4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )

Transcript

1 4 Μιαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµοές Καµπύλες στο Μιαδικό επίπεδο Oρισµός 4 Αν, :[, ] xy a είναι συνεχείς πραµατικές συναρτήσεις τότε κάθε απεικόνιση :[ a, ] : t = x t + iy t, καλείται (προσανατολισµένη) καµπύλη στο µιαδικό επίπεδο (ή δρόµος) µε φορά διαραφής προς την κατεύθυνση αύξησης των t Το σηµείο ( a) καλείται αρχικό σηµείο της καµπύλης και το σηµείο ( ) καλείται τελικό σηµείο Εάν ( a)= ( ) τότε η καµπύλη καλείται κλειστή, αλλιώς καλείται ανοικτή Η καλείται απλή αν ια κάθε a< t< t < ισχύει ( t) ( t), δηλαδή µια απλή καµπύλη δεν τέµνει τον εαυτό της Η εικόνα µιας καµπύλης στο µιαδικό επίπεδο καλείται ίχνος της καµπύλης Oρισµός 4 Μια καµπύλη ( t) x( t) iy( t), t [ a, ] = + καλείται λεία αν η είναι παραωίσιµη µε συνεχή και µη µηδενική παράωο t x t iy t t a, Με άλλα λόια η είναι λεία αν () = () + ια κάθε [ ] υπάρχουν οι παράωοι x ( t), y ( t) και είναι συνεχείς ια κάθε t [ a, ] οι x () t, y ( t) δεν µηδενίζονται ταυτόχρονα ια κάθε t [ a, ] Αν η ( t) είναι τµηµατικά συνεχής στο [, ] a τότε λέµε ότι η είναι τµηµατικά λεία καµπύλη (ή αλλιώς βρόχος) Παρατήρηση ύο διαφορετικές καµπύλες µπορεί να έχουν το ίδιο ίχνος Για παράδειµα οι καµπύλες it () t = e, t [,π ) και it () t = e, t,π [ ) έχουν το ίδιο ίχνος (το µοναδιαίο κύκλο) αλλά αντίθετες φορές διαραφής Αν λοιπόν :[ a, ] είναι µια καµπύλη ορίζουµε ως αντίθετη καµπύλη της να είναι η καµπύλη 93

2 ηλαδή η :[ a, ] : ( )( t)= ( a+ t), t [ a, ] έχει το ίδιο ίχνος µε την αλλά αντίθετο προσανατολισµό :[ a, ] Επιπρόσθετα αν :[ c, ] ορίζουµε ως άθροισµα αυτών να είναι µια νέα καµπύλη είναι δύο καµπύλες µε ( ) ( ) [ ac] () t :, : ( t), t [ a, ] () t, t [, c] + + = = τότε Oρισµός 43 Προσανατολισµός απλής κλειστής καµπύλης Θα λέµε ότι µια απλή κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη είναι θετικά προσανατολισµένη (ή διαράφεται µε τη θετική φορά) αν κινούµενοι κατά µήκος της έχουµε πάντα στο αριστερό χέρι µας το εσωτερικό της Oρισµός 44 Εστω D είναι τόπος (δηλαδή ανοικτό και συνεκτικό σύνολο) Ο τόπος D καλείται απλά συνεκτικός αν δεν έχει «τρύπες» στο εσωτερικό του Ισοδύναµα ο D καλείται απλά συνεκτικός τόπος αν κάθε κλειστή καµπύλη στο εσωτερικό του D µπορεί να συσταλλεί µε συνεχή τρόπο σε σηµείο του D παραµένοντας εξ ολοκλήρου στο D Σε αντίθετη περίπτωση ο D καλείται πολλαπλά συνεκτικός τόπος Ας αναφέρουµε µερικά χαρακτηριστικά παραδείµατα καµπύλων Κύκλος κέντρου και ακτίνας r (θετική φορά): it () [ ) t = + re, t,π Έλλειψη κέντρου µε µήκη ηµιαξόνων a>, (θετική φορά) [ ) t ()= + a συνt+ i ηµ t, t,π Ευθύραµµο τµήµα µε άκρα, (φορά ): [ ] t () = + t, t, 94

3 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα Στο εξής όταν ράφουµε καµπύλη θα εννοούµε πάντα µια προσανατολισµένη καµπύλη Ετσι αν :[ a, ] : ( t) = x( t) + iy( t) είναι µια καµπύλη στο µιαδικό επίπεδο τότε ορίζουµε () () () t dt = x t dt+ i y t dt a a a Ορισµός 45 Έστω f είναι µια συνεχής µιαδική συνάρτηση πάνω σε µια τµηµατικά λεία καµπύλη :[ a, ] Τότε ορίζουµε το ολοκλήρωµα της f κατά µήκος της καµπύλης ως εξής: f ( d ) = f( ( t)) ( tdt ) Σηµείωση: Στο παραπάνω ολοκλήρωµα θεωρούµε () () a d = d t = t dt = x t dt+ iy t dt = dx+ idy Οι ιδιότητες του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος περιράφονται στην ακόλουθη: Πρόταση 4 Εστω :[ a, ] είναι µια τµηµατικά λεία καµπύλη και f, g είναι συνεχείς µιαδικές συναρτήσεις πάνω στο ίχνος της (α) Αν :[ cd, ] [ a, ] µε φ ( c) = a, φ ( d) = και φ () t > ια κάθε t [ c, d] φ είναι συνεχώς παραωίσιµη πραµατική συνάρτηση f d = f( ) d φ τότε Με άλλα λόια κάθε αναπαραµέτρηση της καµπύλης που διατηρεί τον προσανατολισµό της δε µεταβάλλει την τιµή του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος (β) ( cf( ) + cg ) d= c f( d ) + c gd, ( cc, ) () f d = f( ) d 95

4 είναι µια τµηµατικά λεία καµπύλη µε ( ) ( ) (δ) Αν :[ c, ] f d= f( d ) + f( d ), + υπό την προϋπόθεση ότι η f είναι συνεχής πάνω στο ίχνος της + { } (ε) Αν M sup f ( ) : ( [ a, ] ) τότε = τότε = και L είναι το µήκος της καµπύλης f d f d M L d Απόδειξη: (α) = ( φ)( φ ) φ ( ( ())) () f d f t t dt c d ω= φ() t f φ t ( φ t ) φ () t dt f ( ( ω) ) ( ω) dω f( ) d = = = c (β) ( + ) = ( + ) cf( ) cg d cf( ( t)) cg( ( t)) ( tdt ) a a = c f ( ( t )) ( t ) dt + c f ( ( t )) ( t ) dt = c f ( ) d + c g ( ) d a a () a ( )( ) f d = f a+ t a+ t dt (δ) Όπως στην (α) a f ( ( ω) ) ( ω) dω f ( ( ω) ) ( ω) dω f( ) d = = = a (ε) f ( d ) = f ( ( t )) ( tdt ) f ( ( t )) ( t ) dt a a () ( ()) ( ()) a a M t dt = M x t + y t dt = M L Πρόταση 4 Εστω f ( )= uxy (, ) + ivxy (, ) είναι συνεχής µιαδική :[ a, ] : t = x t + iy t Τότε συνάρτηση σε τµηµατικά λεία καµπύλη 96

5 f ( d ) = uxydx (, ) vxydy (, ) + i uxydy (, ) + vxydx (, ) Απόδειξη f ( ) d = ( u + iv) ( dx + idv) = ( udx vdy) + i( udy + vdx ) Σηµείωση: H Πρόταση 4 δίνει µια ερµηνεία της τιµής του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος µέσω των επικαµπυλίων ολοκληρωµάτων τύπου έρου πεδίων του Πράµατι το πραµατικό µέρος του f ( d ) µπορεί να ερµηνευθεί ως το έρο του πεδίου f = ( u( x, y), v( x, y) ) κατά µήκος της καµπύλης Οµοίως το φανταστικό µέρος της τιµής του f ( d ) (,,, ) µπορεί να ερµηνευθεί ως η ροή του πεδίου f u( x y) v( x y) µέσου της καµπύλης = δια Ορισµός 46 Έστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του και f : E Αν υπάρχει αναλυτική συνάρτηση F: E που ικανοποεί την F ( ) = f ( ) ια κάθε E τότε η F καλείται παράουσα ή αντιπαράωος της f στο E Θεώρηµα 4 (Παράουσα και ανεξαρτησία δρόµου) Έστω E είναι τόπος και f : E είναι συνεχής Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες: H f έχει µοναδική παράουσα στο E (µε προσέιση σταθεράς) Για κάθε κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη µε ίχνος στο E ισχύει f ( d ) = Απόδειξη Εστω F είναι παράουσα της f Τότε F ( ) = f ( ), άρα f ( d ) = ( ()) () () F d = F t tdt F tdt = a a ( ) = F F a = F F a = Αντιστρόφως έστω f( ) d = ια κάθε κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη 97

6 στο E Αν Α και Β είναι δυο σηµεία στο E όπως στο σχήµα και, και πέρας το Β θα δείξουµε ότι ισχύει είναι δυο οποιεσδήποτε τµηµατικά λείες καµπύλες µε κοινή αρχή το Α f ( d ) = f( d ) Από το σχήµα έχουµε ότι η είναι κλειστή καµπύλη και λόω υπόθεσης παίρνουµε f ( ) d = f ( ) d f ( ) d + = f d f( ) d = Αρα η συνάρτηση ( ζ ) F( ) = f dζ είναι καλά ορισµένη (, E, σταθερό) µε την έννοια ότι η παραπάνω ραφή δηλώνει ότι η τιµή του ολοκληρώµατος είναι ανεξάρτητη της επιλοής καµπύλης ζ µε άκρα τα και Εστω ζ + h E, h Αφού η τιµή της F( ) δεν εξαρτάται από την επιλοή καµπύλης µπορούµε να υποθέσουµε (χωρίς περιορισµό της ενικότητας) ότι η καµπύλη ζ είναι το ευθύραµµο τµήµα µε άκρα τα και Τότε: F( + h) F = + h + h f d f d = f d h + Εφόσον ζ ζ ζ ζ ζ ζ f = f dζ h, έχουµε F ( + h ) F + f = h ( f ( ζ ) f ( ) ) dζ h h sup f ( ζ ) f ( ) h, ζ h 98

7 λόω συνέχειας της f Aρα F ( ) = f ( ) Αν G( ) ήταν µια άλλη παράουσα της f, τότε προφανώς θα ίσχυε F ( ) = G ( ) ( F G) ( ) = Από τη σχέση αυτή και την υπόθεση ότι E είναι τόπος προκύπτει ότι F G= c Παρατήρηση: (α) Συνήθως ράφουµε: f ( d ) ια να δηλώσουµε το σύνολο των αντιπαραώων της f f d ια να δηλώσουµε ότι το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της f a είναι ανεξάρτητο του δρόµου και εξαρτάται µόνον από το αρχικό σηµείο a και τελικό σηµείο ια να δηλώσουµε µια παράουσα της f F( ) = f ( ζ ) dζ + f( a) f a d ια να δηλώσουµε ολοκλήρωση πάνω σε κλειστή καµπύλη (χωρίς ο τελευταίος συµβολισµός να τηρείται απαρέκλιτα) (β) Οι αντιπαράωοι αναλυτικών συναρτήσεων υπολοίζονται όπως οι αντιπαράωοι στις πραµατικές συναρτήσεις (στο πεδίο όπου είναι αναλυτικές) Ετσι έχουµε: a+ a d= + c, a, a, a + d = Log ( ) + c στο πεδίο αναλυτικότητας του Log ed= e + c, ηµ συν d = + c, συν ηµ d = + c, sinh d = cosh + c, cosh d = sinh + c, κλπ 99

8 Το Θεώρηµα του Cauchy Θεώρηµα 4 (Cauchy) Αν f είναι αναλυτική συνάρτηση πάνω και στο εσωτερικό µιας απλής κλειστής τµηµατικά λείας καµπύλης, τότε f( ) d = Παρατήρηση (α) Αν υπάρχει έστω και ένα σηµείο στο εσωτερικό της όπου η f δεν είναι αναλυτική τότε το Θεώρηµα Cauchy δεν ισχύει εν ένει Για παράδειµα έστω f( )= t = e είναι ο µοναδιαίος κύκλος Τότε η f και it δεν είναι αναλυτική στο εσωτερικό του µοναδιαίου δίσκου (διότι δεν είναι αναλυτική στο = ) και έχουµε π π it it it it d d ( e ) ( e π ) dt ( e π = = ) dt i e dt π i it = = = it it it e e e e (β) Το Θεώρηµα Cauchy ισχύει και ια µη απλές καµπύλες Αυτό αποδεικνύεται µε χρήση της έννοιας της οµοτοπίας εν θ αναφερθούµε περαιτέρω στην έννοια αυτή σ αυτές τις σηµειώσεις () Αν στις υποθέσεις του Θεωρήµατος Cauchy απαιτήσουµε η f να είναι συνεχής πάνω και στο εσωτερικό της τότε η απόδειξη του Θεωρήµατος Cauchy ίνεται εύκολα µε χρήση του Θεωρήµατος Green ια το επίπεδο Σ αυτή την περίπτωση ράφοντας f ( ) = uxy (, ) + ivxy (, ) ( = x+ iy) βρίσκουµε εύκολα ότι οι µερικές παράωοι ux, uy, vx, v y είναι συνεχείς και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy-Riemann ux = vy, uy = vx Τότε από την Πρόταση 4 και το Θεώρηµα Green ια το επίπεδο παίρνουµε = ( vx + uy) dxdy + i ( ux vy) dxdy = f ( d ) = uxydx (, ) vxydy (, ) + i uxydy (, ) + vxydx (, ) E Σηµειώνουµε ότι η επιπλέον υπόθεση της συνέχειας της f µπορεί µεν να απλοποιεί την απόδειξη του Θεωρήµατος Cauchy παρά ταύτα είναι αχρείαστη διότι όπως θα δούµε παρακάτω κάθε αναλυτική συνάρτηση είναι απειροδιαφορίσιµη, άρα η f είναι συνεχής Η απόδειξη του Θεωρήµατος Cauchy χωρίς τη E

9 συνθήκη συνέχειας της f δεν είναι τόσο απλή Πρώτος ο Goursat απέδειξε το Θεώρηµα 4 µόνον ια ορθοώνιες καµπύλες και στη συνέχεια από το Θεώρηµα Goursat και µε χρήση της έννοιας των οµοτοπικών καµπύλων απεδείχθη ότι οι ορθοώνιες καµπύλες µπορούν να αντικατασταθούν από οποιαδήποτε κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη Για το αντίστροφο του Θεωρήµατος Cauchy έχουµε το ακόλουθο: Θεώρηµα 43 (Μorera) Αν f είναι συνεχής σε τόπο E και ισχύει f( ) d = ια κάθε κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη µε ίχνος στο E, τότε η f είναι αναλυτική στο E Πόρισµα 4 (Παράουσα και Θεώρηµα Cauchy) Αν f είναι αναλυτική επί ενός απλά συνεκτικού τόπου E τότε η f έχει µοναδική παράουσα στο E (µε προσέιση σταθεράς) Απόδειξη Λαµβάνοντας υπόψη ότι σε κάθε απλά συνεκτικό τόπο E κάθε απλή κλειστή καµπύλη στον τόπο E έχει το εσωτερικό της επίσης στο E και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 4 παίρνουµε το αποτέλεσµα ια απλές κλειστές καµπύλες Γενικότερα ια κλειστές καµπύλες θεωρούµε ότι µπορούµε να τις ράψουµε ως ένωση απλών κλειστών καµπύλων Θεώρηµα 44 (Παραµόρφωση δρόµων) Εστω, είναι δυό απλές, κλειστές, τµηµατικά λείες καµπύλες µε ίδιο προσανατολισµό έτσι ώστε η µια εκ των, να βρίσκεται στο εσωτερικό της άλλης (βλέπε ενδεικτικό σχήµα): Αν f είναι αναλυτική σε χωρίο R και στο σύνορο του R = (βλέπε σχήµα) τότε f( ) d = f( ) d

10 Απόδειξη Εστω R είναι το χωρίο που περικλείεται µεταξύ των καµπύλων και και έστω L, L είναι οι καµπύλες µε ίχνη τα ραµµοσκιασµένα ευθύραµµα σχήµατα µε τη φορά του σχήµατος Τότε το R διαµερίζεται σε δύο χωρία (έστω R και R ) που φράσσονται από δύο απλές κλειστές και τµηµατικά λείες καµπύλες, συνεπώς το θεώρηµα Cauchy εφαρµόζεται σε κάθε µία από αυτές Αν τα τµήµατα των καµπύλων και που αποτελούν σύνορο ια τα χωρία R και R συµβολίζονται µε, και, αντιστοίχως, τότε έχουµε, R, R, R, R = f d L L, R, R f d f d L, R f d+ f d = L, R Οµοίως: = f d L L, R, R f d f d L, R Aθροίζοντας κατά µέλη παίρνουµε f d f d = L, R f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d + + =, R, R, R, R f d f d = f d = f d Θεώρηµα 45 (Γενικευµένο Θεώρηµα Cauchy) Εστω f είναι µια αναλυτική συνάρτηση σε κλειστό τόπο G µε σύνορο G Αν το σύνορο G αποτελείται από µια απλή κλειστή τµηµατικά λεία και θετικά προσανατολισµένη καµπύλη η οποία περιέχει στο εσωτερικό της πεπερασµένο αριθµό απλών κλειστών τµηµατικά λείων και θετικά προσανατολισµένων καµπύλων,, n έτσι ώστε κάθε καµπύλη να βρίσκεται στο εξωτερικό κάθε άλλης καµπύλης ( k, j,, n, k j) k =, τότε j n f ( d ) = f( d ) k= k Απόδειξη Οπως στο Θεώρηµα 44

11 Ο Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy Θεώρηµα 46 (Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy) Έστω f είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό µιας απλής, κλειστής και θετικά προσανατολισµένης τµηµατικά λείας καµπύλης Εάν είναι οποιοδήποτε σηµείο στο εσωτερικό της, τότε f ( )= f( ) d π i Απόδειξη Ας θεωρήσουµε τη συνάρτηση g( ) = f f Προφανώς η g είναι αναλυτική στο εσωτερικό της εκτός (ενδεχοµένως) του σηµείου Αφού είναι σηµείο στο εσωτερικό της, υπάρχει κύκλος : it = + re, t [,π ) εντός του G και από το Θεώρηµα παραµόρφωσης δρόµων έχουµε Τότε: f( ) f( ) g ( ) d = g( ) d d = d f( ) f( ) f( ) f d = d + d = + f( ) f f ( ) d d = r = + f( ) f f πi d Εφόσον η f είναι συνεχής στο (εξ ορισµού), θα ισχύει G f ( ) f ( ) ε > δ ε > : : < δ < ε Μπορούµε λοιπόν να επιλέξουµε αµελητέο r < δ ( ε ) ώστε ε > και κατά συνέπεια ακτίνα 3

12 f( ) f f( ) f ( ) d d π r = πε r ε Αρα η τιµή του f( ) f d είναι αµελητέα και συνεπώς f( ) f( ) d = d = π i f Σηµείωση: (α) O Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy είναι πολύ σηµαντικός Με απλά λόια µας λέει ότι αν µια συνάρτηση είναι αναλυτική στο εσωτερικό ενός απλά συνεκτικού τόπου, τότε όλες οι τιµές της συνάρτησης στο εσωτερικό του τόπου καθορίζονται πλήρως από τις τιµές της συνάρτησης πάνω στο σύνορο του τόπου Προφανώς µια τέτοια ιδιότητα δεν ισχύει στις πραµατικές συναρτήσεις (β) O Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy ενικεύεται εύκολα ια µη απλά συνεκτικούς τόπους Με τις συνθήκες του Θεωρήµατος 45 έχουµε f ( ) = f( ) d πi G () O Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy ενικεύεται και ια µη απλές κλειστές καµπύλες µε χρήση του τύπου f ( )= f( ) d πi I, ( ), όπου η ποσότητα I (, ) = π i d καλείται δείκτης στροφής της καµπύλης ύρω απ το σηµείο Αποδεικνύεται ότι ο δείκτης στροφής είναι ακέραιος αριθµός και µετρά πόσες φορές περιστρέφεται η καµπύλη ύρω απ το σηµείο Αν δεν ανήκει στο εσωτερικό της τότε I(, ) = Θεώρηµα 47 (Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy ια παραώους) Έστω f είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό µιας απλής, κλειστής και θετικά προσανατολισµένης τµηµατικά λείας καµπύλης Τότε η 4

13 f έχει παραώους κάθε τάξεως σε σηµείο στο εσωτερικό της και ισχύει n! f ( ) ( ) ( n) f ( )= d n i + π Σηµείωση: (α) O Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy ια παραώους είναι επίσης πολύ σηµαντικός Με απλά λόια µας λέει ότι αν µια συνάρτηση είναι αναλυτική στο εσωτερικό ενός απλά συνεκτικού τόπου G, τότε η f έχει παραώους κάθε τάξης στο G, δηλαδή είναι απειροδιαφορίσιµη στο G Προφανώς µια τέτοια ιδιότητα δεν ισχύει στις πραµατικές συναρτήσεις (β) O Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy ια παραώους ενικεύεται τόσο ια πολλαπλά συνεκτικούς τόπους όσο και ια µη απλές κλειστές καµπύλες όπως παραπάνω Εφαρµοές Πόρισµα 4 (Θεώρηµα Μέσης Τιµής Gauss) Έστω αναλυτική στον κλειστό δίσκο D= { : r} Τότε f είναι π iθ f ( ) = f ( re ) dθ π + Απόδειξη Από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy έχουµε f( ) f( ) f ( )= d d πi = πi = r iθ π f ( + re ) π iθ iθ i re dθ f i ( re ) dθ θ = = + πi re π Πόρισµα 43 (Ανισότητα Cauchy) Έστω r >, και f είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό του κύκλου Cr : = r Αν ισχύει f ( ) Mr ια κάθε πάνω στον κύκλο C r, τότε 5

14 M n! r ( n) r f ( ), n n Απόδειξη Από το Θεώρηµα Cauchy ια παραώους έχουµε: f ( ) ( ) n! n! M n! M f ( ) = d d π r ( n) r r n n n π = r + + π r = r + π r Πόρισµα 44 (Θεώρηµα Liouville) Aν µια ακεραία συνάρτηση f είναι φραµένη στο, τότε η f είναι σταθερή Απόδειξη Εστω f ακεραία (δηλ αναλυτική στο ) και f ( ) C ια κάθε Τότε η f είναι απειροδιαφορίσιµη στο Αρκεί να δείξουµε ότι f ( ) = ια κάθε Θεωρούµε τυχαίο Τότε από την ανισότητα Cauchy έχουµε M r C f ( ) ια κάθε r > r r Αφήνοντας το r + παίρνουµε f ( ) f ( ) Αφού το είναι αυθαίρετο έχουµε f ( ) =, άρα η f είναι σταθερή Πόρισµα 45 (Αρχή µείστου) Αν f είναι αναλυτική και µη σταθερή σε τόπο E τότε η f ( ) δεν έχει µέιστο στο E Απόδειξη Εστω ότι υπάρχει E f f ια κάθε E Αφού το E είναι τόπος είναι ανοικτό σύνολο άρα υπάρχει ε περιοχή του της µορφής Dε ( ) { : ε} έτσι ώστε = < στο εσωτερικό του E Τότε απ το Θεώρηµα µέσης τιµής του Gauss παίρνουµε π iθ f ( ) = f ( ε e ) dθ π + iθ Εξ υποθέσεως έχουµε f ( ε e ) f ( ) iθ τέτοιο ώστε f ( ε e ) f ( ) + Αν υπάρχει τουλάχιστον ένα θ + <, τότε η ανισότητα αυτή θα ισχύει (λόω 6

15 συνεχείας της f ) ια κάθε θ ( θ δ, θ δ) + ια κατάλληλο µικρό δ ηλαδή i η ανισότητα ισχύει ια όλες τις τιµές f ( ε e θ ) που αντιστοιχεί στις τιµές θ ( θ δ, θ δ) iθ f + ε e < f όπου θ ( θ δ, θ δ) ( ) + σε κάποιο τόξο του κύκλου + Επιλέουµε τώρα ένα άλλο σηµείο + και εφαρµόζουµε την παραπάνω διαδικασία εντοπίζοντας συνολικά ένα µεαλύτερο τόξο του κύκλου θ θ δ, θ + δ ια το οποίο να ισχύει που αντιστοιχεί στις τιµές ( i θ ε ) f + e < f Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο τελικά «σαρώνουµε» όλο τον κύκλο βρίσκοντας ότι Τότε ( i θ ε ) θ [,π) f + e < f i i f ( ) = π π θ θ f ( ε e ) dθ f ( ε e ) dθ π + π + < f d = f π π θ iθ Αρα ανακαστικά f ( ε e ) f ( ), (άτοπο) + = θ [,π ) ια όλους τους κύκλους = r < ε προκύπτει ότι και αφού το ίδιο ισχύει ( i θ + ε ) = ια κάθε Dε ( ) { : ε} f e f = Εστω τώρα A είναι το σύνολο όλων των σηµείων E έτσι ώστε f ( ) = f ( ) Εφόσον (όπως ήδη δείξαµε) ύρω από κάθε σηµείο του A υπάρχει µια ανοικτή περιοχή που ανήκει στο A, ανακαστικά το A είναι ανοικτό σύνολο Απ την άλλη µεριά η εικόνα του A µέσω της f που είναι συνεχής είναι το µονοσύνολο f ( ) που είναι κλειστό σύνολο, άρα το A πρέπει να είναι κλειστό σύνολο Αρα το A είναι και ανοικτό και κλειστό και αφού το E είναι συνεκτικό τα µόνα ανοικτά και κλειστά σύνολα του E είναι το κενό σύνολο ή ο εαυτός του Αρα A = (άτοπο) ή A = E Τελικά A = E δηλαδή η f είναι σταθερή στο E, άτοπο Αρα η f δεν έχει µέιστο στο E 7

16 Πόρισµα 46 (Αρχή µείστου) Αν f είναι αναλυτική και µη σταθερή σε φραµένο τόπο E και η f είναι συνεχής στο σύνορό του E, τότε η f ( ) παίρνει µέιστη τιµή πάνω στο σύνορο E Απόδειξη Εφαρµοή του Πορίσµατος 45 και θεωρήµατος ενδιαµέσων τιµών Πόρισµα 47 (Αρχή ελαχίστου) Αν f είναι αναλυτική και µη σταθερή σε τόπο E και f ( ) ια κάθε E τότε η f στο E δεν παίρνει ελάχιστη τιµή Απόδειξη Εφαρµοή της αρχής του µείστου ια τη συνάρτηση f Πόρισµα 48 (Αρχή ελαχίστου) Αν f είναι αναλυτική και µη σταθερή σε φραµένο τόπο E µε f ( ) ια κάθε E και αν η f είναι συνεχής στο σύνορό του E, τότε η f ( ) παίρνει ελάχιστη τιµή πάνω στο σύνορο E Λυµένες ασκήσεις Αν ac,, δείξτε ότι ic ica ict e e e dt = a ic = ( συν + ηµ ) = συν + ηµ e dt ct i ct dt ct dt i ct dt ict Λύση a a a a ( ct) i ( ct) ( ct) + i ( ct) ηµ συν συν ηµ ict ic ica = = ( e e ) c a ic a = e ic = ic a Yπολοίστε τα ολοκληρώµατα (α) ( ) 3 it dt, (β) e 3it dt, () dt i /3 t e π 8

17 t 3 it dt = 9 6it t dt = 9t 3it 3 Λύση (α) 6 = 9 3i = 3i 3 3 3i 3i (β) 3 it 3 it ( 6 i 3 i e dt = e = e e ) 3 () t e t e dt = dt = dt t e t e t t+ iπ /3 iπ /3 iπ /3 iπ /3 t iπ /3 = dt e dt t t+ t t+ t + iπ /3 = dt e dt t t+ t t+ t i /3 dt e π = dt + t t+ t t+ iπ /3 nt t + e = + dt t t+ Αλλά: /3 3 iπ = e dt = i dt t t+ t t+ dt = dt = dω 3 t / t t+ / 3 ω + 4 / 4 3 / 3 dω / / 3 = = 3 ω 3 ζ dζ 9

18 π π τοξεφ τοξεφ = = π = τοξεφ τοξεφ = Tελικά: 3 π πi dt = i = i /3 t e π Yπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα (α), επί της καµπύλης d t = t + it από το = έως το = 4+ i (β) d πάνω στην τεθλασµένη ραµµή µε φορά (,) (,) (,) () ( + ) (,) στο (,3) d, επί της καµπύλης (δ) Yπολοίστε το f 3 y x x x = από το σηµείο d, όπου f ( ) = πe π και είναι η περίµετρος τετραώνου µε κορυφές τα σηµεία,, + i, i µε θετική φορά διαραφής = είναι η εικόνα της καµπύλης στο t = = + είναι η εικόνα της καµπύλης στο t = Αρα: Λύση (α) Παρατηρούµε ότι το ενώ το 4 i () () ( ) d= t t dt= t it t+ i dt t t it dt i t t t 8i = ( + ) = + = 3 3 (β) Η παραµετροποίηση του ευθυράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία = (,) και = (,) = + i είναι

19 [ ] = + t = + t + i = + it, t, Οµοίως η παραµετροποίηση του ευθυράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία = (,) = + i και = (,) = i είναι Αρα: [ ] = + t = + i+ t i i = + i t, t, () () () () = = + = + + d d d d t t dt t t dt = + it idt + t + i dt = i 4 + 4t dt t + 4 dt 6 3i = () Μια προφανής παραµετροποίηση της καµπύλης y= x 3x + 4x από το σηµείο (,) στο (,3) προκύπτει θέτοντας x() t = t Τότε () 3 yt = t 3t + 4t, οπότε παίρνουµε και έχουµε () t t i( t 3 3t 4t ), t [,] = + + () () () + d = t t + t dt ( ) ( ) = t i t 3t 4t t i t 3t 4t i 3t 6t 4 dt 49 i 4 = + (δ) Η παραµετροποίηση του ευθυράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία = (,) και = (, ) = είναι () t t( ) ( t) t( ) ( t) t, t [,] = + = + =

20 Οµοίως η παραµετροποίηση του ευθυράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία = (, ) = και = (, i) = + i είναι () t t( ) ( t) t( i ) ( t) it, t [,] = + = + + = + Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει: Αρα () t = + i t t [ ] και ( t) i it t [ ] 3,, 4 =,, = = f d f d f d f d f d f d it i t πt π π π it i ( ) ( ) = πe dt+ πe idt+ πe dt+ πe i dt ( it) ( i t) ( ti i) π 4 πt π π π = e e + e e = e 4 Yπολοίστε τις παράουσες των συναρτήσεων: (α) + 3+, (β) e +, () e, (δ) ( 4) ηµ Λύση (α) Η συνάρτηση πολυωνυµική Αρα: f = + 3+ είναι αναλυτική στο ως 3 3 F( ) = ( + 3+ ) d = c 3 είναι το σύνολο των αντιπαραώων της f σε κάθε απλά συνεκτικό τόπο Γενικά αν f είναι αναλυτική σε απλά συνεκτικό τόπο E τότε το σύνολο των αντιπαραώων της f είναι της µορφής F( ) + c και η F υπολοίζεται όπως το αόριστο ολοκλήρωµα στις πραµατικές συναρτήσεις Ετσι λοιπόν βρίσκουµε εύκολα ότι: e + = ) (β) F( ) = + c, (διότι F ( ) f ( )

21 () = = = e d e d e e d e e d 4 = e e + c ηλαδή µπορούµε να εφαρµόσουµε την κατά παράοντες ολοκλήρωση = f g d f g f g d υπό την προϋπόθεση ότι οι f, g είναι αναλυτικές d d 4 4 d = συν ( 4) + ηµ ( 4) ηµ ( 4) d ηµ 4 ( συν 4 = ) = συν ( 4 ) + συν ( 4 ) (δ) = συν ( 4) + ηµ ( 4) + συν ( 4) + c Yπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα d, πάνω στην τεθλασµένη ραµµή (,) (,) (,) (α) ( + 3 ) (β) ( 4 ) i d, διαµέσου της καµπύλης σηµείο (,) στο (,3) () Yπολοίστε το f = από το 3 y x x x d, όπου f ( ) = πe π και είναι η περίµετρος τετραώνου µε κορυφές τα σηµεία,, + i, i µε τη θετική φορά διαραφής Λύση Σχόλιο Η άσκηση θα µπορούσε να λυθεί µε παραµετροποίηση καµπύλων όπως η λυµένη άσκηση 3 (βλέπε παραπάνω) Η διαφορά αυτής της άσκησης µε την άσκηση 3 είναι ότι τώρα όλες οι προς ολοκλήρωση συναρτήσεις είναι αναλυτικές τουλάχιστον σε κάποιο απλά συνεκτικό τόπο που περιέχει τις καµπύλες πάνω στις οποίες ολοκληρώνουµε Εποµένως σ αυτήν την άσκηση έχουµε ένα επιπλέον ισχυρό εραλείο (το εραλείο της αντιπαραώου) που δεν είχαµε στην άσκηση 3 όπου όλες οι 3

22 προς ολοκλήρωση συναρτήσεις δεν είναι αναλυτικές (ελέξτε τις εξισώσεις Cauchy-Riemann) Αφού λοιπόν όλες οι συναρτήσεις στα (α), (β) και () σ αυτή την άσκηση είναι αναλυτικές τουλάχιστον σε απλά συνεκτικό τόπο που περιβάλλει τις καµπύλες πάνω στις οποίες ολοκληρώνουµε υπάρχει µοναδική παράουσα (µε προσέιση σταθεράς) και επιπρόσθετα η ολοκλήρωση είναι ανεξάρτητη του δρόµου και εξαρτάται µόνον από το αρχικό και τελικό σηµείο) Αρα έχουµε: 3 (α) ( + 3) d = ( + 3) d = + = i i i (β) ( 3 4 i 3 3 ) d + i ( 4 i ) d 4 i + i = = = i + i + i π () e d, διότι η προς ολοκλήρωση καµπύλη είναι απλή και κλειστή π = 6 Αν είναι το άνω µέρος του µοναδιαίου κύκλου δείξτε (α) ηµ d π ( e+ e ), (β) d 3π d Λύση Χρησιµοποιούµε την Πρόταση 4 (ε), δηλαδή f d M L, όπου M είναι άνω φράµα της f επί της καµπύλης και L είναι το µήκος της καµπύλης Εχουµε: (α) ηµ ηµ = i i ix iy = = ηµ = e e = e e ( + ) ix ( + iy) y ix y ix = e e e e = i ηµ x cosh y συν x sinh y = ηµ x cosh y+ συν x sinh y = ηµ x cosh y+ ηµ x sinh y 4

23 y = sinh y+ ηµ x sinh y+ = cosh y cosh, διότι Εφόσον το µήκος του ηµικυκλίου είναι π έχουµε: ( e+ e ) ηµ π cosh d () π = (β) = = = it e 5 + 4συνt συνt 5, t [, π / ], 4 5 t [ π /, π ] + συνt 5 Αλλά: συνεπώς d π π 3π d + = Υπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα (α) e d, (β) cosh( ) d, () i ηµ e d, (δ) d ( π /4) 3, επί του µοναδιαίου κύκλου = µε τη θετική φορά Λύση Σχόλιο Παρατηρούµε ότι σε όλες τις περιπτώσεις (α)-(δ) η προς ολοκλήρωση συνάρτηση δεν είναι αναλυτική παντού στο εσωτερικό της κλειστής καµπύλης πάνω στην οποία ολοκληρώνουµε Αρα οι δυνατότητες επίλυσης είναι οι εξής: () µέσω ορισµού επικαµπυλίου ολοκληρώµατος ή () µε χρήση του ολοκληρωτικού τύπου Cauchy (βλέπε Θεωρήµατα 46 και 47) που είναι ένα πολύ χρήσιµο και πρακτικό εραλείο (3) Επιπλέον έχουµε και το εραλείο της παράουσας Σηµειώνουµε ότι η χρήση παράουσας σε µη απλά συνεκτικό τόπο θέλει προσοχή διότι αν η συνάρτησή µας είναι αναλυτική σε πολλαπλά συνεκτικό τόπο τότε µπορεί να µην έχει 5

24 µονότιµα ορισµένη παράουσα (α) Χρησιµοποιούµε το ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy Ορίζουµε f ( ) = e και θεωρούµε = Προφανώς η f είναι αναλυτική πάνω και εντός του µοναδιαίου κύκλου ο οποίος περιέχει το =, άρα από τον τύπο του Cauchy f ( ) έχουµε f ( ) = d π i Ετσι λοιπόν: e e d = d = π i f = πi e = πi cosh( ) cosh (β) d =, διότι η συνάρτηση g( ) = είναι αναλυτική στο { } Συνεπώς η g είναι αναλυτική πάνω και εντός του µοναδιαίου κύκλου (διότι το = δεν βρίσκεται εντός αλλά εκτός του µοναδιαίου κύκλου) f = ηµ και θεωρούµε = π /4 Προφανώς η f είναι αναλυτική πάνω και εντός του µοναδιαίου κύκλου ο οποίος περιέχει το = π /4, άρα από τον τύπο του Cauchy ια παραώους έχουµε () Ορίζουµε Θέτουµε n! f ( ) ( ) ( n) f = d n i + π = = παίρνουµε n = και εφόσον f ( ) ηµ ( π /4) f ( ) ηµ ( ) πi ( )! f = d = d 3 3 πi ηµ πi d = ( ) 3 (δ) Χρησιµοποιούµε τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy ια παραώους µε f = e, = και n = Προφανώς η f είναι αναλυτική πάνω και εντός i 6

25 του µοναδιαίου κύκλου ο οποίος περιέχει το παίρνουµε f = ie = i i = και εφόσον f ( ) i e i e ( ) π! f = d i d d π πi = i = 8 Υπολοίστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα (α) είναι ο κύκλος = µε τη θετική φορά συν π d, όπου ( ) (β) είναι ο κύκλος = 3 µε τη θετική φορά Λύση (α) ( ) συν π ( ) συν π d = d Από το σχήµα έχουµε: ( ) ( ) ( + ) Oρίζουµε f ( ) ( ) ( + ) συν π = Τότε η f είναι αναλυτική πάνω και εντός του κύκλου, οπότε απ τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy ια παραώους µε = και n = έχουµε: d = d d i f = = π ( ) ( ) ( + ) ( ) συν π συν π f () = Εφόσον f ( ) ( )( ) ( ) συν ( π ) 4 ( + ) πηµ π + + ( ) συν π d = πi 4 = πi ια = παίρνουµε 7

26 (β) Σ αυτή την περίπτωση από το ενικευµένο Θεώρηµα Cauchy (Θεώρηµα 45 σελ ) έχουµε: = + συν π συν π συν π d d d όπου οι, είναι οποιεσδήποτε απλές κλειστές θετικά προσανατολισµένες καµπύλες στο εσωτερικό των οποίων βρίσκονται τα σηµεία = και =+ αντιστοίχως έτσι ώστε οι, να µην τέµνονται µεταξύ τους και να βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου Στο εσωτερικό της η συνάρτηση συν ( π ) g( ) = είναι αναλυτική, συνεπώς από τον τύπο Cauchy ια ( ) παραώους έχουµε ( ) συν π ( ) d = πi g = πi d = ( ) 4 = ( ) π i συν π πi Οµοίως πάνω και στο εσωτερικό της η συνάρτηση h( ) αναλυτική, συνεπώς εραζόµενοι όπως παραπάνω έχουµε ( ) ( + ) συν π = είναι ( ) συν π π π () ( ) d = i h = i d = ( ) 4 = ( ) πi συν π πi Τελικά συν π π π d = = ( ) 9 Αν f είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό µιας απλής κλειστής θετικά είναι απλή ρίζα f στο εσωτερικό της προσανατολισµένης καµπύλης και αν δείξτε ότι f i f π d = 8

27 Λύση Εφόσον είναι απλή ρίζα f µπορούµε να ράψουµε f h h Τότε έχουµε = ( ), όπου h( ) είναι αναλυτική µε ( ) f f f d d πi = f πi = h h ( ) λόω της ισχύος του ολοκληρωτικού τύπου Cauchy Εφόσον προκύπτει το ζητούµενο = + ( ) = f h h f h Χρησιµοποιώντας κατάλληλα το Θεώρηµα µέσης τιµής του Gauss δείξτε ότι Λύση Εστω δίσκο D ( ) { : } π συν συνθ cosh ηµθ d θ = π f = συν και = Τότε η f είναι αναλυτική στον κλειστό = και από το Θεώρηµα µέσης τιµής του Gauss έχουµε: π = π iθ iθ συν = συν e dθ συν ( e ) dθ π π + = ( i ) π συν συνθ + ηµθ d θ = π ( ) π συν συνθ συν i ηµθ ηµ συνθ ηµ i ηµθ d θ = π ( i ) π συν συνθ cosh ηµθ ηµ συνθ sinh ηµθ d θ = π Eξισώνοντας τα πραµατικά µέρη παίρνουµε το ζητούµενο Aν η συνάρτηση f είναι ακεραία και αν σταθερή ( ) f lim = δείξτε ότι η f είναι 9

28 Λύση Ορίζουµε τη συνάρτηση g: {} : g( ) είναι αναλυτική στο { } lim g( ) f g( ) g lim = f, άρα είναι ακεραία Εφόσον θα ισχύει και lim g( ) = οπότε υπάρχει f f = Η g και επεκτείνεται συνεχώς στο διότι = Επιπλέον η g είναι παραωίσιµη στο = διότι ( ) f lim = προφανώς R > έτσι ώστε ια κάθε > R έχουµε g( ) < Επιπρόσθετα η g είναι φραµένη στον κλειστό δίσκο R ως συνεχής Συνεπώς η g είναι ακεραία και φραµένη στο, άρα από το Θεώρηµα Liouville (βλέπε Πόρισµα 44) η g είναι σταθερά Αρα f f f f g( ) = = c lim = c c=, δηλαδή f ( ) = f() Aν η συνάρτηση f είναι ακεραία και αν f ( ) M ια κάθε : = R, k iθ δείξτε ότι f ( re ) Λύση Εστω { : R} Mk! k ( R r) ια κάθε < r R i = re θ έτσι ώστε = { : = R r} Τότε οπότε από την αρχή µείστου θα πρέπει να ισχύει f M ια κάθε στον κλειστό δίσκο R Με εφαρµοή της ανισότητας του Cauchy ( k) iθ M k! παίρνουµε το ζητούµενο f ( re ) k R r 3 Aν ια µια ακεραία συνάρτηση h και ια κάθε δείξτε ότι h( ) M ια κάθε < < ισχύει h( ) M, Λύση Η συνάρτηση h( ) είναι συνεχής στον κλειστό δίσκο και πάνω = στο δίσκο προφανώς ισχύει h( ) M h( ) M Αρα από την αρχή του µείστου θα πρέπει να ισχύει h( ) M ια κάθε <

29 4 Να βρεθεί η µέιστη τιµή της συνάρτησης f επί του χωρίου { :, } A x iy x y f = = + αν Λύση Προφανώς f = = x + y Από την αρχή µείστου η f παίρνει µέιστη τιµή επί του συνόρου του χωρίου A Το A είναι τετράωνο µε πλευρές τις ευθείες x =±, y =± Εχουµε λοιπόν Για Για Για Για f, y = + y η οποία έχει µέιστη τιµή ια y =± x = : f x, = x + η οποία έχει µέιστη τιµή ια x =± y = : f, y = + y η οποία έχει µέιστη τιµή ια y =± x = : y = : f ( x ) x, = + η οποία έχει µέιστη τιµή ια x =± Αρα η f παίρνει µέιστη τιµή στα σηµεία ± ± i µε τιµή 5 Aν f είναι µια ακεραία συνάρτηση έτσι ώστε f ( ) 5 ια κάθε = και f 3 = δείξτε ότι η f έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο δίσκο < Λύση Αν η f δεν είχε ρίζα στο δίσκο < τότε θα ίσχυε η αρχή ελαχίστου δηλαδή θα έπρεπε η f να έχει ελάχιστη τιµή πάνω στον κύκλο =, άτοπο διότι f 3 = τουλάχιστον µια ρίζα στο δίσκο < ενώ f ( ) 5 ια κάθε = λόω υπόθεσης Αρα η f έχει Αλυτες ασκήσεις Yπολοίστε τα ολοκληρώµατα t t + dt, = i /4 t e π (α) π + i ( συνt it) dt, (β) ( + ) () it ( t) t e dt π 3 +,, (δ) Log ( + ) it dt

30 Απάντ (α) n( 4π ) 3 π + + i π i iπ, (β) ( e ) 8 3, 3 () 3πi iθ / 8 e e, εφθ =, (δ) n( 5) + τοξεφ + i n( 5) + τοξεφ + Log Yπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα, διαµέσου της περιµέτρου τετραώνου µε κορυφές,, +, (α) d µε θετική φορά διαραφής (β),3, κατά µήκος της ευθείας y 3x e i d = από το σηµείο i i, στο σηµείο () f d, διαµέσου της καµπύλης, y < σηµείο + i, όπου f ( x+ iy) = 4y y> y στο 3 = x από το σηµείο i Απάντ (α) i 3+ 9i, () + 3i 9 3i +, (β) ( e + ) 3 Yπολοίστε τις παράουσες των συναρτήσεων: (α) ( ) e +, (β), () sinh( 3 ), (δ) e Απάντ (α) + c, (β) sin x+ iy: x, y= 4 υπό την προϋπόθεση ότι έχουµε επιλέξει συκεκριµένο κλάδο της ρίζας), () cosh ( 3 ), (δ) (στο { 3 } ) Arc (στο { }

31 4 Yπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα 4 (α) 5 + 3sinh (,) (,) ( 3,) d, πάνω στην τεθλασµένη ραµµή µε φορά (β) Yπολοίστε το d, όπου είναι η περίµετρος ρόµβου µε κορυφές + τα σηµεία ±, ± i και θετική φορά διαραφής 5 Απάντ (α) ( 3 i) 3cosh( 3 i) + + +, (β) 5 Αν είναι το πάνω µέρος του µοναδιαίου κύκλου (µε τη θετική φορά) δείξτε ότι e d π e 6 Υπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα (α) d = 5 3, (β) 3 i e e d = 4 π, () 4 i d, = (δ) 6 ηµ d, (ε) = 3 ( π /6) 3 e d + + = 6 π i Ολες οι καµπύλες διαράφονται µε τη θετική φορά Απάντ (α) π i, (β) π i, () π /3, (δ) π i /6, (ε) 7 Υπολοίστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα t e d ( t > ), όπου είναι + ο κύκλος = 3 µε τη θετική φορά Απάντ π iηµ t συν π 8 Υπολοίστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα d ορθοώνιο µε πλευρές ± ± i Απάντ ύρω απ το 3

32 P = + Αν ισχύει d π i = και P( ) d 3 i πi =, όπου είναι ο κύκλος i = υπολοίστε τις τιµές των ι a, Απάντ a= 3+ i, = 9 Εστω P( ) a, ( a, ) Αν f είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό µιας απλής κλειστής και τµηµατικά λείας καµπύλης µε τη θετική φορά και αν είναι σηµείο που δεν ( n) f ( ) f ( ) ανήκει πάνω στην καµπύλη δείξτε ότι n! d = d n+ Αν f είναι αναλυτική στο δίσκο R < και αν a < R< R δείξτε ότι f a = ( R a ) f ( ) d π i a R a, ( )( ) όπου είναι ο κύκλος = R (µε τη θετική φορά) Επαληθεύστε το Θεώρηµα µέσης τιµής του Gauss ια τη συνάρτηση f ( ) = 3 στον κλειστό δίσκο Dρ ( ) { : ρ} = 3 Χρησιµοποιώντας κατάλληλα το Θεώρηµα µέσης τιµής του Gauss δείξτε ότι π ηµ συνθ sinh ηµθ d θ = 4 Υπολοίστε το π π iθ ηµ + e dθ 6 Υπόδειξη Χρησιµοποιείστε κατάλληλα το Θεώρηµα µέσης τιµής του Gauss Απάντ / π 4

33 5 Βρείτε τα σηµεία όπου η συνάρτηση + παίρνει µέιστη τιµή πάνω και στο εσωτερικό τριώνου µε κορυφές τα σηµεία,, i Απάντ = 6 Βρείτε τα σηµεία όπου η συνάρτηση πάνω και στο εσωτερικό του κύκλου = 3+ παίρνει µέιστη τιµή + = Απάντ = Υπόδειξη: Γράψτε 3 ( )( ) 7 (Θεµελιώδες θεώρηµα άλεβρας) είξτε ότι κάθε πολυώνυµο µε µιαδικούς συντελεστές έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο Στη συνέχεια δείξτε ότι κάθε πολυώνυµο n βαθµού έχει ακριβώς n ρίζες στο P a a Υπόδειξη Θεωρήστε ότι το πολυώνυµο n = + + n δεν έχει ρίζες Τότε η είναι ακεραία και lim = Στη συνέχεια ερασθείτε όπως στη P( ) P λυµένη άσκηση ια να καταλήξετε σε άτοπο Για το δεύτερο σκέλος ράψτε P = Q όπου Q πολυώνυµο n βαθµού 8 Αν f ακεραία και Re( f ) M ια κάθε ( xy, ) δείξτε ότι Re( f ) είναι σταθερή στο επίπεδο Υπόδειξη Χρησιµοποιείστε το Θεώρηµα Liouville ια τη συνάρτηση f ( ) e 9 Αν f ακεραία και f ( ) A ια κάθε όπου A είναι θετική σταθερά δείξτε ότι f ( ) = c, c 5