ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2006 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΛΑΚΑΤΑΜΕΙΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 IOYNIOY 006 ΙΑΡΚΕΙΑ : :0 Tο εξεταστικό δοκίµιο αποτελείται από 4 σελίδες Ο ΗΓΙΕΣ Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατισµένης υπολογιστικής µηχανής εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού Να γράψετε µε µελάνι Τα σχήµατα µε µολύβι ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε τις µόνο Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες Να αναλύσετε την παράσταση 4χ Α= χχ ( + ) σε άθροισµα απλών κλασµάτων Να βρείτε το πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών της συνάρτησης: χ + f ( χ) = χ 5 Να υπολογίσετε την τιµή των ορίων: (α) χ 4 lim χ χ (β) χ + lim χ 4 Να αποδείξετε την ταυτότητα: συν 7 α + συνα + συν α = σφα ηµ 7α ηµα + ηµ α 5 Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: (α) ψ = χ χ +4 (β) e χ ψ = εφχ

2 6 Σε αριθµητική πρόοδο ο πρώτος όρος της είναι και ο δέκατος-έκτος όρος της είναι τριπλάσιος του πέµπτου όρου της (α) Να βρείτε την πρόοδο (β) Να βρείτε το πλήθος των ν πρώτων όρων της που έχουν άθροισµα 68 7 Κύλινδρος και κώνος έχουν την ίδια βάση Η ολική επιφάνεια του κώνου είναι διπλάσια από την κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου Αν το ύψος του κυλίνδρου είναι 4cm και η γενέτειρα του κώνου είναι 0cm, να υπολογίσετε τον όγκο του κώνου 8 Να βρείτε την γενική λύση της τριγωνοµετρικής εξίσωσης: ο ο ηµ (χ 0 ) = συν ( χ + 5 ) 9 Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) = 0 (β) log( + ) + log 5 = 0 Τρίγωνο ΑΒΓ έχει Β= ˆ 0 ο και α = β (α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆΑ και ˆΓ (β) Να δείξετε ότι: β Ε= ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές Α(,), Β(4,) και Γ(,4) Να δείξετε ότι είναι ισοσκελές ίνεται η καµπύλη µε τύπο: χ + ψ = ψ + 9 (α) Να βρείτε την παράγωγο d ψ dχ (β) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης για χ = και ψ > 0 είναι: ψ = χ + Το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας κανονικής τετραγωνικής πυραµίδας είναι 4cm Αν οι παράπλευρες έδρες σχηµατίζουν γωνία 60 ο µε την βάση, να υπολογίσετε τον όγκο της πυραµίδας

3 ηµ χ ο ο 4 Αν f ( χ) = συνχ χ και 0 χ 80 να βρείτε τις τιµές του χ για 4 τις οποίες f ( χ) = 0 5 Γεωµετρική πρόοδος έχει α 4 = Να δείξετε ότι το γινόµενο των 8 πρώτων όρων της είναι 8 ΜΕΡΟΣ B : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε τις 4 µόνο Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 0 µονάδες Τριγώνου ΑΒΓ δίνονται οι κορυφές Α(0,), Β(4,-) καθώς και η εξίσωση της πλευράς ΒΓ: 5χ ψ = 0 (α) Αν η απόσταση της κορυφής Γ από την πλευρά ΑΒ είναι 5 συντεταγµένες της κορυφής Γ µε τεταγµένη ψ>0 να βρείτε τις (β) Αν η κορυφή Γ έχει συντεταγµένες (5,) να υπολογίσετε την εφαπτοµένη της γωνίας ˆΒ του τριγώνου (γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου πλευράς ΑΒ ΑΓΜ, όπου Μ το µέσο της (α) Να δείξετε ότι : = (β) Να λύσετε την εξίσωση: ( + ) ln5 log4 = 5 e 0 ίνεται η εξίσωση: lnψ = χln + ln χ ψ (α) Να δείξετε ότι ψ = + ψ ln χ (β) Να λύσετε την εξίσωση: ψ ψ ln + = 4 χ

4 4 Ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ=4cm, Γ =8cm και ύψος 4cm, στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από άξονα ψψ παράλληλο προς την ΑΒ που απέχει cm από αυτήν Να υπολογίσετε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που παράγεται 5 ίνονται οι συναρτήσεις: f( χ) = ln a χ και g( χ) = ln( χ + a) (α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων, f(χ) και g(χ) (β) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης h( χ) = f( χ) g( χ) (γ) Αν η h( χ ) περνά από την αρχή των αξόνων να βρείτε την τιµή του «α» όταν α > 0 (δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της h( χ ) για α = στο σηµείο Ο(0,0) 6 ίνονται οι συναρτήσεις συν χ f ( χ) = ηµ χ + συν χ + εφχ (α) Να δείξετε ότι f ( χ ) = (β) Να λύσετε την εξίσωση g( χ ) = 0 και g( χ) = log χ log χ Η ι ε υ θ ύ ν τ ρ ι α ( Χρυσόθεµις Χατζηπαναγή ) 4

5 ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / 06 / 006 ΤΑΞΗ: B ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΩΡΑ: 7 0 πµ ΣΥΝ ΣΕΛ : ΙΑΡΚΕΙΑ: 0 ώρες Ο ΗΓΙΕΣ: Να γράφετε µόνο µε µπλε ή µαύρη πένα εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε πέντε (5) µονάδες Να αναλύσετε σε άθροισµα απλών κλασµάτων το κλάσµα : Κ = ( )( + ) Να βρείτε το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της συνάρτησης f µε τύπο Να βρείτε την πρώτη παράγωγο των πιο κάτω συναρτήσεων: α) y e 4 = συν5 β) + 5y + y = 5 f() = + 5 ε : ( µ ) + µ y = 4 Να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου µ, µ R, ώστε οι ευθείες: να είναι κάθετες ε : y = 5 Ο πέµπτος όρος αριθµητικής προόδου είναι 4 ενώ το άθροισµα του πρώτου και του τρίτου όρου είναι 0 Να βρείτε το άθροισµα των δεκαπέντε πρώτων όρων της 6 Να βρείτε τα όρια: α) 5 + im + l β) lim συν 0 7 Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που περνά από το σηµείο Α(,) και είναι παράλληλη µε την ευθεία + 4y = 5 8 Να αποδείξετε την ταυτότητα: + συνα α = σφ ηµα 9 Οι αριθµοί log, log(5 ), log(5 + ) είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου να βρείτε την τιµή του 0 Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει ύψος ίσο µε α cm και οι παράπλευρες ακµές της σχηµατίζουν µε τη βάση γωνία 45 Να υπολογίσετε συναρτήσει του α το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας και τον όγκο της Να λύσετε την εξίσωση: συν + ηµ = Κολώνια πωλείται σε δυο είδη µπουκαλιών στην ίδια τιµή το καθένα Το πρώτο µπουκάλι έχει σχήµα κώνου µε διάµετρο βάσης 6cm και ύψος 7cm To δεύτερο είναι κυλινδρικό µε ακτίνα βάσης cm και εµβαδό κυρτής επιφάνειας 0π cm Ποιο µπουκάλι έχει καλύτερη τιµή; ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, µε Α(,) Β(, -) Γ( 5, ) Να βρείτε: i) την εξίσωση της πλευράς ΒΓ, ii) το µήκος του ύψους Α και iii) το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 4 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση εφα = ηµβ + ηµγ, να δείξετε ότι Α ˆ = 60 συνb + συνγ

6 5 Σε ηµικύκλιο µε διάµετρο ΑΒ = 6α cm παίρνουµε χορδή ΑΓ = α cm Με κέντρο το σηµείο Α και ακτίνα ίση µε ΑΓ γράφουµε τόξο µέσα στον κύκλο που τέµνει τη διάµετρο στο σηµείο Να βρείτε το εµβαδόν του µικτόγραµµου σχήµατος ΒΓ ΜΕΡΟΣ Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε δέκα (0) µονάδες Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α ˆ = 90, Βˆ = 0, ΒΓ = 8cm και το τρίγωνο ΑΓ είναι ισόπλευρο Tο τετράπλευρο ΑΒΓ στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από άξονα χ χ Να βρείτε τον όγκο και το εµβαδόν της επιφάνειας του στερεού που παράγεται ν ν ίνεται η ακολουθία α ν = ν ν + i) Να δείξετε ότι: + α ν = ν + ν ii) Να δείξετε ότι: = + + α + α + α + α χ ν ν Γ Α Β χ ίνεται ρόµβος ΑΒΓ Η εξίσωση της πλευράς ΑΒ και της διαγωνίου ΑΓ είναι α + βy 8 = 0, 5 α + βy 50 = 0 αντιστοίχως i) Αν Α (,7) να δείξετε ότι α = και β = 5 ii) Aν ( 4,) είναι µια άλλη κορυφή του ρόµβου να βρείτε τις άλλες συντεταγµένες των κορυφών του ρόµβου Αν α β = γ και i) Να δείξετε ότι + y = 006y = log α β γ και y = log α+ β γ ii) Αν log γ = 00 log γ να δείξετε ότι γ = α β α β α+ β 5 Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι γωνίες Â, Bˆ, Γˆ, ( Αˆ < Β ˆ < Γˆ ) είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου µε διαφορά ω Στο ίδιο τρίγωνο οι στεµ Αˆ, στεµ Βˆ, στεµ Γˆ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής π προόδου Να δείξετε ότι: i) 0 < ω < ii) συν ω = 4 6 α) i) Να δώσετε τον ορισµό της παραγώγου της συνάρτησης f() ii) Αν f() = ηµ µε βάση τον ορισµό να δείξετε ότι f () = συν β) Aν για τη συνάρτηση g () ισχύει η σχέση g ( α + β) = g( α) + g( β) + ηµα ηµβ α, β R και g() lim = 0 να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g () Η ιευθύντρια Ελένη Παπαχριστοδούλου

7 ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5/05/006 : Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΩΡΑ : πµ Το γραπτό αποτελείται από σελίδες Στη λύση των ασκήσεων πρέπει να φαίνεται όλη η αναγκαία εργασία Να γράφετε µε πέννα, καθαρά και επιµεληµένα (µόνο γραφικές παραστάσεις και σχήµατα µπορούν να γίνονται µε µολύβι) Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υγρού Μέρος Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες ) Να αναλύσετε το κλάσµα 6 ( )( + 4) σε άθροισµα απλών κλασµάτων χ ) ίνεται η συνάρτηση ψ = Να βρείτε: χ α) το πεδίο ορισµού β) το πεδίο τιµών και γ) το lim ψ ) Να λύσετε την εξίσωση συνχ 5ηµχ += 0 4) Να λυθεί η εξίσωση log log = + 5) Ο πέµπτος όρος αριθµητικής προόδου είναι 4 και ο δέκατος 9 Να βρεθούν: α) ο πρώτος όρος της β) το άθροισµα των 5 πρώτων όρων της 6) Να προσδιορίσετε τους αριθµούς λ και µ ώστε το πολυώνυµο φ(χ) χ +λχ +(µ-)χ + 6 να έχει ρίζες τους αριθµούς και 7) Να βρείτε τις παραγώγους των πιο κάτω συναρτήσεων ηµ χ α) ψ = β) e ψ χψ + χ = 4 8) Να δείξετε ότι συν α + ηµ α = εφα + ηµ α 9) Να επιλυθεί τρίγωνο ΑΒΓ, αν Ε= cm, β=4 cm και γ= cm

8 0) Να βρείτε την εξίσωση ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών χ 5 ψ + =0 και χ ψ - 7 =0 και είναι κάθετη στην ευθεία 4χ + ψ = ) Να βρείτε την οξεία γωνία την οποία σχηµατίζουν οι ευθείες ψ = µ χ και (+µ) χ = (-µ) ψ ) Κώνος έχει περίµετρο βάσης π cm και ύψος 8cm Να βρεθούν: α) ο όγκος του κώνου β) το εµβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κώνου ) Ορθό τριγωνικό πρίσµα έχει βάση ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο, που έχει κάθετες πλευρές µήκους α Αν το ύψος του πρίσµατος είναι ίσο µε την υποτείνουσα της βάσης του, να υπολογίσετε τον όγκο και το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας 4) ίνεται κανονική τετραγωνική πυραµίδα ΚΑΒΓ Το τρίγωνο ΑΚΓ είναι ισόπλευρο πλευράς α Να βρείτε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο της πυραµίδας B Γ 5) ίνεται τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ µε ακτίνα ΟΑ = 6 cm Η κάθετη ευθεία στο µέσο Κ της ακτίνας ΟΑ τέµνει το τόξο του κυκλικού τοµέα στο σηµείο Γ Να υπολογίσετε το εµβαδόν και την περίµετρο του κυκλικού τµήµατος Α ΓΑ O K Μέρος Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 0 µονάδες ) ίνεται η καµπύλη ψ = χ e χ α) Να δείξετε ότι η εφαπτοµένη της καµπύλης στο σηµείο χ = - περνά από την αρχή των αξόνων d ψ dψ χ β) Να δείξετε ότι + e ψ = dχ dχ X ) Το ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ του σχήµατος στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα ΧΥ που είναι παράλληλος µε την Α Να υπολογίσετε την: α) ολική επιφάνεια και A β) τον όγκο του στερεού που παράγεται ίνονται: (Γ )=cm, (Α )=4 cm, (ΑΒ)=5 cm, (ΒΕ)= cm και Α= = ˆ ˆ 90 ο Γ B Y

9 ) α) ίνεται η καµπύλη ψ = α χ β ln, >0 Στο σηµείο Α (,) η εξίσωση της καθέτου της καµπύλης είναι ψ + χ = 5 Να υπολογίσετε τα α και β β) ίνεται η γεωµετρική πρόοδος λογ χ, λογ 4 χ, λογ 6 χ, i) Να αποδείξετε ότι είναι φθίνουσα ΓΠ ii) Nα λύσετε την εξίσωση log + log4 + log 6 + = 4) α) i) Να δείξετε ότι σφχ στεµχ = σφχ Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση (σφχ στεµχ) = αν 0 ο < χ < 80 ο ii) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ασυνβ + βσυνα = ασυνα να δείξετε ότι Α=Β ˆ ˆ ή Γ= ˆ Αˆ β) Να λυθεί η εξίσωση log (9 + 7) = + log ( + ) 5) ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ, µε κορυφή Α (-8, ) και εξίσωση της µίας διαγωνίου 7χ ψ + 8 = 0 Να βρεθούν α) η εξίσωση της άλλης διαγωνίου β) η κορυφή Γ γ) η εξίσωση της πλευράς Α 6) α) Να εξετάσετε αν ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f µε τύπο ψ=χ 4χ + 5, χ [, + ) Αν ορίζεται η f - να βρείτε τον τύπο της και το πεδίο ορισµού της β) Σε κύκλο (Ο,R) είναι εγγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ Στο εσωτερικό του κύκλου (Ο,R), γράφουµε το τόξο ΒΓ µε κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του σχηµατιζόµενου µηνίσκου είναι R Ε = ( π ) 6 Ο ιευθυντής ηµητριάδης Αλέξανδρος

10 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΝΤΩΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΛΕΜΕΣΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑÏΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 006 Μάθηµα: Μαθηµατικά κατεύθυνσης Ηµεροµηνία: Τάξη: B Χρόνος:,5 ώρες Οδηγίες : α) Να γράφετε µε µελάνι µπλε ή µαύρο β) Επιτρέπεται η χρήση εγκεκριµένης υπολογιστικής µηχανής γ) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε µόνο Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5/00 Να αναλύσετε το κλάσµα ( ) ( + ) σε άθροισµα απλών κλασµάτων Να βρείτε την παράγωγο dy των παρακάτω συναρτήσεων : d + α y = β y = συν +e Να βρείτε τα όρια : α ηµ lim 0 και β lim 9 4 Να βρείτε την γενική λύση της εξίσωσης ηµχ - συνχ = 0 5 Σε αριθµητική πρόοδο το άθροισµα του δεύτερου και του πέµπτου όρου είναι 7 ενώ ο έβδοµος όρος είναι διπλάσιος του τρίτου Να βρείτε την πρόοδο 6 ίνεται η συνάρτηση f ( ) α το πεδίο ορισµού της β το πεδίο τιµών της γ την τιµή f () + = Να βρείτε : 4 7 Το εµβαδόν της κυρτής επιφάνειας ενός κώνου είναι 8π cm και η γενέτειρα του σχηµατίζει γωνία 60 ο µε την βάση του Να βρείτε τον όγκο του κώνου 8 ίνεται κανονική τετραγωνική πυραµίδα µε ύψος 4α Αν ο όγκος της είναι 48α να βρείτε το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς της 9 Να αποδείξετε ότι + ηµ θ συνθ = εφθ + ηµ θ + συν θ

11 0 ίνεται η συνάρτηση y = ηµ συν dy α Να δείξετε ότι = ηµ d dy β Να λύσετε την εξίσωση + = 0, στο διάστηµα (0,π) d Να λύσετε την εξίσωση log( ) = 0 ίνονται οι ευθείες ε : χ + 4y + 8 = 0 και ε : 7χ + y = 0 Να βρείτε : α Την οξεία γωνία των δύο ευθειών β την απόσταση του σηµείου Σ(,-) από την ε H εφαπτοµένη της καµπύλης y + y+ = 0 στο σηµείο της Α(,-) τέµνει τον άξονα των στο Β και τον άξονα των y στο Γ Να βρείτε την εξίσωση της µεσοκάθετης του ΒΓ 4 ίνεται κύκλος ( Κ, R) και σηµείο Σ έξω από αυτόν, έτσι ώστε (ΚΣ)=R Φέρνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΣΑ και ΣΒ (Α και Β τα σηµεία επαφής) Να υπολογίσετε,συναρτήσει του R, το εµβαδόν του µεικτόγραµµου τριγώνου ΣΑΒ (τόξο ΑΒ µικρότερο του ηµικυκλίου) 5 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(,), Β(,-) και Γ(α,β) όπου α και β ακέραιοι Αν η κορυφή Γ βρίσκεται πάνω στην ευθεία χ y = και το εµβαδόν του τριγώνου είναι 5τµ να υπολογίσετε τα α και β ΜΕΡΟΣ Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 0/00 α Να αποδείξετε την ταυτότητα : ηµ 5 συν ηµ συν4 = σφ συν 5 συν συν 6 συν ηµ συν β Να λύσετε την εξίσωση : 9 = ίνονται οι συναρτήσεις f( ) = και g( ) = log α Να βρείτε το πεδίο ορισµού και την παράγωγο των δύο συναρτήσεων β Να δείξετε ότι οι εφαπτόµενες της f στο σηµείο Α(0,) και της g στο σηµείο Β(,0) είναι κάθετες γ Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων αυτών Αν α β e y= ln + να δείξετε ότι : y e dy = d d y dy + e = 0 d d y y

12 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Γ(,-) και οι εξισώσεις του ύψους Α : χ- 4y +6 = 0 και της διαµέσου ΑΜ : χ + y -7 = 0 Να βρείτε : α την εξίσωση της πλευράς ΒΓ β τις συντεταγµένες της κορυφής Α, του σηµείου Μ και της κορυφής Β γ το µήκος της διαµέσου ΑΜ 5 ίνονται τα αθροίσµατα µε άπειρους όρους : Σ = + a ν + α ν + α ν + Σ = Σ = a ν + α ν + α ν + a ν ν ν + α α +, όπου -< α <, α 0 και ν Να υπολογίσετε, συναρτήσει του α, τα Σ, Σ και Σ και να δείξετε ότι : α Σ, Σ, Σ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου β (Σ ), Σ, (Σ ) είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου 6 Ορθογώνιο τραπέζιο µε βάσεις 7cm και 0cm στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την µεγάλη βάση του Αν ο όγκος του στερεού που παράγεται είναι 8π cm, να υπολογίσετε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του στερεού Η ιευθύντρια Άρτεµις Αριστείδου

13 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙ ΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ 006 ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜ: /5/006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Κατεύθυνσης ΙΑΡΚΕΙΑ: ½ ώρες Ο ΗΓΙΕΣ: Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής σφραγισµένης από το σχολείο Να γράφετε µε µελάνι (τα σχήµατα επιτρέπεται µε µολύβι) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού ΜΕΡΟΣ Α Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5/00 Να βρεθεί το άθροισµα: Σ = Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος των συναρτήσεων: α) ψ = + -5 β) ψ + ψ = Να βρεθούν οι γενικές λύσεις της εξίσωσης: συν + = 0 4 Να αναλυθεί το κλάσµα Α = + ( )( + ) σε άθροισµα απλών κλασµάτων 5 Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει µήκος 0cm, πλάτος 8cm και όγκο 0cm Να βρεθούν: α) Το ύψος του β) Το εµβαδόν της ολικής του επιφάνειας 6 Να βρεθεί το όριο: lim 0 ηµ e + f = + Να βρεθούν: α) Το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της 7 ίνεται η συνάρτηση ( ) β) Ο τύπος της συνάρτησης fof ()

14 - 8 Αν Κ = εφ σφ α) Να δειχθεί ότι Κ = -σφ 0 β) Να λυθεί στο διάστηµα (0, 60 0 ) η εξίσωση Κ = 9 Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφή Α(,) και πλευρά ΒΓ: 8-6ψ+ = 0 Να βρεθεί το µήκος του ύψους του Α 0 Ο όγκος κώνου είναι 8πcm και το ύψος του είναι τριπλάσιο από την ακτίνα της βάσης του Να βρεθεί το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του κώνου Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης και της καθέτου της καµπύλης f ( ) στο σηµείο = 0 Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει: (α-β) (ηµα+ηµβ) = (α+β)(ηµα-ηµβ) = + Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει εµβαδό βάσης 44cm και παράπλευρο ύψος 0cm Να βρεθούν: α) Το εµβαδόν ολικής επιφάνειας β) Ο όγκος της 4 Αν οι αριθµοί og, og 9( + ), og είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου να υπολογίσετε το 5 Αν το εµβαδόν του σκιασµένου µέρους του διπλανού σχήµατος είναι 8πα cm να υπολογιστούν: α) Η ακτίνα ΑΓ του τεταρτοκυκλίου ΑΓΒ β) Η περίµετρος του µεικτόγραµµου τριγώνου ΑΓΒ ΜΕΡΟΣ Β Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 0/00 Αν ψ = ηµσυν α) Να δειχθεί ότι ψ = ηµ β) Να βρεθούν οι γενικές λύσεις της εξίσωσης ψ ψ = 0 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές Α(,5) Β(0,) Γ(8,) α) Να δειχθεί ότι είναι ορθογώνιο β) Να βρεθεί το εµβαδόν του γ) Το µήκος του ύψους του Α (ΒΓ) δ) Να δειχθεί ότι η διάµεσος ΑΜ = ΒΜ [δηλ (ΑΜ) = ]

15 - - Στο σχήµα το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο µε ΑΒ = α Α = 4α και ΑΓ διαγώνιος Το σχήµα στρέφεται ολόκληρη στροφή γύρω από άξονα ψ παράλληλο στη ΒΓ και σε απόσταση α Να βρεθούν συναρτήσει του α, το εµβαδόν και ο όγκος του στερεού που παράγεται από την περιστροφή του σκιασµένου µέρους του σχήµατος 4 α) Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται α = 8cm, β = 4cm, γ = 4 cm Να υπολογιστούν οι γωνιές του Α, Β, Γ β) Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει: Ε = β ηµ Αηµ Γ ηµ Β 5 α) Να δειχθεί ότι og 6 og = β) Να λυθεί η εξίσωση og = og 5 6 Μιας αριθµητικής προόδου ο πρώτος όρος είναι ίσος µε og και ο δεύτερος όρος µε og8 α) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα Σ ν των ν-πρώτων όρων της δίνεται από τον τύπο β) Να βρεθεί ο ν ος όρος της Σ ν = ν og Ο ιευθυντής Γεώργιος Μάρκου

16 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Χρόνος: :0' Ηµεροµηνία: /5/006 Ο ΗΓΙΕΣ: Να γράφετε µόνο µε µπλε ή µαύρη πέννα (τα σχήµατα µε µολύβι) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού Το γραπτό αποτελείται από 4 σελίδες Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής ΜΕΡΟΣ Α : Από τα 5 θέµατα να απαντήσετε ΜΟΝΟ στα Κάθε σωστό θέµα βαθµολογείται µε πέντε ( 5 ) µονάδες ) Να υπολογίσετε το όριο: 4+ 5 lim ) Να αναλύσετε σε άθροισµα απλών κλασµάτων το κλάσµα: ) Να λύσετε την εξίσωση: συν( 0 ) = συν 4) Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που περνά από το σηµείο Α(,) και είναι κάθετη µε την ευθεία(): ε ψ = + 5) Να αποδείξετε ότι: συν + = ηµ + ηµ ηµ 6) Κανονικό τριγωνικό πρίσµα έχει εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας Αν η ακµή της βάσης είναι 4 cm να βρείτε τον όγκο του 40 cm 7) Να υπολογίσετε την παράγωγο dy των συναρτήσεων: d α) ψ= e ηµ β) 4 ψ+ψ = 8) Να λύσετε την εξίσωση: log ( συν + συν ) + log ( ηµ + συν ) = 0

17 log log 4 8 9) Να λύσετε την εξίσωση: 9 ( ) = 0 9 0) Το άθροισµα του τρίτου και του δέκατου όρου Αριθµητικής Προόδου ισούται µε 8 Αν ο έβδοµος όρος είναι 5 να βρεθεί το άθροισµα των είκοσι πρώτων όρων της ) Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας E = 0 π 8 cm και η παράπλευρη έδρα της σχηµατίζει µε τη βάση γωνία 60 Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραµίδας ) Στο διπλανό σχήµα ΑΒ και ΓΒ είναι διάµετροι των ηµικυκλίων Η ΑΖ είναι εφαπτοµένη του µικρού κύκλου (Ε σηµείο επαφής) και ΑΓ=Γ = Β=α Να υπολογίσετε συναρτήσει του α το εµβαδόν του µικτόγραµµου τριγώνου ΕΖΒ ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες µε την ευθεία (): ε + ψ = 0και σχηµατίζουν µε τους άξονες ΟΧ και ΟΨ τρίγωνο µε εµβαδόν Ε=9 τµ 4) Να λύσετε την εξίσωση: + συν + συν = ηµ + ηµ 5) Να αποδείξετε ότι: ηµ συν ηµ συν = και να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης K = ηµ 5 συν5

18 ΜΕΡΟΣ Β : Από τα 6 θέµατα να απαντήσετε ΜΟΝΟ στα 4 Κάθε σωστό θέµα βαθµολογείται µε δέκα ( 0 ) µονάδες ) α) Να λύσετε την εξίσωση: = β) Αν y = e ηµ 4 να δείξετε ότι: dy d dy 6 + 5y = 0 d ) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων της καµπύλης ψ= 8 στα σηµεία της µε = 6 και = Αν Α είναι το σηµείο τοµής των εφαπτοµένων αυτών, Β και Γ είναι τα σηµεία που τέµνουν οι εφαπτόµενες τον άξονα των ψ, αντίστοιχα, να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ) Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφή Α(,) Οι εξισώσεις δύο υψών του είναι χ+ψ-=0 και χ-ψ+=0 Να βρείτε: α) Τις συντεταγµένες των δύο άλλων κορυφών του β) Το εµβαδόν του γ) Το µήκος του ύψους που φέρουµε απο τη κορυφή Α β α 4) α) Αν εφ = 4εφ να αποδείξετε ότι β α ηµα εφ = 5 συνα Β Γ β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση συνβ + συνγ = συν να δείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο ( Α= 90 ) 5) ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ ( ΑΒ//Γ ) µε ΑΒ=αcm, Γ =αcm και = 60 Αν ( ε) Γ στο σηµείο να βρείτε: α) Τον όγκο και το εµβαδόν ολικής επιφάνειας του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του ΑΒΓ γύρω απο την (ε) β) Την τιµή του α αν ο όγκος του στερεού που παράγεται είναι 6π cm

19 π π 6) ίνεται η συνάρτηση y =ηµ όπου 4 Να δείξετε ότι: α) dy = ηµ d 4 β) dy dy dy dy dy dy = συν +ηµ d d d d d d 5 ( ) γ) Να λύσετε την εξίσωση y π π = συν + ηµ στο διάστηµα Ο ιευθυντής Σάββας Πολυδώρου 4

20 ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6006 ΤΑΞΗ : Β ΧΡΟΝΟΣ :,5 ΩΡΕΣ Το εξεταστικό δοκίµιο αποτελείται από 4 σελίδες Ο ΗΓΙΕΣ : ) ΕΝ επιτρέπεται η χρήση προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής ) Να γράψετε µόνο µε µελάνι (τα σχήµατα µπορείτε να τα κάνετε µε µολύβι) ) Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υγρού ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες Να αναλύσετε το κλάσµα 4 σε άθροισµα απλών κλασµάτων Να λύσετε την εξίσωση 5 4 = 9 Να βρείτε την παράγωγο των πιο κάτω συναρτήσεων α) ψ = e + 0 β) ψ = e ln 4 4 Να βρείτε τα όρια 5 α) lim β) 0 lim 4 5 Να βρείτε την γενική λύση της εξίσωσης συν( ) = 6 Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει ακµή βάσης 0cm και όγκο 400cm Να υπολογίσετε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραµίδας /

21 -- 7 ίνεται η συνάρτηση f( ) =, 0 Να βρείτε : + α) το πεδίον τιµών της ƒ() β) τον τύπο και το πεδίον ορισµού της ƒ - () 9 Η ρίζα της εξίσωσης 4 4 = 0 είναι ο πρώτος όρος φθίνουσας Γεωµετρικής προόδου της οποίας το άθροισµα των απείρων όρων της ισούται µε Να βρείτε τον έβδοµο όρο της ΓΠ 0 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται Α (0, ), Β (, ), ΑΓ: + ψ 6 =0 και ΒΓ: + ψ 4 =0 α) Να βρείτε το µήκος της ΒΓ β) Να δείξετε ότι η διάµεσος ΑΜ // Να λύσετε την εξίσωση 5 7 og + og + og + + og = 6 Κώνος έχει όγκο V = 9 π cm και η γενέτειρα του σχηµατίζει γωνία 0º µε το ύψος του Να βρείτε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του ίνονται οι συναρτήσεις ƒ() = µε > και g() = το πεδίο ορισµού της g ƒ 4, να βρείτε το τύπο και 4 Να δείξετε ότι ν Ν ισχύει ν ( ν + )(ν + 7) vv ( + ) = 6 5 Οι χορδές ΑΒ=ΑΓ=λ του κύκλου (Κ, R) εφάπτονται σε κύκλο (Κ, ρ) στα σηµεία, Ε αντίστοιχα όπως στο πιο κάτω σχήµα Να βρείτε το εµβαδόν του µικτόγραµµου τριγώνου Α Ε συναρτήσει του R Α Β Κ Ε Γ /

22 -- ΜΕΡΟΣ Β: Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 0 µονάδες Σε φθίνουσα Γεωµετρική πρόοδο δίνεται α + α + α = α) να βρείτε την ΓΠ, β) να βρείτε το άθροισµα των απείρων όρων της και α = α og α) Να λύσετε την εξίσωση: 4 og = og + og 8 β) Να σχηµατίσετε πολυώνυµο ƒ() δευτέρου βαθµού που έχει ρίζες τις λύσεις τις πιο πάνω εξίσωσης και ƒ(0) = a ίνεται η συνάρτηση ψ = e, α R dψ α) Αν = 0 για = να δείξετε ότι α = d 4 4 β) Για ψ = e i) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης αυτής στο σηµείο της µε τετµηµένη = 4, ii) να δείξετε ότι 4 e d ψ d ψ 6ψ e + = d d 8 4 ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά α Εκτός του τριγώνου να κατασκευάσετε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΒΓ ( ΓΒ ˆ = 90 ) Το σχήµα ΑΒ Γ στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από άξονα χγψ κάθετο στην ΒΓ στο Γ Να βρείτε το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που παράγεται Α χ Β Γ ψ /4

23 -4- ηµ 4 (+ συν4 ) 5 ίνονται οι συναρτήσεις ƒ() = συν α) να δείξετε ότι i) ƒ() = 4ηµ ii) g() = ηµ ηµ4 g ( ) β) lim 0 και g() = ηµ ηµ γ) Να βρείτε την λύση της εξίσωσης ƒ() + g() = 0 στο διάστηµα [-π, π] 6 Να βρείτε την εξίσωση ευθείας µε λ > 0 που διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών ψ + = 0 και + 4ψ = 0 και σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο που έχει εµβαδόν ίσο µε τµ Η ιευθύντρια Ευφροσύνη Αργυρίδου

24 ΛΥΚΕΙΟ ΑΠ ΒΑΡΝΑΒΑ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : ΤΑΞΗ : Β Κατεύθυνσης ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 Ηµεροµηνία: 5/05/006 Χρόνος:,5 ώρες Ο ΗΓΙΕΣ: α) Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής που φέρει τη σφραγίδα του σχολείου β) Να γράφετε µόνο µε µελάνι (τα σχήµατα επιτρέπεται µε µολύβι) γ) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υλικού ΜΕΡΟΣ Α : α) Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις β) Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 (πέντε) µονάδες + Να αναλύσετε το κλάσµα: σε άθροισµα απλών κλασµάτων (+) Να λύσετε την εξίσωση: log +log(+)= Σε αριθµητική πρόοδο, το άθροισµα του τέταρτου και του έβδοµου όρου είναι 6 και ο δέκατος ένατος όρος της, είναι τριπλάσιος του δευτέρου όρου της Να βρείτε το άθροισµα των δέκα πρώτων όρων της 4 Να βρείτε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων: (α) ψ= (β) ψ = ηµ+ εφ + 5 Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται οι συντεταγµένες των κορυφών Α(-,4), Β (,) και Γ(-,5) Να βρείτε: (α) Την εξίσωση της διαµέσου Β (β) Το µήκος του ύψους ΑH 6 ίνεται η συνάρτηση ( ) 7 Να υπολογίσετε τα όρια: (α) f =e Να βρείτε το άθροισµα: f(0) + f (0) + f (0) + f (0) lim και (β) lim - 8 Να δείξετε ότι : +συν6α ηµ6α + =συναστεµα ηµ6α -συν6α 9 Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει βάση τετράγωνο, η διαγώνιος του είναι τριπλάσια από το ύψος του και ο όγκος του είναι 500 m Να βρείτε το εµβαδόν της ολικής του επιφάνειας 0 Να εξετάσετε αν ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της ψ = + 4-5, > - Αν ορίζεται η f () να βρείτε τον τύπο της και το πεδίο ορισµού της Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε Â= 90, ΑΒ = 6cm και ΑΓ = 8cm στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από άξονα που δεν τέµνει το τρίγωνο, παράλληλο προς τη ΑΓ και σε απόσταση cm από την ΑΓ Να βρείτε το εµβαδόν του στερεού που παράγεται ίνεται η καµπύλη ψ = e Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης στο σηµείο µε =

25 Να λύσετε την εξίσωση: εφ εφ = 4 Σε κώνο η ακτίνα R, το ύψος υ και η γενέτειρα λ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου Αν ο όγκος του είναι αριθµητικά ίσος µε το εµβαδόν της ολικής του επιφάνειας, να βρείτε τον όγκο του 5 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι Ε=Rβσυν(Α-Γ), να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ΜΕΡΟΣ Β : α) Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 4 β) Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 0 (δέκα) µονάδες Σε αριθµητική και γεωµετρική πρόοδο µε θετικούς όρους, η διαφορά της αριθµητικής προόδου ισούται µε το λόγο της γεωµετρικής προόδου Ο πρώτος όρος της αριθµητικής προόδου είναι διπλάσιος του πρώτου όρου της γεωµετρικής και ο 7 ος όρος της αριθµητικής προόδου ισούται µε το τετράγωνο του πρώτου όρου της γεωµετρικής Αν το άθροισµα των απείρων όρων της γεωµετρικής προόδου ισούται µε τον πρώτον όρο της αριθµητικής, να βρείτε τις δύο προόδους α) Αν ισχύει η σχέση : ln ψ = ln + ln, να δείξετε ότι: β) Να λύσετε την εξίσωση: ψ - ψln + = 9 ψ = ηµ Να λύσετε την εξίσωση: ( ) log log συν = 8 4 ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ (α) Να δείξετε ότι: Γ (συνα+συνβ) +(ηµα-ηµβ) =4ηµ (β) Αν ισχύει η σχέση: συν(α+β) e e συν(a-b) =, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 5 ίνεται η ευθεία ε : 5 + ψ = 0 η οποία τέµνει τον άξονα χ χ στο σηµείο Α Ευθεία ε παράλληλη µε την ευθεία ψ = 5 τέµνει τον άξονα χ χ στο σηµείο Β και την ευθεία ε 5 στο σηµείο Γ Αν το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι τµ Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου Γ που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο 6 ίνονται δύο ίσοι κύκλοι (Κ,R), (Λ,R) και ΒΛ = λ 4 Να βρείτε το εµβαδόν και την περίµετρο του µικτογράµµου τριγώνου ΛΓ, συναρτήσει του R Β Γ Α i Ε Κ i Λ Γκλόρια Σέπου ιευθύντρια

26 ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΧ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΑΣΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηµατικά Κατεύθυνσης ΤΑΞΗ : Β ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : /5/006 ΧΡΟΝΟΣ : 0 Ο ΗΓΙΕΣ: α) Το εξεταστικό δοκίµιο αποτελείται από τρεις σελίδες β) Να γράψετε µόνο µε µελάνι (Τα σχήµατα µπορούν να γίνουν και µε µολύβι) γ) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού δ) Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής που να φέρει την σφραγίδα του σχολείου ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε µονάδα Να αναλύσετε σε άθροισµα απλών κλασµάτων το κλάσµα : 5 ( + )( ) Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων : e4 α) ψ = 46 συν7 β) ψ = + 7 Να σχηµατίσετε την Αριθµητική Πρόοδο στην οποία το άθροισµα του τρίτου και του όγδοου όρου της είναι 4 και ο δεύτερος όρος της είναι τετραπλάσιος του πέµπτου όρου της 4 Να βρείτε τα όρια : χ + χ α ) lim χ + χ + β) lim χ χ 4 χ 5χ Να δείξετε την ταυτότητα : συν θ συνθ + = σϕθ ηµ θ ηµθ 6 Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων : χ α) ψ = β) ψ = ln(χ ) χ 4 7 Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει περίµετρο βάσης ίση µε 4 m Το παράπλευρο ύψος της σχηµατίζει µε το επίπεδο της βάσης γωνία 60 ο Να βρείτε τον όγκο της και την παράπλευρη ακµή της

27 8 Κύλινδρος έχει όγκο 00π cm και ύψος ίσο µε τα 4 της ακτίνας του Ένας 5 κώνος έχει ακτίνα 8 cm Το εµβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κώνου είναι διπλάσιο του εµβαδού της κυρτής επιφάνεια του κυλίνδρου Να βρείτε τον όγκο του κώνου 9 ίνονται οι συναρτήσεις f () = και g() = ηµ 8 α) Να βρείτε το όριο lim 0 g() + 4 β) Να βρείτε τον τύπο και το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g f 0 Να λύσετε την εξίσωση : ln ( log ( ) log ) 0 = 9 Στο διπλανό σχήµα δίνεται κύκλος ( Κ, R ), 0 η γωνία ΚΒΓ = 0 και ΒΓ εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Γ Να βρείτε συναρτήσει του R το εµβαδόν και την περίµετρο του µεικτόγραµµου τριγώνου ΑΒΓ Κ Γ Α Β Να λύσετε την εξίσωση : συν ηµ = Να δείξετε, µε τη µέθοδο της τέλειας επαγωγής, ότι ισχύει η πρόταση : = ν * ( ν ) ( ν + ) ν ν + Ν 4 ίνεται η καµπύλη µε εξίσωση : χ ψ χ ψ = 0 α) Να βρείτε την εξίσωση της κάθετης της καµπύλης στο σηµείο της µε ψ = και χ > 0 β) Αν η πιο πάνω κάθετη σχηµατίζει γωνία 45 ο µε την ευθεία κ χ ψ = να βρείτε τις τιµές του κ 5 Η ευθεία : χ + ψ 4 = 0 εφάπτεται κύκλου κέντρου Ο( 8,0 ) και ακτίνας R α) Να βρείτε το µήκος της ακτίνας R του κύκλου β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου ( Ο, R ) που είναι παράλληλη προς την ευθεία : χ + ψ 4 = 0 ΜΕΡΟΣ Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε µονάδες ίνεται η καµπύλη : ψ = ln, >0

28 dψ dψ α) Να δείξετε ότι : ( + ) = + d d β) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου της καµπύλης ψ= ln στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληλη προς τον άξονα χ χ Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρά α cm Προεκτείνουµε την πλευρά ΒΓ κατά µήκος Γ = α cm και φέρνουµε τη χ κάθετη στη Β Να βρείτε τον όγκο και το εµβαδόν του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του τριγώνου ΑΒΓ γύρω από τη χ Η εξίσωση log + log( 4 + 9) = + log( + ) έχει ρίζες, µε > Να σχηµατίσετε τη Γεωµετρική πρόοδο µε πρώτο όρο το και πέµπτο όρο το ( )6 4 Οι ευθείες (ε ) : ψ = χ και (ε ) : χ + ψ = 6 τέµνονται στο Α Η (ε ) τέµνει τον άξονα ψ ψ στο Ο και η (ε ) τέµνει τον άξονα χ χ στο Β α) Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων Ο, Β και Α β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές γ) Να βρείτε: ι) Την εξίσωση του ύψους A ιι) Το εµβαδόν του τριγώνου OΑΒ ιιι) Τις συντεταγµένες του Γ ώστε το τετράπλευρο ΟΑΒΓ να είναι τετράγωνο ηµα ηµ α + ηµ α 5 Να δείξετε ότι : = εφα Στη συνέχεια να λύσετε την συνα συνα + συνα ( ηµα ηµ α + ηµ α) εξίσωση: συνα = 0 συνα συνα + συνα 6 α) ίνονται τα αθροίσµατα : Σ = + συνθ + συνθ + Να δείξετε ότι : Σ = 4 Σ β) ίνεται η Αριθµητική Πρόοδος :,, 5, 7, 9 Σ = + συνθ + συνθ +, µε θ κπ, κ Ζ Σ Να δείξετε ότι: ρµ ( Σ Σ ) = 4 Σ µ, ρ Ν, ρ > µ µ +ρ ρ µ ρ µ Ο ιευθυντής Κ Μάρκου

29 ψ dψ 7 α) Αν ψ = ln + να δείξετε ότι e = 0 β) ίνεται η καµπύλη ψ = ln Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου της καµπύλης ψ = ln στο οποίο η εφαπτοµένη είναι παράλληλη προς τον άξονα χ χ 8 Αν ψ να δείξετε ότι : = π 4 εφχ εφ χ α) εφψ = + εφχ εφ χ π π β) Από την (α) να δείξετε ότι : εφ + εφ = 0 π γ) Από το (β) να δείξετε ότι : εφ = 9 Αν ψ συνχ = e να δείξετε ότι 0 ηµ χ συν χ ηµ χ 0 α) Να λύσετε την εξίσωση 9, στο διάστηµα β) Να δείξετε ότι log β + log β + log 4 β + log β 8 d 8 8 d ψ dψ εϕ ψ = d d = 0 < χ < π a = a a Αριθµητική και Γεωµετρική πρόοδος έχουν τον ίδιο λόγο κα ο πρώτος όρος της ΑΠ είναι διπλάσιος του πρώτου όρου της Γ Π Ο 7 ος όρος της ΑΠ ισούται µε το τετράγωνο του πρώτου όρου της Γ Π,ενώ το άθροισµα των άπειρων όρων της Γ Π ισούται µε τον πρώτο όρο της Α Π Να σχηµατίσετε τις δύο προόδους ηµ 5ω συν ω ηµ 8ω Να δείξετε ότι = ηµω συν ω συν ω συν 5ω Να σχηµατίσετε τη Γεωµετρική Πρόοδο που έχει Σ = 6 και ο α 4 = 4α 6 4 Να λύσετε την εξίσωση συν χ ηµχ + = Να λύσετε την εξίσωση ln( ) = 0 7 Να βρείτε την εξίσωση της κάθετης της καµπύλης + ψ + ψ = 0 στο σηµείο της µε ψ = - και χ > 0 8 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές Α(-,), Β(4,-) και Γ(7, ) α)να βρείτε την εξίσωση της διαµέσου ΒΜ β)να βρείτε την απόσταση της κορυφής Γ από την ευθεία ΑΒ 9 Φθίνουσα Γεωµετρική πρόοδος έχει πρώτο όρο α = ηµ4θ και λόγο λ = συν4θ Να δείξετε ότι το άθροισµα των άπειρων όρων της είναι 0 Να δείξετε µε την µέθοδο της τέλειας επαγωγής ότι ισχύει η πρόταση : ( ν - ) = ν ν Ν a Σ = σϕθ 4

30 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΚΚΟΥ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΤΑΞΗ : Β Ηµεροµηνία : / 05 / 006 Χρόνος :,5 ώρες Ο ΗΓΙΕΣ: Το εξεταστικό δοκίµιο αποτελείται από σελίδες Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής Να γράψετε µόνο µε µπλε ή µαύρο µελάνι (τα σχήµατα µπορείτε να τα κάνετε µε µολύβι) Τα σχήµατα των ασκήσεων να µεταφέρονται στο γραπτό σας εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υλικού ΜΕΡΟΣ Α Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες Να αναλύσετε σε άθροισµα απλών κλασµάτων το κλάσµα : 5 + ( + ) ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f( ) = Να βρείτε : (α) το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της (β) τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης f και το πεδίο ορισµού της Να λύσετε την εξίσωση : log( ) 7 log( ) = log( + ) 4 ίνεται η ευθεία ε: +4ψ-5=0 και Α(,-) ένα σηµείο της Αν Β(-,-) σηµείο εκτός της ε, να βρείτε: (α) το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ (β) την απόσταση του Β από την ε dψ 5 Να βρείτε την παράγωγο d (α) ( ψ = + 5) (β) ψ = ln εφ4 των συναρτήσεων : 6 Να λύσετε την εξíσωση: ηµ ηµ = 0 στο διάστηµα [ 0, 60 )

31 -- 7 Σε αριθµητική πρόοδο η διαφορά του δεύτερου από τον έβδοµο όρο της είναι 5 και το άθροισµα των δέκα πρώτων όρων της είναι 55 Να βρείτε την αριθµητική πρόοδο και τον εικοστό όρο της 8 Ορθό τριγωνικό πρίσµα έχει βάση ορθογώνιο τρίγωνο µε κάθετες πλευρές 5 cm και cm Αν το ύψος του πρίσµατος είναι 8 cm, να βρείτε : (α) το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας και (β) τον όγκο του 9 Να υπολογίσετε τα όρια : + 4 (α) lim (β) lim Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει πλευρά βάσης 0 cm και όγκο 500 cm Να βρείτε: (α) το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραµίδας (β) τη γωνία που σχηµατίζει το παράπλευρο ύψος της µε την βάση ίνεται η καµπύλη µε εξίσωση ψ + ψ + 4 = 0 Να βρείτε την εξίσωση της κάθετης της καµπύλης στο σηµείο της που έχει τετµηµένη = και τεταγµένη ψ>0 Tο πολυώνυµο f() + α + β + γ έχει ρίζα το - Αν f ( ) = 0 και τα α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου να βρείτε τα α, β και γ Η ακτίνα R και το ύψος υ ενός κυλίνδρου ικανοποιούν την σχέση R+υ=9 και υ>r Αν το εµβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι 40π cm, να βρείτε: (α) την ακτίνα και το ύψος του κυλίνδρου (β) το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του κυλίνδρου ηµα + ηµα 4 ίνεται η παράσταση: K = συνα + συνα (α) Να δείξετε ότι K = εφα + 5 (β) Αν Κ= και 0 <α<90 να δείξετε ότι εφα = 5 ίνονται οι συναρτήσεις f και g µε τύπους: f () = ln και g() = + 9 (α) Να ορίσετε τις συναρτήσεις f h = f g και, να βρείτε τον τύπο τους g και το πεδίο ορισµού τους (β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης h

32 ΜΕΡΟΣ Β -- Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 0 µονάδες Οι εξισώσεις δύο πλευρών παραλληλογράµµου ΑΒΓ είναι οι: ψ = 0 και + ψ = 0 Το σηµείο (,5 ) είναι µία από τις κορυφές του (α) Να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών του παραλληλογράµµου (β) Να δείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να βρείτε το εµβαδόν του (α) Να βρείτε το άθροισµα: + + Στη συνέχεια να λύσετε log5 την εξίσωση: = log (β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: ηµα( συνβ συνγ) δείξετε ότι είναι ορθογώνιο β + γ + =, να R ίνεται κύκλος (Ο,R) και χορδή του ΑΒ ίση µε την πλευρά κανονικού εξαγώνου εγγεγραµµένου στον κύκλο Στο Α φέρουµε την εφαπτοµένη ΧΧ του κύκλου και από το Β την κάθετη στη ΧΧ που την τέµνει στο Γ Να βρείτε το εµβαδόν και την περίµετρο του µικτογράµµου τριγώνου ΑΒΓ 4 Οι αριθµοί, ψ, ω είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου ψ ψ Ο αριθµός ψ είναι η ακέραια ρίζα της εξίσωσης 9 ( + ) = 9 Αν οι αριθµοί -, ψ, ω+8 είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, να υπολογίσετε τους αριθµούς, ψ και ω d ψ dψ = να δείξετε ότι + ψe = 0 d d (β) Η καµπύλη ψ = α ln + β περνά από το σηµείο Α(,) Αν η κλίση της εφαπτοµένης της καµπύλης στο Α είναι 5, να βρείτε τα α και β 5 (α) Αν ψ ηµ ( e -) 6 ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ=α cm, Γ =α cm και Γˆ = 60 Το τραπέζιο περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία (ε) η οποία είναι κάθετη στη Γ στο σηµείο Να βρείτε τον όγκο και την επιφάνεια του στερεού που παράγεται από την περιστροφή συναρτήσει του α Η ιευθύντρια (Βικτώρια Λοΐζου)

33 ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΝΟΠΕΤΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:6/5/006 ΤΑΞΗ: Β (κατεύθυνσης) ΙΑΡΚΕΙΑ: 0 Ο ΗΓΙΕΣ: Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υγρού Να γράφετε µε µελάνη µπλε ή µαύρο Το εξεταστικό αποτελείται από 4 σελίδες ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες Να αναλύσετε το κλάσµα 6 6 ( ) σε άθροισµα απλών κλασµάτων Σε αριθµητική πρόοδο ο τέταρτος όρος της είναι και το άθροισµα του πέµπτου και του ένατου όρου της είναι 40 Να βρεθεί η πρόοδος Να λύσετε την εξίσωση: 4 4 = 0 4 Ορθό πρίσµα έχει ύψος 0cm βάση ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά 5cm Να βρείτε: α) το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας και β) τον όγκο του 5 Να λύσετε την εξίσωση: συν χ 5ηµχ + = ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε B = 60, β= cm και γ = cm Να βρείτε τις γωνιές Α και Γ, την πλευρά α, καθώς και το εµβαδόν του τριγώνου 7 ίνεται κύκλος (Κ,R) µε διάµετρο ΑΒ Αν Κ =R και Γ εφαπτόµενη να βρεθεί το εµβαδόν του µεικτόγραµµου τριγώνου Β Γ συναρτήσει του R 8 Να βρείτε τις παραγώγους των πιο κάτω συναρτήσεων: 4χ 5 α) ψ = β) ψ = e n5 ηµχ ηµ 5α + ηµ 4α + ηµ α 9 Να δείξετε ότι: = εφ4α συν 5α + συν 4α + συν α

34 ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΝΟΠΕΤΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ίνονται τα σηµεία Α(,5 ) και Β(,-7 ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το µέσο Μ του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ και είναι κάθετη στην ευθεία χ + ψ 5 = 0 Σε κανονική τετραγωνική πυραµίδα οι παράπλευρες έδρες σχηµατίζουν µε τη βάση γωνία 0 Αν το εµβαδόν της βάσης της πυραµίδας είναι 00m,να υπολογίσετε το εµβαδόν ολικής επιφάνειας και τον όγκο της Να λύσετε την εξίσωση: ( 4 + χ ) = log ( ) log χ α) ίνονται οι συναρτήσεις: f ( χ ) = και ( χ ) συναρτήσεις f + g, χ g = Να ορίσετε τις χ χ f g και τα πεδία ορισµού τους β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές Α( 4,-), Β( 7,5) και Γ(, ) είναι ισοσκελές 4 Να υπολογίσετε τα όρια: α) 6χ + lim + χ + 4χ + β) ηµ 4χ ηµ χ lim 0 χ d ψ dψ =, να δείξετε ότι + = dχ dχ 5 Αν ψ ln( συνχ) ΜΕΡΟΣ Β : Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 0 µονάδες ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε A ( 7,5), B (,) και ( 4, ) Γ α) Να βρείτε εξίσωση του ύψους Β β) Να βρείτε την απόσταση της κορυφής Α από το ύψος Β 0 γ) είξετε ότι B = 90 δ) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ίνεται η συνάρτηση ψ = e κ, µε κ R dψ α) Αν για χ = = 0, να δείξετε ότι κ = - dχ β) Για την ψ = e : i) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης αυτής για χ = 0 d ψ dψ ii) Να δείξετε ότι: + ψ = 0 dχ χ dχ

35 ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΝΟΠΕΤΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: χ + α) Να αναλυθεί σε άθροισµα απλών κλασµάτων το κλάσµα: ( χ )( χ + 4) 4 β) Να βρείτε το άθροισµα: συν χ 4 α) Να δείξετε ότι: = σφ χ συν χ β) Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: β γ βσυν Γ γσυν Β = α 0 συν χ = ηµ χ + 60 στο διάστηµα 0 χ 60 γ) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 5 Οι αριθµοί χ, χ +, χ + αποτελούν τρεις διαδοχικούς όρους µίας αριθµητικής προόδου Οι αριθµοί χ, ψ, χ + ψ αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου α) Να βρείτε τα χ και ψ β) Να βρείτε τις δύο προόδους όπου ψ 0 γ) Να υπολογίσετε το άθροισµα των 0 πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου 6 Να βρείτε τον όγκο και την επιφάνεια του στερεού που παράγεται από την πλήρη στροφή του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ γύρω από την ευθεία ΧΑΨ ΤΕΛΟΣ Ο ιευθυντής Μιχάλης Οικονοµίδης Εισηγητές: Στέλιος Θεοφίλου (Συντονιστής Β ) Ελένη Φωτίου Μενελάου Κούλα Τσιήρτου Ρηγίνα

36 ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΛΟΥΡΙΩΤΙΣΣΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: / 5 / 006 ΤΑΞΗ : Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣ: : 0 Ο ΗΓΙΕΣ: α) Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής β) Να γράφετε µόνο µε µπλέ ή µαύρο µελάνι(στα σχήµατα επιτρέπεται το µολύβι) γ) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού ΜΕΡΟΣ Α : Από τα 5 θέµατα να λύσετε ΜΟΝΟ τα Κάθε θέµα βαθµολογείται µε µονάδα ) Σε αριθµητική πρόοδο ο ος όρος ισούται µε και ο ος όρος µε 7 Να βρείτε τον 5 ο όρο της προόδου 5 χ ) Να αναλύσετε το κλάσµα χ χ σε άθροισµα απλών κλασµάτων ) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: ψ = e χ συν χ log χ + 6 log 4 χ = 4) Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( ) 5) ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο + 5 f( ) = Να βρείτε: i το πεδίον ορισµού και το πεδίον τιµών της f ( ) ii τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης f ( ) και το πεδίο ορισµού της 6) Να δείξετε ότι: συν Β σφβ= ηµ Β 7) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη προς την ευθεία (): ε χ 4ψ = 0 και περνά από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ µε άκρα (,) Α και Β( 5, 5) 8) Να βρείτε την παράγωγο d ψ dχ της καµπύλης: 5 ηµ χ +χψ ψ = 6 9) Να βρείτε τη γενική λύση της τριγωνοµετρικής εξίσωσης: συνχ ηµχ + = 0) Να υπολογίσετε το όριο: lim ( 5 ) + ) Σε φθίνουσα γεωµετρική πρόοδο ο λόγος της είναι τριπλάσιος του πρώτου όρου και το άθροισµα των απείρων όρων της είναι διπλάσιο του πρώτου όρου Να βρείτε: i τον πρώτο όρο και το λόγο της προόδου ii τους πέντε πρώτους όρους της 0

37 ) Κύλινδρος και κώνος έχουν ίσες βάσεις, ενώ η γενέτειρα του κώνου είναι διπλάσια του ύψους του κυλίνδρου Αν ο κύλινδρος έχει εµβαδόν κυρτής επιφάνειας 80π cm και ύψος 5 cm, να υπολογίσετε τον όγκο του κώνου ( ) ) ίνεται η συνάρτηση ψ = ln +χ i Να βρείτε την πρώτη παράγωγό της ii Να δείξετε ότι: e ψ ψ ( ) = χ 4) Κανονική τετραγωνική πυραµίδα έχει παράπλευρες έδρες ισόπλευρα τρίγωνα που έχουν πλευρές µήκους Να βρείτε συναρτήσει του : α i το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας ii τον όγκο της πυραµίδας α ( K, R) 5) Στο διπλανό σχήµα δίνεται κύκλος Αν ΑΒ είναι χορδή του κύκλου, τέτοια ώστε ΑΒΚ ˆ = 60 και ΒΓΑ ηµικύκλιο διαµέτρου AB, να βρείτε το εµβαδόν του σκιασµένου µηνίσκου R συναρτήσει του Κ Α Γ R Β ΜΕΡΟΣ Β : Από τα 6 θέµατα να λύσετε ΜΟΝΟ τα 4 Κάθε θέµα βαθµολογείται µε µονάδες ) ίνεται πολυώνυµο f ( χ) αχ + βχ + γχ +δ i Να προσδιορίσετε τους αριθµούς α, β, γ, δ, έτσι ώστε το πολυώνυµο να έχει ρίζες τους αριθµούς 0 και, f ( ) = 8 και f ( ) = 4 ii Να υπολογίσετε το όριο: lim f ( ) + ) ίνονται οι συναρτήσεις f και g µε τύπους f ( ) = και g ( ) = 9 i Να βρείτε το πεδίον ορισµού και το πεδίο τιµών των f και g ii Να ορίσετε τη συνάρτηση f g iii Να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ορίζεται η f g

38 ) ίνεται τρίγωνο ΑΒ Γ Να δείξετε ότι: Γ Α i Ισχύει η σχέση: ηµα συν + ηµγ συν = ηµα +ηµβ+ ηµγ Γ Α + γ ii Αν ισχύει η σχέση: ηµα συν + ηµγ συν = + β, τότε το τρίγωνο R ΑΒΓ είναι ορθογώνιο 4) ίνεται ρόµβος ΑΒΓ µε διαγωνίους τις ΑΓ=4cm και Β =0cm Ευθεία (ε) περνά από την κορυφή Β και είναι παράλληλη προς τη διαγώνιο ΑΓ Ο ρόµβος ΑΒΓ στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία (ε) Να υπολογίσετε: i τον όγκο και ii το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του στερεού που παράγεται ( ) 5) Παραλληλόγραµµο ΑΒΓ έχει κορυφές Β, και (, Η Α έχει εξίσωση: ψ = χ+, ενώ η ΑΒ έχει εξίσωση: 4χ ψ+ 9= 0 i Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων Α και Γ, και να δείξετε ότι η ΑΓ συµπίπτει µε τον άξονα των ψ ii Να υπολογίσετε το µήκος της Γ iii Να υπολογίσετε την απόσταση της κορυφής Α από την ευθεία Γ iv Να υπολογίσετε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου ΑΒΓ 6) (α) Να δείξετε τη σχέση: (β) Να λύσετε την εξίσωση: log + log + log + log + = χ log + log + log + log + = log00 + log 000 ( ) log( χ χ ) 4 8 ) Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Λ Κακογιάννης ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Γ Στυλιανού Β Κ Κολοκασίδου - Λειβαδιώτου Χ Συρίµη - Σκίτσα

39 ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΡΑΛΙΜΝΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηµατικά (κατεύθυνσης) ιάρκεια : :0 ΤΑΞΗ : Β Ενιαίου Λυκείου Ηµεροµηνία : 5/5/006 Οδηγίες : Να γράφετε µόνο µε µελάνι (Τα σχήµατα µε µολύβι) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής µηχανής µη προγραµµατισµένης 4 Τα σχήµατα του φυλλαδίου να µεταφέρονται στη θέση που λύεται η άσκηση Μέρος Α (60 Μονάδες) Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5 µονάδες ίνεται η συνάρτηση µε τύπο: f() = Να βρείτε: α) Το πεδίο ορισµού, β) Το πεδίο τιµών, γ) Τον τύπο της f () Να βρείτε την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων: α) f() = +, β) f() = e ηµ Να αναλύσετε σε άθροισµα απλών κλασµάτων το κλάσµα: + 6 ( + ) 4 Να βρείτε τα όρια: α) lim lim Να βρεθεί το εµβαδόν κυκλικού τοµέα τόξου 0 σε κύκλο ακτίνας 6cm 6 Να επιλυθεί το οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, αν Ε = cm, β=4 cm, γ = cm 7 Να λύσετε την εξίσωση: ηµ + ηµ = 0 8 Να λύσετε την εξίσωση: log 4 ( + ) log ( + ) = β) ( ) 9 ίδεται τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές Α(, 4), Β(, 5) και Γ( 4, 6) Να υπολογίσετε: α) Το µήκος της πλευράς ΑΒ β) Το εµβαδόν του τριγώνου 0 Να δείξετε ότι: ηµα + συνα = 4συνα ηµα συνα Αριθµητικής προόδου ο τρίτος όρος είναι και ο όγδοος όρος είναι 8 Να υπολογίσετε το άθροισµα των 5 πρώτων όρων της Σελίδα από

40 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης και της καθέτου της καµπύλης +ψ =5, στο σηµείο Α(, ) αυτής Ο όγκος κυλίνδρου είναι 54π m και το ύψος του είναι διπλάσιο από την ακτίνα της βάσης του Να βρεθεί το εµβαδόν της ολικής επιφάνειας του 4 ίνεται η συνάρτηση f() = (α+β) + α Να βρείτε τα α και β αν f()=0 και f ()= 5 Στο διπλανό σχήµα η ΑΒ είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Κ, R) στο σηµείο Α Αν Β = 0 και ΚΒ =8cm, να υπολογίσετε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου χωρίου R Α Κ B Μέρος Β (40 Μονάδες) Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε µόνο τις 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 0 µονάδες Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, η ΑΒ έχει εξίσωση χ + ψ = και η Α έχει εξίσωση χ ψ = (α) Αν µια από τις κορυφές έχει συντεταγµένες (7, ), να αποδειχτεί ότι είναι η κορυφή Γ (β) Να υπολογισθούν οι συντεταγµένες των κορυφών Α, Β και (γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών ΒΓ και Γ (δ) Να αποδειχτεί ότι το ΑΒΓ είναι τετράγωνο α) ίνεται η συνάρτηση f() = α ηµ + β συν µε α, β σταθερές Αν και f = 4, να βρεθούν: ι) οι τιµές των α, β / π ιι) f() lim + 0 β) Να αποδείξετε την ταυτότητα: π f = 6 συν5α συνα συν8α στεµα = συνα συν6α 4 α) Να λύσετε την εξίσωση: = 0 Β ηµβ β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: εφ = ηµα + ηµγ τρίγωνο είναι ορθογώνιο να δείξετε ότι το Σελίδα από

41 4 Στο σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( Α = 90 ), η ΑΓ=4cm, η ΑΒ=cm και η γωνιά που σχηµατίζει η ΑΓ µε τον άξονα y είναι 45 Να βρείτε την επιφάνεια και τον όγκο του στερεού που παράγεται όταν το τρίγωνο ΑΒΓ κάνει πλήρη περιστροφή γύρω από τον άξονα y Γ Α Β 5 ίνεται η συνάρτηση y = ln +, > α) Να αποδείξετε ότι y + = e y β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης στο σηµείο της µε τετµηµένη = e y 6 ίνεται η συνάρτηση: y = + συν dy α) Να δείξετε ότι οι αριθµοί y,, ηµ είναι διαδοχικοί όροι d γεωµετρικής προόδου, µε λόγο λ = εφ β) Αν Α είναι το άθροισµα των απείρων όρων της πιο πάνω γεωµετρικής Α προόδου µε 0 <<45º και = (συν + ηµ), να υπολογίσετε τη γωνία συν ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : Άγγελος Χατζηαγαθαγγέλου Αθηνά Λάντου Μυρούλα Κεπερτή Παλλαρή ήµητρα Σκαπούλλαρου - Χαρή Χρήστος Βαλανίδης Αλέξανδρος Γιωργαλλίδης (Β ) Συντονιστής Μαθηµατικών Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ιάκωβος Κορνιώτης Σελίδα από

42 ΛΥΚΕΙΟ ΑΠ ΠΕΤΡΟΥ ΚΑΙ ΠΑΥΛΟΥ-ΛΕΜΕΣΟΣ ΣΧ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ EΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 006 Μάθηµα: Μαθηµατικά κατεύθυνσης Τάξη : Β Ηµεροµηνία : /05/06 Ώρα : ( ιάρκεια 0 ) Ο ΗΓΙΕΣ: Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής Να γράφετε µόνο µε µελάνι (µε µολύβι µόνο τα σχήµατα) εν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού ΜΕΡΟΣ Α: Από τις 5 ασκήσεις να λύσετε µόνο Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 5/00 Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο: + f( ) = 4 Αν > 0 και να αποδείξετε ότι οι αριθµοί l og,, διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου log είναι Να υπολογίσετε το όριο: lim Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: (α) f e συν ( ) ( ) = + ln (β) εφ f( ) = + e 5 Να βρείτε τις τιµές της γωνίας ( 0, π ) ηµ 5 + ηµ = ηµ που ικανοποιούν την εξίσωση 6 Στο διπλανό σχήµα δίνονται τρεις κύκλοι οι οποίοι εφάπτονται ανά δύο εξωτερικά στα σηµεία Α, Β και Γ Αν R = R = και R =, να υπολογίσετε το εµβαδόν του σκιασµένου καµπυλόγραµµου τριγώνου ΑΒΓ O Γ O R R Α Β R O

43 7 Να λύσετε την εξίσωση: ( e) log ln = 0 8 Να υπολογίσετε τον όγκο του κώνου που έχει ύψος cm και εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας 0π cm π a ν µε λόγο λ = συν a, a 0, και πρώτο 4 όρο a = ηµ aνα αποδείξετε ότι το άθροισµα των άπειρων όρων της προόδου είναι εφ a 9 ίνεται η γεωµετρική πρόοδος ( ) 0 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σηµείο Α(,-) και σχηµατίζει µε τον άξονα των γωνία ϑ τέτοια ώστε συν ϑ = Β β Αν α,β,γ είναι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ, και ισχύει: εφ = α + γ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α Αν οι ευθείες ( ε ):( κ ) + ( λ+ ) y+ = 0 κ, λ ( ε ) + y+ =0 είναι παράλληλες και η ευθεία ( ), µε κ >, λ > 0 και : ε τέµνει τους άξονες και yy στα σηµεία Α και Β αντίστοιχα έτσι ώστε το εµβαδόν του τριγώνου 9 ΑΟΒ,όπου Ο η αρχή των αξόνων να είναι τµ να βρείτε τις τιµές των και 6 κ λ Να βρείτε τις εξισώσεις της εφαπτοµένης και της κάθετης της καµπύλης y+ y = 6 στο σηµείο της µε = και y > 0 4 Να υπολογίσετε το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας και τον όγκο κανονικής τετραγωνικής πυραµίδας αν η πλευρά της βάσης της είναι a cm και η παράπλευρη ακµή της είναι ίση µε την διαγώνιο της βάσης της 5 Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(4,-) δίνονται οι εξισώσεις του ύψους ΓΚ: y+ = 0 και της διαµέσου ΓΜ: + y = 0Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ΑΓ και ΑΒ του τριγώνου

44 ΜΕΡΟΣ Β Από τις 6 ασκήσεις να λύσετε ΜΟΝΟ τις 4 Κάθε άσκηση βαθµολογείται µε 0 /00 ίνεται η συνάρτηση ( ) ( )( ) Ρ = +, (α)αφού αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης Ρ είναι Ρ Ρ ( ) = + να γράψετε το κλάσµα, στη µορφή Ρ Ρ ( ) Α Β = + και να προσδιορίσετε τις τιµές των Α και Β Ρ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ Ρ Ρ (β)να αποδείξετε ότι: < Ρ 0 ( ) 0 για κάθε µε Ρ Στο διπλανό σχήµα το ΑΒΓ είναι τετράγωνο µε A(-,) Α(-,),Β(,-) και εξίσωση της διαγωνίου του Μ Β : = 0 (α)να βρείτε τις συντεταγµένες του κέντρου Κ του τετραγώνου και των κορυφών του Γ και (β)να υπολογίσετε το εµβαδόν του σκιασµένου κυκλικού τµήµατος Α (γ)αν Μ και Ν τα µέσα των ευθυγράµµων Ν B(,-) K τµηµάτων Α και ΑΒ αντίστοιχα να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΜΝΓ Γ ηµ = + εφ + σφ + ηµ (α) Να αποδείξετε ότι: ( )( ) π (β) Να λύσετε στο 0, την εξίσωση: log log + εφ log( + σφ ) = log ( ) 4 (α)να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f( ) = ln και + g ( ) = ln( ) ln( + ) είναι ίσες (β)να αποδείξετε ότι η αντίστροφη της f δίνεται από τον τύπο e + y = f ( ) = και να βρείτε το πεδίο τιµών της e e + e + (γ) Να βρείτε τα όρια: lim και lim + e e