ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ"

Transcript

1 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Το μιγαδικό επίπεδο Στο μιγαδικό αριθμό = x + iy αντιστοιχούμε το σημείο ( xy, ) ενός καρτεσιανού επιπέδου Η απεικόνιση αυτή είναι -προς- Ο άξονας των τετμημένων (άξονας των x) λέγεται πραγματικός άξονας ενώ ο άξονας των τεταγμένων (άξονας των y) λέγεται φανταστικός άξονας Το καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία έχουν αντιστοιχισθεί με αυτό τον τρόπο με τους μιγαδικούς αριθμούς το λέμε μιγαδικό επίπεδο Όταν λέμε «το σημείο» εννοούμε το σημείο του μιγαδικού επιπέδου που αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό Αν στο μιγαδικό επίπεδο εισάγουμε πολικές συντεταγμένες (, r θ ) τότε κάθε μη-μηδενικός μιγαδικός αριθμός = x + iy γράφεται στην λεγόμενη πολική ή τριγωνομετρική μορφή του ως εξής: = r(cosθ + isi θ) () r O Σχήμα x Ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού Ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού = x + iy ορίζεται ως εξής: = x iy () Στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο προκύπτει από το με ανάκλαση ως προς τον πραγματικό άξονα (Σχήμα ) Ο x Σχήμα

2 Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού = x + iy ορίζεται ως εξής: = x + y (3) Στο μιγαδικό επίπεδο το μέτρο του δεν είναι τίποτα άλλο παρά η απόσταση r του σημείου ( xy, ) από την αρχή των αξόνων (Σχήμα ) Οι βασικές ιδιότητες του μέτρου είναι γνωστές από τα λυκειακά μαθηματικά Ιδιαίτερα σημαντικές είναι οι τριγωνικές ανισότητες: + + (4) όπου και είναι δύο τυχόντες μιγαδικοί αριθμοί Το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού Το όρισμα arg ενός μη-μηδενικού μιγαδικού αριθμού = x + iy είναι μια πλειότιμη συνάρτηση του που ορίζεται ως εξής: y θ arg = arcta, με, (5) x όπου θ είναι η γωνία που σχηματίζει η επιβατική ακτίνα από την αρχή Ο προς το σημείο (Σχήμα ) Δύο τυχόντα από τα άπειρα ορίσματα ενός και του αυτού μιγαδικού αριθμού διαφέρουν μεταξύ τους κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του αριθμού π Ως κύρια τιμή του ορίσματος του ορίζεται η γωνία Θ Arg για την οποία π <Θ π Κάθε μη-μηδενικός μιγαδικός αριθμός γράφεται με την βοήθεια του ορίσματος και του μέτρου του r στην πολική μορφή του () ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Με τους ορισμούς που ακολουθούν εισάγουμε μερικές απλές τοπολογικές έννοιες στο μιγαδικό επίπεδο που θα μας είναι χρήσιμες στην συνέχεια Γειτονιά ενός σημείου Η γειτονιά ενός σημείου ορίζεται σαν το σύνολο των σημείων τέτοιων ώστε < ε όπου ε είναι ένας τυχόντας θετικός αριθμός Είναι σαφές ότι η γειτονιά του αναπαρίσταται από τα σημεία ενός δίσκου με κέντρο στο και ακτίνα ε από τον οποίο έχουν αφαιρεθεί τα σημεία της περιφέρειάς του Τρύπια γειτονιά ενός σημείου Η τρύπια γειτονιά ενός σημείου ορίζεται σαν το σύνολο των σημείων τέτοιων ώστε < < ε Δηλαδή η τρύπια γειτονιά είναι μια γειτονιά από την οποία έχει αφαιρεθεί το κέντρο της

3 Εσωτερικό σημείο συνόλου Το σημείο λέγεται εσωτερικό σημείο του συνόλου S αν υπάρχει γειτονιά του που όλα της τα σημεία ανήκουν στο S Εξωτερικό σημείο συνόλου Το σημείο λέγεται εξωτερικό σημείο του συνόλου S αν υπάρχει γειτονιά του που δεν περιέχει σημεία του S Συνοριακό σημείο συνόλου Το σημείο λέγεται συνοριακό σημείο του συνόλου S αν δεν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό σημείο του S Σύνορο συνόλου Το σύνορο ενός συνόλου είναι το σύνολο των συνοριακών του σημείων Ανοικτό σύνολο Ένα σύνολο λέγεται ανοικτό αν δεν περιέχει κανένα συνοριακό του σημείο Κλειστό σύνολο Ένα σύνολο λέγεται κλειστό αν περιέχει όλα τα συνοριακά του σημεία Συνεκτικό σύνολο Ένα σύνολο λέγεται συνεκτικό αν κάθε ζευγάρι σημείων του μπορεί να ενωθεί με μια πολυγωνική γραμμή πεπερασμένου πλήθους ευθυγράμμων τμημάτων η οποία να κείται εξ ολοκλήρου μέσα στο σύνολο Απλά συνεκτικό σύνολο Ένα σύνολο λέγεται απλά συνεκτικό (ή σύνολο απλής συνοχής) αν είναι συνεκτικό και επί πλέον κάθε κλειστή καμπύλη που ανήκει στο σύνολο μπορεί να συρρικνωθεί με συνεχή τρόπο παραμένοντας μέσα στο σύνολο μέχρι να γίνει ένα σημείο Ποιο παραστατικά, ένα απλά συνεκτικό σύνολο δεν έχει στο εσωτερικό του τρύπες Χωρίο Περιοχή Κάθε ανοικτό συνεκτικό σύνολο λέγεται χωρίο Κάθε χωρίο μαζί με όλα, μερικά, ή και κανένα από τα συνοριακά του σημεία θα λέγεται περιοχή Φραγμένο σύνολο Ένα σύνολο λέγεται φραγμένο αν υπάρχει περιφέρεια ακτίνας R η οποία να το περικλείει εξ ολοκλήρου = R πεπερασμένης

4 Το σημείο Με την βοήθεια της λεγόμενης στερεογραφικής προβολής μπορούμε να θέσουμε σε μία ένα προς ένα αντιστοιχία τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου με τα σημεία της επιφάνειας μιας σφαίρας Η αντιστοίχηση αυτή γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο (Σχήμα ) Θεωρούμε μια μοναδιαία σφαίρα της οποίας το κέντρο το τοποθετούμε στην αρχή των αξόνων Ο (σημείο = ) του μιγαδικού επιπέδου Η κάθετος προς το μιγαδικό επίπεδο στο σημείο Ο καθορίζει επί της σφαίρας δύο σημεία: τον βόρειο πόλο Ν και τον νότιο πόλο S Τώρα, κάθε ημιευθεία από το N που τέμνει την σφαίρα σε ένα σημείο Μ θα τέμνει το μιγαδικό επίπεδο σε ένα σημείο και επομένως θέτει τα δύο αυτά σημεία σε μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία Η έτσι ορισμένη στερεογραφική προβολή αντιστοιχίζει τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου με τα σημεία της σφαίρας ως εξής: «Σημεία του μοναδιαίου κύκλου =» «Σημεία του ισημερινού της σφαίρας» «Σημεία με <» «Σημεία του νότιου ημισφαίριου» (Ειδικότερα, στο Ο S) «Σημεία με >» «Σημεία του βόρειου ημισφαίριου» _ Ν _ Μ _O _ y _ x S Σχήμα Το μόνο σημείο επί της σφαίρας που δεν έχουμε ακόμα αντιστοιχήσει με κάποιο σημείο του μιγαδικού επιπέδου είναι ο βόρειος πόλος Ν Επειδή μια ημιευθεία από το Ν που τέμνει την σφαίρα μόνο στο Ν αναγκαστικά εφάπτεται σε αυτήν και επομένως είναι παράλληλη προς το μιγαδικό επίπεδο, είναι προφανές ότι θα τέμνει το μιγαδικό επίπεδο σε ένα σημείο του οποίου η απόσταση από το Ο θα είναι άπειρη (δηλαδή

5 = + ) Το σημείο αυτό λέγεται το επ άπειρον σημείο και συμβολίζεται με το σύμβολο Έτσι, με την αντιστοιχία N καλύψαμε όλα τα σημεία της σφαίρας Από τοπολογική άποψη θεωρούμε ότι το μιγαδικό επίπεδο μαζί με το σημείο είναι κλειστό και το ονομάζουμε επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο Αντίστοιχα, κλειστό θεωρείται και το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών όταν σε αυτό έχουμε συμπεριλάβει και τον μιγαδικό αριθμό Τα σημεία με > R, όπου R είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός διάφορος του +, λέμε ότι αποτελούν μια γειτονιά του σημείου Τονίζουμε με έμφαση ότι τα σημεία + και της πραγματικής ευθείας είναι διαφορετικές μαθηματικές οντότητες από το σημείο και δεν πρέπει να συγχέονται με αυτό 3 Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης f( ) Μια συνάρτηση f της μιγαδικής μεταβλητής είναι μια απεικόνιση ενός υποσυνόλου S του C μέσα στο C Δηλαδή, f S w f( ) f( S) C Το σύνολο S λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Η εικόνα του S μέσω της f, η f( S ), λέγεται πεδίο τιμών της f και είναι εν γένει ένα υποσύνολο του C Το είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης και το w η εξαρτημένη μεταβλητή ή και εικόνα του Στην συνέχεια θα αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση f γράφοντας αδιακρίτως «η συνάρτηση w= f( )» ή «η συνάρτηση f( ) =» ή ακόμα ποιο απλά «η συνάρτηση f( )» Αν στην f( ) θέσουμε = x + iy τότε αυτή μπορεί να γραφεί στην μορφή f( ) = uxy (, ) + ivxy (, ) (3) όπου uxy (, ) και vxy (, ) είναι πραγματικές συναρτήσεις των δύο ανεξάρτητων πραγματικών μεταβλητών x και y Γραφική παράσταση για τις μιγαδικές συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής δεν είναι εφικτή αφού δεν μπορούμε να έχουμε εποπτεία σε τέσσερις διαστάσεις (δύο για την ανεξάρτητη μεταβλητή και άλλες δύο για την εξαρτημένη) Η μόνος τρόπος για να έχουμε μια μερική εποπτεία των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης f( ) είναι να σχεδιάσουμε ξεχωριστά το ένα δίπλα στο άλλο τα μιγαδικά επίπεδα των μεταβλητών και w (τα οποία θα ονομάζουμε στην συνέχεια -επίπεδο και w-επίπεδο αντίστοιχα) και να δείξουμε πως απεικονίζεται μέσω της f( ) ένα σύνολο σημείων του -επιπέδου στο w-επίπεδο Μελετώντας κατ αυτό τον τρόπο μια συνάρτηση f( ) την αντιμετωπίζουμε σαν ένα σημειακό μετασχηματισμό στο μιγαδικό επίπεδο Το όριο lim f( ) Λέμε ότι το όριο της f( ) καθώς το τείνει προς το είναι το w και γράφουμε

6 lim f( ) = w ε >, δ > : f( ) w < ε αν - < δ (3) Το όριο για να υπάρχει θα πρέπει να μην εξαρτάται από τον τρόπο που το τείνει προς το Συνέχεια συνάρτησης Μια συνάρτηση f( ) λέγεται συνεχής στο σημείο αν και μόνον αν υπάρχουν τα lim f( ) και f( ) και lim f( ) = f( ) (33) Παράγωγος συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής Η παράγωγος μιας συνάρτησης f( ) σε ένα σημείο ορίζεται όπως και για τις συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής μέσω του τύπου f( ) f( ) f ( ) = lim (34) Σημειώστε ότι για τον συμβολισμό της παραγώγου, εκτός από το σύμβολο f χρησιμοποιείται ευρέως και ο συμβολισμός df Οι βασικοί τύποι παραγώγισης για d το άθροισμα, το γινόμενο και το πηλίκο δύο συναρτήσεων έχουν όπως και για τις πραγματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής [ f( ) + g( )] = f ( ) + g ( ) df [ g( )] df [ g( )] dg( ) = [ f ( g ) ( )] = f ( g ) ( ) + f ( g ) ( ) (35) d dg( ) d f( ) f ( g ) ( ) f( g ) ( ) αν g ( ) g ( ) = [ g ( )] Οι ανωτέρω τύποι μαζί με τον λεγόμενο κανόνα της αλυσίδας για την παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης, df [ g( )] df [ g( )] dg( ) =, (36) d dg( ) d μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε παραγώγους για μια πληθώρα συναρτήσεων στηριζόμενοι στους τύπους για την παράγωγο λίγων στοιχειωδών συναρτήσεων Μια συνάρτηση που έχει παράγωγο στο σημείο είναι και συνεχής στο Οι εξισώσεις Cauchy-Riema Ο ορισμός (34) για την παράγωγο είναι ο ίδιος με τον ορισμό της παραγώγου για τις συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής Όμως εδώ η ικανοποίησή του εισάγει ισχυρούς περιορισμούς για την συνάρτηση f( ) Αυτό οφείλεται στο ότι το όριο στην (34) πρέπει να υπάρχει ανεξάρτητα από τον τρόπο που το κινούμενο πάνω στο

7 μιγαδικό επίπεδο προσεγγίζει το Οι περιορισμοί αυτοί φαίνονται παρακάτω όπου δίνουμε αναγκαίες αλλά ξέχωρα δίνουμε και ικανές συνθήκες ώστε σε ένα σημείο η f( ) να δέχεται παράγωγο Αναγκαίες συνθήκες: Αν η συνάρτηση f( ) = uxy (, ) + ivxy (, ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο = x + iy του μιγαδικού επιπέδου τότε οι πρώτες μερικές παράγωγοι ux, uy, vx, v y υπάρχουν στο σημείο ( x, y ) και επί πλέον ικανοποιούν εκεί τις εξισώσεις Cauchy-Riema: u x = vy y = vx Επί πλέον η παράγωγος f ( ) στο σημείο γράφεται: u x x (37) f ( ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) (38) Οι εξισώσεις Cauchy-Riema μπορούν να γραφούν ισοδύναμα σε πολικές συντεταγμένες r,θ ως εξής: ur = vθ r (39) uθ = rvr Μία άλλη ισοδύναμη μορφή των εξισώσεων Cauchy-Riema είναι η εξής: f = (3) Ικανές συνθήκες: Αν η συνάρτηση f( ) = uxy (, ) + ivxy (, ) είναι ορισμένη σε μια γειτονιά του σημείου = x + iy και σε αυτό το σημείο ικανοποιούνται τα εξής: ) Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ux, uy, vx, v y υπάρχουν και είναι συνεχείς ) Επαληθεύονται οι εξισώσεις Cauchy-Riema τότε η παράγωγος της f( ) υπάρχει στο σημείο και δίνεται από τον τύπο f ( ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) x x Η έννοια της αναλυτικής συνάρτησης Μια συνάρτηση f( ) θα λέγεται αναλυτική στο σημείο αν υπάρχει γειτονιά του σε όλα τα σημεία της οποίας η f( ) να έχει παράγωγο Μια συνάρτηση που είναι αναλυτική παντού στο μιγαδικό επίπεδο θα λέγεται ακεραία αναλυτική Τα πολυώνυμα P( ) = a + a + + a + a είναι ακέραιες αναλυτικές συναρτήσεις Οι ρητές συναρτήσεις που είναι ανάγωγα πηλίκα πολυωνύμων είναι αναλυτικές συναρτήσεις στα σημεία που δεν μηδενίζεται ο

8 παρονομαστής αλλά δεν είναι ακέραιες αναλυτικές αφού δεν είναι αναλυτικές στα σημεία που μηδενίζεται ο παρονομαστής Οι συναρτήσεις e, si, cos, sih, cosh είναι ακέραιες αναλυτικές συναρτήσεις Γενικότερα, το άθροισμα, το γινόμενο, και η σύνθεση αναλυτικών συναρτήσεων είναι αναλυτική συνάρτηση Επίσης το πηλίκο αναλυτικών συναρτήσεων είναι αναλυτική στα σημεία που δεν μηδενίζεται ο παρονομαστής Μια έννοια πολύ χρήσιμη στις εφαρμογές στην φυσική είναι η έννοια της αρμονικής συνάρτησης που ορίζεται ως εξής: Μια πραγματική συνάρτηση δύο πραγματικών μεταβλητών θα λέγεται αρμονική σε κάποιο χωρίο του επιπέδου x,y αν σε αυτό το χωρίο έχει συνεχείς δεύτερες μερικές παραγώγους και ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace Έστω f( ) = uxy (, ) + ivxy (, ) μια συνάρτηση αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου Τότε το πραγματικό της μέρος uxy (, ) και το φανταστικό της μέρος vxy (, ) είναι αρμονικές συναρτήσεις Ειδικότερα, η vxy (, ) λέγεται αρμονική συζυγής της uxy (, ) Αν μια συνάρτηση uxy (, ) είναι αρμονική σε ένα ειδικού τύπου χωρίο που λέγεται απλά συνεκτικό, τότε σε αυτό το χωρίο πάντα υπάρχει η αρμονική συζυγής της vxyη (, ) οποία ορίζεται μονοσήμαντα εκτός από μια αυθαίρετη προσθετική σταθερά Το μέτρο f( ) μιας αναλυτικής συνάρτησης f( ) ορισμένης σε κλειστή και φραγμένη περιοχή του μιγαδικού επιπέδου δεν μπορεί να λαμβάνει ακρότατο στο εσωτερικό αυτής της περιοχής 4 ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση την σχέση e, ή exp( ) όπως εναλλακτικά συμβολίζεται, ορίζεται από x e = e (cos y+ isi y) (4) όπου = x + iy Όταν = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή iy e = cos y+ isi y (4) και είναι γνωστός ως τύπος του Euler Οι βασικές της ιδιότητες είναι οι ακόλουθες: x Μέτρο: e = e, C + Εκθετική ιδιότητα: e e = e,, C e = e

9 Παράγωγος: Περιοδικότητα: ( e ) = e, όπου =, ±, ±, de e d = (43) + πi πi e = ee = e, δηλαδή φανταστική περίοδος π i Η e ως απεικόνιση: Η λουρίδα y y< y + π i στο -επίπεδο απεικονίζεται αμφιμονοσήμαντα στο w-επίπεδο από το οποίο έχει αφαιρεθεί το σημείο w = y v x Σχήμα 3 u Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, οι cos, si, ta, cot, ορίζονται μέσω της εκθετικής συνάρτησης από τους ακόλουθους τύπους i i e + e cos = (44) i i e e si = i (45) si ta = = i i cos + i e (46) cos cot = = i+ i (47) i si e Δυνάμει του τύπου του Euler όταν η μεταβλητή παίρνει πραγματικές τιμές οι ανωτέρω συναρτήσεις ταυτίζονται με τις γνωστές μας τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής και ως εκ τούτου αποτελούν την γενίκευσή τους στο σύνολο C Όταν η μεταβλητή παίρνει καθαρά φανταστικές τιμές είναι σαφές από τους ανωτέρω ορισμούς ότι οι si, cos (και επομένως και οι ta, cot ) εκφράζονται άμεσα από τις αντίστοιχες πραγματικές υπερβολικές συναρτήσεις si( iy) = i sih y, cos( iy) = cosh y (48)

10 Περιοδικότητα: Οι si και cos έχουν περίοδο π Οι ta και cot έχουν περίοδο π Συμμετρίες: Οι si, ta, cot είναι περιττές Η cos είναι άρτια Ρίζες: π π si( kπ) = ta( kπ) = cos kπ + = cot kπ + =, όπου k Z (49) Ταυτότητες: Όλες οι γνωστές μας τριγωνομετρικές ταυτότητες στο R συνεχίζουν να ισχύουν με την ίδια μορφή και για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με μιγαδική μεταβλητή Έτσι πχ ισχύουν οι τύποι si( + ) = si cos + cos si, (4) cos( + ) = cos cos si si, (4) si cos + = (4) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της si μπορεί να βρεθεί αμέσως αν στην (4) θέσουμε = x, = iy και χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (48) Έτσι βρίσκουμε ότι si = si xcosh y+ icos xsih y, (43) όπου = x + iy Εντελώς ανάλογα προκύπτει και η αντίστοιχη σχέση για το cos cos = cos xcosh y isi xsih y (44) Βασιζόμενοι στις (43) και (44) μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το μέτρο των si και cos Βρίσκουμε τις σχέσεις si = si x+ sih y (45) cos = cos x+ sih y (46) Εδώ βλέπουμε μια σημαντική διαφορά ανάμεσα στις συναρτήσεις si και cos ορισμένες στο R και στην γενίκευσή τους στο C Δηλαδή ότι οι συναρτήσεις si και cos δεν είναι φραγμένες (διότι δεν είναι φραγμένη η sih y ), σε αντίθεση με τις si x και cos x που είναι φραγμένες αφού παίρνουν τιμές μόνο στο διάστημα [-,] Όσον αφορά την παραγωγισιμότητά τους οι συναρτήσεις si και cos είναι ακέραιες αναλυτικές αφού είναι γραμμικοί συνδυασμοί της εκθετικής συνάρτησης Οι παράγωγοί τους προκύπτουν άμεσα από τους τύπους ορισμού, (44), (45) και την (43) και έχουν την ίδια μορφή με αυτή των αντίστοιχων συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, δηλαδή d d (si ) = cos, (cos ) = si (47) d d Η συνάρτηση ta είναι αναλυτική σε όλα τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου εκτός από τα σημεία που μηδενίζουν το cos Παρόμοια, η cot δεν είναι αναλυτική μόνο στα σημεία που μηδενίζουν το si Εύκολα βρίσκουμε ότι οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων είναι

11 d d (ta ) =, (cot ) = (48) d cos d si Οι υπερβολικές συναρτήσεις Οι υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται μέσω των τύπων e + e cosh =, (49) e e sih =, (4) sih tah cosh e, (4) cosh coth = = + sih e (4) Οι βασικές ιδιότητες των υπερβολικών συναρτήσεων μπορούν να εξαχθούν από αντίστοιχες ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων αν παρατηρήσουμε ότι οι πρώτες συνδέονται με τις δεύτερες μέσω των σχέσεων cosh = cos( i), sih = i si( i) (43) Περιοδικότητα: Οι sih και cosh έχουν φανταστική περίοδο πi Οι tah και coth έχουν περίοδο πi Συμμετρίες: Οι sih, tah, coth είναι περιττές Η cosh είναι άρτια Ρίζες: Οι ρίζες των υπερβολικών συναρτήσεων είναι καθαρά φανταστικές και δίνονται από τις σχέσεις sih( kπi) = tah( kπi) =, k Z, (44) cosh k πi coth + = k+ πi =, k Z (45) Ταυτότητες: Έχουν την ίδια μορφή με τις αντίστοιχες ταυτότητες στο R, έτσι πχ sih( + ) = sih cosh + cosh sih (46) cosh( + ) = cosh cosh sih sih (47) cosh sih = (48) Οι υπερβολικές συναρτήσεις δεν είναι φραγμένες Τα μέτρα των sih και cosh δίνονται από τους τύπους όπου = x + iy sih = sih x+ si y (49) cosh = sih x+ cos y (43) Οι συναρτήσεις sih και cosh είναι ακέραιες αναλυτικές με παραγώγους d d (sih ) = cosh, (cosh ) = sih (43) d d

12 Η tah είναι αναλυτική παντού όπου cosh, ενώ η coth είναι αναλυτική παντού όπου sih Εύκολα βρίσκουμε ότι οι παράγωγοί τους είναι οι d d (tah ) =, (coth ) = (43) cosh sih d d Η συνάρτηση λογάριθμος Η συνάρτηση λογάριθμος, που συμβολίζουμε με το log, ορίζεται ως η αντίστροφη συνάρτηση της e μέσω της σχέσης: log e = με (433) i Αν εισάγουμε πολικές συντεταγμένες θέτοντας = re θ και π <Θ π όπου Θ η κύρια τιμή του arg, τότε από την (433) προκύπτει αμέσως ότι log = l r+ i( Θ+ π ), με και =, ±, ±, (434) Η συνάρτηση αυτή είναι πλειότιμη λόγω του πλειότιμου χαρακτήρα του ορίσματος Μπορεί να γίνει μονότιμη και αναλυτική αν περιορίσουμε το όρισμα της μεταβλητής έτσι ώστε α < arg < α + π Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα χωρίο Π(α) που περιλαμβάνει όλα τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου εκτός από τα σημεία της ακτίνας θ = α που ξεκινά από την αρχή Ο και σχηματίζει γωνία α με τον πραγματικό άξονα Η ευθεία αυτή λέγεται εγκοπή κλάδου για την συνάρτηση ενώ η έτσι ορισμένη συνάρτηση λέμε ότι αποτελεί ένα κλάδο της συνάρτησης λογάριθμος Η παράγωγος της log στο χωρίο Π(α) είναι d (log ) = (435) d Η κύρια τιμή Log της συνάρτησης λογάριθμος ορίζεται με τον τύπο Log = l r+ iθ, όπου π <Θ π και (436) Η συνάρτηση Log είναι μονότιμη Αν θέσουμε π <Θ< π, (εδώ α = Θ ) τότε λαμβάνουμε τον κύριο κλάδο της συνάρτησης λογάριθμος Η αντίστοιχη εγκοπή κλάδου συνίσταται από τα σημεία του αρνητικού πραγματικού άξονα Οι βασικές σχέσεις που ικανοποιεί η συνάρτηση λογάριθμος στο R δηλαδή log( ) = log + log (437) log = log log (438) συνεχίζουν να ισχύουν και στο C αλλά δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η συνάρτηση log είναι πλειότιμη Έτσι η ισότητα στις (437), (438) πρέπει να εννοείται ως εξής: Αν σε κάθε μια από τις (437), (438) έχουμε καθορίσει την τιμή στους δύο από τους τρείς όρους που εμπλέκονται σε αυτή τότε υπάρχει τιμή για τον τρίτο όρο τέτοια ώστε να ικανοποιείται η ισότητα Προσοχή όμως! Οι (437), (438) δεν ικανοποιούνται από Είναι σαν να κάναμε μια τομή στο μιγαδικό επίπεδο κατά μήκος αυτής της ακτίνας

13 την μονότιμη συνάρτηση Log Επίσης λόγω του πλειότιμου χαρακτήρα της log θα έχουμε ενώ log e = + π i, όπου =, ±, ±, (439) Loge = (44) c Η συνάρτηση f( ) = Ορισμός: c clog = e αν (44) όπου c είναι ένας οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός Αν στον ανωτέρω ορισμό θέσουμε c = όπου N τότε λαμβάνουμε άμεσα τις ρίζες της εξίσωσης = : / Θ k Θ k = r cos( + π) + isi( + π), (44) όπου π <Θ π και k =,,,, Είναι σαφές από τον ορισμό (44) ότι η c συνάρτηση είναι πλειότιμη Αν καθορίσουμε ένα συγκεκριμένο κλάδο για την c log ώστε αυτή να γίνει μονότιμη τότε γίνεται μονότιμη και η Στο πλαίσιο ενός τέτοιου κλάδου μπορούμε να γράψουμε c+ c c c c = (σε καθορισμένο κλάδο της ) (443) cc c c c = ( ) (σε καθορισμένο κλάδο της ) Η συνάρτηση «τετραγωνική ρίζα του» λαμβάνεται από την (44) για = και γράφεται Θ i / re για k = = (444) Θ i re για k = ( )Log Η τιμή στον ανωτέρω τύπο αποτελεί τον κύριο κλάδο e της συνάρτησης που είναι δίτιμη 5 ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Η έννοια του δρόμου Η συνάρτηση = () t = x() t + iy(), t με t [ a, b] R (5) όπου οι συναρτήσεις x () t και y () t είναι συνεχείς στο διάστημα [ ab, ] λέμε ότι παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο μια ομαλή (ή λεία) καμπύλη Η καμπύλη αυτή είναι προσανατολισμένη Δηλαδή καθώς η πραγματική παράμετρος t διατρέχει το διάστημα [ ab, ] κινούμενη από το a προς το b το σημείο t () διατρέχει την καμπύλη

14 ξεκινώντας από το a ( ) και καταλήγοντας στο b ( ) Το μήκος L μιας ομαλής καμπύλης ορισμένης στο διάστημα [ ab, ] ορίζεται από τον τύπο L = b b () t dt = a [ x ()] t + [ y ()] t dt a, (5) και όπως εύκολα αποδεικνύεται είναι ανεξάρτητο από την εκάστοτε εκλογή της παραμέτρου t Αν πάνω στην καμπύλη υπάρχουν πεπερασμένα στο πλήθος σημεία όπου ενώ οι xt (), yt () είναι συνεχείς κάποια (ή και οι δύο) από τις x () t και y () t δεν είναι συνεχής η καμπύλη λέγεται κατά τμήματα ομαλή Μια κατά τμήματα ομαλή καμπύλη λέγεται δρόμος Σύμφωνα με αυτό τον ορισμό ο δρόμος είναι η ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους ομαλών καμπύλων όπου το πέρας της μιας συμπίπτει με την αρχή της επόμενης Ένας δρόμος που δεν αυτοτέμνεται, δηλαδή ένας δρόμος για τον οποίο όταν t t τότε t ( ) t ( ), λέγεται απλός Τον κλειστό δρόμο, δηλαδή τον δρόμο του οποίου τα άκρα ταυτίζονται, θα τον λέμε βρόχο Ο απλός βρόχος είναι ένας δρόμος του οποίου τα μόνα σημεία που ταυτίζονται για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου t είναι τα άκρα του Είναι ευνόητο ότι το μήκος ενός δρόμου θα είναι το άθροισμα των μηκών των ομαλών καμπύλων που τον συνθέτουν Το δρομικό ολοκλήρωμα Έστω C ο δρόμος = t (), με a t b, και f( ) μια συνάρτηση συνεχής πάνω στον C Το ολοκλήρωμα της f( ) κατά μήκος του δρόμου C ορίζεται από την σχέση b f ( ) d = f [ ()] t () t dt (53) C a Σημειώστε ότι αν ο δρόμος C είναι βρόχος τότε το δρομικό ολοκλήρωμα θα συμβολίζεται ως εξής: f ( ) d Αν ο βρόχος έχει συγκεκριμένο προσανατολισμό C τότε αυτός επιδεικνύεται με ένα βέλος Πχ αν ο προσανατολισμός του βρόχου είναι θετικός (αντίθετος προς την φορά κίνησης των δεικτών ενός ρολογιού) τότε το δρομικό ολοκλήρωμα γράφεται f ( ) d C Αν ο δρόμος C βρίσκεται στο εσωτερικό μιας περιοχής του μιγαδικού επιπέδου όπου η f( ) έχει αντιπαράγωγο F( ) (δηλαδή F ( ) = f( ) ) τότε b ( ) f( d ) = f( d ) = Fb [ ( )] Fa [ ( )] (54) C ( a) Παρατηρούμε στην (54) ότι το δρομικό ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από τον δρόμο C αλλά μόνο από το αρχικό σημείο a ( ) και το τελικό σημείο b ( ) του δρόμου Εδώ πρέπει να τονίσουμε ότι μόνο σε μια τέτοια περίπτωση είναι επιτρεπτός ο b ( ) συμβολισμός f( ζ ) dζ για το δρομικό ολοκλήρωμα Αν τώρα ο δρόμος είναι ( a) βρόχος οπότε a ( ) = b ( ) τότε προφανώς

15 f ( ) d = C Το δρομικό ολοκλήρωμα είναι γραμμικό, δηλαδή αν και είναι δύο σταθεροί (δηλαδή ανεξάρτητοι της μεταβλητής ) μιγαδικοί αριθμοί τότε [ f ( ) + g( ) ] d = f ( ) d + g( ) d (55) C C C Ας θεωρήσουμε δύο δρόμους C και C όπου το πέρας του C συμπίπτει με την αρχή του C Τον δρόμο αυτό θα τον συμβολίζουμε C+ C Τότε θα ισχύει το εξής: f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d (56) C+ C C C Έστω ότι C είναι ένας προσανατολισμένος δρόμος με παραμετρική εξίσωση = t (), a t b Αν στον δρόμο αυτό δώσουμε αντίθετο προσανατολισμό τότε θα τον συμβολίζουμε με C Αποδεικνύεται εύκολα ότι f ( ) d = f ( ) d C (57) C Μια σημαντική ιδιότητα του δρομικού ολοκληρώματος είναι η ανισότητα Darboux που διατυπώνεται ως εξής: f ( ) d ML (58) C όπου ο θετικός πραγματικός αριθμός Μ είναι ένα άνω φράγμα της f( ) πάνω στον δρόμο C (δηλαδή f( ) M για κάθε πάνω στον C ) και L είναι το μήκος του C Ένα θεώρημα με θεμελιώδη σημασία στην μιγαδική ανάλυση είναι το ακόλουθο θεώρημα Cauchy-Goursat: Θεώρημα Cauchy-Goursat: Αν μια συνάρτηση f( ) είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό ενός απλού βρόχου C, τότε f ( ) d = C Ένα πόρισμα του θεωρήματος Cauchy-Goursat είναι η ονομαζόμενη αρχή παραμόρφωσης των βρόχων που διατυπώνεται (βλ Σχήμα 5) ως εξής : Αρχή παραμόρφωσης των βρόχων: Έστω ότι ένας απλός βρόχος C περικλείει τον απλό βρόχο C που έχει τον ίδιο προσανατολισμό με τον C Αν η συνάρτηση f( ) είναι αναλυτική στην περιοχή που έχει εξωτερικό σύνορο τον C και εσωτερικό σύνορο τον C τότε θα ισχύει f ( ) d = f ( ) d C C

16 Σχήμα 5 Με την βοήθεια του θεωρήματος Cauchy-Goursat και της αρχής παραμόρφωσης των βρόχων εύκολα αποδεικνύεται ο ακόλουθος τύπος που φέρει την ονομασία ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy: Αν η συνάρτηση f( ) είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό του απλού και θετικά προσανατολισμένου βρόχου C και είναι ένα τυχόν σημείο στο εσωτερικό του C, τότε θα ισχύει ο τύπος f( ) = f ( ς ) dς πi ς C Ο τύπος αυτός γενικεύεται και για τις παραγώγους της συνάρτησης f( ) ως εξής: Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy για τις παραγώγους: Αν η συνάρτηση f( ) είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό του απλού και θετικά προσανατολισμένου βρόχου C και είναι ένα τυχόν σημείο στο εσωτερικό του C, τότε στο η f( ) έχει παραγώγους κάθε τάξης που δίνονται από τον τύπο! f( ς ) ( ) =, =,,, ( ) f dς + πi C ( ς ) Παρατηρούμε ότι στον τύπο αυτό θέτοντας = λαμβάνουμε τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy 6 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ Δυναμοσειρές: Μια σειρά με την μορφή a ( ) = a + a( ) + a( ) + (6) =

17 λέγεται δυναμοσειρά Οι μιγαδικοί αριθμοί a είναι οι συντελεστές της σειράς και το το κέντρο της και δεν εξαρτώνται από την μεταβλητή Η σειρά αυτή συγκλίνει πάντα στο a όταν = και επομένως το πεδίο σύγκλισής της πάντα περιέχει το κέντρο της Το πεδίο σύγκλισης μιας δυναμοσειράς είναι το σύνολο των σημείων στο μιγαδικό επίπεδο στα οποία η δυναμοσειρά συγκλίνει και αυτό το πεδίο σύγκλισης είναι πάντα ένας κυκλικός δίσκος του οποίου το κέντρο είναι το κέντρο της δυναμοσειράς Ποιο συγκεκριμένα αποδεικνύεται το εξής θεώρημα: Θεώρημα 6 Έστω η δυναμοσειρά a ( ) η οποία συγκλίνει σε κάποιο = σημείο χωρίς όμως να συγκλίνει σε όλα τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου Τότε υπάρχει ένας θετικός αριθμός R τέτοιος ώστε η δυναμοσειρά να συγκλίνει απόλυτα σε όλα τα σημεία του ανοικτού κυκλικού δίσκου < R και να αποκλίνει σε όλα τα σημεία με > R Επί πλέον, αν < r < R, η δυναμοσειρά θα συγκλίνει και ομοιόμορφα σε όλα τα σημεία του κλειστού κυκλικού δίσκου r Ο αριθμός R λέγεται ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς και ο κύκλος = R στο εσωτερικό του οποίου η δυναμοσειρά συγκλίνει λέγεται κύκλος σύγκλισης της δυναμοσειράς Μια ιδιαίτερα χρήσιμη δυναμοσειρά είναι η = = της οποίας οι όροι αποτελούν γεωμετρική πρόοδο με λόγο Το πεδίο σύγκλισης της δυναμοσειράς αυτής είναι το χωρίο < Όταν > ή = η δυναμοσειρά αποκλίνει Εύκολα αποδεικνύεται ότι = όταν < (6) = Μια δυναμοσειρά στο πεδίο σύγκλισής της συγκλίνει πάντα σε μία αναλυτική συνάρτηση Ειδικότερα, ισχύει το εξής θεώρημα: Θεώρημα 6 Κάθε δυναμοσειρά a ( ) ορίζει μέσα στο πεδίο σύγκλισής της = μια αναλυτική συνάρτηση f( ) Οι παράγωγοι της f( ) λαμβάνονται με παραγώγιση της δυναμοσειράς όρο προς όρο και οι αντίστοιχες παραγωγισμένες δυναμοσειρές έχουν το ίδιο πεδίο σύγκλισης με την αρχική δυναμοσειρά Τέλος, το ολοκλήρωμα της f( ) κατά μήκος ενός οποιουδήποτε δρόμου μέσα στο πεδίο σύγκλισης λαμβάνεται με ολοκλήρωση όρο προς όρο της δυναμοσειράς κατά μήκος αυτού του δρόμου Ισχύει όμως και το αντίστροφο του θεωρήματος αυτού Κάθε συνάρτηση που είναι αναλυτική σε ένα κυκλικό δίσκο αναλύεται σε δυναμοσειρά σε κάθε σημείο αυτού του δίσκου Το σχετικό θεώρημα φέρει την ονομασία θεώρημα του Taylor και η διατύπωσή του έχει ως εξής:

18 Θεώρημα του Taylor Αν μια συνάρτηση f( ) είναι αναλυτική στον ανοικτό κυκλικό δίσκο < R τότε σε κάθε σημείο του δίσκου η f( ) μπορεί να αναλυθεί σε δυναμοσειρά ως εξής: a (63) = f( ) = a ( ) f ( )! ( ) = = (64) για,,, Η δυναμοσειρά (63) με τους συντελεστές όπως εκφράζονται μέσω της f( ) από την (64) έχει καθιερωθεί να λέγεται σειρά Taylor Κάθε δυναμοσειρά που συγκλίνει σε μια συνάρτηση f( ) είναι η σειρά Taylor της f( ) Ισχύει το εξής θεώρημα: Θεώρημα 63 Αν η σειρά a ( ) συγκλίνει προς την συνάρτηση f( ) στο = εσωτερικό κάποιου κύκλου = R τότε αυτή είναι η σειρά Taylor της f( ) γύρω από το Κάθε συνάρτηση f( ) που είναι αναλυτική σε ένα σημείο αναπτύσσεται σε σειρά Taylor (63) σε ένα χωρίο που είναι ένας κυκλικός δίσκος με κέντρο το δηλαδή σε ένα χωρίο της μορφής < R Το R, η ακτίνα σύγκλισης της σειράς Taylor, είναι η απόσταση του από το κοντινότερό του ανώμαλο σημείο της f( ) Αν η συνάρτηση f( ) δεν είναι αναλυτική στο τότε πάλι μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά δυνάμεων του μόνο που τώρα στο ανάπτυγμα θα υπάρχουν και αρνητικές δυνάμεις του Γενικότερα, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα του Lauret Έστω μια συνάρτηση f( ) που είναι αναλυτική στο δακτυλιοειδές χωρίο R < < R όπου R και C ένας απλός βρόχος γύρω από το που κείται εξ ολοκλήρου μέσα σε αυτό το χωρίο Τότε σε κάθε σημείο του χωρίου η f( ) αναλύεται σε σειρά δυνάμεων του ως εξής: όπου και f( ) = a ( ) + b ( ) = = (65) f( ) a = d = πi ( ),,,, (66) C + b = f d = πi ( )( ),,, (67) C

19 7 ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο Αν επί πλέον υπάρχει μια τρυπημένη γειτονιά του της μορφής < < R (όπου το R είναι μικρότερο ή ίσο με την απόσταση του από το κοντινότερο ανώμαλο σημείο της f( )) σε όλα τα σημεία της οποίας η f( ) να είναι αναλυτική τότε το λέγεται μεμονωμένο ανώμαλο σημείο της f( ) Σε αυτή τη γειτονιά (που είναι ένα δακτυλιοειδές χωρίο στο οποίο ο κεντρικός κυκλικός δίσκος αποτελείται από ένα μόνο σημείο) η f( ) αναλύεται στη σειρά Lauret + b b b f( ) = a ( ) (7) = ( ) ( ) της οποίας οι συντελεστές των αρνητικών δυνάμεων του δίνονται από τον τύπο (67) Εφαρμόζοντας αυτό τον τύπο για = παίρνουμε ( ) = πib (7) f d C όπου C είναι ένας οποιοσδήποτε ορθά προσανατολισμένος απλός βρόχος γύρω από το σημείο ο οποίος περιέχεται στο δακτυλιοειδές χωρίο < < R Ο αριθμός b που είναι ο συντελεστής του ( ) στο ανάπτυγμα του Lauret λέγεται ολοκληρωτικό υπόλοιπο της συνάρτησης f( ) στο σημείο και συμβολίζεται ως εξής: b Res = f( ) (73) Επειδή ο υπολογισμός του b είναι συχνά εύκολος για τις συναρτήσεις που συναντάμε στις εφαρμογές ο τύπος (7) αποτελεί μια ισχυρότατη μέθοδο υπολογισμού ολοκληρωμάτων γύρω από απλούς βρόχους Το μέρος του αναπτύγματος Lauret (7) που περιέχει τις αρνητικές δυνάμεις του δηλαδή το b b b ( ) ( ) λέγεται κύριο μέρος (ή και πρωτεύον μέρος) της συνάρτησης f( ) στο μεμονωμένο ανώμαλο σημείο Αν δε το πλήθος των όρων του κύριου μέρους είναι άπειρο τότε το μεμονωμένο ανώμαλο σημείο λέγεται ουσιώδες ανώμαλο Αν αντιθέτως το κύριο μέρος έχει πεπερασμένο πλήθος όρων και ο όρος με την υψηλότερη αρνητική δύναμη είναι ο b ( ) m m, όπου m ένας θετικός ακέραιος, τότε το μεμονωμένο ανώμαλο σημείο λέγεται πόλος τάξης m της f( ) Στην περίπτωση που m = το λέγεται απλός πόλος της f( ) Μια συνάρτηση f( ) λέγεται μερόμορφη σε ένα

20 χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου αν είναι αναλυτική στο D εκτός από κάποια πεπερασμένα στο πλήθος σημεία του D τα οποία είναι πόλοι Οι συναρτήσεις που συναντάμε στις εφαρμογές είναι κατά κανόνα μερόμορφες Ο υπολογισμός του ολοκληρωτικού υπολοίπου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο το οποίο είναι πόλος είναι συχνά πολύ εύκολος Επ αυτού ισχύει το εξής θεώρημα: Θεώρημα 7 Αν μια συνάρτηση f( ) μπορεί να γραφεί στην μορφή φ( ) f( ) =, όπου m θετικός ακέραιος ( ) m και η φ ( ) είναι αναλυτική στο με φ( ), τότε το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f( ) στο (το οποίο είναι πόλος τάξης m για την f( )) γράφεται (74) ( m ) φ ( ) Res = f( ) = ( m )! Αν m = ο ανωτέρω τύπος παίρνει την απλή μορφή (75) Res = f( ) = φ( ) Ένας άλλος ιδιαίτερα χρήσιμος τύπος υπολογισμού του ολοκληρωτικού υπολοίπου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο που είναι απλός της πόλος δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 7 Αν μια συνάρτηση f( ) μπορεί να γραφεί στην μορφή f( ) = p ( )/ q ( ) όπου οι συναρτήσεις p ( ) και q ( ) είναι αναλυτικές στο σημείο με q ( ) =, q ( ) και p ( ) τότε το είναι απλός πόλος της f( ) και το ολοκληρωτικό υπόλοιπο εκεί είναι Res ( ) p ( ) = f = (76) q ( ) Ο τύπος (7) εύκολα γενικεύεται στη μορφή του ακόλουθου θεωρήματος το οποίο παίζει κεντρικό ρόλο στους υπολογισμούς ολοκληρωμάτων στην μιγαδική αλλά και την πραγματική ανάλυση Θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων Έστω ότι η συνάρτηση f( ) είναι αναλυτική πάνω στον θετικά προσανατολισμένο απλό βρόχο C Αν επί πλέον η f( ) είναι αναλυτική στο εσωτερικό του C εκτός από ένα πεπερασμένο πλήθος μεμονωμένων ανώμαλων σημείων k με k =,,, τότε ισχύει ο τύπος π = k k = f( ) d = i Res f( ) (77) C

21 Υπολογισμός Πραγματικών ολοκληρωμάτων Το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για τον υπολογισμό πραγματικών ολοκληρωμάτων Η μέθοδος συνίσταται στην θεώρηση ενός δρομικού ολοκληρώματος μιας κατάλληλα επιλεγμένης συνάρτησης της μεταβλητής πάνω σε ένα κατάλληλα επιλεγμένο βρόχο Η επιλογή της συνάρτησης και του βρόχου δεν είναι σε όλες τις περιπτώσεις εύκολη αλλά συχνά απαιτεί πείρα σε τέτοιου είδους υπολογισμούς όπως και φαντασία Εδώ αναφερόμαστε μόνο σε τρεις κλασικές αλλά και απλές περιπτώσεις εφαρμογής της μεθόδου οι οποίες σε καμμιά περίπτωση δεν εξαντλούν τις δυνατότητές της η Περίπτωση: Γενικευμένα ολοκληρώματα της μορφής + f ( x ) dx (78) όπου η συνάρτηση f( x ) είναι ρητή, δηλαδή f( x) = Pm( x) P( x) όπου Pm ( x ), P ( x ) είναι πολυώνυμα βαθμού m και αντίστοιχα Αποδεικνύεται ότι για να συγκλίνει το ολοκλήρωμα (78) θα πρέπει m Το ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογισθεί αν θεωρήσουμε το δρομικό ολοκλήρωμα C f ( ) d πάνω σε ένα βρόχο C όπως στο παρακάτω σχήμα 7 Ο βρόχος αποτελείται από ένα ημικύκλιο C R ακτίνας R με το κέντρο του στην αρχή των αξόνων και την διάμετρό του να πάνω στον πραγματικό άξονα Για να μπορεί να εφαρμοσθεί η μέθοδος δεν πρέπει η f( ) να έχει ανώμαλο σημείο πάνω στον πραγματικό άξονα Η ακτίνα του βρόχου πρέπει αρχικά να ληφθεί τόσο μεγάλη ώστε ο βρόχος να περικλείει όλα τα ανώμαλα σημεία της f( ) τα οποία βρίσκονται στο άνω ( y > ) μιγαδικό ημιεπίπεδο (Στο σχήμα 7 θεωρήσαμε ότι η f( ) έχει τέσσερα ανώμαλα σημεία από τα οποία τα τρία βρίσκονται το άνω ημιεπίπεδο) Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων για το βρόχο C το οποίο γράφεται R f( ) d+ f( x) dx= π i Res f( ) CR R = k = k N

22 y -R R x O Σχήμα 7 Αν αποδείξουμε (με τη βοήθεια της ανισότητας Darboux) ότι στο όριο που R το δρομικό ολοκλήρωμα πάνω στον δρόμο C τείνει στο μηδέν, δηλαδή ότι R lim f ( ) d =, R CR τότε η ζητούμενη τιμή του πραγματικού ολοκληρώματος θα είναι + N f( x) dx= π i Res f( ) και = k = k η Περίπτωση: Ολοκληρώματα της μορφής + + f ( x )si( ax ) dx ή f ( x )cos( ax ) dx, (79) όπου η συνάρτηση f( x ) είναι ρητή Ο υπολογισμός τους με την μέθοδο των ολοκληρωτικών υπολοίπων είναι πανομοιότυπος με αυτόν της ης περίπτωσης Θεωρούμε την συνάρτηση f( e ) ia την οποία αν α > ολοκληρώνουμε κατά μήκος του ημικυκλικού βρόχου του σχήματος 7 Για να είναι εφαρμόσιμη η μέθοδος θα πρέπει η f( ) να μην έχει ανώμαλα σημεία πάνω στον πραγματικό άξονα Αν το δρομικό ολοκλήρωμα πάνω στην ημιπεριφέρεια C R μηδενίζεται στο όριο R, δηλαδή τότε ia lim f ( ) e d = όπου a >, R + CR Αν α < τότε ή ολοκληρώνουμε κατά μήκος ενός ημικυκλικού βρόχου στο αρνητικό μιγαδικό ia ημιεπίπεδο ( y < ), ή θεωρούμε τη συνάρτηση f( e ) και διεξάγουμε τον υπολογισμό ως ανωτέρω με τον βρόχο του σχήματος 7

23 + iax ia f( x) e dx= π i Res = ( f( ) e ) k, k και τα ζητούμενα πραγματικά ολοκληρώματα λαμβάνονται με την εξίσωση των πραγματικών και φανταστικών μερών στην ανωτέρω εξίσωση Εδώ η σύγκλιση του δρομικού ολοκληρώματος πάνω στον C R είναι δυνατή ακόμα και αν ο βαθμός του πολυωνύμου στον παρονομαστή της ρητής συνάρτησης f( ) είναι μεγαλύτερος μόνο κατά μια μονάδα από τον βαθμό του αριθμητή Σε αυτή όμως την περίπτωση για να αποδειχθεί η σύγκλιση πρέπει να επικαλεστούμε το λήμμα Jorda του οποίου η εκφώνηση έχει ως εξής: Λήμμα Jorda Έστω ότι όλα τα ανώμαλα σημεία της συνάρτησης f( ) στο άνω i ημιεπίπεδο κείνται κάτω από το ημικύκλιο C R με = Re θ, θ π Αν επί πλέον για όλα τα πάνω στο C R υπάρχει σταθερά M R με lim M = και τέτοια ώστε f( ) MR, τότε θα έχουμε R + R ia lim f ( ) e d = όπου a > (7) R + CR 3 η Περίπτωση: Ολοκληρώματα της μορφής π f(si θ,cos θ) dθ (7) όπου f (si θ,cos θ ) είναι μια συνάρτηση των cosθ και siθ Τα ολοκληρώματα αυτά μπορούν να υπολογισθούν με την μετατροπή τους σε ένα δρομικό ολοκλήρωμα i πάνω στον μοναδιαίο κύκλο C με κέντρο την αρχή των αξόνων: = e θ, με θ π Όταν η θ μεταβάλλεται στο διάστημα [, π ] η μεταβλητή διαγράφει προφανώς στο μιγαδικό επίπεδο τον μοναδιαίο κύκλο C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Εξ άλλου, από τον τύπο του Euler προκύπτει ότι cos, si + θ = θ = (7) i ενώ dθ = d / i Εισάγοντας αυτές τις τιμές στο προς υπολογισμό πραγματικό ολοκλήρωμα βλέπουμε ότι αυτό δεν είναι τίποτα άλλο παρά η παραμετρική έκφραση (με παράμετρο το θ ) ενός δρομικού ολοκληρώματος κατά την θετική φορά πάνω στον μοναδιαίο κύκλο C π + d f(si θ,cos θ) dθ = f, i i C Αν η συνάρτηση f (si θ, cos θ ) είναι μια ρητή συνάρτηση των cosθ και siθ τότε και η συνάρτηση f κάτω από το ολοκλήρωμα στο δεξί μέλος της (73) θα είναι μια ρητή συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής Σε αυτή την περίπτωση ο υπολογισμός του ολοκληρώματος πάνω στον βρόχο C είναι εύκολος αρκεί να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των ολοκληρωτικών αφού πρώτα εντοπίσουμε τους πόλους της συνάρτησης f οι οποίοι περικλείονται από τον C (73)

24 8 ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Η γραμμική απεικόνιση Η γενική μορφή μιας γραμμικής απεικόνισης ( ή γραμμικού μετασχηματισμού όπως αλλιώς λέγεται) είναι η w f ( ) = a + b (8) όπου a και b μιγαδικές σταθερές με την a διάφορη του μηδενός Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων στο μιγαδικό επίπεδο, η γραμμική απεικόνιση (8) μπορεί να θεωρηθεί εν γένει ως η σύνθεση των ακόλουθων επίπεδων γεωμετρικών μετασχηματισμών: ) Μιας περιστροφής κέντρου Ο και γωνίας arg a ) Μιας ομοιοθεσίας 3 κέντρου Ο και λόγου a 3) Μιας παράλληλης μετατόπισης κατά το διάνυσμα με συνιστώσες ( Re b, Im b ) Επειδή η γραμμική απεικόνιση αποτελείται από τους ανωτέρω μετασχηματισμούς είναι προφανές ότι η εικόνα ενός οποιουδήποτε σχήματος είναι ένα σχήμα όμοιο με το αρχικό Ειδικότερα, οι ευθείες απεικονίζονται σε ευθείες και οι κύκλοι σε κύκλους Η απλότητα αυτής της απεικόνισης κάνει πιο βολικό για την σχηματική της περιγραφή να χρησιμοποιούμε αντί δύο επίπεδα μόνο το -επίπεδο πάνω στο οποίο σχεδιάζουμε και την εικόνα του αρχικού αντικειμένου Η απεικόνιση w= / Η απεικόνιση w= / είναι η σύνθεση μιας αντιστροφής 4 κέντρου Ο και δύναμης και μιας ανάκλασης ως προς τον πραγματικό άξονα (βλέπε Σχ(8)) Εύκολα αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση w= / απεικονίζει κύκλους ή ευθείες του μιγαδικού επιπέδου σε κύκλους ή ευθείες και ειδικότερα ότι: ) Ένας κύκλος ( a ) που δεν περνάει από την αρχή ( d ) στο -επίπεδο απεικονίζεται σε ένα κύκλο που δεν περνάει από την αρχή στο w-επίπεδο ) Ένας κύκλος ( a ) που περνάει από την αρχή ( d = ) στο -επίπεδο απεικονίζεται σε μία ευθεία που δεν περνάει από την αρχή στο w-επίπεδο 3) Μία ευθεία ( a = ) που δεν περνάει από την αρχή ( d ) στο -επίπεδο απεικονίζεται σε ένα κύκλο που περνάει από την αρχή στο w-επίπεδο 3 Στην Ευκλείδια Γεωμετρία ο σημειακός μετασχηματισμός που στο τυχόν σημείο M αντιστοιχεί το σημείο M επί της ευθείας ΟΜ (όπου Ο είναι ένα σταθερό σημείο του χώρου) τέτοιο ώστε OM = kom αριθμός k λόγος ομοιοθεσίας Στην ειδική περίπτωση που k = έχουμε ένα ταυτοτικό μετασχηματισμό ενώ όταν k = έχουμε συμμετρία με κέντρο το Ο λέγεται ομοιοθεσία Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της ομοιοθεσίας και ο πραγματικός 4 Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία ο σημειακός μετασχηματισμός που στο τυχόν σημείο M αντιστοιχεί το σημείο M επί της ευθείας OM (όπου O ένα σταθερό σημείο του χώρου) τέτοιο ώστε OM = kom / OM λέγεται αντιστροφή κέντρου (ή πόλου) O και δύναμης k

25 4) Μία ευθεία ( a = ) που περνάει από την αρχή ( d = ) στο -επίπεδο απεικονίζεται σε μία ευθεία που περνάει από την αρχή στο w-επίπεδο y Z O w x Σχήμα 8 Η διγραμμική απεικόνιση Η διγραμμική απεικόνιση η οποία λέγεται συχνά και μετασχηματισμός Mobius ή και ομογραφικός μετασχηματισμός ορίζεται από τον τύπο a + b w T ( ) =, με ad bc, (8) c + d όπου abcd,,, είναι μιγαδικές σταθερές Αν c = η T( ) εκφυλλίζεται σε μια γραμμική απεικόνιση Αν c εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο ορισμός (8) μπορεί να γραφεί και στην μορφή a bc ad w = +, ad bc, (83) c c c + d στην οποία είναι εμφανής η αναγκαιότητα του περιορισμού ad bc Όταν ο περιορισμός αυτός δεν ικανοποιείται η T( ) εκφυλλίζεται στην σταθερή απεικόνιση w= a/ c Από την (83) εύκολα διαπιστώνουμε ότι η διγραμμική απεικόνιση συντίθεται από τις ακόλουθες γνωστές μας απεικονίσεις: a bc ad Z = c + d, W =, w = + W, (84) Z c c όπου βέβαια c και ad bc Επειδή καθεμιά από αυτές τις τρεις επί μέρους απεικονίσεις απεικονίζει κύκλους ή ευθείες σε κύκλους ή ευθείες είναι φανερό ότι και η γενική διγραμμική απεικόνιση (8) θα έχει την ίδια ιδιότητα Μια σημαντική ιδιότητα της διγραμμικής απεικόνισης (8) είναι ότι διατηρεί τον διπλό λόγο Ο διπλός λόγος cr(, ; 3, 4) τεσσάρων διάφορων μεταξύ τους σημείων,, 3, 4 ορίζεται ως εξής: 3 4 ( 3 )( 4 ) cr(, ; 3, 4) = ( )( ) (85)

26 Σύμμορφες απεικονίσεις Μια συνάρτηση w= f( ) με πεδίο ορισμού το χωρίο Δ του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι ορίζει μία σύμμορφη απεικόνιση στο σημείο Δ αν η f( ) είναι αναλυτική στο και f ( ) Αν η w= f( ) είναι σύμμορφη σε κάθε σημείο του Δ τότε λέγεται σύμμορφη απεικόνιση στο Δ Μια απεικόνιση w= f( ) σύμμορφη σε ένα χωρίο Δ ορίζει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα στα σημεία του Δ και στα σημεία της εικόνας Δ του Δ στο w-επίπεδο Μια σημαντική ιδιότητα της σύμμορφης απεικόνισης από την οποία έχει πάρει και το όνομά της είναι ότι διατηρεί τις γωνίες Έστω μια απεικόνιση w= f( ) η οποία είναι σύμμορφη σε ένα χωρίο Δ στο εσωτερικό του οποίου υπάρχει μια ομαλή καμπύλη C η οποία έστω ότι διέρχεται από το σημείο Δ Η δράση της σύμμορφης απεικόνισης στο πάνω στην καμπύλη C έχει σαν συνέπεια την περιστροφή της εφαπτομένης της στο (και επομένως την περιστροφή της ίδιας της καμπύλης στο ) κατά γωνία στροφής ίση με ψ = arg f ( ) (86) Ας θεωρήσουμε τώρα δύο ομαλές καμπύλες C και C (σχήμα 8) που τέμνονται στο σημείο σχηματίζοντας μεταξύ τους γωνία α Τότε οι εικόνες τους C και C μέσω της απεικόνισης w= f( ) θα σχηματίζουν την ίδια γωνία α στο σημείο w = f( ) O x Σχήμα 8 O Η ποσότητα f ( ) λέγεται συντελεστής κλίμακας στο σημείο Σε μια αρκούντως μικρή γειτονιά του μπορούμε κατά προσέγγιση να γράψουμε f( ) f( ) f ( ) (87) Όταν f ( ) > έχουμε διαστολή ενώ όταν f ( ) < έχουμε συστολή Τέλος, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν και τα σταθερά σημεία μιας απεικόνισης Αυτά

27 είναι τα σημεία που έχουν σαν εικόνα τον εαυτό τους Δηλαδή είναι τα σημεία που ικανοποιούν την εξίσωση = f( ) (88) Μια πολύ σημαντική εφαρμογή της σύμμορφης απεικόνισης είναι η χρήση της για την επίλυση δισδιάστατων προβλημάτων Dirichlet 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του Dirac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ () αν D δ[ φ( x) ] = φ( x) δ( x) dx = (9) αν D D όπου η φ ( x) είναι μια συνάρτηση που ανήκει σε ένα σύνολο συναρτήσεων που λέγονται συναρτήσεις ελέγχου (test fuctios) Οι συναρτήσεις αυτές είναι εν γένει κατά τμήματα συνεχείς μιγαδικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής και έχουν παραγώγους κάθε τάξης σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού τους εκτός βέβαια από τα σημεία ασυνέχειας τα οποία είναι πεπερασμένα στο πλήθος Το σύνολο D [ ab, ] R είναι το λεγόμενο στήριγμα της συνάρτησης φ ( x), δηλαδή το διάστημα στο οποίο περικλείεται όλη η «χρήσιμη» πληροφορία της συνάρτησης Έξω από αυτό το διάστημα η φ ( x) είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) είναι όλο το σύνολο R τότε υποθέτουμε ότι lim φ( x) = Από τον ορισμό (9) φαίνεται ότι η δ ( x) δεν είναι συνάρτηση με x ± τη συνηθισμένη έννοια που δίνουμε στον όρο (γι αυτό άλλωστε χρησιμοποιούμε τα εισαγωγικά στον όρο συνάρτηση όταν αναφερόμαστε σε αυτή) αλλά μια γραμμική απεικόνιση του συνόλου των συναρτήσεων ελέγχου στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών Έτσι, παραστάσεις της μορφής f( x) δ ( x) ή f( x) + δ ( x) όπου f( x ) είναι μια συνηθισμένη συνάρτηση δεν έχουν κατ αρχήν καμία έννοια θεωρούμενες υπό το πρίσμα του συνηθισμένου πολλαπλασιασμού ή αθροίσματος συναρτήσεων, αφού όπως φαίνεται και από τον ορισμό (9) η δ ( x) δρα πάνω στις συναρτήσεις ελέγχου φ ( x) πάντα κάτω από το σύμβολο της ολοκλήρωσης για να δώσει σαν αποτέλεσμα ένα αριθμό φ () που είναι η τιμή της εκάστοτε φ ( x) στο σημείο x = Εν τούτοις στην παράσταση f( x) δ ( x) δίνουμε περιεχόμενο ορίζοντας με αυτή την γενικευμένη συνάρτηση που στην τυχούσα συνάρτηση ελέγχου φ ( x) αντιστοιχεί τον αριθμό f () φ () Δηλαδή η f( x) δ ( x) δρα πάνω στις συναρτήσεις ελέγχου με τον μηχανισμό της εξίσωσης (9) : Έτσι είναι προφανές πχ ότι φ ( x) f ( x) δ ( x) dx = φ () f () D xδ ( x) =, (9)

28 Όπου με αυτή την εξίσωση εννοούμε ότι η xδ ( x) αντιστοιχεί κάθε συνάρτηση ελέγχου στον αριθμό Μαθηματικές οντότητες όπως η δ ( x) λέγονται κατανομές (distributios) ή ακόμα και γενικευμένες συναρτήσεις (geeralied fuctios) Ειδικότερα για την δ ( x) χρησιμοποιούνται και οι όροι κατανομή του Dirac ή και κατανομή δέλτα Αν στον ορισμό (9) εισάγουμε ως συνάρτηση ελέγχου 5 την σταθερή συνάρτηση φ ( x) = με πεδίο ορισμού όλη την πραγματική ευθεία, παίρνουμε + δ ( x) dx = (93) Η σχέση αυτή, μαζί με την υπόθεση ότι η δ ( x) μηδενίζεται παντού εκτός από το σημείο x = που αποκλίνει στο, χρησιμοποιείται καμιά φορά σε βιβλία φυσικής για τον ορισμό της «συνάρτησης» δέλτα Με μια παράλληλη μετατόπιση στην αρχή Ο του άξονα των x, δηλαδή το x x a, μπορούμε να γενικεύσουμε τον ορισμό (9) και να πάρουμε τη δράση της δ ( x a) πάνω στις συναρτήσεις ελέγχου Έτσι, αν συμβολίσουμε την δράση της δ ( x a) πάνω στη συνάρτηση ελέγχου ( x) φ με [ ( x) ] δ φ η (9) γράφεται a φ ( a) αν a D δa [ φ( x) ] = φ( x) δ( x a) dx = (94) αν a D D Γενικότερα, μπορούμε να ορίσουμε τη σύνθεση της δ ( x) με μια συνάρτηση f( x ) δηλαδή τη γενικευμένη συνάρτηση δ [ f( x)] Εύκολα μπορούμε να δείξουμε βασιζόμενοι στην (94) ότι αν η f( x ) έχει μόνο απλές ρίζες, έστω τις a, a,, an τότε N δ ( x a ) δ[ f( x)] = (95) = f ( a ) Από αυτό τον τύπο προκύπτουν αμέσως και οι συχνά χρήσιμοι τύποι δ( ax) = δ( x), (96) a δ [( x a)( x b)] = [ ( x a) ( x b)] a b δ + δ (97) H δ ( x) μπορεί να αναπαρασταθεί από ακολουθίες ή οικογένειες συναρτήσεων που ενώ δεν συγκλίνουν με τη συνήθη έννοια συγκλίνουν όμως προς την δ ( x) Πχ για την ακολουθία 5 Η συνάρτηση αυτή δεν μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση ελέγχου παρά μόνο αν υποθέσουμε ότι φ ( ± ) = δηλαδή ότι παρουσιάζει ασυνέχεια άλματος στα σημεία ±

29 αν < x < f( x) = αν x > (98) εύκολα αποδεικνύουμε ότι + lim φ( x) f ( x) dx φ() = + και επομένως lim f ( x) = δ ( x) Η σχέση αυτή γενικεύεται κα στην περίπτωση που ο + δείκτης παίρνει συνεχείς τιμές Αν αντικαταστήσουμε τον με μια συνεχή παράμετρο ε τότε η προηγούμενη αναπαράσταση της δ ( x) γράφεται όπου δ ( x) = lim f ( x) (99) ε ε αν x < ε fε ( x) = ε αν x > ε Άλλες γνωστές οικογένειες συναρτήσεων που αναπαριστούν τη δ ( x) είναι οι (9) f ( x) ε ε π x + ε με ε, (9) si( α x) fα ( x) = π x με α (9) Ειδικά για την οικογένεια συναρτήσεων (9) μπορούμε αν παρατηρήσουμε ότι si( α x) ixt = e dt πx, α π α τότε βλέπουμε ότι η σε αυτή την περίπτωση η αναπαράσταση της δ ( x) παίρνει την μορφή ixt δ ( x) = e dt π (93) Ένας άλλος τρόπος αναπαράστασης της δ ( x) είναι μέσω της παραγώγου της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος H( x ) Η συνάρτηση αυτή ορίζεται ως εξής: αν x < H( x) = (94) αν x > Επίσης ιδιαίτερα χρήσιμη είναι και η σύνθετη συνάρτηση Η(x-a) με αναλυτικό τύπο: + αν x< a H( x a) = αν x> a (95) Εύκολα αποδεικνύονται οι ακόλουθες σχέσεις:

30 H ( x) = δ( x) και H ( x a) = δ( x a) (96) Η παράγωγος της συνάρτησης δ ( x a) ορίζεται ως εξής: φ ( a) αν a D φ( x) δ ( x a) dx = (97) αν a D D Ο συναρτησιακός χώρος F Ας θεωρήσουμε τις μιγαδικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής με πεδίο ορισμού όλο το σύνολο R των πραγματικών αριθμών Θα υποθέσουμε ακόμα ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι κατά τμήματα συνεχείς σε κάθε διάστημα [ ab, ] R Το σύνολο αυτών των συναρτήσεων εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης συναρτήσεων και του πολλαπλασιασμού συνάρτησης με αριθμό συνιστά ένα απειροδιάστατο διανυσματικό χώρο Στον χώρο αυτό εισάγουμε ένα βαθμωτό γινόμενο συναρτήσεων ως εξής: Αν f( x) F, =, τότε + ( f ( x), f ( x)) = f ( x) f ( x) dx (98) Με την εισαγωγή αυτού του βαθμωτού γινομένου ο χώρος F γίνεται ένας ερμητιανός διανυσματικός χώρος Το μέτρο ενός διανύσματος (δηλαδή συνάρτησης) f( x) του F ορίζεται ως εξής: Για να υπάρχει όμως το μέτρο f( x) ( f( x), f( x)) (99) + ikx f( x) f( x) = F( k) e dk θα πρέπει π (( f( x), f( x )) < + ή ισοδύναμα, θα πρέπει να συγκλίνει το ολοκλήρωμα + + f( x) f( x) dx= f( x) dx< + (9) Οι συναρτήσεις f( x) του F που ικανοποιούν τον περιορισμό (9) λέγονται τετραγωνικά ολοκληρώσιμες Οι συναρτήσεις αυτές αφού ικανοποιούν την (9) είναι ευνόητο ότι θα πρέπει να τείνουν «αρκούντως γρήγορα» προς το μηδέν στα δύο άκρα της πραγματικής ευθείας Δηλαδή θα πρέπει lim f( x) = (9) x ± Αποδεικνύεται ότι κάθε συνάρτηση f( x ) του χώρου F μπορεί να γραφεί σε μορφή ολοκληρώματος ως εξής: όπου + ikx f ( x) = F( k) e dk π, (9)

31 + ikx F( k) = f ( x) e dx π (93) Το δεξί μέλος της εξίσωσης (9) μπορεί να αναγνωσθεί ως μια γραμμική επαλληλία των συναρτήσεων ikx φ k ( x) = e, με k R (94) π όπου οι συντελεστές Fk ( ) της επαλληλίας αυτής εξαρτώνται από τον συνεχή δείκτη k Υπό αυτή την έννοια οι συναρτήσεις φ ( x) συνιστούν μια βάση συναρτήσεων 6 για k τον χώρο F Το γράφημα της συνάρτησης Fk ( ) συναρτήσει του k συνιστά το φάσμα συχνοτήτων της f( x ) το οποίο είναι συνεχές Βασιζόμενοι στην σχέση (93) παρατηρούμε ότι οι φ ( x) συνιστούν ένα ορθοκανονικό σύστημα συναρτήσεων και ότι k ( ) φ ( x), φ ( x) = δ( k k ) (95) k ( ) k φ ( x), φ ( x ) = δ( x x ) (96) k k Η εξίσωση (96) λέγεται σχέση πληρότητας διότι όταν ικανοποιείται μας εξασφαλίζει το ότι το σύστημα των συναρτήσεων φ ( x), k Z είναι πλήρες, δηλαδή συνιστά μια βάση για τον χώρο F Ο μετασχηματισμός Fourier k Αποδεικνύεται ότι οι συναρτήσεις Fk ( ) είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες και επομένως ανήκουν στον χώρο F Γι αυτό μπορούμε να δούμε τον τύπο (93) ως ένα μετασχηματισμό που στη συνάρτηση f( x) F αντιστοιχίζει την συνάρτηση Fk ( ) Τον μετασχηματισμό αυτό που λέγεται μετασχηματισμός Fourier θα τον Fk ( ) F f( x) Ο συμβολίζουμε με το σύμβολο F και έτσι θα γράφουμε [ ] αντίστροφος μετασχηματισμός F που αντιστοιχίζει την Fk ( ) στην f( x ) δίνεται από τον τύπο (9) και λέγεται αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier Σε αυτή την f( x) F Fk ( ) Η συνάρτηση Fk ( ) λέγεται περίπτωση γράφουμε [ ] μετασχηματισμένη Fourier της f( x ), ενώ η f( x ) λέγεται αντίστροφη μετασχηματισμένη Fourier της Fk ( ) Αν επιβάλλουμε στην Fk ( ) να ικανοποιεί την συνθήκη F( k) = Fk ( ) τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι η f( x ) γίνεται μια πραγματική συνάρτηση που εκφράζεται από το ολοκλήρωμα + [ ] f ( x) = a( k)cos( kx) + b( k)si( kx) dk (97) όπου θέσαμε F( k) π /( a ib) = + Το ολοκλήρωμα αυτό λέγεται ολοκλήρωμα Fourier και αποτελεί γενίκευση τη γνωστής μας σειράς Fourier στην περίπτωση που 6 Αν και δεν είναι στοιχεία του διανυσματικού χώρου αφού δεν είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3)

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3) 4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση την σχέση e, ή exp( ) όπως εναλλακτικά συμβολίζεται, ορίζεται από x e = e (os y+ isin y) (0.) όπου = x + iy. Όταν = iy τότε ο ανωτέρω

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγματικό μέρος uxy (, ) = ycosxκαι φανταστικό μέρος vxy (, ) = y sinx, όπου = x+ iy

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f () = uy (, ) + vy (, ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο = + y αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ) Οι πρώτες μερικές παράγωγοι u( y,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: z r(cosϑ + isi ϑ) Τότε z r (cos ϑ + isi ϑ ) Ν-οστή ρίζα µιγαδικού / ϑ + π ϑ+ π z r cos + isi όπου 0,,,, Συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης

Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις SECTION 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 6. Ορισµοί Συναρτήσεις Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση εννοούµε µια απεικόνιση αντιστοίχιση σύµφωνα µε έναν κανόνα) από ένα σύνολο D σε ένα σύνολο R, έτσι ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει ραγματικό μέρος φανταστικό μέρος u( x, y) xcos y και v( x, y) xsi y Αό την θεωρία γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και η σφαίρα του Riemann............ 0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

f(z) 1 + z a lim f (n) (0) n! = 1

f(z) 1 + z a lim f (n) (0) n! = 1 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Υποθέτουμε ότι η f : C C είναι ακέραια συνάρτηση και ότι το όριο Αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή.

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Ο λογισμός είναι λογικά εσφαλμένος, ωστόσο δίνει σωστά αποτελέσματα, γιατί τα λάθη αλληλοεξουδετερώνονται Αφού κατανοήσουμε το πνεύμα της απειροελάχιστης μεθόδου,

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα

2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Σειρές Fourier. Σειρές Fourier. Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Μία συνάρτηση f() είναι περιοδική με περίοδο όταν ισχύει f(+)=f(). Η ελάχιστη δυνατή περίοδος λέγεται και θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Μ. Παπαδημητράκης . Για καθεμία από τις ανισότητες ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ + >, +, + > +3 3+, ( )( 3) ( ) 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018 ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f ( ) γράφονται uy (, ) = y και v(, y) = y Οι ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα