3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )"

Transcript

1 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το καλείται σηµείο συσσώρευσης συνόλου E εάν ε >, D E ( ε { } ) Αν E δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του Ε καλείται αποµονωµένο σηµείο του Ε Σηµειώνουµε ότι ένα σηµείο συσσώρευσης µπορεί να ανήκει ή να µην ανήκει στο σύνολο Ε Το σύνολο των σηµείων συσσώρευσης του Ε καλείται παράγωγο σύνολο του Ε και συµβολίζεται µε Ε Tο σύνολο E = E E καλείται κλειστότητα του Ε Ορισµός 33 Εστω Το καλείται συνοριακό σηµείο συνόλου E εάν ε >, Dε ( ) E και Dε ( ) ( E) Με άλλα λόγια κάθε ανοικτός δίσκος του περιέχει και σηµεία του E και σηµεία του συµπληρώµατος E Σηµειώνουµε ότι ένα συνοριακό σηµείο µπορεί να ανήκει ή να µην ανήκει στο σύνολο Ε Το σύνολο των συνοριακών σηµείων του Ε καλείται σύνορο του Ε, συµβολικά E Ορισµός 34 Ένα σύνολο E καλείται ανοικτό εάν E, ε > : D E ε Πρακτικά το E είναι ανοικτό αν και µόνον αν δεν περιέχει κανένα συνοριακό του σηµείο Ορισµός 35 Ένα σύνολο E καλείται κλειστό εάν και µόνον αν το συµπλήρωµά του E είναι ανοικτό σύνολο Αποδεικνύεται δε ότι το Ε είναι 63

2 κλειστό σύνολο αν και µόνον αν περιέχει όλα τα σηµεία συσσώρευσής του Πρακτικά το E είναι κλειστό αν και µόνον αν περιέχει όλα τα συνοριακά του σηµεία Σηµείωση: To σύνολα και θεωρούνται ως ανοικτά και κλειστά ταυτόχρονα Προφανώς υπάρχουν υποσύνολα του που δεν είναι ούτε ανοικτά ούτε κλειστά Ορισµός 36 Ένα σύνολο E καλείται συνεκτικό (ή συναφές) εάν δεν υπάρχουν δύο ξένα µεταξύ τους ανοικτά (ή κλειστά) υποσυνόλα του τέτοια ώστε η ένωσή τους να καλύπτει το Ε Ειδικά αν το E είναι ανοικτό, τότε το E είναι συνεκτικό αν για κάθε ζεύγος σηµείων του υπάρχει συνεχής καµπύλη που τα συνδέει µένοντας εξ ολοκλήρου µέσα στο E, E ισχύει t+ ( t) E, t [,] τότε το Ε καλείται Εάν κυρτό σύνολο Γεωµετρικά ένα κυρτό σύνολο δεν έχει καθόλου «τρύπες» στο εσωτερικό του Προφανώς ένα κυρτό σύνολο είναι συνεκτικό και µάλιστα απλά συνεκτικό Ορισµός 37 Ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο καλείται χωρίο ή τόπος Ενας τόπος καλείται πολυγωνικά συνεκτικός εάν δυο οποιαδήποτε σηµεία του µπορούν να ενωθούν µε µια πολυγωνική γραµµή που βρίσκεται εξ ολοκλήρου εντός αυτού Αποδεικνύεται ότι στο κάθε τόπος είναι πολυγωνικά συνεκτικός Ορισµός 38 Ένα σύνολο E καλείται φραγµένο εάν C > : C E Ορισµός 39 Ένα κλειστό και φραγµένο σύνολο του καλείται συµπαγές Στο αποδεικνύεται ότι E συµπαγές αν και µόνον αν το E είναι κλειστό και φραγµένο Οριο-Συνέχεια µιγαδικών συναρτήσεων Ορισµός 3 Eστω f : E και είναι σηµείο συσσώρευσης του Ε θα λέµε ότι η f έχει όριο στο το µιγαδικό αριθµό a αν ε > δ = δ ε, > : Ε : < < δ f a < ε Tότε γράφουµε f = a 64

3 Πρόταση 3 Εστω f : E : f = uxy (, ) + ivxy (, ) και το σηµείο = x + iy είναι σηµείο συσσώρευσης του E Αν a= u + iv, τότε f = a ( xy, ) ( x, y) ( xy, ) ( x, y) (, ) u x y = u (, ) v x y = v Απόδειξη Εστω f = a Από τον ορισµό του ορίου έχουµε ε > δ = δ ε, > : Ε : < < δ f a < ε Εφόσον f a ( u( x, y) u ) ( v( x, y) v ) = + έχουµε uxy (, ) u uxy (, ) u + vxy (, ) v = f a < ε και vxy (, ) v uxy (, ) u + vxy (, ) v = f a < ε Αρα u( x, y) = u και (, ) εύκολο ( xy, ) ( x, y) v x y = v Το αντίστροφο είναι ( xy, ) ( x, y) Εφόσον η εύρεση ορίου στις µιγαδικές συναρτήσεις ανάγεται στην εύρεση του ορίου δύο πραγµατικών συναρτήσεων uv, : E, οι ιδιότητες του ορίου µιγαδικών συναρτήσεων είναι ίδιες µε αυτές του ορίου συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ετσι το ακόλουθο Θεώρηµα προκύπτει άµεσα από το Λογισµό συναρτήσεων πολλών µεταβλητών: Θεώρηµα 3 Εάν f = a και g = b ( ab, ), τότε: (α) f + g = a + b, f g = a b, (β) (γ) f a =, b = /, g b 65

4 (δ) f = f Ορισµός 3 Eστω f : E και είναι σηµείο συσσώρευσης του Ε θα λέµε ότι η f έχει όριο στο το αν ε > δ = δ ε, > : Ε : < < δ f > ε Tότε γράφουµε f a (ή το a = ) αν = Eπίσης θα λέµε ότι η f έχει όριο στο = το ε >, δ = δ ε, > : Ε : > δ f a < ε (ή f > ε ) Tότε γράφουµε f = a (ή f = ) Σηµείωση: (α) Πρακτικά όταν θέλουµε να υπολογίσουµε το f υπολογίζουµε το f (β) Oταν εµφανίζονται απροσδιόριστες µορφές της µορφής,,,,, εργαζόµαστε όπως στις πραγµατικές συναρτήσεις (ο κανόνας L Hospital µπορεί να εφαρµοσθεί υπό προϋποθέσεις όπως θα δούµε λίγο παρακάτω) Aυτή είναι µια µεγάλη διαφοροποίηση σε σχέση µε τα όρια συναρτήσεων πολλών µεταβλητών και σχετίζεται µε την πράξη του πολ/σµού που ορίσαµε στο και είναι αυτή που διαφοροποιεί το από το Ορισµός 3 Eστω f : E και E θα λέµε ότι η f είναι συνεχής στο αν Αν ( ) f f ( ) ε > δ = δ ε, > : Ε : < δ < ε σηµείο συσσώρευσης του Ε, τότε γράφουµε f = f ( ) 66

5 Παρατήρηση: Aν µια µιγαδική συνάρτηση f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο ενός συνόλου Ε τότε λέµε ότι η f είναι συνεχής στο Ε Πρόταση 3 Εστω f : E : f = uxy (, ) + ivxy (, ) και = x + iy είναι σηµείο του Ε Τότε η f είναι συνεχής στο αν και µόνον αν οι συναρτήσεις uxy (, ) και vxy (, ) είναι συνεχείς στο σηµείο ( x, y ) Απόδειξη Όπως η Πρόταση 3 Πρόταση 33 Εάν oι µιγαδικές συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς σε σηµείο του πεδίου ορισµού τους τότε και οι af ± bg ( a, b ), f g, f / g ( g ) είναι επίσης συνεχείς στο είναι συνεχής σε σηµείο E g: f E f τότε και η σύνθεση αυτών f g είναι συνεχής (β) Αν η f : E f ( E) είναι συνεχής στο σηµείο ( ) στο και η Πρόταση 34 Εστω E είναι συνεκτικό (ή συµπαγές) σύνολο και f : E f ( E) είναι συνεχής στο Ε Τότε το σύνολο f ( E ) είναι επίσης συνεκτικό (ή συµπαγές) Με βάση τα παραπάνω προκύπτει ότι οι πολυωνυµικές, οι τριγωνοµετρικές, οι υπερβολικές, και η εκθετική συνάρτηση e είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους Για τη λογαριθµική συνάρτηση όµως τα πράγµατα δεν είναι τόσο απλά διότι στον ορισµό της υπεισέρχεται η συνάρτηση Arg ( ) η οποία δεν είναι καλά ορισµένη στο = και όχι µόνο Αποδεικνύεται η ακόλουθη Πρόταση 35 Η συνάρτηση Arg : { } ( π, π ] σύνολο είναι συνεχής στο { : Re, Im } * = =, 67

6 δηλαδή είναι ασυνεχής στον αρνητικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών Η πρόταση αυτή έχει άµεσες επιπτώσεις όσον αφορά τη συνέχεια συναρτήσεων log, a, κλπ Για παράδειγµα ας θεωρήσουµε την όπως είναι οι πλειονότιµη συνάρτηση log( ) Από τον ορισµό της παρατηρούµε ότι κάθε κλάδος της αλλάζει τύπο µόνον κατά µήκος του αρνητικού ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών, άρα εκεί είναι λογικό να µην είναι συνεχής Λέµε τότε ότι σ αυτόν τον ηµιάξονα έχουµε µια κλαδική γραµµή και το σηµείο = που δεν ορίζεται log( ) για κάθε κλάδο της καλείται κλαδικό σηµείο Υστερα από τα παραπάνω µπορούµε να συµπεράνουµε το εξής: Eστω Arg ( π, π ] log( ),, a Kάθε κλάδος των συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση επί του συνόλου * { : Re, Im } = = και είναι ασυνεχής στον αρνητικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών Σηµείωση: Aν log l iarg, Arg (, k ] θ = + θ θ θ θ + π, τότε η συνάρτηση αυτή είναι ασυνεχής πάνω στην ηµιευθεία : R e iθ =, R> { } Ακολουθίες και σειρές µιγαδικών αριθµών Ορισµός 33 Κάθε συνάρτηση a : καλείται ακολουθία µιγαδικών αριθµών Συνήθως συµβολίζουµε του όρους µιας ακολουθίας µιγαδικών αριθµών ως όπου { }, { } = x, + iy x y είναι ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Ισχύει δε η ακόλουθη: 68

7 Πρόταση 36 Έστω x iy ( ) =, + είναι µια ακολoυθία µιγαδικών αριθµών όπως παραπάνω Αν = x + iy, τότε ισχύει: = x = x και y = y H Πρόταση 36 ανάγει την εύρεση ορίου µιας ακολουθίας µιγαδικών αριθµών στην εύρεση ορίων πραγµατικών ακολουθιών Κατά συνέπεια οι ιδιότητες του ορίου µιγαδικών ακολουθιών είναι συνέπεια των ιδιοτήτων του ορίου πραγµατικών ακολουθιών Ορισµός 34 Έστω { : } Ορίζουµε µια νέα ακολουθία Αν η ακολουθία N καλείται σειρά και γράφουµε Αν είναι µια ακολουθία µιγαδικών αριθµών S N N = = S συγκλίνει σ ένα µιγαδικό αριθµό S N, τότε ο S S = = < θα λέµε συµβατικά ότι η σειρά συγκλίνει στο S Αν µια σειρά δε = συγκλίνει θα λέµε ότι αποκλίνει Tα κριτήρια για τη σύγκλιση πραγµατικών σειρών µεταφέρονται και στη σύγκλιση σειρών µιγαδικών αριθµών, διότι αν = x + iy, ( x, y ) τότε x iy x = ( + ) < < και = = = y < = Πράγµατι ισχύει Πρόταση 37 (α) Κριτήριο λόγου Έστω η σειρά + = λ <, τότε < = + = λ >, τότε η σειρά αποκλίνει µε { } = Αν 69

8 (β) Κριτήριο ρίζας (Cauchy) Έστω η σειρά = λ <, τότε η σειρά < = = λ >, τότε η σειρά αποκλίνει µε { } = Αν Παραγωγισιµότητα Ολόµορφες Συναρτήσεις Ορισµός 35 Έστω f : E όπου E είναι ανοικτό υποσύνολο του και E Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο αν υπάρχει το όριο f f = λ Καλούµε το παραπάνω όριο παράγωγο της f στο και το συµβολίζουµε ως df ( ) f ή d Σηµείωση: Tο παραπάνω όριο λαµβάνεται καθώς το µε οποιονδήποτε τρόπο (θυµηθείτε τα όρια συναρτήσεων πολλών µεταβλητών) Ορισµός 36 Εστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του Θα λέµε ότι µια µιγαδική συνάρτηση f : E είναι ολόµορφη (ή αναλυτική) σε σηµείο E αν υπάρχει ε > έτσι ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη για όλα τα σηµεία που ανήκουν στον ανοικτό δίσκο Dε ( ) µε κέντρο το και ακτίνα ε Αν η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο του E τότε θα λέµε ότι η f είναι ολόµορφη στο E Παρατήρηση: (α) Θα λέµε ότι µια µιγαδική συνάρτηση f είναι ολόµορφη σε µη ανοικτό σύνολο B αν η f είναι ολόµορφη σε κάποιο ανοικτό σύνολο E που περιέχει το B (β) Αν η f είναι ολόµορφη σ ολόκληρο το τότε καλείται ακεραία 7

9 Θεώρηµα 3 Αν µια µιγαδική συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο, τότε η f είναι συνεχής στο Απόδειξη Για κάθε έχουµε Παίρνοντας όρια έχουµε = f f f f ( ) f f ( f f( )) = ( ) = f ( ) = Σηµείωση Το αντίστροφο δεν ισχύει Οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης εφαρµόζονται στις µιγαδικές συναρτήσεις Θεώρηµα 33 Εστω f, g είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις σε σηµείο Τότε Η af bg, ( a, b ) ± είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ± = ± ( af bg ) ( ) af ( ) bg ( ) Η f g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει = + ( f g) ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) Αν g ( ) τότε η f / g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει f f g f g ( ) = g g Απόδειξη Όπως στις πραγµατικές συναρτήσεις Θεώρηµα 34 (κανόνας αλυσίδας) Εστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, f : E f ( E) είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο και g: f ( E) είναι παραγωγίσιµη στο f ( ) Τότε και η σύνθεση g f είναι παραγωγίσιµη 7

10 στο και ισχύει = g f g f f Θεώρηµα 35 (αντίστροφης συνάρτησης) Εστω w= f είναι ολόµορφη σε σηµείο µε f ( ) Τότε υπάρχει µια ανοικτή περιοχή και µια ανοικτή περιοχή W του σηµείου w = f ( ) έτσι ώστε V του σηµείου η f : V W είναι -, η αντίστροφη συνάρτηση ολόµορφη στο f ( ) και ισχύει ( f ) ( w ) = f ( ) : f W V είναι Σηµείωση: To παραπάνω Θεώρηµα µας επιτρέπει να βρούµε την παράγωγο αντίστροφης συνάρτησης «τοπικά» To ακόλουθο Θεώρηµα γνωστό και ως Θεώρηµα Cauchy-Riema είναι πολύ σηµαντικό διότι συνδέει τη µιγαδική παράγωγο µε τη διαφορισιµότητα της f ( θεωρώντας την f ως διανυσµατικό πεδίο στο ) Θεώρηµα 36 (Εξισώσεις Cauchy-Riema) Έστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, = x + iy είναι σηµείο του E και Τότε η f είναι παραγωγίσιµη στο f : E : f = u x, y + iv x, y (δηλ υπάρχει η f ) αν και µόνον αν οι u( x, y ) και v( x, y ) είναι διαφορίσιµες στο σηµείο (, ) ux x, y = vy x, y uy x, y = vx x, y Οι παραπάνω εξισώσεις καλούνται εξισώσεις Cauchy-Riema x y και Απόδειξη: Eστω f είναι παραγωγίσιµη στο = x + iy Τότε υπάρχει το όριο f f f ( ), όταν µε οποιονδήποτε τρόπο Ας επιλέξουµε 7

11 f = x + iy Τότε όταν y y και έχουµε: ( ) f f( ) u x, y u x, y v x, y v x, y = = + y y i y y y y ( ) u x, y u x, y v x, y v x, y = i + y y y y y y y y y (, ) (, ) = v x y i u x y y Oµοίως αν επιλέξουµε = x+ iy, τότε όταν x x και έχουµε (, ) (, ) (, ) (, ) f f( ) u x y u x y v x y v x y = = + f i x x x x x x x (, ) (, ) = u x y + i v x y x Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη των παραπάνω έχουµε άρα x (, ) + (, ) = v ( x, y ) i u ( x, y ) u x y i v x y x x y y (, ) = (, ) και u ( x, y ) v ( x, y ) u x y v x y y y = x Eύκολα τώρα συνάγουµε τις ισότητες: f ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) u x y + iv x y = f x y x x x = iuy x y + vy x y = i f y x y (3) Απ την άλλη µεριά προφανώς ισχύει f f ( ) ( ) f f f f = = Ας θεωρήσουµε τώρα την f ως πεδίο f ( xy, ) uxy (, ), vxy (, ) γράφοντας f ( ) f ( x, y ) u ( x, y ), v ( x, y ) x x x = Τότε = = (βλέπε παραπάνω) η 73

