Osnovi teorije grešaka
|
|
- Μέλαινα Βαμβακάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Osovi teorije grešaka Pozato je da svakoj fizičkoj pojavi u prirodi možemo pristupiti kvalitativo (opiso). To bi začilo objasiti suštiu same fizičke pojave,ači, uzroke i uslove pod kojima se oa odigrava. Međutim, da bi aše zaje o ekoj grupi fizičkih pojava moglo dobiti auči karakter, sve teorijske hipoteze se moraju proveriti i dokazati eksperimetalim putem. Dakle, kvatitativi ači proučavaja fizičkih pojava je eophoda, jer se jime utvrđuju odgovarajuče zakoitosti između pojediih veličia, i proveravaju teorijske pretpostavke. Da avedemo reči lorda Kelvia: Ja često kažem da oda kada možete meriti oo o čemu govorite i izraziti ga brojevima, vi o tome zate ešto. li kada ga e možete izraziti brojevima, vaše zaje je oskudo i e zadovoljava; oo može biti početak sazaja, ali ste u svojim rasuđivajima jedva dospeli do stupja auke. Dakle, osovi metod sazaja u fizici je eksperimet. Eksperimet se zasiva a mereju. Mereje je upoređivaje vredosti eke fizičke veličie sa drugom količiom iste fizičke veličie koja je uzeta za jediicu mere. Međutim, pri svakom mereju, moramo imati u vidu da apsoluto ikada e možemo odrediti pravu ili stvaru vredost fizičke veličie koju merimo - mi možemo samo proceiti iterval oko eke sredje izmeree vredosti, za koji smo a određeom ivou povereja (sa određeom verovatoćom) siguri da se u jemu alazi stvara ili prava vredost. Najčešće se sredja izmerea vredost uzima za ajbolju proceu prave vredosti, pa se rezultat svakog mereja bilo koje fizičke veličie uvek piše u obliku obostraog itervala oblika ( ± ) gde je sredja izmerea vredost, a apsoluta greška mereja (može biti i slučaja ili ukupa!). Sredja vredost se običo lako alazi, dok je problem u alažeju vredosti greške mereja, odoso u određivaju širie datog itervala u kome treba da se alazi prava vredost. Sve greške koje pri ekom mereju možemo apraviti možemo podeliti u tri grupe: grube greške - gruba odstupaja, a primer, pogrešo očitavaje vredosti sa istrumeta. Oe su ajčešće posledica epažje eksperimetatora i aravo, isu dozvoljee. sistematske greške - greške koje se javljaju kao posledica esavršeosti istrumeta kojim se vrši mereje. Svaki istrumet ima jedu karakteristiku - klasu tačosti a osovu koje se može odrediti koliku sistematsku grešku pravi. Međutim, kasije ćemo videti da postoje i druge metode za proceu sistematskih grešaka, kada se upozamo sa pojmovima direktih i idirektih mereja. slučaje greške - greške koje se uvek javljaju, imaju slučaja karakter, i e mogu se otkloiti čak i kada bi smo koristili idealo tače istrumete! Za proceu slučajh grešaka koriste se Gausova (za veći broj mereja) i Studetova raspodela verovatoće, o da bi smo jih procejivali trebalo bi da imamo ekoliko desetia mereja, ili više. Slika. Odos sistematske i slučaje greške u zavisosti od tačosti mereja.
2 Greške sa kojima ćemo se mi ovde baviti su sistematske greške. Podrazumevaćemo da grubih grešaka ema, a zbog majeg broja mereja, zaemarivaćemo slučaje. Razlikovaćemo apsolutu i relativu sistematsku grešku. psoluta greška ekog mereja se običo defiiše kao apsoluto odstupaje vredosti tog mereja od sredje vredosti: i ko imamo veći broj mereja, i svako ima svoju sistematsku grešku, za koaču sistematsku grešku uzimamo ajveće od pojediačih odstupaja i i ma Relativa greška se defiiše kao odos apsolute greške i sredje vredosti, i običo se izražava u procetima: 00% δ Ovo su defiicije koje se mogu aći u većii kjiga, o praksa pokazuje da postoje različite metode određivaja apsolutih, a samim tim i relativih grešaka, u zavisosti od vrste mereja i ačia a koji se oo vrši. Direkta i idirekta mereja Po ačiu a koji se dolazi do vredosti meree fizičke veličie, sva mereja možemo podeliti a direkta i idirekta. Direkto mereje je mereje pri kom, kako mu samo ime kaže, direkto očitavamo vredost fizičke veličie sa odgovarajućeg aalogog ili digitalog istrumeta. Na primer, temperaturu ekog tela direkto očitavamo sa termometra, jačiu struje u ekom kolu direkto očitavamo sa ampermetra, vreme za koje se eko telo kreće direkto merimo hroometrom (štoperica) itd. Idirekto mereje je mereje pri kom vredost eke fizičke veličie određujemo posredim putem - preko eke formule koja je povezuje sa drugim veličiama koje običo merimo direktim putem. Na primer, ako bi smo određivali ubrzaje sile Zemljie teže matematičkim klatom, merili bi smo period oscilovaja i jegovu dužiu. Za određivaje perioda merili bi smo vreme oscilovaja dok klato e apravi oscilacija, pa bi smo oda ubrzaje teže alazili po odgovarajućoj formuli: t T, T l l l π, > g 4π 4π g T t Tada kažemo da ubrzaje sile teže merimo idirektim putem. Nači a koji određujemo apsolutu i relativu grešku zavisi od toga da li fizičku veličiu merimo direktim ili idirektim putem. ko veličiu određujemo idirektim putem, oda jea sistematska greška zavisi od sistematskih grešaka svih direkto mereih veličia pomoću kojih se oa određuje. Sada ćemo objasiti metod alažeja sistematskih grešaka kod svake vrste mereja.
3 psoluta i relativa greška direkto meree veličie Vredost eke fizičke veličie možemo direkto meriti jedom, ili više puta. ko merimo samo jedom, oda apsolutu grešku veličie možemo odrediti a dva moguća ačia: Za apsolutu grešku možemo uzeti ili ceo ajmaji podeok, ili poloviu ajmajeg podeoka a odgovarajućem istrumetu (da li se uzima ceo podeok ili polovia zavisi od procee eksperimetatora, a osovu veličie sredje vredosti), i Koristeći klasu tačosti istrumeta k, apsolutu grešku račuamo po obrascu: k ma 00 gde je ma maksimala vredost koja se datim istrumetom može izmeriti (praktičo meri opseg istrumeta). Ovaj obrazac ije jedistve, i običo se koristi za aaloge istrumete. Preporučljivo je da se direkto mereje eke veličie vrši veći broj puta, jer se tada može pomoću sredje vredosti izvršiti ajbolja procea prave vredosti meree veličie: i i gde je broj mereja, a i pojediače vredosti dobijee tokom mereja. Svaka vredost ima eko svoje apsoluto odstupaje - apsolute greške pojediačih mereja:,,... Tada za koaču apsolutu grešku mereja uzimamo maksimalo od gore avedeih odstupaja, dakle i rezultat zapisujemo u obliku i ( ± ) Na primer, ako smo metarskom trakom tri puta merili dužiu ekog tela, i dobili pojediače vredosti l 39, 9cm, l 40, 0cm, l 40, cm 3 sredja vredost je l + l + l3 l 40, 0cm 3 apsoluta odstupaja su l 39,9 40,0 cm 0,cm l 40,0 40,0 cm 0cm l 40, 40,0 cm 0,cm pa je apsoluta greška 3 ma l lma 0, cm i rezultat zapisujemo u obliku l ( 40,0 ± 0,)cm Ovde je bito apomeuti da sredja vredost i apsoluta greška trebaju biti izražee sa istom tačošću, odoso sa istim brojem začajih cifara (to praktičo ajčešće zači sa istim brojem decimala). Kasije ćemo reći ešto o pravilima zaokruživaja i pojmu začaja cifra. 3
4 psoluta greška idirekto meree veličie Neka se eka veličia y određuje idirekto, a osovu direkto mereih veličia,,..., po ekoj formuli y f,,... ) ( Samo ćemo avesti opštu formulu za određivaje sistematske greške, a oda ćemo objasiti alterativi metod jeog alažeja: y y + y y y i () i i lterativi metod: Za objašjeje alterativog metoda ajbolje je poslužiti se kokretim primerom eke zavisosti. Neka to bude zavisost ubrzaja teže od dužie matematičkog klata i vremea jegovog oscilovaja, u već avedeom eksperimetu određivaja ubrzaja teže pomoću matematičkog klata: 4π l g t ko imamo apsolute greške za vreme oscilovaja i dužiu klata, apsolutu grešku za g alazimo iz tri koraka: ) Logaritmovaje odgovarajuće zavisosti prirodim logaritmom l. Logaritmovajeg gorje jedakosti dobijamo: l g l 4 + lπ + l + ll lt ) Difereciraje tako dobijee jedakosti. d Kako je d (l ), i kako je diferecijal zbira jedak zbiru diferecijala, diferecirajem gorja jedačia dobija oblik: dg d4 dπ d dl dt g 4 π l t Takođe, kako je diferecijal kostate jedak uli, j-a dobija prostiji oblik: 4 dg g dl l 3) Zamea diferecijala u svakom izrazu sa i prebacivaje svih miuseva u pluseve. Naime, diferecijal eke fizičke veličie u fizici predstavlja jako malu promeu jee vredosti - je jako mali priraštaj, za eki beskoačo mali iterval vremea. Kako su sva mereja vršea za eko koačo vreme, sve diferecijale zamejujemo apsolutim greškama direkto mereih veličia. Takođe, u osovi mi e zamo kako greške pojediih direkto mereih veličia utiču a grešku idirekto meree vredosti. li, s obzirom a čijeicu da mi samo procejujemo iterval oko sredje vredosti u kome pretpostavljamo da se (sa određeom verovatoćom) alazi prava vredost, oda trebamo posmatrati ajgori simultai uticaj grešaka svih direkto mereih veličia, u smislu da svaka greška utiče a povećaje sistematske greške idirekto meree veličie. Tako ćemo dobiti maksimali mogući iterval, u kome će aravo biti i ajveća verovatoća alažeja prave vredosti. Iz tog razloga su, u ostalom, i svi parcijali izvodi u j-i () u apsolutim zagradama - da bi se obezbedila jihova pozitivost i sabiraje svih grešaka! dt t
5 Na osovu svega avedeog, dobićemo jedačiu sa relativim greškama oblika g l t + g l t i ako smo izračuali sredju vredost, apsolutu grešku alazimo po obrascu l t g g + l t Po jedačii (), ali i po alterativoj metodi mogu se odrediti izrazi za apsolutu i relativu grešku bilo koje zavisosti. Najbitiji izrazi su avedei u priložeoj tabeli. Tabela. psolute i relative greške ekih zavisosti I koačo, bito je apomeuti da se vredost veličie i jea greška ovako određuju jedio ako se u eksperimetu e crta grafik. Međutim, ako se u eksperimetu crta grafik, oda se vredost veličie i jea greška određuju sa eke od karakteristika grafika, da bi precizost bila što je moguće veća. Najlakše je raditi sa graficima liearih fukcija, o jaso je da zavisost između mereih veličia e mora biti takva. U tom slučaju, eku eliearu zavisost možemo svesti a liearu postupkom koji se sastoji u pravilom i promišljeom odabiru ooga što ćemo aostiti a koordiatim osama - liearizacijom grafika. Prema tome, pre o što se upozamo sa crtajem grafika i odgovarajućim pravilima, moramo se podsetiti lieare zavisosti o a kokretom primeru objasiti postupak liearizacije. Liearizacija grafika Primer određivaja ubrzaja sile teže matematičkim klatom koji smo odabrali u prethodom odeljku takođe je jako pogoda za objašjavaje pojma liearizacije. Pozato je da se u eksperimetu crta grafik zavisosti T f ( l), i da se ubrzaje sile teže određuje iz koeficijeta pravca tog grafika: l T 4π <> y k g k 4 π 4, > g π g k ko bi smo crtali grafik zavisosti perioda od dužie klata, grafik bi bio parabola, sa koje bi smo teško odredili ubrzaje sile teže, dok je grafik zavisosti T f ( l) lieara prava. Dakle, 5
6 liearizacija eke zavisosti predstavlja samo pravila odabir veličia koje ćemo aositi a apscisu i ordiatu. Lieara fukcija i je grafik Opšti ekspliciti oblik lieare fukcije y f () je: y k + gde je k koeficijet pravca a odsečak a y-osi. ko je koeficijet pravca pozitiva, fukcija ima rastuće, a ako je egativa opadajuće poašaje, kao a aredim slikama (a i b): Slika. y y k + k > 0 a) b) y y k + k < 0 Jako često je dobro pozavati i segmeti oblik jedačie prave, zato što se poekad tražea veličia može određivati i sa jedog od odsečaka a osama! Segmeti oblik se lako dobija iz eksplicitog: y y k + y, +, + m k odavde se može videti da je odsečak a -osi m / k, a a y-osi. Koeficijet pravca prave predstavlja tages agibog ugla te prave sa -osom, i ajlakše se određuje odabirom dve tačke i sa prave, kao a slici 3. Slika 3. Određivaje koeficijeta pravca prave Koeficijet pravca se lako određuje iz odgovarajućeg pravouglog trougla: k tgα y y Naravo, koordiate tačaka i direkto očitavamo sa grafika, tako da ovakvo određivaje koeficijeta pravca spada u idirektu metodu. Ta čijeica je bita zbog ačia određivaja jegove greške. Do sada smo govorili o idealoj, matematičkoj liearoj fukciji. Međutim, kada u eksperimetu izvršimo eka mereja, i eksperimetale tačke aesemo a grafik, oe siguro eće pripadati jedoj ovakvoj pravoj, već će se, zbog slučajih grešaka, javiti određea odstupaja, kao a slici 4. Slika 4. Eksperimetali podaci sa statističkom liearom zavisošću i regresioa prava 6
7 Naš zadatak je da a osovu eksperimetalih tačaka ađemo liearu pravu koja a ajbolji ači opisuje datu liearu zavisost. Takva prava se aziva regresioa prava, a metod određivaja jee jedačie metod ajmajih kvadrata. Ovde se ećemo upuštati u detalju aalizu metoda ajmajih kvadrata, već ćemo samo objasiti jegovu ( yi suštiu, koja se sastoji u sledećem: i Regresiou pravu treba kostruisati tako da je zbir kvadrata odstupaja svih eksperimetalih tačaka od je miimala. Odoso, da je algebarski zbir odstupaja miimala. Pod pojmom algebarski zbir podrazumeva se čijeica da eka y) mi odstupaja ulaze sa predzakom + a eka sa predzakom -. Odstupaja oih tačaka koje su izad regresioe prave Slika 5. možemo po dogovoru uzimati za pozitiva, a odstupaja tačaka ispod prave za egativa. Drugim rečima, zbir odstupaja svih tačaka izad i ispod prave treba da budu što približiji. Na slici 5. prikazaa su odstupaja eksperimetalih tačaka od eke prave. Na ovakvom grafiku koeficijet pravca alazimo a već objašje ači - biramo dve proizvolje, eeksperimetale tačke i. Tačka običo se bira između prve i druge, a tačka između pretposledje i posledje eksperimetale tačke. Greška koeficijeta pravca se alazi a ači a koji se traži greška idirekto meree veličie: k y y l k l( y y ) l( ) (. korak) dk d( y y ) d( ) (. korak) k y y k k + y + y l + y y (3. korak) Posledja jedačia je jedačia koja se može koristiti kao gotova, i predstavlja obrazac za relativu grešku koeficijeta pravca. Koordiate,, y i y očitavamo direkto sa grafika, a jihove apsolute greške koje figurišu u brojiocima možemo procejivati a dva ačia: ko svaka eksperimetala tačka ima svoju grešku po - osi i po y - osi, oda se za apsolutu grešku tačke i (bilo koje koordiate) uzima jeda od apsolutih grešaka susedih tačaka - uvek se uzima oa koja je veća! ko eksperimetale tačke emaju apsolute greške po jedoj od osa, oda za apsolute greške tačaka i (po toj osi) treba uzeti vredost ajmajeg podeoka a toj osi (jeu razmeru). Odsečci a osama se direkto očitavaju sa grafika, a jihove apsolute Slika 6. greške se takođe mogu procejivati a dva ačia: Za apsolutu grešku odsečka a ekoj od osa možemo uzeti ajveću od apsolutih grešaka svih eksperimetalih tačaka po toj osi Možemo aći tzv. ajhorizotaliji i ajvertikaliji položaj prave, takve da prava još uvek prolazi kroz itervale grešaka svih eksperimetalih tačaka. Ta dva graiča položaja regresioe prave će a koordiatim osama odsecati određee dužie, koje možemo uzeti za sistematske greške odsečaka a tim osama, kao a slici 6. 7
8 Pravila za crtaje grafika S obzirom a čijeicu da se tražea veličia ajčešće izračuava iz eke od karakteristika grafika (koeficijeta pravca, odsečaka a osama...) jaso je da je jako bito tačo acrtati grafik. Za to služe tzv. pravila za crtaje grafika. Njih ima više, mada ćemo ovde apomeuti samo oa ajbitija: Grafik se crta isključivo a milimetarskom papiru, formata 4, običom olovkom. Grafik mora imati aziv (Grafik zavisosti... od...) i a osama moraju biti obeležee veličie čije se vredosti aose, sa azakom jediica u uglastim zagradama. Kada crtamo grafik, biramo takvu razmeru da ajveći deo raspoloživog prostora a milimetarskom papiru bude iskorišće. Međutim, pri odabiru razmere treba biti pažljiv, jer isu sve razmere dozvoljee! Nedozvoljee razmere su oe koje podrazumevaju da vredost jedog milimetra a osi ije koača broj. Tada se pri aošeju vredosti fizičke veličie a odgovarajuću osu mora vršiti zaokruživaje, a time se pravi greška. Dozvoljee razmere su oe pri kojima vredost jedog milimetra a grafiku izosi: 0,005, 0,004, 0,05, 0,00, 0,00, 0,05, 0,04, 0,05, 0,0, 0,0, 0,, 0,0, 0,05, itd. jediica veličie koju aosimo a datu osu. Odoso, jediica veličie koju aosimo može biti predstavljea sa,,,5, 5, 0, 0, 5, 50, 00 milimetara itd. Razmere :3, :6, :7, :9, : itd. isu dozvoljee. Pri tom, razmera :4 je dozvoljea, ali je treba izbegavati. Na koordiate ose se aose samo ekvidistate vredosti, ajbolje celobroje, a ikako vredsoti eksperimetalih tačaka (osim ako se aravo eksperimetala e poklopi sa celobrojom). To su tzv. uporede tačke. Koga iteresuje kolika je vredost koordiate eke od eksperimetalih tačaka, oe je lako može očitati sa grafika. Ovo pravilo se primejuje radi pregledosti grafika. Eksperimetale tačke se a grafik aose različitim simbolima - u obliku krstića, kvadratića, kružića, malih trouglova itd. No ajbolji je metod krstića, jer o omogućuje da se a grafiku sa svakom eksperimetalom tačkom aesu i jee apsolute greške po svakoj od osa. Na slici 7. prikazaa je jeda uvećaa eksperimetala tačka, i fizička suštia krakova krstića. Oi predstavljaju apsolute greške, dok koordiate cetra krstića predstavljaju sredje vredosti eksperimetale tačke po -osi i po y-osi. Slika 7. Greške eksperimetalih tačaka se a grafik e aose samo ako su jihove vredosti maje od vredosti jedog milimetra a odgovarajućoj osi (razmere). Poekad je bolje da a grafiku preseci koordiatih osa e budu u koordiatom početku, odoso da jeda od osa e počije od ule. Na primer, ako se vredosti eksperimetalih tačaka a ekoj od osa kreću recimo u itervalu (jediica veličie), jaso je da je bolje da ta osa e polazi od ule, već od recimo 358. podeoka itd. Međutim, pri ovome je potrebo biti pažljiv, jer to ekada može dovesti do grube greške. Na primer, ako se treba odrediti odsečak a jedoj osi, druga mora polaziti od ule! Na grafiku se e povlače bilo kakve liije od aetih tačaka do koordiatih osa! Na aredoj slici je prikaza grafik kod koga su ispoštovaa sva avedea pravila. 8
9 9
10 Pojam sigurih i esigurih cifara U jedom od prethodih odeljaka rečeo je da se sredja vredost i apsoluta greška zapisuju sa istom tačošću, odoso sa istim brojem sigurih cifara. psolute greške mogu da utiču samo a izvesta broj cifara u broju kojji predstavlja rezultat mereja. Tako a primer, ako je rezultat mereja eke veličie (,336 ± 0,00) oda ova greška može da izmei samo krajju cifru, odoso 6, dok ostale cifre,33 ostaju epromejee. Dakle, ako mereje poovimo više puta, cifre,33 se eće mejati. Ove cifre koje se e mejaju ma koliko puta poavljali eksperimet azivaju se sigure (tače) cifre. Oe cifre u rezultatu koje se mogu promeiti u zavisosti od apsolute greške i broja poavljaja eksperimeta, azivaju se esigure (sumjive) cifre. Pri izražavaju rezultata mereja, uobičaje je ači pisaja koji daje mogućost da se odmah ocee graice u kojima se greška kreće. Ovo se postiže tako što se pišu sve sigure cifre i samo jeda, prva od esigurih. ko je apsoluta greška veća od reda veličie te esigure cifre, ta esigura cifra se e piše. Na primer, ako je eka dužia data u obliku 6,45cm, podrazumevamo da su 6,4 sigure cifre, a 5 je esigura, pa odmah procejujemo da je red veličie apsolute greške 0,0cm. Na osovu ovoga, postoje dva ekvivaleta ačia zapisa rezultata mereja, što se može videti iz aredog primera: (,456 ± 0,0004)cm ili,456(4) cm Zaokruživaje sredjih vredosti Primeri: ko je prva cifra koja se odbacuje 0,,, 3 ili 4, posledja zadržaa cifra se e meja ko je prva cifra koja se odbacuje 6, 7, 8 ili 9, posledja zadržaa cifra se povećava za jeda ko je prva cifra koju treba odbaciti 5, a iza je ima još cifara koje su različite od ule, tada se posledja zadržaa cifra povećava za jeda. ko je prva cifra koju treba odbaciti 5, a iza je ema više cifara ili su sve ule, tada se zadja cifra koja ostaje uvećava za jeda ako je epara, a e meja ako je para. 0, , ,44 (drugo pravilo) 0, ,0063 6,3 0 (prvo pravilo) 0,09,9 0 (treće pravilo) 0,0855 5,485 5,48 (četvrto pravilo, drugi slučaj) 0,086,86 0 (četvrto pravilo, prvi slučaj) U praksi prilikom izračuavaja vredosti eke fizičke veličie ajčešće se pojavljuje više od jede račuske operacije. Oda se za sve međurezultate koristi ezaokružea vredost, ili bar zaokružea vredost koja ima jedu začaju cifru više od koačog rezultata! 0
11 Literatura: () Vlastimir V. Vučić Osova mereja u fizici, eograd 995. () Čedomir. Maluckov, Zora T. Pavlović, Miodrag K. Radović Zbirka zadataka iz obrade rezultata fizičkih mereja, Uiverzitet u eogradu, Tehički fakultet u oru, or 007. (3) S. Vukadiović, Elemeti teorije verovatoće i matematičke statistike, Privredi pregled, eograd 978. (4) G. L. Dimić, M. D. Mitriović Metrologija u fizici, Građeviska kjiga, eograd 99.
METODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραnepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραRAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA
RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 26. jun Katedra za Računarsku tehniku i informatiku
Elektrotehički fakultet uiverziteta u Beogradu 6. ju 008. Katedra za Račuarku tehiku i iformatiku Performae račuarkih itema Rešeja zadataka..videti predavaja.. Kretaje Verovatoća Opi 4 4 Kretaje u itom
Διαβάστε περισσότεραGreške merenja i statistička obrada podataka
Vežbe iz Električih mereja http://www.kelm.ft.us.ac.rs Greške mereja i statistička obrada podataka. Greške mereja Osovi zadatak mere tehike je da odredi pravu vredost meree veličie, imajući u vidu okolosti
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIzrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Διαβάστε περισσότεραObrada rezultata merenja
Obrada rezultata merenja Rezultati merenja Greške merenja Zaokruživanje Obrada rezultata merenja Direktno i indirektno merene veličine Računanje grešaka Linearizacija funkcija Crtanje grafika Fitovanje
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραAritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραStr. 454;139;91.
Str. 454;39;9 Metod uzorka Predavač: Dr Mirko Savić avicmirko@eccf.u.ac.yu www.eccf.u.ac.yu Statitička maa može da e pomatra a jeda od ledeća dva ačia: potpuo pomatraje, delimičo pomatraje (metod uzorka).
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja
Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότερα2.9. Regresiona analiza
.9. Regresioa aaliza U prethodom tekstu je avedeo da se u ekoomskim aalizama mogu koristiti različite matematičke fukcije za opisivaje zavisosti između posmatraih veličia. Za fukciju ukupih troškova, a
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOPISNA STATISTIKA GRAFIČKE METODE. Pravila kolokvija PROMJENE RASPOREDA: Dozvoljene formule s weba (M. Grbić) HISTOGRAMI
PROMJENE RASPOREDA: Kolegij SOM (prvi kolokvij) Opća fizika (predavaje) Numerička matematika Stari termi. ožujka -h. ožujka -h. ožujka -h Novi termi. ožujka -h. ožujka -h. travja - Pravila kolokvija Dozvoljee
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραTačkaste ocene parametara raspodele
Tačkaste ocee parametara raspodele Na osovu uzorka treba da se odredi kakva je raspodela obeležja a populaciji Ako je tip raspodele pozat, treba da se odrede parametri raspodele Pošto je realizovaa vredost
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραMetoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραVJEROVATNOĆA-POJAM. Definicija vjerovatnoće Σ = f x f. f f. f x f. f f ... = Σ = Σ. i...
VJEROVATNOĆA-OJAM Defiicija vjerovatoće f f f f f f f m X i i... ) + + + Σ p p p p f f f f f i i i i i i i ) )... ) )... + + + Σ + + Σ + Σ Σ Σ µ µ Aditivo i multiplikativo pravilo. Ako su E i E slučaji
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραT r. T n. Naponi na bokovima zubaca
Napoi a bokovima zubaca U treutoj tački dodira spregutih profila zubaca dejstvuje ormala sila i to u pravcu dodirice profila. Na mestima dodira spregutih zubaca astaju lokale elastiče deformacije, tako
Διαβάστε περισσότεραINŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5
INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραTESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE
//0 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Z-TEST I T-TEST Beograd, 0 Ass. dr Zora Bukumirić Z-TEST I T-TEST z-testom i Studetovim t-testom testiramo razliku: jede aritmetičke sredie i pretpostavljee vredosti
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότερα