НАФТНО-ГАСНИ КОМПЛЕКСИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "НАФТНО-ГАСНИ КОМПЛЕКСИ"

Transcript

1 Индустријско инжеnjерство у експлоатацији нафте и гаса Технички факултет Михајло Пупин Зрењанин НАФТНО-ГАСНИ КОМПЛЕКСИ (Решени задаци за писмени) Вер.1 Др. Радослав Д. Мићић, доц

2 SADRŽAJ: 1. KONVERZIJA JEDINICA GASNE SMEŠE- UDELI I MOLARNA MASA GASNI ZAKONl (IDEALNO GASNO STANJE) VISKOZNOST GASOVA NA ATMOSFERSKOM PRITISKU HIDROSTATIKA HIDRODINAMIKA... 26

3 1. KONVERZIJA JEDINICA 1.1 Dužina gasovoda je 15 milja, a prečnik 10". Kolike su dužina gasovoda u kilometrima i površina poprečnog preseka u cm 2? Rešenje 1.1. L= 15 milja d= 10" (cola) S=? konverzija: 1 milja = 1,6093 km 15 * 1,6093 = 24,14 km 1" = 2,54 cm 10 * 2,54 = 25,4 cm 1.2 Ako je ispunjena trećina rezervoara precnika 15 ft 4 5/8 in i visine 16 ft 1in, koliko barela sirove nafte je uskladišteno? Rešenje 1.2. konverzija: 1 ft = 0,305m 1 in = 2,54 cm iz ovoga sledi: d = 15 ft 4 5/8 in = 15*0,305 m + 4 5/8 *2,54 cm = 4,575 m + 4,625*2,54 cm = 4,575 m + 11,7475 cm = 4,575 m + 0, m = 4, m h = 16 ft 1 in = 16*0,305 m + 1*2,54 cm = 4,88 m + 0,0254 m = 4,9054 m 1 bbl = 0,159 m 3 84,83 m 3 /0,159 = 533,522 bbl, pošto je 533,522/3 = 177,84 bbl Rezervoar je zapunjen sa 177,7 bbl nafte 1.3 Koja je dimenzija univerzalne gasne konstante, R, koja figuriše u jednačini idealnog gasnog stanja PV=nRT, ako je p dat u Pa, V u m 3, n u mol, a T u K? Rešenje 1.3. PV = nrt p dat u Pa, V u m 3, n u mol, a T uk PV = nrt, ako znamo da je, zamenom dobijamo,,pošto je N*m = J rezultat je

4 1.4 Koliko iznosi "apsolutna nula" izražena u kelvinima i stepenima Celzijusa, Farenhajta i Rankina? Rešenje K na Kelvinovoj skali, koja predstavnja termodinamičku (apsolutnu) temperatursku skalu 0 K 273,15 K 373,15 K Pošto je T(K) = 273,15 + t o C t o C = T(K) - 273,15 pa je apsolutna 0 u t o C = -273,15 o C koristeći konverziju:t( o F) =T( o C) x1, = (-273,15 x 1,8)+32 = -459,67 o F, može se koristiti i formula: T( o F) = T( o C ) x9/ = -273,15 x 9/5 +32 = -459,67 o F, T( o R) =[ T( o C ) +273,15] x9/5 = [-273,15+273,15] x9/5 = o 0 R Apsolutna nula je ekvivalentna 0 R na Rankinovoj (takođe termodinamičkoj) skali, jer je: Temperatura ključanja n-heptana na atmosferskom pritisku (101,325 kpa) je 668,83 R. Izraziti je u F i K? Rešenje 1.5. T( o R)= 668,83 R zbog lakše konverzije najbolje je sve pretvoriti u o C, pa je: T( o C) =( T( o R ) -491,67) x5/9 =( 668,83-491,67) x 5/9 = 98,42 o C, na osnovu korelacija za konverziju: T( o K) = 273,15 + t o C = 273, ,42 = 371,55 o K T( o F) = (T( o C ) x 9/5)+32 = (98,42 x 9/5) + 32 = 209,156 o F 1.6 n-butan je uskladišten u sfernom rezervoaru na pritisku od 7 bar i temperaturi od 25 C. Pritisak izraziti u kpa, atm i psi a temperaturu u K, R i F. Rešenje 1.6. P = 7 bar, t = 25oC, pošto je: 1 bar = 100 kpa = 10 5 Pa 1 atm = 101, kpa = ,325 Pa 1 psi = 6,895 kpa najbolje je sve pretvoriti u kpa: P (kpa) = P (bar) x 100 = 7 x 100 = 700 kpa P (atm) = P (kpa)/101, = 700/ 101, = 6,91 atm P (psi) = P (kpa)/6,895 = 700/6,895 = 101,53 psi pošto je temperatura u o C, ne treba je pretvarati, nego direktno koristiti jednačine za konverziju: T( o K) = 273,15 + t o C = 273, = 298,15 o K

5 T( o F) = (T( o C ) x 9/5)+32 = (25 x 9/5) + 32 = 77 o F T( o R) =[ T( o C ) +273,15] x9/5 =[25+273,15] x 9/5 = 536,67 o R 1.7 Ako je relativna gustina sirove nafte tipa Brent 0,8345 na 60 F, kolika je gustina izraženo u lb/ft 3? Usvojiti da je gustine vode na 60 F 999,02 kg/m 3. Rešenje 1.7. drel = 0,8345 (obrati pažnju, relativna gustina je bezdimenzionalni broj), gustina predstavlja odnos: Relativna gustina predstavlja odnos gustina datog fluida i vode, kao referentnog fluida (ako je u pitanju tečnost). relativna gustina može biti data na nekoj temperaturi, pa se onda uzima gustina vode na toj temperaturi: važno je znati da gustina fluida i vode mora biti na istoj temperaturi 833, 68 pošto je 1 ft = 0,305 m a 1 lb = 0,4536 kg dobijamo:

6 2. GASNE SMEŠE- UDELI I MOLARNA MASA 2.1. Ukoliko se smesa sastoji od 100 x10 23 molekula metana i 8 x molekula etana, koliko ima ukupno molova u smeši? Rešenje:2.1. Šta je mol? Mol (simbol: mol) je jedna od sedam SI osnovnih jedinica i obično se koristi u hemiji. Mol meri količinu supstance i definiše se kao količina supstance koja sadrži toliko molekulakoliko ima atoma u tačno 12 grama ugljenikovog izotopa C12. Ova količina je poznata kao Avogadrov broj i približno iznosi 6, ²³. Nmetana = 100 x10 23 =1 x10 25 Netana = 8 x10 23 nsmeše = nmetana + netana iz toga sledi: nsmeše = nmetana + netana = 16,603+1,328 = 17,931 mol 2.2. Gasna smeša se sastoji od 1 mola metana, 2 mola etana i 6 molova.vodonik sulfida. Odrediti molske udele komponenata. Rešenje:2.2. nmetana = 1 mol nmetana = 2 mol nh2s = 6 mol Molski udeli: 2.3. Gasna smeša se sastoji od metana, etana i propana pri čemu je molski odnos komponenata nch4: nc2h6: nc3h8 1:3:5. Odrediti molske i masene udele komponenata. Rešenje:2.3. nmetana: netana: npropana= 1:3:5 Molski udeli:

7 Provera: Maseni udeli: zamenom dobijamo: Provera: 2.4. Ako je sastav gasne smeše izražen u masenim procentima: 60% metana, 20% propana a ostalo je butan, izračunati molske udele komponenata i molarnu masu smeše preko masenih udela. Rešenje:2.4. Molski udeo komponenti u smeši: gm=0,6 gp=0,2 gm+ gp+ gb =1 gb =1-( gm+ gp)=1-(0,6+0,2)=0,2 je zamenom dobijamo:

8 l 2.5. Molski sastav gasne smeše ie sledeći: 0,60 mol C1; 0,15 mol C2, 0,10 mol C3, 0,10 mol C4 i 0,05 mol C5. Izračunati maseni sastav i molarnu masu smeše preko molskih udela. Rešenje:2.5. nc1 = 0,6 mol nc2 =0,15 mol nc3 = 0,10 mol nc4 = 0,10 mol nc5 =0,05 mol Molski udeli: Maseni udeo je:

9 l 2.6. Ako je molarna masa smeše pentana (C5H12) i heksana (C6H14) Msm= 80 g/mol, izračunati masene udele komponenata u smeši. Rešenje:2.6. Msm = 80 g/mol Mpentana = C*5+H*12 = 5*12+1*12 = 72 g/mol Mheksana = C*6 + H*14 = 12*6+1*14 =86 g/mol ( ) j p + g h =1 sledi da je g p =1-g h ili g p = 1-0,614 = 0,386

10 3. GASNI ZAKONl (IDEALNO GASNO STANJE) 3.1. Određena masa gasa ima zapreminu od 1000 ft 3 na 74,7 psi. Ako se pritisak povisi na 134,7 psi, a temperatura ostane nepromenjena, kolika će biti nova zapremina gasa? Rešenje:3.1. Ovaj zadatak je primena Boyleovog zakona koji glasi Uslovima zadatka je dato: V1=1000 ft 3 p1=74,7 psi p2=134,7 psi Potrebno je izvršiti konverziju u SI: 1 ft = 0,305m sledi da je 1ft3 = 0, m3 1 in = 2,54 cm 1 Psi = Kilopascals 3.2. Na pritisku od 89,7 psi i temperaturi od 70 F gas ima zapreminu od 1000 ft 3. Rešenje:3.2. a) Ukoliko se temperature poveća na 120 F i zapremina ostane nepromenjena, koliki će biti pritisak gasa? b) Ako pritisak gasa ostane 89,7 psi i temperatura se poveća na 120 F, kolika će biti zapremina? a. Ovaj zadatak je primena Amonton's zakona da je pritisak gasa direktno proporcionalan temperaturi na konstantnoj zapremini V i pri istom boju molova n Uslovima zadatka a. je dato: V1= 1000 ft 3 p1 = 74,7 psi t1 = 70 o F t2 =120 o F

11 V = const. p2=? Potrebno je izvršiti konverziju u SI: 1 Psi = Kilopascals of u o K sledi da je ([ o F]-32)*5/ ,15 =[ o K] 70 o F =(70-32) *5/9 +273,15= 21, ,15 =294,26[ o K] T1 =294,26[ o K] 120 o F =(120-32) *5/9 +273,15= 48, ,15 = 322,04[ o K] T2 =322,04[ o K] b. Ovaj zadatak je primena Gay-Lussacov-og zakona da je linearna zavisnost zapremine gasa od temperature pri konstantnom pritisku (povećanjem temperature gas se širi, tj. povećava se zapremina i obrnuto) Uslovima zadatka b. je dato: p1=89,7 psi T1 = 70 o F T2 =120 o F p = const. V2=? Potrebno je izvršiti konverziju u SI: 1 ft = 0,305m sledi da je 1ft3 = 0, m3 70 o F =(70-32) *5/9 +273,15= 21, ,15 =294,26[ o K] T1 =294,26[ o K] 120 o F =(120-32) *5/9 +273,15= 48, ,15 = 322,04[ o K] T2 =322,04[ o K] 3.3. Ako se idealni gas nalazi u rezervoaru zapremine 250 ft 3 pri nadpritisku od 80 psi i temperaturi 110 F: Rešenje:3.3. a) Kolika će biti zapremina pri standardnim uslovima od 14,73 psia i 60 F? b) Ukoliko se gas ohladi do 90 F, koliki će biti nadpritisak? a. Zadatak je primena jednačine idealnog gasnog stanja: p1*v1 =n*r*t1 p2*v1 =n*r*t2 Sređivanjem se dobija (zamenom n i R jer se broj molova ne menja, a Univerzalna gasna konstanta je za sve gasove ista):

12 Uslovima zadatka a. je dato: V1= 250 ft 3 p1(nadpritisak) = 80 o psi t1 =110 o F p2(standardni uslovi) = 14,7 psia t2 = 60 o F V2 =? Pošto je dat nadpritisak p1(nadpritisak) = 80 o psi potrebno ga je pretvoriti u apsolutni pritisak: pabs = p(standardni uslovi) + p(nadpritisak), p1= p2(standardni uslovi) + p1(nadpritisak) =14,7+80 = 94,7 psi Potrebno je izvršiti konverziju u SI: 1 ft = 0,305m sledi da je 1ft 3 = 0, m 3 1 Psi = Kilopascals 110 o F =(110-32) *5/9 +273,15= 43, ,15 =316,48[ o K] T1 = 316,48[ o K] 60 o F =(60-32) *5/9 +273,15= 48, ,15 = 288,7[ o K] T2 =288,7[ o K] Uslovima zadatka b. je dato: V1=V2= 250 ft 3 p1(nadpritisak) = 80 o psi t1 =110 o F p2(standardni uslovi) = 14,7 psia t2 = 90 o F p2 =? Pošto je dat nadpritisak p1(nadpritisak) = 80 o psi potrebno ga je pretvoriti u apsolutni pritisak: pabs = p(standardni uslovi) + p(nadpritisak), p1= p2(standardni uslovi) + p1(nadpritisak) =14,7+80 = 94,7 psi Potrebno je izvršiti konverziju u SI: 1 ft = 0,305m sledi da je 1ft 3 = 0, m 3 1 Psi = Kilopascals 110 o F =(110-32) *5/9 +273,15= 43, ,15 =316,48[ o K] T1 = 316,48[ o K] 90 o F =(90-32) *5/9 +273,15= 48, ,15 = 288,7[ o K] T2 =305,37[ o K]

13 Ovaj zadatak je primena Amonton's zakona da je pritisak gasa direktno proporcionalan temperaturi na konstantnoj zapremini V i pri istom boju molova n Pošto je apsolutni pritisak p2 = p2= p2(standardni uslovi) + p2(nadpritisak) sledi: p2(nadpritisak) = p2 -p(standardni uslovi) = 91,375-14,7 = 76,676 psi =76,676 psi * Izračunati gustinu smeše koju čine metan i etan u molskom odnosu 1:3, pri pritisku od 50 psia i 200 F. Rešenje:3.4. Ovaj zadatak je direktna primena jednačine idealnog gasnog stanja: pi*vi = ni*r*ti pošto je l j zamenjujemo u jednačinu: pi*vi = *R*Ti j j b j pi*mi = *R*Ti j Z u j u b j pi*mi = *R*Ti Nepoznato je M sm, koje je D b z u l l ul b j l u l l ul komponenata: Uslovima zadatka je dato: n metana:n etana = 1:3 Molski udeli:

14 l Pritisak je potrebno pretvoriti u kpa, pa u Pa : 1 Psi = Kilopascals = Pa p = 50 psi* kpa/psi = 349,25 kpa = Pa Temperaturu je potrebno pretvoriti u ok: T[ o K] =(t[ o F]-32)*5/9+273,15 = (200-32) *5/9+273,15 = 366,48[ o K] Zamenom vrednosti u jednačinu se dobija: 3.5. Izračunati gustinu smeše i parcijalne pritiske komponenata u smeši ako su zapremine koje zauzimaju komponente sledeće: 0,2 dm 3 H2S, 1 dm 3 N2, 3 dm 3 C2 i 4 dm 3 C3 na temperaturi od 852 R i pritisku od 1,5 bar. Rešenje:3.5. Ovaj zadatak je direktna primena jednačine idealnog gasnog stanja: pi*vi = ni*r*ti pošto je l j zamenjujemo u jednačinu: sređivanjem jednačine se dobija: pošto je: pi*vi = pi*mi = *R*Ti *R*Ti Zamenom u jednačinu dobijamo: pi*mi = *R*Ti Važno je znati da su kod idealnih gasova zapreminski udeli (ri) jednaki molskim udelima: ri = yi Na osnovu toga kompletan proračun je identičan kao i za molske udele. Zadatkom je dato: V1 = 0,2 dm 3 V2 = 1,0 dm 3 V3 = 3,0 dm 3 V4 = 4,0 dm 3 T = 852 R pukupno = 1,5 bar ; pi =?

15 Vrši se konverzija: 1 bar = Pa [ o K]=([ o R]-491,67)*5/ ,15 Primenjuju se jednačine: ri = yi pi = yi * pukupno Zapreminski udeli: pi = yi * pukupno p1 = p2 = p3 = p4 = l ( ) 3.6. Pokazati zašto je moguće relativnu gustinu gasa izračunati kao odnos njegove molske mase i molske mase vazduha. Rešenje:3.6. Relativna gustina:

16 4. VISKOZNOST GASOVA NA ATMOSFERSKOM PRITISKU 4.1. Primenom zavisnosti promene viskoznosti sa temperaturom (Grafik 1.) očitati viskoznost metana (CH4) na 50 C. Rešenje:4.1. Dijagram je dat u [ F], pa je potrebno [ C] pretvoriti u [ F] Konverzija: [ F] = ([ C] *9/5+32) Pošto je uslovima zadatka dato da je gas metana (CH4) i temperatura 50 [ C]; [ F] = ([50 C] *9/5+32) sledi da je potrebno naći viskozitet na 122 [ F]. Rezultat očitan iz dijagrama je 0,012 cp Na kojoj temperaturi je viskoznost etana jednaka kao viskoznost propana na 300 F? Rešenje:4.2. Potrebno je na dijagramu odrediti viskoznost propana na 300 F (1), pa produžiti liniju na istom viskozitetu dok se ne preseče sa linijom etana (2), pa spustiti na x-osu. Rezultat je 218[ F] 4.3. Ako u sastavu homogene gasne smeše ima 20% molskih gasa čija je viskoznost 6 x 10-6 P, a molarna masa 18 g/mol, dok ostatak smeše čini komponenta molske mase 17 g/mol i viskoznosti 8 x 10-6 P, izračunati viskoznost smeše. Rešenje:4.3. Uslovima zadatka je dato: y1 = 0,2 µ1 = 6 x 10-6 P M1 = 18 g/mol y1+ y2 =1 y2 = 1- y1 y2 = 1-0,2 y2 = 0,8 µ2 = 8 x 10-6 P

17 M2 = 17 g/mol Viskozitet smeše se računa direktnom primenom Herning i Zipperer-ove jednačine, koja glasi: zamenom se dobija: 4.4. Izračunati viskoznost smeše: C1= 82 %mol, C2 = 10%mol, C3 = 5 %mol i C4 = 3 %mol na temperaturi na kojoj je viskoznost C1 0,013 cp. Rešenje:4.4. C1=82% mol =yc1 = 0,82 C2=10% mol =yc2 = 0,10 C3=5% mol =yc3 = 0,05 C4=3% mol =yc4 = 0,03 Na osnovu viskoziteta C1 0,013 cp nađe se temperatura iz dijagrama koja je oko 175 o F, na toj temperaturi su viskoziteti ostalih komponenti: µc2 = 0,011 cp µc3 = 0,0096 cp µc4 = 0,009 cp molekulske mase su: MC1=16 g/mol MC2=30 g/mol MC3 = 44g/mol MC4 = 58g/mol Viskozitet smeše se računa direktnom primenom Herning i Zipperer-ove jednačine, koja glasi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4.5. Odrediti dinamičku viskoznost prirodnog gasa čija je molarna masa 22 kg/kmol na temperaturi od 130 C, ako je sastavu gasa ima 10% mol N2 (Grafik 2). Relativna gustina gasa je 0,76.

18 Rešenje:4.5. Msm = 22 kg/kmol t = 130 o C yn2 = 0,1 d =0,76 Pretvorimo 130 o C u o F; F = o C*9/5+32=130*9/5+32 = = 266 F Iz dijagrama: se dobije za datu Msm = 22 kg/kmol i T =266 o F, da je µsm = 0,0132. na osnovu d = 0,76 i yn2 = 0,1 (10%), iz dijagrama se dobija da je korekcija 0,0008 cp µsm (corr) = 0,0132+0,0008 = 0,0140 cp 4.6. Odrediti viskoznost gasne smeše sledećeg masenog sastava (prikazan u tabeli) na 200 F pri atmosferskom pritisku. Relativnu gustinu izračunati preko odnosa molarnih masa (d=msm/mv), gde je Mv molarna masa vazduha, 28,96 g/mol. Rešenje:4.6. Potrebno je odrediti Msm, na osnovu masenih udela: gi M (g/mol) Nz 0, CO2 0, H2S 0, C1 0, C2 0, C3 0,066 44

19 Iz Msm = 19,9 g/mol i Tsm =200 o F, na osnovu dijagrama se dobija: da je µsm=0,0124cp Za svaku od neugljovodoničnih komponenti smeše potrebno je uvesti korekcioni faktor : 1. Izračunati relativnu gustinu: d=msm/mv =19,9/28,96 =0, Izračunati molske udele za svaku od komponenti:

20 Na osnovu relativne gustine d=0,687 i mol% dobijaju se korekcije N2=0,0004; CO2=0,00028 i H2S=0,00005 Ako se µsm=0,0124cp dodaju korekcije dobija se µsm(cor)=0,0124+0,0004+0, ,00005=0,0131cp

21 5. HIDROSTATIKA 5.1. Podmornica roni na dubini 50 m. Koliki je pritisak morske vode na prozor podmornice? Kolikom silom voda djeluje na pomenuti prozor ako je njegova površina 30 dm 2. Gustina morske vode je 1030 kg/m 3. Rešenje:5.1. ρ = 1030 kg/m 3, H = 50 m, P =? A = 30 dm 2 = 0,3 m 2 F =? Pritisak morske vode na dubini od 50 m izračunava se na sledeći način: p = ρ g H = 1030 kg/m 3 9,81 m/s 2 50 m = Pa = 505 kpa. Stoga je (pomoću osnovne formula za pritisak) sila koja djeluje na prozor: F = p A = Pa 0,3 m 2 = ,5 N = 151,6 kn 5.2. Ako je otvoreno bure zapremine 1 bbl i unutrašnjeg prečnika 0,5 m u potpunosti ispunjeno sirovom naftnom gustine 890 kg/m 3, koliki je pritisak na: a) površini tečnosti, b) u tečnosti na polovini visine bureta. Rešenje:5.2. Patm V = 1 bbl =0,159 m 3 D = 0,5 m ρ = 890 kg/m 3 Ppovr.?, P1/2H=? a. Ppovr. = Patm.= Pa b. P1/2H = Patm. + P1= Pa + ρ g (H/2) P 1= ρgh 1/2 H Treba izračunati H (V =A H = D 2 /4 H) P1/2H = Patm. + P1= Pa kg/m 3 9,81m/s 2 (0,81/2 m) = ,0145 = ,0145 Pa = 104, kpa (Zapamti: 1 Pa = 1 N/m 2 = 1 (kg m/s 2 )/m 2 = 1 kg/m s 2 ) 5.3. U rezervoaru u kom vlada napritisak od 100 kpa nalaze se sloj vode i sloj nafte u zapreminskom odnosu 1:2. Ukupna visina tečnosti u rezervoaru je 12m. Koliko je hidrostatički pritisak u tački koja se nalazi na četvrtini od ukupne visine tečnosti u rezervoaru? Gustina nafte je 930 kg/m 3 Patm. Rešenje:5.3. Nadpritisak ρ = 930 kg/m 3 pnatp.= 100 kpa = Pa V naf : V vode = 2:1 Pritisak nafte Pritisak vode 1/4 H Nafta Voda 2/3 H 1/3 H

22 H = 12 m p1/4h=? p1/4h = paps + pnafte + pvode =patm + pnatp + ρnafte g 2/3H + ρvode g (1/3H-1/4H) = = ( Pa Pa) kg/m 3 9,81 m/s 2 (2/3 12 m)+1000 kg/m 3 9,81 m/s 2 (1/3 12-1/4 12) = p1/4h = Pa = 282,552 kpa 5.4. U dvema tačkama horizontalnog cevovoda pripojen je stakleni U - manometar napunjen živom, pri čemu je razlika nivoa žive u kracima Δhm = 26 mm. Koliku razliku pritisaka pokazuje taj manometar, ako kroz cev protiče nafta gustine 830 kg/m 3. Gustina žive je kg/m 3. Rešenje:5.4. Δhm = 26 mm = 0,0026 m ρnafte = 830 kg/m 3 ρhg = kg/m 3 Δp =p1 p2 =? pa = pb 1 2 h 2 h 1 Δh m A B pa = p1+ ρnafte g h1 pb = p2+ ρnafte g h2+ ρhg g Δhm pošto je h2=h1- Δhm pb = p2+ ρnafte g ( h1- Δhm)+ ρhg g Δhm zamenom pa = pb p1+ ρnafte g h1 = p2+ ρnafte g ( h1- Δhm)+ ρhg g Δhm p1-p2 = ρnafte g ( h1- Δhm)+ ρhg g Δhm- ρnafte g h1 p1-p2 = ρnafte g h1- ρnafte g Δhm+ ρhg g Δhm- ρnafte g h1 p1-p2 = g Δhm ( ρhg - ρnafte) = 9,81 m/s 2 0,026 m (13570 kg/m kg/m 3 ) =3249 Pa 5.5. Razlika pritisaka u fluidu ispred i iza prigušne ploče u horizontalnoj cevi meri se pomoću U- cevi napunjene živom. Odrediti razliku pritisaka koja bi uslovila razliku nivoa žive u kracima U-cevi od 260 mm, ukoliko kroz cev protiče nafta gustine 870 kg/m 3. Gustina žive je kg/m 3. Rešenje:5.5. Δhm = 260 mm = 0,26 m ρnafte = 870 kg/m 3 ρhg = kg/m 3 Δp =p1 p2 =? pa = pb 1 2 h 2 h 1 Δh m A B pa = p1+ ρnafte g h1 pb = p2+ ρnafte g h2+ ρhg g Δhm pošto je h2=h1- Δhm pb = p2+ ρnafte g ( h1- Δhm)+ ρhg g Δhm zamenom pa = pb p1+ ρnafte g h1 = p2+ ρnafte g ( h1- Δhm)+ ρhg g Δhm p1-p2 = ρnafte g ( h1- Δhm)+ ρhg g Δhm- ρnafte g h1

23 p1-p2 = ρnafte g h1- ρnafte g Δhm+ ρhg g Δhm- ρnafte g h1 p1-p2 = g Δhm ( ρhg - ρnafte) = 9,81 m/s 2 0,26 m (13570 kg/m kg/m 3 ) = 32392,62 Pa 5.6. Vakuumetar postavljen na barometarskom kondenzatoru pokazuje vakuum od 8 x 10 4 Pa. Stanje barometra je 1 x10 5 Pa. Izračunati: a) apsolutni pritisak u kondenzatoru, b) visinu nivoa vode u barometarskoj cevi kondenzatora u odnosu na površinu vode u razmenjivaču. Rešenje:5.6. pvak = 8 x 10 4 Pa patm = 1 x10 5 Pa ρvode = 1000 kg/m 3 paps =?; h =? para p aps tečnost paps = patm + pnad paps = patm - pvak a. paps = patm - pvak = 1 x10 5 Pa - 8 x 10 4 Pa = 0,2 x10 5 Pa = Pa ( ) b. pa =pb c. pa = patm pb = paps+ ρvode g h hm = 260 mm = 0,26 m patm = paps + ρvode g h ρvode g h = patm - paps A B h p atm 5.7. U jednom rezervoaru za sirovu naftu kružnog poprečnog preseka površine 2,4 m 2, u kome vlada pritisak od 1,1 x 10 5 Pa, količina tečnosti se meri otvorenim U - manometrom, koji je priključen na visini 0,75 m u odnosu na dno suda. Gustina tečnosti u rezervoaru je 890 kg/m 3. Kada su nivoi žive u manometru izjednačeni, tada je rastojenje od priključnog mesta manometra do nivoa žive 0,18 m. Atmosferski pritisak je 1 x 10 5 Pa. Kolika je masa nafte koja p se nalazi u rezervoaru, ako manometar napunjen živom aps pokazuje skretanje od 320 mm? h Rešenje:5.7. H h 1 a Δh/2 A B Δh S = 24 m 2 paps = 1,1 x 10 5 Pa patm = 1 x10 5 Pa h1 = 0,75 m m =? ρnafte = 890 kg/m 3 a = 0,18 m Δh = 320 mm = 0,32 m pa =pb pb = patm + ρhg g Δh pa = paps + ρnafte g (h+a+ Δh) patm + ρhg g Δh = paps + ρnafte g (h+a+ Δh/2)

24 5.8. Dimenzije rezervoara za gas u obliku plivajućeg cilindra su: unutrašni prečnik D = 10 m, visina H0 = 6 m i debljina zida zvona δ = 6 mm. Gustina materijala od kojeg je napravljeno zvono rezervoara je ρ M = 7900 kg/m 3. U zvonu se nalazi gas čija je gustina na normalnim D F 4 F 2 F 1 uslovima ρg = 0,38 kg/m 3. Ako maksimalna visina do koje ispliva zvono računajući od nivoa vode u rezervoaru iznosi Hmax = 5,95 m, odrediti maksimalnu masu gasa u rezervoaru. Temperatura okoline iznosi 20 C, a pritisak 760 mmhg F 3 Rešenje:5.8. mgasa-max =? H max H o D = 10 m Ho =6 m δ = 6 mm = 6x10-3 m ρ M = 7900 kg/m 3 ρgasa = 0,38 kg/m 3 (T = 20 o C; p = 1, Panormalni uslovi) Hmax = 5,95 m Ako plivajući cilindar sa gasom plovi, zbir svih sila koje deluju na njega je jednak 0. Na njega deluju sledeće sile: F1 = sila koja potiče od gasa uskladištenog u rezervoaru, rezervoar hoče da ispliva; F2 = sila atmosferskog pritiska, hoće da potopi rezervoar; F3 = sila koja potiče od težine samog rezervoara, hoće da ga potopi; F4 = sila koja potiče od potiska vode, hoće da ga izbaci. Postavi se bilans sila ( +, one koje ga izbacuju, a -, one zbog kojih tone: F1 - F2 - F3 + F4 = 0 j Drugi Newtonov zakon Ovaj zakon glasi: "Intenzitet sile koja pokreće telo jednak je proizvodu mase tela i ubrzanja koje telo dobija djelovanjem te sile", tj. F = m*a, gdje je F sila koja pokreće telo i daje mu

25 ubrzanje, m masa tog tela i a ubrzanje koje telo dobija djelovanjem te sile. Pošto je jedinica za silu N = 1 kgm/s 2, F3 (sila koja potiče od težine samog rezervoara) možemo dobiti kao m x g. ( ) ( ) F1 = F2 + F3 - F4 =

26 6. HIDRODINAMIKA 6.1. Ako kroz horizontalnu cev kružnog poprečnog preseka (unutrašnji prečnik D1=40cm) protiče sirova nafta gustine 870 kg/m3 zapreminskim protokom 20 dm 3 /s, odrediti: a) maseni protok i srednju brzinu strujanja; b) srednju brzinu u suženju cevi (unutrašnji prečnik D2=30 cm) (slika). Rešenje:6.1. D1 = 40 cm D2 = 30 cm ρnafte = 870 kg/m 3 Vs = 20 dm 3 /s a. Gs =? Wsr1 =? b. Wsr2 =? D 1 D 2 a. Gs = Vs ρnafte = ( m 3 /s) 870 kg/m 3 = 17,4 kg/s Wsr1 =Vs /A1 = ( m 3 /s) / (D1 2 = ( m 3 /s) / (D1 2 = ( m 3 /s) / (0,40 2 = 0,159 m/s b. D2 = 30 cm m1 = m2 ρnafte = const. Nema promene mase i gustine i strujanje je stacionarno. Wsr1 A1 = Wsr2 A Prirodni gas molarne mase 0,019 kg/mol protiče srednjom brzinom od 9 m/s kroz cevovod na temperaturi od 30 o C i nadpritisku od 1 at. Spoljašnji prečnik i debljina cevi iznose 38 mm i 2 mm, respektivno. Ambijentalni pritisak je 740 mmhg. Odrediti maseni protok gasa. Rešenje:6.2. M = 0,019 kg/mol Wsr = 9 m/s T = 30 o C = 303,15 o K pnadp = 1 at Dsp = 38 mm δ = 2 mm patm = 740 mmhg Gs =? p = pnad + patm = 740 mmhg 133,3 Pa/1 mmhg +1at 98066,5 Pa/1at = Pa Gs = ρgasa Vs = ρgasa Wsr A p V = n R T na osnovu n = m/m p V = (m/m) R T, na osnovu ρgasa = m/v dobija se: p V = (ρgasa V /M) R T p V M = ρgasa V R T

27 Gs = ρgasa Vs = ρgasa Wsr A = 6.3. Kroz cevovod protiče nafta gustina 790 kg/m 3. Izračunati razliku pritisaka između dve pozicije, ako se prva pozicija nalazi na deonici čiji je unutrašlji prečnik 0,05 m, a druga na suženju gde je unutrašnji prečnik 0,03 m. Razlika u visini pozicija je 1 m, pri čemu je druga viša (slika). Brzina proticanja na prvoj poziciji je 1 m/s. Usvojiti uprošćenje da je fluid idealan. D 1 D 2 Δz Rešenje:6.3. ρnafte = 790 kg/m 3 Dun1 = 0,05 m Dun2 = 0,03 m Δz = z2 z1 = 1 m Wsr1 = 1 m/s Δp =? Wsr1*A1 = Wsr2*A2 p p ρg p ρg p p ρg p W g W g z z W p ρg p ρg W g W g W g W W ρ (z z )ρg z z z z Pa 6.4. Kroz cevni vod prikazan na slici protiče Gs = 1,2 kg/s tečnosti gustine ρ = 990 kg/m3. Visina tečnosti u piezometru u tački 1 je h1 = 62 mm, a u tački 2 h2 = 108 mm. Odrediti pad pritiska usled gubitaka izmenu ovih tačaka, ako su prečnici cevi d1 = 25 i d2 = 50 mm. Rešenje:6.4. Gs = 1,2 kg/s ρe = 990 kg/m 3 h1 = 62 mm h2 = 108 mm d1 = 25 mm d2 = 50 mm Δz = z2 z1 = 0,5 m Δp =?

28 pošto je 6.5. Sirova nafta gustine 870 kg/m 3 i kinematičke viskoznosti 15 cst protiče kroz naftovod spoljašnjeg prečnika Dsp=156 mm i debljine zida δ = 8 mm srednjom brzinom proticanja od 0,2 m/s. Odrediti režim proticanja na osnovu Rejnoldsovog broja, maksimalnu brzinu proticanja kao i koeficijent podužnog trenja (flow coefficient) ako se smatra da je cev glatka. Rešenje:6.5. ρnafte = 870 kg/m 3 ν = 15 cst = 15 mm 2 /s Dsp=156 mm δ = 8 mm Re =?; Wmax =?;λ =? Re d e = D un wd e ρ μ wd e ν po to se u zadatku predpostavlja da je cev potpuno okva ena

29 Na osnovu tablice se utvrđuje da je kretanje laminarno: LAMINARNI REŽIM PRELAZNI REŽIM TURBULENTNI REŽIM Re< <Re<10000 Re>10000 Izraz λ= 64/Re naziva se koeficijentom podužnog trenja za laminarno strujanje fluida. λ= 64/Re = 64/1866,6 = 0,034 bezdimenzionalna veličina 6.6. Sirova nafta gustine 840 kg/m 3 i kinematičke viskoznosti 6 cst protiče kroz naftovod spoljašnjeg prečnika Dsp = 530 mm i debljine zida δ =8 mm srednjom brzinom proticanja od 0,8 m/s. Odrediti režim proticanja na osnovu Rejnoldsovog broja i koeficijent podužnog trenja ako se smatra da je cev glatka. Rešenje:6.6. ρnafte = 840 kg/m 3 ν = 6 cst = 6 mm 2 /s Dsp=530 mm Re d e = D un wd e ρ μ wd e ν po to se u zadatku predpostavlja da je cev potpuno okva ena δ = 8 mm Na osnovu tablice se utvrđuje da je kretanje turbulentno: Pošto je u pitanju turbulentno strujanje koeficijentom podužnog trenja za turbulentno strujanje se određuje iz dijagrama, na osnovu λ= (Re, n (koeficienta rapavosti))

30 U dijagramu se odabira vrednost za Re = 6,8 10 4, i linija u dijagramu za glatke cevi kako je dato uslovima zadatka. Dobija se da je λ = 0, Odrediti pad pritiska u deonici naftovoda od 800 m kroz koji protiče nafta gustine 805 kg/m 3 i kinematičke viskoznosti 6 cst srednjom brzinom od 0,6 m/s. Naftovod ima unutrašnji prečnik od 0,45 m. Usvojiti aspolutnu hrapavost cevi od 0,00015 ft koja odgovara novim cevima izrađenim od ugljeničnog čelika. Rešenje:6.7. L = 800 m ρnafte = 805 kg/m 3 ν = 6 cst = 6 mm 2 /s Wsr = 0,1 m/s Dun = 0,45m ε = 0,00015 ft = (1 ft = m) = 4, m Δp =? Ovaj zadatak se rešava pomoću Darcy Weisbach jednačine koja u cevi uniformnog preseka (Dun), koja je potpuno ispunjena tečnošću (de = Dun). Kod ove jednačine pad pritiska je proporcionalan dužini cevovoda, zbog viskoznih efekta prilikom tečenja. U cilindričnoj cevi uniformnog preseka D, potpuno okvašenoj, gubitak pritiska je posledica viskoznih efekata Δp je proporcionalan dužini L i može se predstaviti pomoću Darcy Weisbach jednačine. On se izražava kao promena pritiska po dužini cevovoda Δp/L (SI jedinice mera su Pa/m) i on je funcija: gde su: ρ, gustina fluida (kg/m 3 ); D un, hidraulični prečnik cevi,(za cevi kružnog poprečnog preseka, on je jednak unutrašnjem prečniku cevi) (m); Wsr, brzina protoka, eksperimentalno se određuje kao količnik zapreminskog protoka po jedinici poprečne okvašene površine kroz koju fluid teče (m/s); f D, je Darcy-ev frikcioni faktor.f D se naziva i koeficient protoka λ. Na osnovu tablice se utvrđuje da je kretanje turbulentno: Pošto je u pitanju turbulentno strujanje koeficijentom podužnog trenja za turbulentno strujanje se određuje iz dijagrama, na osnovu λ= (Re, n (koeficienta rapavosti)) potrebno je odrediti n:

31 λ = 0, Odrediti srednju brzinu proticanja nafte kroz naftovod dužine 530 m i unutrašnjeg prečnika 300 mm. Na početku i kraju cevovoda su postavljene piezometrijske cevi koje pokazuju razliku visina stuba tečnosti od 52 mm. Gustina nafte je 810 kg/m 3 a kinematička viskoznost je 8 cst. Usvojiti da su cevi glatke.(napomena: Zadatak rešiti pomoću Karmanovog dijagrama) Rešenje:6.8. L = 530 m Dun = 300 mm = 0,3 m Δh = 52 mm = 0,052 m ρnafte = 810 kg/m 3 ν = 8 cst = 8 mm 2 /s n = 0 (glatke cevi) Wsr =? Da bi se zadatak rešio Karmanovim dijagramom potrebno je odrediti Karmanov broj koji se računa iz jednakosti srednje brzine fluida prikazane Re-brojem i prikazane jednačinom Darsi-Vajsbaha: U jednačini za Karmanov koeficient je nepoznat, koji se računa iz ukupnih pritisaka u tačkama 1 i 2. Ukupni pritisci za tačke 1 i 2 su jednaki zbiru atmosferskog i hidrostatičkog pritiska stuba tečnosti u piezometarima:

32 , ( ) U jednačini za Karmanov koeficient uzima se u obzir dinamička viskoznost µ (Pa s), pa kinematičku viskoznost ν = 8 cst = 8 mm 2 /s datu zadatkom treba pretvoriti: µ = ρ ν = 810 kg/m 3 8 (10-3 ) 2 m 2 /s = 6, Pa s Za vrednost Karmanovog koeficienta Ka = i za glatke cevi (n = 0) se dobija iz dijagrama da je Na osnovu Darcy Weisbach jednačine: 6.9. Sirova nafta protiče kroz horizontalnu deonicu cevovoda pri čemu je protok 3 gal/min. Dužina horizontalne deonice cevovoda je 10 ft, a unutrašnji prečnik 0,75 in. Nakon horizontalne deonice, sirova nafta protiče kroz standardno koleno pod uglom od 90 vertikalno na niže. Dužina vertikalne deonice cevovoda je 12 ft, a zatim protiče kroz drugo koleno p =90 psi 1 10 ft 12 ft 14 ft p =? 2 pod uglom od 90 i nastavlja strujanje kroz drugu horizontalnu deonicu dužine 14 ft (slika). Gustina sirove nafte je ρnafte = 54 lb/ft 3, a kinematička viskoznost ν = 75 cst. Akoje pritisak na ulazu 90 psi, koliki je pritisak na izlazu?

33 Rešenje:6.9. l p2 =? Za dva preseka postavljamo Bernulijevu jednačinu: Pošto je Potrebno je izračunati ukupnu visinu hidrauličnog gubitka f1,2 Δpg (Pa) ukupni pad pritiska usled hidrauličnih otpora između preseka 1 i 2 obično se meri pomoću U-manometra ili pijezometarskih cevi; fm (m) visina izgubljena usled lokalnih (mesnih) otpora; ft (m) visina izgubljena usled podužnog trenja. Visina izgubljena usled podužnog trenja na pravoj deonici cevovoda dužine L (m) i ekvivalentnog prečnika De (m), pri srednjoj brzini strujanja fluida wsr (m/s) može se izračunati iz Darcy- Weisbach-ove jednačine: Δpt (Pa) pad pritiska usled trenja na posmatranom delu cevovoda obično se meri pomoću U- manometra ili pijezometarskih cevi; λ (-) - koeficijent podužnog trenja. Pri hidrauličkom proračunu cevovoda obično su poznati geometrijski parametri cevne mreže (de, L, i relativna hrapavost cevovoda n) i -fizički parametri fluida (ρ i μ) n (-) - relativna hrapavost cevovoda, n = ε / de

34 ε (m) - apsolutna hrapavost cevovoda (Iz Tabele 2) fm (m) visina izgubljena usled lokalnih (mesnih) otpora Lokalni (mesni otpor je svako mesto unutar cevnog voda gde se menja intenzitet ili pravac vektora brzine, npr. koleno, krivina, naglo proširenje i suženej cevovoda, ventil slavina itd. Visina energije izgubljena usled lokalnog otpora na deonici cevnog voda konstantnog poprečnog preseka određena je vrednošću koeficijenta mesnog otpora ( ) ili ekvivalentnom dužinom prave cevi (le), čiji je podužni otpor jednak mesnom otporu. Za sve lokalne otpore na nekoj deonici važi: Iz tablice 1. se određuje za pravo koleno koje iznosi 1,1; = = 1,1 Potrebno je odrediti brzinu proticanja: Wsr =Vs /A = (1, m 3 /s) / (D 2 = (1, m 3 /s) / (0,019 2 = 0,664 m/s Potrebno je odrediti Re broj, da bi se utvrdio režim strujanja: kretanje je laminarn, pa se koeficijentom podužnog trenja za laminarno strujanje fluida može odrediti: λ= 64/Re = 64/168,213 = 0,38 bezdimenzionalna veličina ( ) z1-z2 = L2 = 3,66 m Sirova nafta gustine 810 kg/m 3 i viskoznosti 8 cst se transportuje iz rezervoara A u rezervoar B pri čemu je visina podizanja nafte 8 m. Usvojiti da se visina od površine fluida do izlaza cevi u 8 m rezervoaru A ne menja tj. da je konstantno 2 m. Odrediti opseg pritiska u rezervoaru A koji obezbeđuje laminarno strujanje. ako je u rezervoaru B atmosferski pritisak. Usvojiti da se nivo tečnosti u rezervoaru A ne menja i da je p 1 A 2 m atmosferski pritisak 100 kpa. Koeficijent mesnog otpora ventila je εv=3,5. 49,5 m B p 2 Rešenje:6.10. ρnafte = 810 kg/m 3 ν = 8 cst = 8 mm 2 /s = m 2 /s H = 8 m Dun = 0,7 m

35 Re = 2300 pb = 100 kpa = Pa εv=3,5 pa =? Za dva preseka postavljamo Bernulijevu jednačinu: Pošto se uslovima zadatka nivo tečnosti u rezervoaru A ne menja w1 = 0 0 Pošto je dat Re broj, iz izraza za Re broj se može odrediti w2: kretanje je laminarno, pa se koeficijentom podužnog trenja za laminarno strujanje fluida može odrediti: λ= 64/Re = 64/2300 = 0,028 bezdimenzionalna veličina ( ) iz čega sledi: = , ,347 = ,3469 Pa Sirova nafta gustine 810 kg/m 3 i viskoznosti 8 cst se transportuje iz rezervoara A u rezervoar B pri čemu je visina podizanja nafte 8 m. Usvojiti da se visina od površine fluida do p 1 izlaza cevi u rezervoaru A ne menja tj. da je konstantno 2 m i da je atmosferski pritisak 100 A kpa. Koeficijent mesnog otpora ventila je εv=3,5.. Koji je maseni protok, ako je pritisak u rezervoaru A 185,2 kpa, a podužni koeficijent trenja 0, m 2 m 49,5 m B p 2 Rešenje:6.11. ρnafte = 810 kg/m 3 ν = 8 cst = 8 mm 2 /s = m 2 /s

36 H = 8 m Dun = 0,7 m λ = 0,0192 pa = 100 kpa = Pa pb = Pa εv=3,5 w2 =? Za dva preseka postavljamo Bernulijevu jednačinu: Pošto se uslovima zadatka nivo tečnosti u rezervoaru A ne menja w1 = 0 0 zamenom se dobija: ( ) ( ( ) ( ) ( ( )

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Termofizika. Glava Temperatura

Termofizika. Glava Temperatura Glava 7 Termofizika Toplota je jedan od oblika energije sa čijim transferom sa tela na telo se svakodnevno srećemo. Tako nas na primer, leti Sunce zagreva tokom dana dok su vedre letnje noći često prilično

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: SENZORI PROTOKA

FIZIČKO-TEHNIČKA MERENJA: SENZORI PROTOKA : SENZORI PROTOKA UVOD Merenje protoka je veoma bitno u velikom broju industrijskih aplikacija. Posebno su značajna obračunska merenje, jer se cena gasova i tečnosti određuje na osnovu protoka kroz cevi.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Hidraulični sistem je tehnički sistem za pretvaranje i prenos energije i upravljanje

Hidraulični sistem je tehnički sistem za pretvaranje i prenos energije i upravljanje 1 Hidraulični sistemi Hidraulični sistem je tehnički sistem za pretvaranje i prenos energije i upravljanje njome. U ovom poglavlju se analiziraju: osnovne funkcije hidrauličnog sistema, hidraulični prenosnik,

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

LABORATORIJSKI PRAKTIKUM - FIZIKA. za generaciju 2015/16.

LABORATORIJSKI PRAKTIKUM - FIZIKA. za generaciju 2015/16. LABORATORIJSKI PRAKTIKUM - FIZIKA za generaciju 015/16. SPISAK LABORATORIJSKIH VEŽBI IZ FIZIKE 1. VEŽBA - a) Određivanje ubrzanja Zemljine teže pomoću matematičkog klatna b) Određivanje Jungovog modula

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema.

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema. TERMODINAMIKA U svakodnevnom govoru, često dolazi greškom do koriščenja termina temperatura i toplota u istom značenju. U fizici, ova dva termina imaju potpuno različito značenje. Razmatračemo kako se

Διαβάστε περισσότερα

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE. za generaciju 2013/14.

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE. za generaciju 2013/14. LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE za generaciju 03/4. UNIVERZITET U NIŠU UPUTSTVO ZA IZRADU LABORATORIJSKIH VEŽBI IZ FIZIKE. Pre početka rada pažljivo se upoznati sa napomenama iz ovog uputstva!. Na početku

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE

LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE LABORATORIJSKE VEŽBE IZ FIZIKE Ime i prezime: Broj indeksa: UPUTSTVO ZA IZRADU LABORATORIJSKIH VEŽBI IZ FIZIKE. Pre početka sa radom pažljivo se upoznati sa napomenama iz ovog uputstva!. Na početku opisa

Διαβάστε περισσότερα

Pitanje: zašto ova buba može da hoda po površini vode? Odgovor: Na granici izmeñu vode i vazduha postoji ureñen sloj molekula vode povezanih

Pitanje: zašto ova buba može da hoda po površini vode? Odgovor: Na granici izmeñu vode i vazduha postoji ureñen sloj molekula vode povezanih Pitanje: zašto ova buba može da hoda po površini vode? Odgovor: Na granici izmeñu vode i vazduha postoji ureñen sloj molekula vode povezanih meñusobno i sa molekulima u unutrašnjosti vodoničnim vezama.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

Rastvor predstavlja homogenu smešu dve ili više komponenti. Uslovna podela komponenata na rastvorak i rastvarač:

Rastvor predstavlja homogenu smešu dve ili više komponenti. Uslovna podela komponenata na rastvorak i rastvarač: RASTVORI 1 Rastvor predstavlja homogenu smešu dve ili više komponenti. Uslovna podela komponenata na rastvorak i rastvarač: Rastvarač je komponenta koja ima isto agregatno stanje kao i dobijeni rastvor.

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

Računske vežbe iz Fizike

Računske vežbe iz Fizike Računske vežbe iz Fizike Praktikum Decembar 2009 Mašinski Fakultet Kraljevo Zlatan Šoškić Predgovor Ovaj praktikum je zamišljen kao pomoćni materijal koji se koristi u nastavi predmeta Fizika na Mašinskom

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

PRIKAZ STANDARDA SCS ISO 13370:2006 Toplotne karakteristike zgradaprenošenje toplote preko tla- Metode proračuna -u pogledu određivanja U-vrednosti-

PRIKAZ STANDARDA SCS ISO 13370:2006 Toplotne karakteristike zgradaprenošenje toplote preko tla- Metode proračuna -u pogledu određivanja U-vrednosti- PRIKAZ STANDARDA SCS ISO 13370:2006 Toplotne karakteristike zgradaprenošenje toplote preko tla- Metode proračuna -u pogledu određivanja U-vrednosti- Prenos toplote preko poda (temelja) koji je u kontaktu

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

ZADACI IZ FIZIKE PREDVI\ENI ZA TEST NA PRIJEMNOM ISPITU

ZADACI IZ FIZIKE PREDVI\ENI ZA TEST NA PRIJEMNOM ISPITU ZADACI IZ FIZIKE PREDVI\ENI ZA TEST NA PRIJEMNOM ISPITU . Nanose}i na apscisu vreme u [s], a na ordinatu pre eni put u [m], nacrtaj grafik funkcije s = + t. Kolika je brzina kretawa? Koliki je po~etni

Διαβάστε περισσότερα

PRIVREDNO DRUŠTVO ZA PROIZVODNJU I POSTAVLJA NJE C EVI, PROFILA I OSTALIH PROIZVODA OD PLASTIČ N IH M ASA

PRIVREDNO DRUŠTVO ZA PROIZVODNJU I POSTAVLJA NJE C EVI, PROFILA I OSTALIH PROIZVODA OD PLASTIČ N IH M ASA PRIVREDNO DRUŠTVO ZA PROIZVODNJU I POSTAVLJA NJE C EVI, PROFILA I OSTALIH PROIZVODA OD PLASTIČ N IH M ASA d.o.o Radnicka bb 32240 LU ČANI SRBIJA TR: 205-68352-90; MB: 17533606; PIB: 103195754; E-mail:

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga i energija zadatci

Rad, snaga i energija zadatci Rad, snaga i energija zadatci 1. Tijelo mase 400 g klizi niz glatku kosinu visine 50 cm i duljine 1 m. a) Koliki rad na tijelu obavi komponenta težine paralelna kosini kada tijelo s vrha kosine stigne

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Snimanje karakteristika dioda

Snimanje karakteristika dioda FIZIČKA ELEKTRONIKA Laboratorijske vežbe Snimanje karakteristika dioda VAŽNA NAPOMENA: ZA VREME POSTAVLJANJA VEŽBE (SASTAVLJANJA ELEKTRIČNE ŠEME) I PRIKLJUČIVANJA MERNIH INSTRUMENATA MAKETA MORA BITI ODVOJENA

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΕΥΕΣ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 1η Ενότητα

ΣΥΣΕΥΕΣ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 1η Ενότητα ΣΥΣΕΥΕΣ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 1η Ενότητα Οκτώβριος 2013 1. Εναλλάκτης σχεδιάζεται ώστε να θερμαίνει 2 kg/s νερού από τους 20 ο C στους 60 ο C. Το θερμό ρευστό είναι επίσης νερό, με θερμοκρασία εισόδου 95

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU 1 Prskalica je pogodna za raspršivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Uredjaj je namenjen za kućnu,

Διαβάστε περισσότερα

Proračun toplotne zaštite

Proračun toplotne zaštite Proračun toplotne zaštite za objekat Stambeni objekat urađen prema JUS U.J5.600 iz 1998 i JUS U.J5.510 iz 1987 godine. Sadržaj - analiza konstrukcija - analiza linijskih gubitaka - proračun toplotnih transmisionih

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

1 T 3015 EN. Samostalni regulator serije 42 Regulator protoka tip Aplikacija Regulator za sisteme daljinskog grejanja i velike grejne sisteme.

1 T 3015 EN. Samostalni regulator serije 42 Regulator protoka tip Aplikacija Regulator za sisteme daljinskog grejanja i velike grejne sisteme. Samostalni regulator serije 42 Regulator protoka tip 42-36 Aplikacija Regulator za sisteme daljinskog grejanja i velike grejne sisteme. Ventili su nominalne veličine DN 15 do 250 1). Nominalni pritisak

Διαβάστε περισσότερα

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ)

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmeničnog napona: u(t) = U max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmenične struje:

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak Vul[V] Vul[V]

Zadatak Vul[V] Vul[V] Zadatak 11.1. a) Projektovati kolo A/D konvertora sa paralelnim komparatorima koji ulazni napon u opsegu 0 8V kovertuje u 3 bitni binarni broj prema karakteristici sa Slike 11.1.1. a). U slučaju kada je

Διαβάστε περισσότερα

serije /16 SR Funkcija serije 130 navojni 130 prirubnički

serije /16 SR Funkcija serije 130 navojni 130 prirubnički Balansni ventili serije 130 01251/16 SR ACCREDITED ISO 9001 FM 21654 Funkcija Balansni ventili su uređaji koji omogućavaju precizno regulisanje protoka fluida u sistemima grejanja, hlađenja i klimatizacije.

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika, kinematika i elastičnost

Mehanika, kinematika i elastičnost Mehanika, kinematika i elastičnost Marko Petković Sreda, 9. Mart 006. god. 1 Osnovne relacije 1. Drugi Njutnov zakon: m v t = F ; m a = F + mω R + m( v ω). Priraštaj impulsa sistema: p p 1 = F t (ako je

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

Matematički modeli sistema

Matematički modeli sistema Matematički modeli sistema U analizi i sintezi SAU se koriste kvantitativni matematički modeli koji opisuju fiziku sistema. Generalno, dinamika sistema je opisana običnim diferencijalnim jednačinama. lasa

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci (teorija i objašnjenja):

Zadaci (teorija i objašnjenja): KOLOKVIJ K, 1-4 F1_I semestar; 9.01.08. (analiza zadataka i rješenja) Napomena: razmatrani su svi zadaci iz četiri grupe, K, 1-4 na način da su obrađeni oni s istim temama; posebno je obraćena pažnja onim

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije

5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije Glava 5 Gravitacija Orbitiranje prirodnih i veštačkih satelita oko Zemlje, planeta oko Sunca, fenomen plime i oseke, prenos toplote strujanjem fluida, visoka temperatura unutrašnjosti planeta, padanje

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA NAFTE PRIMARNA PRERADA NAFTE

PRERADA NAFTE PRIMARNA PRERADA NAFTE RUDARSKI ODSEK-Eksploatacija tečnih i gasovitih mineralnih sirovina i gasna tehnika PREDMET: HEMIJA I PRERADA NAFTE I GASA (za studente VI semestra) Prof. dr AleksandraKostic-Pulek ( 09.05.2008) PRERADA

Διαβάστε περισσότερα

Snaga naizmenicne i struje

Snaga naizmenicne i struje Snaga naizmenicne i struje Zadatak električne mreže u okviru elektroenergetskog sistema (EES) je prenos i distribucija električne energije od izvora do potrošača, uz zadovoljenje kriterijuma koji se tiču

Διαβάστε περισσότερα

EKSTERNA MATURA za učenike osnovne škole

EKSTERNA MATURA za učenike osnovne škole EKSTERNA MATURA za učenike osnovne škole ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 202/203. GODINI FIZIKA Stručni tim za fiziku: Maida Beganović Sanela Karović Mirsada Ţiko Sead Hanjalić Divna Petrović

Διαβάστε περισσότερα

PRAVILNIK O AREOMETRIMA. ("Sl. glasnik RS", br. 66/2014) Predmet. Član 1

PRAVILNIK O AREOMETRIMA. (Sl. glasnik RS, br. 66/2014) Predmet. Član 1 Preuzeto iz elektronske pravne baze Paragraf Lex izvor: www.paragraf.rs PRAVILNIK O AREOMETRIMA ("Sl. glasnik RS", br. 66/2014) Predmet Član 1 Ovim pravilnikom propisuju se zahtevi i označavanje za areometre,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE DRUGI ZKON ERMODINMIKE Povratni i nepovratni procesi Ranije smo razmotrili više različitih procesa pomoću kojih se termodinamički sistem (u našem razmatranju, idealan gas) prevodi iz jednog stanja ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija, snaga. Glava Rad

Rad, energija, snaga. Glava Rad Glava 4 Rad, energija, snaga Pojam energije je jedan od najvažnijih u nauci i tehnici ali se koristi i u svakodnevnom životu. U našoj svakodnevnici taj pojam se obično odnosi na gorivo za pokretanje automobila

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. U temenima kvadrata stranice a (Sl.1) nalaze se mala tela istoimene količine 11. naelektrisanja Q 4 10

Zadatak 1. U temenima kvadrata stranice a (Sl.1) nalaze se mala tela istoimene količine 11. naelektrisanja Q 4 10 adatak temenima kvadrata stranice a (Sl) nalaze se mala tela istoimene količine naelektrisanja Q 0 C u vakumu Koliku količinu elektriciteta negativnog znaka treba postaviti u tačku preseka dijagonala da

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD 10.2012-13. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel Zdenko Novak TEHNIČKA SREDSTVA U CESTOVNOM PROMETU 1. UVOD 1 Literatura: [1] Novak, Z.: Predavanja Tehnička sredstva u cestovnom prometu, Web stranice Veleučilišta

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Atmosfera. Glava Nastanak planetarne atmosfere Nastanak Sunčevog sistema

Atmosfera. Glava Nastanak planetarne atmosfere Nastanak Sunčevog sistema Glava 1 Atmosfera 1.1 Nastanak planetarne atmosfere Atmosfera 1 Zemlje je relativno tanak sferni gasoviti omotač koji gravitacija drži uz Zemlju. U postupku analize Zemljine atmosfere i ljudskog uticaja

Διαβάστε περισσότερα

SINTEZA I PODEŠAVANJE PROSTOG REGULACIONOG KRUGA

SINTEZA I PODEŠAVANJE PROSTOG REGULACIONOG KRUGA Glava I SINTEZA I PODEŠAANJE PROSTOG REGULACIONOG KRUGA 4.1. UOD Činjenice izložene u prethodnim poglavljima su definisale objekat upravljanja, tehničke uslove na konturu upravljanja kao i strukturu prostog

Διαβάστε περισσότερα

='5$9.2 STRUJNI IZVOR

='5$9.2 STRUJNI IZVOR . STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΤΕΧΝ. ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝ. ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ. Ap C,. Γ,... C ^ f ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΘΕΜΑ ΤΕΧΝ. ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝ. ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ. Ap C,. Γ,... C ^ f ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝ. ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝ. ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ Ap C,. Γ,... C ^ f _ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ "ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ, ΠΡΟΛΗΨΗ ΑΤΥΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΥΡΚΑΓΙΑΣ ΣΕ ΠΛΑΤΦΟΡΜΕΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

RADIJALNI KLIZNI LEŽAJ

RADIJALNI KLIZNI LEŽAJ FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVOD ZA STROJARSTVO I BRODOGRADNJU KATEDRA ZA ELEMENTE STROJEVA Damir Jelaska RADIJALNI KLIZNI LEŽAJ (Proračun) Split, srpanj, 2003. O Z N A K E A H

Διαβάστε περισσότερα

ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA

ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA David Brčić ORTODROMSKA, LOKSODROMSKA I KOMBINIRANA PLOVIDBA Riješeni zadaci DAVID BRČIĆ LOKSODROMSKA PLOVIDBA I. Loksodromski zadatak (kurs i udaljenost): tgk= II. Loksodromski zadatak (relativne koordinate):

Διαβάστε περισσότερα

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas ,4,4, Odreñivanje promene entropije,4,4,, romena entropije pri promeni faza Molekular ularna interpretacija entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: čvrsto

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET. Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET. Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA KOMPLETI ZADATAKA ZA PRIJEMNI ISPIT 011. Edicija: Pomoæni ud benici Marjan

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Τροφίμων. Θεμελιώδεις Έννοιες Μηχανικής. Μέρος 1 ο. Συστήματα μονάδων

Μηχανική Τροφίμων. Θεμελιώδεις Έννοιες Μηχανικής. Μέρος 1 ο. Συστήματα μονάδων Μηχανική Τροφίμων Θεμελιώδεις Έννοιες Μηχανικής Μέρος 1 ο Συστήματα μονάδων Διεθνές σύστημα (S.I). Έχει υιοθετηθεί αποκλειστικά στην μηχανική και τις επιστήμες. Οι τρεις βασικές μονάδες είναι το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

4 UREĐAJI I OPREMA SISTEMA CENTRALNOG GREJANJA

4 UREĐAJI I OPREMA SISTEMA CENTRALNOG GREJANJA 4 UREĐAJI I OPREMA SISTEMA CENTRALNOG GREJANJA 4.1 KOTLOVI ZA CENTRALNO GREJANJE Kotlovi su uređaji u kojima se vrši sagorevanje goriva i pretvaranje hemijske energije goriva u toplotu. Dobijena toplota

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Stalne jednosmerne struje

Stalne jednosmerne struje Stalne jednosmerne struje Električna struja Električnom strujom se može nazvati svako ureñeno kretanje električnih naelektrisanja, bez obzira na uzroke ovog kretanja i na vrstu električnih naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

S A D R Ž A J. 1.1 Opšti podaci Čelik za prednaprezanje Kotve i kablovi Oprema Gubici sile prednaprezanja...

S A D R Ž A J. 1.1 Opšti podaci Čelik za prednaprezanje Kotve i kablovi Oprema Gubici sile prednaprezanja... 1 1 S A D R Ž A J 1.0 OPIS SISTEMA 1.1 Opšti podaci... 2 1.2 Čelik za prednaprezanje... 2 1.3 Kotve i kablovi... 2 1.4 Oprema... 3 1.5 Gubici sile prednaprezanja... 3 1.5.1 Uvlačenje klina... 4 1.5.2 Elastično

Διαβάστε περισσότερα

1. AKTUATORI I IZVRŠNI ORGANI

1. AKTUATORI I IZVRŠNI ORGANI 1. AKTUATORI I IZVRŠNI ORGANI 1.1 UVODNA RAZMATRANjA Izvršni organ je element direktne grane SAU kojim se neposredno mijenja izvršna (upravljačka) vlast. Obično, izvršni organ mijenja intenzitet toka energije

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικές και χημικές ιδιότητες

Φυσικές και χημικές ιδιότητες Φυσικές και χημικές ιδιότητες Φυσικές ιδιότητες Οι ιδιότητες που προσδιορίζονται χωρίς αλλοίωση της χημικής σύστασης της ουσίας (π.χ. σ. τήξεως, σ. ζέσεως, πυκνότητα, χρώμα, γεύση, σκληρότητα). Χημικές

Διαβάστε περισσότερα

REŠENI ZADACI. m 1200 h. 3) Potro{nju vode za hladjenje kod ciklusa sa izotermskim sabijanjem ako se ista zagreje za t = 10 o C

REŠENI ZADACI. m 1200 h. 3) Potro{nju vode za hladjenje kod ciklusa sa izotermskim sabijanjem ako se ista zagreje za t = 10 o C REŠENI ZADACI I PNEUMAIKA.KLIPNI KOMPRESOR.. Klini komresor usisava vazduh (R= 87 J /kgk) ritiska = bar i temerature t = 0 o C i sabija ga do =6 bar. Ako je kaacitet komresora ) Masu usisanog vazduha u

Διαβάστε περισσότερα

m 2 Slika 1: Slika uz zadatak 2.

m 2 Slika 1: Slika uz zadatak 2. ISPIT IZ FIZIKE ETF, Beograd, 0.09.00.. Zavisnost vektora ubrzanja aterijalne tačke od vreena, napisana u polarno koordinatno sisteu, je a = (R v 0/ρ 3 ) e ρ, gde je ρ = ρ(t). Vektor brzine tačke u početno

Διαβάστε περισσότερα