12 παραπάνω ισότητα γίνεται ( xy, ) x, y ( x( )( ) x( )( ) ) (, ) (, ) ( x(, )( ) + x(, )( ) ) ( xy, ) ( x, y) u( x, y) u( x, y ) u x, y x x v x, y y y v x y v x y v x y x x u x y y y = όπου δηλώνει το µέτρο στον ( xy, ) x, y Αρα ux( x y) vx( x y) vx( x y) ux( x y) ( xy, ) ( x, y) uxy (, ) ux (, y),, x x v( x, y ) v( x, y ),, y y = και εφόσον ισχύουν οι εξισώσεις Cauchy-Riema έχουµε ( xy, ) x, y (, ) ux (, y) x(, ) y(, ) (, ) v( x, y ) x(, ) y(, ) ( xy, ) ( x, y) uxy u x y u x y x x v x y v x y v x y y y = όπου P ( xy, ), P ( x, y) f( P) f( P) J f P P P =, (3) P P P P = = και f (, ) J x y (, ) y(, ) (, ) (, ) ux x y u x y = vx x y vy x y είναι ο Ιακωβιανός πίνακας της f στο P ( x, y ) = Αντίστροφα έστω ότι η f είναι διαφορίσιµη στο P ( x, y ) εξισώσεις Cauchy-Riema Tότε = και ισχύουν οι f( P) f( P) J f P P P = P P P P 74

13 και από την (3) ακολουθούµε την αντίστροφη πορεία καταλήγοντας στην f f ( ux( x y) ivx( x y) ), +, = Άρα f f = ux x, y + ivx x, y = f Σηµείωση: (α) Ένα κριτήριο για να ελέγχουµε εύκολα αν µια µιγαδική συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο προκύπτει από γνωστό Θεώρηµα του Λογισµού συναρτήσεων πολλών µεταβλητών το οποίο δίνει µια ικανή συνθήκη διαφορισιµότητας µέσω της συνέχειας των µερικών παραγώγων Χρησιµοποιώντας αυτό το Θεώρηµα έχουµε: Aν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι ux, uy, vx, v y, είναι συνεχείς σε µια x, y και ισχύει περιοχή του σηµείου (, ) y(, ) (, ) = (, ) ux x y = v x y uy x y v x y x, τότε υπάρχει η µιγαδική παράγωγος f ( ) (β) Προφανώς αν η f ( xy, )= uxy (, ) + ivxy (, ) ορίζεται σε ανοικτό υποσύνολο E του και αν οι συναρτήσεις uxy (, ) και vxy (, ) έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους που ικανοποιούν τις συναρτήσεις Cauchy - Riema σε κάθε σηµείο του E, τότε η f είναι ολόµορφη στο E (γ) Από το Θεώρηµα Cauchy-Riema γίνεται σαφές ότι η µιγαδική παράγωγος είναι ισχυρότερη έννοια από τη διαφορισιµότητα Από γεωµετρικής σκοπιάς, αν f ( ), τότε «τοπικά» στο έχουµε + ( ) f f f οπότε η εικόνα µέσω της f χωρίου E «τοπικά» στο περιγράφεται «ικανοποιητικά» µέσω µιας γραµµικής απεικόνισης, ως µια διαστολή κατά f ( ), περιστροφή κατά Arg f ( ) και παράλληλη µεταφορά κατά f ( ) 75

14 Με άλλα λόγια η f διατηρεί τις γωνίες οποιονδήποτε δυο καµπύλων που διέρχονται από το Είναι όπως λέµε µια σύµµορφη απεικόνιση στο (δ) Εστω f σε µια ε ανοικτή περιοχή Dε ( ) του Τότε η f είναι - επί της Dε ( ), διότι η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι διάφορη του µηδενός Πράγµατι: Dε ux uy ux vx J f = = = ux + vx = f v v v u x y x x Πρόταση 38 Έστω : κάθε Eτότε η f είναι σταθερή στο Ε = για f E είναι ολόµορφη σε τόπο Ε Αν f Πρόταση 39 (Κανόνας L Hospital) Έστω f, g είναι παραγωγίσιµες στο µε f = g = Αν g ( ), τότε ( ) f f = g g Απόδειξη: f f f f f ( ) f = = = g g g( ) g g( ) g Παρατήρηση: Εστω f ολόµορφη σε σηµείο Αν υπάρχει η ( f ) ( ) (που πάντα υπάρχει όπως θα δούµε στο επόµενο Κεφάλαιο) τότε λέµε ότι υπάρχει η f ( ) Με τον τρόπο αυτό πρoφανώς µπορούµε να ορίσουµε d f παραγώγους ανώτερης τάξης Γράφουµε δε f ( ) = Επίσης το d διαφορικό µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f στο ορίζεται ως συνήθως df = f = f d d = = x x + i y y = dx + i dy Ισχύει δε όπου 76

15 f = f f f d, Παραγώγιση βασικών συναρτήσεων Πρόταση 3 Η εκθετική συνάρτηση { } ολόµορφη στο και ικανοποιεί την σχέση f = e f : : f= e είναι x Απόδειξη Εχουµε f = e( συν y+ iηµ y)= uxy (, ) + ivxy (, ), όπου = x+ iy, uxy (, )= e x συν y και vxy (, )= e x ηµ y Παρατηρούµε ότι ισχύουν οι x x εξισώσεις Cauchy-Riema διότι ux = e συν y = vy και uy = eηµ y= vx Επειδή δε οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς συµπεραίνουµε ότι η εκθετική συνάρτηση είναι ολόµορφη και f = f = u + iv = u+ iv= e x x x Πρόταση 3 Η συνάρτηση Log ( ) είναι ολόµορφη επί του συνόλου και Log * { x iy: x, y }, Arg ( π, π ] = + = = Το ίδιο ισχύει για οποιοδήποτε άλλο κλάδο της Απόδειξη: Eίναι γνωστό ότι η Log ( ) είναι συνεχής µόνον επί του * (βλέπε συνέχεια παραπάνω) και επιπρόσθετα είναι αντίστροφη της εκθετικής e στον πρωτεύοντα (όπως και σε άλλο κλάδο της) Από το Θεώρηµα παραγώγισης * αντίστροφης συνάρτησης και λαµβάνοντας υπόψην ότι ( e ) = e w και w= Log = e έχουµε ( Log ) = = w = e w ( e ) Πρόταση 3 Οι συναρτήσεις ηµ και συν είναι ολόµορφες στο (δηλαδή ακεραίες) και ( ηµ ) = συν όπως και ( ) Απόδειξη Εύκολη συν = ηµ 77

16 Παρατήρηση: Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση f = a + a + + a + a ( a ), i είναι ακεραία συνάρτηση και ισχύει Κάθε ρητή συνάρτηση f = a + ( ) a + + a a + a + + a + a m m b m + bm + + b + b στο εκτός των σηµείων που µηδενίζεται ο παρονοµαστής H συνάρτηση είναι ολόµορφη a είναι ακεραία υπό την προϋπόθεση ότι έχουµε επιλέξει συγκεκριµένο κλάδο του = log a Τότε ( a ) a log( a) H συνάρτηση της a είναι ολόµορφη στο a a log Τότε = a * (βλέπε (3)) για κάθε κλάδο H συνάρτηση { } log Τότε της είναι ολόµορφη στο = * για κάθε κλάδο Γενικά οι τύποι των παραγώγων όλων των γνωστών πραγµατικών συναρτήσεων ισχύουν για τις αντίστοιχες µιγαδικές συναρτήσεις υπό την προϋπόθεση να γνωρίζουµε το πεδίο όπου αυτές είναι ολόµορφες 78

17 Λυµένες Ασκήσεις Να υπολογισθούν τα όρια: (α) ( 5 ) + i +, (β) i i ( ), (γ) , (δ) ηµ, (ε) ηµ, (στ) Λύση (α) 5+ = + i 5 + i + = i 5 5i+ = 5 3i + i (β) i i ( ) = (γ) Β τρόπος: Iσχύει = = 3,, k, 4 k = = f = f = = = = (δ) Επειδή το όριο είναι της µορφής / χρησιµοποιούµε τον κανόνα L Hospital και έχουµε ηµ συν = = = 79

18 (ε) Για = x, x έχουµε ηµ x + =, x + ηµ ηµ x x x = = x x ηµ x, x = x x Αρα το όριο δεν υπάρχει (στ) Αν και έχουµε / η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιµη στο (βλέπε παρακάτω), άρα ο κανόνας L Hospital δεν µπορεί να εφαρµοσθεί Εστω = + iy, y Τότε και έχουµε Απ την άλλη µεριά αν Αρα το όριο δεν υπάρχει iy = = ( ) = y + iy y = + x, x, τότε πάλι αλλά + x = = () = x + x x (α) Αν f = + 3 (στον πρωτεύον κλάδο της f όπου να υπολογίσετε το (β) Αν f = log( συν ) (στον πρωτεύον κλάδο της f όπου () υπολογίσετε το συν f = 3) f = να f = + 3 είναι πλειονότιµη συνάρτηση Από τη Θεωρία Λύση (α) Η γνωρίζουµε ότι κάθε κλάδος της ( Arg ( π, π ] συνάρτηση στο σύνολο { x iy: x, y } * = + = ) είναι ολόµορφη Συνεπώς κάθε κλάδος της 3 + είναι ολόµορφη στο σύνολο 8

19 { x iy : Re ( 3 ), Im ( 3 ) } = ή ισοδύναµα στο { x iy : x, y 3} + = Αρα η f είναι ολόµορφη στο = (σε κάθε συγκεκριµένο κλάδο της) f = 3 για το όριο µας (είναι της µορφής /) µπορούµε να εφαρµόσουµε L Hospital και παίρνουµε = + 3 = Λαµβάνοντας υπόψη τον κλάδο που αντιστοιχεί στην τιµή (β) Γράφουµε log ( συν ) συν = e και παρατηρούµε ότι είναι πλειονότιµη συνάρτηση λόγω της παρουσίας του λογάριθµου Επειδή κάθε κλάδος του λογάριθµου είναι ολόµορφη συνάρτηση στο σύνολο κάθε κλάδος της f log( συν ) { x iy: x, y } * = = + =, = είναι ολόµορφη συνάρτηση στο σύνολο { = x+ iy: Re( συν ), Im( συν ) = }, ( Arg ( π, π ] Εφόσον Re( συν ) = συν x cosh y και Im ) συν = ηµ x sih y, το παραπάνω σύνολο µετά από στοιχειώδεις πράξεις γράφεται ισοδύναµα ως x iy: x k π π = + π +, ( k + ) π +, y=, k { x iy: x kπ π, y, k } = + = + = είναι ολόµορφη στο = (σε κάθε συγκεκριµένο κλάδο της) Λαµβάνοντας υπόψη τον κλάδο που αντιστοιχεί στην τιµή f () = (πρωτεύον κλάδος) και επειδή το όριο µας είναι της µορφής έχουµε Αρα η f log( συν ) 8

20 Log( συν ) Log συν e e ( συν ) = = Εφόσον η f είναι ολόµορφη στο = εφαρµόζουµε τον κανόνα L Hospital και έχουµε Log ( Log( συν ) συν ) ( ηµ ) εφ = = συν = εφ = = = συν = e συν 3 είξτε ότι η f = είναι συνεχής στο Λύση Εχουµε f = = x iy Αρα f ( uv, ) ( x, y) συναρτήσεις u( x, y) = x, v( x, y) = y είναι συνεχείς στο = = Εφόσον οι ως πολυωνυµικές από την Πρόταση 3 προκύπτει ότι η f = είναι συνεχής στο 4 Να υπολογισθούν τα όρια των ακολουθιών: (α) + 3 i +, (β) + i +, (γ) ( i ) +, (δ) + i (για κάθε τιµή της δύναµης), (ε) i i + 3i ( i )( i) i , Λύση (α) = i = i = ( + ) Αρα i =, (διότι a + 3 = a = )

21 (β) πi iπ + i 4 4 = e = e Εφόσον ( ) e iπ 4 x = / ( + ) (διότι = = ) το / x + x x + x / ζητούµενο όριο ισούται µε µηδέν (γ) Παρατηρούµε ότι i i = 4k + = 4k + =, k Αρα i = 4k + 3 = 4k = +, συνεπώς ( i ) + i = (δ) i ( ) i kπ log i + + = e = e = e = + + (ε) + i i + 3i i = = 4i 3 i + 4i 3 i 5 (α) Να δειχθεί ότι i 3i i ( + i 3) < / = 5 (β) i i i 9+ 3i = Λύση (α) Εφαρµόζουµε το κριτήριο ρίζας και έχουµε 83

22 ( i ) i 3 = = <, / άρα η σειρά συγκλίνει i i i i i (β) = = = = i = 3 i 3 6 Να ευρεθεί το σύνολο όπου οι συναρτήσεις (α) e e, (β) ( e ) ηµ, (γ) συν, (δ) e, (ε) i +, είναι ολόµορφες και στη συνέχεια να υπολογισθεί η παράγωγος αυτών Λύση (α) Εφόσον η συνάρτηση e είναι ακεραία (δηλαδή ολόµορφη στο ) και η σύνθετη ζ e ζ = e w= e = e θα είναι επίσης ακεραία Από τον κανόνα αλυσίδας έχουµε = e e e e e e e = e e = e + (β) Εφόσον η e, ηµ είναι ακεραίες (δηλαδή ολόµορφες στο, βλέπε Προτάσεις 3 και 3) και η σύνθετη συνάρτηση ζ = e w= ηµζ = ηµ e θα είναι επίσης ακεραία Από τον κανόνα αλυσίδας έχουµε (γ) Έστω = x+ iy Τότε ( ηµ ) = συν συν e e e = e e ( ) = ( x iy) = x ( iy) + x ( iy) συν συν συν συν ηµ ηµ e + e e e = συν x + ηµ x i i y i y i y i y 84

23 e + e e e = συν x i ηµ x y y y y = συν x cosh y+ i ηµ x sih y, άρα u x, y = συν x coshy v x, y = ηµ x sihy Μελετούµε τις εξισώσεις Cauchy-Riema (Θεώρηµα 36) Εχουµε ux = ηµ x cosh y, uy = συν x sih y vx = συν x sih y, vy = ηµ x cosh y Οι παραπάνω µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στο αλλά οι ισότητες ux = vy και uy = vx εύκολα βλέπουµε ότι ικανοποιούνται µόνον για x= kπ ( k ), y= Αρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη ΜΟΝΟΝ στο σηµείο k = kπ, συνεπώς ΕΝ είναι ολόµορφη σε κανένα σηµείο του (διότι δεν υπάρχει ε-ανοικτός δίσκος Dε ( ) κανενός σηµείου k ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη ΓΙΑ ΚΑΘΕ σηµείου του δίσκου αυτού (βλέπε Ορισµό 36) (δ) Η συνάρτηση e είναι ακεραία, άρα είναι ολόµορφη στο e = = Η παράγωγος της συνάρτησης είναι { : e } { kπi: k } e = e ( e ) (παραγώγιση πηλίκου) i+ ( + i) log (ε) Κάθε κλάδος της συνάρτησης = e είναι ολόµορφη στο σύνολο όπου ο αντίστοιχος κλάδου του λογάριθµου είναι ολόµορφη συνάρτηση, δηλαδή x+ iy: x, y= Η παράγωγος αυτής είναι στο σύνολο { } i ( ) ( ) i + = + i 7 Να ευρεθεί το σύνολο όπου οι συναρτήσεις 85

24 (α) e +, (β) ( ) συν, (γ) log, είναι ολόµορφες και στη συνέχεια να υπολογισθεί η παράγωγος αυτών Λύση (α) Η + είναι ολόµορφη στο { } και η e είναι ακεραία, Από τον κανόνα αλυσίδας άρα η σύνθεση αυτών είναι ολόµορφη στο { } έχουµε e = e + = e log( ) (β) Για κάθε κλάδο της πλειονότιµης συνάρτησης = e έχουµε ότι η είναι ολόµορφη στο σύνολο { x+ iy: x, y= } λόγω της παρουσίας του λογάριθµου (βλέπε Πρόταση 3) Απ την άλλη µεριά η συν είναι ακεραία, άρα η σύνθεσή τους είναι ολόµορφη στο { x+ iy: x, y= } Για κάθε κλάδο της ρίζας έχουµε ( συν ) ηµ ( ) ηµ = = (γ) Επειδή κάθε κλάδος του λογάριθµου είναι ολόµορφη συνάρτηση στο σύνολο κάθε κλάδος της f log( ) { x iy: x, y } * = = + =, = είναι ολόµορφη συνάρτηση στο σύνολο { x iy : Re( ), Im ( ) } = + = Im = xy το παραπάνω σύνολο µετά από στοιχειώδεις πράξεις γράφεται ισοδύναµα ως Εφόσον Re( ) = x y και ( ) Αρα η f log( ) { x iy: x, y } = + = = είναι ολόµορφη σε όλο το αν εξαιρέσουµε τα σηµεία 86

25 του άξονα των φανταστικών αριθµών Τότε f = 8 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f = είναι παραγωγίσιµη µόνο στο = και εποµένως δεν είναι ολόµορφη σε κανένα σηµείο του Λύση Προφανώς f = = x + y, όπου = x+ iy Αρα αν f = u x y + iv x y τότε (, ) (, ) (, ) v( x y) u x y = x + y, = Μελετούµε τις εξισώσεις Cauchy-Riema (Θεώρηµα 36) Εχουµε ux = x, uy = y vx =, vy = Οι παραπάνω µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στο αλλά οι εξισώσεις Cauchy-Riema ux = vy και uy = vx ικανοποιούνται µόνον για x = y = Αρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη ΜΟΝΟΝ στο σηµείο =, συνεπώς ΕΝ είναι ολόµορφη σε κανένα σηµείο του (διότι δεν υπάρχει ε-ανοικτός δίσκος Dε ( ) κανενός σηµείου ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη ΓΙΑ ΚΑΘΕ σηµείου του δίσκου αυτού 9 Να δείξετε ότι αν f, σταθερά στον τόπο D f είναι ολόµορφες σε τόπο D, τότε η f είναι Λύση Εστω f ( xy, ) uxy (, ) ivxy (, ) = + Αφού οι f, τόπο D τότε θα ισχύουν οι εξισώσεις Cauchy-Riema f είναι ολόµορφες σε Για την f : ux = vy και uy vx = για κάθε ( x, y) Για την f = u iv: ux = vy και uy vx D, = για κάθε ( x, y) D Συνδυάζοντας τις παραπάνω προκύπτει εύκολα ότι u = u = v = v = για κάθε ( x, y) x y x y D Αρα ενθυµούµενοι τον τύπο f = fx = ify (σχέση 3) και την 87

26 Πρόταση 38 παίρνουµε το ζητούµενο Eξετάστε τα σηµεία όπου η συνάρτηση f = x y+ ix έχει παράγωγο Βρείτε όλα τα σηµεία όπου η f είναι ολόµορφη Λύση Μελετούµε τις εξισώσεις Cauchy-Riema και έχουµε ux = xy, uy = x vx =, vy = Οι παραπάνω µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στο και έχουµε ux = vy xy =, ( xy, ), αδύνατη uy = vx x = Αρα η f δεν είναι παραγωγίσιµη (κατ επέκταση και µη ολόµορφη) πουθενά στο i (Εξισώσεις Cauchy-Riema σε πολικές συντ/νες) Eστω = ρe θ και f = f ( ρ, θ) = u( ρ, θ) + iv( ρ, θ) ( ρ ) είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο Να δείξετε ότι uρ = vθ ρ ρ uθ = ρ vρ Λύση Είναι γνωστό ότι du = uρdρ + uθdθ Χρησιµοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας παίρνουµε x y u = u + u x ρ θ ux uρρx uθθ = + x ρ x + y uy = uρρy + uθθy y x uy = uρ + uθ ρ x + y 88

27 ηµθ ux = uρ συνθ uθ ρ συνθ uy = uρ ηµθ + uθ ρ Παρόµοιες σχέσεις παίρνουµε για τις vx, v y Εφόσον η f είναι παραγωγίσιµη στο ισχύουν οι εξισώσεις Cauchy-Riema ηµθ συνθ = ux vy uρ συνθ uθ vρ ηµθ vθ ρ + ρ = συνθ ηµθ = uy + vx uρ ηµθ + uθ + vρ συνθ vθ = ρ ρ vθ uθ uρ συνθ vρ ηµθ ρ = + ρ uθ vθ vρ + συνθ = uρ ηµθ ρ ρ Eπειδή οι παραπάνω ισότητες ισχύουν για κάθε τιµή του θ αναγκαστικά οι συντελεστές µηδενίζονται και παίρνουµε το ζητούµενο Αλυτες ασκήσεις Να υπολογισθούν τα όρια: (α) e 4, (β) ( ), (γ) e π i , (δ), (ε) i 6 + +, (στ) + Λύση (α), (β), (γ) 3 i 3, (δ) εν υπάρχει, (ε) 8 8 3, (στ) 89

28 (α) είξτε ότι το e δεν υπάρχει Τι µπορούµε να πούµε για το e ; (β) Αν log() = δείξτε ότι ( ) + = e 3 είξτε ότι η συνάρτηση f = είναι συνεχής στο Οµοίως για τη συνάρτηση f = + 4 Σε ποιο σύνολο είναι συνεχής η συνάρτηση f Aπάντ { kπi: k } = ; e 5 Να υπολογισθούν τα όρια των ακολουθιών: i (α) + + 3i +, (β) ( + i + i) ( ) + =, (γ) + ( + i), (δ) + i + (για κάθε τιµή της δύναµης) i Απάντ (α) i, (β), (γ), (δ) 6 Για ποιες τιµές του συγκλίνει η ακολουθία a = ; Aπάντ < (Κριτήριο D Alembert για ακολουθίες) 7 Να ευρεθεί το σύνολο όπου οι συναρτήσεις (α), (β) 3, (γ) +, (δ) +, (ε) 3, είναι ολόµορφες και στη συνέχεια να υπολογισθεί η παράγωγος αυτών 9

29 , Απάντ (α) {} {, i}, ( + ) kπi 3, (β) e : k =,,, -3 3 ( ), (γ) - ±, (δ) Μη ολόµορφη, (ε) ακεραία, log( 3) 3 σε κάθε καθορισµένο κλάδο του λογάριθµου 8 Να ευρεθεί το σύνολο όπου οι συναρτήσεις (α) 3 +, (β) ( ) ηµ, (γ), είναι ολόµορφες και στη συνέχεια να υπολογισθεί η παράγωγος αυτών Απάντ (α) Eίναι ολόµορφη στο σύνολο { x + iy : x, y = } x + iy : x, y = 3 x x + iy : x, y = 3x 3 3 και ( + ) = 3 + και ηµ ( ) (β) { x+ iy: x, y= } ( ) συν =, (c) { x+ iy: x, y= } και log = 9 (α) Αν f = u+ iv είναι ολόµορφη σε τόπο D και αν au + bv = c, όπου abc,, σταθερές όχι όλες µηδέν να δείξετε ότι η f είναι σταθερά στον τόπο D (β) Αν f είναι ολόµορφη σε τόπο D και f = c να δείξετε ότι η f είναι σταθερά στον τόπο D ( + ) (γ) Αν f είναι ολόµορφη σε τόπο D και f δείξετε ότι η f είναι πολυώνυµο βαθµού = για κάθε D να 9

30 Αν f u iv δείξετε ότι η f είναι σταθερά στον τόπο D = + είναι ολόµορφη σε τόπο D και αν 3 είξτε ότι η συνάρτηση Cauchy-Riema στο, Re u = D, να 3, f = ικανοποιεί τις εξισώσεις = = αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο Να βρεθούν όλες τις ακεραίες συναρτήσεις της µορφής f = u x + iv y, x, y, = x+ iy Απάντ f = ( ax + b) + i( ay + c), a, b, c 9

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( ) 4 Μιαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµοές Καµπύλες στο Μιαδικό επίπεδο Oρισµός 4 Αν, :[, ] xy a είναι συνεχείς πραµατικές συναρτήσεις τότε κάθε απεικόνιση :[ a, ] : t = x t + iy t, καλείται (προσανατολισµένη)

Διαβάστε περισσότερα

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3)

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3) 4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση την σχέση e, ή exp( ) όπως εναλλακτικά συμβολίζεται, ορίζεται από x e = e (os y+ isin y) (0.) όπου = x + iy. Όταν = iy τότε ο ανωτέρω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Μιγαδική Ανάλυση. Ορισµός 5.1. Το σύνολο {( x, y) : x, y } όλων των διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών εφοδιασµένο µε τις πράξεις

Κεφάλαιο 5. Μιγαδική Ανάλυση. Ορισµός 5.1. Το σύνολο {( x, y) : x, y } όλων των διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών εφοδιασµένο µε τις πράξεις Κεφάλαιο 5 Μιαδική Ανάλυση 5 Μιαδικοί αριθµοί Ορισµός 5 Το σύνολο {( x, y) : x, y } όλων των διατεταµένων ζευών πραµατικών αριθµών εφοδιασµένο µε τις πράξεις ( x, y ) + ( x, y ) = ( x + x, y + y ) (Πρόσθεση),

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2

( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγματικό μέρος uxy (, ) = ycosxκαι φανταστικό μέρος vxy (, ) = y sinx, όπου = x+ iy

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΔΙΑΔΑΧΘΕΙΣΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Το μιγαδικό επίπεδο Στο μιγαδικό αριθμό = x + iy αντιστοιχούμε το σημείο ( xy, ) ενός καρτεσιανού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1 76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι)

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ KΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισµοί Ας θεωρήσουµε δύο σύνολα Α, Β Μία απεικόνιση f : A B καλείται συνάρτηση αν σε κάθε στοιχείο A αντιστοιχεί ένα και µόνο ένα στοιχείο y B Το σύνολο Α καλείται πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

w = f(z) = z + i C(0,4) 2πi z 2 (z 2) 3 dz = 1 8. f(z) = (z 2 + 1)(z + i). e z 1 e z 1 = 3 cos 2θ

w = f(z) = z + i C(0,4) 2πi z 2 (z 2) 3 dz = 1 8. f(z) = (z 2 + 1)(z + i). e z 1 e z 1 = 3 cos 2θ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β Θ. (αʹ) Εστω ο μετασχηματισμός w f() + i i, C, i. 6 Μαρτίου, 25 Δείξτε ότι η w f() απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση : 1 λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c,

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c, Σύγχρονο www.asma.ro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο sit του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 5

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f () = uy (, ) + vy (, ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο = + y αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ) Οι πρώτες μερικές παράγωγοι u( y,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κριτήριο Παρεμβολής. και. άρα από το παραπάνω κριτήριο παρεµβολής το l im f ( x) (x 1) 2 f (x) 2x (x 1) 2 2x (x 1) 2 f (x) 2x + (x 1) 2

Κριτήριο Παρεμβολής. και. άρα από το παραπάνω κριτήριο παρεµβολής το l im f ( x) (x 1) 2 f (x) 2x (x 1) 2 2x (x 1) 2 f (x) 2x + (x 1) 2 Κριτήριο Παρεμβολής Υποθέτουµε ότι κοντά στο µια συνάρτηση f εγκλωβίζεται ανάµεσα σε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το τείνει στο, οι g και h έχουν κοινό όριο l, τότε όπως φαίνεται και στο σχήµα, η

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγµατικής συνάρτησης Συντοµογραφία συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις. Ορισµός Έστω Α υποσύνολο του R (αυτό το R ας το πούµε R ) Συνάρτηση :Α R λέγεται µια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) A. Εύρεση Πεδίου Τιµών Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = 4+, [ 1,4] Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης. Η λογική για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: z r(cosϑ + isi ϑ) Τότε z r (cos ϑ + isi ϑ ) Ν-οστή ρίζα µιγαδικού / ϑ + π ϑ+ π z r cos + isi όπου 0,,,, Συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα