργαστήριο. Φασματοσκοπία πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού Nuclear Magnetic Resonance spectroscopy, NMR. Πέτρος Α.

Ενόργανη Ανάλυση Εργαστήριο. Φασματοσκοπία πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού Nuclear Magnetic Resonance spectroscopy, NMR. Πέτρος Α. Ενόργανη Ανάλυση Εργαστήριο Φασματοσκοπία πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού Πέτρος Α. Ταραντίλης 1 Βασικές αρχές Που βασίζεται; Στη μέτρηση της απορρόφησης της ακτινοβολίας στην περιοχή των ραδιοσυχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

Ογκομέτρηση του Ιππόκαμπου και της Αμυγδαλής για Κατάθλιψη και Αλτσχάιμερ. Σύγκριση με τη Φασματοσκοπία.

Ογκομέτρηση του Ιππόκαμπου και της Αμυγδαλής για Κατάθλιψη και Αλτσχάιμερ. Σύγκριση με τη Φασματοσκοπία. Ογκομέτρηση του Ιππόκαμπου και της Αμυγδαλής για Κατάθλιψη και Αλτσχάιμερ. Σύγκριση με τη Φασματοσκοπία. Δημητρίου Ελένη Αθήνα Ιούλιος 2012 Επιβλέπων Καθηγητής: κ. Αλεξόπουλος Θεόδωρος 0 .. Δημητρίου Ελένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

PP #1 Μηχανικές αρχές και η εφαρµογή τους στην Ενόργανη Γυµναστική

PP #1 Μηχανικές αρχές και η εφαρµογή τους στην Ενόργανη Γυµναστική PP #1 Μηχανικές αρχές και η εφαρµογή τους στην Ενόργανη Γυµναστική Σηµαντικοί παράγοντες στην εκτέλεση από µηχανικής απόψεως ικανότητα απόκτησης ύψους ικανότητα περιστροφής ικανότητα αιώρησης ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Macromechanics of a Laminate. Textbook: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw

Macromechanics of a Laminate. Textbook: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw Macromechanics of a Laminate Tetboo: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw Figure 4.1 Fiber Direction θ z CHAPTER OJECTIVES Understand the code for laminate stacing sequence Develop relationships

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Write your name here Surname Other names Edexcel GE entre Number andidate Number Greek dvanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Thursday 16 May 2013 Morning Time: 2 hours 45 minutes

Διαβάστε περισσότερα

Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1)

Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1) Name: Date: Nuclear Physics 5. A sample of radioactive carbon-4 decays into a stable isotope of nitrogen. As the carbon-4 decays, the rate at which the amount of nitrogen is produced A. decreases linearly

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές λειτουργίας απεικονιστικών μηχανημάτων Παραγωγή Ιατρικής Εικόνας

Αρχές λειτουργίας απεικονιστικών μηχανημάτων Παραγωγή Ιατρικής Εικόνας Αρχές λειτουργίας απεικονιστικών μηχανημάτων Παραγωγή Ιατρικής Εικόνας 2. Μαγνητική Τομογραφία, Υπέρηχοι Παναγιώτης Τσίγκανος ΕΔΙΠ Κλινικό Εργαστήριο Ακτινολογίας Μαγνητική Τομογραφία MRI Magnetic Resonance

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γιπλυμαηική Δπγαζία. «Ανθπυποκενηπικόρ ζσεδιαζμόρ γέθςπαρ πλοίος» Φοςζιάνηρ Αθανάζιορ. Δπιβλέπυν Καθηγηηήρ: Νηθφιανο Π. Βεληίθνο

Γιπλυμαηική Δπγαζία. «Ανθπυποκενηπικόρ ζσεδιαζμόρ γέθςπαρ πλοίος» Φοςζιάνηρ Αθανάζιορ. Δπιβλέπυν Καθηγηηήρ: Νηθφιανο Π. Βεληίθνο ΔΘΝΙΚΟ ΜΔΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΙΟ ΥΟΛΗ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΥΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ Γιπλυμαηική Δπγαζία «Ανθπυποκενηπικόρ ζσεδιαζμόρ γέθςπαρ πλοίος» Φοςζιάνηρ Αθανάζιορ Δπιβλέπυν Καθηγηηήρ: Νηθφιανο Π. Βεληίθνο Σπιμελήρ Δξεηαζηική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΤΗΣ ΝΟΣΟΥ ΑΛΤΣΧΑΙΜΕΡ ΜΕ FMRI

