ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. f : συνάρτηση, με f(x ) f ( x ) x x

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Η αντιστοιχία f : A λέγεται συνάρτηση αν για κάθε αντιστοιχίζεται ένα μόνο y f : συνάρτηση, με f ( ) f ( ) ή ισοδύναμα f : συνάρτηση, με f( ) f ( ) Το σύνολο Α λέγεται σύνολο αφετηρίας ή σύνολο ορισμού ή πεδίο ορισμού της συνάρτησης, ενώ το σύνολο Β λέγεται σύνολο άφιξης. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Ορισμός: Με τον όρο πεδίο ορισμού εννοούμε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο η f() έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Ο συμβολισμός για το πεδίο ορισμού είναι: i)d(f) (D το αρχικό γράμμα της λέξης Domain) ii)d f iii)με κεφαλαίο γράμμα Α,Β,Γ κλπ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΔΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όνομα Τύπος Πεδιο Ορισμού Πολυωνυμική F()=α ν χ ν +.+α χ+α 0 R Ομοπαραλληλική F()=αχ+β R Σταθερή F()=c R Ταυτοτική F()= R Ρητή P F()= ( ), P( ), Q( ) Q ( ) πολυωνυμικές συναρτήσεις του χ R : Q( ) 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

2 Ομογραφική F ( ) 0 και R Άρρητη F( ) P( ) : P( ) 0 Λογαριθμική F()=log α h(),α>0 α : h( ) 0 Τριγωνομετρικές F()=ημχ F()=συνχ F()=εφχ F()=σφχ R R R, R, ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω οι συναρτήσεις f και g με τύπους f() και g() και πεδία ορισμού Α=D(f) και Β=D(g) αντίστοιχα.τότε: Το άθροισμα των συναρτήσεων f και g είναι η συνάρτηση f+g (εφ όσον ορίζεται ) με Πεδιο ορισμού : D( f g) D( f ) D( g) A Τύπο : (f+g)()=f()+g(), A Για να ορίζεται πρέπει A Η διαφορά των συναρτήσεων f και g είναι η συνάρτηση f-g (εφ όσον ορίζεται) με Πεδίο ορισμού : D( f g) D( f ) D( g) A Τύπο: (f-g)()=f()-g(), A Για να ορίζεται πρέπει A Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

3 Το γινόμενο των συναρτήσεων f και g είναι η συνάρτηση fg (εφ όσον ορίζεται) με Πεδίο ορισμού : D( f g) D( f ) D( g) A Τύπο: (fg)()=f()g(), A Για να ορίζεται πρέπει A Το πηλίκο των συναρτήσεων f και g είναι η συνάρτηση (εφ όσον ορίζεται ) με f g Πεδίο ορισμού f D D( f ) D'( g) A ' g όπου ' : g ( ) 0 f f ( ) Τύπο: ( ) A ' g g( ) Για να ορίζεται πρέπει A ' ΓΡΑΦΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός: Έστω η συνάρτηση f : A. Ονομάζουμε γράφημα ή γραφική παράσταση ή καμπύλη της f σ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οχy, το σύνολο των σημείων Μ(χ,f()) για όλα τα A. Συμβολίζεται με το C f. C f (, f ( ) R, A C M y R y f f (, ), ( ) ΑΡΤΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Έστω η συνάρτηση f με τύπο f() και πεδίο ορισμού το Α=D(f).Τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια,αν και μόνο αν, Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα

4 D( f ), D( f ) (δηλαδή το D(f) είναι συμμετρικό ως προς το 0) f(-)=f() D( f ) Μεθοδολογια:. Βρίσκουμε το D(f). Εξετάζουμε αν το D(f) είναι συμμετρικό σύνολο ως προς 0 () Αν δεν ισχύει η () τότε η συνάρτηση δεν είναι άρτια Αν ισχύει η () τότε εξετάζουμε αν.f(-)=f() για κάθε D( f ) Γεωμετρική ερμηνεία: Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια γεωμετρικά σημαίνει ότι το γράφημα της f είναι καμπύλη συμμετρική ως προς τον άξονα y y. ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Έστω η συνάρτηση f με τύπο f() και πεδίο ορισμού το Α=D(f).Τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή,αν και μόνο αν: D( f ), D( f )(δηλαδή το D(f) είναι συμμετρικό σύνολο ως προς το 0) f(-)=-f() D( f ) Μεθοδολογία:. Βρίσκουμε το D(f). Εξετάζουμε αν το D(f) είναι συμμετρικό ως προς 0. () Αν δεν ισχύει η () τότε η συνάρτηση δεν είναι περιττή Αν ισχύει η () τότε συνεχίζουμε και εξετάζουμε αν: Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα 4

5 .f(-)=-f() για κάθε D( f ) Γεωμετρική ερμηνεία: Αν η f είναι περιττή γεωμετρικά σημαίνει ότι το γράφημα της f είναι καμπύλη συμμετρική ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Θεώρημα: Το γινόμενο δύο άρτιων ή δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση, ενώ το γινόμενο μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης είναι περιττή συνάρτηση. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Ορισμός: Η συνάρτηση f : A λέγεται γνησίως αύξουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ,χ A με χ <χ ισχύει f( )<f( ). Ορισμός: Η συνάρτηση f : A λέγεται γνησίως φθίνουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ,χ A με χ <χ ισχύει f( )>f( ). Ορισμός: Η συνάρτηση f : A λέγεται αύξουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ,χ f( ) f( ) A με χ <χ ισχύει Ορισμός: Η συνάρτηση f : A λέγεται φθίνουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ,χ A με χ <χ ισχύει f ( ) f ( ) Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα 5

6 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν α>0, τότε η συνάρτηση γίνεται : Γνησίως φθίνουσα στο, Γνησίως αύξουσα στο, Αν α<0, τότε η συνάρτηση γίνεται : Γνησίως αύξουσα στο, Γνησίως φθίνουσα στο, f ( ) a,α 0 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: i f ) ( ) 4 5 ii)g()=- 4 5 ΛΥΣΗ 4 f 4 επειδή α=>0 η συνάρτηση ( ) 4 5 έχει α= και β=-4,οπότε - είναι γνησίως φθίνουσα στο,, και γνησίως αύξουσα στο, 4 g( ) 4 5 έχει α=- και β=4,οπότε - 4 επειδή α=-<0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,, και γνησίως φθίνουσα στο, ΑΚΡΟΤΑΤΑ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο στο 0 A όταν: f ( ) f 0 για κάθε A Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα 6

7 Το 0 A ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ η τιμή f( 0 ) λέγεται ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο της συνάρτησης f και το συμβολίζουμε με min f() Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο στο όταν: f ( ) f για κάθε A Το 0 A 0 A λέγεται θέση μεγίστου, ενώ η τιμή 0 f( 0 ) λέγεται ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο της συνάρτησης f και το συμβολίζουμε με ma f() ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 4 i) f ii)f iii)f()= 5 iv) f ( ) v)f()=+ vi)f()= 5 4 vii) f ( ) viii)f()=.να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) f ( ) 4 ii)f 9 iii)f()= 6 iv) f v)f()= vi) f ( ) vii)f()= viii)f()= 4 i) f ( ) )f()= i)f()= ii f 8 iii)f()= ) ( ). Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i f ) ( ) 5 6 ii)f()= 4 4.Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα 7

8 i f ) ( ) ii)f()= iii)f()= iv) f ( ) v)f()=- vi)f()= 5 4 vii) f ( ) viii)f()= 5.Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές. 4 i) f ( ) ii)f()= iii)f()= iv) f ( ) v)f()= vi)f()= vii) f ( ) viii)f()= i)f()= 5 ) f ( ) i)f( )= ii)f()= iii) f ( ) iv)f()= v)f()= 5 vi f ) ( ) vii)f()= viii)f()= 6. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: 4, <0,<0 i) f ( ) ii)g()= 4, 0, 0 7. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση : f ( ) είναι : Α)γνησίως αύξουσα Β)γνησίως φθίνουσα Γ)σταθερή f ( ) a 4a 5 8.Να αποδείξετε ότι για κάθε α η συνάρτηση είναι αύξουσα. 9.Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις: 4,<, i) f ( ) ii)g()= 4-, 4,> Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα 8

9 0.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a a 9 η οποία διέρχεται από το σημείο Α(,0). Α) Να αποδείξετε ότι α= Β)Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία Γ)Να λύσετε τις εξισώσεις: i) f ( 4 0 ii) f 4 f 0 iii) f f Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα 9