Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στη Βιοστατιστική"

Transcript

1 Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3

2 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική o t-test o Δοκιµασία X 2 o Μη-παραµετρικές δοκιµασίες o Συντελεστές συσχέτισης o Απλή γραµµική παλινδρόµηση, ANOVA o Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση o Λογαριθµιστική εξάρτηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 2

3 Συσχέτιση και Εξάρτηση o Συσχέτιση: Μέτρο του βαθµού (της έντασης) της γραµµικής σχέσης µεταξύ 2 µεταβλητών o Εξάρτηση ή Παλινδρόµηση: Μέθοδος για την διερεύνηση των µεταβολών των τιµών της µιας µεταβλητής (εξαρτηµένης) συναρτήσει των µεταβολών των τιµών της άλλης (ανεξάρτητης) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3

4 Προϋποθέσεις o Συσχέτιση (συντελεστής του Pearson): Τα δύο ποσοτικά µεγέθη να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία o Εξάρτηση: Το εξαρτηµένο µέγεθος να κατανέµεται κανονικά (για κάθε συγκεκριµένη τιµή του ανεξάρτητου) και να έχει επιλεγεί τυχαία Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 4

5 Παράδειγµα o Σε µελέτη για τη διερεύνηση της επίδρασης του µολύβδου στην σωµατοµετρική ανάπτυξη των παιδιών, µελετήθηκαν παιδιά σχολικής ηλικίας (µεταξύ 6 και 9 ετών), από τρείς περιοχές: Λαύριο, Ελευσίνα και Λουτράκι. Το συνολικό δείγµα αποτελείται από 522 παιδιά, 274 αγόρια και 248 κορίτσια ηλικίας 6-9 χρονών. o Μέρος των δεδοµένων παρουσιάζεται στον πίνακα που ακολουθεί (Kafourou et al, Archives of Environmental health, 1997; 52: ). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 5

6 Πίνακας Κωδικός Πόλη Ηλικία Ανάστηµα Μόλυβδος Ανάστηµα (έτη) πατέρα (cm) (µg/ml) παιδιού (cm) Για την πόλη 1 σηµαίνει Λουτράκι, 2 Λαύριο και 3 Ελευσίνα. = Eλλείπουσες τιµές (missing values) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 6

7 Στικτόγραµµα του αναστήµατος του πατέρα µε το ανάστηµα του παιδιού Father's height Children's height Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 7

8 Κατανοµή συχνοτήτων του αναστήµατος του πατέρα 141 Frequency Father's height Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 8

9 Κατανοµή συχνοτήτων του αναστήµατος των παιδιών 125 Frequency Children's height Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 9

10 o Άρα: n και οι δύο µεταβλητές επιλέγησαν τυχαία n οι κατανοµές και των δύο µεγεθών είναι κατά προσέγγιση κανονικές o Οπότε µπορούµε να υπολογίσουµε το συντελεστή συσχέτισης του Pearson. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 10

11 Στικτόγραµµα της ηλικίας µε το ύψος του παιδιού Children's height age Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 11

12 o Αντιθέτως ο συντελεστής συσχέτισης που αντιστοιχεί στο προηγούµενο σχήµα δεν µπορεί να υπολογιστεί γιατί η ηλικία δεν έχει επιλεγεί τυχαία. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 12

13 Παραδείγµατα 1. Συλλέγονται τυχαία διάφορα παντρεµένα ζευγάρια για να διερευνηθεί η σχέση ανάµεσα στα ύψη των ζευγαριών 2. Επιλέγονται διάφορα άτοµα (έτσι ώστε στο δείγµα να περιλαµβάνονται άτοµα κάθε ηλικίας) για να διερευνηθεί η σχέση ανάµεσα ηλικίας και συστολικής αρτηριακής πίεσης καθενός από αυτά Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 13

14 Πίνακας o Στον επόµενο πίνακα παρουσιάζεται µία σχηµατική έκθεση των κριτηρίων επιλογής µεταξύ: n της παραµετρικής µεθόδου στατιστικής συσχέτισης του Pearson (ΠΣ), n της µη παραµετρικής µεθόδου στατιστικής συσχέτισης του Spearman(ΜΣ) και n της παραµετρικής µεθόδου στατιστικής εξάρτησης (ΠΕ). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 14

15 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 15

16 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση «Η διερεύνηση γραµµικής σχέσης εξάρτησης µεταξύ 2 µεταβλητών, εκ των οποίων η µια καλείται εξαρτηµένη και η άλλη ανεξάρτητη». Δηλαδή, η Υ (εξαρτηµένη) συνδέεται µε την Χ (ανεξάρτητη), µε τη σχέση: Υ = β0 + β1 Χ Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 16

17 (συν.) o Η µέθοδος παλινδρόµησης (regression analysis) στοχεύει στον υπολογισµό µιας ευθείας γραµµής που εφαρµόζει καλύτερα από κάθε άλλη στα δεδοµένα Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 17

18 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 18

19 Παραδείγµατα: Σχέση: n Βάρους σώµατος και αρτηριακής πίεσης. n Ηλικίας κύησης και βάρους. n Προσλαµβανόµενες θερµίδες και σωµατική δραστηριότητα. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 19

20 Απλή γραµµική παλινδρόµηση o Στην απλή εξάρτηση διερευνάται η σχέση µιας εξαρτηµένης µεταβλητής µε µία µόνο ανεξάρτητη µεταβλητή. o Γενικά η µέθοδος της εξάρτησης αποσκοπεί στην εύρεση µίας γραµµής που εφαρµόζει όσο το δυνατόν καλύτερα στα δεδοµένα. o Η σχέση µεταξύ εξαρτηµένης και ανεξάρτητης µεταβλητής εκφράζεται µέσω µαθηµατικής συνάρτησης. Η γραµµή της συνάρτησης µπορεί να έχει οποιαδήποτε µορφή. Στην απλή γραµµική εξάρτηση µελετάται µόνο η ευθεία. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 20

21 (συν.) o Στα µοντέλα απλής γραµµικής εξάρτησης υποθέτουµε ότι η πραγµατική µέση τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής Y i στον υποκείµενο πληθυσµό (underlying population) από τον οποίο προέρχεται το δείγµα, µεταβάλλεται µε σταθερό ρυθµό όταν µεταβάλλονται οι τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής X i. Η συνάρτηση που συνδέει τη µέση τιµή των Y i µε την X i είναι η εξίσωση της ευθείας γραµµής: Ŷ i = E(Y X ) i i = β + β X 0 1 i όπου β 0 είναι η σταθερά της εξίσωσης και β 1 η κλίση της ευθείας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 21

22 (συν.) o Ο συµβολισµός Ε(Υ i Χ i ) στη Στατιστική δηλώνει τη µέση τιµή της µεταβλητής Υ i όταν η µεταβλητή Χ παίρνει τη συγκεκριµένη τιµή Χ i. o Έτσι, το Ε(Υ i Χ i =80) σηµαίνει τη µέση τιµή της µεταβλητής Υ, σε όλα τα άτοµα στο δείγµα µας που η µεταβλητή Χ είναι ίση µε 80. o Αντίστοιχα, το Ε(Υ) ή Ε(Υ i ) συµβολίζει τη µέση τιµή της Υ γενικά στο δείγµα µας, χωρίς να λάβουµε υπόψη καµία άλλη µεταβλητή Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 22

23 (συν.) o Έτσι φανταστείτε ότι µιλάµε για µια συγκεκριµένη τάξη µε µαθητές, όπου: n n Υ είναι η ηλικία τους και Χ το φύλο τους (0: γυναίκα, 1: άνδρας) o Ε(Υ)= η µέση τιµή της ηλικίας όλων των µαθητών και µαθητριών o Ε(Υ i Χ i =0) η µέση τιµή της ηλικίας όλων των µαθητριών o Ε(Υ i Χ i =1) η µέση τιµή της ηλικίας όλων των µαθητών Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 23

24 (συν.) o Στο παράδειγµα της µελέτης για τη διερεύνηση της επίδρασης του µολύβδου στην σωµατοµετρική ανάπτυξη των παιδιών, ας θεωρήσουµε Υ το ύψος του παιδιού και Χ το ύψος του πατέρα o Ε(Υ)= η µέση τιµή του ύψους όλων των παιδιών o Ε(Υ i Χ i =175cm) η µέση τιµή του ύψους των παιδιών που ο πατέρας τους ήταν 175 cm o Ε(Υ i Χ i =190cm) η µέση τιµή του ύψους των παιδιών που ο πατέρας τους ήταν 190 cm Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 24

25 (συν.) o Προσέξτε ότι στη σχέση i i i 0 1 αναφερόµαστε στη µέση τιµή του Υ, για οποιαδήποτε τιµή του Χ Ŷ = E(Y X ) = β + β X i o Αυτό δε σηµαίνει ότι οι παρατηρήσεις µας «πέφτουν» ακριβώς πάνω στην ευθεία n Βρίσκονται συνήθως πάνω ή κάτω από την ευθεία o Οπότε υπάρχουν αποκλίσεις µεταξύ της µέσης τιµής Ε(Υ i X i ) και των παρατηρήσεων (Χ i,υ i ) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 25

26 (συν.) o Η απόκλιση κάθε παρατήρησης Υ i από την αντίστοιχη µέση τιµή δίνεται από το τυχαίο σφάλµα (random error) ε i. Έτσι το προηγούµενο µοντέλο: Ŷ i = E(Y i!x i )=β 0 + β 1 X i µπορεί ισοδύναµα να γραφτεί ως: Y i =β 0 +β 1 Χ i +ε i ή Υ i =E(Y i X i )+ε i Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 26

27 (συν.) o Οπότε το αναφέρεται στη µέση τιµή, και το Υ i σε µια παρατήρηση στο δείγµα µας o Π.χ. Ŷ i Ŷ i = E(Y i!x i =180)=130, δηλαδή η µέση τιµή του ύψους των παιδιών που ο πατέρας τους έχει ύψος 180cm είναι 130cm o Ενώ π.χ. αν υποθέσουµε ότι Υ 25 και Υ 31 είναι 2 από τα παιδιά που ο πατέρας τους έχει ύψος 180 cm, µπορεί να έχουµε ότι: Υ 25 =137cm και Υ 31 =128cm n Άρα ε 25 = =7cm και ε 31 = = -2cm Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 27

28 Ύψη παιδιών (Υ) Παράδειγµα: (Χ 25,Y 25 )=(180, 137) ε 25 E(Y i X i =180) = 130 Ε(Υ i Χ i ) = β0 + β1 Χ i ή Υ i = β0 + β1 Χ i + ε i Ύψος πατέρα (Χ) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 28

29 (συν.) o Έτσι, στο προηγούµενο παράδειγµα το 25 ο παιδί στο αρχείο µας έχει ύψος Υ=137cm και ο πατέρας του έχει ύψος Χ=180cm. o Το µοντέλο µας έδωσε Ε(Υ i X i =180)=130cm. o Άρα, ε 25 =Υ 25 -Ε(Υ i X i =180)=7cm. o Τόση είναι η απόκλιση του ύψους του συγκεκριµένου παιδιού από την εκτίµηση που κάνει το µοντέλο για αυτό Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 29

30 (συν.) o Υποθέτουµε ότι η κατανοµή συχνοτήτων των τιµών Υ i για κάθε δεδοµένη τιµή Χ i ακολουθεί την κανονική κατανοµή o Αυτό σηµαίνει, ότι π.χ. στο παράδειγµα που συζητάµε αν κάνουµε το ιστόγραµµα του ύψους όλων των παιδιών για µια συγκεκριµένη τιµή ύψους πατέρα (π.χ. 175cm) θα προκύψει η κανονική κατανοµή. o Αυτό θα ισχύει για κάθε τιµή ύψους πατέρα. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 30

31 (συν.) o Αυτό, φαίνεται σχηµατικά στο γράφηµα: Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 31

32 (συν.) o Ο σκοπός της απλής γραµµικής εξάρτησης είναι να εκτιµηθούν οι παράµετροι β 0 και β 1 του µοντέλου από το δείγµα o Οι εκτιµηµένες παράµετροι συµβολίζονται µε «καπελάκια»: ( βˆ, ˆ β ) 0 1 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 32

33 Εκτίµηση των παραµέτρων o Η εκτίµηση των παραµέτρων του µοντέλου (δηλαδή των β 0 και β 1 ) γίνεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (least squares method) n Θα µιλήσουµε στη συνέχεια για τη συγκεκριµένη µέθοδο o Προς το παρόν, ας δούµε ένα παράδειγµα Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 33

34 Απλή γραµµική παλινδρόµηση o Σαν παράδειγµα θα χρησιµοποιήσουµε µια βάση δεδοµένων µε πληροφορίες για 454 νεογέννητα µωρά Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 34

35 Παράδειγµα Συγκεκριµένα, ενδιαφερόµαστε να µελετήσουµε διάφορα χαρακτηριστικά των µωρών και της εγκυµοσύνης σε σχέση µε την περιφέρεια του κεφαλιού τους (σε mm). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 35

36 Στικτόγραµµα o Περιφέρεια κεφαλιού (ΠΚ) σε σχέση µε το χρόνο κυοφορίας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 36

37 Παράδειγµα Οπτικά φαίνεται ότι η ΠΚ αυξάνεται όσο αυξάνεται ο χρόνος κυοφορίας Αυτό φαίνεται πιο έντονα όταν δούµε τη µέση τιµή της ΠΚ για κάθε διαφορετικό χρόνο κυοφορίας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 37

38 (συνέχεια) Επίσης, η αύξηση αυτή φαίνεται να είναι γραµµική Δηλαδή µπορούµε να φανταστούµε µια ευθεία γραµµή να περνάει από αυτά τα σηµεία Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 38

39 Απλή γραµµική παλινδρόµηση o o Μπορούµε να προτείνουµε ένα µοντέλο για τη µέση τιµή του Υ (ΠΚ) ως συνάρτηση του Χ (χρόνος κυοφορίας) Στο προηγούµενο στικτόγραµµα είδαµε ότι η µέση τιµή του Υ αυξάνεται γραµµικά σε σχέση µε το Χ n Άρα, η σχέση αυτών των 2 µεταβλητών φαίνεται να ακολουθεί µια ευθεία γραµµή Υ περιφέρεια κεφαλιού, Χ χρόνος κυοφορίας, Ε(Υ Χ) µέση τιµή του Υ για µια συγκεκριµένη τιµή του Χ Εξίσωση της ευθείας γραµµής: E 0 1 ( Y X ) = β + β X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 39

40 Ερµηνεία o Ο συντελεστής εξάρτησης β 1 (slope) µπορεί να είναι αρνητικός (αρνητική εξάρτηση) ή θετικός αριθµός (θετική εξάρτηση) ή να ισούται µε το 0 (απουσία εξάρτησης). o Εκφράζει το µέσο όρο της µεταβολής της εξαρτηµένης µεταβλητής όταν η ανεξάρτητη µεταβληθεί κατά µία µονάδα. o Ο συντελεστής εξάρτησης β 0 (intercept) εκφράζει τη µέση τιµή του Υ όταν το Χ είναι ίσο µε 0 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 40

41 Ερµηνεία o Ο συντελεστής που µας αφορά κυρίως είναι ο β 1 o Σε πολλές περιπτώσεις η ερµηνεία του συντελεστή β 0 δεν έχει νόηµα n Γενικά δεν µας απασχολεί πολύ ο β 0, αλλά µόνο ο β 1 n Παρ όλα αυτά, σχεδόν πάντα έχουµε τον συντελεστή β 0 στο µοντέλο µας, ακόµα και αν η ερµηνεία του δεν έχει νόηµα o Έτσι, στο παράδειγµά µας ερµηνεύεται σαν τη µέση περιφέρεια κεφαλιού του µωρού όταν είναι 0 εβδοµάδων! Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 41

42 Ερµηνεία Εξίσωση της ευθείας γραµµής: E 0 1 ( Y X ) = β + β X Y β0 - intercept Η τιµή της Ε(Υ Χ) για Χ=0 β1 β0 β1 - slope Μεταβολή στη Ε(Υ Χ) για αύξηση της Χ κατά 1 µονάδα 1 µονάδα X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 42

43 Ερµηνεία Εξίσωση της ευθείας γραµµής: E 0 1 ( Y X ) = β + β X Y Αν όταν αυξάνεται το Χ, αυξάνεται το Υ β1 θετικό β0 - intercept Η τιµή της Ε(Υ Χ) για Χ=0 β0 β1 - slope Μεταβολή στη Ε(Υ Χ) για αύξηση της Χ κατά 1 µονάδα 1 µονάδα β1 X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 43

44 Ερµηνεία Εξίσωση της ευθείας γραµµής: E 0 1 ( Y X ) = β + β X Y Αν όταν αυξάνεται το Χ, µειώνεται το Υ β1 αρνητικό β0 - intercept Η τιµή της Ε(Υ Χ) για Χ=0 β0 β1 β1 - slope Μεταβολή στη Ε(Υ Χ) για αύξηση της Χ κατά 1 µονάδα 1 µονάδα X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 44

45 Απλή γραµµική παλινδρόµηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 45

46 Απλή γραµµική παλινδρόµηση o Στο SPSS: E ( Y X ) = * X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 46

47 Απλή γραµµική παλινδρόµηση Άλλη απεικόνιση του γραµµικού µοντέλου είναι η: Y 0 1 = X β + β + ε ε σφάλµα β0 - intercept β1 - slope Y E(Y X) (Χ,Υ): Παρατηρηθείσα τιµή στο δείγµα X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 47

48 Απλή γραµµική παλινδρόµηση Άλλη απεικόνιση του γραµµικού µοντέλου είναι η: Y 0 1 = X β + β + ε (Χ,Υ): Παρατηρηθείσα τιµή στο δείγµα Για ένα συγκεκριµένο X, το µοντέλο προβλέπει: E(Y X) = β 0 + β 1 X ε Έτσι, ε = Y E(Y X) Χ Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 48

49 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Πώς βρίσκουµε την ευθεία εξάρτησης που εφαρµόζει καλύτερα στα δεδοµένα µας; Με άλλα λόγια, πώς υπολογίζουµε τα β0 και β1; Η γενική ιδέα είναι ότι ψάχνουµε την ευθεία γραµµή που ελαχιστοποιεί τα σφάλµατα (ε)! Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 49

50 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων o Ορίσαµε: o ε = Υ Ε(Υ Χ) Για κάθε παρατήρηση i έχουµε: ε i = Υ i Ε(Υ i Χ i ) = Υ i β 0 β 1 Χ i Αυτή αντιπροσωπεύει την τιµή της Χ για το άτοµο i o Θέλουµε να υπολογίσουµε τις παραµέτρους β0 και β1 που ελαχιστοποιούν το άθροισµα των τετραγώνων: Άθροισµα τετραγώνων = 2 ε i = i i ( Υ i β 0 β 1 Χ ) 2 i o Οπότε ψάχνουµε τα β 0 και β 1 που ελαχιστοποιούν το παραπάνω άθροισµα Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 50

51 (συνέχεια) o Η µέθοδος αυτή δίνει: n n i i i=1 i=1 {(Yi Y)(Xi X)} Yi Xi ˆ i=1 i=1 n 1 = = = n n 2 2 (Xi X) ( X n i) i=1 2 i=1 Xi i=1 n β n Y n X r SD SD Y X ˆ β = 0 Y - b 1 X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 51

52 Προϋποθέσεις n n n n Η σχέση µεταξύ του Χ και Υ είναι γραµµική Οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες Για κάθε Χ, το Υ κατανέµεται κανονικά o Αυτό σηµαίνει ότι τα σφάλµατα ε κατανέµονται κανονικά Η τυπική απόκλιση του Υ παραµένει σταθερή για όλα τα Χ (Οµοσκεδαστικότητα) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 52

53 Απλή γραµµική παλινδρόµηση o Οι εκτιµώµενες παράµετροι είναι: o Οι παράµετροι ˆ β και ˆβ 0 1 είναι εκτιµήσεις των πραγµατικών παραµέτρων β0 και β1 (παράµετροι του πληθυσµού), από το δείγµα µας o Θέλουµε να εξάγουµε συµπεράσµατα για το β1 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 53

54 Απλή γραµµική παλινδρόµηση o Το βασικό ερώτηµα, αφού εκτιµήσουµε το µοντέλο, είναι αν υπάρχει στατιστικά σηµαντική «επίδραση» της µεταβλητής Χ στην Υ. Η «επίδραση» της Χ στην Υ δίνεται από την β1 o Έτσι ελέγχουµε τη µηδενική υπόθεση H 0 : β1=0 o Η p-value για την υπόθεση H 0 : β1=0 είναι <0.001 o Συµπεραίνουµε ότι η πραγµατική β1 είναι διαφορετική από το 0, δηλαδή υπάρχει στατιστικά σηµαντική σχέση µεταξύ του χρόνου κυοφορίας και της περιφέρειας κεφαλιού ( περισσότερος χρόνος, µεγαλύτερο κεφάλι ) o Ο έλεγχος για την β0 συνήθως δεν έχει ιδιαίτερη σηµασία Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 54

55 Διάστηµα εµπιστοσύνης o Μπορούµε να κατασκευάσουµε 95% Δ.Ε. για τις β0 και β1 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 55

56 (συν.) o Έτσι, είµαστε 95% σίγουροι ότι στον πληθυσµό αναφοράς το β 1 παίρνει τιµές µεταξύ (2,538, 4,246) o Δηλαδή, είµαστε 95% σίγουροι ότι στον πληθυσµό αναφοράς µας κάθε αύξηση του χρόνου κυοφορίας κατά µια εβδοµάδα έχει σαν αποτέλεσµα µέση αύξηση της περιφέρειας κεφαλιού µεταξύ 2,538 και 4,246mm Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 56

57 Προβλέψεις o Η πρόβλεψη της Υ (για µια δεδοµένη τιµή της Χ) βασίζεται και αυτή στις εκτιµηµένες παραµέτρους του µοντέλου! Οπότε είναι και αυτή µια εκτίµηση της «πραγµατικής» E(Y X) E(Y X) = β 0 + β 1 X o Έτσι, µπορούµε να κατασκευάσουµε Δ.Ε. και για E(Y X) την o Εδώ πρέπει να είµαστε πολύ συγκεκριµένοι στο τι ακριβώς ζητάµε, γιατί υπάρχουν 2 διαφορετικά Δ.Ε.!! Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 57

58 Δ.Ε. για τις προβλέψεις o Υπάρχει η πρόβλεψη για ένα συγκεκριµένο άτοµο που έχει µια δοθείσα τιµή Χ o Υπάρχει και η µέση πρόβλεψη για όλα τα άτοµα που έχουν την ίδια δοθείσα τιµή Χ o Οι προβλέψεις είναι ακριβώς οι ίδιες και για τις 2 παραπάνω περιπτώσεις: Ê(Y X) = ˆβ 0 + ˆβ 1 X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 58

59 Δ.Ε. για τις προβλέψεις o Τα τυπικά σφάλµατα, που αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση, διαφέρουν n Το πρώτο είδος πρόβλεψης (για ένα συγκεκριµένο άτοµο) έχει µεγαλύτερο τυπικό σφάλµα από το δεύτερο (τη µέση πρόβλεψη για όλα τα άτοµα) o Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα και τα 95% διαστήµατα εµπιστοσύνης να διαφέρουν. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 59

60 Παράδειγµα o Στο επόµενο σχήµα παρουσιάζεται το διάγραµµα εξάρτησης της τιµής των τριγλυκεριδίων του ορού από την ηλικία (από µία παλαιότερη έρευνα), καθώς και η διακύµανση της γραµµής εξάρτησης n Αυτή κατασκευάζεται µε το να κατασκευάσουµε το 95% Δ.Ε. για κάθε τιµή Χ της ανεξάρτητης µεταβλητής Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 60

61 o Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 61

62 (συν.) o Έτσι, είναι φανερό ότι η διακύµανση της γραµµής παλινδρόµησης εξαρτάται από τις τιµές της µεταβλητής Χ n Όταν η Χ προσεγγίζει τη µέση τιµή της, τότε τα τυπικά σφάλµατα πρόβλεψης ελαττώνονται n Όταν η Χ αποµακρύνεται από τη µέση τιµή της, τότε τα τυπικά σφάλµατα πρόβλεψης αυξάνονται Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 62

63 Προεκτάσεις (extrapolations); o Οι προβλέψεις για τιµές της Χ εκτός του εύρους των τιµών της Χ που είχαµε στο δείγµα µας θα πρέπει να αποφεύγεται n Αυτό, διότι η µορφή της συνάρτησης εκτός του εύρους των τιµών της Χ είναι στην πραγµατικότητα άγνωστη. n Έτσι, στο επόµενο παράδειγµα δεν συνιστάται να κάνουµε προβλέψεις για ηλικίες κάτω των 10 ή άνω των 70 ετών o Δεν ξέρουµε καν αν η σχέση είναι γραµµική σε αυτές τις τιµές Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 63

64 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 64

65 Έλεγχος και εκτίµηση του µοντέλου o Όταν κατασκευάσουµε την ευθεία παλινδρόµησης, ελέγχουµε: n Πόσο καλό είναι το µοντέλο µας (goodness of fit) n και αν πληρούνται οι προϋποθέσεις: n o Η σχέση µεταξύ του Χ και Υ είναι γραµµική o Τα σφάλµατα (ε) ακολουθούν την κανονική κατανοµή o Οµοσκεδαστικότητα Η τυπική απόκλιση του Υ παραµένει σταθερή για όλα τα Χ Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 65

66 Έλεγχος και εκτίµηση του µοντέλου o Goodness of fit n Πόσο καλά το µοντέλο µας ακολουθεί τα δεδοµένα, ή n Πόσο καλά η Χ προβλέπει την Υ, ή n n Πόση από τη διασπορά στην Υ ερµηνεύεται από τη Χ, ή Πόσο καλή είναι η γραµµική σχέση µεταξύ Υ και Χ Καλύτερο Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 66

67 Έλεγχος και εκτίµηση του µοντέλου o Γνωρίζουµε ότι ένα µέτρο της γραµµικής σχέσης µεταξύ της Χ και της Υ αποτελεί ο συντελεστής γραµµικής συσχέτισης του Pearson (r) o To r 2 µας δίνει το ποσοστό της µεταβλητότητας της Υ που εξηγείται από την Χ Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 67

68 Έλεγχος και εκτίµηση του µοντέλου o Πόση από τη διασπορά στην Υ ερµηνεύεται από τη Χ; Συντελεστής συσχέτισης του Pearson o Έτσι, το r 2 εκτιµά την ερµηνευτική ικανότητα του µοντέλου (πόσο καλό είναι το µοντέλο) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 68

69 Έλεγχος και εκτίµηση του µοντέλου o Στο προηγούµενο παράδειγµα προκύπτει ότι: r 2 = 0,12 n Άρα ο χρόνος κυοφορίας ερµηνεύει το 12% της µεταβλητότητας της περιφέρειας του κεφαλιού n Είναι καλό αυτό; n Μήπως είναι λίγο; n Είναι στατιστικά σηµαντικό; Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 69

70 Έλεγχος και εκτίµηση του µοντέλου n Μια σηµαντική ερώτηση είναι: o Είναι το ποσοστό της µεταβλητότητας που ερµηνεύεται από το µοντέλο στατιστικά διαφορετικό από το 0; Εδώ p-value<0.001, οπότε συµπεραίνουµε ότι το ποσοστό της µεταβλητότητας που ερµηνεύεται από το µοντέλο είναι στατιστικά διαφορετικό από το 0 Άρα, το 12% είναι στατιστικά σηµαντικό Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 70

71 Έλεγχος και εκτίµηση του µοντέλου n Αυτή η ερώτηση µπορεί να µας φαίνεται παρόµοια µε την ερώτηση για το αν η µεταβλητή Χ έχει στατιστικά σηµαντική «επίδραση» στην Υ: H 0 : β1=0 n Στην περίπτωση της απλής γραµµικής παλινδρόµησης αυτές οι δύο ερωτήσεις είναι ισοδύναµες Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 71

72 Διαγνωστικοί έλεγχοι o Ο πιο συνηθισµένος τρόπος για να ελέγξουµε τις προϋποθέσεις, είναι να µελετήσουµε τα σφάλµατα (ε) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 72

73 Διαγνωστικοί έλεγχοι o Έτσι λοιπόν ελέγχουµε τα υπόλοιπα: o Οι κουκίδες πρέπει να βρίσκονται γύρω από το 0 χωρίς κάποια συγκεκριµένη µορφή και µε παρόµοια διασπορά Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 73

74 Παραβίαση της οµοσκεδαστικότητας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 74

75 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 75

76 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 76

77 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 77

78 Διάγραµµα υπολοίπων εξάρτησης προς αναµενόµενες τιµές o Το 1 ο σχήµα αποτελεί τυπική µορφή διαγραµµάτων όταν όλες οι προϋποθέσεις ισχύουν. Τα υπόλοιπα ε i κατανέµονται τυχαία πάνω και κάτω από τη γραµµή ε I =0. o Αντίθετα, στο 2 ο σχήµα παρατηρείται αύξηση της διακύµανσης σε µεγαλύτερες προβλεπόµενες τιµές. Άρα, τουλάχιστον η προϋπόθεση σταθερής διακύµανσης (οµοσκεδαστικότητα) δεν ισχύει. o Τέλος στο 3 ο σχήµα τα υπόλοιπα δεν κατανέµονται τυχαία. Αντίθετα παρουσιάζουν συστηµατικότητα, υποδεικνύοντας ότι µία σηµαντική ανεξάρτητη µεταβλητή (πιθανόν ένα δευτεροβάθµιος όρος) λείπει. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 78

79 Υπόθεση γραµµικότητας o Πριν δεχθούµε ότι η σχέση εξαρτηµένηςανεξάρτητης µεταβλητής είναι γραµµική, θα πρέπει να ελεγχθεί και γραφικά. n Γραφικά µπορεί να ελεγχθεί µε το στικτόγραµµα εξαρτηµένης-ανεξάρτητης µεταβλητής. n Το παράδειγµα ηµερήσιας θνησιµότητας και ηµερήσιας θερµοκρασίας είναι ένα κλασικό παράδειγµα µη γραµµικής σχέσης. o Το αντίστοιχο διάγραµµα δείχνει ότι η σχέση είναι µάλλον παραβολοειδής. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 79

80 Σχέση µεταξύ µέσης ηµερήσιας θνησιµότητας και µέσης ηµερήσιας θερµοκρασίας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 80

81 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 81

82 Παράδειγµα, απλή γραµµική παλινδρόµηση N Mean Median Std. Deviation Percentiles Valid Missing Statistics Age of Body Mass Subjects Index (kg/m2) ,27 26, ,00 25, ,837 4, ,00 23, ,00 25, ,00 28,9811 Περιγραφικά στοιχεία για την ηλικία και το Δείκτη Μάζας Σώµατος (BMI) σε δείγµα ενηλίκων ανδρών και γυναικών. Correlations Age of Subjects Body Mass Index (kg/m2) Age of Subjects Pearson Correlation Sig. (2- tailed) 1,294**,000 N Body Mass Index (kg/m2) Pearson Correlation,294** 1 Sig. (2- tailed) N, **. Correlation is significant at the 0.01 level (2- tailed). Υπάρχει θετική συσχέτιση µεταξύ Δείκτη Μάζας Σώµατος (BMI) και ηλικίας, ενηλίκων ανδρών και γυναικών. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 82

83 Παράδειγµα, απλή γραµµική παλινδρόµηση Model 1 (Constant) Age of Subjects Unstandardized Coefficients a. Dependent Variable: Body Mass Index (kg/m2) Coefficients a Standardized Coefficients 95% Confidence Interval for B B Std. Error Beta t Sig. Lower Bound Upper Bound 22,003,269 81,646,000 21,474 22,531,096,006,294 16,811,000,085,107 Το µοντέλο της απλής γραµµικής παλινδρόµησης είναι Υ(ΒΜΙ) = 22, ,096 * Ηλικία Η συσχέτιση της ηλικίας µε τον ΒΜΙ είναι στατιστικά σηµαντική (p-value < 0,001) στον πληθυσµό της µελέτης. Για κάθε έτος αύξηση στην ηλικία (Χ) ο δείκτης µάζας σώµατος (Υ) αυξάνει κατά 0,096 kg/m 2 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 83

84 ANOVA και R 2 Model 1 Regression Residual Total ANOVA b Sum of Squares df Mean Square F Sig. 5263, , ,595,000 a 55722, , , a. Predictors: (Constant), Age of Subjects b. Dependent Variable: Body Mass Index (kg/m2) Model 1 Model Summary b Adjusted Std. Error of Durbin- R R Square R Square the Estimate Watson,294 a,086,086 4,31555,878 a. Predictors: (Constant), Age of Subjects b. Dependent Variable: Body Mass Index (kg/m2) Η ηλικία έχει µικρή ερµηνευτική ικανότητα για το ΒΜΙ: R 2 = 0,086 = 8,6%, αλλά στατιστικά σηµαντική (p-value<0,001) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 84

85 Έλεγχοι καταλληλότητας του µοντέλου Ένδειξη για κανονική κατανοµή των σφαλµάτων Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 85

86 Έλεγχοι καταλληλότητας του µοντέλου Ένδειξη για οµοσκεδαστικότητα των σφαλµάτων Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 86

87 Συντελεστής συσχέτισης ή απλή γραµµική παλινδρόµηση; Σχέση µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών o Η διάκριση µεταξύ συσχέτισης και παλινδρόµησης (εξάρτησης) είναι περισσότερο εννοιολογική και λιγότερο στατιστική o Εάν µας ενδιαφέρει η ένταση της σχέσης των δύο µεταβλητών, αρκεί ο συντελεστής συσχέτισης o Εάν µας ενδιαφέρει η µελέτη της εξάρτησης της µιας µεταβλητής από την άλλη (εξαρτηµένη µεταβλητή-ανεξάρτητη µεταβλητή) τότε επιλέγουµε την απλή γραµµική παλινδρόµηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 87

88 Συντελεστής συσχέτισης ή απλή γραµµική παλινδρόµηση; n i i ˆ = i=1 = 1 n (X X) 2 i i=1 β {(Y Y)(X X)} r SD SD Y X Στην πράξη ο συντελεστής συσχέτισης r και ο συντελεστής β 1 της απλής γραµµικής παλινδρόµησης απαντούν στο ίδιο ερευνητικό ερώτηµα Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 88

89 Παράδειγµα o Έστω ότι διερευνάται η εξάρτηση της θνησιµότητας από τροχαία ατυχήµατα (Υ) σε διάφορες χώρες από 2 µεταβλητές: n n Χ 1 : αριθµός αυτοκινήτων ανά κάτοικο του γενικού πληθυσµού Χ 2 : πυκνότητα πληθυσµού ανά τετραγωνικό χλµ o Μπορούµε να εφαρµόσουµε διαδοχικά δύο απλές γραµµικές εξαρτήσεις n Στην πρώτη η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι η Χ 1 n Στην δεύτερη η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι η Χ 2 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 89

90 (συν.) o Αν οι δύο ανεξάρτητες µεταβλητές είναι συσχετισµένες; n Π.χ. η Υ µπορεί να εξαρτάται µόνο από τη Χ 1 και όχι από τη Χ 2, αλλά η Χ 1 και η Χ 2 συσχετίζονται µεταξύ τους o Θα προκύψει (έµµεση) εξάρτηση της Υ από τη Χ 2 (συγχυτικός παράγοντας) o Στο παράδειγµά µας η θνησιµότητα από τροχαία ατυχήµατα εξαρτάται από τον αναλογικό αριθµό αυτοκινήτων, ο οποίος συσχετίζεται θετικά µε την πυκνότητα πληθυσµού Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 90

91 (συν.) o Ερώτηση: Υπάρχει τρόπος να διερευνήσουµε την εξάρτηση της εξαρτηµένης µεταβλητής µε µ ί α α ν ε ξ ά ρ τ η τ η µ ε τ α β λ η τ ή, χ ω ρ ί ς ν α επηρεάζεται η σχέση αυτή από άλλες ανεξάρτητες µεταβλητές; o Απάντηση: Η πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 91

92 Πολλαπλή γραµµική εξάρτηση (Multiple linear regression) o Στην πολλαπλή γραµµική εξάρτηση διερευνάται η γραµµική σχέση µιας εξαρτηµένης µεταβλητής µε περισσότερες από µία ανεξάρτητες µεταβλητές. o Συγκεκριµένα, µελετάται η γραµµική σχέση µιας εξαρτηµένης µεταβλητής µε καθεµία ανεξάρτητη µεταβλητή, χωρίς να επηρεάζεται από τις σχέσεις αυτών µε τις υπόλοιπες ανεξάρτητες µεταβλητές. o Για αυτό λέµε ότι «ελέγχονται» οι επιδράσεις των υπόλοιπων µεταβλητών Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 92

93 Πολλαπλή γραµµική εξάρτηση (Multiple linear regression) o Έτσι, στο προηγούµενο παράδειγµά µας, µπορούµε να διερευνήσουµε τη γραµµική σχέση µεταξύ της θνησιµότητας από τροχαία ατυχήµατα µε τον αναλογικό αριθµό αυτοκινήτων, ελέγχοντας γιά την πυκνότητα του πληθυσµού o Και το αντίστροφο, δηλαδή να µελετήσουµε τη γραµµική σχέση µεταξύ της θνησιµότητας από τροχαία ατυχήµατα µε την πυκνότητα του πληθυσµού, ελέγχοντας για τον αναλογικό αριθµό αυτοκινήτων o Αυτό γίνεται πραγµατοποιώντας µια πολλαπλή γραµµική εξάρτηση, που περιέχει και τη Χ1 και τη Χ2 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 93

94 Παράδειγµα o Σε µελέτη για τη διερεύνηση της επίδρασης του µολύβδου στην σωµατοµετρική ανάπτυξη των παιδιών, µελετήθηκαν παιδιά σχολικής ηλικίας (µεταξύ 6 και 10 ετών), από τρείς περιοχές: Λαύριο, Ελευσίνα και Λουτράκι. Το συνολικό δείγµα αποτελείται από 522 παιδιά, 274 αγόρια και 248 κορίτσια ηλικίας 6-9 χρονών. o Μέρος των δεδοµένων παρουσιάζεται στον πίνακα που ακολουθεί (Kafourou et al, Archives of Environmental health, 1997; 52: ). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 94

95 Πίνακας Κωδικός Πόλη Ηλικία Ανάστηµα Μόλυβδος Ανάστηµα (έτη) πατέρα (cm) (µg/ml) παιδιού (cm) Για την πόλη 1 σηµαίνει Λουτράκι, 2 Λαύριο και 3 Ελευσίνα. = Eλλείπουσες τιµές (missing values) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 95

96 Πολλαπλή γραµµική εξάρτηση (Multiple linear regression) o Έστω Υ η εξαρτηµένη µεταβλητή που µας ενδιαφέρει. o Έστω Χ 1, Χ 2,, Χ p αντιπροσωπεύουν p ανεξάρτητες µεταβλητές. n Για παράδειγµα στα δεδοµένα του µολύβδου: o Εξαρτηµένη µεταβλητή το ύψος του παιδιού (Υ) o Ανεξάρτητες µεταβλητές: 1. οι τιµές του µολύβδου (Χ 1 ), 2. το ύψος του πατέρα (Χ 2 ), 3. το επίπεδο µόρφωσης του πατέρα (Χ 3 ) και 4. η ηλικία του παιδιού (Χ 4 ). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 96

97 (συν.) o Τότε, κατά αντιστοιχία µε την απλή γραµµική εξάρτηση, το µοντέλο θα µπορούσε να γραφεί ως: Yˆi =E(Y i Χ 1i,Χ 2i,, Χ pi )=β 0 +β 1 Χ 1i +β 2 Χ 2i + +β p X pi ή ισοδύναµα Υ i = β 0 +β 1 Χ 1i +β 2 Χ 2i + +β p X pi +ε i = Yˆi +ε i όπου ε i συµβολίζουν πάλι τα υπόλοιπα (σφάλµατα). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 97

98 (συν.) o Όπως και στην απλή γραµµική εξάρτηση ο σκοπός είναι να εκτιµηθούν οι παράµετροι β i του µοντέλου από το δείγµα: Ŷ i = ˆ β + ˆ β X + ˆ β X ˆ β X 0 1 o Τα παρατηρηθέντα υπόλοιπα υπολογίζονται αντίστοιχα ως: 1i ε ˆ + ˆ X + ˆ X...+ ˆ i = (Yi Ŷ i) = [Yi ( βo β1 1i β2 2i βpxpi)] 2 2i p pi Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 98

99 Προϋποθέσεις o Οι προϋποθέσεις της πολλαπλής γραµµικής εξάρτησης είναι αντίστοιχες της απλής γραµµικής εξάρτησης. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 99

100 Ανεξάρτητες µεταβλητές o Στην πολλαπλή γραµµική εξάρτηση οι ανεξάρτητες µεταβλητές δεν είναι απαραίτητο να είναι ποσοτικές µεταβλητές. Ποιοτικές µεταβλητές, όπως το φύλο ή το επάγγελµα, µπορούν να χρησιµοποιηθούν σαν ανεξάρτητες µεταβλητές. o Όταν µια ποιοτική µεταβλητή έχει µόνο δύο επίπεδα εισάγεται στο µοντέλο ως έχει. n Π.χ. το φύλο: άνδρας (κωδικοποιηµένο ως 1) και γυναίκα (κωδικοποιηµένο ως 2) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 100

101 Ψευδοµεταβλητές o Όταν µια ποιοτική µεταβλητή έχει περισσότερα των δύο επιπέδων απαιτείται η δηµιουργία ψευδοµεταβλητών (dummy variables or indicator variables). o Π.χ. επάγγελµα πατέρα, στα δεδοµένα του µολύβδου, κωδικοποιηµένο ως: n ανειδίκευτος:1, n ειδικευµένος:2, n πανεπιστηµιακής εκπαίδευσης:3 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 101

102 (συν.) o Στο παράδειγµα του επαγγέλµατος θα µπορούσαν να δηµιουργηθούν 3 ψευδοµεταβλητές: n µία για τους ανειδίκευτους (job1), n µία για τους ειδικευµένους (job2) και n µια για τους έχοντες πανεπιστηµιακή µόρφωση (job3). o Η καθεµία από αυτές παίρνει την τιµή 1 όταν το άτοµο ανήκει στη συγκεκριµένη κατηγορία (επάγγελµα) και 0 στις υπόλοιπες περιπτώσεις. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 102

103 (συν.) o o o Η ψευδοµεταβλητή job1, για παράδειγµα, που αναφέρεται στους ανειδίκευτους, θα έχει: n την τιµή 1 για όλους τους ανειδίκευτους και n την τιµή 0 για όλους τους υπόλοιπους. Στο µοντέλο της γραµµικής εξάρτησης εισάγονται τόσες ψευδοµεταβλητές όσος και ο αριθµός των επιπέδων της αρχικής ποιοτικής µεταβλητής µείον 1. Άρα, στο παράδειγµα του επαγγέλµατος του πατέρα θα εισαχθούν στο µοντέλο 2 ψευδοµεταβλητές (όποιες κρίνεται σκόπιµο). Η ψευδοµεταβλητή πού δεν εισάγεται στο µοντέλο αποτελεί το επίπεδο αναφοράς (reference level/category). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 103

104 Επάγ/µα πατ. job1 job2 job Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 104

105 Επάγ/µα πατ. job1 job2 Job Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 105

106 Ερµηνεία των µερικών συντελεστών εξάρτησης o Οι συντελεστές πολλαπλής εξάρτησης ονοµάζονται µερικοί συντελεστές εξάρτησης (partial regression coefficients). o Ο συντελεστής µερικής εξάρτησης εκφράζει τη µεταβολή της εξαρτηµένης µεταβλητής όταν η αντίστοιχη ανεξάρτητη µεταβλητή µεταβληθεί κατά µία µονάδα, διατηρώντας τις υπόλοιπες µεταβλητές του µοντέλου σταθερές. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 106

107 (συν.) o Όταν πρόκειται για ποιοτικές µεταβλητές µε περισσότερα των δύο επιπέδων αυτό µεταφράζεται ως η µέση διαφορά στην εξαρτηµένη µεταβλητή για άτοµα της κατηγορίας στην οποία αναφέρεται η αντίστοιχη ψευδοµεταβλητή από τα άτοµα που ανήκουν στην κατηγορία αναφοράς. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 107

108 Εφαρµογή o Στον πίνακα δίνονται τα αποτελέσµατα πολλαπλής γραµµικής εξάρτησης µε εξαρτηµένη µεταβλητή το ανάστηµα του παιδιού και ανεξάρτητες n την ηλικία του, n n n το επάγγελµα του πατέρα, εισάγοντας στο µοντέλο τις ψευδοµεταβλητές job2 (ειδικευµένοι) και job3 (πανεπιστηµιακής µόρφωσης), τα επίπεδα µολύβδου (µετά από λογαριθµικό µετασχηµατισµό) και το φύλο (άνδρες:1, γυναίκες:2). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 108

109 (συν.) Model Coeffs. SE t Sig. Constant 88,383 2,264 39,034 0,000 AGE 4,645 0,284 16,351 0,000 JOB2 2,469 0,493 5,004 0,000 JOB3 2,437 0,980 2,488 0,013 LLEAD -0,737 0,314-2,348 0,019 SEX -0,669 0,442-1,513 0,131 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 109

110 (συν.) o Οπότε, µε βάση τα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται στον προηγούµενο πίνακα, το γραµµικό µοντέλο εξάρτησης µπορεί να γραφεί ως: Yˆi = 88, ,645*AGE + 2,469*JOB ,437*JOB3-0,737*LLEAD 0,669*SEX Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 110

111 (συν.) o Ο µερικός συντελεστής εξάρτησης για την ηλικία είναι 4,645. Αυτό µπορεί να ερµηνευτεί ως: n αύξηση της ηλικίας κατά ένα έτος σχετίζεται µε µέση αύξηση του ύψους των παιδιών κατά 4,645 cm, διατηρώντας τις υπόλοιπες µεταβλητές του µοντέλου σταθερές. o Οπότε, αύξηση της ηλικίας κατά τρία έτη τι αποτέλεσµα θα έχει; n µέση αύξηση του ύψους των παιδιών κατά 3 * 4,645 13,9 cm, διατηρώντας τις υπόλοιπες µεταβλητές του µοντέλου σταθερές. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 111

112 (συν.) o Ο µερικός συντελεστής εξάρτησης για το φύλο είναι και ερµηνεύεται ως εξής: n Τα κορίτσια (κωδικός: 2) έχουν κατά µέσο cm χαµηλότερο ανάστηµα από τα αγόρια (κωδικός: 1), διατηρώντας τις υπόλοιπες µεταβλητές του µοντέλου σταθερές. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 112

113 (συν.) o Ο µερικός συντελεστής εξάρτησης για τη ψευδοµεταβλητή job2 είναι 2,469. Αυτό θα µπορούσε να ερµηνευτεί ως: n τα παιδιά των ειδικευµένων έχουν κατά µέσο όρο υψηλότερο ανάστηµα από τα παιδιά των ανειδίκευτων (κατηγορία αναφοράς) κατά 2,469 cm, διατηρώντας τις υπόλοιπες µεταβλητές του µοντέλου σταθερές. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 113

114 (συν.) o Αντίστοιχα, τα παιδιά των γονιών µε πανεπιστηµιακή µόρφωση έχουν κατά µέσο όρο υψηλότερο ανάστηµα από τα παιδιά των ανειδίκευτων (κατηγορία αναφοράς) κατά 2,437 cm, διατηρώντας τις υπόλοιπες µεταβλητές του µοντέλου σταθερές. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 114

115 (συν.) o Στο παραπάνω παράδειγµα, οι συντελεστές µερικής εξάρτησης τόσο της ψευδοµεταβλητής job2 όσο και της job3 είναι στατιστικά σηµαντικοί. o Αν όµως παρατηρήσουµε προσεκτικότερα, θα δούµε ότι οι δύο συντελεστές δεν φαίνεται να διαφέρουν µεταξύ τους, υποδεικνύοντας ότι το ύψος των παιδιών των ειδικευµένων δεν φαίνεται να διαφέρει από το ύψος των παιδιών των γονέων µε πανεπιστηµιακή µόρφωση. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 115

116 Έλεγχος υποθέσεων o Ο έλεγχος για την σηµαντικότητα των µερικών συντελεστών εξάρτησης γίνεται, παρόµοια µε τον αντίστοιχο έλεγχο στην απλή γραµµική εξάρτηση, µε το t τεστ. n Στο προηγούµενο παράδειγµα, όλοι οι συντελεστές µερικής εξάρτησης είναι στατιστικά σηµαντικοί (p-value<0.05), εκτός του φύλου. o Τα 95% Δ.Ε. κάθε συντελεστή υπολογίζονται παρόµοια µε την απλή γραµµική εξάρτηση. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 116

117 Προβλέψεις o Στο προηγούµενο παράδειγµα να υπολογιστεί το ανάστηµα ενός 7-χρονου αγοριού, µε πατέρα απόφοιτο Γυµνασίου, εκτεθειµένο σε επίπεδα µολύβδου 2,3 µg/m 3. Ύψος= 88,383+4,645*AGE+2,469*JOB2+ 2,437*JOB3-0,737*LLEAD-0,669*SEX Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 117

118 (συν.) Άρα: Ύψος = 88,383+4,645*7+2,469*0+ 2,437*0-0,737*0,833-0,669*1= = 119,6 cm Έτσι, ένα µέσο αγόρι µε τα χαρακτηριστικά που µας ζητήθηκε θα έχει προβλεπόµενο µέσο ύψος 119,6 cm. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 118

119 (συν.) o Πόσο θα διαφέρει το ύψος του αγοριού που µόλις υπολογίσαµε από αυτό ενός κοριτσιού 6 ετών, µε πατέρα απόφοιτο ΑΕΙ, εκτεθειµένο σε επίπεδα µολύβδου 1,4 µg/m 3 ; Ύψος = 88,383+4,645*6+2,469*0+ 2,437*1-0,737*0,336-0,669*2= = 117,1 cm Έτσι το αγόρι θα είναι ψηλότερο κατά µέσο όρο κατά 119,6-117,1=2,5 cm Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 119

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 11. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις:

Άσκηση 11. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις: Άσκηση. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις: X X X X Y 7 50 6 7 6 6 96 7 0 5 55 9 5 59 6 8 8 5 0 59 7 7 8 8 5 5 0 7 69 9 6 6 7 6 9 5 7 6 8 5 6 69 8 0 50 66 0 0 50 8 59 76 8 7 60 7 87 6 5 7 88 9 8 50 0 5

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 6: Συσχέτιση και παλινδρόμηση εμπειρική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος

Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος - Στο παρόν µάθηµα δίνεται µε κάποια απλά παραδείγµατα-ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή

Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή Επιστηµονική Επιµέλεια ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας, Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Εισαγωγή Ανάλυση Παλινδρόµησης και Συσχέτιση Απλή

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο Παράδειγμα 1 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πωλήσεις (ζήτηση) ενός προϊόντος Υ (σε κιλά) από το delicatessen μιας περιοχής και τις αντίστοιχες τιμές Χ του προϊόντος (σε ευρώ ανά κιλό) για μια ορισμένη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ-ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ- ΠΟΛΛΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Σηµειώσεις: Θωµόπουλος Γιώργος Ρογκάκος Γιώργος Καθηγητής: Κουνετάς

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού

Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Viola adorata Σκηνή Πρώτη Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους (µέρος Ι). Ο µέσος όρος

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Περιεχόμενα Εισαγωγή Το πρόβλημα - Συντελεστής συσχέτισης Μοντέλο απλής γραμμικής παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες Ασκήσεις για το μάθημα:

Λυμένες Ασκήσεις για το μάθημα: Λυμένες Ασκήσεις για το μάθημα: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ Τμήμα: ΔΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 14 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 1 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη της επίδρασης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής στην εξαρτηµένη Λογική παρόµοια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολλαπλή Παλινδρόμηση Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Ανάλυση Δεδομένων (Εργαστήριο) Διαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων

Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων 1 Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Παραμετρικό στατιστικό κριτήριο για τη μελέτη της επίδρασης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή

Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Δεκέμβριος 2011 Στόχος Έρευνας H βιτρίνα των καταστημάτων αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται Κεφάλαιο 10 Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να προβλέψουμε τις τιμές μιας μεταβλητής από τις τιμές μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Κεϕάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεϕάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Επίλυση: Oneway Anova Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i )

Άσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i ) Άσκηση Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς φοιτητών (Χ i ) στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός κολεγίου και τους αντίστοιχους βαθμούς τους (Υ i ) στο τέλος της πρώτης χρονιάς φοίτησης στο συγκεκριμένο κολέγιο.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

+ ε βελτιώνει ουσιαστικά το προηγούμενο (β 3 = 0;) 2. Εξετάστε ποιο από τα παρακάτω τρία μοντέλα:

+ ε βελτιώνει ουσιαστικά το προηγούμενο (β 3 = 0;) 2. Εξετάστε ποιο από τα παρακάτω τρία μοντέλα: ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ, 6-5-0 Άσκηση 8. Δίνονται οι παρακάτω 0 παρατηρήσεις (πίνακας Α) με βάση τις οποίες θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα γραμμικό μοντέλο για την πρόβλεψη της Υ μέσω των ανεξάρτητων μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ+ΠΑΤΡΩΝ+ Τμήμα+Διοίκησης+Επιχειρήσεων+

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ+ΠΑΤΡΩΝ+ Τμήμα+Διοίκησης+Επιχειρήσεων+ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ+ΠΑΤΡΩΝ+ Τμήμα+Διοίκησης+Επιχειρήσεων+ «Η# δράση# των# επιχειρήσεων# στα# κοινωνικά# δίκτυα# (social# media)# στο# διαδίκτυο# και# η# επίδραση#στην#απόδοση#των#επιχειρήσεων)#»# Δρ.#Δέσποινα#Καραγιάννη,#Αθηνά#Ντάβαρη#(ΜΒΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 4 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 6. Συσχέτιση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 6. Συσχέτιση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 6. Συσχέτιση Γενικά Υπάρχει σχέση ανάµεσα σε δύο (ή περισσότερες) µεταβλητές; Αν υπάρχει σχέση ποια η φύση της σχέσης αυτής; Συσχέτιση: µέτρο σχέσης ανάµεσα σε µεταβλητές Θετικά συσχετισµένες

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑ 12 Συµπερασµατολογία για την επίδραση πολλών µεταβλητών σε µια ποσοτική (Πολλαπλή Παλινδρόµηση) [µέρος 2ο]

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑ 12 Συµπερασµατολογία για την επίδραση πολλών µεταβλητών σε µια ποσοτική (Πολλαπλή Παλινδρόµηση) [µέρος 2ο] Ενότητα 2 ιαφάνειες Μαθήµατος: 2- Ενότητα 2 ιαφάνειες Μαθήµατος: 2-2 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο.6. είκτες µερικής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση συνεχών μεταβλητών. Γεωργία Σαλαντή. Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας

Ανάλυση συνεχών μεταβλητών. Γεωργία Σαλαντή. Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας Συσχέτιση Παλινδρόμηση Ανάλυση συνεχών μεταβλητών Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας Περιεχόμενα Συσχέτιση μεταξύ δύο συνεχών μεταβλητών Παλινδρόμηση μεταξύ Μίας συνεχούς μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11 ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 34 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: 17 Οικονομετρικά Εργαστήριο 15/5/11 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σκοπός του παρόντος µαθήµατος είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ.

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ. Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει δύο ανεξάρτητων παραγόντων (Ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς περισσότερους

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης

Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Πέτρος Ρούσσος Πρόγραμμα Ψυχολογίας, ΦΠΨ, ΕΚΠΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1 Ορολογία Προβλεπτικές μεταβλητές ή παράγοντες (predictors) Μεταβλητή κριτήριο (criterion) Απλή και πολλαπλή παλινδρόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο ανεξάρτητων δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός ανεξάρτητου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Α εξάμηνο 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Ποιοτικές και Ποσοτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις για την επιστημονική έρευνα users.sch.gr/abouras

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Περιεχόμενα 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης ιαστήµατα εµπιστοσύνης και έλεγχοι υποθέσεων για τη µέση τιµή Για µια ποσοτική µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη μεθοδολογία της Εκπαιδευτικής Έρευνας

Εισαγωγή στη μεθοδολογία της Εκπαιδευτικής Έρευνας Εισαγωγή στη μεθοδολογία της Εκπαιδευτικής Έρευνας Νίκος Καλογερόπουλος 2014 Τι είναι έρευνα στην στατιστική Αρχική παρατήρηση: κάτι που πρέπει να διευκρινιστεί Κάθε χρόνο υπόσχομαι στον εαυτό μου ότι

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ.

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ. Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός επαναλαμβανόμενου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια Αθήνα, 6-4-7 Γραμμικά Μοντέλα Λύσεις Ασκήσεων η Άσκηση: (α) Eίναι η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών γραμμική; Διάγραμμα Διασποράς Για το Υψόμετρο & τις Αρνητικές Τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΣΧΟΛΗ ΔΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΚΠΟΝΗΣΗ : ΜΠΑΡΔΑΚΗ ΘΕΟΔΩΡΑ ΛΑΚΟΥΜΕΝΤΑ ΙΩΑΝΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που ακολουθούν την κανονική κατανομή (t-test για εξαρτημένα δείγματα)

Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που ακολουθούν την κανονική κατανομή (t-test για εξαρτημένα δείγματα) Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που ακολουθούν την κανονική κατανομή (t-test για εξαρτημένα δείγματα) Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο σε ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ.

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ. Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός επαναλαμβανόμενου και ενός ανεξάρτητου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως προς δύο παράγοντες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15. Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης. Παραγοντική

Κεφάλαιο 15. Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης. Παραγοντική Κεφάλαιο 15 Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης 1 Παραγοντική ανάλυση διακύµανσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη των επιδράσεων περισσότερων από µια ανεξάρτητων µεταβλητών στην εξαρτηµένη καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη 1 ης Εβδομάδας. Σχέσεις Μεταβλητών ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Σχέση μεταξύ Μεταβλητών Παραδείγματα. 2 η Διάλεξη

Ύλη 1 ης Εβδομάδας. Σχέσεις Μεταβλητών ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Σχέση μεταξύ Μεταβλητών Παραδείγματα. 2 η Διάλεξη ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2 η Διάλεξη Ελένη Κανδηλώρου (Αναπλ. Καθηγήτρια) Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Ύλη 1 ης Εβδομάδας Γραμμική Παλινδρόμηση-Έννοια Παλινδρόμισης 1. Σχέση μεταξύ μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Άσκηση 1: Μια τράπεζα ενδιαφέρεται να μελετήσει την αποταμιευτική συμπεριφορά των πελατών της. Θεωρείται ως δεδομένο ότι η ετήσια αποταμίευση των πελατών της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011

ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011 Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή των εργαλείων ρουτινών του στατιστικού

Περιγραφή των εργαλείων ρουτινών του στατιστικού Κεφάλαιο 5 ο Περιγραφή των εργαλείων ρουτινών του στατιστικού πακέτου SPSS που χρησιµοποιήθηκαν. 5.1 Γενικά Το στατιστικό πακέτο SPSS είναι ένα λογισµικό που χρησιµοποιείται ευρέως ανά τον κόσµο από επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό διερευνούµε αν το να είναι κανείς υποψήφιος παλαιοτέρων ετών, που έχει δώσει τουλάχιστον µια φορά εξετάσεις, του προσδίδει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4 η : Ανάλυση ερευνητικών δεδομένων. Δημήτριος Σταμοβλάσης Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Ενότητα 4 η : Ανάλυση ερευνητικών δεδομένων. Δημήτριος Σταμοβλάσης Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην Ανάλυση Ερευνητικών Δεδομένων στις Κοινωνικές Επιστήμες Με χρήση των λογισμικών IBM/SPSS και LISREL Ενότητα 4 η : Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ο 10.1 Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση 10.2 Η εφαρµογή της Πολλαπλής Γραµµικής Παλινδρόµησης 10.3 Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION)

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION) 4. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION) Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης (stepwise regression) είναι μιά άλλη μέθοδος επιλογής ενός "καλού" υποσυνόλου ανεξαρτήτων μεταβλητών.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Συσχέτιση

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Συσχέτιση Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Συσχέτιση Οι επιδόσεις δέκα μαθητών σε τέσσερα μαθήματα Μαθητής Άλγεβρα Φυσική Νέα Ελληνικά Μουσική Α 65 63 35 61 Β 60 58 38 35 Γ 60 60 40 46

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ιστόγραμμα. Προκειμένου να αλλάξουμε το εύρος των bins κάνουμε διπλό κλικ οπουδήποτε στο ιστόγραμμα και μετά

1. Ιστόγραμμα. Προκειμένου να αλλάξουμε το εύρος των bins κάνουμε διπλό κλικ οπουδήποτε στο ιστόγραμμα και μετά 1. Ιστόγραμμα Δεδομένα από το αρχείο Data_for_SPSS.xls Αλλαγή σε Variable View (Κάτω αριστερά) και μετονομασία της μεταβλητής σε NormData, Type: numeric και Measure: scale Αλλαγή πάλι σε Data View. Graphs

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Πληθυσμός (Χ i1 )

Άσκηση 1. Πληθυσμός (Χ i1 ) Άσκηση Μία αντιπροσωπεία πωλήσεως αυτοκινήτων διαθέτει καταστήματα σε 5 διαφορετικές πόλεις. Ο επόμενος πίνακας δίνει τις πωλήσεις Υ i του τελευταίου μήνα καθώς επίσης και τον πληθυσμό Χ i και το οικογενειακό

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Παλινδρόµηση

Λογιστική Παλινδρόµηση Κεφάλαιο 10 Λογιστική Παλινδρόµηση Στο κεφάλαιο αυτό ϑα δούµε την µέθοδο της λογιστικής παλινδρόµησης η οποία χρησιµεύει στο να αναπτύξουµε σχέση µίας δίτιµης ανεξάρτητης τυχαίας µετα- ϐλητής και συνεχών

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση και Παλινδρόμηση Correlation and Regression. Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Βιοστατιστικής

Συσχέτιση και Παλινδρόμηση Correlation and Regression. Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Βιοστατιστικής Συσχέτιση και Παλινδρόμηση Correlation and Regression Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Βιοστατιστικής Συσχέτιση μεταξύ δυο μεταβλητών Η συσχέτιση (correlation) ή συνάφεια (association)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Μη γραµµικά υποδείγµατα παλινδρόµησης Έστω µία συνάρτηση f = f(x 1,..., X K ) των µεταβλητών X 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΜ264: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σε μελέτη της επίδρασης γεωργικών χημικών στην προσρόφηση ιζημάτων και εδάφους, δίνονται στον πιο κάτω πίνακα 13 δεδομένα για το δείκτη

Διαβάστε περισσότερα