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΤΗΣ ΝΟΣΟΥ ΑΛΤΣΧΑΙΜΕΡ ΜΕ FMRI ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΙΑΓΝΩΣΗΣ ΤΗΣ ΝΟΣΟΥ ΑΛΤΣΧΑΙΜΕΡ ΜΕ FMRI ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Φασματοσκοπίας UV/ορατού Φασματοσκοπίας υπερύθρου Φασματοσκοπίας άπω υπερύθρου / μικροκυμάτων Φασματοσκοπίας φθορισμού Φασματοσκοπίας NMR

Φασματοσκοπίας UV/ορατού Φασματοσκοπίας υπερύθρου Φασματοσκοπίας άπω υπερύθρου / μικροκυμάτων Φασματοσκοπίας φθορισμού Φασματοσκοπίας NMR Φασματοσκοπία Ερμηνεία & εφαρμογές : Φασματοσκοπίας UV/ορατού Φασματοσκοπίας υπερύθρου Φασματοσκοπίας άπω υπερύθρου / μικροκυμάτων Φασματοσκοπίας φθορισμού Φασματοσκοπίας NMR Ποια φαινόμενα παράγουν τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Démographie spatiale/spatial Demography

Démographie spatiale/spatial Demography ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Démographie spatiale/spatial Demography Session 1: Introduction to spatial demography Basic concepts Michail Agorastakis Department of Planning & Regional Development Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

BIOXHMEIA, TOMOΣ I ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ

BIOXHMEIA, TOMOΣ I ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ BIOXHMEIA, TOMOΣ I ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ - ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ 5.1 ΈΝΑ ΝΟΥΚΛΕΙΝΙΚΟ ΟΞΥ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΌ ΤΕΣΣΕΡΑ ΕΙΔΗ ΒΑΣΕΩΝ, ΠΟΥ ΠΡΟΣΔΕΝΟΝΤΑΙ ΣΕ ΈΝΑ ΚΟΡΜΟ ΣΑΚΧΑΡΩΝ ΦΩΣΦΟΡΙΚΩΝ 5.2 ΈΝΑ ΖΕΥΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ: Από το πρωτόνιο στη βιοχημική ανάλυση του ανθρώπινου οργανισμού. Αναστάσιος Καρατόπης

ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ: Από το πρωτόνιο στη βιοχημική ανάλυση του ανθρώπινου οργανισμού. Αναστάσιος Καρατόπης e-περιοδικό Επιστήμης & Τεχνολογίας 41 ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ: Από το πρωτόνιο στη βιοχημική ανάλυση του ανθρώπινου οργανισμού Αναστάσιος Καρατόπης Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων, ΤΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog

The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog Lecture 12: Introduction to Analytical Mechanics of Continuous Systems Lagrangian Density for Continuous Systems The kinetic and potential energies as T = 1 2 i η2 i (1 and V = 1 2 i+1 η i 2, i (2 where

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE)

EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) Performing Static Analysis 1 Class Name: The fully qualified name of the specific class Type: The type of the class

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Συχνότητας

Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Συχνότητας Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Συχνότητας Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι (22Y411) ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Ανάλυση & Σύνθεση Συχνοτήτων Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι (22Y411) ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

PP #6 Μηχανικές αρχές και η εφαρµογή τους στην Ενόργανη Γυµναστική

PP #6 Μηχανικές αρχές και η εφαρµογή τους στην Ενόργανη Γυµναστική PP #6 Μηχανικές αρχές και η εφαρµογή τους στην Ενόργανη Γυµναστική Υπολογισµός Γωνιών (1.2, 1.5) (2.0, 1.5) θ 3 θ 4 θ 2 θ 1 (1.3, 1.2) (1.7, 1.0) (0, 0) " 1 = tan #1 2.0 #1.7 1.5 #1.0 $ 310 " 2 = tan #1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΗ ΙΣΧΥ ΣΕ Φ/Β ΠΑΡΚΟ 80KWp

ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΗ ΙΣΧΥ ΣΕ Φ/Β ΠΑΡΚΟ 80KWp ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΗ ΙΣΧΥ

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΑΛΜΙΚΟ ΠΥΡΗΝΙΚΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ (NMR)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΑΛΜΙΚΟ ΠΥΡΗΝΙΚΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ (NMR) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΑΛΜΙΚΟ ΠΥΡΗΝΙΚΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ (NMR) Μιχάλης Φαρδής Ινστιτούτο Νανοεπιστήμης & Νανοτεχνολογίας ΕΚΕΦΕ Δημόκριτος Εισαγωγή Επίδραση της ακτινοβολίας στην ύλη Ο Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Περιοχή διαγωνισμού Rethink Athens

Περιοχή διαγωνισμού Rethink Athens Περιοχή διαγωνισμού Rethink Athens Πρόγραμμα : Statistical_Analysis_1.prg Ανάλυση : 28/06/2012 13:05 Κατάλογος : C:\Workspace\Planning\Mst\2010\Statistics\Analysis_5\ Vesrion : 2.8.0, 20-06-2011 Τα κοινά

Διαβάστε περισσότερα

wave energy Superposition of linear plane progressive waves Marine Hydrodynamics Lecture Oblique Plane Waves:

wave energy Superposition of linear plane progressive waves Marine Hydrodynamics Lecture Oblique Plane Waves: 3.0 Marine Hydrodynamics, Fall 004 Lecture 0 Copyriht c 004 MIT - Department of Ocean Enineerin, All rihts reserved. 3.0 - Marine Hydrodynamics Lecture 0 Free-surface waves: wave enery linear superposition,

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Εργασία ηµιουργία Εκπαιδευτικού Παιχνιδιού σε Tablets Καλλιγάς ηµήτρης Παναγιώτης Α.Μ.: 1195 Επιβλέπων καθηγητής: ρ. Συρµακέσης Σπύρος ΑΝΤΙΡΡΙΟ 2015 Ευχαριστίες Σ αυτό το σηµείο θα ήθελα να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. του Γεράσιμου Τουλιάτου ΑΜ: 697

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. του Γεράσιμου Τουλιάτου ΑΜ: 697 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ του Γεράσιμου Τουλιάτου

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή Εργασι α «Εκτι μήσή τής ποιο τήτας εικο νων με τήν χρή σή τεχνήτων νευρωνικων δικτυ ων»

Πτυχιακή Εργασι α «Εκτι μήσή τής ποιο τήτας εικο νων με τήν χρή σή τεχνήτων νευρωνικων δικτυ ων» Ανώτατο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Πτυχιακή Εργασι α «Εκτι μήσή τής ποιο τήτας εικο νων με τήν χρή σή τεχνήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυρήνας του Ατόμου

Ο Πυρήνας του Ατόμου 1 Σκοποί: Ο Πυρήνας του Ατόμου 15/06/12 I. Να δώσει μία εισαγωγική περιγραφή του πυρήνα του ατόμου, και της ενέργειας που μπορεί να έχει ένα σωματίδιο για να παραμείνει δέσμιο μέσα στον πυρήνα. II. III.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE

Διαβάστε περισσότερα

UDZ Swirl diffuser. Product facts. Quick-selection. Swirl diffuser UDZ. Product code example:

UDZ Swirl diffuser. Product facts. Quick-selection. Swirl diffuser UDZ. Product code example: UDZ Swirl diffuser Swirl diffuser UDZ, which is intended for installation in a ventilation duct, can be used in premises with a large volume, for example factory premises, storage areas, superstores, halls,

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

EE101: Resonance in RLC circuits

EE101: Resonance in RLC circuits EE11: Resonance in RLC circuits M. B. Patil mbatil@ee.iitb.ac.in www.ee.iitb.ac.in/~sequel Deartment of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay I V R V L V C I = I m = R + jωl + 1/jωC

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram?

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram? HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? The point on the horizontal axis such that of the area under the histogram lies to the left of that point (and to the right) What

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Πτυχιακή Εργασία Φοιτητής: ΜIΧΑΗΛ ΖΑΓΟΡΙΑΝΑΚΟΣ ΑΜ: 38133 Επιβλέπων Καθηγητής Καθηγητής Ε.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΓΗΜΙΑ ΔΜΠΟΡΙΚΟΤ ΝΑΤΣΙΚΟΤ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ

ΑΚΑΓΗΜΙΑ ΔΜΠΟΡΙΚΟΤ ΝΑΤΣΙΚΟΤ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΑΚΑΓΗΜΙΑ ΔΜΠΟΡΙΚΟΤ ΝΑΤΣΙΚΟΤ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ ΘΔΜΑ: Μειέηε θαη θαηαζθεπή κεηαηξνπέα DC DC γηα ην εξγαζηήξην ειεθηξηθώλ κεραλώλ. ΠΟΤΓΑΣΔ :Βαιαβαλίδεο Υξήζηνο Δπζηαζίνπ Βαζίιεηνο ΔΠΙΒΛΔΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ ΒΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΙΟΜΕΤΡΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

Graded Refractive-Index

Graded Refractive-Index Graded Refractive-Index Common Devices Methodologies for Graded Refractive Index Methodologies: Ray Optics WKB Multilayer Modelling Solution requires: some knowledge of index profile n 2 x Ray Optics for

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. «Θεσμικό Πλαίσιο Φωτοβολταïκών Συστημάτων- Βέλτιστη Απόδοση Μέσω Τρόπων Στήριξης»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. «Θεσμικό Πλαίσιο Φωτοβολταïκών Συστημάτων- Βέλτιστη Απόδοση Μέσω Τρόπων Στήριξης» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΑΙΟΥ «Θεσμικό Πλαίσιο Φωτοβολταïκών Συστημάτων- Βέλτιστη Απόδοση Μέσω Τρόπων Στήριξης» Διπλωματική

Διαβάστε περισσότερα

Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας

Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας Η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην καθημερινή γλώσσα και την επιστημονική ορολογία: παράδειγμα από το πεδίο της Κοσμολογίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αριστείδης Κοσιονίδης Η κατανόηση των εννοιών ενός επιστημονικού πεδίου απαιτεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ. «Σχεδίαση, ανάπτυξη και κλινική εφαρμογή πηνίων φασικής συνάφειας για απεικόνιση και φασματοσκοπία μαγνητικού συντονισμού»

ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ. «Σχεδίαση, ανάπτυξη και κλινική εφαρμογή πηνίων φασικής συνάφειας για απεικόνιση και φασματοσκοπία μαγνητικού συντονισμού» Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Σχολή Μηχανολόγων Μηχ. Διαπανεπιστημιακό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

Υπλογιστικός Αξονικός Τοµογράφος

Υπλογιστικός Αξονικός Τοµογράφος Υπλογιστικός Αξονικός Τοµογράφος Υπολογιστικός Αξονικός Τοµογράφος Η Υπολογιστική Τοµογραφία ή Αξονική Τοµογραφία, έχει διεθνώς επικρατήσει από τα αρχικά των αγγλικών λέξεων Computed Tomography. Θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Μελέτη των υλικών των προετοιμασιών σε υφασμάτινο υπόστρωμα, φορητών έργων τέχνης (17ος-20ος αιώνας). Διερεύνηση της χρήσης της τεχνικής της Ηλεκτρονικής Μικροσκοπίας

Διαβάστε περισσότερα

(C) 2010 Pearson Education, Inc. All rights reserved.

(C) 2010 Pearson Education, Inc. All rights reserved. Connectionless transmission with datagrams. Connection-oriented transmission is like the telephone system You dial and are given a connection to the telephone of fthe person with whom you wish to communicate.

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΝΑΠΣΤΞΖ ΓΠ ΚΑΗ ΥΩΡΗΚΖ ΑΝΑΛΤΖ ΜΔΣΔΩΡΟΛΟΓΗΚΩΝ ΓΔΓΟΜΔΝΩΝ ΣΟΝ ΔΛΛΑΓΗΚΟ ΥΩΡΟ»

«ΑΝΑΠΣΤΞΖ ΓΠ ΚΑΗ ΥΩΡΗΚΖ ΑΝΑΛΤΖ ΜΔΣΔΩΡΟΛΟΓΗΚΩΝ ΓΔΓΟΜΔΝΩΝ ΣΟΝ ΔΛΛΑΓΗΚΟ ΥΩΡΟ» ΓΔΩΠΟΝΗΚΟ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΑΘΖΝΩΝ ΣΜΗΜΑ ΑΞΙΟΠΟΙΗΗ ΦΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΣΟΜΕΑ ΕΔΑΦΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΥΗΜΕΙΑ ΕΙΔΙΚΕΤΗ: ΕΦΑΡΜΟΓΕ ΣΗ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΟΤ ΦΤΙΚΟΤ ΠΟΡΟΤ «ΑΝΑΠΣΤΞΖ ΓΠ ΚΑΗ ΥΩΡΗΚΖ ΑΝΑΛΤΖ ΜΔΣΔΩΡΟΛΟΓΗΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα