מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות"

Transcript

1 מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט מינימלי שקול ל- DFA המעבר מ- A. שקול ל- אוטומט מינימלי, שהוא DFA A. בסעיף זה נציג אלגוריתם למינימיזציה של אוטומט, ללא שימוש בבניה של האוטומט מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות A שמתקבל מ- A הוא בעצם העתק מדוייק של L מינימלי שמזהה את השפה המצבים בלבד. שקילות מצבים באוטומט.A מצבים ב- q, p Q, DFA ויהיו F A = Q, Σ, δ, q, יהי,δ(p, z) F δ(q, z) F שמקיימת z Σ היא מילה p q מילה מפרידה בין המצבים או להיפך. ניתנים להפרדה. p q p, אומרים שהמצבים q אם קיימת מילה מפרידה בין לא אינם ניתנים להפרדה, כלומר אם p q,qep אם, ורשמים p q שקול ל- אומרים ש-. p q קיימת מילה מפרידה בין. δ(p, z) F δ(q, z) F מתקיים: z Σ לכל מילה qep לפי ההגדרות, A. של Q הוא יחס שקילות על קבוצת המצבים E קל לבדוק ש- יחס השקילות E על Q משמר את קבוצת המצבים הסופיים F. הכוונה היא שעבור שני מצבים p. F זה אומר שמצב מקבל ומצב לא מקבל לא יכולים q, F אז qep,q: p Q אם להופיע ביחד באותה מחלקת שקילות, כי המילה הריקה מפרידה בין כל מצב מקבל וכל מצב לא מקבל. אם יש במחלקת שקילות מצב מקבל, אז כל המצבים באותה מחלקה הם מצבים מקבלים. אותו דבר נכון למצבים לא מקבלים. ומתקיים:,E היא קבוצת כל מחלקות השקילות השונות של היחס Q E = { [q] q Q }.Q ב-, qep Q E ב-,[q] = [p] q A, אז מבחינת האוטומט לא משנה אם הוא נמצא במצב הם שני מצבים שקולים ב- DFA p q אם q, לא יכולה להיות שונה או במצב p. תוצאת הריצה (קבלה/דחיה) שלו על מילה כלשהי שמתחילה מ- q p. נראה שבמקרה זה, נוכל לצמצם את שני המצבים מתוצאת הריצה על אותה מילה שמתחילה מ- p למצב אחד, מבלי לשנות את שפת האוטומט. להלן נתאר דרך לצמצום DFA על ידי זיהוי מצבים שקולים E למצב אחד באוטומט המצומצם, כל זאת כמובן, בלי באוטמט, וצמצום כל מחלקת שקילות של היחס לשנות את שפת האוטומט. 0 q 0 0 q 3 2 q 4. δ(q, z) F δ(q, z) F 0 q q דוגמה : A משמאל, נקרא לו DFA ב- 0 היא מילה מפרידה. ניתנים להפרדה, q q 0 היא מילה מפרידה. ניתנים להפרדה, q q 0 היא מילה מפרידה. ניתנים להפרדה, q q ε היא מילה מפרידה. ניתנים להפרדה, q q שקולים. q q כלומר אינם ניתנים להפרדה, q q זה נכון כי עבור מילה {0,} z מתקיים:. δ(q, z) F z 0(0 + ) δ(q, z) F הם מצבים שקולים, כי לכל {0,} z מתקיים כמו כן,.[q ] = {q, q } [q ] = {q, q }, [q ] = {q } מחלקות השקילות השונות של היחס E. Q E = {[q ], [q ], [q ] } הן:

2 [q ] 0, [q ] 0 A, שהרי 0, אם נאחד את כל המצבים בכל מחלקת שקילות [q]), למצב אחד (שנסמנו ב- A באוטומט [q] ] q]. A כל האוטומט משמאל, שנקרא לו נקבל את מצבים שונים באוטומט זה ניתנים להפרדה, שני שקול ל- A כלומר, אין באוטומט זה מצבים שקולים שונים. כמו כן. L(A ) = L(A) = (0 + ) 0(0 + ). A נקרא צמצום של האוטומט A ל- A המעבר הזה מ- DFA צמצום של אוטומט הגדרה: A DFA שכל שני מצבים שונים בו ניתנים להפרדה נקרא אוטומט מצומצם. זהו שני מצבים שונים שקולים, כלומר, כל מצב בו שקול אך ורק לעצמו. שאין בו למשל, האוטומט בדוגמה הקודמת הוא אוטומט מצומצם, וקל לבדוק זאת (כלומר, למצוא מילה מפרידה בין כל שני מצבים שונים ב- A). A.A A קיים אוטומט מצומצם, A משפט: לכל DFA שקול ל- להוכחת משפט זה נציג בניה שבהינתן DFA כלשהו F, A = Q, Σ, δ, q, בונה אוטומט מצומצם.DFA בניה זו נקראת צמצום של.A שקול ל- A = Q, Σ, δ, q, F.Q.A E A הבניה:, A = Q, Σ, δ, q, F כאשר: המצבים ב- הם מחלקות השקילות של היחס על. Q E = { [q] q Q } ]. q = q] המצב ההתחלתי ב- A הוא מחלקת השקילות של המצב בבתחלתי ב- המצבים הסופיים ב- A הם מחלקות השקילות של.δ ( [q], ) = [δ(q, )]. F = Q = Q E = { [q] q F } המצבים הסופיים ב- A. פונקצית המעברים δ : Q Σ Q מוגדרת על ידי הוכחת נכונות הבניה: כדי להוכיח את נכונות הבניה הזו, נוכיח מספר טענות: A הוא DFA מוגדר היטב. בבניה זו היא הגדרה טובה שאינה תלויה בנציגים של מחלקות הוכחה: צריך להראות שהגדרת האוטומט F מוגדרת היטב (ii) δ מוגדרת היטב (i) השקילות המופיעים בה. ספיציפית עלינו להראות:.[δ(q, )] = [δ(p, )] נוכיח כי. [q] = [p] וכי q, p Q מוגדרת היטב, נניח כי δ די להוכיח ש- (i) ( δ(p, הם מצבים לא שקולים, כלומר אז ( δ(q, [(.[δ(q, [( [δ(p, לשם כך נניח בשליליה ש- δ( δ(q, ), z ) F ).δ(p, זה אומר ש- שמפרידה בין ) δ(q, קיימת מילה Σ z, δ(p, z) F או להפך. δ(q, z) F,δ( δ(p, ), z ) F או להפך. את זה נוכל לרשום בצורה אינם שקולים, כלומר p q, p ולכן q היא מילה מפרידה בין v = z זה אומר שהמילה שהמילה [p],[q] בסתירה להנחה. F. משמר את Q מוגדרת היטב נובעת ישר מהעובדה שיחס השקילות על F העובדה ש- (ii) A.q Q ההרחבה של פונקציית המעברים δ מקיימת w)],δ ([q], w) = [δ(q, לכל Σ w הוכחה: באינדוקציה על אורך.w עבור δ ([q], ε) = [q] = [δ(q, ε)] :w = ε ת. הי Σ w ויהי. Σ נניח כי w)],δ ([q], w) = [δ(q, ונוכיח כי w)]. δ ([q], w) = [δ(q, ואכן: δ ([q], w) = δ (δ ([q], w), ) = δ ([δ(q, w)], ) = [δ(δ(q, w), )] = [δ(q, w)] הרחבת הנחת אינד הגד הרחבת 2

3 A הוא אוטומט מצומצם. הוכחה: כדי להוכיח ש- A הוא אוטומט מצומצם, יהיו [q] [p] מצבים שונים ב- A, נראה כי [q] [p] ניתנים להפרדה. לשם כך עלינו להראות שקיימת מילה Σ z כך ש- δ ( [q], z ) F,(A ניתנים להפרדה (ב- p q הרי המצבים [q] [p] או להפך. ואכן, היות, δ ( [p], z ) F כלומר, קיימת מילה מילה Σ z כך ש- δ(q, z) F, δ(p, z) F או להפך. מכאן, לפי הגדרת F נקבל ש- [δ(q, z)] F [δ(p, z)] F, או להפך. לפי תכונת ההרחבה של δ שהוכחנו בטענה הקודמת, זה אומר ש- δ ( [q], z) F, δ ( [p], z ) F או להפך. סיימנו. : w Σ ואכן, לכל מילה.L(A ) = L(A) A. שקול ל- הוכחה: צריך להראות ש- A [δ(q, w)] F הרחבת δ ([q ], w) F הגדרת δ (q, w) F הגדרת ) ( w L(A ) הגדרת () הגדרת L(A). w על כן L(A),L(A ) = כנדרש. δ(q, w) F זה מסיים את הוכחת נכונות הבניה (צמצום אוטומט), ומסיים את הוכחת המשפט. כדי לצמצם A =,Q,Σ δ, q, F DFA צריך דבר ראשון לחשב את מחלקות השקילות של היחס E על Q F = או F = (אם.Q F F נציג אלגוריתם שיאפר לנו לעשות זאת. נניח כי.Q אז לא יהיו באוטומט זוגות מצבים שניתנים להפרדה, כלומר כל מצבי האוטומט יהיו שקולים זה לזה). נשים לב שהנחה זו מחייבת שמספר המצבים באוטומט יהיה לפחות 2. נפתח אלגוריתם דינמי שמחשב בשלבים את כל זוגות המצבים הניתנים להפרדה באוטומט A. באיתחול (שלב 0), האלגוריתם יסמן את את זוגות המצבים שניתנים להפרדה על ידי ε, בשלב הוא יסמן את זוגות המצבים הניתנים להפרדה על ידי מילה מאורך אחד, בשלב 2 הוא יסמן את זוגות המצבים הניתנים להפרדה על ידי מילה מאורך 2, וכן האלה. האלגוריתם יתבסס על הלמה הבאה. למה: יהי F,DFA A = Q, Σ, δ, q, יהיו q, p Q מצבים שונים, ותהי Σ.z א. ב. אם z = ε אז: z מפרידה בין q q F p, p F או להפך. אם z ε אז z = v כאשר Σ Σ, v ומקרה זה.δ(p, ) δ(q, ) מפרידה בין v p q מפרידה בין z, δ(p, ε) F או δ(q, ε) F p q ε מפרידה בין p q מפרידה בין הוכחה: א. z, p F או להפך. F q להפך,δ(p, v) F או להפך δ(q, v) F p q v מפרידה בין p q מפרידה בין z ב..δ(p, ) δ(q, ) מפרידה בין v או להפך, δ(δ(p, ), v) F δ(δ(q, ), v) F ננסח כעת אלגוריתם שיאפשר לנו לחשב את מחלקות השקילות השונות של היחס E עבור DFA נתון A. אלגוריתם (זיהוי מצבים שקולים).A = Q, Σ, δ, q, F קלט: DFA. q, p Q הם מצבים שקולים שונים EQ = {q, p} פלט:.{q, p} X לכל Δ({q, p}) = φ,x = {q, p} הם מצבים שונים q, p Q צעדים:..Δ({q, p}) = x p F או להפך, סמן q F :{q, p} X אם לכל.2 בצע:,{q, p} X לכל.3 הבא. כלומר, דלג על זוגות שכבר סומנו Δ({q, ({p = x,עבור לזוג {p,q} אם i. 3

4 Δ({q, p}) = x ואם כן סמן, Δ({δ(q, ), δ(p, )}) = x בדוק אם : Σ לכל.ii ועבור לזוג המצבים {p,q} הבא. אם בביצוע צעד 3 סומנו זוגות {p,q} חדשים, חזור ל- 3. החזר: } φ.eq = { {q, p} X Δ({q, p}) =.4.5 בביצוע צעד 2, האלגוריתם מסמן את קבוצת כל הזוגות (הלא סדורים) {p,q} באוטומט שניתנים להפרדה על ידי ε. בביצוע צעד 3 פעם ראשונה, האלגוריתם מסמן את כל הזוגות הניתנים להפרדה על ידי מילה מאורך. עם סיום ביצוע צעד 3 פעם ראשונה, כל הזוגות {p,q} שניתנים להפרדה על ידי מילה מאורך k פעמים, אז, לפי הלמה, בתום הביצוע כל כבר סומנו (לפי הלמה). אם האלגוריתם מבצע את צעד 3 הזוגות {p,q} שניתנים להפרדה על ידי מילה מאורך k כבר סומנו. כדי לסיים את הוכחת הנכונות של האלגוריתם, נוכיח עוד למה. נסמן למה: יהי F,DFA A = Q, Σ, δ, q, ונניח כי מספר המצבים ב- A הוא Q.n = אז עבור :q, p Q אם q p ניתנים להפרדה, אז הם ניתנים להפרדה על ידי מילה z מאורך 2 n. הוכחה: נשתמש בסימוני האלגוריתם. נסמן: q, p ניתנים להפרדה,S = {q, p} X ולכל 0 i, S = S q, p ניתנים להפרדה ע"י מילה z מאורך i. S = {q, p} X אז יש לנו. S = {q, p} X או להפך, p F ו q F S S S כעת נסתכל בסדרת ההכלות. S S S חלק מההכלות פה הן הכלות ממש וחלק הן שוויונים. i ולכן קיים 0,( S S X n 2 לא יתכן שכל ההכלות בסדרה זו הן הכלות ממש (כי לכל i: כך ש-.S = S כעת נוכיח: טענה: בסדרת ההכלות, S S S אם S = S אז.S = S (כלומר, אחרי השוויון הראשון שיופיע בסדרת ההכלות, כל ההכלות תהיינה שוויונים).,S = S ונראה כי.S = S לשם כך עלינו רק להראות כי.S S הוכחת הטענה: נניח ש- מאורך z {q, p} S קיימת מילה היות ואכן, יהי {q, p} S, נראה כי {q, p} S.. {q, p} S ולכן i + היא מאורך z אז בוודאי,z = ε אם. p q המפרידה בין i + 2 +,i ולפי הלמה הקודמת Σ v היא מילה מאורך Σ כאשר z = v אז z ε אם S = S ולפי ההנחה ש-, {δ(q, ), δ(p, ) } S מבכאן ש-.δ(p, ) δ(q, ) מפרידה בין v המפרידה בין ) δ(q, i מאורך u.{δ(q, ), δ(p, ) } S זה אומר שקיימת מילה נסיק כי. {q, p} S ולכן,p q והיא מפרידה בין i + היא מאורך w u מכאן שהמילה.δ(p, ) היא סדרה סופית, כלומר, קיים S S S זה מסיים את הוכחת הטענה. מטענה זו ומההערה לפניה נקבל שסדרת ההכלות. S = S = S = S בנוסף,. S = S :i k ולכל, S S S כך ש- k 0 שני מצבים שונים באוטומט הם ניתנים להפרדה אם ורק אם הם ניתנים משמעות השוויון האחרון היא: n. 2 k k. כדי לסיים את הוכחת הלמה, נשאר להראות כי להפרדה על ידי מילה מאורך עבור,,q p Q, Q באופן הבא: על 0 i, יחס שקילות כדי לעשות זאת, נגדיר, לכל ( i p q E או {q, p} S (כלומר, אינם ניתנים להפרדה על ידי מילה מאורך. δ(p, z) F δ(q, z) F מתקיים:,i מאורך z Σ q = p qe p qe p במלים אחרות: לכל קל לבדוק שאלה אכן יחסי שקילות על,Q וכי מתקיים: E = E. E E E לפי מה שהוכחנו לעיל, סדרת ההכלות E E E היא מהצורה, E E E = E. S S S שהופיע לעיל עם סדרת ההכלות k. rnk(e ) < rnk(e ) < < rnk( E ) = 2 ). rnk(e לכן, מסדרת E = E לכל.i k המספר k כאן הוא ה- מההכלות E E E כעת, ליחס נסיק כי Q. F לכן F שהן יש שתי מחלקות שקילות שונות 4 E

5 ) + k rnk( E 2. אבל כמובן,,k n כלומר 2,2 + k n אי השוויונים ) rnk(e ) < rnk(e ) < < rnk( E נסיק כי rnk( E ) n (כי, E הוא יחס על,Q Q = n.( אז יש לנו כנדרש. לפי למה זו, האלגוריתם לזיהוי מצבים שקולים עוצר על כל קלט, וזאת אחר ביצוע הלולאה של צעדים n פעמים לכל היותר, ובנוסף הוא מסמן את כל זוגות המצבים הניתניים להפרדה באוטומט A. היות וזמן הבצוע של צעד 3 (וגם של צעד 2) הוא פולינומי, אז לפי הלמה, כך גם זמן הריצה של האלגוריתם. ננסח כעת אלגוריתם לצמצום של.DFA הוא יתבסס על האלגוריתם לזיהוי מצבים שקולים, ועל הבניה שראינו בהוכחת המשפט לעיל, על צמצום של אוטומט. אלגוריתם (צמצום אוטומט).A = Q, Σ, δ, q, F קלט: DFA A. A שקול ל- מצומצם DFA פלט: צעדים: A את האלגוריתם לזהוי מצבים שקולים. הרץ על. A. על סמך תוצאת צעד, מצא את כל מחלקות השקילות השונות של מצבים ב- 2. הצג את מחלקות השקילות שנמצאו בצעד 2 כצמתים של גרף של.DFA 3. כמצב סופי. [q] סמן את ] q] כמצב התחלתי, ולכל q F סמן את 4. [( [δ(q,. לצומת [q] ולכל אות קלט, העבר קשת מסומנת מצומת [q] לכל צומת 5. q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q q 2 q 3 q 4 q 5 את צעד באלגוריתם (כלומר, הרצת האלגוריתם לזיהוי מצבים שקולים) נממש באמצעות טבלה משולשית המכילה תא אחד לכל שני מצבים שונים. הטבלה תהיה מהצורה המוצגת משמאל (למקרה שמספר המצבים באוטומט הוא 7). בהתחלה, כל התאים בטבלה יהיו ריקים. בביצוע צעד באלגוריתם (לזיהוי מצבים שקולים) נרשום X בתא של כל שני מצבים שאחד מהם נמצא ב- F והשני לא. לביצוע צעד 3 נעבור על כל התאים הריקים בטבלה, ולגבי כל תא נבצע את הבדיקה של צעד 3 ונפעל בהתאם. בסוף ההרצה נכריז על כל שני מצבים שהתא שלהם נשאר ריק בסוף ההרצה, כמצבים שקולים. דוגמה A בציור, נקבל: נפעיל את אלגוריתם הצמצום של אוטומט על ה- DFA q, q 2 q q 2 q 3 q 5 q 4 q 3 q 4 q 5 q 6 q 6 q q 2 q 3 q 4 q 5 5

6 ביצוע צעד, הוא הכנת הטבלה, עם תאים ריקים. בביצוע צעד 2, סומנו עשרה זוגות מצבים, בסימן. בביצוע צעד 3 פעם ראשונה, סומנו עוד שישה זוגות מצבים, בסימן. בביצוע צעד 3 פעם שניה, לא סומנו זוגות חדשים. ההרצה הסתיימה. תוצאת הרצת האלגריתם על האוטומט : A.EQ = { {q, q }, {q, q }, {q, q }, {q, q }, {q, q } } מכאן, שמחלקות השקילות השונות של מצבים ב- A הן:.[q ] = {q, q }, [q ] = {q, q, q }, [q ] = {q, q } A הצמצום של A הוא האוטומט המוצג בגרף: [q ], [q ] [q ]. שפת האוטומט היא שפת כל המילים ב- {,} שמתחילות ומסתיימות ב- שקול לו ומכיל פחות מצבים ממנו. DFA שאין A מינימיזציה של אוטומט אוטומט מינימלי הוא DFA A. האוטומט A שקול ל- A, ולהגיע לאוטומט מצומצם, A נוכל תמיד לצמצם את בהינתן DFA A יש מצבים שאינם ניתנים להשגה, והם נשארים אינו בהכרח אוטומט מינימלי, כי ייתכן שב- המצומצם A,DFA באוטומט לאחר הצימצום. ראינו קודם שתמיד ניתן להסיר את המצבים שאינם ניתנים להשגה ב- DFA שקול, שכל מצביו ניתנים להשגה. נציג אלגורים פשוט שעושה זאת: ולהישאר עם q, יחד עם אלגוריתם (הסרת מצבים שאינם ניתנים להשגה) קלט:. A = Q, Σ, δ, q, F DFA פלט: DFA שקול ל- A, שכל מצביו ניתנים להשגה. צעדים:. חשב את ) R q) לפי האלגוריתם לחישוב קבוצה זו..2 לכל מצב,q Q בדוק אם ), q R (q ואם לא, הסר מהגרף של את הצומת כל הקשתות הנוגעות בו. אם A הוא DFA מצומצם שכל מצביו ניתנים להשגה, אז A הוא בהכרח אוטומט מינימלי. את זה נוכיח במשפט הבא, עלי ידי כך שנראה ש- DFA מצומצם שכל מצביו ניתנים להשגה הוא בעצם האוטומט הקנוני של השפה שלו, אם נתעלם משמות המצבים באוטומט. כלומר DFA כזה יכול להיות שונה מהאוטומט הקנוני של השפה שלו רק בשמות המצבים. בכל פרט אחר, שני האוטומטים זהים. המשפט יוכיח גם את הטענה שלנו וגם את יחידות האוטומט המינימלי של שפה רגולרית. A A מעבר מ- DFA לאוטומט מינימלי שקול ל- נקרא מינימיזציה של A. 6

7 ז( אלגוריתם (מינימזציה של אוטומט) קלט:. A = Q, Σ, δ, q, F DFA פלט: DFA מינימלי שקול ל- A. צעדים:. הסר את המצבים שאינם ניתנים להשגה ב-, A לפי האלגוריתם הקודם. 2. הפעל את האלגוריתם לצמצום אוטומט על התוצאה של צעד. q F g(q) F יחידות האוטומט המינימלי מעל אותו א"ב. -DFA ים A = Q, Σ, δ, q, F A = Q, Σ, δ, q, F הגדרה: יהיו המקיימת את הדישות הבאות: g: Q Q A זהו פונקציה ל- A. איזומורפיזם מ- חד חד ערכית ועל. g..g (δ (q, )) = δ (g(q), ) : Σ ולכל q Q שומרת על מעברים, כלומר לכל g.2.g(q ) = q שומרת על המצב ההתחלתי, כלומר g.3 q: Q שומרת על מצבים סופים, כלומר עבור g 4..A אם קיים איזומורפיזם g מ- A ל- A A, A ורושמים איזומורפי ל- A. 2 אומרים ש- קל לראות כי היחס הוא יחס שקילות (על קבוצת כל ה- -DFA ים מעל א"ב נתון). שני אוטומטים A A הם איזומורפיים אם (ורק אם) הם זהים בכל הפרטים, פרט אולי לשמות המצבים. DFA משפט: (יחידות האוטומט המינימלי) יהי F A = Q, Σ, δ, q, מצומצם שכל מצביו ניתנים להשגה,.A A.L = L(A).δ(q, xz) F δ(q, yz) F Σ : z לכל.δ(q, z) = δ(p, z) לכל Σ :z.δ(δ(q, x), z) = (δ(q, y), z) לכל Σ :z הם מצבים שקולים באוטומט A (אין מילה מפרידה ביניהם), היות A הוא אוטומט p q מכאן ש-, כנדרש. q = p מצומצם (אין בו מצבים שונים ושקולים) נסיק כי מתקיים g L(q).x לפי הגדרת אז q Q [x] Q. ניקח.q = δ(q, x) (ii) תהי 7 ותהי אזי: הוכחה: לפי ההגדרה A = Q, Σ, δ, q, F כאשר:, (Σ על R קבוצת מחלקות השקילות של היחס (זוהי Q = Σ R = { [x] x Σ }.F = { [x] x L } q, δ ([x], ) = [x] נתונה על יד: δ : Q Σ Q = [ε] ראינו קודם שזה DFA מוגדר היטב וש-.L(A) = L כדי להוכיח את המשפט, נגדיר פונקציה :g Q Q על ידי: [x] g(q) = כאשר x היא מילה (כלשהי).(δ(q Σ בשפת המצב L(q).א x היא מילה ב- שמקיימת, (x = q נשים לב כי היות וכל מצבי האוטמט A ניתנים להשגה,הרי לכל מצב q Q קיימת מילה L(q) x, אבל צריך עדיין להראות ש- g(q) מוגדר היטב ואינו תלוי בבחירת המילה L(q). x לשם כך, נניח כי L(q) x, y ונראה כי [y],[x] = כלומר נראה כי.xR y ואכן:.δ(δ(q :z Σ, x), z) = (δ(q, y), z) לכל.δ(q, x) = δ(q, y) x, y L(q).δ(q z Σ.δ(q : z Σ לכל yz), xz) = δ(q, לכל : F, xz) F δ(q, yz) Σ,xR.xz L yz L : z כנדרש. y לכל.A,g: Q Q ונשאר להראות כי g היא איזומורפיזם מ- A ל- אז יש לנו פונקציה מוגדרת היטב לשם כך עלינו להראות כי: (i) g חח"ע, (ii) g על, (iii) g שומרת על מעברים, (vi) g שומרת על g המצב ההתחלתי (v) שומרת על מצבים מקבלים. ואכן: (i) יהיו q, p Q ונניח כי g(p).g(q) = נראה כי.q = p לשם כך נבחר שתי מלים L(q) x, q = δ(q, (x ניתנים להשגה). אז A יש מילים כאלה כי כל המצבים של (כאמור, y L(p) y), p = δ(q, ולפי הגדרת g מתקיים [x] g(q) = [y].g(p) = כעת:..xz L yz L לכל Σ : z. xr L y.[ x] [ y] g(q) = g(p)

8 [x].g(q) = על כן g היא על.,x L(q) ואכן, נבחר מילה.g (δ(q, )) = δ (g(q), ) מתקיים: Σ ולכל q Q צ"ל כי לכל (iii) ונסמן ).p = δ(q, אז L(p) x (כי:.(δ(q, x) = δ(δ(q, x), ) = δ(q, ) = p לכן לפי הגדרת g והגדרת נקבבל: ),g δ(q, ) = g(p) = [x] = δ ([x], ) = δ (g(q), כנדרש. g(q ) = [ε]. = q מתקיים g ולכן לפי הגדרת,ε L(q ) הרי δ(q, ε) = q היות (iv) זה אומר ש- g שומרת על המצב ההתחלתי. q = δ(q.q F g(q) F ואכן, נבחר מילה L(q).x אז x), :q Q צ"ל שלכל (v) δ(q [x] F g(q) F, x) F x L [x].g(q) = כעת: הגדרת F q. זה מסיים את הוכחת המשפט. δ 8

Regular Expressions (RE)

Regular Expressions (RE) Regular Expressions (RE) ביטויים רגולריים עד כה דנו במספר מודלים חישוביים להצגת (או ליצור) שפות רגולריות וראינו שכל המודלים האלה הם שקולים מבחינת כוח החישובי שלהם. בסעיף זה נראה עוד דרך להצגת (או ליצור)

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 כתוב אוטומט דטרמיניסטי לשפות הבאות מעל הא"ב.Σ={,} א. *Σ. q, ב. q, ג. {ε}, q, q ד. } = 3 {w w mod, q, q,, ה. ''} {w w does not contin the sustring q 4 q 3 q q כתוב אוטומט דטרמיניסטי

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות: שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה נושאי הקורס 0.2 א"ב ומילים 0.3 שפות 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן?

הרצאה נושאי הקורס 0.2 אב ומילים 0.3 שפות 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן? הרצאה 1 0.1 נושאי הקורס 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן? בקורס זה נעסוק בבעיות חישוב הנקראות בעיות הכרעה. בהינתן קלט, אנו נבצע "חישוב" ובסופו נחזיר תשובה האם הקלט

Διαβάστε περισσότερα

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5 הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) ביטויים רגולריים הרצאה 5 המצגת מבוססת על ספרם של פרופ' נסים פרנסיז ופרופ' שמואל זקס, "אוטומטים ושפות פורמליות", האוניברסיטה הפתוחה, 1987. גרסה ראשונה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

שפות פורמאליות אוטומטים

שפות פורמאליות אוטומטים שפות פורמאליות אוטומטים תורת הקומפילציה אהרון נץ מבוסס על השקפים של עומר ביהם שמבוססים על שקפי הרצאה מהקורס אוטומטים ושפות פורמאליות בטכניון, פרופ' שמואל זקס 1 הנושאים שנעבור שפות פורמאליות מכונות/אוטומטים

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים

אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים מבוסס על תרגולים של מר גולדגביכט עומר, אוניברסיטת בר אילן 2012. שיעור 1 הגדרות: א"ב: אוסף סופי ולא ריק של סימנים/אותיות/תווים. נסמן אותו באות. דוגמאות: 9},... 1,,{0, {א,..,.

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

חלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, א"ב (.

חלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, אב (. תוכן עניינים תקציר מודלים חישוביים ערך יגאל הינדי 2 2 2 3 4 6 6 6 7 7 8 8 9 11 13 14 14 15 16 17 17 18 19 20 20 20 20 - האוטומט הסופי - אוטומט סופי דטרמניסטי 2 פרק - מושגים ומילות מפתח 2.1 - הגדרת אוטומט

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t.

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t. תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 פתרון שאלה 1 נזכר כי בגרף (E G, =,V) עבור שני קודקודים d(u, (v,u, v הוא אורך מסלול קצר ביותר מ u ל v. אם אין מסלול מ u ל.d(u, v) =,v נתונות שתי בעיות. בעיה א' מופע: גרף מכוון

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

A-PDF Merger DEMO : Purchase from to remove the watermark

A-PDF Merger DEMO : Purchase from  to remove the watermark A-PDF Merger DEMO : Purchase from wwwa-pdfcom to remove the watermark סוכם על ידי אבי שוע shuaav@gmalcom http://wwwcshujacl/~shuaav אני מקווה שהסיכומים יעזרו לכם ולעוד רבים טעויות אני (ואף אחד אחר) לא

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 חיים שחור סיכומי תרגולים של שאול אלמגור 21 ביוני 2012 תוכן עניינים 1 אוטומטים........................................................... 1 2 למת הניפוח......................................................

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים ושפות פורמליות מבוא לתורת החישוביות

אוטומטים ושפות פורמליות מבוא לתורת החישוביות אוטומטים ושפות פורמליות מבוא לתורת החישוביות ד ר סמי זעפרני מוקדש לזכרו של משה בנסל חבר, עמית, ומורה דרך מהדורה June 27,2.3 הקדשה הספר מוקדש לזכרו היקר של משה בנסל (955-2), אשר במהלך שלושים שנות עבודתו

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS כלליים שיטות חיפוש בבגרפים שיטה 1: חיפוש לרוחב S (readth irst Search) זמן: ) Θ( V + הרעיון: שימוש בתור.O שיטה 2: חיפוש לעומק S (epth irst Search) Θ( V + ) יהי =(V,) גרף כלשהו, V הוא צומת התחלת החיפוש.

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני גירסה 1.00 5.12.2002 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני מסמך זה הינו השני בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 חיים שחור סיכומי שיעורים של ד"ר גיא קינדלר 21 ביוני 2012 תוכן עניינים 2.................................................. אוטומטים ושפות רגולריות 1 3........................................................

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות סשה גולדשטיין, sashag@cs 20 ביוני 2011 תקציר הסיכום להלן מהווה תקציר של חומר הקורס ואיני נוטל עליו כל אחריות. אתם יכולים להיעזר גם בהקלטות השיעורים וכמובן בספר הלימוד.

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. 1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון גירסה 1. 11.11.22 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון מסמך זה הינו הראשון בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים מעל עצמים אינסופיים 67663

אוטומטים מעל עצמים אינסופיים 67663 אוטומטים מעל עצמים אינסופיים 67663 חיים שחור סיכומי הרצאות של אורנה קופרמן י"ח אדר תשע"ג (שעור 1) הערה 0.1 מי שמעוניין לסייע בשרטוט האוטומטים מתבקש לפנות אלי. בחישוביות דיברנו על אוטומטים ושפות רגולריות.

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות, אוטומטים ושפות מכונה סיכומי הרצאות

חישוביות, אוטומטים ושפות מכונה סיכומי הרצאות חישוביות, אוטומטים ושפות מכונה סיכומי הרצאות 6 ביוני 2011 מרצה: גיא קינדלר מתרגל: רועי פוקס סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes 1 תוכן

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 7

מודלים חישוביים תרגולמס 7 מודלים חישוביים תרגולמס 7 13 באפריל 2016 נושאי התרגול: מכונת טיורינג. 1 מכונת טיורינג נעבור לדבר על מודל חישוב חזק יותר (ובמובן מסוים, הוא מודל החישוב הסטנדרטי) מכונות טיורינג. בניגוד למודלים שראינו עד

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים I הרצאות 5 1 מנהלות......................................... 5 2 חבורה יסודית...................................... 5 2.1 הגדרות ועובדות

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

מבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע

מבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע מבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע סמסטר ב' התשס"ט, מועד ב' תאריך: 1.9.2009 מרצים: ד"ר מירי פרייזלר, פרופ' בני שור מתרגלים: יהונתן ברנט, רני הוד מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני תחילת

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018

לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018 לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018 1 מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1 גאומטריית המישור אוקלידס

Διαβάστε περισσότερα

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב.

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב. אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 אתר הקורס.clickit3 מרצה : בני מוניץ הציון: מבחן סופי: 80% שיעורי בית 20% ואפשרות לבוחן אמצע 20% מגן גרפים הגדרה: תהי V קבוצה סופית לא ריקה. ותהי E קבוצה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

אימות חומרה תוכנה אלי דיין 1 6 בדצמבר

אימות חומרה תוכנה אלי דיין 1 6 בדצמבר אימות חומרה תוכנה אלי דיין 1 6 בדצמבר 2013 1 תקציר מסמך זה יביא את סיכומי השיעורים מהקורס אימות חומרה תוכנה, שהועבר על ידי פרופ אלכסנדר רבינוביץ בסמסטר א בשנה ל תשע ד. תוכן עניינים

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 אוניברסיטת בר אילן סמסטר א תשע ו תוכן העניינים 3 מבוא.............................. 3 מבוא לתורת

Διαβάστε περισσότερα

נספח לפרק 10 דוגמא לאנליזה של מכונת מצבים ננסה להבין את פעולתה של מ כונת המצבים הבאה : Input X. q 0 q 1. output D FF-0 D FF-1. clk

נספח לפרק 10 דוגמא לאנליזה של מכונת מצבים ננסה להבין את פעולתה של מ כונת המצבים הבאה : Input X. q 0 q 1. output D FF-0 D FF-1. clk נספח לפרק 10 דוגמא לאנליזה של מכונת מצבים ננסה להבין את פעולתה של מ כונת המצבים הבאה : Input X D FF-0 q 0 q 1 Z D FF-1 output clk 424 מצב המכונה מוגדר על ידי יציאות רכיבי הזיכרון. נסמן את המצב הנוכחי q

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 רשימות בקורס לוגיקה למדעי המחשב, סמסטר אביב תשע"ה, אוניברסיטת תל אביב. טעויות קורות אשמח שתעדכנו אותי עליהן ושאתקנן. אמיר שפילקה shpilka@post.tau.ac.il שרייבר

Διαβάστε περισσότερα

מכונת טיורינג אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת)

מכונת טיורינג אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת) מכונת טיורינג לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת) דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי מסומנת) סגירות:איחוד,שרשור,היפוך, חיתוך עם שפה רגולרית אוטומט סופי דטרמיניסטי שפות רגולריות סגירות:חיתוך,איחוד,שרשור,משלים,היפוך

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2 סריקה לעומק רכיבים אי-פריקים רכיבים קשירים היטב מיון טופולוגי פרק 3 ב- Kleinberg/Tardos פרק 3.3-5 ב- al Cormen et קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות: ל- t? האם יש מסלול מ- s קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות:

Διαβάστε περισσότερα

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב יובל אדם Young man, in mathematics you don t understand things. You just get used to them. - John von Neumann תוכן עניינים 2 פרולוג....................................

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה 12 בפברואר 2017 מבוא לתורת החבורות מהדורה 3.931 הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס "אלגברה מופשטת 1" לתלמידי מתמטיקה, 88-211, באוניברסיטת בר אילן. הקורס

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα