ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Transcript

1 1 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

2 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Μετασχηματισμός Fourier MF: μιγαδικός αριθμός που δείχνει πώς: 1 συγκεκριμένες συχνότητες συμβάλλουν στο σήμα πραγματικό μέρος πώς οι φάσεις των ταλαντώσεων του σήματος σχετίζονται με τις φάσεις άλλων ταλαντώσεων φανταστικό μέρος. Στόχος της ανάλυσης: απλοποίηση σήματος για ευκολότερη επεξεργασία και/ή κατανόηση. Παράσταση σήματος με ημιτονοειδείς συναρτήσεις είναι πιο απλή λόγω της ιδιότητάς τους: ημιτονοειδής είσοδος σε σύστημα ημιτονοειδής έξοδος με ή χωρίς αλλαγή του πλάτους και της φάσης της εισόδου.

3 3 Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP.

4 = = / / N N x X S 4 ω π ω π π ω d e e X n x n j j = 1 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier: = = n n j j e n x e X ω ω Μετασχηματισμός Fourier: Φάσμα ισχύος συχνότητας power spectral density: = = / / N N x X S

5 Γενικά, ο ΜΦ είναι μιγαδική συνάρτηση της συχνότητας, ω. Σε ορθογώνια μορφή: jω X e = Re + { jω } { jω X e j Im X e } Ή σε πολική μορφή: jω jω X e = X e e jθ jω jω jω X μέγεθος, X e = Re{ X e } + X e jω jω Im = X { X e } e : φάση θ = tan 1 j Re{ X e ω } jω όπου e : θ, Im{ } 5

6 ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΜΦ: σειρά, και όχι συνάρτηση μιας συνεχούς μεταβλητής, που αντιστοιχεί σε δείγματα του ΜΦ του σήματος, ισοκατανεμημένα συχνοτικά. Η προσέγγιση είναι ο υπολογισμός της ΣΦ μιας σειράς άπειρου μήκους που είναι περιοδική μορφή της αρχικής σειράς. Η ΣΦ αντιστοιχεί στον ΔΜΦ της αρχικής διακριτής σειράς. Παίρνοντας αρκετά ισοκατανεμημένα δείγματα του ΜΦ της περιοδικής σειράς μπορούμε να ανακτήσουμε τον ΜΦ της αρχικής απεριοδικής σειράς από αυτά τα δείγματα. Αντίστοιχα, το x[n] είναι ανακτήσιμο από την αντίστοιχη περιοδική σειρά των δειγμάτων στο πεδίο χρόνου. 6

7 ΔΜΦ: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σύνθεση: x[ n] = 1 N N 1 = 0 X[ ] e jπ / N n Ανάλυση: X[ ] = = ΔΜΦ N 1 0 x[ n] e x[ n] X[ ] jπ / N n Δηλ. Χ[κ]=0 για τιμές εκτός του διαστήματος 0 N 1 και x[n]=0 για τιμές n εκτός του διαστήματος 0 n N 1 7

8 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Γραμμικότητα: Αν [ ΔΜΦ x1[ n] ΔΜΦ X1[ ] και x n] X [ ] Τότε: ax 1[ n] + bx[ n] ΔΜΦ ax1[ ] + bx [ ] Αν x 1 έχει Ν 1 δείγματα και x έχει Ν δείγματα, και Ν >Ν 1, τότε ο ΔΜΦ έχει Ν δείγματα. Στο σήμα x 1 προστίθενται Ν -Ν 1 μηδενικά δείγματα έτσι ώστε x 1 και x να έχουν τον ίδιο αριθμό δειγμάτων. 8

9 ΔΜ Φ x[n] X[] ΔΜ Φ y[n] Y[] 9

10 ΔΜ Φ z=x+y Z[]=ΜΦ{z}=Χ[κ]+Υ[κ] 10

11 Μεταφορά στο χρόνο: x[ n m] DFS e jπm/ N X[ ] δηλ. μεταφορά στο πεδίο χρόνου κατά m δείγματα αντιστοιχεί στο πεδίο συχνοτήτων με πολλαπλασιασμό του ΜΦ με τη γραμμική j m φάση e ω Κάθε μεταφορά κατά m>n δεν μπορεί να διαχωριστεί στο πεδίο χρόνου από μια μικρότερη μεταφορά m 1, όπου 0 m1 N 1 και m = m + 1 mn Δυϊσμός duality: m 1 και m : ακέραιοι ΔΜΦ ΔΜΦ Αν x[ n] X[ ] τότε X[ n] Nx[ ] 11

12 ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 Επίλυση συστήματος εξισώσεων: αθροίσματα των ημιτονοειδών ισούνται με τα δείγματα του σήματος. Ν εξισώσεις με Ν αγνώστους. : δε χρησιμοποιείται σχεδόν ποτέ λόγω του μεγάλου αριθμού πράξεων που χρειάζονται Συσχέτιση: Re Im N { X[ ] } x[ n]cos πn / N = n= N 1 0 { X[ ] } x[ n]sin πn / N = n= 1 0 Δηλ. κάθε δείγμα στο πεδίο συχνοτήτων υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας όλα τα δείγματα του σήματος στο πεδίο χρόνου με τα ημιτονοειδείς σήματα που μας ενδιαφέρουν συγκεκριμένης συχνότητας. Τα ημιτονοειδή είναι ορθογώνια μεταξύ τους! 1

13 ΓΡΗΓΟΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΓΜΦ Πολύ πιο αποτελεσματικός από άλλες μεθόδους μείωση χρόνου υπολογισμού κατά μεγάλο ποσοστό! Μέθοδος λειτουργίας: 1 Ανακατάταξη Ν μιγαδικών δειγμάτων ενός σήματος Υπολογισμός των Ν φασμάτων συχνότητας του κάθε δείγματος 3 Σύνθεση των Ν φασμάτων σε ένα φάσμα συχνότητας 1 Ανακατάταξη μέσω συζευγμένης ανάλυσης interlaced decomposition: log N στάδια Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 13

14 Ανακατάταξη αντιστοιχεί σε αντιστροφή bit bit reversal: Κανονικά δείγματα Αντεστραμμένα δείγματα

15 Φάσμα συχνότητας καθενός από τα Ν δείγματα: φάσμα ενός σημείου = ίδιο το σημείο! 3 Σύνθεση: συνδυασμός των Ν φασμάτων σε ένα φάσμα με αντίστροφο τρόπο με την ανάλυση. Η μέθοδος αντιστροφής bit δεν είναι εφαρμοστή εδώ σύνθεση άνα στάδιο. Πρόσθεση 0 στα μονά δείγματα ενός σήματος και στα ζυγά του άλλου. Δηλ. μετατοπισμός ενός σήματος δεξιά κατά 1 δείγμα πολλαπλασιασμός του φάσματος με ημιτονοειδές. 15

16 ΧΡΟΝΟΣ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Μειονέκτημα Fourier: δε μας δίνει πληροφορίες για το πώς μια συχνότητα αλλάζει με το χρόνο. Χρησιμοποίηση άλλων μεθόδων: Μετασχηματισμός Short- Time Fourier ή φασματογράφημα spectrogram: ισχύς φάσματος συχνότητας ενός σήματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Το σήμα χωρίζεται σε παράθυρα με επικάλυψη. Ο μετασχηματισμός Fourier υπολογίζεται για κάθε παράθυρο. 16

17 Μετασχηματισμός κυματίου wavelet transform: ανάλυση σήματος στο πεδίο χρόνουσυχνότητας μέσω βασικών συναρτήσεων κυματίων. Μετατοπισμός πλήρους κλιμακώσιμου παράθυρου στο σήμα και υπολογισμός του φάσματος σε κάθε σημείο: όπου s: κλίμακα scale, τ: μετατόπιση Επανάληψη για μικρότερο/μεγαλύτερο παράθυρο ανάλυση χρόνου-συχνότητας Μητρικό κυμάτιο: * γ s, τ = f t ψ s t dt ψ s, τ =,τ 1 t τ ψ s s 17

18 Ιδιότητες: Admissibility ΜΦ του κυματίου εξαφανίζεται στη συχνότητα 0 Συνθήκη κανονικότητας ο ΜΚ πρέπει να έχει ροπές που εξαφανίζονται Δηλαδή: τα κυμάτια είναι κυματομορφές εστιακές στο χρόνο και συχνότητα, και έχουν μέσο όρο μηδέν. Εύκολος τρόπος για ΜΚ: 1. Επιλογή ενός κυματίου. Υπολογισμός συσχέτισης του κυματίου με ένα τμήμα στην αρχή του σήματος 3. Μεταφορά κυματίου προς τα δεξιά και επανάληψη μέχρι το τέλος του σήματος 4. Κλιμάκωση κυματίου και επανάληψη και 3 5. Επανάληψη -4 για όλες τις κλίμακες του κυματίου 18

19 Κλιμακοθετησιμότητα των κυματίων: Μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα μεγαλύτερη κλίμακα εκτεταμένο κυμάτιο πιο ακριβείς χαμηλές συχνότητες Μικρότερα χρονικά διαστήματα μικρότερη κλίμακα συμπιεσμένο κυμάτιο πιο ακριβείς ψηλές συχνότητες Διακριτός μετασχηματισμός κυματίου discrete wavelet transform: κλιμάκωση και μετατοπισμός σε διακριτά βήματα Αποτέλεσμα; Υπολογισμός πεδίου χρόνου-κλίμακας σε διακριτά διαστήματα αφαίρεση πλεονασμού λόγω υπολογισμού σε όλες τις τιμές Gabor 19

20 ΜΕΘΟΔΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Μέσω των συντελεστών αυτοπαλινδρομικού μοντέλου: S x = 1 p j= 1 a 1 j e iπj / N όπου x S : φάσμα συχνότητας της μεταβλητής x α j j=1,,p: συντελεστές ΑΜ τάξεως p από εφαρμογή ΑΜ στη x : συχνότητες στις οποίες να υπολογιστεί το φάσμα συχνοτήτων Ν: αριθμός παρατηρήσεων της μεταβλητής x. 0

21 Μέσω συντελεστή αυτοσυσχέτισης ΣΑ: Θεώρημα Wiener- Khinchin το φάσμα ισχύος συχνότητας μπορεί να υπολογιστεί μέσω του μετασχηματισμού Fourier του ΣΑ. S x = F{ AC x} 1

22 ΣΥΜΦΩΝΙΑ ΦΑΣΜΑΤΟΣ SPECTRAL COHERENCE Συσχέτιση μεταξύ δύο σημάτων στο πεδίο συχνοτήτων. Μιγαδικός αριθμός μεταξύ [0,1] και με: Πλάτος: Φάση: A Φ xy xy όπου ω = Re ω = tan και Cxy: συντελεστής συσχέτισης x και y. Γ xy Γxy ω + Im Γxy ω Im Γ ω 1 xy Re Γ ω ω = τ = xy C xy e πjτω, ω [ 1/,...,1/ ] Η ισχύς της συμφωνίας φάσματος, xy, είναι ανάλογη του συντελεστή συσχέτισης, στις συχνότητες f: xy f = S xx S f xy f M S M yy f M S xy f: διάφασμα cross-spectrum στη συχνότητα f S xx f S yy f: φάσμα του xy

23 ΜΕΡΙΚΉ ΚΑΤΕΥΘΥΝΌΜΕΝΗ ΣΥΜΦΩΝΊΑ ΦΆΣΜΑΤΟΣ PARTIAL DIRECTED COHERENCE Βασίζεται στην εφαρμογή πολυμεταβλητών αυτοπαλινδρομικών μοντέλων multivariate AR στα σήματα: Μετατροπή στο πεδίο συχνότητας FT στους συντελεστές και υπολογισμός PDC: 3 + = = r x r x r x x x x m m p r r m ε ε ε M M M A A 1, A,,A p : mxm πίνακες συντελεστών ε i : ανεξάρτητος Γκαουσιανός θόρυβος f f f a f j H j ij ij a a = π f : FT ττω συντελεστών και στοιχείο ττο, : ],... [ 1 A A a a a A f th j i f a f f f f ij m =

24 H PDC από το σήμα x j στο σήμα x i : σχετική δύναμη σύζευξης της αλληλεπίδρασης του σήματος x j σε σχέση με ένα σήμα x i, σε σύγκριση με όλες τις υπόλοιπες συνδέσεις του σήματος x j. Όταν i=j: PDC συμβολίζει πόσο από το παρελθόν του σήματος x i δεν επεξηγείται από άλλα σήματα. Σχήμα από Baccala & Sameshima, Biol. Cybern.,84: , 001 4

25 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΔΕΥ 1 Αυτορύθμιση ισχύος συχνότητας ΗΕΓ των ρυθμών μ 8-1Hz και β 13-30Hz για 1d και d κίνηση δρομέα σε οθόνη δες σχήμα δεξιά. Ισχύς συχνότητας για αναγνώριση μεταξύ νοητικών πράξεων, π.χ.: α Millan et al, 003: 8-30Hz, ακρίβεια αναγνώρισης μέχρι 70%. β Palaniappan et al, 004: 0-50Hz, διαστήματα 1Hz, 6 ηλεκτρόδια, μέση ακρίβεια αναγνώρισης 94% Fig.. A Frequency spectra of EEG recorded over sensorimotor cortex of a trained subject when the target is at the bottom solid or at the top dashed of the video screen. The main difference between the two spectra is in the 8 1Hz rhythm band and, to a lesser extent, in an 18 3Hz rhythm band.differences at other frequencies are absent or minimal. Image from: Wolpaw et al, BCI Research at the Wadsworth Center, IEEE Trans. Rehab. Eng. 8:,

26 3 Αφαίρεση θορύβου από ΗΕΓ, π.χ.: Schetinin και Schult, 005: ισχύς φάσματος συχνότητας σε 6 ζώνες από 0-5Hz από ηλεκτρόδια για απόρριψη ΗΕΓ με θόρυβο - μέση ακρίβεια 70%. Browne και Cutmore, 00: Φίλτρα συχνότητας μέσω μετασχηματισμού κυματίων απόρριψη σημάτων με μεγάλους συντελεστές κυματιών. Κυρίως για θόρυβο με διαφορετική συχνότητα από ΗΕΓ. 4 Φίλτρα συχνότητας κυρίως για σήματα ERP δες σχήμα δεξιά Σήματα ERP φιλτραρισμένα σε χαμηλές συχνότητες μέσω φίλτρου Fourier 6

27 7 ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΛΕΞΗ: 6. Παλινδρόμηση Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα