Σημειώσεις για το μάθημα Μιγαδική Ανάλυση Ι. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο

Transcript

1 Σημειώσεις ια το μάθημα Μιαδική Ανάλυση Ι Θέμης Μήτσης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο

2 Στις σημειώσεις αυτές, αν η απόδειξη κάποιου θεωρήματος δεν δίνεται, τότε είτε είναι σχεδόν αυτολεξεί μεταφορά τής απόδειξης αντίστοιχου θεωρήματος σε κάποιο άλλο μάθημα (συνήθως στον Απειροστικό Λοισμό ή στην Ανάλυση), ή ξεφεύει από το πνεύμα τού μαθήματος. Σε κάθε περίπτωση, η παράλειψη μιας τέτοιας απόδειξης δεν επηρεάζει την κατανόηση τής ύλης.

3 Περιεχόμενα Κεφάλαιο. Εισαωικά 5 Στοιχειώδεις αλεβρικές ιδιότητες των μιαδικών αριθμών 5 Πολική μορφή και όρισμα ενός μιαδικού αριθμού 7 Κάποια πράματα από την Αναλυτική Γεωμετρία 9 Κεφάλαιο 2. Μιαδικές Συναρτήσεις Γενικά Πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, συζυής και μέτρο σαν συναρτήσεις 3 Το όρισμα σαν συνάρτηση 5 Η μιαδική n-οστή ρίζα 7 Η μιαδική εκθετική συνάρτηση 9 Οι μιαδικές τριωνομετρικές συναρτήσεις 2 Ο μιαδικός λοάριθμος 22 Κεφάλαιο 3. Στοιχειώδης τοπολοία στο μιαδικό επίπεδο 23 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 23 Ακολουθίες μιαδικών αριθμών 26 Όρια συναρτήσεων και συνέχεια 3 Καμπύλες 35 Κεφάλαιο 4. Ακολουθίες και σειρές μιαδικών συναρτήσεων - δυναμοσειρές 39 Κεφάλαιο 5. Αναλυτικές συναρτήσεις 4 Η μιαδική παράωος 4 Οι συνθήκες Cuchy-Riemnn 43 Κεφάλαιο 6. Μιαδικά Ολοκληρώματα 47 Ολοκληρώματα μιαδικών συναρτήσεων πραματικής μεταβλητής 47 Επικαμπύλια ολοκληρώματα 49 Το θεώρημα τού Cuchy 53 Ένα σημαντικό ολοκλήρωμα 57 Κεφάλαιο 7. Εφαρμοές τού θεωρήματος τού Cuchy 59 Ο ολοκληρωτικός τύπος τού Cuchy 59 Σειρές Tylor 66 Ρίζες αναλυτικών συναρτήσεων 7 Το θεώρημα Liouville 72 Η αρχή τής ταυτότητας 73 Η αρχή μέιστου και η αρχή ελάχιστου 74 Κεφάλαιο 8. Αναλυτικές συναρτήσεις με ανωμαλίες 77 Μεμονωμένες ανωμαλίες 77 Σειρές Lurent 79 3

4 Κατάταξη των ανωμαλιών 83 Ολοκληρωτικά υπόλοιπα 87 Εφαρμοές στον υπολοισμό ολοκληρωμάτων 9 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαωικά Στοιχειώδεις αλεβρικές ιδιότητες των μιαδικών αριθμών Ένας μιαδικός αριθμός είναι ένας αριθμός τής μορφής z = x + iy όπου x, y R και i είναι η φανταστική μονάδα i 2 =. Το σύνολο των μιαδικών αριθμών συμβολίζεται με C. Το x ονομάζεται πραματικό μέρος τού z και συμβολίζεται με Re z. Το y ονομάζεται φανταστικό μέρος τού z και συμβολίζεται με Im z. Το z μπορούμε να το σκεφτόμαστε σαν το σημείο (x, y) τού επιπέδου, δηλαδή σαν το σημείο που έχει συντεταμένες το πραματικό και το φανταστικό μέρος τού z. Έτσι το C ονομάζεται μερικές φορές μιαδικό επίπεδο. Οι πραματικοί αριθμοί, δηλαδή όλοι οι μιαδικοί τής μορφής x + i, αντιστοιχούν στον οριζόντιο άξονα (πραματικό άξονα), ενώ οι φανταστικοί αριθμοί, δηλαδή οι μιαδικοί τής μορφής + iy, στον κατακόρυφο άξονα (φανταστικό άξονα). Δυο μιαδικοί αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν τα πραματικά τους μέρη είναι ίσα και τα φανταστικά τους μέρη είναι ίσα. z = w Re z = Re w και Im z = Im w. Προσθέτουμε και πολλαπλασιάζουμε μιαδικούς αριθμούς με τον φυσιολοικό τρόπο. (x + iy) + ( + ib) = (x + ) + i(y + b), (x + iy)( + ib) = (x yb) + i(xb + y). Αν z = + ib, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε τον αντίστροφο x + iy τού z λύνοντας την εξίσωση (x + iy)( + ib) = ως προς x και y. Κάνοντας τον πολλαπλασιασμό παίρνουμε (x yb) + i(xb + y) =. Επομένως πρέπει x yb = και xb + y =. Έτσι έχουμε το 2 2 σύστημα { x yb = xb + y = Η ορίζουσα τού συστήματος είναι ίση με 2 + b 2, το οποίο δεν είναι μηδέν διότι υποθέσαμε ότι z. Έτσι παίρνουμε x = 2 + b, y = b b. 2 Άρα z = + ib = x + iy = 2 + b i b b = ib b. 2 Αν z = x + iy, τότε η ποσότητα x 2 + y 2 ονομάζεται μέτρο τού z και συμβολίζεται με z. Γεωμετρικά, το z είναι η απόσταση τού z από την αρχή των αξόνων. Επίσης, θέτουμε z = x iy. Ο z ονομάζεται συζυής τού z. Προφανώς z = z και z = z. Θεώρημα.. Έστω z, w C. Τότε () Re z = z + z και Im z = z z. 2 2i (2) Re z z και Im z z. (3) z 2 = zz. (4) z = z z. 2 5 }.

6 (5) z + w = z + w. (6) z w = z w. (7) z w = z w. (8) z + w z + w. Απόδειξη. Έστω ότι z = x + iy και w = + ib. () z + z x + iy + x iy = = x = Re z. Ομοίως το Im z. 2 2 (2) z = x 2 + y 2 x 2 = x = Re z. Ομοίως το φανταστικό μέρος. (3) zz = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 = z 2. (4) z = z zz = z z. 2 (5) z + w = (x + ) + i(y + b) = (x + ) i(y + b) = x iy + ib = z + w. (6) z w = (x by) + i(y + bx) = (x by) i(y + bx) = (x iy)( ib) = z w. (7) z w 2 = z w z w = z w z w = z z w w = z 2 w 2. (8) z + w 2 = (z + w)(z + w) = zz + ww + zw + wz = z 2 + w 2 + zw + zw = z 2 + w Re (zw) z 2 + w Re (zw) z 2 + w zw = z 2 + w z w = ( z + w ) 2. 6

7 Πολική μορφή και όρισμα ενός μιαδικού αριθμού Αν φανταστούμε τον μη μηδενικό μιαδικό αριθμό z = x+iy σαν το σημείο (x, y) τού επιπέδου, τότε το σημείο αυτό έχει πολικές συντεταμένες (r, θ), όπου r είναι η απόστασή του από την αρχή των αξόνων και θ [, 2π) η ωνία που κάνει το ευθύραμμο τμήμα με αρχή το και τέλος το z με τον οριζόντιο άξονα. Με απλή τριωνομετρία, έχουμε x = r cos θ και y = r sin θ. Επίσης, από το πυθαόρειο θεώρημα, Έτσι r = x 2 + y 2 = z. (.) z = x + iy = r cos θ + ir sin θ = z (cos θ + i sin θ). Βλέπουμε λοιπόν ότι κάθε μιαδικός αριθμός z μπορεί να πάρει την παραπάνω μορφή ια κάποιο μοναδικό θ [, 2π). Το θ αυτό ονομάζεται όρισμα τού z και συμβολίζεται με rg z. Για παράδειμα rg =, rg( 2) = π, rg i = π/2, rg( i) = 3π/2, rg( + i) = π/4. Αν t R θέτουμε e it = cos t + i sin t (τύπος τού Euler). Θα δούμε αρότερα ιατί επιλέξαμε τον συκεκριμένο συμβολισμό ια την ποσότητα cos t + i sin t και πώς σχετίζεται με τη συνηθισμένη εκθετική συνάρτηση τού Απειροστικού Λοισμού. Με αυτό το συμβολισμό, η σχέση (.) παίρνει τη μορφή Παρατηρήσεις. z = z e i rg z. e it = cos 2 t + sin 2 t =. Δηλαδή το e it είναι πάνω στο μοναδιαίο κύκλο ια κάθε t. e it = (e it ) = e it. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις sin(s + t) = sin s cos t + sin t cos s, cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t, παίρνουμε ότι e i(s+t) = e is e it. Επομένως ια κάθε n N έχουμε ( ) e it n = e it } {{ } e it = e i(t+ +t) = e int, n φορές άρα και ια κάθε n Z, αφού (e it ) = e it. e it = αν και μόνο αν το t είναι ακέραιο πολλαπλάσιο τού 2π. Αυτό προκύπτει άμεσα από το ότι οι εξισώσεις cos t = και sin t = συναληθεύουν ια t = 2kπ. Στο επόμενο θεώρημα βλέπουμε κάποιες εφαρμοές τής τελευταίας παρατήρησης. Θεώρημα.2. () Αν n N, τότε οι λύσεις τής εξίσωσης z n = είναι e i 2kπ n, k =,,..., n. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται n-οστές ρίζες τής μονάδας. (2) Αν z, w C {}, τότε rg z + rg w, αν rg z + rg w < 2π rg(zw) = rg z + rg w 2π, αν rg z + rg w 2π. Απόδειξη. (3) Αν z C και το z δεν είναι θετικός πραματικός τότε rg z = 2π rg z. Αν το z είναι θετικός πραματικός τότε προφανώς rg z = rg z =. 7

8 () Το z δεν είναι, συνεπώς μπορούμε να ράψουμε z = z e iθ, όπου θ είναι το όρισμα τού z. Αφού z n =, έχουμε ότι z n =, άρα z =. Έτσι z = e iθ. Επομένως e inθ =, συνεπώς οι δυνατές τιμές τού θ είναι όλες εκείνες ια τις οποίες το nθ είναι ακέραιο πολλαπλάσιο τού 2π, δηλαδή θ = 2kπ/n, k Z. Αλλά το θ πρέπει να είναι στο διάστημα [, 2π), άρα θ = 2kπ/n, k =,,..., n. (2) Έχουμε zw = zw e i rg(zw). Επίσης zw = z e i rg z w e i rg w = zw e i(rg z+rg w). Άρα e i rg(zw) = e i(rg z+rg w). Επομένως e i(rg(zw) rg z rg w) =. Αυτό σημαίνει ότι rg(zw) = rg z + rg w + 2kπ, k Z. Αλλά το rg(zw) είναι ένας αριθμός στο [, 2π), συνεπώς αν το rg z + rg w είναι μικρότερο από 2π, η μοναδική επιλοή ια το k είναι k =, ενώ αν το rg z+rg w είναι μεαλύτερο από ή ίσο με 2π, η μοναδική επιλοή ια το k είναι k =. (3) Έχουμε zz = z 2 >, άρα rg(zz) =. Αλλά από το (2), είτε rg(zz) = rg z + rg z, ή rg(zz) = rg z + rg z 2π. Επομένως, είτε rg z + rg z =, ή rg z + rg z 2π =. Αφού το z δεν είναι θετικός πραματικός το rg z είναι θετικό, επομένως αποκλείεται να ισχύει η πρώτη περίπτωση, άρα πρέπει να ισχύει η δεύτερη, δηλαδή το ζητούμενο. Από το (2) τού προηούμενου θεωρήματος συμπεραίνουμε ότι αν το z είναι κάποιο μη μηδενικό σημείο, και θ [, 2π), τότε το e iθ z είναι το σημείο που θα πάρουμε αν περιστρέψουμε αριστερόστροφα το z κατά ωνία θ ύρω από την αρχή των αξόνων. 8

9 Κάποια πράματα από την Αναλυτική Γεωμετρία Υπενθυμίζουμε τις εξισώσεις μερικών απλών σχημάτων. Η παραμετρική εξίσωση τής ευθείας που περνάει από το σημείο z και είναι στην κατεύθυνση που ορίζει το σημείο w είναι z + tw, t R. Αν το t διατρέχει κάποιο φραμένο διάστημα και όχι ολόκληρο το R τότε παίρνουμε ένα ευθύραμμο τμήμα πάνω στην ευθεία. Αν το t διατρέχει κάποιο μη φραμένο διάστημα με το ένα άκρο πεπερασμένο, τότε παίρνουμε μια ημιευθεία. Το ευθύραμμο τμήμα με αρχή το σημείο z και τέλος το σημείο z 2 το συμβολίζουμε με [z, z 2 ], Η παραμετρική του εξίσωση είναι ( t)z + tz 2, t [, ]. Η εξίσωση τού κύκλου με κέντρο z και ακτίνα r είναι z z = r. Η παραμετρική εξίσωση είναι z + re it, t [, 2π]. Αν το t διατρέχει κάποιο διάστημα μήκους μικρότερου από 2π, τότε παίρνουμε ένα τόξο και όχι ολόκληρο κύκλο. Αν το t διατρέχει κάποιο διάστημα μήκους μεαλύτερου από 2π τότε παίρνουμε πάλι κύκλο μόνο που τώρα ο κύκλος διαράφεται περισσότερες από μία φορές. Για παράδειμα η e it, t [, π], παριστάνει ένα ημικύκλιο με κέντρο ακτίνα το οποίο βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο. Η e it, t [, 4π], παριστάνει το μοναδιαίο κύκλο διαραφόμενο δύο φορές. Η e it, t R, παριστάνει το μοναδιαίο κύκλο διαραφόμενο άπειρες φορές. Σε όλες τις περιπτώσεις οι κύκλοι διαράφονται αριστερόστροφα. 9

10

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μιαδικές Συναρτήσεις Γενικά Έστω A C και f : A C μια συνάρτηση. Τότε υπάρχουν μοναδικές πραματικές συναρτήσεις u, v τέτοιες ώστε f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), ια κάθε x + iy A. Οι u, v ονομάζονται πραματικό και φανταστικό μέρος τής f, και συμβολίζονται με Re f και Im f αντίστοιχα. Παραδείματα. Αν f (z) = z 2, τότε f (x + iy) = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + i2xy, άρα το πραματικό μέρος τής f είναι x 2 y 2 και το φανταστικό 2xy. Αν f (z) = z 2, τότε f (x + iy) = x 2 + y 2, άρα το πραματικό μέρος είναι x 2 + y 2 και το φανταστικό. Η f λέεται φραμένη αν υπάρχει κάποια θετική σταθερά M τέτοια ώστε f (z) M ια κάθε z A. Προφανώς μια συνάρτηση είναι φραμένη αν και μόνο αν το πραματικό και το φανταστικό της μέρος είναι φραμένες. Αφού το σύνολο των μιαδικών αριθμών μπορεί να ταυτιστεί με το R 2, μερικές φορές είναι βολικό να σκεφτόμαστε μια μιαδική συνάρτηση σαν μια συνάρτηση από ένα υποσύνολο τού R 2 στο R 2. Γενικά δεν μπορούμε να ζωραφίσουμε τη ραφική παράσταση μιας μιαδικής συνάρτησης (εκτός κι αν παίρνει μόνο πραματικές ή μόνο φανταστικές τιμές) ιατί χρειαζόμαστε 4 διαστάσεις. Δύο ια το πεδίο ορισμού και δυο ια το σύνολο τιμών. Παρ' όλα αυτά, μπορούμε να αντλήσουμε εωμετρικές πληροφορίες από τον τύπο της. Παράδειμα. Ας θεωρήσουμε την f (z) = z 2. Η συνάρτηση αυτή παίρνει ένα μιαδικό αριθμό z = z e iθ και τον στέλνει στον z 2 = z 2 e i2θ. Δηλαδή υψώνει στο τετράωνο το μέτρο και διπλασιάζει το όρισμα. Έτσι μπορούμε να δούμε πώς μετασχηματίζει η f ένα δεδομένο σχήμα. Ας πούμε, ένα τεταρτοκύκλιο με κέντρο και ακτίνα R απεικονίζεται σε ένα ημικύκλιο κέντρου και ακτίνας R 2. z 2 R R 2 Μια ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων και κάνει ωνία θ με τον πραματικό άξονα, δηλαδή το σύνολο {te iθ : t R} μετασχηματίζεται στο σύνολο {t 2 e i2θ : t R} = {te i2θ : t }, δηλαδή σε μια ημιευθεία που ξεκινάει από το και κάνει ωνία 2θ με τον πραματικό άξονα.

12 z 2 θ 2θ Τελείως ανάλοες ιδιότητες έχει η συνάρτηση z n, όπου n φυσικός αριθμός. Περισσότερες συναρτήσεις θα μελετήσουμε στα παραδείματα παρακάτω. 2

13 Πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, συζυής και μέτρο σαν συναρτήσεις Η πιο απλή μιαδική συνάρτηση είναι η f (z) = z + z, όπου z σταθερό. Όπως είπαμε στο προηούμενο κεφάλαιο, τους μιαδικούς αριθμούς μπορούμε να τους ταυτίσουμε με τα σημεία τού επιπέδου. Έτσι η f προσθέτει στο σημείο z το σημείο z, δηλαδή το μετατοπίζει κατά z. Γι αυτό η f λέεται μετάθεση. Αν z = re iθ, όπου r > και θ R, τότε η συνάρτηση f (z) = z z, στρέφει το σημείο z κατά ωνία θ ύρω από το και στη συνέχεια πολλαπλασιάζει το μέτρο του με r. Δηλαδή η f είναι συνδυασμός μιας στροφής και μιας διαστολής (αν r > ) ή μιας συστολής (αν r < ). Στο σχήμα παρακάτω, η συνάρτηση 2iz παίρνει το δίσκο με κέντρο και ακτίνα τον στρέφει κατά 9 μοίρες και μετά τον μεενθύνει 2 φορές. f (z) = 2iz = 2e iπ/2 z Η συνάρτηση f (z) = z απεικονίζει το σημείο x + iy στο x iy, δηλαδή στο συμμετρικό του ως προς την πραματική ευθεία. Επομένως η f είναι ανάκλαση στον οριζόντιο άξονα. f (z) = z 3

14 Χρησιμοποιώντας την z μπορούμε να μελετήσουμε την /z αφού /z = z/ z 2. Βλέπουμε λοιπόν ότι η /z είναι ανάκλαση στον πραματικό άξονα και στη συνέχεια μεένθυνση ή σμίκρυνση / z 2 φορές. Ιδιαίτερα η /z απεικονίζει το εσωτερικό τού μοναδιαίου δίσκου (εκτός από το ) στο εξωτερικό του και αντίστροφα. bc bc z Τέλος, η συνάρτηση f (z) = z είναι σταθερή πάνω σε κάθε κύκλο με κέντρο το ιατί η εξίσωση ενός τέτοιου κύκλου είναι z = c. Η f παίρνει μόνο πραματικές τιμές, επομένως μπορούμε να ζωραφίσουμε τη ραφική της παράσταση

15 Το όρισμα σαν συνάρτηση Το όρισμα ενός μη μηδενικού μιαδικού αριθμού μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση από το C {} στο διάστημα [, 2π). Από τον ορισμό τού rg έχουμε ότι Επομένως x + iy = x + iy e i rg(x+iy) = x 2 + y 2 (cos rg(x + iy) + i sin rg(x + iy)). (2.) cos rg(x + iy) = x x2 + y 2. Τώρα, αν θ π τότε η λύση τής εξίσωσης cos θ = t είναι θ = rccos t. Έτσι ια y έχουμε ότι rg(x + iy) π, άρα η εξίσωση (2.) δίνει rg(x + iy) = rccos x x2 + y 2. Για y < έχουμε π < rg(x + iy) < 2π, άρα < 2π rg(x + iy) < π. Αλλά από την (2.) x cos(2π rg(x + iy)) = x2 + y. 2 Επομένως rg(x + iy) = 2π rccos x x2 + y 2. Συνεπώς ο τύπος ια το rg είναι rg(x + iy) = rccos 2π rccos x x2 + y 2, αν y x x2 + y 2, αν y < Όπως στο προηούμενο παράδειμα, το rg παίρνει μόνο πραματικές τιμές, άρα μπορούμε να ζωραφίσουμε την ραφική του παράσταση

16 Παρατηρήστε το ''σκίσιμο'' που αντιστοιχεί στην ημιευθεία (, + ). Θα δούμε παρακάτω ότι σαν συνάρτηση, το όρισμα είναι ασυνεχές ακριβώς πάνω στούς θετικούς πραματικούς. 6

17 Η μιαδική n-οστή ρίζα Έστω z C με z. Θα λύσουμε την εξίσωση w n = z, όπου n φυσικός. Γράφουμε z = z e iθ, όπου θ = rg z. Τότε ( w z n e i n θ ) n =. Επομένως από το θεώρημα.2 έχουμε άρα w z n e i θ n Αυτές είναι όλες οι n-οστές ρίζες τού z. Παραδείματα. = e i 2kπ n, k =,,..., n, w = z n e i 2kπ+θ n, k =,,..., n. Αν z = 4 τότε rg 4 =, άρα οι δεύτερες ρίζες τού 4 είναι 4e = 2 και 4e iπ = 2. Αν z = τότε rg( ) = π, άρα οι δεύτερες ρίζες τού είναι e i 2 π = i και e i 3π 2 = i. Τώρα, ια να ορίσουμε τη συνάρτηση n-οστή ρίζα διαλέουμε μια από τις n-οστές ρίζες, ας πούμε αυτή που αντιστοιχεί στο k =, και θέτουμε n z = z n e i rg z n. Φυσικά οποιαδήποτε άλλη επιλοή τού k θα μας έδινε μια εξίσου ''νόμιμη'' συνάρτηση, κάνουμε όμως την παραπάνω σύμβαση, ώστε όταν λέμε ''n-οστή ρίζα'' να μην έχουμε αμφιβολία τι εννοούμε (δηλαδή ποια απ' όλες τις n-οστές ρίζες), ακριβώς όπως στη στοιχειώδη άλεβρα όταν λέμε ''τετραωνική ρίζα τού 5'' εννοούμε 5 και όχι 5. Παραδείματα. Οι δεύτερες ρίζες τού είναι i και i, άρα = i. rg i = π, άρα οι τρίτες ρίζες τού i είναι 2 ei 6 π, e i 5π 6 και e i 9π 3 6 = i. Επομένως i = e i 6 π = 3 + i. 2 2 Χρησιμοποιώντας τη n-οστή ρίζα μπορούμε να ορίσουμε την ρητή δύναμη z q, όπου z και q Q ως εξής. Αν q = m/n με m Z και n N, τότε θέτουμε z q = ( n z ) m. Προσέξτε ότι αν το q είναι ακέραιος τότε προφανώς (zw) q = z q w q. Αν το q δεν είναι ακέραιος τότε η ιδιότητα αυτή ενικά δεν ισχύει, εκτός κι' αν τα z και w είναι θετικοί πραματικοί αριθμοί. Για παράδειμα = i 2 =, αλλά ( )( ) =. Η δράση τής n z σε κάποιο σημείο z είναι η αντίστροφη τής δράσης τής z n. Δηλαδή διαιρεί το όρισμα με n και υψώνει το μέτρο στην /n. Έτσι, ια παράδειμα, η z απεικονίζει ολόκληρο το C (ορίσματα στο διάστημα [, 2π)) στο σύνολο {z : Im z > } [, + ) (ορίσματα στο διάστημα [, π)). 7

18 {z : Im z > } [, + ) = {z : rg z < π} 8

19 Η μιαδική εκθετική συνάρτηση Αν t R τότε ορίσαμε στο προηούμενο κεφάλαιο το e it να είναι cos t+i sin t. Αν τώρα z = x+iy ορίζουμε ενικότερα την μιαδική εκθετική συνάρτηση e z = e x e iy = e x (cos y + i sin y). Αν z R (οπότε y = ), τότε η συνάρτηση αυτή συμφωνεί με τη συνηθισμένη εκθετική συνάρτηση τού Απειροστικού Λοισμού. Εύκολα βλέπουμε ότι e z+w = e z e w ια κάθε z, w. Σε αντίθεση με την πραματική εκθετική συνάρτηση, η μιαδική εκθετική είναι περιοδική με περίοδο 2πi διότι e z+2πi = e z e 2πi = e z. Έτσι η e z επαναλαμβάνεται σε όλες ''κάτω κλειστές-άνω ανοιχτές'' οριζόντιες λωρίδες πλάτους 2π τού παρακάτω σχήματος. 6πi 4πi 2πi 2π 2πi 4πi 6πi Η εκθετική συνάρτηση είναι - σε κάθε μια από αυτές τις λωρίδες, δηλαδή σε κάθε σύνολο τής μορφής {z : 2kπ Im z < 2(k + )π}, όπου k Z. Πράματι, αν z = x + iy, z 2 = x 2 + iy 2 είναι δυο σημεία σε μια τέτοια λωρίδα, έτσι ώστε e z = e z 2 τότε e z = e z 2 e z = e z 2 e x e iy = e x 2 e iy 2 e x = e x 2 x = x 2. Αφού x = x 2, η σχέση e z = e z 2 δίνει e iy = e iy 2, άρα το y y 2 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο τού 2π. Αλλά τα z και z 2 ανήκουν στην λωρίδα, άρα y y 2 < 2π. Δηλαδή η διαφορά y y 2 είναι ταυτόχρονα ακέραιο πολλαπλάσιο τού 2π και σε απόλυτη τιμή νήσια μικρότερη από 2π. Η μοναδική περίπτωση να ισχύει κάτι τέτοιο είναι όταν y = y 2. Συμπεραίνουμε τελικά ότι z = z 2, συνεπώς η e z είναι - στην λωρίδα. Επίσης παρατηρούμε ότι η e z είναι επί τού C {}, ιατί αν w και θέσουμε z = ln w + i rg w, τότε e z = e ln w +i rg w = e ln w e i rg w = w e i rg w = w, όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από τον ορισμό τού rg. 9

20 2(k + )πi x + iy 2π y y 2 < 2π 2kπi x 2 + iy 2 Η εκθετική συνάρτηση απεικονίζει μια ευθεία παράλληλη στον πραματικό άξονα, δηλαδή ένα σύνολο τής μορφής {t + iy : t R} (y R σταθερό) στο σύνολο {e t e iy : t R} = {xe iy : x > } το οποίο είναι μια ημιευθεία, που ξεκινάει από το μηδέν (χωρίς το μηδέν) και περνάει από το σημείο e iy. Επίσης απεικονίζει μια ευθεία παράλληλη στον φανταστικό άξονα, δηλαδή ένα σύνολο τής μορφής {x + it : t R} (x R σταθερό) στο σύνολο {e x e it : t R} το οποίο είναι κύκλος με κέντρο και ακτίνα e x. Παρατηρήστε ότι αφού το t διατρέχει ολόκληρο το R, ο κύκλος διαράφεται άπειρες φορές. Γενικότερα, οποιοδήποτε κατακόρυφο ευθύραμμο τμήμα {x + it : t [, b]} μετασχηματίζεται στο τόξο {e x e it : t [, b]}. Η ωνία στην οποία αντιστοιχεί το τόξο είναι ίση με το μήκος τού ευθύραμμου τμήματος. Αν το μήκος αυτό είναι μεαλύτερο από 2π τότε το ευθύραμμο τμήμα απεικονίζεται σε κύκλο που διάραφεται τουλάχιστο μια φορά. x + iy e x +iy e z Τέλος παρατηρούμε ότι e z = αν και μόνο αν το z είναι ακέραιο πολλαπλάσιο τού 2πi. Πράματι, αν z = 2kπi τότε προφανώς e z =. Αντίστροφα, αν e x+iy =, τότε παίρνοντας μέτρα έχουμε ότι e x =, άρα x =. Συνεπώς η e x+iy = δίνει e iy =, επομένως y = 2kπ. 2

21 Οι μιαδικές τριωνομετρικές συναρτήσεις Αν z C τότε ορίζουμε τις μιαδικές τριωνομετρικές συναρτήσεις sin z = eiz e iz, cos z = eiz + e iz. 2i 2 Αν το z είναι πραματικός αριθμός τότε από τον τύπο τού Euler βλέπουμε ότι οι συναρτήσεις αυτές συμφωνούν με τις συνηθισμένες τριωνομετρικές συναρτήσεις τού Απειροστικού Λοισμού. Θεώρημα 2.. () Οι sin και cos είναι περιοδικές με περίοδο 2π. (2) sin z = αν και μόνο αν z = kπ, όπου k Z. cos z = αν και μόνο αν z = π 2 k Z. (3) sin 2 z + cos 2 z =. Απόδειξη. () sin(z + 2π) = ei(z+2π) e i(z+2π) = eiz e 2πi e iz e 2πi 2i = eiz e iz 2i + kπ, όπου = sin z. Ομοίως 2i cos(z + 2π) = cos z. (2) Αν sin z = τότε e iz = e iz, άρα e 2iz =, επομένως 2iz = 2kπi, συνεπώς z = kπ. Ομοίως λύνουμε την cos z =. ( ) e (3) sin 2 z+cos 2 iz e iz 2 ) e z = +( iz + e iz 2 = e2iz + 2 e 2iz + e 2iz e 2iz =. 2i 2 4 Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς και κάνοντας απλές αλεβρικές πράξεις μπορούμε να αποδείξουμε ότι οι sin z και cos z ικανοποιούν όλες τις οικείες τριωνομετρικές ταυτότητες. Για παράδειμα sin(z + w) = sin z cos w + sin w cos z, cos(z + w) = cos z cos w sin z sin w. Προσέξτε όμως ότι υπάρχουν κάποιες αξιοσημείωτες διαφορές. Η πιο σημαντική είναι ότι οι μιαδικές τριωνομετρικές συναρτήσεις είναι επί τού C. Ας δείξουμε ότι ια οποιοδήποτε z C η εξίσωση cos w = z έχει πάντα λύση. Έχουμε e iw + e iw = z, 2 έτσι, θέτοντας u = e iw παίρνουμε u + = 2z. Άρα u u2 2uz + =. Μια λύση αυτής τής εξίσωσης είναι u = z + z 2 +. Η ποσότητα αυτή δεν είναι ποτέ μηδέν και νωρίζουμε ότι η εκθετική συνάρτηση είναι επί τού C {}, άρα η εξίσωση e iw = z + z 2 + έχει λύση ως προς w, το οποίο σημαίνει ότι cos w = z. Ομοίως δείχνουμε ότι η sin z είναι επί τού C. Άμεσο πόρισμα είναι ότι οι μιαδικές τριωνομετρικές συναρτήσεις (σε αντίθεση με τις πραματικές) δεν είναι φραμένες. 2

22 Ο μιαδικός λοάριθμος Για κάθε k Z θεωρούμε τη λωρίδα S k = {z : 2kπ Im z < 2(k + )π}. Όπως έχουμε δει σε κάθε τέτοια λωρίδα η εκθετική συνάρτηση είναι - και επί τού C {}. Η αντίστροφή της είναι μια συνάρτηση από το C {} στο S k και συμβολίζεται με log (k). Για να προσδιορίσουμε τον τύπο της, παίρνουμε w C {} και θέτουμε z = ln w + i(2kπ + rg w). Τότε z S k και e z = w. Αφού η αντίστροφη είναι μοναδική, έχουμε ότι log (k) (w) = ln w + i(2kπ + rg w). Η log () ονομάζεται κύριος κλάδος τού λοαρίθμου και συμβολίζεται με Log. Όλες οι log (k) μπορούν να θεωρηθούν ''λοάριθμοι'' αφού e log (k) (w) = w ια κάθε w. Προκύπτουν από τον κύριο λοάριθμο αν του προσθέσουμε 2kπi. Παρατηρήστε ότι αν το w είναι θετικός πραματικός τότε Log w = ln w, δηλαδή ο κύριος λοάριθμος επεκτείνει τον συνηθισμένο φυσικό λοάριθμο τού Απειροστικού Λοισμού. Αφού ο Log αντιστρέφει την εκθετική, στέλνει ημιευθείες με αρχή το μηδέν (χωρίς το μηδέν) σε οριζόντιες ευθείες και κύκλους με κέντρο το μηδέν σε κατακόρυφα ευθύραμμα τμήματα μήκους 2π. Log z i2π Προσέξτε ότι, ενικά, η ισότητα Log (zw) = Log z + Log w δεν ισχύει. Για παράδειμα Log (( )( )) = Log =, αλλά Log ( )+ Log ( ) = 2i rg( ) = 2πi. Χρησιμοποιώντας τον λοάριθμο μπορούμε να ορίσουμε την αυθαίρετη μιαδική δύναμη. Αν z και είναι αυθαίρετος μιαδικός αριθμός, τότε θέτουμε z = e Log z. Παρατηρήστε ότι αν το είναι ρητός αριθμός, τότε ο προηούμενος ορισμός συμφωνεί με τον ορισμό τής ρητής δύναμης που δώσαμε σε προηούμενη ενότητα. 22

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Στοιχειώδης τοπολοία στο μιαδικό επίπεδο Ανοιχτά και κλειστά σύνολα Αν z C και r >, τότε θέτουμε D(z, r) = {z : z z < r}. z r Το σύνολο αυτό ονομάζεται ανοιχτός δίσκος με κέντρο z και ακτίνα r. Ονομάζεται επίσης περιοχή τού σημείου z. Ένα σύνολο A C λέεται ανοιχτό αν ια κάθε z A υπάρχει r > τέτοιο ώστε D(z, r) A. Δηλαδή αν κάθε σημείο τού A έχει περιοχή η οποία περιέχεται στο A. A z r Παραδείματα. Κάθε ανοιχτός δίσκος D(z, r) είναι ανοιχτό σύνολο διότι ια το τυχόν z D(z, r) έχουμε D(z, r z z ) D(z, r). Πράματι, αν w D(z, r z z ), τότε w z w z + z z < r z z + z z = r, άρα w D(z, r). r z z r z z 23

24 Το σύνολο A = {z : Re z > } (το ανοιχτό άνω ημιεπίπεδο) είναι ανοιχτό ιατί αν z A και θέσουμε r = Re z τότε ο δίσκος D(z, r) περιέχεται στο A. Αυτό ισχύει διότι ια w D(z, r) έχουμε Re w = Re (w z + z) = Re (w z) + Re z = Re (w z) + r w z + r > r + r =, άρα w A. A z r Παρατήρηση. Η ένωση ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτό σύνολο. Η τομή πεπερασμένου πλήθους ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτό σύνολο. Τώρα, ένα σύνολο λέεται κλειστό αν το συμπλήρωμά του είναι ανοιχτό. Παραδείματα. Αν z C και r > τότε θέτουμε D(z, r) = {z : z z r}. Το σύνολο αυτό ονομάζεται κλειστός δίσκος με κέντρο z και ακτίνα r. Είναι κλειστό διότι το συμπλήρωμά του, δηλαδή το σύνολο A = {z : z z > r}, είναι ανοιχτό. Πράματι αν z A τότε D(z, z z r) A. A z r z z z r Ο κύκλος με κέντρο z και ακτίνα r >, δηλαδή το σύνολο {z : z z = r}, συμβολίζεται με C(z, r). Ο κύκλος είναι κλειστό σύνολο ιατί το συμπλήρωμά του είναι C C(z, r) = {z : z z < r} {z : z z > r}, το οποίο είναι ανοιχτό σαν ένωση δυο ανοιχτών συνόλων. Το σύνολο {z : Re z } (το κλειστό άνω ημιεπίπεδο) είναι κλειστό ιατί το συμπλήρωμά του, δηλαδή το σύνολο {z : Re z < } είναι ανοιχτό. 24

25 Κάθε μονοσύνολο {z } είναι κλειστό ιατί αν πάρουμε ένα σημείο στο συμπλήρωμα τού {z }, δηλαδή ένα z z, τότε ο δίσκος D(z, z z ) δεν περιέχει το z, άρα είναι υποσύνολο τού συμπληρώματος. Αυτό σημαίνει ότι το συμπλήρωμα είναι ανοιχτό, άρα το μονοσύνολο είναι κλειστό. Κάθε ευθεία είναι κλειστό σύνολο διότι αν πάρουμε ένα σημείο εκτός τής ευθείας, τότε ο ανοιχτός δίσκος με κέντρο το σημείο και ακτίνα την απόσταση τού σημείου από την ευθεία δεν τέμνει την ευθεία, δηλαδή περιέχεται στο συμπλήρωμά της. Έτσι το συμπλήρωμα τής ευθείας είναι ανοιχτό, άρα η ευθεία είναι κλειστό σύνολο. Παρατηρήσεις. Η τομή κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο και η ένωση πεπερασμένου πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο. Προσέξτε ότι αν ένα σύνολο δεν είναι ανοιχτό δεν μπορούμε ενικά να συμπεράνουμε ότι είναι κλειστό. Ούτε αντιστρόφως. Για παράδειμα αν πάρετε ένα κλειστό δίσκο και αφαιρέσετε από την περιφέρειά του ένα τόξο, το σύνολο που προκύπτει δεν είναι ούτε ανοιχτό ούτε κλειστό. Κάνουμε τη σύμβαση ότι το και το C είναι ανοιχτά και κλειστά. Αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχουν άλλα σύνολα με αυτή την ιδιότητα. Ένα σημείο z λέεται συνοριακό σημείο ενός συνόλου A αν κάθε περιοχή τού z τέμνει και το A και το συμπλήρωμα τού A. Το σύνολο των συνοριακών σημείων τού A λέεται σύνορο τού A. Παραδείματα. Το σύνορο ενός ανοιχτού ή ενός κλειστού δίσκου είναι η περιφέρειά του. Το σύνορο τού ανοιχτού ή τού κλειστού άνω ημιεπιπέδου είναι ο πραματικός άξονας. Το σύνορο ενός κύκλου είναι ο ίδιος ο κύκλος. Το σύνορο μιας ευθείας είναι η ίδια η ευθεία. Παρατηρήσεις. Το σύνορο ενός συνόλου είναι πάντα κλειστό. Αν το A είναι κλειστό, τότε το σύνορό του περιέχεται στο A. Αν το A είναι ανοιχτό, τότε το σύνορό του είναι ξένο με το A. Κάθε σύνολο μαζί με το σύνορό του δημιουρούν ένα κλειστό σύνολο. Ένα σύνολο λέεται φραμένο, αν το { z : z A} είναι φραμένο υποσύνολο τού R. Δηλαδή αν υπάχει R > τέτοιο ώστε z R ια κάθε z A. Ισοδύναμα, το A είναι φραμένο αν περιέχεται σε κάποιο δίσκο. A Τα κλειστά και φραμένα υποσύνολα τού C ονομάζονται συμπαή. 25

26 Ακολουθίες μιαδικών αριθμών Μια ακολουθία μιαδικών αριθμών είναι μια ακολουθία τής μορφής z n = x n + iy n, όπου x n, y n δυο ακολουθίες πραματικών αριθμών. Λέμε ότι η z n συκλίνει στο z αν z n z (σαν ακολουθία πραματικών αριθμών). Στην περίπτωση αυτή ράφουμε z n z, ή lim z n = z, ή lim n + z n = z. Επομένως z n z αν και μόνο αν ια κάθε ε > υπάρχει n τέτοιο ώστε ια κάθε n n έχουμε z n z < ε. Ισοδύναμα, ια κάθε περιοχή τού z, από κάποιο δείκτη και μετά όλοι οι όροι τής ακολουθίας βρίσκονται μέσα στην περιοχή. z z n ε Αν z n + τότε λέμε ότι η z n τείνει στο μιαδικό άπειρο και ράφουμε z n, ή lim z n =, ή lim n + z n =. Δηλαδή z n αν και μόνο αν ια κάθε R > υπάρχει n τέτοιο ώστε ια κάθε n n έχουμε z n > R. Ισοδύναμα, ια κάθε δίσκο, από κάποιο δείκτη και μετά όλοι οι όροι τής ακολουθίας είναι έξω από το δίσκο. z n R Το σύμβολο ια το μιαδικό άπειρο είναι χωρίς ±. Φανταζόμαστε το σαν ένα ''σημείο'' σε άπειρη απόσταση από κάθε μιαδικό αριθμό. Όταν λέμε περιοχή τού απείρου εννοούμε ένα σύνολο τής μορφής {z : z > R}, δηλαδή το συμπλήρωμα ενός δίσκου. Θεώρημα 3.. Έστω z n = x n + iy n μια ακολουθία μιαδικών αριθμών και z = x + iy ένα σημείο. Τότε z n z αν και μόνο αν x n x και y n y. Δηλαδή η ακολουθία συκλίνει σε κάποιο μιαδικό αριθμό αν και μόνο αν το πραματικό και το φανταστικό της μέρος συκλίνουν στο πραματικό και το φανταστικό μέρος τού αριθμού αντίστοιχα. Απόδειξη. Έστω ότι x n x και y n y. Τότε z n z = x n x + i(y n y) x n x + y n y. 26

27 Άρα z n z. Αντίστροφα, αν z n z τότε x n x = Re (z n z) z n z, y n y = Im (z n z) z n z. Επομένως x n x και y n y. Θεώρημα 3.2. Αν η z n συκλίνει τότε είναι φραμένη. Απόδειξη. Έστω ότι z n z. Από το θεώρημα 3., Re z n Re z και Im z n Im z, άρα οι ακολουθίες Re z n και Im z n είναι φραμένες. Αλλά z n Re z n + Im z n, επομένως η z n είναι φραμένη. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα 3. μπορούμε άμεσα να αποδείξουμε το ακόλουθο. Θεώρημα 3.3. Έστω ότι z n z και w n w, με z, w C. Tότε: () z n z. (2) z n z. (3) z n + w n z + w. (4) z n w n zw. (5) Αν επιπλέον z, τότε z n z. Παρατηρήστε ότι αν μια ακολουθία συκλίνει σε μη μηδενικό αριθμό, τότε από κάποιο δείκτη και μετά οι όροι της είναι κατ ανάκη μη μηδενικοί, επομένως έχει νόημα να ράψουμε z n από αυτό τον δείκτη και μετά. Παραδείματα. ( + ) + i( ) + i. n n n + i. n n. ( ) n n. Προσέξτε ότι η ακολουθία αυτή, με την έννοια τού Απειροστικού Λοισμού, δεν τείνει ούτε στο + ούτε στο. Επιτρέπονται οι παρακάτω ''αλεβρικές πράξεις'' που εμπλέκουν το μιαδικό άπειρο. Θεώρημα 3.4. () Αν z n και η w n είναι φραμένη τότε z n + w n (2) Αν z n και η w n συκλίνει σε μη μηδενικό μιαδικό αριθμό ή τείνει στο άπειρο, τότε z n w n. (3) Μια ακολουθία μη μηδενικών μιαδικών αριθμών z n συκλίνει στο αν και μόνο αν η z n τείνει στο άπειρο. Απόδειξη. () Αφού η w n είναι φραμένη, υπάρχει M > τέτοιο ώστε w n M ια κάθε n. Αλλά τότε z n + w n z n w n z n M +. Άρα z n + w n. (2) Αν η w n συκλίνει σε κάποιο μη μηδενικό αριθμό ή αν τείνει στο άπειρο, τότε υπάρχει κάποιο c > και κάποιος φυσικός n έτσι ώστε w n c ια κάθε n n. Επομένως ια κάθε τέτοιο n έχουμε z n w n c z n +. Συνεπώς z n w n. (3) Προκύπτει άμεσα από ότι μια ακολουθία θετικών αριθμών συκλίνει στο μηδέν αν και μόνο αν η ακολουθία των αντιστρόφων τείνει στο +. 27

28 Παρατήρηση. Γενικά δεν είναι αλήθεια ότι το άθροισμα δυο ακολουθιών που τείνουν στο άπειρο τείνει στο άπειρο. Για παράδειμα οι ακολουθίες z n = n, w n = n τείνουν στο, αλλά z n +w n =. Θεώρημα 3.5. Έστω z C. Θέτουμε z n = z n. () Αν z < τότε z n. (2) Αν z > τότε z n. (3) Αν z = τότε η z n συκλίνει μόνο ια z =. Απόδειξη. () Αν z < τότε z n, άρα z n. (2) Αν z > τότε z n +, άρα z n. (3) Κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι αν η z n συκλίνει ια κάποιο z με z =, τότε κατ' ανάκη z n. Πράματι, αν υποθέσουμε ότι z n, τότε z n. Αλλά z n = z n =, άρα =, ιδιαίτερα. Απ' την άλλη, z 2 n 2, αλλά z 2 n = z 2n = z 2n. Επομένως 2 = και, συνεπώς =. Τώρα, αν z, τότε η z n δεν είναι σταθερή. Γράφουμε z = e it ια κάποιο t (, 2π). Αν το t είναι ρητό πολλαπλάσιο τού 2π, δηλαδή t = 2kπ/l ια κάποια k Z, l N, τότε ια κάθε n έχουμε z n+l = ( e 2kπi/l) n+l = e 2knπi/l e 2kπi = e int = z n. Έτσι η z n είναι μη σταθερή και περιοδική, άρα αποκλείεται να συκλίνει. Αν το t δεν είναι ρητό πολλαπλάσιο τού 2π, τότε z n ια κάθε n. Ας υποθέσουμε ότι z n. Πάνω στο μοναδιαίο κύκλο θεωρούμε το τόξο I με κέντρο και μήκος /. z m n z 2 n z n m = 3 I Αφού z n, υπάρχει n τέτοιο ώστε z n I ια κάθε n n. Αφού το σημείο z n είναι διαφορετικό από το και ανήκει στο I, ια m N αρκετά μεάλο, το σημείο z m n θα βει έξω από το I. Αυτό μπορεί να αιτιολοηθεί ως εξής. Αν το z n είναι στο άνω ημιεπίπεδο, επιλέουμε m έτσι ώστε /499 < m rg z n <. Από το θεώρημα.2, rg(z m n ) = rg(z n z n ) = rg z n + + rg z n = m rg z n. Έτσι το όρισμα τού z m n, δηλαδή η ωνία θέσης του, είναι ανάμεσα στο /499 και το, άρα το z m n δεν μπορεί να ανήκει στο I διότι τα σημεία τού τόξου που βρίσκονται στο άνω ημιεπίπεδο έχουν ωνία θέσης μικρότερη από /5. Αν το z n ανήκει στο κάτω ημιεπίπεδο, τότε το z n 28

29 ανήκει στο άνω ημιεπίπεδο, άρα κάποια δύναμη του θα βει προς τα πάνω έξω από το I. Επομένως η ίδια δύναμη τού z n θα βει προς τα κάτω έξω από το I, αφού το I είναι συμμετρικό ως προς τον πραματικό άξονα. Αλλά z m n = z mn, άτοπο ιατί όλα τα z n με n n ανήκουν στο I. Συμπεραίνουμε ότι η z n συκλίνει μόνο ια z =. Η σύκλιση μιας σειράς μιαδικών αριθμών ορίζεται ακριβώς όπως στην περίπτωση μιας σειράς πραματικών αριθμών. Έστω z n C μια ακολουθία. Λέμε ότι η σειρά + n= z n συκλίνει και έχει άθροισμα z C, αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων s n = n k= z k συκλίνει στο z. Στην περίπτωση αυτή ράφουμε n= z n = z. Η σημαντικότερη σειρά στη Μιαδική Ανάλυση είναι η εωμετρική. Θεώρημα 3.6. Έστω z C. () Αν λ < τότε + n= λn = λ. λ (2) Αν λ τότε η σειρά + n= λn δεν συκλίνει. Απόδειξη. Αν λ = τότε η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων τής σειράς είναι n s n = = n, k= άρα η σειρά δεν συκλίνει. Αν λ τότε η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι n s n = λ k = λ λn+ λ, k= και το συμπέρασμα έπεται από το θεώρημα 3.5. Παρατήρηση. Αν ξεκινήσουμε τη εωμετρική σειρά από n =, τότε ια λ < παίρνουμε (3.) λ n = λ. n= 29

30 Όρια συναρτήσεων και συνέχεια Έστω A C και z C ένα σημείο. Υποθέτουμε ότι σε κάθε περιοχή του z υπάρχουν σημεία τού A διαφορετικά από το z. Έστω f : A C μια συνάρτηση και l C. Λέμε ότι το όριο τής f καθώς το z τείνει στο z είναι ίσο με l και ράφουμε lim f (z) = l, z z αν ια κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε ια κάθε z A με < z z < δ έχουμε f (z) l < ε. Δηλαδή καθώς το z πλησιάζει το z χωρίς να ίνεται ίσο με z, το f (z) πλησιάζει το l. Ισοδύναμα, ια κάθε περιοχή τού l υπάρχει περιοχή τού z έτσι ώστε κάθε σημείο τού πεδίου ορισμού τής f που βρίσκεται μέσα στην περιοχή τού z και δεν είναι ίσο με z απεικονίζεται στην περιοχή τού l. Το ότι σε οποιαδήποτε περιοχή τού z υπάρχουν σημεία τού πεδίου ορισμού τής f διαφορετικά από το z εξασφαλίζεται από την υπόθεση που κάναμε ια το z και το A στην αρχή αυτής τής παραράφου. Από τώρα και στο εξής, όταν μιλάμε ια όριο τής f σε κάποιο z πάντα θα κάνουμε αυτή την υπόθεση. Την ίδια υπόθεση θα κάνουμε και ια όλα τα σημεία τού A. Όρια τα οποία εμπλέκουν το μιαδικό άπειρο ορίζονται με ανάλοο τρόπο. lim f (z) =, αν ια κάθε M > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε ια κάθε z A με z z < z z < δ έχουμε f (z) > M. Για A μη φραμένο, lim f (z) = l, αν ια κάθε ε υπάρχει R > τέτοιο ώστε ια κάθε z z A με z > R έχουμε f (z) l < ε. Για A μη φραμένο, lim f (z) =, αν ια κάθε M > υπάρχει R > τέτοιο ώστε ια z κάθε z A με z > R έχουμε f (z) > M. Παρατηρώντας τους προηούμενους ορισμούς βλέπουμε ότι μια ποσότητα τείνει στο μιαδικό άπειρο αν και μόνο αν το μέτρο της τείνει στο +. Έτσι μπορούμε εναλλακτικά να ράψουμε: lim f (z) = +. z z lim z + lim z + f (z) = l. f (z) = +. Χρησιμοποιώντας το ακόλουθο αποτέλεσμα, μπορούμε να ανάουμε τη σύκλιση μιας συνάρτησης στη σύκλιση ακολουθιών. Θεώρημα 3.7. Έτσω A C, ένα z σημείο (το z μπορεί να είναι ), και f : A C μια συνάρτηση. Τότε lim z z f (z) = l (το l μπορεί να είναι ) αν και μόνο αν ια κάθε ακολουθία z n A με z n z και z n z, έχουμε ότι f (z n ) l. Οι επιτρεπτές αλεβρικές πράξεις με όρια είναι οι ίδιες με αυτές τής περίπτωσης ακολουθιών. Θεώρημα 3.8. Έστω A C, ένα z (το z μπορεί να είναι ), και f, g : A C δυο συναρτήσεις τέτοιες ώστε τα όριά τους καθώς το z τείνει στο z υπάρχουν και είναι πεπερασμένα. Τότε: () Το όριο τού αθροίσματος υπάρχει και (2) Το όριο τού ινομένου υπάρχει και lim( f (z) + g(z)) = lim f (z) + lim g(z). z z z z z z lim( f (z)g(z)) = lim f (z) lim g(z). z z z z z z (3) Αν επιπλέον το όριο τής f δεν είναι μηδέν, τότε lim z z f (z) = lim z z f (z). 3

31 Όπως και στην περίπτωση των ακολουθιών, αν το όριο τής f δεν είναι μηδέν, υπάρχει περιοχή D τού z τέτοια ώστε ια κάθε z D A με z z, το f (z) δεν είναι μηδέν, άρα έχει νόημα να ράψουμε / f (z) ια όλα αυτά τα z. Θεώρημα 3.9. Έστω A C, z ένα σημείο (το z μπορεί να είναι ), και f, g : A C δυο συναρτήσεις. () Αν lim z z f (z) = και η g είναι φραμένη τότε lim z z ( f (z) + g(z)) =. (2) Αν lim z z f (z) = και το lim z z g(z) μη μηδενικό ή άπειρο, τότε lim z z ( f (z)g(z)) =. (3) Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια περιοχή D τού z τέτοια ώστε f (z) ια κάθε z D A με z z. Τότε lim f (z) = αν και μόνο αν lim z z z z f (z) =. Το ακόλουθο αποτέλεσμα είναι το αντίστοιχο τού θεωρήματος 3.. Θεώρημα 3.. Έστω A C, z = x + iy ένα (πεπερασμένο) σημείο, l C κάποιο σημείο, και f : A C μια συνάρτηση. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα. () lim f (z) = l. z z (2) lim (x,y) (x,y ) Re f (x, y) = Re l και lim Im f (x, y) = Im l. (x,y) (x,y ) Τα όρια στο (2) είναι με την έννοια τού Απειροστικού Λοισμού ΙΙ, δηλαδή όρια πραματικών συναρτήσεων δυο πραματικών μεταβλητών. Απόδειξη. () (2) Έστω (x n, y n ) μια ακολουθία στο {(x, y) R 2 : x + iy A} με (x n, y n ) (x, y ), τέτοια ώστε (x n, y n ) (x, y ). Τότε x n x και y n y, άρα αν θέσουμε z n = x n + iy n παίρνουμε ότι z n z. Αφού η f συκλίνει στο l καθώς z z έχουμε ότι f (z n ) l, άρα Re f (x n, y n ) Re l και Im f (x n, y n ) Im l. Αλλά η (x n, y n ) ήταν τυχούσα, επομένως παίρνουμε το (2). (2) () Έστω z n μια ακολουθία στο A με z n z τέτοια ώστε z n z. Γράφουμε z n = x n + iy n. Τότε x n x και y n y, άρα (x n, y n ) (x, y ). Επομένως από υπόθεση Re f (x n, y n ) Re l και Im f (x n, y n ) Im l. Συνεπώς f (z n ) l, το οποίο μας δίνει το () αφού η z n ήταν τυχούσα. Παρατήρηση. Από το προηούμενο θεώρημα έχουμε ότι το όριο μιας συνάρτησης καθώς το z τείνει σε κάποιο σημείο δεν εξαρτάται από τον τρόπο που προσείζουμε το σημείο. Αυτό προκύπτει από την αντίστοιχη ιδιότητα που έχουν τα όρια πραματικών συναρτήσεων δυο πραματικών μεταβλητών. Παραδείματα. Το όριο μιας σταθερής συνάρτησης καθώς το z τείνει σε οποιοδήποτε σημείο ή στο είναι ίσο με την τιμή τής συνάρτησης. lim z z z = z, lim z z =, lim z =, lim z z =. Γενικότερα αν το P είναι z πολυώνυμο, δηλαδή P(z) = n z n + n z n + + z+, τότε lim z z P(z) = P(z ), lim z P(z) = και lim z =. P(z) Log z = ln z + i rg z ln z 2π + καθώς z, άρα lim z Log z =. Το όριο τής εκθετικής συνάρτησης e z καθώς z δεν υπάρχει ιατί αν θέσουμε z n = iπn, τότε z n, αλλά η ακολουθία e z n = e iπn = cos(πn) ούτε συκλίνει ούτε τείνει στο άπειρο. Με παρόμοιο τρόπο δείχνουμε ότι το όριο τού sin z και τού cos z καθώς 3

32 z δεν υπάρχουν. Γενικότερα, ακριβώς όπως στην περίπτωση ακολουθιών, το όριο καθώς z μιας περιοδικής συνάρτησης δεν υπάρχει, εκτός κι αν η συνάρτηση είναι σταθερή. Έστω τώρα ένα σύνολο A C, z A ένα σημείο, και f : A C μια συνάρτηση. Λέμε ότι η f είναι συνεχής στο z αν ια κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε ια κάθε z A με z z < δ έχουμε f (z) f (z ) < ε. Ισοδύναμα, ια κάθε περιοχή V τού f (z ) υπάρχει περιοχή U τού z η οποία απεικονίζεται μέσα στην περιοχή τού f (z ), δηλαδή f (A U) V. f z f (z ) f (U) U A V Αν η f είναι συνεχής σε κάθε σημείο τού πεδίου ορισμού της τότε λέμε ότι είναι συνεχής. Η έννοια τού ορίου και η έννοια τής συνέχειας σχετίζονται άμεσα. Θεώρημα 3.. Έστω f : A C μια συνάρτηση και z A. Τότε η f είναι συνεχής στο z αν και μόνο αν lim z z f (z) = f (z ). Θεώρημα 3.2. Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο x + iy A αν και μόνο αν το πραματικό και το φανταστικό της μέρος είναι συνεχείς (με την έννοια τού Απειροστικού Λοισμού ΙΙ) στο σημείο (x, y ). Απόδειξη. Έπεται άμεσα από τα θεωρήματα 3. και 3.. Θεώρημα 3.3. Μια f : A C είναι συνεχής σε κάποιο z A αν και μόνο αν ια κάθε ακολουθία z n A με z n z έχουμε f (z n ) f (z ). Θεώρημα 3.4. Έστω f, g : A C συνεχείς σε κάποιο z A. () Η f + g και η f g είναι συνεχείς στο z. (2) Αν επιπλέον f (z ) τότε η f δεν μηδενίζεται σε κάποια περιοχή τού z, η είναι f (z) καλά ορισμένη σ' αυτήν την περιοχή, και είναι συνεχής στο z. (3) Αν μια h είναι ορισμένη στο πεδίο τιμών τής f και συνεχής στο f (z ) τότε η σύνθεση h f είναι συνεχής στο z. Παραδείματα. () Κάθε πολυώνυμο P είναι συνεχής συνάρτηση διότι lim z z P(z) = P(z ) ια κάθε z. Άρα και κάθε ρητή συνάρτηση, δηλαδή πηλίκο πολυωνύμων, είναι συνεχής. (2) Η εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής ιατί το πραματικό και το φανταστικό της μέρος είναι e x cos y και e x sin y αντίστοιχα, και οι συναρτήσεις αυτές είναι συνεχείς. Για τον ίδιο λόο οι συναρτήσεις z και z είναι συνεχείς. Οι τριωνομετρικές συναρτήσεις είναι συνεχείς ως συνθέσεις συνεχών συναρτήσεων. 32

33 (3) Εξετάζουμε τώρα τη συνέχεια τής συνάρτησης rg. Υπενθυμίζουμε ότι το rg είναι ορισμένο στο C {} και έχει τύπο x rccos x2 + y, αν y 2 rg(x + iy) =. x 2π rccos x2 + y, αν y < 2 Βλέπουμε αμέσως ότι είναι συνεχές ια y > ή y < διότι οι αντίστοιχοι κλάδοι είναι συνεχείς. Μένει να δούμε τι ίνεται στον πραματικό άξονα, δηλαδή ια y =, x. Σταθεροποιούμε λοιπόν x R με x. Αν x < τότε το όριο τού rg καθώς προσείζουμε το x ια y είναι (x,y) (x,) y< lim (x,y) (x,) y rccos x x2 + y = rccos x 2 x 2 = rccos( ) = π. Το όριο καθώς προσείζουμε το x από το κάτω ημιεπίπεδο είναι x lim 2π rccos x2 + y = 2π rccos x 2 x 2 = 2π rccos( ) = π. Συνεπώς ια αρνητικά x έχουμε lim z x rg(z) = π = rg(z ). Επομένως το rg είναι συνεχές στον αρνητικό ημιάξονα. Τώρα, ια x >, τα όρια καθώς προσείζουμε το x ''από πάνω'' και ''από κάτω'' είναι διαφορετικά. z rg(z) x z rg(z) 2π Πράματι, το όριο αν προσείσουμε το x κατά μήκος τής ημιευθείας x = x, y >, δηλαδή ''από πάνω'', είναι lim rccos x x = rccos = rccos =. y + x 2 + y2 x 2 Ενώ το όριο αν προσείσουμε το x κατά μήκος τής ημιευθείας x = x, y <, δηλαδή ''από κάτω'', είναι lim y 2π rccos x x 2 + y2 = 2π rccos x x 2 = 2π rccos = 2π. Άρα το rg δεν είναι συνεχές στον θετικό ημιάξονα. Συμπεραίνουμε ότι το όρισμα είναι συνεχής συνάρτηση παντού στο C {} εκτός από τον θετικό ημιάξονα. 33

34 (4) Όπως στο προηούμενο πράδειμα, η n z και ο λοάριθμος, που ορίζονται μέσω τού rg, είναι ασυνεχείς στον θετικό ημιάξονα και συνεχείς σε οποιοδήποτε άλλο μη μηδενικό σημείο. Πράματι, αν x > τότε αλλά Ομοίως και lim x+iy x x=x, y> lim x+iy x x=x, y< n x + iy = lim y + n x + iy = lim y n x + iy e i rg(x +iy) n = n x, n x + iy e i rg(x +iy) n = n x e i 2π n. lim Log (x + iy) = lim ln x + iy + i rg(x + iy) = ln x, x+iy x y + x=x, y> lim Log (x + iy) = lim ln x + iy + i rg(x + iy) = ln x + i2π. x+iy x y x=x, y< Κλείνουμε αυτήν την ενότητα με δυο αποτελέσματα που αφορούν τη συμπεριφορά των συνεχών συναρτήσεων σε συμπαή σύνολα. Θεώρημα 3.5. Αν το A είναι συμπαές και η f : A C συνεχής, τότε το f (A) είναι συμπαές. Θεώρημα 3.6. Αν το A είναι συμπαές και η f : A C συνεχής, τότε η f είναι φραμένη, και η f παίρνει μέιστη και ελάχιστη τιμή. 34

35 Καμπύλες Μια μιαδική συνάρτηση ορισμένη σ' ένα διάστημα πραματικών αριθμών λέεται παραωίσιμη αν το πραματικό και το φανταστικό της μέρος είναι παραωίσιμες συναρτήσεις, με τη συνηθισμένη έννοια τού Απειροστικού Λοισμού. Η παράωος μιας τέτοιας f ορίζεται να είναι f (t) = ( Re f ) (t) + i( Im f ) (t). Για παράδειμα, η f (t) = t 2 + i sin t, t R είναι παραωίσιμη και f (t) = 2t + i cos t. Μια παραωίσιμη συνάρτηση : [, b] C τέτοια ώστε η είναι συνεχής ονομάζεται καμπύλη. Λέμε ότι το () είναι η αρχή και το (b) το τέλος τής καμπύλης. Για παράδειμα, η t+it, t [, ], είναι μια καμπύλη με αρχή i και τέλος +i. Ο πιο φυσιολοικός τρόπος να σκεφτόμαστε μια καμπύλη είναι ότι καθώς το t διατρέχει το [, b] το σημείο (t) διαράφει μια τροχιά στο επίπεδο. Η τροχιά τής t + it,t [, ], που αναφέραμε πριν είναι: + i Γενικότερα έχουμε i (b) b () Συνχνά δεν διακρίνουμε την καμπύλη, δηλαδή τη συνάρτηση, από την τροχιά της, δηλαδή την εικόνα ([, b]). Έτσι όταν λέμε ''καμπύλη'' μπορεί να εννούμε οτιδήποτε από τα δυο. Συνήθως δεν υπάρχει κίνδυνος αυτό να δημιουρήσει σύχυση. Αν υπάρχει τότε χρησιμοποιούμε το σύμβολο ια την τροχιά. Φυσικά σαν έννοιες είναι εντελώς διαφορετικές. Η είναι συνάρτηση, ενώ η είναι σύνολο σημείων. Παρατηρήστε ότι από το θεώρημα 3.5, η τροχιά είναι συμπαές σύνολο. Παραδείματα. Η τροχιά τής e it, t [, 2π], είναι ο μοναδιαίος κύκλος. Γενικότερα, αν r > και z C, τότε η τροχιά τής z + re it, t [, 2π], είναι ο κύκλος C(z, r). Η τροχιά τής e it, t [, 4π], είναι πάλι ο μοναδιαίος κύκλος. Η διαφορά από το προηούμενο παράδειμα είναι ότι τώρα ο κύκλος διαράφεται δυο φορές. 35

36 H τροχιά τής e it, t [, 2π], είναι ξανά ο μοναδιαίος κύκλος. Εδώ η διαφορά είναι ότι διαράφεται (μια φορά) δεξιόστροφα, ενώ στα προηούμενα παραδείματα διαραφόταν αριστερόστροφα. Αν z, z 2 C, τότε η τροχιά τής (t )z + tz 2, t [, ], είναι το ευθύραμμο τμήμα [z, z 2 ]. Αν : [, b] C είναι μια καμπύλη, τότε η αντίθετη καμπύλη συμβολίζεται με και ορίζεται να είναι η συνάρτηση (t) = (b + t), t [, b]. Η τροχιά τής είναι η ίδια με την τροχιά τής, αλλά διαράφεται με την αντίθετη φορά. Για παράδειμα η (t) = ( t)z + tw, t [, ], διαράφει το ευθύραμμο τμήμα [z, w]. Η αντίθετη είναι η (t) = tz + ( t)w και διαράφει το ευθύραμμο τμήμα [w, z]. Ένα μονοπάτι είναι μια αλληλουχία από διαδοχικές καμπύλες, 2,..., n. Διαδοχικές καμπύλες σημαίνει ότι το τέλος τής είναι ίσο με την αρχή τής 2, το τέλος τής 2 είναι ίσο με την αρχή τής 3 και ούτω καθεξής. Η τροχιά τού είναι η ένωση των τροχιών των καμπύλων που το αποτελούν, και είναι συμπαές σύνολο σαν ένωση πεπερασμένου πλήθους συμπαών συνόλων. Για παράδειμα, αν η διαράφει το ευθύραμμο τμήμα [, ], η 2 το [, i] και η 3 το [i, ], τότε το μονοπάτι από τις καμπύλες, 2, 3 διαράφει το τρίωνο με κορυφές τα σημεία,, i. z w z w i i 3 2 Προφανώς κάθε καμπύλη είναι μονοπάτι. Επίσης, όπως στην περίπτωση καμπύλης, συχνά δεν διακρίνουμε ένα μονοπάτι και την τροχιά του. Το αντίθετο ενός μονοπατιού αποτελείται από τις αντίθετες των καμπύλων που το απαρτίζουν. Τώρα, ένα ανοιχτό σύνολο U ονομάζεται συνεκτικό αν ια κάθε δυο σημεία του υπάρχει καμπύλη στο U η οποία τα συνδέει. Δηλαδή ια κάθε z, w U υπάρχει : [, b] U με () = z και (b) = w. z w U 36

37 Ένα μη συνεκτικό σύνολο είναι ''σπασμένο σε κομμάτια''. Στο σχήμα παρακάτω τα σημεία, b και c δεν μπορούν να συνδεθούν με καμπύλες οι οποίες να βρίσκονται μέσα στο σύνολο. b c Ένα μονοπάτι λέεται κλειστό, αν η αρχή τής πρώτης από τις καμπύλες που το αποτελούν είναι ίση με το τέλος τής τελευταίας, αν δηλαδή καταλήει στο σημείο από όπου ξεκίνησε. Το λέεται μονοπάτι Jordn (ή απλό κλειστό μονοπάτι), αν είναι κλείστό και δεν τέμνει τον εαυτό του σε άλλα σημεία εκτός από τα άκρα (τα οποία ταυτίζονται). Απλό Όχι απλό Αποδεικνύεται ότι ένα μονοπάτι Jordn χωρίζει το επίπεδο δυο ξένα ανοιχτά και συνεκτικά σύνολα. Ένα φραμένο που ονομάζεται εσωτερικό τού μονοπατιού, και ένα μη φραμένο που ονομάζεται εξωτερικό τού μονοπατιού. εσωτερικό εξωτερικό Παρά το ότι αυτό είναι διαισθητικά προφανές, μια αυστηρή απόδειξη είναι αρκετά δύσκολη και ξεφεύει από τα πλαίσια τού μαθήματος. Από τώρα και στο εξής θα κάνουμε την παραδοχή ότι 37

38 όλα τα κλειστά μονοπάτια είναι Jordn, και ότι όλα τα μη κλειστά δεν τέμνουν τον εαυτό τους. Αν ένα κλειστό μονοπάτι διαράφεται αριστερόστροφα τότε λέμε ότι το μονοπάτι είναι θετικά προσανατολισμένο. Διαφορετικά λέμε ότι είναι αρνητικά προσανατολισμένο. + 38

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακολουθίες και σειρές μιαδικών συναρτήσεων - δυναμοσειρές Έστω A C και f n : A C μια ακολουθία συναρτήσεων. Λέμε ότι η f n συκλίνει κατά σημείο σε κάποια συνάρτηση f : A C αν f n (z) f (z) ια κάθε z A. Λέμε ότι η f n συκλίνει ομοιόμορφα στην f αν ια κάθε ε υπάρχει n τέτοιο ώστε ια κάθε n n και κάθε z A έχουμε f n (z) f (z) < ε. Η διαφορά των δυο εννοιών είναι ότι στην ομοιόμορφη σύκλιση το n εξαρτάται μόνο από το ε και όχι από το σημείο z. Αποδεικνύεται ότι αν οι f n είναι συνεχείς, τότε και η f είναι συνεχής. Στην περίπτωση αυτή, αν επιπλέον το A είναι συμπαές, τότε η ομοιόμορφη σύκλιση τής f n στην f συνεπάεται ότι mx z A f n(z) f (z). Παρατηρήστε ότι το mx υπάρχει από το θεώρημα 3.6. Η σύκλιση σειρών συναρτήσεων ορίζεται με ανάλοο τρόπο. Λέμε ότι η σειρά συναρτήσεων + n= f n συκλίνει κατά σημείο στην f αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων συκλίνει κατά σημείο στην f. Ομοίως, η σειρά συκλίνει ομοιόμορφα αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων συκλίνει ομοιόμορφα. Θεώρημα 4. (Κριτήριο Weierstrss). Έστω A C, f n : A C μια ακολουθία συναρτήσεων, και M n μια ακολουθία θετικών αριθμών. Υποθέτουμε ότι f n (z) M n ια κάθε n και κάθε z A. Η σειρά πραματικών αριθμών + n= M n συκλίνει. Τότε η σειρά + n= f n συκλίνει ομοιόμορφα. Έστω τώρα n C μια ακολουθία. Μια σειρά συναρτήσεων τής μορφής + n= n(z z ) n λέεται δυναμοσειρά με κέντρο z (τις δυναμοσειρές τις ξεκινάμε από n = ). Μπορούμε να σκεφτόμαστε μια δυναμοσειρά σαν ένα ''πολυώνυμο άπειρου βαθμού''. Παρατηρήστε ότι μια δυναμοσειρά συκλίνει πάντα ια z = z. Στην περίπτωση αυτή είναι ίση με. Θεώρημα 4.2. Έστω + n= n(z z ) n μια δυναμοσειρά. Τότε ισχύει ακριβώς ένα από τα παρακάτω. () Η σειρά συκλίνει μόνο ια z = z. (2) Υπάρχει R > τέτοιο ώστε η σειρά Συκλίνει κατά σημείο ια κάθε z με z z < R, δηλαδή στον δίσκο D(z, R). Συκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαές υποσύνολο τού δίσκου. Δεν συκλίνει ια κανένα z με z z > R, δηλαδή στο εξωτερικό τού δίσκου. Τι ίνεται στο σύνορο τού δίσκου, δηλαδή στον κύκλο, δεν το λέει το θεώρημα. (3) Η σειρά Συκλίνει κατά σημείο ια κάθε z C. Συκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαές υποσύνολο τού C. Ο αριθμός R > στην περίπτωση (2) ονομάζεται ακτίνα σύκλισης τής δυναμοσειράς και είναι η ακτίνα τού μεαλύτερου ανοιχτού δίσκου με κέντρο το z μέσα στον οποίο η σειρά συκλίνει. Στην περίπτωση () κάνουμε τη σύμβαση R =. Στην περίπτωση (3) κάνουμε τη σύμβαση R = +. Τo ακόλουθο θεώρημα μας δίνει τύπους ια την ακτίνα σύκλισης. Θεώρημα 4.3. Έστω + n= n(z z ) n μια δυναμοσειρά με ακτίνα σύκλισης R. Αν το lim n + n n υπάρχει και είναι ίσο με r, τότε R = r. 39

40 Αν n ια κάθε n και το lim n + n+ n υπάρχει και είναι ίσο με r τότε R = r. Και στις δύο περιπτώσεις, αν r = τότε R = +, και αν r = + τότε R =. Παραδείματα. Η ακτίνα σύκλισης τής + n= n!zn είναι ιατί (n+)! Η ακτίνα σύκλισης τής + n= ότι το όριό της είναι η εκθετική συνάρτηση. z n n! είναι + ιατί n! (n+)! = n+ = n + +. n!. Θα δούμε παρακάτω Η ακτίνα σύκλισης τής + n n= zn είναι ιατί =. Από το θεώρημα 3.6 έχουμε ότι μέσα στο δίσκο D(, ) η σειρά συκλίνει στη συνάρτηση. Έξω από τον δίσκο δεν z συκλίνει από το θεώρημα 4.2 (ή το θεώρημα 3.6). Πάνω στον κύκλο δεν συκλίνει από το θεώρημα 3.6 (το θεώρημα 4.2 δεν λέει τι ίνεται στον κύκλο). 4

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αναλυτικές συναρτήσεις Η μιαδική παράωος Έστω U C ένα ανοιχτό σύνολο και f : U C μια συνάρτηση. Η f λέεται αναλυτική αν ια κάθε z U το όριο f (z) f (z ) lim z z z z υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Η τιμή του συμβολίζεται με f (z ) και ονομάζεται παράωος τής f στο z. Η συνάρτηση που προκύπτει έχει πεδίο ορισμού το U, συμβολίζεται με f και ονομάζεται παράωος τής f. Παραδείματα. Η σταθερή συνάρτηση είναι αναλυτική και η παράωός της είναι η μηδενική συνάρτηση. Η συνάρτηση f (z) = z, z C, είναι αναλυτική και f (z) = ια κάθε z. Γενικότερα, αν n Z, τότε η z n είναι αναλυτική (σε ολόκληρο το C αν n, στο C {}, αν n < ), και (z n ) = nz n. Η απόδειξη είναι αυτολεξεί μεταφορά τής απόδειξης τού αντίστοιχου αποτελέσματος στον Απειροστικό Λοισμό. Η συνάρτηση f (z) = z δεν είναι αναλυτική σε κανένα ανοιχτό σύνολο. Πράματι, ας σταθεροποιήσουμε τυχόν z = x + iy. Αν προσείσουμε το x + iy κατά μήκος τής κάθετης ευθείας x = x έχουμε f (x + iy) f (x + iy ) lim x+iy x +iy x + iy x x=x iy = lim y y i(y y ) i(y y ) =. Αν προσείσουμε το x + iy κατά μήκος τής οριζόντιας ευθείας y έχουμε f (x + iy) f (x + iy ) lim x+iy x +iy x + iy x y=y iy = lim x x x x x x =. Βλέπουμε λοιπόν ότι τα όρια καθώς προσείζουμε το z κατά μήκος διαφορετικών κατευθύνσεων δεν είναι ίσα, επομένως το δεν υπάρχει. f (z) f (z ) lim z z z z Τα ακόλουθα αποτελέσματα παραπέμπουν σε οικεία αποτελέσματα τού Απειροστικού Λοισμού και οι αποδείξεις τους είναι τελείως ανάλοες. Θεώρημα 5.. Αν το U C είναι ανοιχτό και η f : U C αναλυτική, τότε η f είναι συνεχής. Ιδιαίτερα, το πραματικό και το φανταστικό μερος τής f είναι συνεχείς συναρτήσεις. Παρατήρηση. Το αντίστροφο ενικά δεν ισχύει. Για παράδειμα η f (z) = z είναι συνεχής, αλλά όπως είδαμε δεν είναι αναλυτική. Θεώρημα 5.2. Έστω U C ανοιχτό, και f, g : U C αναλυτικές. Τότε 4

42 () Η f + g είναι αναλυτική και ( f + g) = f + g. (2) H f g είναι αναλυτική και ( f g) = f g + f g. (3) Αν επιπλέον η g δεν μηδενίζεται τότε η είναι αναλυτική και g ( ) = g g g. 2 Παρατήρηση. Από το προηούμενο θεώρημα συμπεραίνουμε ότι τα πολυώνυμα και τα πηλίκα πολυωνύμων είναι αναλυτικές συναρτήσεις. Θεώρημα 5.3 (Κανόνας αλυσίδας). Έστω U, V C ανοιχτά, και f : U V, g : V C αναλυτικές. Τότε η σύνθεση g f είναι αναλυτική συνάρτηση και (g f ) (z) = g ( f (z)) f (z) ια κάθε z U. Ισχύει και η ακόλουθη παραλλαή. Θεώρημα 5.4. Έστω I R ένα διάστημα, V C ένα ανοιχτό σύνολο, f : I V μια παραωίσιμη συνάρτηση και g : V C μια αναλυτική συνάρτηση. Τότε η σύνθεση g f είναι παραωίσιμη και (g f ) (t) = g ( f (t)) f (t) ια κάθε t I. Θεώρημα 5.5. Έστω U C ανοιχτό και συνεκτικό, και f : U C αναλυτική τέτοια ώστε f (z) = ια κάθε z U. Τότε η f είναι σταθερή. Απόδειξη. Σταθεροποιούμε z U και έστω z U τυχόν. Αφού το U είναι συνεκτικό, υπάρχει μια καμπύλη : [, b] U με αρχή το z και τέλος το z, δηλαδή () = z και (b) = z. θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση h : [, b] C με τύπο h(t) = f ((t)). Από τον κανόνα τής αλυσίδας έχουμε h (t) = f ((t)) (t) = ια κάθε t. Άρα οι παράωοι τού πραματικού και τού φανταστικού μέρους τής h, οι οποίες είναι πραματικές συναρτήσεις πραματικής μεταβλητής, είναι μηδέν. Επομένως οι Re h και Im h είναι σταθερές, άρα η h είναι σταθερή. Ιδιαίτερα, h() = h(b). Αλλά h() = f (z ) και h(b) = f (z). Συνεπώς f (z) = f (z ) ια κάθε z U, δηλαδή η f είναι σταθερή. Παρατήρηση. Στο προηούμενο θεώρημα, η υπόθεση τής συνεκτικότητας είναι απαραίτητη. Για παράδειμα αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στον δίσκο με κέντρο και ακτίνα, και στο δίσκο με κέντρο 5 και ακτίνα, και παίρνει την τιμή 8 σε κάθε σημείο τού ενός δίσκου και την τιμή 32 σε κάθε σημείο τού άλλου, τότε f =, αλλά, φυσικά η f δεν είναι σταθερή. Το θεώρημα αποτυχάνει διότι το πεδίο ορισμού της f, δηλαδή το D(, ) D(5, ), είναι σπασμένο σε δυο κομμάτια και έτσι δεν είναι συνεκτικό. Σε κάθε κομμάτι η συνάρτηση είναι σταθερή (με διαφορετικές τιμές), άρα έχει παράωο μηδέν. Σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, δηλαδή στην ένωση των δυο κομματιών, δεν είναι σταθερή. 42