Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1"

Transcript

1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76

2 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X pridružuje jedinstveni element y Y. Kraće zapisujemo f : X Y ili y = f (x). Skup X nazivamo područje definicije (domena) funkcije f, oznaka D f. Skup Y je kodomena funkcije f, a f (X ) = R f je skup vrijednosti (podskup kodomene). Graf funkcije je skup G f koji čine točke (x, f (x)) za x D f, G f = {(x, y) : y = f (x), x D f }. 2 / 76

3 Zadavanje funkcija Funkcije možemo zadati: analitički (zakonom pridruživanja), npr. f (x) = 3x 2 + 4x 2 implicitno, npr. x 2 + y 2 = 1 grafički tablično 3 / 76

4 Svojstva funkcija Pretpostavimo da interval I leži u domeni funkcije f. Kažemo da funkcija f strogo raste na intervalu I ako za sve x 1, x 2 I vrijedi x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ). raste na intervalu I ako za sve x 1, x 2 I vrijedi x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). strogo pada na intervalu I ako za sve x 1, x 2 I vrijedi x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ). pada na intervalu I ako za sve x 1, x 2 I vrijedi x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). 4 / 76

5 Svojstva funkcija Funkcija je konstantna na intervalu I ako za sve x 1, x 2 I vrijedi f (x 1 ) = f (x 2 ). Padajuće ili rastuće funkcije zovemo monotonim funkcijama. Funkcija f je ograničena ako postoje brojevi m i M za koje vrijedi m f (x) M, x D f. Funkcija f je parna ako i samo ako vrijedi f ( x) = f (x), x D f. Graf parne funkcije je simetričan obzirom na y-os. 5 / 76

6 Svojstva funkcija Funkcija f je neparna ako i samo ako vrijedi f ( x) = f (x), x D f. Graf neparne funkcije je simetričan s obzirom na ishodište. Za funkciju f kažemo da je periodična ako postoji broj T > 0 takav da za sve x D f vrijedi f (x) = f (x + T ). Broj T naziva se period funkcije f. Najmanji pozitivni broj T za koji vrijedi gornja relacija naziva se temeljni period. 6 / 76

7 Kompozicija funkcija Kompozicija funkcija f : X Y i g : W Z, gdje je R f W, je funkcija h : X Z definirana s h(x) = g(f (x)). Ponekad pišemo: h = g f. Vrijedi: 1. Kompozicija funkcija nije komutativna operacija, f g g f. 2. Kompozicija funkcija je asocijativna operacija, h (g f ) = (h g) f. 7 / 76

8 Inverzna funkcija Funkcija f : X Y je: injekcija ako vrijedi: x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ), za sve x 1, x 2 D f surjekcija ako je R f = Y, odnosno za svaki y Y postoji x X takav da je f (x) = y. bijekcija ako je injekcija i surjekcija Primjer bijekcije je identiteta i x : X X definirana sa i x (x) = x, za svaki x X. Neka je f : X Y bijekcija. Tada postoji funkcija g : Y X takva da vrijedi: g f = i x i f g = i y, gdje su i x, i y identitete. Funkcija g je jedinstvena i zovemo je inverzna funkcija funkcije f, oznaka f 1. 8 / 76

9 Računanje inverzne funkcije Inverznu funkciju funkcije f nalazimo sljedećim postupkom: 1. Jednadžbu y = f (x) riješimo po nepoznanici x. 2. Ako postoji jedinstveno rješenje te jednadžbe, onda funkcija ima inverznu funkciju, x = f 1 (y). 3. Zamijenimo imena nepoznanicama x i y da dobijemo zapis y = f 1 (x). Graf inverzne funkcije Označimo sa G f graf funkcije f, a sa G f 1 graf funkcije f 1. Ako vrijedi y = f (x), onda točka (x, y) G f, a točka (y, x) G f 1. Zato vrijedi: Graf funkcije f i njoj inverzne funkcije f 1 simetrični su obzirom na pravac y = x. 9 / 76

10 Elementarne funkcije Osnovne elementarne funkcije: Polinomi i racionalne funkcije Eksponencijalne i logaritamske funkcije Opća potencija Trigonometrijske i arkus (ciklometrijske) fukcije Elemetarna funkcija je svaka funkcija koja se može dobiti primjenom konačnog broja operacija zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i komponiranja osnovnih elemenarnih funkcija. 10 / 76

11 Polinomi i racionalne funkcije 11 / 76

12 Polinomi Kanonski oblik polinoma Polinom stupnja n je funkcija P : R R definirana s P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0. Brojeve a 0, a 1,..., a n nazivamo koeficijentima polinoma. Koeficijent a n nazivamo vodeći koeficijent, koeficijent a 0 slobodni koeficijent. Stupanj polinoma je najveća potencija nepoznanice x. Primjer f (x) = 4x 2 polinom stupnja 1 g(x) = 2x 2 + x 1 polinom stupnja 2 h(x) = x 5 2x polinom stupnja / 76

13 Operacije s polinomima Jednakost polinoma Polinomi P i Q su jednaki ako za svaki x R vrijedi P(x) = Q(x). Pišemo P = Q. Kriterij jednakosti polinoma Polinomi P i Q su jednaki ako i samo ako su istog stupnja i ako im se koeficijenti u kanonskom prikazu podudaraju. Operacije sa polinomima: polinomi se zbrajaju (oduzimaju) tako da se zbroje (oduzmu) istovjetni monomi polinomi se množe tako da prvi polinom množimo monomima drugog polinoma i zbrajamo pribrojnike 13 / 76

14 Operacije s polinomima Primjer Neka je P(x) = 2x 2 + 3x + 7, a Q(x) = 2x 1. Tada vrijedi: (P + Q)(x) = P(x) + Q(x) = 2x 2 + 5x + 6 (P Q)(x) = P(x) Q(x) = 2x 2 + x + 8 (P Q)(x) = P(x) Q(x) = (2x 2 + 3x + 7) (2x 1) = (4x 3 + 6x x) (2x 2 + 3x + 7) = 4x 3 + 4x x 7 (P Q)(x) = P(Q(x)) = P(2x 1) = 2(2x 1) 2 + 3(2x 1) + 7 = 8x 2 2x + 6 (Q P)(x) = Q(P(x)) = Q(2x 2 + 3x + 7) = 2(2x 2 + 3x + 7) 1 = 4x 2 + 6x / 76

15 Operacije s polinomima Racionalna funcija Ako su P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 i Q(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 dva zadana polinoma, onda je njihov kvocijent funkcija f definirana formulom f (x) = P(x) Q(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0. Funkciju f nazivamo racionalna funkcija. Ona je definirana u svim x R takvim da je Q(x) 0. Djeljivost polinoma Polinom P djeljiv je polinomom Q ako postoji polinom P 1 takav da vrijedi P = P 1 Q, odnosno za svaki x vrijedi P(x) = P 1 (x) Q(x). 15 / 76

16 Dijeljenje polinoma Ako je f (x) = P(x) Q(x) racionalna funkcija takva da je stupanj polinoma P manji ili jednak od stupnja polinoma Q, onda f nazivamo prava racionalna funkcija. Kvocijent dvaju polinoma P i Q možemo napisati u obliku P(x) Q(x) = P 1(x) + R(x) Q(x) ili P(x) = P 1(x) Q(x) + R(x). Ako je stp = n m = stq, onda je polinom P 1 stupnja n m. Polinom R je ostatak dijeljenja i to je polinom stupnja manjeg od m. Dijeljenje polinoma provodimo na način analogan dijeljenju brojeva. 16 / 76

17 Dijeljenje polinoma Primjer Neka je P(x) = 2x 4 3x 3 x i Q(x) = x Tada: (2x 4 3x 3 x 2 + 1) : (x 2 + 2) = 2x 2 3x 5 2x 4 + 4x 2 3x 3 5x x 3 6x 5x 2 + 6x + 1 5x x x 4 3x 3 x x = 2x 2 3x 5 + 6x + 11 x / 76

18 Nultočke polinoma Broj x 1 za koji vrijedi P(x 1 ) = 0 naziva se nultočka polinoma P. Osnovni teorem algebre: Svaki polinom n-tog stupnja ima točno n nultočaka x 1, x 2,..., x n, računajući i kratnost i može se napisati kao: P n (x) = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ). Za polinome sa realnim koeficijentima vrijedi: Ako je z = a + ib nultočka polinoma, onda je i z = a ib nultočka. 18 / 76

19 Zadaci Zadatak Podijelite polinom P(x) = x 4 + 3x 2 polinomom Q(x) = x 2 2x + 3. Zadatak Odredite nultočke polinoma: P(x) = 2x + 1 P(x) = x 2 + x + 1 P(x) = x 2 3x + 2 P(x) = x 3 2x 2 + x P(x) = x 4 2x / 76

20 Potencije Funkcija f (x) = x n, n N je specijalan slučaj polinoma. Definirana je za svaki x R rekurzivno: x 0 = 1 i vrijedi x m x n = x m+n (x m ) n = x m n (x y) n = x n y n x n = 1 x n x 1 = x x n+1 = x n x 20 / 76

21 Potencije Zadatak Nacrtajte grafove funkcija (a) f (x) = x (b) f (x) = x 2 (c) f (x) = x 3 i navedite bitna svojstva tih funkcija. Odredite inverzne funkcije i nacrtajte njihove grafove. Sva svojstva funkcije f (x) = x 2 vrijede i za parne potencije, odnosno funkcije f (x) = x 2k za k N. OPREZ! Funkcija f (x) = x je definirana na R + 0, odnosno f : R + 0 R+ 0. To svojstvo vrijedi i za sve parne korijene. 21 / 76

22 Potencije Svojstva funkcije f (x) = x 3 vrijede i za neparne potencije, odnosno f (x) = x 2k 1 za k N. OPREZ! Funkcija f (x) = 3 x je definirana na R, odnosno f : R R. To svojstvo vrijedi i za sve neparne korijene. Zadatak Zadane su funkcije f i g: (a) f (x) = 2x 1, g(x) = x (b) f (x) = 2x 1, g(x) = 3 x (c) f (x) = x 2 1, g(x) = x (d) f (x) = x 2, g(x) = x + 2 (e) f (x) = 1 2x + 2, g(x) = x + 1. Odredite domenu, nultočke i predznak funkcija f, g, f f, f g, g f te g g te skicirajte njihove grafove. 22 / 76

23 Neformalna definicija limesa funkcije Ako se vrijednost funkcije f (x) približava vrijednosti L kada se nezavisna varijabla x približava točki a, onda kažemo da f (x) teži prema L kada x teži prema a, odnosno f (x) L kada x a. Broj L je limes ili granična vrijednost funkcije f kada x a, odnosno lim f (x) = L. x a Osnovna svojstva limesa Neka funkcije f i g imaju limese kada x a. Tada vrijedi: ( f lim x a g lim (f ± g)(x) = lim f (x) ± lim g(x) x a x a x a lim (f g)(x) = lim x a x a ) (x) = lim x a f (x) lim x a g(x) f (x) lim x a g(x) ako je lim x a g(x) / 76

24 Limes funkcije slijeva i zdesna U postupku računanja limesa funkcije u točki a promatramo bilo koji niz x n koji teži k a. Ako pritom uzimamo samo one nizove za koje je x n < a, onda kažemo da varijabla x teži k a slijeva i pišemo x a. Ako uzimamo samo one nizove za koje je x n > a, onda kažemo da varijabla x teži k a zdesna i pišemo x a +. Ti limesi se ne moraju podudarati. U zadacima koji slijede važan je i limes: 1 lim x ± x = 0, odnosno za svaki prirodan broj n vrijedi lim x ± 1 x n = / 76

25 Limes racionalnih funkcija Limes racionalnih funkcija Ako se brojnik i nazivnik racionalne funkcije poništavaju u točki a, onda se limes te funkcije u točki a računa tako da se i brojnik i nazivnik podijele s x a. Primjer x 2 + 3x + 2 lim x 2 x 2 x 6 = lim (x + 2)(x + 1) x 2 (x + 2)(x 3) = lim x + 1 x 2 x 3 = 1 5 lim x ± x 3 + x 2 2 2x 3 3x + 2 = lim x ± x 2 x x x 3 = / 76

26 Asimptote Asimptota funkcije je pravac sa svojstvom da udaljenost izmedu točke na grafu funkcije i tog pravca teži k nuli kada točka na grafu teži u beskonačnost. Funkcija može imati vertikalne, horizontalne i kose asimptote. Pravac x = x 0 je vertikalna asimptota funkcije f u točki x 0 s lijeve strane ako je lim x x 0 f (x) = ± vertikalna asimptota funkcije f u točki x 0 s desne strane ako je lim x x + 0 f (x) = ±. Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u točkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije. 26 / 76

27 Asimptote Pravac y = y 0 je horizontalna asimptota funkcije f u lijevoj strani ako je lim x f (x) = y 0 horizontalna asimptota funkcije f u desnoj strani ako je lim x + f (x) = y 0. Pravac y = kx + l nazivamo kosa asimptota funkcije f u lijevoj strani ako: f (x) lim = k, k 0,, x x lim (f (x) kx) = l, l, x Kosu asimptotu funkcije f u desnoj strani definiramo analogno. 27 / 76

28 Racionalna funkcija Ponovimo: Racionalna funcija Ako su P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 i Q(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 dva zadana polinoma, onda je njihov kvocijent funkcija f definirana formulom f (x) = P(x) Q(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0. Funkciju f nazivamo racionalna funkcija. Ako je f (x) = P(x) Q(x) racionalna funkcija takva da je stupanj polinoma P manji ili jednak od stupnja polinoma Q, onda f nazivamo prava racionalna funkcija. 28 / 76

29 Racionalna funkcija Svojstva racionalne funkcije: Domena funkcije je D(f ) = {x R : Q(x) 0}. Nul-točke: f (x) = 0 P(x) = 0 i Q(x) 0. Predznak funkcije: f (x) > 0 (P(x) > 0 i Q(x) > 0) ili (P(x) < 0 i Q(x) < 0) f (x) < 0 (P(x) < 0 i Q(x) > 0) ili (P(x) > 0 i Q(x) < 0) Nultočke polinoma Q(x) (točke u kojima f nije definirana) nazivamo polovima racionalne funkcije. U tim točkama funkcija ima vertikalne asimptote, ako one nisu istovremeno i nultočke. 29 / 76

30 Zadaci Zadatak Odredite domenu, nultočke, polove i predznak funkcije te skicirajte njezin graf ako je (a) f (x) = 1 x (b) f (x) = 1 x 2 Sva svojstva funkcije f (x) = 1 1 x vrijede i za funkcije f (x) = za k N, x 2k 1 dok funkcije f (x) = 1 za k N imaju ista svojstva kao i funkcija x 2k f (x) = 1. x 2 Zadatak Odredite domenu, nultočke, asimptote, polove i predznak funkcije te skicirajte njezin graf ako je (a) f (x) = x 3 (b) f (x) = x 3 x x2 +x 2 x 3 x 2 2x. 30 / 76

31 Bilinearna funkcija Funkciju oblika f (x) = ax+b cx+d, a 0, c 0 nazivamo bilinearna funkcija jer su ax + b i cx + d polinomi 1. stupnja, odnosno linearne funkcije. Domena bilinearne funkcije: { D f = {x R : cx + d 0} = R \ d }. c Svaka bilinearna funkcija se može prikazati kao f (x) = a c + bc ad c(cx + d), x d c pa graf funkcije f možemo dobiti linearnim transformacijama grafa funkcije y = 1 x. 31 / 76

32 Zadaci Zadatak Ako je f (x) = 2x+1 x 1 i g(x) = x, onda: (a) odredite domenu funkcija f g i g f te ponašenje funkcija u rubnim točkama domene (b) skicirajte graf funkcije f (c) odredite f 1 (x), njezinu domenu i skicirajte njezin graf Zadatak Za funkciju f (x) = x 2 x 2 4 (a) odredite domenu, nultočke i predznak funkcije (b) odredite polove, vertikalne i horizontalne asimptote (c) skicirajte graf funkcije. 32 / 76

33 Eksponencijalne i logaritamske funkcije 33 / 76

34 Svojstva potencija Prisjetimo se definicije i osnovnih svojstava potencija: Za pozitivne brojeve a i b te x, y R vrijedi: 1. a x a y = a x+y 2. (a x ) y = a xy 3. (ab) x = a x b x Potenciranje sa negativnim eksponentom: a n = 1 a n. Potenciranje nulom: za svaki a > 0 vrijedi a 0 = 1. Potenciranje sa racionalnim eksponentom: a m n = n a m. 34 / 76

35 Eksponencijalna funkcija Neka je a > 0, a 1 realan broj. Funkcija f (x) = a x definirana za svaki realni broj x naziva se eksponencijalna funkcija baze a. Graf eksponencijalne funkcije a > 1 0 < a < 1 12 y e x a 0 = 1 pa svi grafovi prolaze točkom (0, 1). 35 / 76

36 Svojstva eksponencijalne funkcije Napomena: Grafovi eksponencijalnih funkcija s bazama koje su recipročni brojevi simetrični su s obzirom na y os. Injektivnost eksponencijalne funkcije Monotonost potencije: a x 1 = a x 2 x 1 = x 2. Ako je a > 1, onda za x 1 < x 2 vrijedi a x 1 < a x 2. (strogo rastuća funkcija) Ako je 0 < a < 1, onda x 1 < x 2 vrijedi a x 1 > a x 2. (strogo padajuća funkcija) 36 / 76

37 Logaritamska funkcija Funkcija f (x) = a x je bijekcija pa postoji f 1 : R + R koju zovemo logaritamska funkcija i pišemo f 1 (x) = log a (x). (f f 1 )(x) = x a log a x = x, x > 0 (f 1 f )(x) = x log a a x = x, x R Za rješavanje jednadžbi važno je znati: log a x = b x = a b a x = b x = log a b 37 / 76

38 Graf logaritamske funkcije Logaritamska funkcija inverzna je eksponencijalnoj funkciji, pa su njihovi grafovi simetrični obzirom na pravac y = x. a > 1 0 < a < 1 y e x y x y 1 2 x y x 2 1 y ln x y log 1 x / 76

39 Graf i svojstva logaritamske funkcije a > 1 0 < a < 1 1 y ln x x Svojstva logaritamske funkcije: 1. D = R + (domena logaritamske funkcije) 2. R = R (kodomena logaritamske funkcije) 3. log a (x 1 x 2 ) = log a x 1 + log a x 2, x 1, x 2 > 0 4. log a ( x1 x 2 ) = log a x 1 log a x 2, x 1, x 2 > / 76

40 Svojstva logaritamske funkcije 5. za svaki r R vrijedi log a x r = r log a x, x > 0 6. log a b = log c b log c a, specijalno: log a b = 1 log b a 7. za svaki broj a > 0, a 0 vrijedi log a 1 = 0 8. ako je a > 1, onda za x 1 < x 2 vrijedi log a x 1 < log a x 2 (strogo rastuća funkcija) 9. ako je 0 < a < 1, onda za x 1 < x 2 vrijedi log a x 1 > log a x 2 (strogo padajuća funkcija) 10. ako je log a x 1 = log a x 2, onda vrijedi x 1 = x 2 (injektivnost) 40 / 76

41 Napomene i primjeri Dekadski logaritam Logaritam po bazi 10 označavamo simbolom log i nazivamo dekadski logaritam. Prirodni logaritam Logaritam po bazi e označavamo simbolom ln i nazivamo prirodni logaritam. Opća potencija: x r = eln xr = e r ln x, x > 0, r R Primjer 5 16 = = = log 16 = = / 76

42 Zadaci Zadatak Zadatak Izračunajte: log 2 8, log 3 81, e 1 2 ln 2, ln e e, log , log Dokažite da vrijedi log a n b = 1 n log a b, a zatim izračunajte log 8 2, log 1 2 2, log Zadatak Riješite sljedeće jednadžbe i nejednadžbe: (a) 3 x+1 = 9, 3 x+1 = 10, 3 x+1 > 1, e x 2 (b) 2 x2 4 = 1, 2 x2 4 < 1, 2 x2 4 > 1, ( 1 3) x 2 1 < 3 42 / 76

43 Zadaci Zadatak Riješite sljedeće jednadžbe i nejednadžbe: (a) ln( x 1) = 0, ln( x 1) > 0, ln( x 1) < 0 (b) log 1 2 (1 x) = 0, log 1 2 (1 x) > 0, log 1 (1 x) < 0 2 Zadatak Grafički riješite sljedeće jednadžbe i nejednadžbe: (a) ( 1 2) x 1 = x (b) ln(x + 2) = x 1 (c) ( 1 2) x 1 < x (d) ln(x + 2) x 1 43 / 76

44 Zadaci Zadatak Zadanu funkciju f prikažite kao kompoziciju osnovnih elementarnih funkcija, a zatim odredite domenu i ponašanje u rubnim točkama domene, ako je: (a) f (x) = ln(x + 1) (b) f (x) = e 2x 1 (c) f (x) = 4 2 x 1 2 x +1 (d) f (x) = ln(x 2 + 2x) Zadatak Zadana je funkcija (a) f (x) = ln(x 1) (b) f (x) = Odredite domenu funkcije, f 1 te njezinu domenu. 1 2 x 1+2 x. 44 / 76

45 Trigonometrijske i arkus funkcije 45 / 76

46 Odredivanje mjere kuta Mjeru kuta izražavamo u stupnjevima ili radijanima Definicija radijana: radijan je veličina kuta kojem je duljina pridruženog luka, l, jednaka duljini polumjera kružnice, r. 46 / 76

47 Veza stupnjeva i radijana Pretvorba stupnjeva u radijane: Pretvorba radijana u stupnjeve: α(rad) = α 180 π α = α(rad) π 180 Stupnjevi π π π π 2π 3π Radijani π 2 2π Uočimo: 1 rad = / 76

48 Brojevna kružnica Brojevna kružnica je kružnica čije je središte u ishodištu, a polumjer je jednak 1. Svakoj točki T brojevne kružnice odgovara točno jedan α iz intervala [0, 2π) na brojevnom pravcu. 3 Π 4 5 Π Π Π 4 Π 6 Π Π 7 Π 6 5 Π 4 4 Π Π 2 5 Π 3 7 Π 4 Π 48 / 76

49 Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije šiljastog kuta definiramo kao omjer stranica pravokutnog trokuta. Α c b Β a sin α = a c tg α = a b nasuprotna kateta =, cos α = b hipotenuza c = nasuprotna kateta priležeća kateta, ctg α = b a = priležeća kateta hipotenuza = priležeća kateta nasuprotna kateta 49 / 76

50 Trigonometrijske funkcije Vrijednost tih funkcija možemo definirati za bilo koji realni broj. Sinus i kosinus po volji odabranog kuta: kosinus je apscisa, a sinus ordinata točke na trigonometrijskoj kružnici. Temeljni identitet: Za svaki realni broj t vrijedi sin 2 t + cos 2 t = 1. Vrijedi: tg t = sin t cos t, cos t ctg t = sin t = 1 tgt 50 / 76

51 Svojstva trigonometrijskih funkcija Funkcije sinus i kosinus imaju svojstva: 1. sin : R [ 1, 1], cos : R [ 1, 1], odnosno D(sin) = D(cos) = R (funkcije su omedene) 2. sin( x) = sin x (neparna funkcija) cos( x) = cos x (parna funkcija) 3. sin(x + 2kπ) = sin x, cos(x + 2kπ) = cos x, k Z funkcije su periodične sa temeljnim periodom 2π 4. nultočke sin x = 0 x = kπ, 5. Adicione formule cos x = 0 x = π 2 + kπ, k Z sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y 51 / 76

52 Svojstva trigonometrijskih funkcija Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta: sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x Zadatak Dokažite da za svaki realan broj vrijedi (formule redukcije za sinus i kosinus): sin(π + x) = sin x cos(π + x) = cos x sin( π 2 x) = cos x sin( cos( π 2 x) = sin x cos( sin(π x) = sin x cos(π x) = cos x π 2 π 2 + x) = cos x + x) = sin x 52 / 76

53 Svojstva trigonometrijskih funkcija Funkcije tangens i kotangens imaju svojstva: 1. tg : R \ { π 2 + kπ : k Z} R, ctg : R \ {kπ : k Z} R, odnosno D(tg) = R \ { π 2 + kπ : k Z}, D(ctg) = R \ {kπ : k Z} 2. pravci x = π 2 + kπ, k Z su vertikalne asimptote funkcije tg, a pravci x = kπ funkcije ctg 3. tg( x) = tg x, ctg( x) = ctg x (neparne funkcije) 4. tg(x + kπ) = tg x, ctg(x + kπ) = ctg x, k Z funkcije su periodične sa temeljnim periodom π 5. nultočke funkcije tg su nultočke sinusa, a nultočke funkcije ctg su nultočke kosinusa tg x = 0 sin x = 0 x = kπ, ctg x = 0 cos x = 0 x = π 2 + kπ, k Z 53 / 76

54 Primjeri Primjer Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za π 6, π 3, π 4, π 2 : Oprez: π α 6 ili 30 π 4 ili 45 π 3 ili 60 π 2 ili 90 1 sin 2 3 cos tg ctg ± Pri korištenju kalkulatora treba paziti na natpis na zaslonu. Ako piše DEG, onda upisujemo vrijednost kuta u stupnjevima, a ako piše RAD, onda upisujemo vrijednost kuta u radijanima. 54 / 76

55 Primjeri Primjer Vrijednost trigonometrijskih funkcija za kut α = 123 : α = 123 α = 123 = 41π 60 sin 123 = sin 41π 60 = cos 123 = tg 123 = ctg 123 = cos 41π 60 = tg 41π 60 = ctg 41π 60 = Vrijednost trigonometrijskih funkcija za kut x = 3.48: (na zaslonu: RAD ili R) cos 3.48 = 0.999, sin 3.48 = 0.331, tg 3.48 = Kut x = 3.48 izražen u stupnjevima iznosi (na zaslonu DEG ili D), a funkcijske vrijednosti su iste. 55 / 76

56 Primjeri Primjer Izračunajte sin 15, sin 15, cos 23, cos 23, tg 15, tg 15, ctg 72, ctg 72. sin 15 = sin 15 = cos 23 = cos 23 = tg 15 = tg 15 = ctg 72 = ctg 72 = Zadatak Izračunajte: cos 2 ( 3π 2 + α) tg 2 (α 2π) + cos2 (π α) tg 2 (α 3π 2 ) 56 / 76

57 Grafovi trigonometrijskih funkcija Graf funkcije sin x 0.5 Π Π 2Π 3Π temeljni perod je 2π 2. nultočke su kπ, k Z 3. maksimum je 1, postiže se u π 2 + 2kπ, k Z 4. minimum je -1, postiže se u π 2 + 2kπ, k Z 5. centralno je simetrična s obzirom na ishodište 57 / 76

58 Grafovi trigonometrijskih funkcija Graf funkcije cos x 0.5 Π Π 2Π 3Π temeljni perod je 2π 2. nultočke su π 2 + kπ, k Z 3. maksimum je 1, postiže se u 2kπ, k Z 4. minimum je -1, postiže se u π + 2kπ, k Z 5. centralno je simetrična s obzirom na y os 58 / 76

59 Grafovi trigonometrijskih funkcija Graf funkcije tg 6 Π Π Π 2 Π temeljni perod je π 2. nultočke su kπ, k Z 3. maksimum i minimum ne postoje, funkcija nije omedena 4. centralno je simetrična s obzirom na ishodište 5. asimptote su pravci x = π 2 + kπ, k Z 59 / 76

60 Grafovi trigonometrijskih funkcija Graf funkcije ctg 6 Π Π Π 2 Π temeljni perod je π 2. nultočke su π 2 + kπ, k Z 3. maksimum i minimum ne postoje, funkcija nije omedena 4. centralno je simetrična s obzirom na ishodište 5. asimptote su pravci x = kπ, k Z 60 / 76

61 Grafovi trigonometrijskih funkcija sin x cos x 0.5 Π Π 2Π 3Π Π Π 2Π 3Π tg x 6 6 ctg x Π Π Π 2 Π Π Π Π 2 Π / 76

62 Arkus (ciklometrijske) funkcije Trigonometrijske funkcije nisu bijekcije (periodične su). Inverzi su definirani za pogodno odabrane restrikcije koje jesu bijekcije. Restrikcije se biraju na odgovarajući interval koji je najbliži nuli. Arkus funkcije ili ciklometrijske funkcije su inverzne funkcije odgovarajućih restrikcija trigonometrijskih funkcija. Restrikcije: (a) sinus na intervalu [ π 2, π 2 ] je bijekcija (b) kosinus na intervalu [0, π] je bijekcija (c) tangens na intervalu ( π 2, π 2 ) je bijekcija (d) kotangens na intervalu (0, π) je bijekcija 62 / 76

63 Arkus (ciklometrijske) funkcije Arkus sinus je inverzna funkcija restrikcije sinusa na interval [ π 2, π 2 ] pa vrijedi arcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ]. 1.5 Π 2 y arcsin x Funkcija arkus sinus je strogo rastuća, neparna, neprekidna i nema asimptota. 63 / 76

64 Arkus (ciklometrijske) funkcije Arkus kosinus je inverzna funkcija restrikcije kosinusa na interval [0, π] pa vrijedi arccos : [ 1, 1] [0, π]. y arccos x Funkcija arkus kosinus je strogo padajuća, neprekidna i nema asimptota. 64 / 76

65 Arkus (ciklometrijske) funkcije Arkus ( tangens je inverzna funkcija restrikcije funkcije tangens na interval π 2, π ) ( 2 pa vrijedi arctg : R π 2, π ) Funkcija arkus tangens je strogo rastuća, neparna i neprekidna. Pravac y = π 2 je horizontalna asimptota u desnom kraju, a pravac y = π 2 je horizontalna asimptota u lijevom kraju. 65 / 76

66 Arkus (ciklometrijske) funkcije Arkus kotangens je inverzna funkcija restrikcije funkcije kotangens na interval (0, π) pa vrijedi arcctg : R (0, π). 6 5 y arcctg x y Π 1 4 Funkcija arkus kotangens je strogo padajuća i neprekidna. Pravac y = π je horizontalna asimptota u lijevom kraju, a pravac y = 0 je horizontalna asimptota u desnom kraju. 66 / 76

67 Svojstva arkus funkcija Domene arkus funkcija: (a) arcsin : [ 1, 1] [ π 2, π ] 2 (b) arccos : [ 1, 1] [0, π] (c) arctg : R ( π 2, π ) 2 (d) arcctg : R (0, π) Vrijedi: (a) sin(arcsin x) = x za x [ 1, 1] (b) cos(arccos x) = x za x [ 1, 1] (c) tg(arctg x) = x za x R (d) ctg(arcctg x) = x za x R 67 / 76

68 Zadaci Zadatak Odredite domenu i nultočke funkcije: (a) f (x) =, (b) f (x) = x2 4 sin x 1 2 cos 2x+1 sin(x+ π 3 ) Zadatak Odredite domenu, ponašanje u rubnim točkama domene te izračunajte f (0), f ( 1 2), f (2) ako je: (a) f (x) = 1 sin x 1 (b) f (x) = 2 cos 1 x 2 1 (c) f (x) = arccos 1 x 1+x (d) f (x) = arctg 1+x 1 x 68 / 76

69 Linearne transformacije grafa funkcije 69 / 76

70 Linearne transformacije grafa funkcije Zadana je dana funkcija y = f (x) te nam je poznat njen graf G f = {(x, y) : y = f (x), x D f }. Želimo konstruirati graf funkcije y = Af (ax + b) + B, A, a, b, B R, a, A 0 pomoću zadanog grafa funkcije y = f (x). Pomak po x osi 1. Graf funkcije y = f (x + b), b > 0 dobiva se iz grafa funkcije y = f (x) njegovom translacijom ulijevo po osi x, za vrijednost b. 2. Graf funkcije y = f (x + b), b < 0 dobiva se iz grafa funkcije y = f (x) njegovom translacijom udesno po osi x, za vrijednost b. 70 / 76

71 Pomak po osi x Primjer Primjer linearne translacije grafa po osi x. y x 6 4 y x / 76

72 Linearne transformacije grafa funkcije Pomak po y osi 1. Graf funkcije y = f (x) + B, B > 0 dobiva se iz grafa funkcije y = f (x) njegovom translacijom u pozitivnom smjeru po osi y, za vrijednost B. 2. Graf funkcije y = f (x) + B, B < 0 dobiva se iz grafa funkcije y = f (x) njegovom translacijom u negativnom smjeru po osi y, za vrijednost B y x / 76

73 Za dobivanje grafa funkcije y = Af (x), A R, α 0 imamo slijedeće mogućnosti: 1. A = 1 graf funkcije y = f (x) simetričan je grafu funkcije y = f (x) s obzirom na os x 2. A > 1 rastezanje (proširenje) grafa G f A puta u smjeru osi y 3. A < 1 rastezanje (proširenje) grafa G f A puta u smjeru osi y i simetrija s obzirom na os x 4. 0 < A < 1 skupljanje (suženje) grafa G f A puta u smjeru osi y 5. 1 < A < 0 skupljanje (suženje) grafa G f A puta u smjeru osi y i simetrija s obzirom na os x 73 / 76

74 Točke grafa funkcije y = f (ax), a 0, dobivaju se zamjenom točke (x 0, y 0 ) G f točkom ( x 0 a, y 0 ). Imamo slijedeće mogućnosti: 1. a = 1 graf funkcije y = f (ax) je simetričan obzirom na os y 2. a > 1 skupljanje (suženje) grafa G f a puta u smjeru osi x 3. a < 1 skupljanje (suženje) grafa G f a puta u smjeru osi x i simetrija s obzirom na os y 4. 0 < a < 1 rastezanje (proširenje) grafa G f a puta u smjeru osi x 5. 1 < a < 0 rastezanje (proširenje) grafa G f a puta u smjeru osi x i simetrija s obzirom na os y 74 / 76

75 Primjeri transformacije grafa eksponencijalne funkcije suženje u smjeru osi x 15 y e 2 x y e x proširenje u smjeru osi y 15 y 2e x y e x Napomena: 2 Do grafa funkcije f (x) = Af (ax + b) + B dolazimo kombinacijom gornjih postupaka. 75 / 76

76 Zadaci Zadatak Polazeći od grafa funkcije f, pomoću linearnih transformacija grafa funkcije f, nacrtajte graf funkcije g ako je (a) f (x) = 1 1 x x, g(x) = 1+x (b) f (x) = x, g(x) = 2f (x + 1) 1 (c) f (x) = ln x, g(x) = f (2x) (d) f (x) = sin x, g(x) = 2f (x + 1) (e) f (x) = x, g(x) = 1 3f ( x + 1) 2 (f) f (x) = arcsin x, g(x) = 2 arcsin(x 1 2 ) 76 / 76

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb,.9.007. ii Posljednji ispravak: petak, 6. ožujak 009. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb, 9.9.06. ii Posljednji ispravak: srijeda, 3. svibanj 07. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4. 1. Koordinatni sustav u ravnini..................... Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija O fiksnim točkama... O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija Matea Jelčić, Kristina Ivankić, Mirela Katić Žlepalo 3 i Bojan Kovačić Sažetak U ovom članku razmatramo fiksne točke četiriju

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= * POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

SADRŽAJ 8. LITERATURA...

SADRŽAJ 8. LITERATURA... SADRŽAJ 1. UVOD 2. Polinomi. 3. Racionalne funkcije. 4. Stepene funkcije... 5. Logaritamske funkcije... 6. Trigonometrijske funkcije.. 7. Inverzne fukcije. 8. LITERATURA... 1 UVOD Elementarne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

(r, φ) φ x. Polarni sustav

(r, φ) φ x. Polarni sustav olarnom u oložaj točke u ravnini možemo definirati omoću udaljenosti r od ishodišta i kuta φ koji sojnica ishodišta i točke zatvara s osi φ r (r, φ) kut φ je o konvenciji ozitivan ako ga mijenjamo u smjeru

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike

Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα