2. deo ZADACI. Hidrostatika

Transcript

1 2. deo ZADACI 1 Hidrostatika Zadatak 1.1. Plovak, koji se sastoji od valjka (prečnika d V = 0.10 m i visine h V = 0.10 m) i cevčice (prečnika d C = 0.02 m i visine h C =1.00 m), nalazi se u vodi gustine ρ 1 =1.0 kg/dm 3. Valjak je ispunjen tečnošću gustine ρ 2 =1.2 kg/dm 3, a cevčica je ispunjena vazduhom. Uticaj debljine zida plovka na hidrostatičke sile se zanemaruje. Pri datim uslovima valjak je potpuno potopljen u vodu, a samo deo cevčice je iznad nivoa vode. Sopstvena težina praznog plovka je G P = 1.0N. Odrediti koliki deo visine cevčice (h C )se nalazi u vodi. Rešenje. Visina dela cevčice koji se nalazi u vodi,, odre duje se iz uslova ravnoteže svih sila: h C G P + G 2 P Z1 + P Z2 =0 Težina tečnosti u valjku iznosi: G 2 = ρ 2 g πd2 V 4 h V = = 9.25 N 4 Hidrostatičke sile koje deluju na donju (P Z1 ) i gornju (P Z2 ) osnovu valjka su: P Z1 = ρ 1 g πd2 V 4 (h V + h C)= (0.1+h 4 C)= 45

2 46 1. Hidrostatika = 77.05(0.1+h C) P Z2 = ρ 2 g π(d2 V d2 C ) h C 4 = = ( ) h C =73.97h C 4 U gornjim izrazima, vertikalna komponenta hidrostatičke sile je računata kao P Z = ρgv gde je ρ gustina fluida koji je u kontaktu sa površinom na koju se računa komponenta sile, a V je zapremina tela izme du površine na koju se računa sila i njene projekcije na horizontalnu ravan na visini pijezometarske kote. Tražena visina dela cevčice koji se nalazi u vodi je: h C = =0.826 m Zadatak 1.2 Otvoreni rezervoar ispunjen je fluidom nepoznate gustine ρ 2 i vodom gustine ρ 1 =1.0 kg/dm 3. U rezervoar je uronjen valjak gustine ρ 3 = 0.4 kg/dm 3 koji može da se kreće bez trenja duž vertikalne o- sovine O. Poluprečnik valjka je r = 0.5 m, a visina h = 2.5 m. Na slici je prikazan početni položaj valjka (pri kome je njegova težina u ravnoteži sa hidrostatičkim silama). Odrediti silu kojom treba delovati na valjak da bi se on, u odnosu na početni položaj, spustio za Z = 0.50 m. Zanemariti dimenzije o- sovine i pretpostaviti da je rezervoar dovoljno velike zapremine da se pri pomeranju valjka ne menjaju nivoi fluida. Rešenje. Težina valjka i sila potiska (vertikalna komponenta hidrostatičke sile) na njega su: G = ρ 3 gπr 2 h P Z = ρ 1 gπr 2 (Π ) Iz uslova ravnoteže ovih sila odre duje se pijezometarska kota za vodu Π 1 :

3 47 G = P Z Π 1 = ρ 3h = ρ = = 2.00 m 1.0 Gustina drugog fluida odre duje se pomoću pritiska u zajedničkoj tački A: p A = ρ 1 g(π 1 Z A )=ρ 2 g(π 2 Z A ) ρ 2 = =0.8 kg/dm Na valjak treba delovati silom koja je jednaka odgovarajućoj promeni sile potiska: F = P Z = ρ 1 gπr 2 Z = = 3.85 kn Zadatak 1.3. Za dno otvorenog rezervoara, ispunjenog vodom gustine ρ 1 =1.0 kg/dm 3, pričvršćena je, preko opruge krutosti k =4.5 kn/m, kupa gustine ρ 3 = 0.5 kg/dm 3. Ova kupa, visine h = 1.50 m, okrenuta je vrhom na dole, tako da joj je osnova prečnika d = 1.25 m izvan vode. Pri stanju prikazanom na slici, kada je nivo vode na nepoznatoj koti Z 0, sila u opruzi jednaka je nuli. Odrediti za koliko će se podići kupa (odnosno istegnuti opruga) ukoliko se u rezervoar sipa ulje gustine ρ 2 = 0.85 kg/dm 3 tako da nivo ulja dostigne kotu osnove kupe. Pretpostaviti da je rezervoar dovoljno velike zapremine da se pri podizanju kupe ne menja nivo vode. Rešenje. Težina kupe i sila potiska na nju su: G = ρ 3 g π 12 d2 h = π = kn

4 48 1. Hidrostatika ( ) Z d 2 (Z ) = P Z = ρ 1 g π 12 h ( ) Z (Z ) = π = 1.784(Z ) 3 Iz uslova ravnoteže ovih dveju sila odre duje se Z 0 : G = P Z Z 0 = = 2.19 m Ako se ulje dolije do kote Π 2 =2.50+ Z (gde je Z istezanje opruge), tada je: Π 2 = p 0 ρ 2 g + Z 0 p 0 = ρ 2 g( Z Z 0 ) Pijezometarska kota za vodu Π 1 odre duje se pomoću pritiska u zajedničkoj tački na kontaktu vode i ulja: Π 1 = p 0 ρ 1 g + Z 0 = 0.85 ( Z 2.19) = 0.85 Z Sila potiska na deo kupe koji je u vodi je: [ πd 2 ( ) Z0 1 Z 2 P Z1 = ρ 1 g (Z 0 1 Z)+ 12 h ( ) + πd2 Z0 1 Z 2 (Π 1 Z 0 )] 4 h Sila potiska na deo kupe koji je u ulju je: [ πd 2 ( ) h P Z2 = ρ 2 g 12 πd2 Z0 1 Z 2 (Z 0 1 Z) 12 h ( ) πd2 Z0 1 Z 2 (Π 2 Z 0 )] 4 h Sila kojom opruga vuče kupu je: F = k Z

5 49 Traženo rastojanje Z odre duje se iz uslova ravnoteže svih sila: G + F = P Z1 + P Z2 Zamenom odgovarajućih brojnih vrednosti dobija se jednačina: ( Z) ( Z) Z 9.60 = 0 (1.1) Analitičko rešenje jednačine oblika x 3 +Ax 2 +Bx+C = 0 dobija se smenom t = x + A/3, odnosno svo denjem na jednačinu oblika t 3 +3αt +2β =0. Koeficijenti i diskriminanta ove jednačine su: α = A2 +3B 9 β = 2A3 9AB +27C 54 Ukoliko je δ>0, postoji samo jedno realno rešenje: δ = α 3 + β 2 x = A β + δ + 3 β δ a druga dva su kompleksna. U slučaju kada je δ 0, postoje tri realna rešenja: x i = A [ ( ) 1 β 3 +2 α cos 3 arccos +(i 1) 2π ] (i =1, 2, 3) α 3 3 Za vrednosti A = 3.59, B = i C = 9.60 dobija se α = 5.63 i β =6.16, odnosno δ = > 0, pa je: Z = ( 3.59) =0.488 m 3 Jednačina (1.1) može da se reši i nekim približnim (numeričkim) postupkom, npr. metodom iteracije. Ovaj postupak 1 zasniva se na tome da se jednačina oblika f(x) = 0 prepiše u obliku x = ϕ(x), pa se zatim ponavlja rekurentna formula x (i+1) = ϕ(x (i) ). Dakle, jednačina (1.1) može se prepisati u obliku: odnosno: Z = 9.60 ( Z) ( Z) Z (i+1) = 9.60 ( Z (i)) ( Z (i) ) Potreban uslov za konvergenciju ovog postupka je da u nekom intervalu za vrednosti x (u okviru koga se bira i vrednost za prvu iteraciju x 1), bude dϕ/dx < 1.

6 50 1. Hidrostatika gde je i redni broj iteracije. Ako se u prvom koraku uzme Z (1) =0, dobija se: Z (2) = =0.453 Z (3) = =0.484 Z (4) = = Daljim ponavljanjem može se pokazati da postupak konvergira vrednosti Z =0.488 m. Zadatak 1.4. Zatvoreni rezervoar delimično je ispunjen vodom gustine ρ =1.0 kg/dm 3. Pritisak na otvorenom manometru iznosi p M = 9.81 kpa. Odrediti statičke uticaje (M,T,N) u preseku A A pregradnog zida. Zadatak je ravanski (računati na 1 m dužine zida). Rešenje. Pijezometarska kota za vodu sa leve strane pregradnog zida, Π 1, može se odrediti iz osnovne jednačine hidrostatike za tačku na visini na kojoj se nalazi manometar (Z M ): Π 1 = p M ρg + Z M = = 0.00 m Pritisak na površini vode sa leve strane zida (u tački B) je: p B = ρg(π 1 Z B )= ( ) = kpa Ovaj pritisak jednak je pritisku vazduha p VAZD, odnosno jednak je pritisku na površini vode sa desne strane zida (p B = p VAZD = p C ), pa je: Π 2 = p C ρg + Z C = = 3.00 m

7 Na delu na kome je vazduh sa obe strane zida (desno od račve i na levom delu iznad kote 4 m), sile kojima vazduh deluje na zid me dusobno se poništavaju. Opterećenja na ostale delove zida su računata kao za ravanski zadatak i to: horizontalna opterećenja prema izrazu P X = ρgω X L,gdejeΩ X površina dijagrama visine pritiska (tj. dijagrama opterećenja kod koga je apscisa p/ρg, a ordinata Z) il dužina zida, vertikalna opterećenja prema izrazu P Z = ρgω Z L, gde je Ω Z površina ome dena konturom na koju se odre duje sila, njenom projekcijom na horizontalnu ravan na visini pijezometarske kote i odgovarajućim vertikalnim izvodnicama. 51 P X1 = /2= kn/m P X2 = = kn/m P X3 = /2= 4.90 kn/m P X4 = = kn/m P Z1 = = kn/m P Z2 = = kn/m Statički uticaji u preseku A A su: 4 2 M A A = P Xi Z i + P Zi X i = T A A = N A A = i=1 i= = knm/m 4 P Xi = = kn/m i=1 2 i=1 P Zi = = kn/m Proračun opterećenja mogao bi se pojednostaviti ako bi se pre proračuna sila sabrali dijagrami svih horizontalnih odnosno vertikalnih opterećenja. Ovako dobijeno rezultujuće opterećenje ekvivalentno je onome koje bi delovalo kada bi posmatrani rezervoar bio otvoren, odnosno kada bi pijezometarske kote bile na nivoima vode. U tom slučaju potrebno je računati svega tri sile (umesto šest).

8 52 1. Hidrostatika Šrafura na dijagramima Ω X iω Z ukazuje na smer delovanja odgovarajućih sila 2. Zadatak 1.5. Ustava napravljena od materijala gustine ρ U =7.0 kg/dm 3 svojim gornjim krajem okačena je o zglob duž ose čija je projekcija tačka O, a donjim krajem je slobodno oslonjena na dno rezervoara. Zadatak je ravanski. Sa obe strane ustave nalazi se voda gustine ρ V =1.0 kg/dm 3. Odrediti 2 Na slikama su nacrtani pravi smerovi delovanja sila. Znak u izrazima za sile označava da je hidrostatički pritisak u toj tački negativan, odnosno da je sila usmerena od konture na koju deluje ka tečnosti (fluid povlači konturu). Obrnuto, pozitivan znak sile znači da je hidrostatički pritisak u merodavnoj tački pozitivan, odnosno da sila pritiska konturu. Ovakva konvencija usvojena je jer u fluidu ne postoje negativni naponi (naponi zatezanja) pa ni negativni pritisci. Najniži pritisak (apsolutni) u fluidu je p aps,min =0Pa, dok je najniži hidrostatički pritisak: p min = p aps,min p atm = p atm = 100 kpa (pošto je usvojeno da je hidrostatički pritisak vode nula kada je p aps = p atm). Naglašava se da je ova konvencija različita od konvencije o znaku presečnih sila koja je usvojena u predmetu Otpornost materijala (... Normalna sila je pozitivna ako zateže svoju presečnu ravan. Transverzalna sila je pozitivna ako obrće element grede u smeru obrtanja kazaljke na satu..., V. Brčić, Otpornost materijala, 1978), odnosno da te dve stvari ne treba mešati.

9 53 potrebnu debljinu ustave iz uslova da se ona podiže (obrtanjem o- ko ose zgloba) tek kada nivo vode levo od ustave padne ispod prikazanog, za koga je dubina vode H =3.0m. Rešenje. Sile koje deluju na ustavu su: P X1 = P Z1 = /2=44.14 kn/m P X2 = P Z2 = /2=78.48 kn/m P X3 = P Z3 = =39.24 kn/m Težina ustave po 1 m dužine je G = δ = δ, gde je δ debljina ustave. S obzirom da je δ nepoznata veličina, odrediće se iz uslova da je suma momenata svih sila oko tačke O jednaka nuli: ΣM (O) =

10 54 1. Hidrostatika δ 2.0 =0 δ =0.40 m Zadatak 1.6. Armirano betonski zid poprečnog preseka kao na slici pregra duje otvoreni rezervoar na dva dela. Sa leve strane zida nalaze se tečnosti gustina ρ 1 = 0.8 kg/dm 3 i ρ 2 = 1.2 kg/dm 3, a sa desne strane je tečnost gustine ρ 3 =0.8 kg/dm 3. Visina koju pokazuje živin manometar je HŽ = m. Gustine betona i žive su ρ B = 2.5 kg/dm 3 i ρž = 13.6 kg/dm 3. Zadatak je ravanski, a dužina zida je 5 m. Sračunati nivo sa desne strane zida, a zatim odrediti statičke uticaje (M,T,N) u preseku A A (u kome je zid uklješten). Rešenje. Pijezometarske kote za sve tečnosti odre duju se pomoću pritisaka u zajedničkim tačkama: p C = ρ 1 g(π 1 Z C )= ( ) = kpa Π 2 = p C ρ 2 g + Z C = = 5.00 m p D = ρ 2 g(π 2 Z D )= ( ) = kpa ΠŽ = p D ρžg + Z D = +( 0.034) = m p E = ρžg(πž Z E )= ( ) = kpa Π 3 = p E ρ 3 g + Z E = = m Sile koje deluju na zid su: P X1 = /2 = 176.6kN P X2 = = 353.2kN P X3 = /2 = 264.9kN P X4 = /2 = 954.0kN P Z1 = /2=43.3kN P Z2 = = 116.7kN = /2=78.5kN P Z3

11 55 Težina zida je: G = /2 = 490.5kN Statički uticaji u preseku A A su: M A A = = knm T A A = = 159.3kN N A A = = 338.6kN Zadatak 1.7. Na vertikalnom zidu otvorenog rezervoara nalazi se ustava oblika jednakokrakog pravouglog trougla, koja se sastoji iz dva dela 1 (trapez) i 2 (trougao). Ukupna visina ustave je H = 6.0 m. Rezervoar je ispunjen vodom gustine ρ =1.0 kg/dm 3, tako da je slobodna površina na visini gornjeg dela ustave. Odrediti rastojanje Z (visinu trapeznog dela ustave) tako da intenziteti hidrostatičkih sila na delove 1 i 2 budu jednaki, a zatim odrediti te sile (intenzitet, pravac i položaj) za svaki deo posebno.

12 56 1. Hidrostatika Rešenje. Horizontalne komponente hidrostatičke sile računaju se prema izrazu P X = ρgh T A, gde je A površina projekcije konture (na koju se odre duje sila) na vertikalnu ravan upravnu na pravac X i h T vertikalno rastojanje težišta površine A od pijezometarske kote. P X1 = ρg Z 2 2(H Z)Z +2Z Z Z(2H Z) P X2 = ρg [Z (H Z)] (H Z)2 = ρg Z(2H Z) =ρg Z2 (3H 2Z) 3 P X1 = P X2 Z 3 + 3H 2 Z2 + H3 4 =0 Z 3 9Z 2 +54=0 (2Z + H)(H Z)2 3 Koeficijenti α i β koji se dobijaju redukcijom ove jednačine 3 su: α =[ ( 9) ]/9 = 9 β =[2 ( 9) 3 9 ( 9) ]/54 = 0 pa je δ = 729 < 0 i postoje tri realna rešenja: [ ] 1 π Z i =3+6cos 3 2 +(i 1)2π (i =1, 2, 3) 3 Z 1 =8.20 m Z 2 = 2.20 m Z 3 =3.00 m pri čemu očigledno samo poslednje rešenje fizički ima smisla (0 <Z 3 <H). Dakle: Z = Z 3 =3.00 m Intenziteti sila su: P X1 = ( ) 3 = kn = P X2 Sopstveni momenti inercije za pojedine delove ustave su: I YY1 = 1 6 Z3 (2H + Z) 3 Videti objašnjenje na strani 49. [ ] Z(3H 2Z) 2 Z(2H Z) =19.50 m 4 3(2H Z)

13 57 I YY2 = (H Z)(H Z)3 =4.50 m 4 Ekscentriciteti sila su: e Z1 = ρgi YY = = m P X e Z2 = ρgi YY = = m P X Znak u gornjim izrazima označava da se napadne tačke sila nalaze ispod odgovarajućih težišta na navedenim rastojanjima, što je slučaj kada je pritisak u težištu pozitivan. Obrnuto, kada je pritisak u težištu negativan, napadna tačka sile je iznad težišta na rastojanju jednakom pozitivnom ekscentricitetu (znak ekscentriciteta je vezan uz usvojeni pozitivan smer Z-ose koji je usmeren na gore, počev od težišta). Zadatak 1.8. Zatvoreni rezervoar potpuno je ispunjen tečnostima gustina ρ 1 = 1.0 kg/dm 3 i ρ 2 =0.8 kg/dm 3. Manometar, koji se nalazi na rastojanju od 0.50 m ispod dna rezervoara, pokazuje pritisak p M = kpa. Odrediti ukupnu hidrostatičku silu koja deluje na deo rezervoara desno od preseka A A. Rešenje. Π 1 = p M ρ 1 g + Z M = ( 0.50) = 1.00 m

14 58 1. Hidrostatika Pošto je pijezometarska kota Π 1 u zajedničkoj tački obeju tečnosti, pritisak u ovoj tački jednak je nuli, pa je Π 2 =Π 1 =1.00 m. Horizontalne sile na omotač su: P X1 = =9.81 kn P X2 = ( 0.50) = 7.85 kn P XR = = 1.96 kn I YY1 = I YY2 = /12 = m 4 e Z1 = = m e Z2 = =0.167 m 7.85 Iz uslova jednakosti sume momenata svih horizontalnih sila i momenta rezultujuće horizontalne sile odre duje se njena napadna tačka: Z R = = 5.00 m 1.96 Vertikalne sile su: P Z1 = =6.54 kn P Z2 = = = 5.23 kn = = kn P ZR Obe vertikalne sile deluju u težištima odgovarajućih polupiramida, odnosno na (horizontalnom) rastojanju X R =0.25 m od preseka A A. Ukupna rezultanta i njen nagib (u odnosu na horizontalu) su: R = =11.93 kn α = arctg = Zadatak 1.9. Zatvoreni rezervoar potpuno je ispunjen tečnostima gustina ρ 1 =1.0 kg/dm 3 i ρ 2 =0.7 kg/dm 3. Nivo u pijezometru je na nivou zajedničke tačke dve tečnosti. Odrediti ukupnu hidrostatičku silu koja deluje na složeno telo sastavljeno od polukupe, poluvaljka i četvrtine lopte.

15 59 Rešenje. Ako se za referentan nivo (Z = 0) usvoji dno rezervoara, očigledno je Π 1 =Π 2 =4.0m. Horizontalne sile na pojedine delove složenog tela su: ( P X1 = ) 1 3 π π =56.74 kn P X2 = =14.72 kn P X3 = ( 0.5) = kn ( P X4 = ) = kn 3 2 Odgovarajući ekscentriciteti su: e Z1 = [ π ( ) ] π π = = m e Z2 = = m e Z3 = =0.167 m e Z4 = =0.083 m

16 60 1. Hidrostatika Ukupna horizontalna sila i položaj njene napadne tačke su: P XR Z R = = kn = [56.74 ( ) ( ) ( ) ( ) ] /37.98 = m Vertikalne sile su: P Z1 = π =34.67 kn 4 6 P Z2 = π 1.0=34.67 kn P Z3 = π 1.0 = kn P Z4 = π = kn Rastojanja težišta odgovarajućih tela opterećenja (zapremina) od vertikalnog zida su: X 1 = =0.562 m 8 X 2 = X 3 = π =0.637 m X 4 = 1.5 π =0.477 m Ukupna vertikalna sila i položaj njene napadne tačke su: P ZR = = kn X R = ( ) / = = m Ukupna rezultanta i njen nagib (u odnosu na horizontalu) su: R = = kn α = arctg =700 15

17 Zadatak U otvorenom rezervoaru nalazi se voda gustine ρ 0 = 1.0 kg/dm 3. Kruti nosač zanemarljive težine može da se obrće bez trenja oko ose u tački O. Sa jedne strane nosača je kupasti zatvarač gustine ρ 1 = 2.5 kg/dm 3, prečnika osnove d Z = 1.0m i visine h Z = 1.0 m, koji zatvara otvor prečnika d O = 0.5m. Sa druge strane nosača je valjkasti plovak prečnika d P =1.0m i visine h P = 1.5 m. Na slici je prikazan početni nivo vode. Odrediti gustinu plovka ρ 2 iz uslova da se zatvarač otvori ukoliko se nivo vode u sudu podigne iznad početnog stanja. Rešenje. Težina zatvarača je: 61 G 1 = ρ 1 g πd2 Z h Z 12 = π = kn Horizontalna hidrostatička sila na deo omotača kupe koji je u vodi, čija je vertikalna projekcija kružni prsten spoljašnjeg prečnika d Z i unutrašnjeg d O ), poništava se sa delom sile na osnovu kupe čija je projekcija isti prsten, tako da je ukupna horizontalna sila: P X = ρ 0 gh T πd 2 O 4 Ekscentricitet ove sile je: = π = kn π e Z = = m Vertikalna sila na gornji deo zarubljene kupe poništava se sa delom sile na donji deo, tako da je ukupna vertikalna sila na zatvarač: P Z1 = ρ 0 g π 12 (d2 Zh Z d 2 Oh O )= = π 12 ( ) = kn

18 62 1. Hidrostatika Položaj napadne tačke ove sile je: 1.0 X 1 = ( ) =0.196 m Vertikalna sila na plovak je: P Z2 = ρ 0 g πd2 P 4 1.0= π =7.705 kn Težina plovka je: G 2 = ρ 2 g πd2 P 4 h P = ρ π = ρ 2 Gustina plovka odre duje se iz uslova da je suma momenata svih sila oko tačke O jednaka nuli: ΣM (O) = ρ =0 ρ 2 =0.466 kg/dm 3