t 1 f[n] t 2 t 3 t 4 f [n] f [-n] -k n

Transcript

1 Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 221: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 2: Σήματα διακριτού χρόνου!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων 1 στο: 1 Οι σημειώσεις γράφτηκαν από τον καθηγητή Χαράλαμπο Δ. Χαραλαμπους (2009). Τροποποιήθηκαν από τον

2 1 Ορισμοί R = Πραγματικοί Αριθμοί Q = Ρητοί Αριθμοί C = Μιγαδικοί Αριθμοί I = Ακέραιοι Αριθμοί f : T R T Πεδίο Ορισμού, R Πεδίο Τιμών R R φ ειναι ένα πραγματικό σήμα R C φ ειναι ένα μιγαδικό σήμα T R Πραγματικοί αριθμοί T = {t 1, t 2, } {φ είναι ένα διακριτού χρόνου σήμα} {t 1, t 2, } Διακριτό σύνολο σημείων στο R συνήθως σε ίση απόσταση, π.χ., t = δ, I δ δειγματολειπτικό διάστημα, I ακέραιος f[] t 1 t 2 t 3 t 4 Παραδείγματα: Ο πληθωρισμός κάθε μήνα. Η τιμή των μετοχών στο κλεισιμό, καθημερινά. 2 Μετασχηματισμός των χρονικών μεταβλητών Ανάκλαση f [] f [-] k -k επισκέπτη λέκτορα Θεμιστοκλή Χαραλάμπους (2010)

3 ΗΜΥ Χρονική Κλιμάκωση f [ ], > 1 f [] f [ ], < 1 e.g =2 Μετάθεση στο χρόνο f [ +k ], k>0 f [ ] f [ -k ] 2 -k 1 -k k 1 +k 3 Άρτια και Περιττά Σήματα f είναι άρτιο f[ ] = f[], I άρτιο: f[] = 1 2 (f[] + f[ ]) περιττό: f είναι περιττό f[ ] = f[], I f[] = 1 2 (f[] f[ ]) f [] f [- 1 ] f [ 1 ] f [ 1 ] -f [ 1 ]

4 ΗΜΥ Περιοδικά Σήματα f είναι περιοδικό υπάρχει N I έτσι ώστε f[] = f[ + N], I. f [] 2N N Ν, 2Ν, 3Ν,... είναι περιόδοι { Ν είναι μια περίοδος} {νν, ν I είναι επίσης περίοδος} {N 0 = θεμελιώδης περίοδος} {N0 είναι η μικρότερη περίοδος για την οποία f[] = f[ + N], I} 5 Αρμονικά Σήματα/Μιγαδικά Εκθετικά f[] = ca, I, c, a C (γενική περίπτωση) = ce z, a = e z, z C Πραγματικά Εκθετικά Σήματα [a = e z ], c, a, z R ce z,z>0 >1 f[] = c e z ce z,z<0 <0 Διόρθωση: α < 0 α < 1 Μηγαδικά Εκθετικά Σήματα (ς R, ς>0, ζ=θω o ) f[] = ce jωo z C e z = 1 + z + z2 2! + z3 3! + e jωo = 1 + jω o ω o 2 2 j ω o ω o ! 3! 4! = (1 ω o ω o ) + j(ω o ω o 3 3 2! 4! 3! = cos(ω o ) + jsi(ω o ) [Φόρμουλα Euler ] + ω o 5 5 5! + )

5 ΗΜΥ Περιοδικό με N = 2πm ω 0 N 0 = Θεμελιώδης Περίοδος = 2π ω 0 Από πάνω ακολουθεί οτι: προυποθέτοντας οτι N, N 0 είναι ρητές συναρτήσεις. e jω0(+n) = e jω0 e jω0n = 1 ω 0 N = 2πm, m I ω 0 2π = m N Θεμελιώδες Διαφορά μεταξύ f(t) = e jωot, f[] = e jωo 1. f(t) = e jωot (αʹ) Οσο μεγαλύτερη η τιμή του ω o, τόσο μεγαλύτερος ο ρυθμος ταλάντωσης του σήματος (βʹ) e jωot είναι περιοδικό για οποιοδήποτε ω o. (γʹ) f(t) = e jωot είναι όλα διακριτά για δικριτές τιμές του ω o. 2. f[] = e j(ωo+2π) = e j2π e jωo = e jωo (αʹ) f[] = e jωo ατ ω o ω o + 2π είναι το ίδιο με αυτό στο ω o. (βʹ) f[] = e jωo = e j(ωo±kπ), k = 2, 4, 6, {λάβεται υπόψη μόνο το ω o σε οποιοδήποτε διάστημα εύρους 2π, π.χ. 0 ω o 2π, π ω o π} (γʹ) e jωo περιοδικό e jωo(+n) =e jωo,n I, I e jωon = 1 ω o N = 2πm,m I N = 2πm ω o (ακέραιος) ωo 2π = m N περιοδικό μόνο εάν ωo είναι ρητός αριθμός 2π θεμελιώδης Περίοδος = 2π N = ωo m f []=cos(0 )=1 f []=cos( /8)=1 f []=cos( /4)=1 f []=cos( /2)=1

6 ΗΜΥ Παράδειγμα 5.1. x[] = cos( 8π 31 ) ω o = 8π 31 8π 31 x[] = cos( 31 ) ω o = π x[] = e j( 2π 3 ) + e j( 3π 4 ) e j( 2π 3 ) N o 1 = 3 [N o 1 = m 2π ω o e j( 3π 4 ) N o 2 = 8 [N o 2 = m 2π ω o 2π = 4 31 περιοδικό μη ρητό μη περιοδικό = m 2π 2π 3 = m 2π 3π 4 [ή e j 3π 4 (+N) = e j 3π 4 e j 3π 4 N N o 2 = 8] Η θεμελιώδης περίοδος του x[] είναι N o = 24 = m 3, m 1] = m 8 3, m 3] Αν pn o 1 = qn o 2 = N, p, q I x[ + N] = x 1 [ + pn o 1 ] + x 2 [ + qn o 2 ] = x 1 [] + x 2 [] Αρμονικά Συσχετισμένα Σήματα 2π jk( f k [] = e No ), ω o 2π N o, k = 0, ±1, ±2, θεμελιώδεις περιόδοι: No k = 2π kω o = k N k o είναι επίσης περιόδοι N o = 2π ω o είναι μια κοινή περίοδος για όλα τα f k f o [] = 1 = f No [] f 1 [] = f No+1[] = e j 2π No 2π 2j f 2 [] = f No+2[] = e No.. f 1 [] = f No 1[] = e j 2π No (No 1) 2π j = e No f k [] = f rn0+k(), r =, 2, 1, 0, 1, 2,, f k [] = N 1 i=0 a if i [] = N 1 i=0 a 2π ji No ie 6 Μοναδιαίο Βηματικό Σήμα και Δειγματικό (Κρουστικό) δ[] = { 0, 0 1, = 0 u[] = { 1, 0 0, < 0 [] u[] 1

7 ΗΜΥ Πρώτη διαφορά του Μοναδιαίου Βηματικού δ[] = u[] u[ 1] Συνεχές Άρθροισμα του Μοναδιαίου Δειγματικού Iterval of summatio u[] = δ[m], m I m= 0 = δ[ k], k I [k = m] = k= δ[ k], k I [k = m] k=0 [m] < 0 0 m [m] Iterval of summatio 0 > 0 m Δειγματολειπτική ιδότητα του Μοναδιαίου Δείγματικού x (t) x p [] t x x p [] T s 2T s k 0 ( kt s ) 1. f[]δ[] = f[0]δ[] 2. f[]δ[ k] = f[k]δ[ k]

8 ΗΜΥ Γραμμικοί χώροι Σημάτων και Μέγεθος 7.1 Γραμμικοί χώροι Σημάτων Ορισμος Γραμμικού χώρου (Γενικός) Διδόμενοι: F - Πεδίο αριθμών (R ή C) X - Μερικά σύνολα στοιχείων x X (όχι απαραίτητα αριθμών) - Πολλαπλασιασμός με βαθμωτό: α x, α F, x X + - Πρόσθεση στο X : x + y, x, y X Οι συνθήκες κάτω από τις οποίες το (X,, +) είναι ένας γραμμικός χώρος στο πεδίο F είναι οι ακόλουθες 1. (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z X [Προσεταιριστική] 2. x + y = y + x, x, y X [Αντιμεταθετική] 3. Υπάρχει X έτσι ώστε + x = x, x X [Ουδέτερο στοιχείο] 4. x X υπάρχει x X, έτσι ώστε x + ( x) =, x X [Αντίθετο στοιχείο] 5. α(β x) = (α β)x, x X, α, β F [Βαθμωτή/μονόμετρη Προσεταιριστική] 6. 1 x = x, 0 x =, x X [Ουδέτερο στοιχείο πολλαπλασιασμού] 7. α(x + y) = αx + αy, x, y X [Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την διανυσματική πρόσθεση] (α + β)x = αx + βx, α, β F [Βαθμωτός Πολλαπλασιαμός είναι επιμεριστικός ως προς την βαθμωτή πρόσθεση] Παράδειγμα 7.1. Ο Γραμμικός χώρος L συνεχούς χρόνου σημάτων στο R (F = R) X = {f : (, ) R φ είναι συνεχές σήμα} [Χώρος Συνάρτησης] Ορίζεται σημειακά από (f 1 + f 2 )(t) = f 1 (t) + f 2 (t), f 1, f 2 L, t 3. είναι (t) = 0, t Προσθετική ταυτότητα. 4. x είναι ( f)(t) = f(t), t Αντίστροφη Προσθετική Ορίζεται σημειακά από (αf)(t) = α f(t), t, f L, α R

9 7.2 Μέγεθος 8 Παράδειγμα 7.2. Ο Γραμμικός Χώρος l Διακριτου Χρόνου Σημάτων στο R (F = R) X = {f : I R} Ορίζεται από (f 1 + f 2 )[] = f 1 [] + f 2 [], I, f 1, f 2 l 3. είναι [] = 0, I 4. x είναι ( f)[] = f[], I, f l Ορίζεται από (αf)[] = αf[], I, f l, α R 7.2 Μέγεθος Απόσταση μεταξύ των στοιχείων x y, x, y X ονομάζεται απόσταση του x X x = απόσταση του x X από X Παρεχόμενοι ένα Γραμμικό Χώρο (X,, +) στο πεδίο F τότε είναι ένα μέγεθοσ μόνο εάν ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες 1. x 0, x X 2. x = 0 x = 3. αx = α x, x X, α F 4. x + y x + y, x, y X [Τριγωνική ανισότητα] παρακινεί ένα εσωτερικό γινόμενο στα στοιχεία του Γραμμικού Χώρου υποδηλούμενο από < x, y >, x, y X π.χ. x R 2, y R 2 : < x, y >= x T y Παρεχόμενοι ένα Γραμμικό Χώρο τότε <, > είναι ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο αν και μόνο αν ισχύουν οι ακολουθες συνθήκες 1. < x, y >= < y, x >, x, y X 2. < x, x > 0; < x, x >= 0 x =, x X 3. < αx + βy, z >= α < x, z > +β < y, z >, x, y, z X, α, β F ένας Γραμμικός Χώρος με, Διανυσματικός χώρος με μέγεθος = (X,, +, ),όπου X is έτσι ώστε ξ X x < Παράδειγμα 7.3. Μεγέθοι: (α) x = max( x 1, x 2 ) IR 2 x x (β) L kai l μπορεί να είναι γραμμικοί διανυσματικοί χώροι εισάγωντας διαφορετικά πάνω τους e.g. X = L : x p = ( x(τ) p ) 1 p, p = 1, 2, 3, : x = supt R x(t)

10 7.2 Μέγεθος 9 Ελέγχοντας οτι είναι ένα μέγεθος: Προφανή 4. x + y = sup t R x(t) + y(t) sup t R ( x(t) + y(t) ) sup t R x(t) + sup t R y(t) = x + y Ελέγχοντας οτι 1 είναι ένα μέγεθος: 1. Προφανές f(τ) dτ = 0 f(τ) = 0, τ αf(τ) d(τ) = α f(τ) d(τ) x(τ) + y(τ) dτ ( x(τ) + y(τ) )dτ = x(τ) dτ + y(τ) dτ p kai δημιουργούν διαφορετικούς χώρους: L p L = {f L f p < } [φραγμένη ενέργεια] = {f L f < } [φραγμένο πλάτος] π.χ.l = l x p = ( = x[] p ) 1 p, p = 1, 2, lp = {f l f p < } x = sup I x[] l = {f l f < } Σημείωση: f Ενέργεια του σήματος f f - Πλάτος του Σήματος f {f είναι ομοιόμορφα φραγμένο} { f < }