ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. f : συνάρτηση, με f(x ) f ( x ) x x

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Η αντιστοιχία : A B λέγεται συνάρτηση αν για κάθε αντιστοιχίζεται ένα μόνο y : συνάρτηση, με ( ) ( ) ή ισοδύναμα : συνάρτηση, με ( ) ( ) Το σύνολο Α λέγεται σύνολο αφετηρίας ή σύνολο ορισμού ή πεδίο ορισμού της συνάρτησης, ενώ το σύνολο Β λέγεται σύνολο άφιξης. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Ορισμός: Με τον όρο πεδίο ορισμού εννοούμε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο η () έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Ο συμβολισμός για το πεδίο ορισμού είναι: i)d() (D το αρχικό γράμμα της λέξης Domain) ii)d iii)με κεφαλαίο γράμμα Α,Β,Γ κλπ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΔΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όνομα Τύπος Πεδιο Ορισμού Πολυωνυμική F()=α ν χ ν +.+α χ+α 0 R Ομοπαραλληλική F()=αχ+β R Σταθερή F()=c R Ταυτοτική F()= R Ρητή P F()= ( ), P( ), Q( ) Q ( ) πολυωνυμικές συναρτήσεις του χ R : Q( ) 0 Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 7 -

2 Ομογραφική F( ) 0 και R Άρρητη F( ) P( ) : P( ) 0 Λογαριθμική F()=log α h(),α>0 α : h( ) 0 Τριγωνομετρικές F()=ημχ F()=συνχ F()=εφχ F()=σφχ R R R, R, ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω οι συναρτήσεις και g με τύπους () και g() και πεδία ορισμού Α=D() και Β=D(g) αντίστοιχα.τότε: Το άθροισμα των συναρτήσεων και g είναι η συνάρτηση +g (εφ όσον ορίζεται ) με Πεδιο ορισμού : D( g) D( ) D( g) A B Τύπο : (+g)()=()+g(), A B Για να ορίζεται πρέπει A B Η διαφορά των συναρτήσεων και g είναι η συνάρτηση -g (εφ όσον ορίζεται) με Πεδίο ορισμού : D( g) D( ) D( g) A B Τύπο: (-g)()=()-g(), A B Για να ορίζεται πρέπει A B Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 8 -

3 Το γινόμενο των συναρτήσεων και g είναι η συνάρτηση g (εφ όσον ορίζεται) με Πεδίο ορισμού : D( g) D( ) D( g) A B Τύπο: (g)()=()g(), A B Για να ορίζεται πρέπει A B Το πηλίκο των συναρτήσεων και g είναι η συνάρτηση (εφ όσον ορίζεται ) με D D( ) D'( g) A B' Πεδίο ορισμού g όπου ' : g ( ) 0 ( ) Τύπο: ( ) A B' g g( ) Για να ορίζεται πρέπει A B' g ΓΡΑΦΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός: Έστω η συνάρτηση : A B. Ονομάζουμε γράφημα ή γραφική παράσταση ή καμπύλη της σ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οχy, το σύνολο των σημείων Μ(χ,()) για όλα τα A. Συμβολίζεται με το C. C (, ( ) R, A C M y R y (, ), ( ) ΑΡΤΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Έστω η συνάρτηση με τύπο () και πεδίο ορισμού το Α=D().Τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι άρτια,αν και μόνο αν, D( ), D( ) (δηλαδή το D() είναι συμμετρικό ως προς το 0) (-)=() D( ) Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 9 -

4 Μεθοδολογια:. Βρίσκουμε το D(). Εξετάζουμε αν το D() είναι συμμετρικό σύνολο ως προς 0 () Αν δεν ισχύει η () τότε η συνάρτηση δεν είναι άρτια Αν ισχύει η () τότε εξετάζουμε αν.(-)=() για κάθε D( ) Γεωμετρική ερμηνεία: Αν μια συνάρτηση είναι άρτια γεωμετρικά σημαίνει ότι το γράφημα της είναι καμπύλη συμμετρική ως προς τον άξονα y y. ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός: Έστω η συνάρτηση με τύπο () και πεδίο ορισμού το Α=D().Τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι περιττή,αν και μόνο αν: D( ), D( )(δηλαδή το D() είναι συμμετρικό σύνολο ως προς το 0) (-)=-() D( ) Μεθοδολογία:. Βρίσκουμε το D(). Εξετάζουμε αν το D() είναι συμμετρικό ως προς 0. () Αν δεν ισχύει η () τότε η συνάρτηση δεν είναι περιττή Αν ισχύει η () τότε συνεχίζουμε και εξετάζουμε αν:.(-)=-() για κάθε D( ) Γεωμετρική ερμηνεία: Αν η είναι περιττή γεωμετρικά σημαίνει ότι το γράφημα της είναι καμπύλη συμμετρική ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 0 -

5 Θεώρημα: Το γινόμενο δύο άρτιων ή δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση, ενώ το γινόμενο μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης είναι περιττή συνάρτηση. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Ορισμός: Η συνάρτηση : A B λέγεται γνησίως αύξουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ,χ A με χ <χ ισχύει ( )<( ). Ορισμός: Η συνάρτηση : A B λέγεται γνησίως φθίνουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ,χ A με χ <χ ισχύει ( )>( ). Ορισμός: Η συνάρτηση : A B λέγεται αύξουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ,χ A με χ <χ ισχύει ( ) ( ) Ορισμός: Η συνάρτηση : A B λέγεται φθίνουσα στο Α όταν για οποιαδήποτε σημεία χ,χ ( ) ( ) A με χ <χ ισχύει Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

6 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν α>0, τότε η συνάρτηση γίνεται : Γνησίως φθίνουσα στο, Γνησίως αύξουσα στο, Αν α<0, τότε η συνάρτηση γίνεται : Γνησίως αύξουσα στο, Γνησίως φθίνουσα στο, ( ) a,α 0 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: i ) ( ) 4 5 ii)g()=- 4 5 ΛΥΣΗ 4 4 επειδή α=>0 η συνάρτηση ( ) 4 5 έχει α= και β=-4,οπότε - είναι γνησίως φθίνουσα στο,, και γνησίως αύξουσα στο, 4 g( ) 4 5 έχει α=- και β=4,οπότε - 4 επειδή α=-<0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,, και γνησίως φθίνουσα στο, ΑΚΡΟΤΑΤΑ Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο στο 0 A όταν: ( ) 0 για κάθε A Το 0 A λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ η τιμή ( 0) λέγεται ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο της συνάρτησης και το συμβολίζουμε με min () Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

7 Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο στο όταν: ( ) για κάθε A Το 0 A 0 A λέγεται θέση μεγίστου, ενώ η τιμή 0 ( 0 ) λέγεται ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο της συνάρτησης και το συμβολίζουμε με ma () ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης συνάρτησης 4 C της Για την 4 Θέτουμε το =0 οπότε έχουμε : A,,, 0 4 y y 0 Άρα το σημείο τομής με τον y y είναι το σημείο Α(0,). Θέτουμε το y=0 οπότε: Άρα τα σημεία τομής με τον άξονα είναι τα Β(-,0) και Γ(,0).Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 9 και g()=5+ Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της την γραφική παράσταση της ( ) g( ) C g Έχουμε A Ag g , αρκεί να λύσουμε την εξίσωση και Άρα τα κοινά σημεία των συναρτήσεων είναι τα Α(,) και Β(,8). C με Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - -

8 .Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της 9 είναι πάνω από την γραφική παράσταση της g 5 Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της λύσουμε την ανίσωση : ()>g() Έχουμε A Ag g , Από το πρόσημου τριωνύμου έχουμε :,, C g αρκεί να C 4.Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση 4 Πρέπει 0. Ά Α, Έστω A με, 4 4 ( ) Άρα η () είναι γνησίως φθίνουσα στο Α,. 5. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση A Έστω, A με και Προσθέτουμε κατά μέλη τις () και () και έχουμε Άρα η () είναι γνησίως αύξουσα στο A. Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 4 -

9 6.Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση ( ) 4 7 ( ) με Α Έστω,, με, 0 ( ) Έστω,, με 0 Άρα η () είναι γνησίως φθίνουσα στο στο,, και γνησίως αύξουσα 7.Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση με τύπο:, <0 ( ) +, 0 ΛΥΣΗ Θα μελετήσουμε κάθε κλάδο ξεχωριστά. Στο διάστημα,0 ο τύπος της είναι ( ) Για κάθε,,0 με ισχύει ότι: ( ) Άρα για κάθε,,0 με, ύ Οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,0. Στο διάστημα 0, ο τύπος της είναι ( ) Για κάθε, 0, με, με, ισχύει ότι: ( ) Οπότε για κάθε, 0, με, ισχύει ( ) ( ) Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, Τελικά η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,0 και γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 5 -

10 8.Δίνεται η συνάρτηση Α) να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία της. 6 Β)να λύσετε την εξίσωση 6 6 Γ)Να λύσετε την ανίσωση 6 Α)Πρέπει 0 και 0. Άρα Α 0, Έ, A με και έ κατά μέλη τις () και () και έχουμε : Άρα η () είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. B) Δ=6 και ) Δ=6 και Από πίνακα προσήμου του τριωνύμου έχουμε :,, Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 6 -

11 9.Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης : διέρχεται από τα σημεία Α(5,) και Β(4,9). Α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της Β) Να λύσετε την ανίσωση 5 Α) Η C διέρχεται από το σημείο Α(5,) άρα (5)= Η διέρχεται από το σημείο Β(4,9) άρα (4)=9 Για 4<5 έχουμε (4)>(5) και γνησίως μονότονη άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. C 0,0 B) Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων a) β) Α) A Για κάθε ισχύει: Λύνουμε την εξίσωση : ό την έχουμε 4 0 Άρα η () παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0 το (0)=4 Β) A Για κάθε ισχύει 0 ( ) () Λύνουμε την εξίσωση ό την () έχουμε ( ) 0 0 Αρα η () παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο - το (-)= Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 7 -

12 .Να δείξετε ότι η συνάρτηση 4 7 παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με 5. A Αρκεί να δείξουμε ότι ( ) 5 για κάθε ( ) που ισχύει για κάθε.δίνεται η συνάρτηση. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης g() που προκύπτει από μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της Α)κατά μονάδες αριστερά Β)κατά μονάδες προς τα κάτω Γ)διαδοχικά κατά μονάδες δεξιά και μονάδα προς τα πάνω a) g 5 ) g 5 ) g Χρήσιμες ισότητες και ανισότητες Για οποιουσδήποτε αριθμούς α,β και ν περιττός ισχύει: a Για οποιουσδήποτε αριθμούς α,β και ν άρτιος ισχύει: Αν α,β>0 (θετικοί) τότε ισχύει : ή α=-β Για οποιουσδήποτε αριθμούς α,β και ν περιττός ισχύει: Αν α,β ομόσημοι τότε: Αν α,β ετερόσημοι τότε Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 8 -

13 Αν α,β >0 (θετικοί) τότε 0 0 Αν Αν τότε α>β τότε α=β τότε α<β 0 Αν α>0 τότε Αν α<0 τότε και η ισότητα ισχύει για α= και η ισότητα ισχύει για α=- Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 9 -

14 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ.Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 4 i) ii) iii)()= 5 iv) ( ) v)()=+ vi)()= 5 4 vii) ( ) viii)()=.να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i ) ( ) 4 ii) 9 iii)()= 6 iv) v)()= vi) ( ) vii)()= viii)()= 4 i) ( ) )()= i)()= ii 8 iii)()= ) ( ). Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i ) ( ) 5 6 ii)()= 4.Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: i) ii)g()= iii)h()= 5.Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: i) ( ) 5 6 ii) ( ) 6 4 iii) ( ) 5 iv) ( ) 5 4 Estathioupetros.weebly.com Σελίδα

15 6.Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: i) ( ) 4 ii) ( ) 6 iii) ( ) 4 7.Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: i) ( ) 5 ii) ( ) 5 6 iii) ( ) 5 8.Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: 5, < i) ( ) 6-, 5,<0 ii) ( ) -, 0, 0 iii) ( ) 5 +,>0 9.Να βρείτε για ποιες τιμές του η συνάρτηση : i) H ii) H ()= 8 5 είναι γνησίως αύξουσα ()= 6 είνι γνησίως φθίνουσα iii)h ()= είναι γνησίως αύξουσα 0. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση : ( ) είναι : Α)γνησίως αύξουσα Β)γνησίως φθίνουσα Γ)σταθερή Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 4 -

16 ( ) a 4a 5.Να αποδείξετε ότι για κάθε α η συνάρτηση είναι αύξουσα..δίνεται η συνάρτηση ( ). Να μελετήσετε τη μονοτονία της για τις διάφορες τιμές του. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις με τύπο: i) ( ) 4, ii ) ( ), <- 4.Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις: 4,<, i) ( ) ii)g()= 4-, 4,> 5.Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: i) ( ) ii)()= iii)()= iv ) ( ) v)()=- vi)()= 4 vii) ( ) viii)()= 5 6.Να δείξετε ότι : Α)Η συνάρτηση ( ) 6 παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με Β)Η συνάρτηση ( ) 5 παρουσιάζει μέγιστο ίσο με 49 7.Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i) ( ),, ii) ( ),.5 iii ) ( ) 6,, Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 4 -

17 8.Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές. 4 i) ( ) ii)()= iii)()= iv) ( ) v)()= vi)()= vii) ( ) viii)()= i)()= 5 ) ( ) i)( )= ii)()= iii) ( ) iv)()= v)()= 5 vi ) ( ) vii)()= viii)()= 9. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: 4, <0,<0 i) ( ) ii)g()= 4, 0, 0 0.Έστω η συνάρτηση η οποία είναι γνησίως μονότονη στο. Αν 5 και η C διέρχεται από το σημείο Α(,), να λύσετε την ανίσωση ( ).Έστω ότι η μιας συνάρτησης : τέμνει τον χ χ στο και τον y y στο. Αν η είναι γνησίως μονότονη στο R, Α)να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο R Β)να λύσετε την ανίσωση 0 ( ) C.Δίνεται η συνάρτηση ( ) Α. να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της Β)να λύσετε την ανίσωση.δίνεται η συνάρτηση a a 5. Αν γνωρίζεται ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο 5 τότε : Α)Να δείξετε ότι α=- Estathioupetros.weebly.com Σελίδα - 4 -

18 Β)Να μελετήσετε την ως προ την μονοτονία της Γ)Να λύσετε την εξίσωση (-)=5 Δ)Να λύσετε την εξίσωση Ε)Να λύσετε την εξίσωση ( ) a a 9 4.Δίνεται η συνάρτηση η οποία διέρχεται από το σημείο Α(,0). Α) Να αποδείξετε ότι α= Β)Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία Γ)Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( 4 0 ii) 4 0 iii) Έστω η συνάρτηση : για τη οποία ισχύει ( y) ( ) ( y) Α)Να βρείτε την τιμή (0) Β)Να δείξετε ότι η είναι περιττή. 6. Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( y ) ( y ) ( ) ( y) Α) Να βρείτε την τιμή (0) Β)να δείξετε ότι η είναι άρτια. 7.Αν η συνάρτηση ( ) a είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση g( ) είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι η a συνάρτηση h( ) 5 είναι γνησίως φθίνουσα. 8.Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: ) β)g γ)h()= Estathioupetros.weebly.com Σελίδα

19 9.Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) ii)g iii)h()= 0.Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i) ( ) ii)g()= iii)h()=. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο: ( ). Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο: ( ). Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) 4 4 Α)Να δείξετε ότι η γράφεται και στη μορφή : ( ) Β)Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της. Γ)Να μελετήσετε την ως προς : i) τη μονοτονία ii) τα ακρότατα iii)τις συμμετρίες. Estathioupetros.weebly.com Σελίδα