Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια"

Transcript

1 Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4598

2 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ, Πραγματικοί Αριθμοί Συναρτήσεις... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 7 Μεθοδολογία. Εύρεση Πεδίου Ορισμού... 7 Μεθοδολογία. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης... 8 Μεθοδολογία. Άρτια Περιττή Περιοδική Συνάρτηση... 9 Μεθοδολογία 4. Ισότητα Συναρτήσεων... Μεθοδολογία 5. Πράξεις Μεταξύ Συναρτήσεων... Μεθοδολογία 6. Σύνθεση Συναρτήσεων... Μεθοδολογία 7. Συναρτησιακές Σχέσεις... 4 Μεθοδολογία 8. Εύρεση Συνάρτησης... 6, Μονότονες Συναρτήσεις Αντίστροφη Συνάρτηση... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... Μεθοδολογία. Εύρεση Μονοτονίας... Μεθοδολογία. Μονοτονία ± g, g, g... Μεθοδολογία. Ανισώσεις Εξισώσεις... Μεθοδολογία 4. Ακρότατα Συνάρτησης... 5 Μεθοδολογία 5. Συνάρτηση... 7 Μεθοδολογία 6. Συνάρτηση και Λύση Εξίσωσης... 9 Μεθοδολογία 7. Αντίστροφη Συνάρτηση... Μεθοδολογία 8. Οι Εξισώσεις =, =... Μεθοδολογία 9. Θεωρητικές Ασκήσεις... 4, ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ... 6,4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ... 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 9 Μεθοδολογία. Εισαγωγή στο Όριο... 9 Μεθοδολογία. Ιδιότητες του Ορίου... 4 Μεθοδολογία. Μεθοδολογία 4. Μορφή σε Ρητή Συνάρτηση... 4 Μορφή σε Άρρητη Συνάρτηση... 4 Μεθοδολογία 5. Κλαδικές Συναρτήσεις Πλευρικά Όρια... 4 Μεθοδολογία 6. Μορφή και Απόλυτη Τιμή Μεθοδολογία 7. Βοηθητική Συνάρτηση Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

3 Κεφ. ο Μεθοδολογία 8. Κριτήριο Παρεμβολής Μεθοδολογία 9. Τριγωνομετρικά Όρια Μεθοδολογία. Θεώρημα Αλλαγής Μεταβλητής... 5 Μεθοδολογία. Θεωρητικές Ασκήσεις... 5,5 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ a Μεθοδολογία. Υπολογισμός Ορίου της Μορφής, a Μεθοδολογία. Όρια με Παράμετρο Μεθοδολογία. Βοηθητική Συνάρτηση... 6 Μεθοδολογία 4. Μορφή ±... 6 ± Μεθοδολογία 5. Ανισότητες και Απέιρο... 6,6 ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ... 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Όριο Πολυωνυμικής Ρητής Συνάρτησης Μεθοδολογία. Όριο Άρρητης Συνάρτησης Μεθοδολογία. Όριο με Απόλυτα Μεθοδολογία 4. Όρια με Παράμετρο Μεθοδολογία 5. Όρια με Τριγωνομετρικούς Όρους Μεθοδολογία 6. Όριο Εκθετικών Λογαριθμικών Συναρτήσεων... 7,7 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 7 Μεθοδολογία. Μελέτη Ως Προς Την Συνέχεια... 7 Μεθοδολογία. Εύρεση Παραμέτρων Μεθοδολογία. Εύρεση Τιμής Ή του Τύπου της Μεθοδολογία 4. Συνέχεια και Συναρτησιακές Σχέσεις... 79,8 ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ... 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 8 Μεθοδολογία. Θεώρημα Bolzano και Υπάρξη Ρίζας... 8 Μεθοδολογία. Ύπαρξη Μίας Ακριβώς Ρίζας Μεθοδολογία. Ύπαρξη με Βοηθητική Συνάρτηση Μεθοδολογία 4. Ύπαρξη Ρίζας σε Κλειστό Διάστημα Μεθοδολογία 5. Εύρεση Προσήμου Συνάρτησης... 9 Μεθοδολογία 6. Εύρεση Τύπου Συνεχούς Συνάρτησης... 9 Μεθοδολογία 7. Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών Μεθοδολογία 8. Θεώρημα Μεγίστης - Ελαχίστης Τιμής Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

4 Κεφ. ο Μεθοδολογία 9. Σύνολο Τιμών και Εύρεση Ρίζας Μεθοδολογία. Εφαρμογή του Bolzano σε Ανοικτό Διάστημα ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... Συναρτήσεις... Όρια Συνάρτησης Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

5 Κεφ. ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διαστήματα πραγματικών αριθμών Αν α,β με παρακάτω σύνολα: α < β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α,β καθένα από τα ( α,β) = { α < < β}: ανοικτό διάστημα [ α,β] = { α β}: κλειστό διάστημα [ αβ, ) = { α < β}: κλειστό-ανοικτό διάστημα ( α,β] = { α < β}: ανοικτό-κλειστό διάστημα. Αν α, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: ( α, + ) = { > α} [ α, + ) = { α} (, α) = { < α} (, α] = { α} Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο το συμβολίζουμε με (, + ). Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Ορισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με () Πώς ορίζουμε πλήρως μία συνάρτηση; Είδαμε παραπάνω ότι για να οριστεί μια συνάρτηση, αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία: το πεδίο ορισμού της και η τιμή της, (), για κάθε του πεδίου ορισμού της. Πότε δύο συναρτήσεις θα ονομάζονται ίσες; Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει = g( ). a a a a 4 Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 5

6 Κεφ. ο Πράξεις με συναρτήσεις Ορίζουμε ως άθροισμα + g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο δύο συναρτήσεων, g τις g συναρτήσεις με τύπους Το πεδίο ορισμού των = g. g( ) ( + g)( ) = + g( ) ( g)( ) = g( ) ( g ) = g( ) + g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g (), δηλαδή το σύνολο Σύνθεση συναρτήσεων { A και B, με g }. είναι το A B, εξαιρουμένων των Ορισμός Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συνάρτηση με τύπο ( go ) = g( ) Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το () ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο Είναι φανερό ότι η go ορίζεται αν A = { A }. B A, δηλαδή αν ( A) B. 6 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

7 Κεφ. ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ h θέλουμε g() g ατ ίο Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = g θέλουμε g() Αν η συναρτήσει είναι της μορφής = ln (g ) θέλουμε g()> Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = εϕ(g ) τότε θέλουμε g κπ + Αν η συνάρτηση είναι της μορφής = σϕ(g ) τότε θέλουμε g κπ π αμ υ Έστω ότι μας δίνεται μια συνάρτηση () και μας ζητούν να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής. Τότε ελέγχουμε: Παράδειγμα. α) = 4 απ ασ τ Υπάρχει και περίπτωση σε μια συναρτήσει να έχουμε και ένα συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων. Όποτε περνούμε περιορισμούς για κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις και κατόπιν κάνουμε συναλήθευση των περιορισμών. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: + β) g = γ) h = ln α) Είμαστε στην πρώτη κατηγορία και θέλουμε ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Δηλαδή για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει να ισχύει: ος Π 4 ( )( + ) και + και - β) Είμαστε στην δεύτερη κατηγόρια και θέλουμε η παράσταση που βρίσκεται κάτω από την ρίζα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. Δηλαδή για να ορίζεται η συνάρτηση πρέπει και αρκεί να ισχύει: ν/ ν ( )( ) Κω Σχηματίζουμε τον διπλανό πίνακα Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο [,] γ) Στη συνάρτηση αυτή παρατηρούμε ότι εκτός από λογάριθμο έχουμε και παρονομαστή. Επόμενος για να μπορέσουμε να βρούμε το πεδίο ορισμού θέλουμε ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός και η παράσταση που βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Δηλαδή θέλουμε: Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 7

8 Κεφ. ο + + > ( )( + ) > Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο (,) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω ότι δίνεται μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Για να βρούμε: τα σημεία τομής της C με τον άξονα λύνουμε την εξίσωση ( ) = στο Α. το σημείο τομής της C με τον άξονα yy A την σχετική θέση της C με τον άξονα αληθεύει σε ένα διάστημα [ a, ] διάστημα και κάτω από τον άξονα αρκεί να βρούμε το λύνουμε την ανίσωση 8 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» με την προϋπόθεση ότι >. Αν η εξίσωση β Aτότε η βρίσκεται πάνω από τον άξονα σ αυτό το στο διάστημα A [ a, β ] Έστω τώρα ότι δίνεται μία συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το σύνολο Β. Για να βρούμε: Τα κοινά σημεία των C και C g αρκεί να λύσουμε την εξίσωση = g Α Β Την σχετική θέση των δύο γραφικών παραστάσεων αρκεί να λύσουμε την ανίσωση > g Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση = ln ( e ) α) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C με τον άξονα β) Να βρείτε τη σχετική θέση της C με τον άξονα α) Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. Θέλουμε e > e < e < < ln Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A =,ln Για να βρούμε τα κοινά σημεία της C με τον άξονα λύνουμε την εξίσωση = ln e = e = e = e = e = Παρατηρούμε ότι το ανήκει στο πεδίο ορισμού της άρα είναι δεκτή λύση. β) Για να βρούμε την σχετική θέση της C με τον άξονα λύνουμε την ανίσωση > ln e > e > e < e < < Δημιουργούμε τον πίνακα προσήμων της

9 Κεφ. ο ln + + Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι η βρίσκεται πάνω από τον άξονα κάτω από τον άξονα για κάθε,ln Παράδειγμα. Έστω οι συναρτήσεις = a β + και για κάθε (,) g = a β. Αν η κατακόρυφη απόσταση των C, C στα σημεία τους με τετμημένη είναι και οι C, C τέμνονται πάνω στην ευθεία ε : + =, τότε να βρείτε τα α, β. g Οι συναρτήσεις και g είναι πολυωνυμικές άρα το πεδίο ορισμού τους είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αρχικά θα βρούμε τα σημεία των C και C με τετμημένη. Έχουμε: β β = a + = a β + g = a g = a β Η κατακόρυφη απόσταση των σημείων των C και ( β ) ( β) a + a = a = a = a =± Για α = = β + και g g = β Βρίσκουμε τα σημεία τομής των C, (ε) και C, (ε). + = = β 7 β = β + = + + = g = β = β 4 Επειδή η C και C έχουν κοινό σημείο επάνω στην (ε) έχουμε ότι: g g C με τετμημένη είναι g g = 7 β 5 = g + = β 7 + 4β = 8β β = β = β = Όμοια εργαζόμαστε και για α = -. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. Έστω μία συνάρτηση : A. Α) Η λέγεται άρτια όταν για κάθε Αισχύει ΆΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α και: = Α g και Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 9

10 Κεφ. ο Β) Η λέγεται περιττή όταν για κάθε Αισχύει Γ) Η λέγεται περιοδική όταν υπάρχει Α και: T με: ( T) ( T) Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» = Α + = = Α Δ) Τονίζουμε ότι: Αν η είναι άρτια τότε η C είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy και αντίστροφα. Αν η είναι περιττή τότε η C είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Για να είναι μία συνάρτηση άρτια ή περιττή, πρέπει οπωσδήποτε το πεδίο ορισμού να είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το μηδέν, δηλαδή να ισχύει ταυτόχρονα, D για κάθε D. Όπου D το πεδίο ορισμού της. Σημείωση: Μία συνάρτηση μπορεί να μην είναι τίποτε από τα παραπάνω. Παράδειγμα 4. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έχουμε: e e e e e e = = = = = = ( ) e e + e e + e e Άρα η είναι περιττή. e = e Παράδειγμα 5. Έστω οι συναρτήσεις, g:. Να δείξετε ότι: α) Αν η είναι άρτια τότε και η g είναι άρτια. β) Αν η είναι περιττή και η g είναι άρτια τότε η g είναι άρτια. γ) Αν η και η g είναι περιττές, τότε η g είναι περιττή. είναι άρτια ή περιττή. + α) Έχουμε ότι η συνάρτηση είναι άρτια δηλαδή ισχύει ότι για κάθε. Για την συνάρτηση g έχουμε ότι: ( ) g = g = g = g για κάθε Άρα η g είναι άρτια. β) Η συνάρτηση είναι περιττή Η συνάρτηση g είναι άρτια g g = για κάθε = για κάθε ( ) = Για την συνάρτηση g έχουμε ότι: ( ) ( ) g = g = g = g = g Άρα η g είναι άρτια. γ) Η συνάρτηση είναι περιττή ( ) = για κάθε Η συνάρτηση g είναι περιττή g( ) = g για κάθε

11 Κεφ. ο Για την συνάρτηση g έχουμε ότι: ( ) ( ) g = g = g = g = g Άρα η g είναι περιττή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι δύο συναρτήσεις : Α και g : Β είναι ίσες αν και μόνο αν Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Δηλαδή αν A= B και = g δηλαδή έχουν τον ίδιο τύπο. Στην περίπτωση που A B τότε ελέγχουμε την ισότητα στο σύνολο A B δηλαδή στα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β. Παράδειγμα 6. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες. Στην περίπτωση που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό σύνολο υποσύνολο του στο οποίο ισχύει = g e e e = e = + α) = και g = β) και g α) Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της έχουμε ότι: * e Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της g έχουμε ότι: * Άρα οι και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Ισχύει ακόμη ότι: e e e e e = = = = g e e e Άρα = g β) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της έχουμε ότι: = και και ± Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο {,,} ή (, ) (, ) (,) (, + ) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της g έχουμε ότι: * Παρατηρούμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι διαφορετικό από το πεδίο ορισμού της g. Επομένως οι και g δεν μπορούν να είναι ίσες. Έχουμε όμως ότι: ( + )( ) + = = = = = + = g Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

12 Κεφ. ο Το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο ισχύει η ισότητα είναι η τομή (τα κοινά σημεία) των δύο πεδίων ορισμών. Δηλαδή το σύνολο {,,} ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ συναρτήσεις με τύπους ( + g ) = + g ( g ) = g =. g g αμ ( g ) = g δύο συναρτήσεων, g τις g υ Ορίζουμε ως άθροισμα + g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο ατ ίο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. απ ασ τ Το πεδίο ορισμού των + g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της είναι το A B, εξαιρουμένων των g τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g (), δηλαδή το σύνολο α) + g β) g Αν ( ) = γ) 4 και g ( ) =, να βρείτε τις συναρτήσεις: + δ) g Π Παράδειγμα 7. { A και B, με g }. ος Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των δύο συναρτήσεων. Για την θέλουμε + { } Για την g θέλουμε: * ν/ ν Το ευρύτερο δυνατό σύνολο στο οποίο ορίζονται οι πράξεις α και β είναι το σύνολο {, } (τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων) ( + g )(= ) ( ) + g (= ) Κω α) = + ( + ) β) ( g )( ) = ( ) g ( ) = = = + + ( + ) ( + ) γ) Για να ορίζεται η συνάρτηση. + θέλουμε να ορίζεται η συνάρτηση και ( ) Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

13 Κεφ. ο είναι το σύνολο { / } {,} Άρα το πεδίο ορισμού της A= D D = Ισχύει ακόμη ότι: + = = + δ) Για να ορίζεται η συνάρτηση θέλουμε να ορίζονται οι συναρτήσεις και g και επιπλέον g 4 g Dg 4 ± Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο g { / και gκαι } {,, } B= D D g = Ισχύει ακόμη ότι: + + = = = 4 g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 6. ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω δύο συναρτήσεις : A και g : Β τότε η σύνθεση g θα έχει πεδίο ορισμό το { g} σύνολο A { A B} Α = D D = Δηλαδή όλα εκείνα τα που ανήκουν στο Α, πεδίο ορισμού της, έτσι ώστε η να ανήκει στο Β, πεδίο ορισμού της g. Για την εύρεση του τύπου της ( g ) = g του να βάλουμε το Σημειώνουμε ότι: { } { } D = D g D g g D = D D Δεν ισχύει πάντα ότι: g = g Ισχύει ότι: g h= g h αρκεί να πάμε στον τύπο της g και στην θέση ( ) ( ), ( + g) h= h+ g h, και ( g) h= ( h) ( g h) Παράδειγμα 8. Δίνονται οι συναρτήσεις = + και g συναρτήσεις: α) g β) g γ) g g Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g = 4. Να βρείτε τις Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

14 Κεφ. ο Το πεδίο ορισμού της είναι όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών 4 Το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο { } α) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g D g= Dg g D = = = 4 { } { 4 } { { 4 } 4 } { 4} = = + = + 4 ( g) ( g ) ( g ) β) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g g { g} { } { } {, } 4 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» { } { } { } D = D D = + 4 = + 4 = = = ± = + ( g ) g = = = = γ) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της g g Dg g = { Dg g Dg} = { 4 } { 4} = { 4 } 4 = = { 4 } 4 = { 4 } =, ( g g) = g( g ) = = = = g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 7. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Συναρτησιακές σχέσεις ονομάζουμε κάθε είδους σχέση που περιέχει συναρτήσεις που δεν γνωρίζουμε τον τύπο τους, και ισχύει σε ένα διάστημα Δ. + y = + y y, y = y y, Για παράδειγμα οι σχέσεις ή Επειδή οι σχέσεις αυτές ισχύουν για κάθε, y θέτουμε τιμές που μας διευκολύνουν στο να βρούμε τα ζητούμενα. Για παράδειγμα αν μέσα στην συνάρτηση υπάρχει το + y θέτουμε = y = και y =. Ενώ αν μέσα στην συνάρτηση υπάρχει παράσταση της μορφής y θέτουμε = y = και y = Παράδειγμα 9. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση : με την ιδιότητα + + = για κάθε Για να λύσουμε την άσκηση θα χρησιμοποιήσουμε την επαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση για την οποία ισχύει: Για = η () γράφεται: + + = για κάθε ()

15 Κεφ. ο + 4 = () Για = η () γράφεται: 4 + = () Από τις () και () έχουμε ότι: = άτοπο. Άρα δεν υπάρχει συνάρτηση για την οποία να ισχύει η σχέση (). Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση : με την ιδιότητα: Να αποδειχθεί ότι: = β) η είναι άρτια. α) + y = y + y για κάθε y, α) Από την υπόθεση έχουμε ότι: y y y ( + ) = + για κάθε y, () Επειδή η σχέση () ισχύει για κάθε y,, θέτουμε = y =, οπότε παίρνουμε: + = + = = β) Για να είναι η άρτια αρκεί να δείξουμε ότι Θέτουμε y = στην () και παίρνουμε διαδοχικά: ( ) + = + = = = Άρα η είναι άρτια στο. Παράδειγμα. Έστω συνάρτηση : με: Να αποδειχθεί ότι: α) e = και ( y) e ( y) β) + για κάθε y, () = e α) Η δοσμένη σχέση () ισχύει για κάθε y,. Θέτουμε y =. Άρα η () γράφεται: β) Η σχέση () για y = γράφεται: e e + () y y y y+ y e y e y e y e () Από τις () και () έχουμε ότι: Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση Σημείωση: e e = e = e ικανοποιεί την δοσμένη σχέση. Ένας από τρόπους που έχουμε για να δείξουμε ότι μία σχέση της μορφής αληθεύει είναι ο εγκλεισμός. = g Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 5

16 Κεφ. ο Δηλαδή να δείξουμε ότι g και g τότε θα ισχύει ότι = g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 8. ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όταν μας δίνεται μία συναρτησιακή σχέση και μας ζητείται ο τύπος της συνάρτησης εφαρμόζουμε γενικά τις τεχνικές που περιγράψαμε στην παραπάνω μεθοδολογία. Επιπλέον τονίζουμε ότι: Α) Μετά την εύρεση του τύπου, πρέπει (κατά κανόνα) να εξετάσουμε αν η συνάρτηση που βρήκαμε είναι δεκτή, δηλαδή αν επαληθεύει όλες τις δοσμένες σχέσεις. Β) Αν κατά την εύρεση του τύπου φτάσουμε σε μία σχέση της μορφής g μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: ( ) = για κάθε Α ή g = για κάθε Α Η συνάρτηση επαληθεύει την δοσμένη συνθήκη, άρα είναι η ζητούμενη. 6 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» = τότε δεν Σε αυτή την περίπτωση χρειάζεται να βρούμε επιπλέον συνθήκες ή να αποδείξουμε ότι για κάθε Α, οπότε g( ) = Για παράδειγμα, αν:, = και, g =, >, < g = για κάθε, ωστόσο καμία από τις, g δεν είναι η μηδενική συνάρτηση. Τότε Στην ίδια περίπτωση ανήκουν και οι σχέσεις τις μορφής: a + β + γ = με a Στις οποίες η εύρεση της συνάρτησης δεν μπορεί να γίνει λύνοντας την παραπάνω σχέση ως δευτεροβάθμια εξίσωση. Παράδειγμα. Μία συνάρτηση : (, ) Να βρεθεί ο τύπος της. + έχει τη ιδιότητα: ln για κάθε > e Από την δοσμένη σχέση μπορούμε να πάρουμε τις ανισώσεις: ln για κάθε > () και ln για κάθε > () e Στη σχέση () θέτουμε y = = e y e y ln e y ln + για κάθε > () Η σχέση () γράφεται: ln ln + για κάθε > (4) Από τις () και (4) έχουμε ότι: ln + ln + = ln + για κάθε >

17 Κεφ. ο Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση : Να αποδειχθεί ότι η είναι σταθερή. ( ) ικανοποιεί την σχέση: + y + y = για κάθε y, () Η δοσμένη σχέση ισχύει για κάθε y,. Θέτουμε = y = οπότε παίρνουμε Για y = έχουμε: ( ) ( ) + = = () Για y = ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) ( ) + = = () Από τις () και () έχουμε ότι: = Τέλος η ()για = και y = δίνει + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = = = = Άρα ( ) = για κάθε. Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 7

18 Κεφ. ο, ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως αύξουσα συνάρτηση, γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι γνωστές από προηγούμενη τάξη. Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση λέγεται: γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε με < ισχύει: ) < (Σχ. α) (, Δ γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με < ισχύει: ) > (Σχ. β) ( Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη. Ακρότατα συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο Παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το ), όταν ( ) ( ) για κάθε A (Σχ. 7α) ( A (ολικό) ελάχιστο, το ( ), όταν ) ( ) για κάθε A (Σχ. 7β). ( Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται (ολικά) ακρότατα της. Συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( )., A ισχύει η 8 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

19 Κεφ. ο Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν ( ) = ( ), τότε =. ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς. Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο Αντίστροφη συνάρτηση Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της Επομένως έχουμε οπότε = y ( y) = ( ) =, A και ( ( y)) = y, y ( A). Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. και συμβολίζεται με. είναι συμμετρικές ως προς Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 9

20 Κεφ. ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ Για να βρούμε την μονοτονία μιας συνάρτησης εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Ξεκινώντας από την υπόθεση ότι < προσπαθούμε να δημιουργήσουμε την < ανίσωση ( ) ( ). > Αν ( ) < ( ) τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα Αν ( ) > ( ) τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα Ξεκινώντας από την υπόθεση ( ) < ( ) προσπαθούμε να καταλήξουμε σε μια από της παρακάτω σχέσεις: < τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα > τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα Προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο της διαφοράς () - ( ) με προϋπόθεση < Αν ( ) - ( )< τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα Αν () - ( )< τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα ( ) ( ) Βρίσκουμε το πρόσημο του λόγου μεταβολής λ = Αν λ> τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα Αν λ< τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ζητούμενο διάστημα Παράδειγμα. Έστω Έστω < τότε έχουμε: 4 = με R. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο 4 4 < < < 4 < 4 < Παράδειγμα. = ( ) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση: Λύση Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο A = R / = R / R { } { } { } Για μελετήσουμε την ως προς την μονοτονία αρκεί να ( ) ( ) βρούμε το πρόσημο του λόγου λ =. Έχουμε Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

21 Κεφ. ο λ ( ) ( ) + ( )( ) ( )( ) = = = = ( ) ( )( )( ) ( )( ) = = Διακρίνουμε τις περιπτώσεις Αν, > τότε < και < άρα λ> επομένως η είναι γνησίως αύξουσα.. Αν, < τότε άρα λ> επομένως η είναι γνησίως αύξουσα.. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ± g, g, g Παράδειγμα. Δίνονται δυο γνησίως μονότονες συναρτήσεις και g ορισμένες σε ένα σύνολο Α. Να δείξετε ότι αν α), g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. β) ), g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα. Λύση α) Έστω, g γνησίως φθίνουσες στο Α. Τότε θα ισχύει ότι < ( ) > ( ) και < g( ) > g( ) Άρα < g( ) > g( ) ( g( )) < ( g) επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα. β) Έστω τώρα χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι είναι γνησίως αύξουσα και g είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. Έχουμε ότι < g( ) > g( ) ( g( )) > ( g( )) άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα. Παράδειγμα 4. Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει + e + = για κάθε. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Θεωρούμε συνάρτηση g = + e + να γραφεί με την μορφή: g,. Έχουμε ότι η συνάρτηση του πρώτου μέλους μπορεί = για κάθε. () Θα μελετήσουμε την μονοτονία της g. Έχουμε ότι: < + < + e e g g + + < + + < < e < e Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο. Έχουμε ακόμη ότι: ( ) g < g < g < Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο. Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια

22 Κεφ. ο Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση : κάθε (). Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα. Θα εργαστούμε με την μέθοδο της επαγωγής σε άτοπο. Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Τότε θα ισχύει ότι: < < Α για την οποία ισχύει + + e = για Προσπαθούμε με πράξεις να δημιουργήσουμε το πρώτο μέλος της δοσμένης σχέσης. < ( ) < ( ) ( ) < < + ( ) + e < + + e < ( ) < ( ) < e < e Άτοπο. Άρα η δεν είναι γνησίως αύξουσα. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η μονοτονία είναι ένα από τα πλέον χρήσιμα εργαλεία τόσο στην επίλυση ανισώσεων, όσο και στην επίλυση εξισώσεων που δεν λύνονται με τις συμβατικές μεθόδους που διδαχθήκατε στα προηγούμενα έτη. Α) Έστω : Α μία γνησίως μονότονη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: Αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε: α β a β α β a β < < και Αν η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε: α < β ( a) > ( β) και α β ( a) ( β) Οι παραπάνω παρατηρήσεις βρίσκουν εφαρμογή στη λύση ανισώσεων που έχουν ή που μπορεί να πάρουν, ύστερα από κατάλληλο μετασχηματισμό, τη μορφή: ( ϕ ) ( ω ) ή ( ϕ ) ( ω ) Τονίζουμε ότι αν η είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η φορά αλλάζει. Β) Όταν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε η εξίσωση της μορφής = β, έχει μία το πολύ ρίζα. =, αλλά και κάθε εξίσωση Συχνά λοιπόν, για να λύσουμε μία εξίσωση, εντοπίζουμε με παρατήρηση (δοκιμή) μία ρίζα και στην συνέχεια, αφού φέρουμε την εξίσωση στην μορφή ( ) =, αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη. Έτσι, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Γ) Αξίζει ακόμα να τονίσουμε ότι αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε ισχύει η σχέση: ( ϕ ) = ( ω ) ϕ = ω Οι παραπάνω παρατηρήσεις έχουν μεγάλη σημασία σε όλη την έκταση της Ανάλυσης. Παράδειγμα 6. Δίνονται οι συναρτήσεις, g: γνησίως αύξουσα. Έστω ότι οι όπου η είναι γνησίως φθίνουσα και η g C και C g τέμνονται στην αρχή των αξόνων. Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

23 Κεφ. ο α) Να βρείτε την σχετική θέση των C και β) Αν για την συνάρτηση h είναι h όταν (, + ) > Cg, = >, να δείξετε ότι η C h είναι κάτω από τον άξονα g α) Για να βρούμε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g αρκεί να λύσουμε την ανίσωση g και να βρούμε τα διαστήματα που αύτη αληθεύει και που αυτή είναι ψευδής. Στην συγκεκριμένη άσκηση η ευθεία απόδειξη του ζητούμενου είναι αδύνατη. Θα χρησιμοποιήσουμε λοιπόν τα δεδομένα για να φτάσουμε στην λύση. Έχουμε ότι το σημείο O(,) C = και ότι O(,) Cg g = Για > έχουμε ότι: > < < g > g > g g > Άρα στο διάστημα (, + ) έχουμε ότι g Για < έχουμε ότι: < > > g < g < g g < Άρα στο διάστημα (,) έχουμε ότι g < < δηλαδή η C βρίσκεται κάτω από την C g. < < δηλαδή η C βρίσκεται πάνω από την C. β) Το ζητούμενο του ερωτήματος είναι να δείξουμε ότι: h <, (, + ) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι,, Άρα h = <,, + g < ( + ) και g >, (, + ) Παράδειγμα 7. Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α (, 5) και Β(5, -). α)να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. e < γ) Να λύσετε την ανίσωση α) Έχουμε ότι η γραφική της διέρχεται από τα σημεία Α (, 5) και Β(5, -). Δηλαδή = 5 και 5 = < ισχύει ότι Παρατηρούμε ότι για 5 > 5 και επειδή γνωρίζουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη συμπεραίνουμε ότι θα είναι γνησίως φθίνουσα. Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια g

24 Κεφ. ο β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο. Άρα θα ισχύει ότι: ( ) ( ) < > < < Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Από την δοσμένη σχέση έχουμε διαδοχικά: ( 5) = = 5 e < e < 5 e < e < ( ) e < < ( ) Παράδειγμα 8. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( ) + ( + 4) = για κάθε. Αν η είναι γνησίως φθίνουσα να λύσετε α) την εξίσωση = β) την ανίσωση 5 > α) Επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε ότι η εξίσωση = θα έχει μία το πολύ λύση στο. Αναζητούμε προφανή λύση της δοσμένης σχέσης = ισχύει για κάθε θα ισχύει και για =. Επειδή η = + = = = Άρα για = η = έχει μοναδική λύση. β) Έχουμε ότι: ( 5) > ( 5) > ( ) και επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα συνεπάγεται 5 > 5< 8< + < Άρα (, ) Παράδειγμα 9. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει Αν η είναι γνησίως αύξουσα να λύσετε α) την εξίσωση ln + = ln +, > = β) την ανίσωση α) Αναζητούμε μία προφανή λύση της εξίσωσης Η δομένη σχέση ( ) = e < ln + = ln + ισχύει για κάθε > άρα θα ισχύει και για = e Έχουμε λοιπόν ότι: e ln e + e = ln e+ e + e = 4 e = 4 Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ»

25 Κεφ. ο Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) έχει μία το πολύ λύση. Για = e έχουμε ότι ( e ) = επομένως η = e μοναδική λύση της ( ) = β) Έχουμε ότι: ( e ) > ( e ) > ( e ) και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα συνεπάγεται ότι: e > e e > e e > e > Έστω μία συνάρτηση : A ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 4. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α) Για να αποδείξουμε ότι η έχει μέγιστο (ελάχιστο) προσπαθούμε να βρούμε Α τέτοιο ώστε: (αντίστοιχα ) για κάθε Α Β) Αν το y είναι ακρότατο της, τότε τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζεται το ακρότατο τις = y προσδιορίζουμε λύνοντας την εξίσωση για κάθε Α, τότε το Μ δεν είναι αναγκαστικά μέγιστο. Αν όμως βρούμε Α Γ) Αν M ώστε M = ( ), τότε το Μ είναι μέγιστο της. Ανάλογα αν Α τέτοιο ώστε ( ) m = τότε οποιοδήποτε m είναι ελάχιστο της. m για κάθε Α και υπάρχει Δ) Τα ακρότατα μίας συνάρτησης βρίσκονται εύκολα αν γνωρίζουμε το σύνολο τιμών της. Έτσι το Α είναι το ελάχιστο, ενώ το μεγαλύτερο, πάνω, άκρο μικρότερο, κάτω, άκρο του διαστήματος είναι το μέγιστο. Παρατηρήσεις: Αν ma < τότε < για κάθε Α > για κάθε Α Αν min > τότε Αν a β και υπάρχουν, Α τέτοια ώστε ( ) = a και ( ) ότι: min = a και ma = β Παράδειγμα. Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων: 4 α) = + β) = + 6 Που παρουσιάζονται τα ακρότατα; α) Έχουμε ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Παρατηρούμε ότι: 4 4 = + = + + = + D = = β θα ισχύει Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ» Επιμέλεια 5

26 Κεφ. ο Για = έχουμε ( ) = Για = έχουμε ( ) = Άρα η παρουσιάζει ελάχιστο στο σημεία A(, ) και B(, ) 8 β) Είναι D =, οπότε: ( ) = + 6 = = Από την λύση της εξίσωσης έχουμε ότι: = ( ) = = =± Άρα η παρουσιάζει μέγιστο για = το ( ) = και για = το = Παράδειγμα. Δίνονται οι συναρτήσεις, g: για τις οποίες ισχύει ότι + g = για κάθε. Αν οι C και g ε h = g, το μέγιστο της συνάρτησης Έχουμε ότι οι C και g ( ) = g( ) Για = η δοσμένη σχέση γράφεται: C τέμνονται πάνω στην ευθεία ( ε ) : ( ) + ( ) = ( ) = ( ) =± = ( ) C τέμνονται πάνω στην ευθεία : = δηλαδή ισχύει ότι: g g Ισχύει ακόμη ότι + g g h Παρατηρούμε ότι για = έχουμε: h( ) = ( ) g( ) = = h h για κάθε δηλαδή η h παρουσιάζει μέγιστο για = Άρα για ισχύει Παράδειγμα. Έστω μία συνάρτηση : η οποία είναι περιττή και παρουσιάζει ελάχιστο στο. Να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο στο Η συνάρτηση είναι περιττή = για κάθε Η παρουσιάζει ελάχιστο στο για κάθε Έχουμε ακόμη ότι: = για κάθε =, να βρείτε Άρα η παρουσιάζει μέγιστο στο Επιμέλεια Φροντιστήριο «ΜΕΘΟΔΙΚΟ»

27 Κεφ. ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΊΑ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α) Για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση : Α είναι, θεωρούμε, Αμε ( ) = και προσθέτουμε να αποδείξουμε ότι =. Δηλαδή αποδεικνύουμε τη συνεπαγωγή: αν ( ) = τότε = Σπανιότερα βασιζόμαστε όμως και στον ορισμό. Θεωρούμε δηλαδή και αποδεικνύουμε ότι Β) Για να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-» προσπαθούμε να εντοπίσουμε, συνήθως με παρατήρηση, ή να αποδείξουμε ότι υπάρχουν, Α με: = και Γ) Αν δίνεται η C και παρατηρήσουμε ότι κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα τέμνει την C το πολύ σε ένα σημείο, τότε η είναι «-». Διαφορετικά η δεν είναι «-». Δ) Αν για μία συνάρτηση θεωρήσουμε την εξίσωση y λύση ως προς, τότε η είναι επίσης «-» =, Α και η εξίσωση αυτή έχει μία Ε) Τέλος, να μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι «-». Προσοχή: Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντοτε. Παράδειγμα. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι. α) 5 = ln + = β) α) Ξεκινώντας από τον ορισμό με την ισότητα έχουμε διαδοχικά: ( ) = = = = Άρα η δεν είναι -. β τρόπος Παρατηρούμε ότι για = ( ) = 5= 4 Και για = ( ) = ( ) 5= 4 Δηλαδή για ( ) = ( ) Άρα η δεν είναι -. β)έχουμε διαδοχικά ότι: = ln + = ln + ln + = ln + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) + = + + = + = Άρα η είναι -. Παράδειγμα 4. Έστω οι συναρτήσεις, g: ( ) > για κάθε για τις οποίες ισχύει: Φροντιστήριο «ΜΕΘΟΔΙΚΟ» Επιμέλεια 7

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015 Βασικά σημεία προσοχής για την τελευταία επανάληψη στην ύλη των Μαθηματικών Γ Λυκείου Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Χρήσιμο βοήθημα για όλους

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ι. Βοήθημα για λύση ασκήσεων Μέρος 1 ο. 1. Συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. 2. Όριο συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

Μαθηματικά Ι. Βοήθημα για λύση ασκήσεων Μέρος 1 ο. 1. Συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. 2. Όριο συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής Δρ. Σάλτας Βασίλειος Μαθηματικά Ι Βοήθημα για λύση ασκήσεων Μέρος ο. Συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. Όριο συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. Συνέχεια συνάρτησης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( )

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( ) . Δίνεται η συνάρτηση: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( x) = 3x + 5x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να υπολογίσετε τις τιμές:, και α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Α= β. = 3 + 5 = ( ) = 3 ( ) + 5 ( )

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα