NUKLEUS. 1) STRUKTURA (hromozomske teritorije, nukleusne organele) 2) FUNKCIJA (formiranje nukleusnih prekursora za sintezu proteina u citoplazmi)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "NUKLEUS. 1) STRUKTURA (hromozomske teritorije, nukleusne organele) 2) FUNKCIJA (formiranje nukleusnih prekursora za sintezu proteina u citoplazmi)"

Transcript

1 NUKLEUS 1) STRUKTURA (hromozomske teritorije, nukleusne organele) 2) FUNKCIJA (formiranje nukleusnih prekursora za sintezu proteina u citoplazmi) Saznanja o ćelijama do kojih se došlo posredstvom novih citoloških metoda i kombinacijom citoloških sa metodima molekularne biologije, biohemije, strukturne biologije bacila su potpuno novo svetlo na organizaciju nukleusa kao ćelijske organele. Dosadašnja saznanja predstavljala su nukleus kao najvažniju, centralnu organelu ćelije, osnovni kriterijum po kome se eukarioti razlikuju od prokariota zaduženu za pakovanje dugačkih molekula DNK koji u okviru svake vrste čine genom. Takođe, nukleus je izdvajan kao kompartment ćelije u kome se odigravaju esencijalni procesi za ćeliju: (1) transkripcija molekula RNK i biogeneza preribozoma u smislu opsluživanja translacione mašinerije (sinteze proteina) u citoplazmi, i (2) replikacije/reparacije molekula DNK u smislu održavanja stabilnosti, umnožavanja i diseminacije genoma tokom života ćelije. Danas se uviđa da je nukleus po značaju za ćeliju potpuno ravnopravan sa ostalim organelama. Ipak, tokom života ćelije (ćelijski ciklus sisarske ćelije) nukleus ima potpuno»podeljenu«organizaciju: interfazni je orjentisan na formiranje prekursora citoplazmatične translacione mašine, a mitotički na pravilnu segregaciju genoma i održanje funkcije ćerki ćelija. Kako je 90 % ćelija adultnog sisarskog organizma u stanju diferenciranosti (Go faza ćelijskog ciklusa) i nema mitotički potencijal (nikada ne prolazi ostale faze ćelijskog ciklusa i mitozu) može se, citološki, razmatrati organizacija interfaznog nukleusa diferencirane ćelije u kontekstu sinteze prekursora potrebnih za translaciju u citoplazmi, tj. sintezu proteina. Interfazna, diferencirana ćelija ima citološke zadatke da nasledni materijal (diploidna garnitura/homologi hromozomi) spakuje u nukleus dijametra do 10 mikrometara, a da pri tome aktivni geni budu pristupačni za transkripciju (irnk, rrnk, trnk), obradi irnk, rrnk, i da obrađen, upakovan materijal irnk, trnk i preribozoma»transportuje«u citoplazmu. 1

2 Struktura interfaznog nukleusa diferencirane ćelije Kako je to bilo nekad Struktura interfaznog nukleusa proučavana pola veka na elektronskim mikrografijama bila je identična onoj na nivou svetlosnog mikroskopa: unutrašnjost nukleusa je iz hromatina koji se po bojenim karakteristikama»deli«na tamni- heterohromatin i svetli-euhromatin i strukturno uobličenog nukleolusa. Nikakva pravilnost u rasporedu genoma nije bila uočljiva iako se znalo za mitotičke hromozome. Naime, jedina citološki uočljiva organizacija genoma ćelije postojala je u mitozi. U mitozi ćelija sisara (otvorena ortomitoza) nukleus gubi svoju interfaznu organizaciju, nukleusni ovoj vizuelno nestaje i hromatin se transformiše (kondenzacijom) u set strukturno uobličenih mitotičkih hromozoma definisane strukture (označavaju se i kao metafazni hromozomi jer se najbolje vide i proučavaju u metafazi mitoze). Svaka vrsta ima tačno određeni broj mitotičkih hromozoma. Citogenetičke studije metafaznih hromozoma pokazuju stalnost njihove organizacije: na krajevima hromozoma su regioni koji se označavaju kao telomere. Centromera je primarno suženje i u odnosu na njen položaj metafazni hromozomi se klasifikuju kao metacentrični, telocentrični, akrocentrični itd. Telo hromozoma pruža se od centromere ka telomerama, i u odnosu na položaj centromere»deli«se na kraći i duži krak. Neki hromozomi (kod čoveka je pet takvih hromozoma) poseduju i sekundarno suženje. Bojenje Gimsa metafaznih hromozoma»otkrilo«je još jednu stalnu strukturu: tamne (G) i svetle (R) trake (pruge) na telu hromozoma. Biohemijskim i molekularno-biološkim metodima utvrđeno je da su svetle trake regioni bogati G-C parovima (aktivni geni, rano replicirajući geni DNK), dok su tamne trake bogate A-T parovima (heterohromatin,»besmisleno ponavljajuće«sekvence, kasno replicirajući regioni). Sa punim pravom G i R trake mogle su se poistovetiti sa hetero-, tj. eu-hromatinom, respektivno. Ovo otkriće postavilo je centralno citološko pitanje:»da li ovakva organizacija postoji i u interfaznom jedru, odnosno da li postoji interfazni hromozom kao organizacioni kontrapunkt mitotičkog hromozoma«? Kako je to danas: organizacija interfaznog hromozoma Interfazni hromozom zaista poseduje sve organizacione domene mitotičkog, metafaznog hromozoma (telomere, centromere, sekundarna suženja, G i R trake) koji su na specifičan način uobličeni u nukleusu. Njegova organizacija studirana je na modelu hromozoma limfocita i HeLa ćelija (a-g). 2

3 Svaki od homologih interfaznih hromozoma okupira u nukleusu diskretnu teritoriju koja se naziva hromozomskom teritorijom (najčešće nisu lokalizovani jedan pored drugog). Većina hromozomskih teritorija lokalizovana je uz nukleusni ovoj iako postoje i centralno pozicionirani hromozomi. (a) Interfazni hromozom limfocita broj 18 leži na nukleusnoj lamini, telomerama je vezan za nukleusni ovoj (preko lamine i specifičnih receptora unutrašnje membrane nukleusnog ovoja, vidi *Organizacija nukleusne lamine). Telo hromozoma u vidu hromozomske teritorije radijalno se pruža ka centru nukleusa i»naslanja«na nukleolus. Površina hromozomske teritorije oivičava interhromozomski prostor i nije glatka jer na sebi nosi brojne duboke uvrate i izvrate sa hromatinsime petljama (aktivni geni su na površini hromozomske teritorije). Celokupni interfazni hromozom upakovan je u tu strukturuhromozomsku teritoriju- pomoću nukleoskeleta. Sekvence DNK hromozoma kojima se vezuje za nukleoskelet specifične su po broju i rasporedu za svaki od hromozoma. (b) Centromera je u slučaju hromozoma 18 humanog limfocita prikačena za nukleusnu laminu. To je transkripciono inaktivan domen. Centromera (a kod kvasca i telomere) ima sposobnost gašenja gena: aktivacijom geni se udaljuju od centromere, a gašenjem joj se približavaju. (c) Stupanj kondenzacije je različit u okviru jedne hromozomske teritorije. Konstitutivni heterohromatin se nalazi uz nukleusnu laminu, delimično u unutrašnjosti hromozomske teritorije (srž) i kao nukleolusni heterohromatin (na vrhu). Konstitutivni euhromatin je lokalizovan na površini hromozomske teritorije. Ostali, veći deo hromozoma u stanju je dinamičke izmene između fakultativnog hetero- i euhromatina (ako je potrebna transkripcija napr. gena 23 koji je u unutrašnjosti hromozomske teritorije i visoko kondenzovan, heterohromatičan doći će do njegove aktivacije i on će rasplitanjem preći u euhromatin i pomeriti se ka površini teritorije, i obrnuto). (d) Raspored regiona interfaznog hromozoma bogatih A-T i G-C parovima, odnosno regiona siromašnih genima/bogatih genima je relativno stalan unutar hromozomske teritorije. Genima-siromašni hromatin lociran je na periferiji, u bliskom kontaktu sa nukleusnom laminom u nivou nukleusnog ovoja i infoldacijom lamine u srž teritorije kao i oko nukleolusa. Genima-bogati hromatin lociran je između. (e) Funkcioni domeni interfaznog hromozoma su petljaste strukture sa kojih se aktivno transkribuje. Interhromozomski kompartment nukleusa (interhromozomski kanali)»prihvata«transkripte, obrađuje ih i transportuje u formi multimernih kompleksa splajsozoma. 3

4 Dakle, osim petlje kao strukturne forme u nukleusu se susreću fibrili i globule, odnosno granule. Njihovo formiranje, pozicija i pokretljivost duboko reflektuju funkciju nukleusa. Specifično organizovane hromozomske teritorije Ćelije ženki sisara poseduju u genomskoj garnituri dva X-hromozoma od koji je samo jedan aktivan i organizovan u opisanu hromozomsku teritoriju. Drugi X-hromozom inaktiviran je, heterohromatizovan i formira tzv. Barovo telo (bukalna sluzokoža) ili»bubanjski štapić«(heterofilni granulocit). Nukleusne organele Hromatin nije jedina strukturno uočljiva komponenta nukleusa. Postoji čitav niz strukturno uobličenih domena, nukleusnih tela koja se sa pravom mogu označiti kao nukleusne organele. Iako organele nisu uspostavljene membranom specifična organizacija nukleoskeleta i pridruženih proteina»odvaja«ih funkciono od ostatka nukleusa. Nukleolus je najranije uočena i najbolje studirana organela nukleusa.»nastaje«iz oblasti sekundarnog suženja (citološki se označava kao organizator nukleolusa, B. McClintock, 1934) metafaznih hromozoma u telofazi uporedo sa restauracijom interfaznog nukleusa. Može biti pozicioniran i centralno i periferno, uz nukleusni ovoj. Broj nukleolusa varira (1-5), ali je njihova površina u odnosu na nukleus konstantna (veći broj sitnijih nukleolusa ili manji broj krupnijih). Odlikuje se bazofilijom na nivou svetlosne mikroskopije uočava se kao plava granula. Pod elektronskim mikroskopom uočavaju se tri domena, organizovana i obojena na specifičan način. Bledi,»prazni«ili fibrilarni kružni regioni u centru označeni su kao pars chromosoma. To je region hromozoma u kome su smešteni višestruko ponovljeni ribozomalni geni. Oko njih se koncentrično raspoređuju tamne, guste oblasti od tankih fibrila (koji dominiraju) i sitnih granula pars fibrosa. A oko njih se lepezasto, zrakasto pruža pars granulosa, koju čine mnogobrojne krupne granule. U zavisnosti od broja i pozicije hromozoma koji poseduju sekundarno suženje u interfaznom nukleusu mogu se formirati različite morfološke forme nukleolusa: prstenasti ili mrežasti nukleolusi. Ne radi se o različitim tipovima nukleolusa već o razlici u broju i rasporedu ribozomalnih gena u pars chromosoma koji formiraju jednu ili više transkripciono aktivnih petlji. U slučaju jedne petlje, vizuelno će se formirati prstenasti, a u slučaju više petlji mrežasti nukleolus. Strukturnu»podršku«organizaciji nukleolusa daje specifičan nukleoskelet i protein nukleolin. 4

5 Nukleolusu su pridružene dve nukleusne organele: perinukleolarni (perinukleolusni) kompartment, koji je»prilepljen«uz nukleolus i SAM68. Ima ih od 1-10, i varijabilne su veličine (0.25-1μm). Kahalovo (Kajalovo) telo ima ih od 1-10, loptastog su oblika (0.1-1μm). Njima se najčešće pridružuju tzv. blizanac telo (gemini) i seckajuće telo. Broj im je isti kao i broj Kahalovih tela (blizanci) ili je upola manji od njih (seckajuće telo). U nekim ćelijama uz nukleusnu laminu uočava se specifično loptasto telo-pcg telo (to je region gde je centromera prikačena za nukleusni ovoj-pericentromerni heterohromatin). Ima ih 2-100, veličine μm. PML telo se uočava u ćelijama obolelih od promijeloidne leukemije. Ima ih od 10-30, veličine od 0.3-1μm. Pored loptastih, u nukleusu postoje i kompartmenti koju su nukleusne pege (tačke, mrlje, eng. speckles), perihromatinske fibrile, perihromatinske granule i interhromatinske granule. Nukleusne pege su brojne, ima ih 25-50, citološki se javljaju u dve forme: klaster ( μm) i granule (20-25nm). Perihromatinski fibrili i perihromatinske granule, kako im ime kaže, nalaze se na periferiji hromatina, odnosno hromozomskih teritorija i to: fibrili svuda oko hromozomske teritorije, a granule su uglavnom pojedinačne i uz nukleusne pore. Fibrili su različitih dužina i debljina, a granule su dijametra 25-30nm sa»praznim«oreolom. Interhromatinske granule lokalizovane su u interhromozomskim prostorima, veličine oko 20nm, najčešće su u klasterima koji»odgovaraju«mestima lokalizacije nukleusnih pega. Zapravo, kada se posmatra pod svetlosnim mikroskopom vide se pega, a pod elektronskim mikroskopom su interhromatinske granule. Funkcija nukleusnih organela Nukleus interfazne diferencirane ćelije sintetiše, obrađuje i transportuje u citoplazmu irnk, trnk, preribozome i male ribonukleoproteinske komplekse kao SRP (vidi ***Poliribozomicitoplazmatični i granuliranog retikuluma). Nukleusne organele su zapravo dinamične oblasti nukleusa koji učestvuju i kompartmentalizuju ove procese. Kako? Transkripcija rrnk, trnk i biogeneza ribozoma Da je nukleolus vitalan za život ćelije uočio je još Kasperson god. U nukleolusu se odigrava sinteza rrnk i trnk kao i asambliranje preribozoma. U pars chromosoma nalaze se mnogo puta ponovljeni geni za rrnk, koji se prepisuju policistronski u jedan dugačak 5

6 primarni transkript- 45 S rrnk. Kako se sintetiše, 45 S (forma fibrila) se istovremeno udaljava od pars chromosoma ka pars fibrosa. U pars fibrosa on će biti iseckan na tri rrnk koje ulaze u sastav ribozomalnih subjedinica (18 S, 28 S i 5.8 S rrnk), savijen u prostoru i udružen sa proteinima, dajući sukcesivno preribozom. Njima će se pridružiti 5 S rrnk koja se sintetiše u oblasti euhromatina. Zato se u pars fibrosa vide fibrile (međustupnjevi seckanja, 18 S, 28 S i 5.8 S rrnk) i sitne granule (splajsozomi i asamblirajući preribozomi). U pars granulosa dospevaju gotovo formirani preribozomi na finalnu doradu (kompletiranje ribozomalnih proteina). Zato su regioni nukleolusa zapravo»proces praćen na putu«. Transkripcija i obrada irnk Transkripcija irnk odigrava se na petljastim domenima hromozomskih teritorija. Nasintetisanim irnk molekulima pridružuju se proteini koji će ih štititi i obrađivati tokom vođenja do nukleusnih pora kroz interhromozmske hodnike. Obrađivanje primarnog transkripta irnk prilično je složen proces koji uključuje isecanje introna, povezivanje egzona, formiranje specifičnih krajeva itd. Zatim se obrađene irnk kompleksovane sa proteinima transportuju kroz kompleks nukleusne pore. Nukleusne organele su vizuelni «dokaz«kompartmentalizacije transkripcije, obrade irnk i preribozoma u nukleusu i transporta do kompleksa nukleusnih pora Sa citološkog gledišta opisana priča izgleda ovako: perihromatinski fibrili (primarni transkripti irnk) pomeraju se iz oblasti periferije hromozomskih teritorija u unutrašnjost interhromatinskih prostora i postupno obrađuju (interhromatinske granule u nukleusnim pegama- splajsozomalna ostrvca) i»postaju«perihromatinske granule koje su pristigle u oblast nukleusnih pora. A šta sa ostalim, brojnim nukleusnim organelama? One su depoi svih proteina, enzima (pol I, II i III), transkripcionih faktora, splajsozomalnih faktora i dr., koji su neophodni za odigravanje gore opisanih procesa. Tako se Kahalovo telo smatra najvećim depoom pobrojanih faktora koji se u njemu asambliraju u komplekse- transkrptozome ili splajsozome i kao preformatirani kompleksi»prilaze«mestima delovanja. Nepostojanje membrana oko nukleusnih organela može se objasniti upravo zahtevom za brzom izmenom molekularnih kompleksa i molekula između domena. Jedino što se citološki u interfaznom nukleusu ne može uočiti u opisanom putu jeste transkripcija (najverovatnije usled brzine procesa, i maskiranosti transkriptozomima i pratećim proteinima). Ovaj proces moguće je citološki studirati in vitro, tako na elektronmikrografijama uočavamo strukturu»božićno drvce«- citološki dokaz sinteze i obrade 6

7 primarnih transkripata irnk (odn. rrnk): RNK-polimeraza kao niz granula na niti DNK, niz rastućih fibrila u jednom smeru (rastući primarni transkript), a na njihovim vrhovima granulesplajsozomi. Ipak, u živom svetu postoje ćelije koje poseduju posebne, specijalizovane hromozome koji su usled svoje»preuveličane«funkcije sami strukturno»preuveličani«tako da je moguće uočiti procese transkripcije i in vivo. Specijalizovani hromozomi Četkasti (petljasti) hromozomi su mejotički spareni hromozomi u oocitama, spojeni hijazmama (4 molekula DNK). To su džinovski hromozomi, dobro se vide pod svetlosnim mikroskopom, poseduju džinovske petlje i ekstremno su aktivni u transkripciji (oocite imaju veliku potražnju za preribozomima). Politeni, višenitni, paf-hromozomi (puff) nalaze se u nukleusima pljuvačnih žlezdi Drosophila. Jako su zadebljali i na njima se uočavaju svetle i tamne trake (potpuno liče na zadebljale metafazne hromozome) i balončići odn. pafovi sa leve i desne strane u nivoima pojedinih gena. Izgled i višenitnost hromozoma potiču od mnogostruke duplikacije DNK, (funkciona poliploidija). Interesantno je da replikacija DNK duž hromozoma nije homogena, odnosno telo hromozoma je višenitno, dok je nukleolus loptast, sa mnogo manje niti. Naime, strukturni geni nalaze se u jednoj kopiji u telu hromozoma, a u nukleolusu ribozomalni geni su višestruko ponovljeni, tako da se različitim stepenom replikacije nukleolusa i tela hromozoma kompenzuje razlika u»dozi«gena. U nivou pafova dominantne su petlje (mesta aktivne transkripcije) Balbijanijevi prstenovi, sa kojih se transkripcijom formiraju Balbijanijeva telašca (irnk) sa proteinima. Transport translacione mašine u citoplazmu kroz kompleks pore Kompleks nukleusne pore je dijametra 9nm. Sve što je veće od toga transportuje se aktivnim transportom pomoću regulatornih faktora. Regulatorni faktori prepoznaju s jedne strane to što želimo da transportujemo, i sa druge strane- kompleks pore. (Citološki je ispravnije reći transport kroz kompleks nukleusne pore, a ne nukleo-citoplazmatski transport). Da li se produkti transkripcije- irnk i rrnk transportuju odvojeno ili zajedno kroz kompleks pore? Stara citološka teorija informozoma postulira da irnk iz nivoa euhromatina prolazi kroz nukleolus gde vezuje»svoje«preribozome i trnk čineći funkcioni paket. Citološki, u kontekstu strukture nukleusa, deluje»rasipnički«da ćelija sintetiše irnk, rrnk i trnk na 7

8 različitim mestima, da one izlaze kroz različite komplekse pora, a onda u citoplazmi nasumično formiraju poliribozome. Balbijanijevi prstenovi, tj. Balbijanijeva telašca su citološki dokaz da kroz kompleks nukleusne pore prolaze informozomi (raspliće se Balbijani telašce, prateći proteini ostaju u nukleusu, pora se širi, irnk prelazi u citoplazmu, pri čemu se odmah asamblira sa već prisutnim ribozomima u poliribozome i translacija odmah započinje). Signali za smer transporta kroz kompleks nukleusne pore- nukleus-lokalizujuša sekvenca (NLS) i nukleus eksportna sekvenca (NES) Šta određuje u kom smeru će se dešavati transport kroz poru? (nukleus i citoplazma aktivno komuniciraju). Smer određuju regulatorni proteini: importini (unose u nukleus) i eksportini (iznose iz nukleusa). Najpoznatije klase su a i ß importin, i eksportin1. Sistem prepoznavanja određeni domeni proteina koji se transportuje kroz kompleks pore od 1-8 aminokiselinasu- nukleus lokalizujući signal, (NLS sekvenca) i nukleus eksportna sekvenca (NES). Importin se vezuje za NLS, dok eksportin prepoznaje NES. Citoplazmatični i nukleusni domeni kompleksa pore prihvataju transportne komplekse, pora se širi i omogućava transport. Širenje pore omogućava vezivanje importina ili eksportina za nukleoporine kompleksa pore, jer dovodi do»otpuštanja«određenog broja nukleoporina. Kako se importini i eksportini transportuju zajedno sa molekulima neophodno je njihovo vraćanje u matični kompartment (nukleus ili citoplazma). Ran-GTP azni sistem vrši vraćanje importina/eksportina tako što postoji u dve forme Ran-GTP i Ran-GDP koji predominantno imaju različitu distribuciju u nukleusu, odnosno citoplazmi i to je»sila«koja ih tera da se vraćaju u matični kompartment, noseći pri tome i importine/eksportine. Prstenaste lamele Poseban način transporta translacionih mašina u citoplazmu jesu prstenaste lamele. To su paketi paralelno poređanih membrana organizovanih kao nukleusni ovoj sa dvema membranama, cisternom i porama, jer i potiču od njih. Naime, u slučaju kada ćelija ima izrazitu potrebu za sintezom proteina i to na granulisanom retiklulumu, nukleus je prinuđen da osim informozoma citoplazmi transportuje i membrane. Ti paketi membranskih lamela sukcesivno sazrevaju u granulirani endoplazmin retikulum. Sadržaj nukleusnih pora transformiše se u poliribozome, membrane fuzionišu i formira se sistem endomembrana za sintezu proteina. 8

9 Sinteza proteina odigrava se u različitim kompartmentima ćelije Iako se sinteza proteina na modelu poliribozma školski studira u citoplazmi ili na membranama endoplazminog retikuluma (granulirani endoplazmin retikulum), u ćeliji postoje i drugi kompartmenti na i u kojima se odigrava translacija. Tako, mitohondrije poseduju sopstvene ribozome i vrše translaciju u matriksu, poliribozomi se mogu prikačiti i za spoljašnju membranu nukleusnog ovoja, ali i sam nukleus može vršiti sintezu proteina (procenjuje se na 10-15% ukupne sinteze proteina u ćeliji). 9

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Organele života i smrti

Organele života i smrti MITOHONDRIJE Organele života i smrti OTKRIĆE MITOHONDRIJA 1857. Albert Kolliker uređeni nizovi granula u mišićnim ćelijama 1893. Richard Altman bioblasti vrsta bakterija? 1. menjaju oblik 2. umnožavaju

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

REGULACIJA EKSPRESIJE GENA KOD EUKARIOTA TRANSKRIPCIONI FAKTORI. Doc. dr Snežana Marković

REGULACIJA EKSPRESIJE GENA KOD EUKARIOTA TRANSKRIPCIONI FAKTORI. Doc. dr Snežana Marković REGULACIJA EKSPRESIJE GENA KOD EUKARIOTA TRANSKRIPCIONI FAKTORI Doc. dr Snežana Marković Institut za biologiju i ekologiju Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Kragujevcu REGULACIJA EKSPRESIJE

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

NIVOI ORGANIZACIJE I EKSPRESIJE GENOMA

NIVOI ORGANIZACIJE I EKSPRESIJE GENOMA NIVOI ORGANIZACIJE I EKSPRESIJE GENOMA ANIMACIJE!!! REPLIKACIJA https://www.youtube.com/watch?v=tnkwgcfphqw TRANSKRIPCIJA https://www.youtube.com/watch?v=jqiwwjqf5d0 TRANSKRIPCIJA I TRANSLACIJA https://www.youtube.com/watch?v=-k8y0atkkai

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

METABOLIZAM I REGULACIJA HISTONSKIH IRNK "ŽIVOT

METABOLIZAM I REGULACIJA HISTONSKIH IRNK ŽIVOT METABOLIZAM I REGULACIJA HISTONSKIH IRNK "ŽIVOT BEZ POLI-A REPA" Histoni su primarne proteinske komponente hromatina. Na početku se smatralo da su uglavnom uključeni u pakovanje DNK, odnosno da su važni

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

transkripcija Matrica i enzimi Transkripcija Sličnosti između replikacije i transkripcije Razlike između replikacije i transkripcije

transkripcija Matrica i enzimi Transkripcija Sličnosti između replikacije i transkripcije Razlike između replikacije i transkripcije Transkripcija Sinteza RNK molekula. DNK lanac služi kao matrica za sintezu RNK. Transkripcija Tip RNK molekula Ribozomalna RNK (rrnk) Male RNK (trnk; snrnk; 5S rrnk; scrnk; mirnk ) Informaciona RNK (irnk

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Regulacija ekspresije gena kod prokariota

Regulacija ekspresije gena kod prokariota Regulacija ekspresije gena kod prokariota Bakterije Jednoćelijski organizmi koji nemaju jedro i druge organele. Geni u najvećem broju slučajeva ne poseduju introne i većina gena organizovana je u operone.

Διαβάστε περισσότερα

BANKA PITANJA IZ BIOLOGIJE. proteini. 3. Koji se deo složenog enzima hemijski menja u toku reakcije: 4. Apoenzim i koenzim zajedno čine:

BANKA PITANJA IZ BIOLOGIJE. proteini. 3. Koji se deo složenog enzima hemijski menja u toku reakcije: 4. Apoenzim i koenzim zajedno čine: BANKA PITANJA IZ BIOLOGIJE citologija proteini 1. α-heliks je pojam koje se odnosi na strukturu proteina. 2. Broj polipeptidnih lanaca kod složenih proteina definiše: 3. Koji se deo složenog enzima hemijski

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Biohemija nukleinskih kiselina. Genetska informacija

Biohemija nukleinskih kiselina. Genetska informacija Biohemija nukleinskih kiselina Genetska informacija deoksiribonukleinske kiseline (DNK) ribonukleinske kiseline (RNK) DNK je nosilac naslednih informacija u ćeliji, dok RNK učestvuju u prenošenju tih informacija

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Molekularna biologija prokariota

Molekularna biologija prokariota Molekularna biologija prokariota I Molekularne osnove procesa: Čuvanja i prenošenja genetičke informacije u ćeliji Regulacije metabolizma - ekonomičnost ćelije i brzo prilagođavanje na uslove sredine -

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Struktura nukleoida E. coli. a) u izolovanom nespiralizovanom stanju. b) hromozom podeljen u nekoliko petlji povezanih malim RNK molekulima.

Struktura nukleoida E. coli. a) u izolovanom nespiralizovanom stanju. b) hromozom podeljen u nekoliko petlji povezanih malim RNK molekulima. PRINCIPI GENETIKE 8 Euhromatin i heterohromatin. Struktura i funkcija hromozoma. Genetičke osnove deobe ćelija. Ponašanje hromozoma u mitozi i mejozi. Vanjedarno nasleđivanje. Organizacija genoma mitohondrija

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα