HY Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς

Transcript

1 HY Ιατρική Απεικόνιση ιδάσκων: Kώστας Μαριάς

2 10. MRI

3 Μαγνητική Ροπή τα βασικά. The magnetic moment can be considered to be a vector quantity with direction perpendicular to the current loop in the right-hand-rule direction. The torque is given by As seen in the geometry of a current loop, this torque tends to line up the magnetic moment with the magnetic field B, so this represents its lowest energy configuration. The potential energy associated with the magnetic moment is so that the difference in energy between aligned and antialigned is These relationships for a finite current loop extend to intrinsic magnetic moment associated with electron spin and nuclear magnetic moments.

4 Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισµός Η φασµατοσκοπία µε πυρηνικό µαγνητικό συντονισµό ή NMR (Nuclear Magnetic Resonance) θεµελιώθηκε πειραµατικά από τους Felix Bloch του Πανεπιστηµίου Stanford και Edward M. Purcell του Πανεπιστηµίου Ηarvard, δουλειά για την οποία οι ερευνητές αυτοί πήραν το βραβείο Νόµπελ του Ήταν γνωστό από τη δεκαετία του 1920 ότι οι πυρήνες ορισµένων ατοµικών στοιχείων ( 1 H, 31 Ρ, 19 F, 23 Na, 13 C, και 14 Ν) που έχουν περιττό αριθµό πρωτονίων ή νετρονίων συµπεριφέρονται ουσιαστικά σαν µικροί µαγνήτες µε χαρακτηριστική µαγνητική ροπή. Στη φυσική τους κατάσταση, περιστρέφονται γύρω από τον άξονα τους και η κατεύθυνση του άξονα κάθε µικρού µαγνήτη είναι τυχαία µε αποτέλεσµα η συνισταµένη µαγνητική ροπή να είναι µηδέν.

5 Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισµός Όταν όµως ένας βιολογικός ιστός που περιέχει τέτοιους πυρήνες βρεθεί υπό την επίδραση στατικού µαγνητικού πεδίου, οι πυρήνες αυτοί συµπεριφέρονται όπως η γνωστή µας σβούρα κάτω από την επίδραση του πεδίου βαρύτητας. Το διάνυσµα µαγνητικής ροπής του κάθε πυρήνα δεν παραµένει στατικό και ευθυγραµµισµένο µε την κατεύθυνση του µαγνητικού πεδίου, αλλά περιστρέφεται γύρω από τον άξονα του πεδίου αυτού µε µια χαρακτηριστική κίνηση που ονοµάζεται µετάπτωση (precession) ω ο = γh o Μεταπτωτική κίνηση πυρήνων µε περιττό αριθµό πρωτονίων ή νετρονίων γύρω από την κατεύθυνση στατικού µαγνητικού πεδίου

6 Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισµός Η συχνότητα µετάπτωσης, γνωστή επίσης σαν συχνότητα Larmor, είναι ανάλογη της έντασης του µαγνητικού πεδίου και διαφέρει από πυρήνα σε πυρήνα. Συγκεκριµένα, η γωνιακή συχνότητα µετάπτωσης ω o δίνεται από τη σχέση ω ο = γh o όπου Η ο είναι η ένταση του στατικού µαγνητικού πεδίου και γ είναι µια σταθερά που ονοµάζεται γυροµαγνητικός λόγος και έχει διαφορετική τιµή για κάθε ατοµικό πυρήνα. Ο πυρήνας του Υδρογόνου υπάρχει σε µεγάλη αφθονία στους βιολογικούς ιστούς και έτσι είναι αυτός που χρησιµοποιείται πιο συχνά από κάθε άλλο πυρήνα για την απεικόνιση της ανθρώπινης ανατοµίας µε βάση το φαινόµενο του πυρηνικού µαγνητικού συντονισµού.

7 Κάτω από την επίδραση στατικού µαγνητικού πεδίου, οι πυρήνες Υδρογόνου περιορίζονται από την κβαντική µηχανική στο να στραφούν σε µία από δύο κατευθύνσεις, εκείνη του µαγνητικού πεδίου (θεµελιώδης κατάσταση) ή την αντίθετη προς αυτή (διεγερµένη κατάσταση). Οι πυρήνες που βρίσκονται σε θεµελιώδη κατάσταση είναι κατά ένα µικρό ποσοστό (1,4 πυρήνες σε σύνολο πυρήνων) περισσότεροι από εκείνους που βρίσκονται σε διεγερµένη κατάσταση. Λόγω του µικρού αυτού πλεονάσµατος πυρήνων σε θεµελιώδη κατάσταση, έχουµε µια ολική µαγνήτιση µικρού µεγέθους στην κατεύθυνση του µαγνητικού πεδίου και από αυτήν προέρχεται τελικά το σήµα στην επεξεργασία του οποίου στηρίζεται η ανακατασκευή της εικόνας.

8

9

10 Η ολική αυτή µαγνήτιση στην κατεύθυνση του µαγνητικού πεδίου είναι η συνισταµένη των διανυσµάτων µαγνητικής ροπής των πυρήνων που βρίσκονται σε µεταπτωτική κίνηση γύρω από τον άξονα του στατικού µαγνητικού πεδίου και µε κάποια διαφορά φάσεως ο ένας από τον άλλο... Η ολική µαγνήτιση (Μ) πυρήνων Υδρογόνου που βρίσκονται σε µεταπτωτική κίνηση γύρω από την κατεύθυνση στατικού µαγνητικού πεδίου (Η 0 ) είναι η συνισταµένη των διανυσµάτων µαγνητικής ροπής των πυρήνων αυτών.

11 Για να εφαρµόσουµε αποτελεσµατικά µια πρόσθετη δύναµη πάνω σε ένα αντικείµενο το οποίο εκτελεί µεταπτωτική κίνηση, η δύναµη αυτή πρέπει να ταλαντούται µε τη συχνότητα µετάπτωσης του αντικειµένου (συντονισµός). Στην περίπτωση πυρήνων Υδρογόνου, τη δύναµη αυτή ασκεί ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα, µε µορφή παλµού ραδιοσυχνοτήτων RF και µε συχνότητα ίση µε τη χαρακτηριστική συχνότητα µετάπτωσης των πυρήνων αυτών, που σε ένα µαγνητικό πεδίο ενός Tesla ( Gauss) είναι 42,57 MHz. Όταν δηλαδή η συχνότητα της εξωτερικής ακτινοβολίας συντονιστεί (από αυτό προέρχεται και ο όρος πυρηνικός µαγνητικός συντονισµός) µε τη συχνότητα µετάπτωσης ενός είδους πυρήνων, ασκείται πάνω σ' αυτούς µια πρόσθετη δύναµη που αναγκάζει το διάνυσµα ολικής µαγνήτισης του συστήµατος των πυρήνων αυτών να αποκλίνει από την κατεύθυνση z του στατικού µαγνητικού πεδίου και να πέσει τελικά πάνω στο επίπεδο xy.

12 Μόλις διαταραχθεί το σύστηµα από την κατάσταση ισορροπίας και το διάνυσµα µαγνήτισης αποκλίνει έστω και λίγο από την κατεύθυνση του µαγνητικού πεδίου, αρχίζει το ίδιο να περιστρέφεται µε µεταπτωτική κίνηση γύρω από αυτό ενώ, όσο διαρκεί ο παλµός ραδιοσυχνοτήτων (RF pulse), αποκλίνει όλο και περισσότερο προς το επίπεδο xy. Ανάλυση ολικής µαγνήτισης σε επιµήκη µαγνήτιση (Μz) και εγκάρσια µαγνήτιση (Μxy) καθώς εφαρµόζεται παλµός ραδιοσυχνοτήτων που αναγκάζει το διάνυσµα ολικής µαγνήτισης (Μ) να αποκλίνει από τον άξονα z προς το επίπεδο xy

13 Οι συνιστώσες Μ Ζ και Μxy ονοµάζονται επιµήκης µαγνήτιση και εγκάρσια µαγνήτιση αντίστοιχα. Στην κατάσταση ισορροπίας, Μ Ζ = Μ 0 και Mxy = 0. Όταν όµως το σύστηµα διεγερθεί από έναν παλµό ραδιοσυχνοτήτων στη συχνότητα συντονισµού, η Μ Ζ µειώνεται καθώς η Mxy αυξάνεται και περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z µε συχνότητα ω 0. Μετά το τέλος του παλµού, η Μ Ζ επιστρέφει εκθετικά σαν συνάρτηση του χρόνου στην αρχική της τιµή Μ 0, ενώ η Mxy µηδενίζεται επίσης εκθετικά. Ανάλυση ολικής µαγνήτισης σε επιµήκη µαγνήτιση (Μz) και εγκάρσια µαγνήτιση (Μxy) καθώς εφαρµόζεται παλµός ραδιοσυχνοτήτων που αναγκάζει το διάνυσµα ολικής µαγνήτισης (Μ) να αποκλίνει από τον άξονα z προς το επίπεδο xy

14 Καθώς το σύστηµα πυρήνων επιστρέφει στην αρχική κατάσταση ισορροπίας, οι πυρήνες αποβάλλουν ενέργεια εκπέµποντας ακτινοβολία συχνότητας ίση µε τη συχνότητα συντονισµού στη περιοχή ραδιοσυχνοτήτων και µεταφέροντας µέρος της ενέργειας τους στα γύρω µόρια. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται "διαδικασία χαλάρωσης ή αποκατάστασης", ενώ οι ραδιοσυχνότητες που εκπέµπονται από τους πυρήνες καταγράφονται από ένα πηνίο και αποτελούν το σήµα που χρησιµοποιείται στην ανακατασκευή των εικόνων πυρηνικού µαγνητικού συντονισµού. Οι διαδικασίες επιστροφής των δύο συνιστωσών µαγνήτισης στις αρχικές τους τιµές µετά το τέλος του παλµού χαρακτηρίζονται από τις σταθερές χρόνου Τ1 και Τ2 που ονοµάζονται χρόνος επιµήκους µαγνητικής χαλάρωσης και χρόνος εγκάρσιας µαγνητικής χαλάρωσης αντίστοιχα. Τ 1 Τ 2

15 Οι Τ1 και Τ2 δεν είναι ίσες και γενικά η Τ2 είναι µικρότερη της Τ1. Η Τ1 ονοµάζεται και "σταθερά χρόνου χαλάρωσης σπινπλέγµατος" λόγω του ότι ο χρόνος που παίρνει το σύστηµα για να επανέλθει στην κατάσταση ισορροπίας κατά µήκος του άξονα z εξαρτάται από το ρυθµό µε τον οποίο η ενέργεια µεταφέρεται από τους πυρήνες (σπιν) πίσω στο υπόλοιπο πλέγµα. Η Τ2 είναι η σταθερά χρόνου προσωρινής εγκάρσιας µαγνήτισης των πυρήνων. Μετά από ένα παλµό ραδιοσυχνοτήτων που στρέφει το διάνυσµα µαγνήτισης στο επίπεδο xy και αναγκάζει τους πυρήνες να περιστρέφονται συγχρονισµένα (δηλαδή µε την ίδια φάση) γύρω από τον άξονα z, η συµφωνία φάσεων αρχίζει να χάνεται σταδιακά καθώς οι πυρήνες δέχονται την επίδραση διαφόρων τοπικών µαγνητικών πεδίων και αλλάζει η συχνότητα µετάπτωσης, µε αποτέλεσµα σύντοµα να µηδενισθεί η συνισταµένη εγκάρσια µαγνήτιση.

16

17 Η Τ2 είναι ακόµη ενδεικτική της σχέσης µεταξύ της έντασης του εξωτερικού µαγνητικού πεδίου και εκείνης των τοπικών µαγνητικών πεδίων. Επειδή η συµφωνία φάσεων των πυρήνων χάνεται µε το µηχανισµό ανταλλαγής ενέργειας µεταξύ τους, η Τ2 ονοµάζεται επίσης "σταθερά χρόνου χαλάρωσης σπιν-σπιν". Οι Τ1 και Τ2 εξαρτώνται από τη µοριακή δοµή των ιστών, τη φυσική τους κατάσταση (δηλαδή, αν συµπεριφέρονται περισσότερο σαν υγρά ή σαν στερεά), και τις εντάσεις των εσωτερικών µαγνητικών πεδίων. Η παρουσία γειτονικών ατόµων επηρεάζει τοπικά την ένταση του µαγνητικού πεδίου και εποµένως και τη συχνότητα συντονισµού. Αυτές οι µικρές αλλαγές στη συχνότητα συντονισµού χρησιµεύουν στο να χαρακτηρισθεί το χηµικό περιβάλλον αυτών των πυρήνων, κάτι που είναι ιδιαίτερα χρήσιµο στην κλινική διαγνωστική διαδικασία.

18 Το φαινόµενο του NMR µας επιτρέπει να απεικονίσουµε τη συγκέντρωση ρ(x, y) των διαφόρων πυρήνων και ιδιαίτερα του Υδρογόνου, τις τοπικές τιµές των σταθερών χαλάρωσης Τ1 και Τ2 ή και κάποιο συνδυασµό των τριών παραµέτρων. Ενδεικτικά, θα περιγράψουµε παρακάτω µια µόνο από τις τεχνικές αυτές που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την απεικόνιση της συγκέντρωσης (πυκνότητας) των πυρήνων Υδρογόνου στους βιολογικούς ιστούς µια και βασίζεται στη µέθοδο ανακατασκευής εικόνων από προβολές της υπολογιστικής τοµογραφίας. Η µαθηµατική µέθοδος ανακατασκευής της εικόνας είναι ακριβώς η ίδια, όµως ο τρόπος µέτρησης πολλαπλών προβολών της ρ(χ, y) βασίζεται στην καταγραφή και ανάλυση της ακτινοβολίας ραδιοσυχνοτήτων που εκπέµπουν οι διάφοροι πυρήνες καθώς επιστρέφουν στην αρχική τους κατάσταση ισορροπίας µετά την άρση του παλµού ραδιοσυχνοτήτων.

19 Μετά το τέλος του παλµού ραδιοσυχνοτήτων, οι πυρήνες Υδρογόνου επιστρέφουν στην αρχική τους κατάσταση αποβάλλοντας ακτινοβολία µε χαρακτηριστική συχνότητα που καθορίζεται από την ένταση του µαγνητικού πεδίου το οποίο επιδρά στον κάθε πυρήνα. Εποµένως, αν µπορούσαµε να επηρεάσουµε το µαγνητικό πεδίο ούτως ώστε να έχει διαφορετική τιµή σε κάθε σηµείο µιας τοµής του ανθρώπινου σώµατος, οι διεγερµένοι πυρήνες θα είχαν διαφορετική συχνότητα συντονισµού ανάλογα µε τη θέση τους στο χώρο. Αντίστροφα, η θέση κάθε πυρήνα θα ήταν κωδικοποιηµένη µέσω της συχνότητας και το διδιάστατο φάσµα συχνοτήτων θα µας έδινε απ' ευθείας και την χωρική κατανοµή των πυρήνων υπό την µορφή εικόνας της οποίας η ένταση θα αντιπροσώπευε τον αριθµό των πυρήνων που περιέχονται µέσα σε κάθε στοιχειώδη όγκο ιστών.

20 Σε ένα κυλινδρικό δοχείο γεµάτο νερό, εκτός από το στατικό µαγνητικό πεδίο Η ο, εφαρµόζουµε ένα ακόµη µαγνητικό πεδίο Η που έχει την ίδια κατεύθυνση και του οποίου η ένταση αυξάνεται γραµµικά από αριστερά προς τα δεξιά. Έτσι, η ολική ένταση του στατικού µαγνητικού πεδίου σε κάθε οριζόντια θέση είναι γνωστή και ίση µε Η 0 + Η, ενώ η συχνότητα συντονισµού των πυρήνων που περιέχονται σε κάθε µια από τις κάθετες στήλες δίνεται από τη σχέση ω ο = γ(η ο + Η).

21 Μετά τη διέγερση των πυρήνων αυτών µε έναν παλµό ραδιοσυχνοτήτων ευρέως φάσµατος, αυτοί θα αρχίσουν να εκπέµπουν σήµατα σε συγκεκριµένες ραδιοσυχνότητες ανάλογα µε την οριζόντια θέση τους, το µέγεθος των οποίων µειώνεται εκθετικά µε σταθερά χρόνου Τ2. Τα σήµατα αυτά προστίθενται και ανιχνεύονται ταυτόχρονα από ένα πηνίο σαν ένα σύνθετο σήµα. Το φάσµα αυτού του σήµατος, που παίρνουµε µε µετασχηµατισµό Fourier, µας δίνει την ένταση κάθε συχνότητας που αντιστοιχεί στον αριθµό πυρήνων Υδρογόνου που είναι συντονισµένοι στη συγκεκριµένη συχνότητα και εποµένως έχουν την ίδια οριζόντια θέση.

22 Μέθοδος κωδικοποίησης της θέσης των πυρήνων Υδρογόνου, µέσω της συχνότητας συντονισµού, µε την εφαρµογή πρόσθετου µαγνητικού πεδίον µε γραµµικά αυξανόµενη ένταση στην ίδια κατεύθυνση µε εκείνη τον στατικού µαγνητικού πεδίου

23 Μια και η ένταση του µαγνητικού πεδίου είναι γνωστή σε κάθε οριζόντια θέση, η συχνότητα µπορεί εύκολα να µετατραπεί σε οριζόντια απόσταση και το φάσµα συχνοτήτων να ερµηνευθεί και χρησιµοποιηθεί σαν προβολή του αριθµού των πυρήνων στην κάθετη κατεύθυνση. Για αντικείµενα µε σύνθετες κατανοµές πυρήνων Υδρογόνου, µπορούµε να περιστρέψουµε ηλεκτρονικά το µαγνητικό πεδίο Η σε διαφορετικές κατευθύνσεις και να πάρουµε πολλαπλές προβολές της κάθε κατανοµής... Από τις προβολές αυτές µπορούµε να ανακατασκευάσουµε και να απεικονίσουµε την κατανοµή των πυρήνων Υδρογόνου χρησιµοποιώντας τις µεθόδους της υπολογιστικής τοµογραφίας. I(f n ) [H] f n x n f n

24 Με βάση όσα ξέρουµε σήµερα, η διαγνωστική απεικόνιση µε NMR δεν έχει αρνητικές επιδράσεις στον ανθρώπινο οργανισµό και δίνει πληροφορίες που είναι συµπληρωµατικές εκείνων που παίρνουµε µε άλλες διαγνωστικές µεθόδους. Σηµαντική ακόµη θεωρείται η δυνατότητα που µας δίνει η µέθοδος αυτή, να απεικονίζουµε τους πυρήνες διαφόρων ατοµικών στοιχείων επιλέγοντας την κατάλληλη συχνότητα του παλµού διέγερσης ούτως ώστε αυτή να είναι ίση µε τη συχνότητα µετάπτωσης του πυρήνα που µας ενδιαφέρει. Το να συντονίσουµε το σύστηµα µας στη συχνότητα µετάπτωσης κάποιου πυρήνα µοιάζει µε το συντονισµό του ραδιοφώνου µας στη συχνότητα εκποµπής κάποιου ραδιοφωνικού σταθµού.

25 Άλλοι πυρήνες µε ιδιαίτερη κλινική σηµασία είναι αυτοί του ισοτόπου 31Ρ και του 23Na που, σε µαγνητικό πεδίο ενός Tesla (10000 gauss), έχουν συχνότητες συντονισµού 17,24 MHz και 11,26 MHz αντίστοιχα. Αυτές οι συχνότητες, όπως και του πυρήνα Υδρογόνου, είναι στη δέσµη ραδιοσυχνοτήτων του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος και δεν επιδρούν στα µόρια ζώντων οργανισµών. υστυχώς, η ευαισθησία των περισσοτέρων πυρήνων στο φαινόµενο του NMR καθώς και η συγκέντρωση τους στους βιολογικούς ιστούς είναι πολύ µικρότερη από εκείνη του πυρήνα Υδρογόνου και δεν δίνουν αρκετά ισχυρό σήµα για την ανακατασκευή εικόνων της ίδιας διαγνωστικής ποιότητας.

26 Σήµερα, η απεικονιστική αυτή µέθοδος βασίζεται κυρίως στο µαγνητικό συντονισµό των πυρήνων Υδρογόνου, οι οποίοι βρίσκονται σε µεγάλη αφθονία στο ανθρώπινο σώµα. Το σώµα µας αποτελείται κατά 75% από νερό, κάθε µόριο του οποίου έχει δύο πυρήνες Υδρογόνου, ενώ η κατανοµή νερού και άλλων µικρών µορίων που είναι πλούσια σε Υδρογόνο (π.χ. λιπίδια) αλλοιώνεται σε αρκετές παθολογικές καταστάσεις. Ο µεγάλος αριθµός µορίων νερού έχει ως αποτέλεσµα να έχουµε εικόνες µεγάλης ευκρίνειας.

27 MRI k-space reconstruction The concept of the magnetic moment µ (or spin) of atomic nuclei in the presence of a magnetic field B 0. The motion of µ about B 0 is known as precession. B 0 µ

28 MRI k-space reconstruction Due to the weak strength of static nuclear moment of 1H (the ratio of the induced magnetisation to the applied field is only 4x10-9 ) resonance techniques have been developed to enable the measurement of these small magnetic signals (Bloch). The essential idea is to measure the magnetic moment whilst it oscillates in a plane perpendicular to a static field. By tilting the moment away from the static field it is possible to measure the effects of the torque on the moment by observing the change in the oscillation (precession). In turn, the frequency of rotation, ωo is proportional to the field: ω o = -γb o where γ, the gyromagnetic ratio, is a constant that characterises a specific nucleus and Bo is the magnetic field strength (and defines the z-axis of the field geometry). This precession frequency is known as the Larmor frequency.

29 MRI k-space reconstruction As the precessing moments constitute a time-varying flux, a measurable voltage is produced which can be detected using a loop antenna arranged to receive the x,y components of induction. The actual tilting of the proton magnetization away from the static field is achieved via a weak rotating radiofrequency (RF) field. This rotating field induces a fictitious field in the z direction with a strength of ω/γ. By adjusting the frequency of the RF field to be equivalent to ω o, the effects of the Bo field are cancelled out. However the Larmor equation still holds true within the reference frame of the rotating moment and therefore the frequency of excitation is γb 1, where B 1 is the amplitude of the modulating RF field.

30 MRI k-space reconstruction

31 MRI k-space reconstruction To maximise the measurement of this signal, the proton spins are flipped completely into the transverse plane via a π/2 RF pulse (which requires γb o τ = π/2, where τ is the duration of the pulse). Similarly, a RF pulse that rotates spines by π radians can be used to invert the spin characteristics and is used to refocus transverse (εγκάρσια, κάθετα) spins that have de-phased due to the primary B o field inhomogeneity. This technique is called spin echo and is an important pulse sequence for clinical MRI imaging.

32 MRI k-space reconstruction B 0 z M 0 z x y x=b 1 y M 0 The rotating coordinate system of the MRI acquisition process. On the left, nuclei spins precessing around an external field B 0. There is no net magnetisation in the xy plane. On the right, after an RF pulse B1, the magnetisation of the spins (M 0 ) is tipped away from equilibrium. The spins are still precessing abound B 0, but the precession is no longer random a net magnetisation has been produced in the xy plane. This case is illustrate for a 90 0 pulse.

33 MRI k-space reconstruction In order to reconstruct a 2D or 3D map of the distribution of the different spin characteristics (and hence differentiate tissues that have individual molecular properties), the magnetic field is spatially varied to enable the location of individual spins to be geometrically resolved. This is achieved by using a magnetic field gradient which causes each region in the volume of tissue to oscillate at a distinct frequency. Fourier analysis is then used to reconstruct a map of the different spins using an analysis framework called k-space.

34 MRI k-space reconstruction To generate an image map from the distribution of spins, a volume integral is received from what can be understood as an array of oscillators. By ensuring that the phase signature of each oscillator is individually identifiable, a unique location can be assigned to each spin and hence reconstruct an image. During signal acquisition, the applied magnetic field is oriented in the z direction with individual spins precessing in the xy plane at the Larmor frequency. Therefore a spin at position r=(x,y,z) has a unique phase θ that describes the spin angle relative to the y axis in the xy plane. θ ( r, t) = γ B z ( r, τ ). dτ t 0 where B Z (r,t) is the z component of the instantaneous local magnetic flux density. This equation is ideal and assumes that there is no x or y field components.

35 MRI k-space reconstruction A coil large enough to receive a time-varying flux uniformly from the total volume of spines produces and electro-motive force (EMF-ηλεκτρεγερτική δύναµη) proportional to: d iθ ( r, t) s( t) M e dr dt ( r). V where M(r) is the equilibrium moment density at each point r. In practical terms, the objective is to superimpose a linear field gradient on the static Bo field. This field is oriented in the z direction with a magnitude that varies linearly with coordinate direction. This field is described by the vector field xg ẑ x where ẑ is the unit vector in the z direction.

36 MRI k-space reconstruction In general, the gradient is xg x + yg y + zg )ẑ or G. rzˆ ( z As these gradients vary with time, the total field in the z direction is: B z ( r, t) = B0 + G( t). r and the received signal is: iγ d iγb0t 0 s( t) e M ( ) e dt r V t G( τ ). r. dτ. dr

37 y MRI k-space reconstruction Selected slice x z MRI Magnet Slice selection field gradient z 1 z 2 G z RF Pulse t ω 1 ω 2 A diagram showing the use of a magnetic gradient to localise the excitation of nuclei to those in a single slice of tissue/patient. A sinc pulse is modulated to the centre slice frequency resulting in a signal that contains frequencies ω1<ω<ω2. ω

38 MRI k-space reconstruction The centre frequency γbo is always larger than the bandwidth of the received signal. Therefore the derivative operation is approximately equivalent to multiplication by -iωo. The signal is demodulated by the waveform to obtain the baseband signal: iγ 0 S( t) iω M ( r) e Substituting for the integral in the exponential: the received baseband signal can be written as: 0 V t k( t) = γ G( τ ). dτ S( t) V 0 M ( r) e ik ( t). r G( τ ). r. dτ Equation is clearly the Fourier transform of M(r) evaluated at k(t). t. dr. dr

39 MRI k-space reconstruction In turn, S(t) scans the spatial frequencies of the function M(r): S( t) I( k( t)) remember t k( t) = γ G( τ ). dτ 0 where I(k) is the 3D Fourier transformation of the distribution M(r). Thus the actual volume (image) acquisition of MRI can be reconstructed with linear gradients as a scan of k-space or the spatial Fourier transform of the image. After a region of k-space is scanned, the image M(r) is reconstructed using an inverse Fourier transform. There are may ways of scanning/populating k-space and some of the more novel MRI techniques use interesting frequencydomain tricks and shortcuts to improve image quality and acquisition speed.

40 MRI k-space reconstruction Many different kinds of gradient waveforms can be used to scan k-space with different kinds of image reconstruction characteristics. One of the more common techniques (which is also easy to illustrate) is two-dimensional Fourier transform imaging and involves traversing through k-space along horizontal trajectories covering a 2D rectilinear grid. The horizontal lines are acquired using a discrete number of excitations (256 or 512 is common) separated by a relaxation time TR, which is determined by the required image contrast, RF flip angle, and the T-1 (spin-lattice relaxation) of the desired components of the image.

41 MRI k-space reconstruction These horizontal scans through k-space are defined by a kind of raster offset in ky (by a variable area y-gradient pulse) which are called phase encodes because the adjust the phase of the signal, rather than the frequency. Image reconstruction is performed by acquiring horizontally (with a constant x gradient) for each phase encode.

42 MRI k-space reconstruction k y Slice Selection RF Phase encode Readout k x G z G y Phase encode G x Analogue to Digital Conversion Readout The diagram on the left shows the scanning pattern of the simple 2D Fourier transform imaging sequence. The right is a timing diagram for the gradient and RF waveforms that produce this pattern (only a few lines of the horizontal k- space are shown). The phase-encode period initiates each acquisition at a different ky and at -kx(max).

43 MRI k-space reconstruction k y RF Slice Selection Phase encode Readout k x G z G y Phase encode G x Analogue to Digital Conversion Readout Data is collected during each horizontal traversal. After all k-space lines have been filled, a 2D fast Fourier transform (FFT) is used to reconstruct the image. The RF pulse and the z gradient waveform together restrict the acquisition image to a particular slice through the patient.

44 Αντιπροσωπευτικές εικόνες πυρήνων Υδρογόνου µε µεθόδους απεικόνισης βασισµένες στο φαινόµενο πυρηνικού µαγνητικού συντονισµού α) Τοµή ανθρωπινου εγκεφάλου, β) Τοµή οφθαλµού, και γ) Τοµή θώρακα που δείχνει τη θωρακοσφυική µοίρα της σπονδυλικής στήλης Η καρδιά φαίνεται σαν περιοχή χαµηλής έντασης (µαύρης) γιατί οι πυρήνες Υδρογόνου που έχουν δεχθει τον παλµό ραδιοσυχνοτήτων και βρίσκονται σε κατάσταση συντονισµού ρέουν µε το αίµα εκτός τοµής, και αντικαθίστανται από άλλους πυρήνες που δεν εκπέµπουν σήµα

45 Ανακατασκευή τοµής του εγκεφάλου µε τη µέθοδο υπολογιστικής τοµογραφίας µέσω δέσµης ακτινών Χ (αριστερά) και µε τη µέθοδο πυρηνικού µαγνητικού συντονισµού (δεξιά).

46 Τ 1 Τ 2