Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια"

Transcript

1 Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4598

2 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ, Πραγματικοί Αριθμοί Συναρτήσεις... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 7 Μεθοδολογία. Εύρεση Πεδίου Ορισμού... 7 Μεθοδολογία. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης... 8 Μεθοδολογία. Άρτια Περιττή Περιοδική Συνάρτηση... 9 Μεθοδολογία 4. Ισότητα Συναρτήσεων... Μεθοδολογία 5. Πράξεις Μεταξύ Συναρτήσεων... Μεθοδολογία 6. Σύνθεση Συναρτήσεων... Μεθοδολογία 7. Συναρτησιακές Σχέσεις... 4 Μεθοδολογία 8. Εύρεση Συνάρτησης... 6, Μονότονες Συναρτήσεις Αντίστροφη Συνάρτηση... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... Μεθοδολογία. Εύρεση Μονοτονίας... Μεθοδολογία. Μονοτονία ± g, g, g... Μεθοδολογία. Ανισώσεις Εξισώσεις... Μεθοδολογία 4. Ακρότατα Συνάρτησης... 5 Μεθοδολογία 5. Συνάρτηση... 7 Μεθοδολογία 6. Συνάρτηση και Λύση Εξίσωσης... 9 Μεθοδολογία 7. Αντίστροφη Συνάρτηση... Μεθοδολογία 8. Οι Εξισώσεις =, =... Μεθοδολογία 9. Θεωρητικές Ασκήσεις... 4, ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ... 6,4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ... 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 9 Μεθοδολογία. Εισαγωγή στο Όριο... 9 Μεθοδολογία. Ιδιότητες του Ορίου... 4 Μεθοδολογία. Μεθοδολογία 4. Μορφή σε Ρητή Συνάρτηση... 4 Μορφή σε Άρρητη Συνάρτηση... 4 Μεθοδολογία 5. Κλαδικές Συναρτήσεις Πλευρικά Όρια... 4 Μεθοδολογία 6. Μορφή και Απόλυτη Τιμή Μεθοδολογία 7. Βοηθητική Συνάρτηση Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

3 Κεφ. ο Μεθοδολογία 8. Κριτήριο Παρεμβολής Μεθοδολογία 9. Τριγωνομετρικά Όρια Μεθοδολογία. Θεώρημα Αλλαγής Μεταβλητής... 5 Μεθοδολογία. Θεωρητικές Ασκήσεις... 5,5 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ a Μεθοδολογία. Υπολογισμός Ορίου της Μορφής, a Μεθοδολογία. Όρια με Παράμετρο Μεθοδολογία. Βοηθητική Συνάρτηση... 6 Μεθοδολογία 4. Μορφή ±... 6 ± Μεθοδολογία 5. Ανισότητες και Απέιρο... 6,6 ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ... 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Όριο Πολυωνυμικής Ρητής Συνάρτησης Μεθοδολογία. Όριο Άρρητης Συνάρτησης Μεθοδολογία. Όριο με Απόλυτα Μεθοδολογία 4. Όρια με Παράμετρο Μεθοδολογία 5. Όρια με Τριγωνομετρικούς Όρους Μεθοδολογία 6. Όριο Εκθετικών Λογαριθμικών Συναρτήσεων... 7,7 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 7 Μεθοδολογία. Μελέτη Ως Προς Την Συνέχεια... 7 Μεθοδολογία. Εύρεση Παραμέτρων Μεθοδολογία. Εύρεση Τιμής Ή του Τύπου της Μεθοδολογία 4. Συνέχεια και Συναρτησιακές Σχέσεις... 79,8 ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 8 Μεθοδολογία. Θεώρημα Bolzano και Υπάρξη Ρίζας... 8 Μεθοδολογία. Ύπαρξη Μίας Ακριβώς Ρίζας Μεθοδολογία. Ύπαρξη με Βοηθητική Συνάρτηση Μεθοδολογία 4. Ύπαρξη Ρίζας σε Κλειστό Διάστημα Μεθοδολογία 5. Εύρεση Προσήμου Συνάρτησης... 9 Μεθοδολογία 6. Εύρεση Τύπου Συνεχούς Συνάρτησης... 9 Μεθοδολογία 7. Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών Μεθοδολογία 8. Θεώρημα Μεγίστης - Ελαχίστης Τιμής Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

4 Κεφ. ο Μεθοδολογία 9. Σύνολο Τιμών και Εύρεση Ρίζας Μεθοδολογία. Εφαρμογή του Bolzano σε Ανοικτό Διάστημα ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... Συναρτήσεις... Όρια Συνάρτησης Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

5 Κεφ. ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διαστήματα πραγματικών αριθμών Αν α,β με παρακάτω σύνολα: α < β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α,β καθένα από τα ( α,β) = { α < < β}: ανοικτό διάστημα [ α,β] = { α β}: κλειστό διάστημα [ αβ, ) = { α < β}: κλειστό-ανοικτό διάστημα ( α,β] = { α < β}: ανοικτό-κλειστό διάστημα. Αν α, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: ( α, + ) = { > α} [ α, + ) = { α} (, α) = { < α} (, α] = { α} Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο το συμβολίζουμε με (, + ). Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Ορισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με () Πώς ορίζουμε πλήρως μία συνάρτηση; Είδαμε παραπάνω ότι για να οριστεί μια συνάρτηση, αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία: το πεδίο ορισμού της και η τιμή της, (), για κάθε του πεδίου ορισμού της. Πότε δύο συναρτήσεις θα ονομάζονται ίσες; Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει = g( ). a a a a 4 Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 5

6 Κεφ. ο Πράξεις με συναρτήσεις Ορίζουμε ως άθροισμα + g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο δύο συναρτήσεων, g τις g συναρτήσεις με τύπους Το πεδίο ορισμού των = g. g( ) ( + g)( ) = + g( ) ( g)( ) = g( ) ( g ) = g( ) + g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g (), δηλαδή το σύνολο Σύνθεση συναρτήσεων { A και B, με g }. είναι το A B, εξαιρουμένων των Ορισμός Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συνάρτηση με τύπο ( go ) = g( ) Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το () ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο Είναι φανερό ότι η go ορίζεται αν A = { A }. B A, δηλαδή αν ( A) B. 6 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

7 Κεφ. ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ h θέλουμε g() g ατ ίο Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = g θέλουμε g() Αν η συναρτήσει είναι της μορφής = ln (g ) θέλουμε g()> Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = εϕ(g ) τότε θέλουμε g κπ + Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = σϕ(g ) τότε θέλουμε g κπ π αμ υ Έστω ότι μας δίνεται μια συνάρτηση () και μας ζητούν να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής. Τότε ελέγχουμε: Παράδειγμα. α) = 4 απ ασ τ Υπάρχει και περίπτωση σε μια συναρτήσει να έχουμε και ένα συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων. Όποτε περνούμε περιορισμούς για κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις και κατόπιν κάνουμε συναλήθευση των περιορισμών. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: + β) g = γ) h = ln α) Είμαστε στην πρώτη κατηγορία και θέλουμε ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Δηλαδή για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει να ισχύει: ος Π 4 ( )( + ) και + και - β) Είμαστε στην δεύτερη κατηγόρια και θέλουμε η παράσταση που βρίσκεται κάτω από την ρίζα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Δηλαδή για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει και αρκεί να ισχύει: ν/ ν ( )( ) Κω Σχηματίζουμε τον διπλανό πίνακα Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο [,] γ) Στη συνάρτηση αυτή παρατηρούμε ότι εκτός από λογάριθμο έχουμε και παρονομαστή. Επόμενος για να μπορέσουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού θέλουμε ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός και η παράσταση που βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Δηλαδή θέλουμε: Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 7

8 Κεφ. ο + + > ( )( + ) > Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο (,) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω ότι δίνεται μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Για να βρούμε: τα σημεία τομής της C με τον άξονα λύνουμε την εξίσωση ( ) = στο Α. το σημείο τομής της C με τον άξονα yy A την σχετική θέση της C με τον άξονα αληθεύει σε ένα διάστημα [ a, ] διάστημα και κάτω από τον άξονα αρκεί να βρούμε το λύνουμε την ανίσωση 8 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» με την προϋπόθεση ότι >. Αν η εξίσωση β Aτότε η βρίσκεται πάνω από τον άξονα σ αυτό το στο διάστημα A [ a, β ] Έστω τώρα ότι δίνεται μία συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το σύνολο Β. Για να βρούμε: Τα κοινά σημεία των C και C g αρκεί να λύσουμε την εξίσωση = g Α Β Την σχετική θέση των δύο γραφικών παραστάσεων αρκεί να λύσουμε την ανίσωση > g Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση = ln ( e ) α) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C με τον άξονα β) Να βρείτε τη σχετική θέση της C με τον άξονα α) Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. Θέλουμε e > e < e < < ln Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A =,ln Για να βρούμε τα κοινά σημεία της C με τον άξονα λύνουμε την εξίσωση = ln e = e = e = e = e = Παρατηρούμε ότι το ανήκει στο πεδίο ορισμού της άρα είναι δεκτή λύση. β) Για να βρούμε την σχετική θέση της C με τον άξονα λύνουμε την ανίσωση > ln e > e > e < e < < Δημιουργούμε τον πίνακα προσήμων της

9 Κεφ. ο ln + + Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι η βρίσκεται πάνω από τον άξονα κάτω από τον άξονα για κάθε,ln Παράδειγμα. Έστω οι συναρτήσεις = a β + και για κάθε (,) g = a β. Αν η κατακόρυφη απόσταση των C, C στα σημεία τους με τετμημένη είναι και οι C, C τέμνονται πάνω στην ευθεία ε : + =, τότε να βρείτε τα α, β. g Οι συναρτήσεις και g είναι πολυωνυμικές άρα το πεδίο ορισμού τους είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αρχικά θα βρούμε τα σημεία των C και C με τετμημένη. Έχουμε: β β = a + = a β + g = a g = a β Η κατακόρυφη απόσταση των σημείων των C και ( β ) ( β) a + a = a = a = a =± Για α = = β + και g g = β Βρίσκουμε τα σημεία τομής των C, (ε) και C, (ε). + = = β 7 β = β + = + + = g = β = β 4 Επειδή η C και C έχουν κοινό σημείο επάνω στην (ε) έχουμε ότι: g g C με τετμημένη είναι g g = 7 β 5 = g + = β 7 + 4β = 8β β = β = β = Όμοια εργαζόμαστε και για α = -. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. Έστω μία συνάρτηση : A. Α) Η λέγεται άρτια όταν για κάθε Αισχύει ΆΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α και: = Α g και Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 9

10 Κεφ. ο Β) Η λέγεται περιττή όταν για κάθε Αισχύει Γ) Η λέγεται περιοδική όταν υπάρχει Α και: T με: ( T) ( T) Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» = Α + = = Α Δ) Τονίζουμε ότι: Αν η είναι άρτια τότε η C είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy και αντίστροφα. Αν η είναι περιττή τότε η C είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Για να είναι μία συνάρτηση άρτια ή περιττή, πρέπει οπωσδήποτε το πεδίο ορισμού να είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το μηδέν, δηλαδή να ισχύει ταυτόχρονα, D για κάθε D. Όπου D το πεδίο ορισμού της. Σημείωση: Μία συνάρτηση μπορεί να μην είναι τίποτε από τα παραπάνω. Παράδειγμα 4. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έχουμε: e e e e e e = = = = = = ( ) e e + e e + e e Άρα η είναι περιττή. e = e Παράδειγμα 5. Έστω οι συναρτήσεις, g:. Να δείξετε ότι: α) Αν η είναι άρτια τότε και η g είναι άρτια. β) Αν η είναι περιττή και η g είναι άρτια τότε η g είναι άρτια. γ) Αν η και η g είναι περιττές, τότε η g είναι περιττή. είναι άρτια ή περιττή. + α) Έχουμε ότι η συνάρτηση είναι άρτια δηλαδή ισχύει ότι για κάθε. Για την συνάρτηση g έχουμε ότι: ( ) g = g = g = g για κάθε Άρα η g είναι άρτια. β) Η συνάρτηση είναι περιττή Η συνάρτηση g είναι άρτια g g = για κάθε = για κάθε ( ) = Για την συνάρτηση g έχουμε ότι: ( ) ( ) g = g = g = g = g Άρα η g είναι άρτια. γ) Η συνάρτηση είναι περιττή ( ) = για κάθε Η συνάρτηση g είναι περιττή g( ) = g για κάθε

11 Κεφ. ο Για την συνάρτηση g έχουμε ότι: ( ) ( ) g = g = g = g = g Άρα η g είναι περιττή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι δύο συναρτήσεις : Α και g : Β είναι ίσες αν και μόνο αν Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Δηλαδή αν A= B και = g δηλαδή έχουν τον ίδιο τύπο. Στην περίπτωση που A B τότε ελέγχουμε την ισότητα στο σύνολο A B δηλαδή στα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β. Παράδειγμα 6. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες. Στην περίπτωση που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό σύνολο υποσύνολο του στο οποίο ισχύει = g e e e = e = + α) = και g = β) και g α) Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της έχουμε ότι: * e Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της g έχουμε ότι: * Άρα οι και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Ισχύει ακόμη ότι: e e e e e = = = = g e e e Άρα = g β) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της έχουμε ότι: = και και ± Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο {,,} ή (, ) (, ) (,) (, + ) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της g έχουμε ότι: * Παρατηρούμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι διαφορετικό από το πεδίο ορισμού της g. Επομένως οι και g δεν μπορούν να είναι ίσες. Έχουμε όμως ότι: ( + )( ) + = = = = = + = g Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

12 Κεφ. ο Το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο ισχύει η ισότητα είναι η τομή (τα κοινά σημεία) των δύο πεδίων ορισμών. Δηλαδή το σύνολο {,,} ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ συναρτήσεις με τύπους ( + g ) = + g ( g ) = g =. g g αμ ( g ) = g δύο συναρτήσεων, g τις g υ Ορίζουμε ως άθροισμα + g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο ατ ίο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. απ ασ τ Το πεδίο ορισμού των + g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της είναι το A B, εξαιρουμένων των g τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g (), δηλαδή το σύνολο α) + g β) g Αν ( ) = γ) 4 και g ( ) =, να βρείτε τις συναρτήσεις: + δ) g Π Παράδειγμα 7. { A και B, με g }. ος Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των δύο συναρτήσεων. Για την θέλουμε + { } Για την g θέλουμε: * ν/ ν Το ευρύτερο δυνατό σύνολο στο οποίο ορίζονται οι πράξεις α και β είναι το σύνολο {, } (τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων) ( + g )(= ) ( ) + g (= ) Κω α) = + ( + ) β) ( g )( ) = ( ) g ( ) = = = + + ( + ) ( + ) γ) Για να ορίζεται η συνάρτηση. + θέλουμε να ορίζεται η συνάρτηση και ( ) Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

13 Κεφ. ο είναι το σύνολο { / } {,} Άρα το πεδίο ορισμού της A= D D = Ισχύει ακόμη ότι: + = = + δ) Για να ορίζεται η συνάρτηση θέλουμε να ορίζονται οι συναρτήσεις και g και επιπλέον g 4 g Dg 4 ± Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο g { / και gκαι } {,, } B= D D g = Ισχύει ακόμη ότι: + + = = = 4 g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω δύο συναρτήσεις : A και g : Β τότε η σύνθεση g θα έχει πεδίο ορισμό το { g} σύνολο A { A B} Α = D D = Δηλαδή όλα εκείνα τα που ανήκουν στο Α, πεδίο ορισμού της, έτσι ώστε η να ανήκει στο Β, πεδίο ορισμού της g. Για την εύρεση του τύπου της ( g ) = g του να βάλουμε το Σημειώνουμε ότι: { } { } D = D g D g g D = D D Δεν ισχύει πάντα ότι: g = g Ισχύει ότι: g h= g h αρκεί να πάμε στον τύπο της g και στην θέση ( ) ( ), ( + g) h= h+ g h, και ( g) h= ( h) ( g h) Παράδειγμα 8. Δίνονται οι συναρτήσεις = + και g συναρτήσεις: α) g β) g γ) g g Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g = 4. Να βρείτε τις Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

14 Κεφ. ο Το πεδίο ορισμού της είναι όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών 4 Το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο { } α) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g D g= Dg g D = = = 4 { } { 4 } { { 4 } 4 } { 4} = = + = + 4 ( g) ( g ) ( g ) β) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g g { g} { } { } {, } 4 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» { } { } { } D = D D = + 4 = + 4 = = = ± = + ( g ) g = = = = γ) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g g Dg g = { Dg g Dg} = { 4 } { 4} = { 4 } 4 = = { 4 } 4 = { 4 } =, ( g g) = g( g ) = = = = g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 7. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Συναρτησιακές σχέσεις ονομάζουμε κάθε είδους σχέση που περιέχει συναρτήσεις που δεν γνωρίζουμε τον τύπο τους, και ισχύει σε ένα διάστημα Δ. + y = + y y, y = y y, Για παράδειγμα οι σχέσεις ή Επειδή οι σχέσεις αυτές ισχύουν για κάθε, y θέτουμε τιμές που μας διευκολύνουν στο να βρούμε τα ζητούμενα. Για παράδειγμα αν μέσα στην συνάρτηση υπάρχει το + y θέτουμε = y = και y =. Ενώ αν μέσα στην συνάρτηση υπάρχει παράσταση της μορφής y θέτουμε = y = και y = Παράδειγμα 9. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση : με την ιδιότητα + + = για κάθε Για να λύσουμε την άσκηση θα χρησιμοποιήσουμε την επαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση για την οποία ισχύει: Για = η () γράφεται: + + = για κάθε ()

15 Κεφ. ο + 4 = () Για = η () γράφεται: 4 + = () Από τις () και () έχουμε ότι: = άτοπο. Άρα δεν υπάρχει συνάρτηση για την οποία να ισχύει η σχέση (). Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση : με την ιδιότητα: Να αποδειχθεί ότι: = β) η είναι άρτια. α) + y = y + y για κάθε y, α) Από την υπόθεση έχουμε ότι: y y y ( + ) = + για κάθε y, () Επειδή η σχέση () ισχύει για κάθε y,, θέτουμε = y =, οπότε παίρνουμε: + = + = = β) Για να είναι η άρτια αρκεί να δείξουμε ότι Θέτουμε y = στην () και παίρνουμε διαδοχικά: ( ) + = + = = = Άρα η είναι άρτια στο. Παράδειγμα. Έστω συνάρτηση : με: Να αποδειχθεί ότι: α) e = και ( y) e ( y) β) + για κάθε y, () = e α) Η δοσμένη σχέση () ισχύει για κάθε y,. Θέτουμε y =. Άρα η () γράφεται: β) Η σχέση () για y = γράφεται: e e + () y y y y+ y e y e y e y e () Από τις () και () έχουμε ότι: Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση Σημείωση: e e = e = e ικανοποιεί την δοσμένη σχέση. Ένας από τρόπους που έχουμε για να δείξουμε ότι μία σχέση της μορφής αληθεύει είναι ο εγκλεισμός. = g Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 5

16 Κεφ. ο Δηλαδή να δείξουμε ότι g και g τότε θα ισχύει ότι = g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 8. ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όταν μας δίνεται μία συναρτησιακή σχέση και μας ζητείται ο τύπος της συνάρτησης εφαρμόζουμε γενικά τις τεχνικές που περιγράψαμε στην παραπάνω μεθοδολογία. Επιπλέον τονίζουμε ότι: Α) Μετά την εύρεση του τύπου, πρέπει (κατά κανόνα) να εξετάσουμε αν η συνάρτηση που βρήκαμε είναι δεκτή, δηλαδή αν επαληθεύει όλες τις δοσμένες σχέσεις. Β) Αν κατά την εύρεση του τύπου φτάσουμε σε μία σχέση της μορφής g μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: ( ) = για κάθε Α ή g = για κάθε Α Η συνάρτηση επαληθεύει την δοσμένη συνθήκη, άρα είναι η ζητούμενη. 6 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» = τότε δεν Σε αυτή την περίπτωση χρειάζεται να βρούμε επιπλέον συνθήκες ή να αποδείξουμε ότι για κάθε Α, οπότε g( ) = Για παράδειγμα, αν:, = και, g =, >, < g = για κάθε, ωστόσο καμία από τις, g δεν είναι η μηδενική συνάρτηση. Τότε Στην ίδια περίπτωση ανήκουν και οι σχέσεις τις μορφής: a + β + γ = με a Στις οποίες η εύρεση της συνάρτησης δεν μπορεί να γίνει λύνοντας την παραπάνω σχέση ως δευτεροβάθμια εξίσωση. Παράδειγμα. Μία συνάρτηση : (, ) Να βρεθεί ο τύπος της. + έχει τη ιδιότητα: ln για κάθε > e Από την δοσμένη σχέση μπορούμε να πάρουμε τις ανισώσεις: ln για κάθε > () και ln για κάθε > () e Στη σχέση () θέτουμε y = = e y e y ln e y ln + για κάθε > () Η σχέση () γράφεται: ln ln + για κάθε > (4) Από τις () και (4) έχουμε ότι: ln + ln + = ln + για κάθε >

17 Κεφ. ο Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση : Να αποδειχθεί ότι η είναι σταθερή. ( ) ικανοποιεί την σχέση: + y + y = για κάθε y, () Η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε y,. Θέτουμε = y = οπότε παίρνουμε Για y = έχουμε: ( ) ( ) + = = () Για y = ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) ( ) + = = () Από τις () και () έχουμε ότι: = Τέλος η ()για = και y = δίνει + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = = = = Άρα ( ) = για κάθε. Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 7

18 Κεφ. ο, ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως αύξουσα συνάρτηση, γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι γνωστές από προηγούμενη τάξη. Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση λέγεται: γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε με < ισχύει: ) < (Σχ. α) (, Δ γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με < ισχύει: ) > (Σχ. β) ( Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη. Ακρότατα συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο Παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το ), όταν ( ) ( ) για κάθε A (Σχ. 7α) ( A (ολικό) ελάχιστο, το ( ), όταν ) ( ) για κάθε A (Σχ. 7β). ( Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται (ολικά) ακρότατα της. Συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( )., A ισχύει η 8 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

19 Κεφ. ο Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν ( ) = ( ), τότε =. ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς. Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο Αντίστροφη συνάρτηση Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της Επομένως έχουμε οπότε = y ( y) = ( ) =, A και ( ( y)) = y, y ( A). Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. και συμβολίζεται με. είναι συμμετρικές ως προς Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 9

20 Κεφ. ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ Για να βρούμε την μονοτονία μιας συνάρτησης εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Ξεκινώντας από την υπόθεση ότι < προσπαθούμε να δημιουργήσουμε την < ανίσωση ( ) ( ). > Αν ( ) < ( ) τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα Αν ( ) > ( ) τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα Ξεκινώντας από την υπόθεση ( ) < ( ) προσπαθούμε να καταλήξουμε σε μια από της παρακάτω σχέσεις: < τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα > τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα Προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο της διαφοράς () - ( ) με προϋπόθεση < Αν ( ) - ( )< τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα Αν () - ( )< τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα ( ) ( ) Βρίσκουμε το πρόσημο του λόγου μεταβολής λ = Αν λ> τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα Αν λ< τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα Παράδειγμα. Έστω Έστω < τότε έχουμε: 4 = με R. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο 4 4 < < < 4 < 4 < Παράδειγμα. = ( ) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση: Λύση Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο A = R / = R / R { } { } { } Για μελετήσουμε την ως προς την μονοτονία αρκεί να ( ) ( ) βρούμε το πρόσημο του λόγου λ =. Έχουμε Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

21 Κεφ. ο λ ( ) ( ) + ( )( ) ( )( ) = = = = ( ) ( )( )( ) ( )( ) = = Διακρίνουμε τις περιπτώσεις Αν, > τότε < και < άρα λ> επομένως η είναι γνησίως αύξουσα.. Αν, < τότε άρα λ> επομένως η είναι γνησίως αύξουσα.. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ± g, g, g Παράδειγμα. Δίνονται δυο γνησίως μονότονες συναρτήσεις και g ορισμένες σε ένα σύνολο Α. Να δείξετε ότι αν α), g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. β) ), g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα. Λύση α) Έστω, g γνησίως φθίνουσες στο Α. Τότε θα ισχύει ότι < ( ) > ( ) και < g( ) > g( ) Άρα < g( ) > g( ) ( g( )) < ( g) επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα. β) Έστω τώρα χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι είναι γνησίως αύξουσα και g είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. Έχουμε ότι < g( ) > g( ) ( g( )) > ( g( )) άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα. Παράδειγμα 4. Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει + e + = για κάθε. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Θεωρούμε συνάρτηση g = + e + να γραφεί με την μορφή: g,. Έχουμε ότι η συνάρτηση του πρώτου μέλους μπορεί = για κάθε. () Θα μελετήσουμε την μονοτονία της g. Έχουμε ότι: < + < + e e g g + + < + + < < e < e Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο. Έχουμε ακόμη ότι: ( ) g < g < g < Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο. Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

22 Κεφ. ο Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση : κάθε (). Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα. Θα εργαστούμε με την μέθοδο της επαγωγής σε άτοπο. Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Τότε θα ισχύει ότι: < < Α για την οποία ισχύει + + e = για Προσπαθούμε με πράξεις να δημιουργήσουμε το πρώτο μέλος της δοσμένης σχέσης. < ( ) < ( ) ( ) < < + ( ) + e < + + e < ( ) < ( ) < e < e Άτοπο. Άρα η δεν είναι γνησίως αύξουσα. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η μονοτονία είναι ένα από τα πλέον χρήσιμα εργαλεία τόσο στην επίλυση ανισώσεων, όσο και στην επίλυση εξισώσεων που δεν λύνονται με τις συμβατικές μεθόδους που διδαχθήκατε στα προηγούμενα έτη. Α) Έστω : Α μία γνησίως μονότονη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: Αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε: α β a β α β a β < < και Αν η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε: α < β ( a) > ( β) και α β ( a) ( β) Οι παραπάνω παρατηρήσεις βρίσκουν εφαρμογή στη λύση ανισώσεων που έχουν ή που μπορεί να πάρουν, ύστερα από κατάλληλο μετασχηματισμό, τη μορφή: ( ϕ ) ( ω ) ή ( ϕ ) ( ω ) Τονίζουμε ότι αν η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η φορά αλλάζει. Β) Όταν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε η εξίσωση της μορφής = β, έχει μία το πολύ ρίζα. =, αλλά και κάθε εξίσωση Συχνά λοιπόν, για να λύσουμε μία εξίσωση, εντοπίζουμε με παρατήρηση (δοκιμή) μία ρίζα και στην συνέχεια, αφού φέρουμε την εξίσωση στην μορφή ( ) =, αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη. Έτσι, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Γ) Αξίζει ακόμα να τονίσουμε ότι αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε ισχύει η σχέση: ( ϕ ) = ( ω ) ϕ = ω Οι παραπάνω παρατηρήσεις έχουν μεγάλη σημασία σε όλη την έκταση της Ανάλυσης. Παράδειγμα 6. Δίνονται οι συναρτήσεις, g: γνησίως αύξουσα. Έστω ότι οι όπου η είναι γνησίως φθίνουσα και η g C και C g τέμνονται στην αρχή των αξόνων. Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

23 Κεφ. ο α) Να βρείτε την σχετική θέση των C και β) Αν για την συνάρτηση h είναι h όταν (, + ) > Cg, = >, να δείξετε ότι η C h είναι κάτω από τον άξονα g α) Για να βρούμε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g αρκεί να λύσουμε την ανίσωση g και να βρούμε τα διαστήματα που αύτη αληθεύει και που αυτή είναι ψευδής. Στην συγκεκριμένη άσκηση η ευθεία απόδειξη του ζητούμενου είναι αδύνατη. Θα χρησιμοποιήσουμε λοιπόν τα δεδομένα για να φτάσουμε στην λύση. Έχουμε ότι το σημείο O(,) C = και ότι O(,) Cg g = Για > έχουμε ότι: > < < g > g > g g > Άρα στο διάστημα (, + ) έχουμε ότι g Για < έχουμε ότι: < > > g < g < g g < Άρα στο διάστημα (,) έχουμε ότι g < < δηλαδή η C βρίσκεται κάτω από την C g. < < δηλαδή η C βρίσκεται πάνω από την C. β) Το ζητούμενο του ερωτήματος είναι να δείξουμε ότι: h <, (, + ) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι,, Άρα h = <,, + g < ( + ) και g >, (, + ) Παράδειγμα 7. Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α (, 5) και Β(5, -). α)να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. e < γ) Να λύσετε την ανίσωση α) Έχουμε ότι η γραφική της διέρχεται από τα σημεία Α (, 5) και Β(5, -). Δηλαδή = 5 και 5 = < ισχύει ότι Παρατηρούμε ότι για 5 > 5 και επειδή γνωρίζουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη συμπεραίνουμε ότι θα είναι γνησίως φθίνουσα. Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια g

24 Κεφ. ο β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο. Άρα θα ισχύει ότι: ( ) ( ) < > < < Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Από την δοσμένη σχέση έχουμε διαδοχικά: ( 5) = = 5 e < e < 5 e < e < ( ) e < < ( ) Παράδειγμα 8. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( ) + ( + 4) = για κάθε. Αν η είναι γνησίως φθίνουσα να λύσετε α) την εξίσωση = β) την ανίσωση 5 > α) Επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε ότι η εξίσωση = θα έχει μία το πολύ λύση στο. Αναζητούμε προφανή λύση της δοσμένης σχέσης = ισχύει για κάθε θα ισχύει και για =. Επειδή η = + = = = Άρα για = η = έχει μοναδική λύση. β) Έχουμε ότι: ( 5) > ( 5) > ( ) και επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα συνεπάγεται 5 > 5< 8< + < Άρα (, ) Παράδειγμα 9. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει Αν η είναι γνησίως αύξουσα να λύσετε α) την εξίσωση ln + = ln +, > = β) την ανίσωση α) Αναζητούμε μία προφανή λύση της εξίσωσης Η δομένη σχέση ( ) = e < ln + = ln + ισχύει για κάθε > άρα θα ισχύει και για = e Έχουμε λοιπόν ότι: e ln e + e = ln e+ e + e = 4 e = 4 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

25 Κεφ. ο Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) έχει μία το πολύ λύση. Για = e έχουμε ότι ( e ) = επομένως η = e μοναδική λύση της ( ) = β) Έχουμε ότι: ( e ) > ( e ) > ( e ) και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα συνεπάγεται ότι: e > e e > e e > e > Έστω μία συνάρτηση : A ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α) Για να αποδείξουμε ότι η έχει μέγιστο (ελάχιστο) προσπαθούμε να βρούμε Α τέτοιο ώστε: (αντίστοιχα ) για κάθε Α Β) Αν το y είναι ακρότατο της, τότε τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζεται το ακρότατο τις = y προσδιορίζουμε λύνοντας την εξίσωση για κάθε Α, τότε το Μ δεν είναι αναγκαστικά μέγιστο. Αν όμως βρούμε Α Γ) Αν M ώστε M = ( ), τότε το Μ είναι μέγιστο της. Ανάλογα αν Α τέτοιο ώστε ( ) m = τότε οποιοδήποτε m είναι ελάχιστο της. m για κάθε Α και υπάρχει Δ) Τα ακρότατα μίας συνάρτησης βρίσκονται εύκολα αν γνωρίζουμε το σύνολο τιμών της. Έτσι το Α είναι το ελάχιστο, ενώ το μεγαλύτερο, πάνω, άκρο μικρότερο, κάτω, άκρο του διαστήματος είναι το μέγιστο. Παρατηρήσεις: Αν ma < τότε < για κάθε Α > για κάθε Α Αν min > τότε Αν a β και υπάρχουν, Α τέτοια ώστε ( ) = a και ( ) ότι: min = a και ma = β Παράδειγμα. Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων: 4 α) = + β) = + 6 Που παρουσιάζονται τα ακρότατα; α) Έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Παρατηρούμε ότι: 4 4 = + = + + = + D = = β θα ισχύει Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 5

26 Κεφ. ο Για = έχουμε ( ) = Για = έχουμε ( ) = Άρα η παρουσιάζει ελάχιστο στο σημεία A(, ) και B(, ) 8 β) Είναι D =, οπότε: ( ) = + 6 = = Από την λύση της εξίσωσης έχουμε ότι: = ( ) = = =± Άρα η παρουσιάζει μέγιστο για = το ( ) = και για = το = Παράδειγμα. Δίνονται οι συναρτήσεις, g: για τις οποίες ισχύει ότι + g = για κάθε. Αν οι C και g ε h = g, το μέγιστο της συνάρτησης Έχουμε ότι οι C και g ( ) = g( ) Για = η δοσμένη σχέση γράφεται: C τέμνονται πάνω στην ευθεία ( ε ) : ( ) + ( ) = ( ) = ( ) =± = ( ) C τέμνονται πάνω στην ευθεία : = δηλαδή ισχύει ότι: g g Ισχύει ακόμη ότι + g g h Παρατηρούμε ότι για = έχουμε: h( ) = ( ) g( ) = = h h για κάθε δηλαδή η h παρουσιάζει μέγιστο για = Άρα για ισχύει Παράδειγμα. Έστω μία συνάρτηση : η οποία είναι περιττή και παρουσιάζει ελάχιστο στο. Να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο στο Η συνάρτηση είναι περιττή = για κάθε Η παρουσιάζει ελάχιστο στο για κάθε Έχουμε ακόμη ότι: = για κάθε =, να βρείτε Άρα η παρουσιάζει μέγιστο στο Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΜΕΘΟΔΙΚΟ»

27 Κεφ. ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α) Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση : Α είναι, θεωρούμε, Αμε ( ) = και προσθέτουμε να αποδείξουμε ότι =. Δηλαδή αποδεικνύουμε τη συνεπαγωγή: αν ( ) = τότε = Σπανιότερα βασιζόμαστε όμως και στον ορισμό. Θεωρούμε δηλαδή και αποδεικνύουμε ότι Β) Για να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-» προσπαθούμε να εντοπίσουμε, συνήθως με παρατήρηση, ή να αποδείξουμε ότι υπάρχουν, Α με: = και Γ) Αν δίνεται η C και παρατηρήσουμε ότι κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα τέμνει την C το πολύ σε ένα σημείο, τότε η είναι «-». Διαφορετικά η δεν είναι «-». Δ) Αν για μία συνάρτηση θεωρήσουμε την εξίσωση y λύση ως προς, τότε η είναι επίσης «-» =, Α και η εξίσωση αυτή έχει μία Ε) Τέλος, να μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι «-». Προσοχή: Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντοτε. Παράδειγμα. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι. α) 5 = ln + = β) α) Ξεκινώντας από τον ορισμό με την ισότητα έχουμε διαδοχικά: ( ) = = = = Άρα η δεν είναι -. β τρόπος Παρατηρούμε ότι για = ( ) = 5= 4 Και για = ( ) = ( ) 5= 4 Δηλαδή για ( ) = ( ) Άρα η δεν είναι -. β)έχουμε διαδοχικά ότι: = ln + = ln + ln + = ln + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) + = + + = + = Άρα η είναι -. Παράδειγμα 4. Έστω οι συναρτήσεις, g: ( ) > για κάθε για τις οποίες ισχύει: Φροντιστήριο «ΜΕΘΟΔΙΚΟ» Επιμέλεια 7

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητες Κριτήριο Παρεμβολής - Τριγωνομετρικά Όρια - Όριο Σύνθετης

Διαβάστε περισσότερα

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Φ3: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ

Φ3: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ Φ: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γιώργος Μιχαηλίδης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΥ Προσανατολισμός Θετικών Σπουδών και Σπουδών ικονομίας και Πληροφορικής Α ΤΜΣ ΡΙ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΙΑΦΡΙΚΣ ΛΓΙΣΜΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την υπογραφή του συγγραφέα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5.3. Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f : A.Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι - τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από 4 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου ΥΠΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ-ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΕΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 3 Οκτωβρίου 26 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α v v Α. Έστω το πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}.

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα