w = f(z) = z + i C(0,4) 2πi z 2 (z 2) 3 dz = 1 8. f(z) = (z 2 + 1)(z + i). e z 1 e z 1 = 3 cos 2θ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β Θ. (αʹ) Εστω ο μετασχηματισμός w f() + i i, C, i. 6 Μαρτίου, 25 Δείξτε ότι η w f() απεικονίζει το τυχαίο σημείο του μοναδιαίου κύκλου C(, ), i, στο φανταστικό άξονα Rw. ( μον.) (βʹ) Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f u + iv είναι αναλυτική και ικανοποιεί τη σχέση v u 3 σε ένα τόπο(ανοικτό και συνεκτικό σύνολο) G C. Δείξτε ότι η f είναι σταθερή στο G. ( μον.) Θ2. Να βρεθεί η τιμή του a R ια την οποία η συνάρτηση u(x, y) y 3 + ax 2 y 2x 2 + 2y 2 είναι αρμονική στο R 2. Στη συνέχεια να βρεθεί η συζυής αρμονική v της u καθώς επίσης και η ακέραια συνάρτηση f() f(x + iy) u(x, y) + iv(x, y) με f(i) 3 i. Να εκφράσετε την f συναρτήσει του. Θ3. (αʹ) Εστω f ακέραια συνάρτηση. Χρησιμοποιώντας τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy δείξτε ότι f() 2 d (f(3) f( 2)), 6 5 C(,4) όπου C(, 4) είναι ο κύκλος κέντρου και ακτίνας 4. (,5 μον.) ( μον.) (βʹ) Αν η παραμετρική εξίσωση της καμπύλης είναι: (θ) + 2e iθ, θ 4π, χρησιμοποιώντας τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy ια παραώους δείξτε ότι 2 ( 2) 3 d 8. Θ4. (αʹ) Εστω η συνάρτηση f() ( 2 + )( + i). ( μον.) Να βρεθεί το ανάπτυμα(η σειρά) Laurent της f με κέντρο το i στο μεαλύτερο δυνατό δακτύλιο που περιέχει το σημείο 2 + i. (,5 μον.) (βʹ) Εστω e n a n n το ανάπτυμα Laurent της συνάρτησης f() { C : 2π < < 4π} με κέντρο το. e στο δακτύλιο Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Laurent καθώς επίσης και το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων, να υπολοιστούν οι συντελεστές a και a. (,5 μον.) Θ5. Χρησιμοποιώντας μιαδική ολοκλήρωση, δείξτε ότι (ˆ 3 cos 2θ 2π e 2iθ ) dθ 3R 5 4 cos θ 5 4 cos θ dθ π 2. (,5 μον.)

2 Συμβολισμός : R Re, I Im Σημείωση : Αν το C είναι πόλος τάξης k N της συνάρτησης f, το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο δίνεται από τον τύπο Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες Res (f, ) (k )! lim ( ) k f() ] (k ). 2

3 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β Θ. (αʹ) Εστω ο μετασχηματισμός w f() + i i, C, i. 6 Μαρτίου, 25 Δείξτε ότι η w f() απεικονίζει το τυχαίο σημείο του μοναδιαίου κύκλου C(, ), i, στο φανταστικό άξονα Rw. ( μον.) (βʹ) Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f u + iv είναι αναλυτική και ικανοποιεί τη σχέση v u 3 σε ένα τόπο(ανοικτό και συνεκτικό σύνολο) G C. Δείξτε ότι η f είναι σταθερή στο G. ( μον.) Λύση. (αʹ) Για x + iy είναι w + i x + i(y + ) x + i(y + )] x i(y )] i x + i(y ) x 2 + (y ) 2 x2 + y 2 + 2ix + x 2 + y 2 2y. Επειδή x 2 + y 2, έχουμε w και επομένως Rw ια κάθε C(, ), i. 2ix 2 2y i x y (βʹ) Από τις εξισώσεις Cauchy Riemann έχουμε { } { } { } { } ux v y ux 3u 2 u y ux 3u 2 u y u x 4u 3 u y u y v x u y 3u 2 u x u y 9u 4 ( u y + 6u 6 ). u y Επομένως u y u x v x v y στο G και κατά συνέπεια f () f x u x + iv x ια κάθε G. Επειδή το G C είναι ένας τόπος, από νωστή πρόταση η f είναι σταθερή στο G. Θ2. Να βρεθεί η τιμή του a R ια την οποία η συνάρτηση u(x, y) y 3 + ax 2 y 2x 2 + 2y 2 είναι αρμονική στο R 2. Στη συνέχεια να βρεθεί η συζυής αρμονική v της u καθώς επίσης και η ακέραια συνάρτηση f() f(x + iy) u(x, y) + iv(x, y) με f(i) 3 i. Να εκφράσετε την f συναρτήσει του. (,5 μον.) Λύση. Επειδή η συνάρτηση u έχει συνεχείς μερικές παραώους 2ης τάξης, ια να είναι η u αρμονική στο R 2 θα πρέπει να ικανοποιείται η εξίσωση Laplace: u xx + u yy. Επειδή u xx 2ay 4 και u yy 6y + 4, έχουμε u xx + u yy (2ay 4) + (6y + 4) (a + 3)y. (ια κάθε (x, y) R 2 ) Επομένως a 3 και η u(x, y) y 3 3x 2 y 2x 2 + 2y 2. Από την εξίσωση Cauchy Riemann v y u x έχουμε v y 6xy 4x οπότε v(x, y) 3xy 2 4xy + c(x).

4 Από τη δεύτερη εξίσωση Cauchy Riemann u y v x προκύπτει ότι 3y 2 3x 2 + 4y 3y 2 + 4y c (x) c (x) 3x 2 και κατά συνέπεια c(x) x 3 + c. Επομένως v(x, y) 3xy 2 4xy + x 3 + c και η ακέραια συνάρτηση f() u(, ) + iv(, ) i( 3 + c) i ic. Επειδή f(i) 3 i, είναι 3 i i 4 2i 2 + ic c. Άρα, f() i i. Θ3. (αʹ) Εστω f ακέραια συνάρτηση. Χρησιμοποιώντας τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy δείξτε ότι f() 2 d (f(3) f( 2)), 6 5 C(,4) όπου C(, 4) είναι ο κύκλος κέντρου και ακτίνας 4. ( μον.) (βʹ) Αν η παραμετρική εξίσωση της καμπύλης είναι: (θ) + 2e iθ, θ 4π, χρησιμοποιώντας τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy ια παραώους δείξτε ότι 2 ( 2) 3 d 8. Λύση. ( μον.) (αʹ) Είναι f() 2 6 d 5 ( f() ( 3)( + 2) d f() 3 d ) f() + 2 d και επομένως (f(3) f( 2)) (ολοκληρωτικός τύπος Cauchy) 5 f() 2 d (f(3) f( 2)) (βʹ) Η καμπύλη είναι κύκλος με κέντρο και ακτίνα 2. Ο κύκλος περιστρέφεται δύο φορές ύρω από το με θετική φορά και επομένως ο δείκτης στροφής της ως προς το σημείο είναι I(, ) 2. Επειδή το σημείο 2 βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου, από τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy ια παραώους έχουμε! ( )/( 2) 3 2 d ( 2) 3 2 d ( ) I(, ) ( 2) ( 2)

5 Θ4. (αʹ) Εστω η συνάρτηση f() ( 2 + )( + i). Να βρεθεί το ανάπτυμα(η σειρά) Laurent της f με κέντρο το i στο μεαλύτερο δυνατό δακτύλιο που περιέχει το σημείο 2 + i. (,5 μον.) (βʹ) Εστω Λύση. e n a n n το ανάπτυμα Laurent της συνάρτησης f() { C : 2π < < 4π} με κέντρο το. e στο δακτύλιο Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Laurent καθώς επίσης και το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων, να υπολοιστούν οι συντελεστές a και a. (,5 μον.) (αʹ) Επειδή f() ( i)( + i) 2, τα ±i είναι μεμονωμένα ανώμαλα σημεία της f. Επομένως το ανάπτυμα Laurent της f με κέντρο το i μπορεί να ίνει στους δακτυλίους: { C : < + i < 2}(διάτρητος δίσκος) και 2 { C : + i > 2}. Επειδή το 2 + i 2, θα αναπτύξουμε την f στο δακτύλιο 2. Χρησιμοποιώντας τη εωμετρική σειρά w n wn, w <, έχουμε f() (( + i) 2i) ( + i) 2 ( + i) ( 3 2i +i ( + i) 3 n n ) ( 2i + i (2i) n ( + i) n+3 ) n ( n (2i) n ( + i)n 3. 2i +i < + i > 2i 2) Το παραπάνω ανάπτυμα ισχύει στο δακτύλιο 2 { C : + i > 2} που είναι ο μεαλύτερος δυνατός δακτύλιος που περιέχει το 2 + i. (βʹ) Επειδή e e, τα k 2kπi, k Z είναι μεμονωμένα ανώμαλα σημεία της f. Από το θεώρημα Laurent οι συντελεστές a n δίνονται από τον τύπο a n /(e ) r n+ d r n (e ) d, όπου ο κύκλος r με κέντρο, ακτίνα r, 2π < r < 4π και θετική φορά διαραφής ανήκει στο δακτύλιο. Τα σημεία και ± βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου r. (i) n : Σ αυτή την περίπτωση έχουμε a 3 r e d.

6 Τα σημεία και ± είναι απλοί πόλοι της g() e. Από το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουμε a ( ) ( ) ( ) r e d Res e, + Res e, + Res e, (e ) + (e ) + (e ) (ii) n : Σ αυτή την περίπτωση είναι g() e. Τα σημεία ± είναι απλοί πόλοι της g ενώ το είναι επουσιώδες ανώμαλο σημείο της g. Από το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουμε a e d Res r ( ) ( ) e, + Res e, (e ) + (e ) +. Θ5. Χρησιμοποιώντας μιαδική ολοκλήρωση, δείξτε ότι 3 cos 2θ dθ 3R 5 4 cos θ ( e 2iθ ) 5 4 cos θ dθ π 2. (,5 μον.) Λύση. Η εξίσωση του μοναδιαίου κύκλου είναι e iθ, θ 2π. Επειδή d ie iθ dθ idθ και cos θ 2 ( + ), έχουμε e 2iθ 5 4 cos θ dθ i i 2 i 5 2( + )] d d 2 (2 )( 2) d. Τα σημεία /2 και 2 είναι απλοί πόλοι της f() 2 (2 )( 2). Επειδή μόνο το σημείο /2 βρίσκεται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου, από το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων είναι 3 cos 2θ dθ 3R 5 4 cos θ ( 2 i Res , )] 2 ] 2 6πR ( ) /2 ] 2 6πR 4 5 /2 6πR ] π

7 Συμβολισμός : R Re, I Im Σημείωση : Αν το C είναι πόλος τάξης k N της συνάρτησης f, το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο δίνεται από τον τύπο Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες Res (f, ) (k )! lim ( ) k f() ] (k ). 5