МАТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ ДВЕ РАНОХРИШЋАНСКЕ ЦРКВЕ У СРБИЈИ
|
|
- Φίλομενης Γαλάνης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 59 ( ) Оригинални научни рад УДК :726.54(497.11) МАТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ ДВЕ РАНОХРИШЋАНСКЕ ЦРКВЕ У СРБИЈИ Милутин Тадић* 1, Гордана Гаврић** *Универзитет у Београду Географски факултет ** Завод за заштиту споменика културе - Краљево Извод: Међу многим сакралним средњовековним грађевинама бројне су оне које су подигнуте на старим култним местима. У случајевима када средњовековним црквама претходе ранохришћанске, занимљиво је пратити разлике или подударности у њиховим оријентацијама. Да би се таквим анализама приступило систематично, неопходно је поћи од анализе оријентација уздужних оса појединих ранохришћанских базилика. За ову прилику изабрали смо две, једну у долини реке Градац код Ваљева (6. век) и другу под самим врхом Копаоника, на Небеским столицама (5/6 век). Предмет овог рада је, дакле, егзактна анализа оријентација наведених објеката. Црква у долини реке Градац је са доста тачности оријентисана у правцу запад-исток, са олтаром на истоку, наравно. Пошто је смештена на каменом гребену, са потупуно заклоњеним источним и западним делом хоризонта, градитељ се приликом постављања темеља није могао управљати према изласку или заласку сунца, већ је морао познавати егзактне методе оријентације. Уздужна оса базилике на Небеским столицама, на Копоанику, усмерена је доста тачно ка тачки изласка сунца летњег солстицијума. Пошто се налази на заравњеној платформи на близу m надморске висине има потпуно отркивен источни део хоризонта, што градитељу отвара могућност визуелног утемељења цркве у зору летњег солстицијума. Поред ове могућности, градитељ је имао и другу, у случају да није желео или могао да сачека баш тај дан, а то је могућност одређивања правца геометријском методом, помоћу аналеме. Кључне речи: математичка географија, оријентација цркава, средњи век, средњовековна Србија Увод Приликом егзактне анализе оријентације уздужних оса сакралних грађевина у средњовековној Србији, не треба губити из вида чињеницу да су неке од њих подигнуте на старијим грађевинама. Посебно треба обратити пажњу на старије археолошке слојеве откривене у оквиру манастир- 1 Контакт адреса: tadic@gef.bg.ac.rs 223
2 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 59 ских целина, као што су Градац, Милешева, Ариље, Хиландар, Св. Никола и Св. Богородица у Топлици (Поповић, 1994)... Резултати новијих археолошких истраживања указују на неопходност систематских истраживања сакралне средњовековне архитектуре управо због откривања старијих фаза живљења. На оријентацију средњовековних грађевина несумњиво је утицала пренемањићка, византијска и ранохришћанска традиција, тако да за полазиште наших истраживања узимамо управо две ранохришћанске грађевине. Једна се налази у долини реке Градац код Ваљева, а друга на лок. Небеске столице на Копаонику. Оријентација ранохришћанске цркве у долини реке Градац У оквиру касноантичког утврђења из 6. века, од кога су сачувани остаци бедема и две куле, налазе се и археолошки остаци цркве. Локалитет је смештен на удаљености од 2,25 km узводно од манастира Ћелије и југозападно од села Бранговић (44 13' 18" N, 19 51' 21" E). Са јужне стране утврђења спушта се стрми камени одсек, сликовито именован као Шарено платно. Слика 1. - Темељи црквице у долини реке Градац: поглед дуж уздужне осе ка истоку (лево) и ка западу (десно) 224
3 Математичкогеографска анализа оријентације две ранохришћанске цркве... Управо уз руб тог одсека смештена је црква димензија 9 m х 13 m, са апсидом приљубљеном уз стене. Овакав положај условио је потпуну заклоњеност источног сектора хоризонта.са друге стране, лева страна клисурасте долине реке Градац заклања западни сектор хоризонта (сл. 1). Седмог маја године извршено је мерење гномонском методом (време 15 h 10 min CET + 1, угао сенке α = 34, деклинација сунца δ = 16,81, географски азимут сунца А = 241,8 ) на основу чега је одређен географски азимут уздужне осе цркве, А = 96 2 (Тадић, Петровић, 2011). То значи да уздужна оса цркве одступа 6 од источне тачке, ка југоистоку. Узимајући у обзир локацију цркве, може се рећи да је она оријентисана у складу са црквеним правилима која налажу да уздужна оса цркве мора бити усмерена према истоку, или према изласку сунца (Мирковић, 1966). Искључена је могућност да је протомајстор уздужну осу цркве усмерио посматрајући сунце при изласку или заласку (сл. 1), из чега произилази да је стране света одредио помоћу гномона, Витрувијевом методом (Тадић, Бабић, 2010): прво је помоћу гномона одредио подневачку линију (S N), а онда помоћу громе на њу нормалан равнодневачки правац (W E). Оријентација ранохришћанске цркве на Небеским столицама, на Копаонику Слика 2. - Археолошки локалитет нa Небеским столицама: фотографија (лево) и авионски снимак (десно) 2 Остаци зидова и темеља цркве сада не чине правилан правоугаоник тако да се азимут уздужне осе не може одредити са тачношћу већом од степен-два. 225
4 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 59 Остаци ранохришћанске цркве на Копаонику, налазе се m југоисточно од Панчићевог врха, под гребеном Небеске столице (43 15' 43" N, 20 50' 06" E) (сл. 2). На основу сачуваних фрагмената подног ранохришћанског мозаика, црква је датована у 5/6. век (Тошић, Рашковић, 2001). Шестог августа године извршено је мерење угла сенке гномонском методом (Тадић, Петровић, 2011) (време 15:00 h CET + 1, угао сенке α = 15, деклинација сунца δ = 16,627, географски азимут сунца А = 249 ), на основу чега је одређен географски азимут уздужне осе цркве, А = 54. То значи да уздужна оса цркве одступа 36 од источне тачке, ка североистоку (сл. 3). Слика 3. - Исечак оријентисаног авионског снимка са означеним азимутом уздужне осе цркве под Небеским столицама На географској ширини цркве (43 15' 43" N) излазеће сунце највише је удаљено од тачке истока 34,5 и то летњег солстицијума 3. С обзиром да се азимут уздужне осе цркве не може одредити са тачношћу већом од степен-два (из истог разлога као и азимут цркве у долини реке Градац) 3 То је максимална јутарња амплитуда сунца израчуната с узимањем у обзир угла депресије хоризонта (1 18'). Депресија хоризонта је последица велике надморске висине цркве (1 793 m). 226
5 Математичкогеографска анализа оријентације две ранохришћанске цркве... може се закључити да је оса цркве на Небеским столицама усмерена ка тачки изласка сунца летњег солстицијума (сл. 3). Овај закључак је потврђен непосредном провером која је обављена 21. јуна године, у тренутку изласка сунца (у 4 h 57 min летњег средњоевропског времена) (сл. 4) 4. Слика 4. - Небеске столице, 21. јун године, 04 h 57 min, летњи солстицијум: сунце је изашло у наставку уздужне осе цркве. Узвишење на хоризонту над којим се појављује сунчев диск јесте планина Ртањ (увећани детаљ, горе десно) Пошто се црква налази на доминантном узвишењу, источни сектор хоризонта је потпуно отворен, тако да је протомајстор осу цркве могао одредити непосредним посматрањем изласка сунца најдужег дана у години. Поред овог начина, протомајстор је могао било ког другог дана одредити осу геометријском методом, помоћу аналеме, попречне ортографске пројекције небеске сфере (сл. 5). На слици 5, основна кружница је небески меридијан, Z је зенит, SN је хоризонт (подневачка линија), PP 1 је небеска оса, CD је небески екватор, KL је привидна путања сунца летњег солстицијума, Е 1 тачка изласка сунца летњег солстицијума, а ЕЕ 1 одговарајућа јутарња амплитуда сунца ΔA. 4 Летњег солстицијума, сунце се помаља изнад обриса планине Ртањ. Географски азимут између цркве под Небеским столицама (43 15' 43" N, 20 50' 06" E) и врха Ртња (43 46' 33" N, 21 53' 34" E) износи 55 49', што је близу географском азимуту уздужне осе цркве. 227
6 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 59 Слика 5. - Одређивање јутарње амплитуде сунца на географској ширини (ϕ) цркве на Небеским столицама помоћу аналеме Када се раван хоризонта доведе у раван небеског меридијана, могуће је измерити јутарњу амплитуду сунца (угао E'EE 1 '). То је метод који је био добро познат још у старом веку (Тадић, 2006), тако да су га могли користити и средњовековни протомајстори. Није искључено да га је познавао и применио протомајстор цркве на Небеским столицама. Закључак По свом облику и правцу, обе разматране ранохришћанске цркве у складу су са црквеним правилима. Најстарији облик хришћанских цркава је дугуљаст четворокут (oblonga, δρομηχη) или лађа, која се према истоку завршава испупченим полукругом. Апостолске Установе (1. II. с. 67.) одређују у овом погледу ово: Прво мора бити дом Господњи дугуљаст, поста- 228
7 Математичкогеографска анализа оријентације две ранохришћанске цркве... вљен према изласку сунца, са споредним просторијама са обе стране, тако да је сличан лађи (Мирковић, 1966, 79). Уздужна оса ранохришћанске цркве у долини реке Градац оријентисана је управо тако. Будући да су источни и западни сектори хоризонта потпуно заклоњени, протомајстор је највероватније применио Витрувијеву гномонску методу за одређивање страна света. Базилика на Небеским столицама је сасвим у складу са црквеним начелима, како по облику и оријентацији, тако и по свом доминантном положају у буквалном и симболичном смислу. Осим тога, тражи се да је црква постављена на узвишеном месту. На ово се пазило и у првим вековима хришћанства при градњи храмова, јер је земаљска црква слика цркве Христове, која је положена на стени (Мат. 16, 18), дома Господњег на врх гора (Мих. 4, 1). [ ] Потврду наведеног налазимо и код Тертулијана (Аdv. Valent. с. 3.) који изрично каже: наше цркве су подигнуте на узвишеном месту и окренуте су према истоку (Мирковић, 1966). Уздужна оса ранохришћанске цркве на Небеским столицама усмерена је ка тачки изласка сунца летњег солстицијума. На тај начин, црква је имала и улогу календара: први сноп сунчевих зрака који би пао у цркву кроз олтарски прозор означавао је најдужи дан у години, дан када сунце постиже највећу подневну висину, када привидно застане и почиње да се обраћа. Пошто је источни сектор хоризонта потпуно отворен, протомајстор је осу могао усмерити према излазећем сунцу. Уз то, положај осе је могао одредити и геометријски, помоћу Витрувијеве аналеме. Надамо се да ће наше анализе две изабране ранохришћанске грађевине бити подстицајне за могућа разматрања оријентација уздужних оса сакралних здања на територији средњовековне Србије, пре свега оних које су подигнуте на старијим култним местима, баштинећи ранија искуства. Литература Тошић, Г., Рашковић, Д. (2007). Ранохришћански споменици на источним падинама Копаоника. Зборник радова Византолошког интитута, 44, Мирковић, Л. (1966). Православна литургика или наука о богослужењу православне источне цркве I, Београд: Српски архијерејски синод СПЦ. Поповић, С. С. (1994). Крст у кругу архитектура манастира у средњовековној Србији. Београд: Републички завод за заштиту споменика, Просвета. Тадић, М. (2006). Птолемејевска географија. Београд: Завод за уџбенике. 229
8 Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 59 Тадић, М., Бабић, С. (2010). Оријентација Богородичине цркве манастира Студенице. Зборник радова Географског факултета, 58, Тадић, М., Петровић, А. (2011). Мathematical-geographical аnalysis of the orientation of st Јohn s church of the Сtudenica monastery. Journal of the Geographical Institute Jovan Cvijić 61(1), (Available online at 230
9 Collection of Papers Faculty of Geography, University of Belgrade 59 ( ) Original scientific article УДК :726.54(497.11) A MATHEMATICAL AND GEOGRAPHICAL ANALYSIS OF THE ORIENTATION OF TWO EARLY CHRISTIAN CHURCHES IN SERBIA Milutin Tadić* 1, Gordana Gavrić** * University of Belgrade - Faculty of Geography ** The Institute for Cultural Heritage Preservation Kraljevo Abstract: Among many medieval sacral edifices there are numerous churches built in old cult sites. In such cases where the medieval churches were preceded by the early Christian churches it is interesting to observe the differences or similarities in their orientation. In order to approach this systematically, it is necessary to start with the analyses of the longitudinal axes of certain Christian basilicas. For this occasion, we have chosen two churches, one in the valley of the river Gradac near Valjevo (6 th century) and the other just under the peak, of Kopaonik, in Nebeske Stolice (5 th /6 th century) on the Kopaonik. Thus, the subject of this paper is the exact analysis of the orientation of the cited edifices. The church located in the valley of the river Gradac has been pretty accurately oriented in the west-eastern direction, with the altar naturally facing the east. Since it is positioned atop a rocky cliff, with the eastern and western part of the horizon completely hidden, it is clear that the builder was unable to follow the sunrise or the sunset, during the laying of the foundation, the builder couldn t be guided by the sunrise or the sunset, but he had to be familiar with the exact methods of orientation. The longitudinal axis of the basilica in Nebeske Stolice, on Kopaonik, is positioned fairly accurately and faces sunset during the summer solstice. As the basilica is positioned on a plateau with an altitude of nearly 1793m, the eastern part of the horizon is completely exposed. This allowed the builder to lay the foundation of the church visually during the dawn of the summer solstice Other than this possibility, the builder had another, in case he didn t want or couldn t wait for that exact day, and that would be the possibility of determining the direction via the geometric method, using analemma. Key words: mathematical geography, orientation of churches, Middle Ages, medieval Serbia Introduction When doing an exact analysis of the orientation of the longitudinal axes of sacral edifices in medieval Serbia, we shouldn t lose sight of the fact that some of them were built over some older buildings. We should pay special attention to earlier archaeological strata discovered within monastery property, such as Gradac, Mileševa, Arilje, Hilandar, Sv. Nikola and Sv. Bogorodica in Toplica (Popović, 1 Correspondence to: tadic@gef.bg.ac.rs 231
10 Collection of Papers Faculty of Geography, University of Belgrade ) The results of some newer archaeological excavations indicate the necessity of systematic research of sacral medieval architecture in order to discover earlier phases of life. The tradition of the period before the dynasty Nemanjić, that of the Byzantine period and of early Christianity has undoubtedly influenced the orientation of the medieval edifices, thus as our starting point, we take two early Christian monuments, one of which is located in the valley of river Gradac near Valjevo, and another on the archaeological site of Nebeske Stolice on Kopaonik. The orientation of the early Christian church in the valley of river Gradac Within the late antique fortress from the 6 th century, whose remains of the walls and two towers were preserved, there are the archaeological remains of a church. The site is situated 2,25km upwards from the monastery Ćelije and it s southeast from the village Brangović (44 13' 18'' N, 19 51' 21'' E). A rocky cliff comes down from the southern side and it s picturesquely named Šareno platno (colourful drapery). It is by this place where the church 9m x 13m large is placed, its apse attached to the rocks.this position has caused a complete sheltered condition of the east part of the horizon. On the other hand, the left side of the craggy valley of the river Gradac covers the western part of the horizon (picture 1). Picture 1. - The foundation of the church in the valley of the river Gradac: the view of the longitudinal axis facing east (on the left) and west (on the right) (see on page 224) On the 7 th of May 2011, a measuring was conducted using the gnomonix method (Tadić, Petrović, 2011) (time 15h 10min CET+1, the angle of the shadow α=34, declination of the Sun δ=16,81, geographical azimuth of the Sun A=241,8 ). Based on this measuring, a geographical azimuth of the longitudinal axis was determined, A=96. This means that the longitudinal exis of the church deviates 6 from the eastern point, towards southeast. Considering the position of the church, we can say that it is oriented according to the church rules witch state that the longitudinal axis must face east, or the sunrise (Mirković, 1996). The possibility that the chief architect oriented the longitudinal axis by observing the sunrise or sunset is rulled out, thus he had to have determined the sides of the world using gnomonix, the Vitruvian method (Tadić, Babić, 2010): firstly, he determined the meridian line via gnomonix (S-N), and then the normal direction of equinox via groma (W-E). The Orientation of an Early Christian Church on Nebeske Stolice, in Kopaonik The remains of an early Christian church in Kopaonik are located at the altitude of 1350m southeast of Pančić s peak, just under the rocky cliff Nebeske Stolice (43 15' 43'' N, 20 50' 06'' E) (picture 2). Based on the remaining 232
11 A mathematical and geographical analysis of the orientation fragments of an early Christian floor mosaic, the church was dated back to 5 th /6 th century (Tošić, Rašković, 2001). Picture 2. - The archaelogical site on Nebeske Stolice: picutre (left) and aerial photograph (right) (see on page 225) On the 6 th of august a mesuring of the angle of the shadow via gnomonix method was conducted (Tadić, Petrović, 2011) (time 15:00h CET+1, the angle of the shadow ά=15, the declination of the Sun δ=16,627, geographical azimuth of the Sun A=249 ), which provided the basis for determining the geographical azimuth of the longitudinal axis of the church, A=54. This means that the longitudinal axis of the church deviates 36 from the eastern point, facing northeast (picture 3). Picture 3. - Sector of an oriented aerial photograph with a marked azimuth of the longitudinal axis of the church under Nebeske Stolice (see on page 226) At the latitude of the church (43 15' 43'' N), the rising Sun is the farthest from the eastern point 34,5 during the summer solstice. Taking into account that the azimuth of the longitudinal axis of the church cannot be determined with an accuracy larger than one or two degrees (the same reason as with the church in the valley of the river Gradac), we can conclude that the axis of the church in Nebeske Stolice faces the point of sunrise during the summer solstice (picture 3). This conclusion has been confirmed via direct verification done on the 21 th of June 2011, at the moment of sunrise (at 4h 57min summer CET) (picture 4). Picture 4. - Nebeske Stolice, the 21 th of June 2011, 04h 57min, summer solstice the Sun rose in the extension of the longitudinal axis. The Sun disk emerges above an elevation which is, in fact, the mountain Rtanj (enlarged detail, above right) (see on page 227) Since the church is positioned on a dominant elevation, the eastern sector of the horizon is completely open, thus the chief architect could have determined the axis of the church by directly observing the sunrise on the longest day of the year. Other than this method, the chief architect could have determined the axis on any other day via geometrical method, using analemma, a diagonal orthographic projection of the celestial sphere (picture 5). In the picture 5, the basic circle is the meridian, Z is the zenith, SN is the horizon, PP 1 is the axis of the celestial sphere, CD is the celestial equator, KL is the apparent orbit of the Sun during the summer solstice, E 1 is the point of the sunrise during the summer solstice and EE 1 is the adequate morning amplitude of the Sun ΔA. Picture 5. - The determining of the morning amplitude of the Sun at the latitude (φ) of the church on Nebeske Stolice, via analemma (see on page 228) 233
12 Collection of Papers Faculty of Geography, University of Belgrade 59 When the plane of the horizon is leveled with the meridian, it is possible to measure the morning amplitude of the Sun (angle E'E 1 '). It s a method that was well-known even in the antique (Tadić, 2006), thus it could have been used by the medieval chief architects too. It s not rulled out that the chief architect of the church on Nebeske Stolice knew and applied this method. Conclusion Both shape and direction of these two churches are in accordance with the church rules. The oldest form of Christian churches is the elongated square (oblonga, ) or nave, which ends, towards east, with a convex semicircle. The Institutions of the Apostles (1. II c. 67) determine the following in this regard: First of all, the home of the Lord has to be elongated, facing sunrise, with secondary rooms on both sides, so it resembles a nave (Mirković, 1966, 79). The longitudinal axis of the early Christian church in the valley of the river Gradac is oriented exactly like this. Due to the fact that the eastern and the western sectors of the horizon are hidden, the chief architect has most likely applied the gnomonix Vitruvian method for the determining the sides of the world. The basilica on Nebeske Stolice is completely in line with the church principles, by shape, orientation and its dominant position in both litteral and symbolic sense. Beside this point, it is required that the church is positioned on an elevated place. When building a church, special attention was paid to this even in the first centuries of christianity, for the earthly church is an image of the church of Christ, which was positioned on a rock (Mat. 16, 18), the home of the Lord on top of hills (Mih. 4.1). [...] The confirmation of this is found with Tertullian (Adv. Valent. C. 3) who clearly states: our churches were built in an elevated place and face east (Mirković, 1966). The longitudinal axis of the early Christian church on Nebeske Stolice faces the point of the sunrise during the summer solstice. Thus, the church had the role of a calender: the first ray of sunlight which would fall in the church through the altar window would mark the longest day of the year, the day when the Sun reaches the highest noon altitude, when it seamingly stops and starts turning. Since the eastern sector is completely open, the chief architect could have directed the axis towards the rising Sun. Furthermore, he could have determined the position of the axis geometrically, via the Vitruvian analemma. We hope that our analyses of the two chosen early Christian edifices will initiate possible contemplation of the orientation of the longitudinal axes of sacral edifices on the territory of medieval Serbia, above all thos built at old cult sites, preserving previous experience. References (see on page 229) 234
MAТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ СТУДЕНИЧКЕ ЦРКВЕ СВ. ЈОВАНА
Доступно онлајн на www.gi.sanu.ac.rs Зборник радова Географског института Јован Цвијић САНУ 61(1) (1-10) Оригинални научни рад УДК:910.1:51 MAТЕМАТИЧКОГЕОГРАФСКА АНАЛИЗА ОРИЈЕНТАЦИЈЕ СТУДЕНИЧКЕ ЦРКВЕ СВ.
Διαβάστε περισσότεραналазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm
1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραStrain gauge and rosettes
Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότερα1.2. Сличност троуглова
математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότεραОРИЈЕНТАЦИЈА БОГОРОДИЧИНЕ ЦРКВЕ МАНАСТИРА СТУДЕНИЦЕ
Зборник радова, св. LVIII, 2010. Collection of the Papers, vol. LVIII, 2010 Оригинални научни рад УДК 528.283:726.71(497.11) Original scientific article Милутин Тадић Саша Бабић ОРИЈЕНТАЦИЈА БОГОРОДИЧИНЕ
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ
ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ
Διαβάστε περισσότεραderivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραSection 7.6 Double and Half Angle Formulas
09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)
Διαβάστε περισσότεραHOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Διαβάστε περισσότεραThe challenges of non-stable predicates
The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates
Διαβάστε περισσότεραRight Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door
Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗΣ ΑΝΔΡΕΟΥ ΣΤΕΦΑΝΙΑ Λεμεσός 2012 i ii ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ
Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η προβολή επιστημονικών θεμάτων από τα ελληνικά ΜΜΕ : Η κάλυψή τους στον ελληνικό ημερήσιο τύπο Σαραλιώτου
Διαβάστε περισσότεραMSM Men who have Sex with Men HIV -
,**, The Japanese Society for AIDS Research The Journal of AIDS Research HIV,0 + + + + +,,, +, : HIV : +322,*** HIV,0,, :., n,0,,. + 2 2, CD. +3-ml n,, AIDS 3 ARC 3 +* 1. A, MSM Men who have Sex with Men
Διαβάστε περισσότεραPractice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
Διαβάστε περισσότεραSection 9.2 Polar Equations and Graphs
180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify
Διαβάστε περισσότεραEvery set of first-order formulas is equivalent to an independent set
Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent
Διαβάστε περισσότεραг) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве
в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу
Διαβάστε περισσότεραAssalamu `alaikum wr. wb.
LUMP SUM Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. LUMP SUM Lump sum lump sum lump sum. lump sum fixed price lump sum lump
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Διαβάστε περισσότεραOn a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume
BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In
Διαβάστε περισσότεραΑπόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.
Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραApproximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Διαβάστε περισσότεραГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА СВЕСКА XCII- Бр. 1 YEAR 2012 TOME XCII - N о 1
ГЛАСНИК СРПСКОГ ГЕОГРАФСKОГ ДРУШТВА BULLETIN OF THE SERBIAN GEOGRAPHICAL SOCIETY ГОДИНА 2012. СВЕСКА XCII- Бр. 1 YEAR 2012 TOME XCII - N о 1 Оригиналан научни рад UDC: 911.3:27-522.2(497.11) DOI: 10.2298/GSGD1201185T
Διαβάστε περισσότεραFourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics
Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)
Διαβάστε περισσότεραResurvey of Possible Seismic Fissures in the Old-Edo River in Tokyo
Bull. Earthq. Res. Inst. Univ. Tokyo Vol. 2.,**3 pp.,,3,.* * +, -. +, -. Resurvey of Possible Seismic Fissures in the Old-Edo River in Tokyo Kunihiko Shimazaki *, Tsuyoshi Haraguchi, Takeo Ishibe +, -.
Διαβάστε περισσότερα6.2. Симетрала дужи. Примена
6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права
Διαβάστε περισσότεραЦРКВЕ РАШКЕ ШКОЛЕ МОНУМЕНТАЛНИ ОРИЈЕНТИРИ (математичкогеографски поглед на оријентацију цркава рашке школе)
Зборник радова Географски факултет Универзитета у Београду 60 (193-204) Оригинални научни рад УДК 528.283:726.54(497.11) ЦРКВЕ РАШКЕ ШКОЛЕ МОНУМЕНТАЛНИ ОРИЈЕНТИРИ (математичкогеографски поглед на оријентацију
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΣΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ-ΣΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ
Διαβάστε περισσότεραReminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011
Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE ΑΠΟ ΑΤΟΜΑ ΜΕ ΤΥΦΛΩΣΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΠΗΡΕΑΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ- ΑΠΟΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ BRAILLE
Διαβάστε περισσότεραANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
Διαβάστε περισσότεραLecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3
Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all
Διαβάστε περισσότεραInstruction Execution Times
1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables
Διαβάστε περισσότεραb. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!
MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραOther Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :
Διαβάστε περισσότερα9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr
9.9 #. Area inside the oval limaçon r = + cos. To graph, start with = so r =. Compute d = sin. Interesting points are where d vanishes, or at =,,, etc. For these values of we compute r:,,, and the values
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραNowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that
Διαβάστε περισσότεραΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣTΑΣΗΣ ΓΙΑ ΠΑΤΩΜΑ WPC INSTALLATION GUIDE FOR WPC DECKING
1/12 ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣTΑΣΗΣ ΓΙΑ ΠΑΤΩΜΑ WPC INSTALLATION GUIDE FOR WPC DECKING Ανοίγουμε τρύπες Ø8 x 80mm στο σημείο κατασκευής, με τρυπάνι. To προτεινόμενο πλάτος και μήκος μεταξύ των 2 οπών να είναι 30-35εκ.,
Διαβάστε περισσότεραΗ θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. Χρυσάνθη Στυλιανού Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραMath 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΣΤΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΤΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ
Η ΕΡΕΥΝΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΣΤΑ ΚΕΙΜΕΝΑ ΤΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΗΓΩΝ Θεόδωρος Μαρκόπουλος University of Uppsala thodorismark@yahoo.gr Abstract This paper discusses methodological
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτικές λειτουργίες
2 Συντακτικές λειτουργίες (Syntactic functions) A. Πτώσεις και συντακτικές λειτουργίες (Cases and syntactic functions) The subject can be identified by asking ποιος (who) or τι (what) the sentence is about.
Διαβάστε περισσότεραLecture 34 Bootstrap confidence intervals
Lecture 34 Bootstrap confidence intervals Confidence Intervals θ: an unknown parameter of interest We want to find limits θ and θ such that Gt = P nˆθ θ t If G 1 1 α is known, then P θ θ = P θ θ = 1 α
Διαβάστε περισσότεραΜΑΡΙΟΛΑΚΟΣ Η., ΦΟΥΝΤΟΥΛΗΣ Ι., ΣΠΥΡΙΔΩΝΟΣ Ε., ΑΝΔΡΕΑΔΑΚΗΣ Ε., ΚΑΠΟΥΡΑΝΗ, Ε.
ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ Νο 95 ΜΑΡΙΟΛΑΚΟΣ Η., ΦΟΥΝΤΟΥΛΗΣ Ι., ΣΠΥΡΙΔΩΝΟΣ Ε., ΑΝΔΡΕΑΔΑΚΗΣ Ε., ΚΑΠΟΥΡΑΝΗ, Ε. (2003). Το πρόβλημα του νερού στη Θεσσαλία και προτάσεις για την αντιμετώπισή του στα πλαίσια της αειφόρου ανάπτυξης.
Διαβάστε περισσότεραOrdinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit
Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal
Διαβάστε περισσότεραBounding Nonsplitting Enumeration Degrees
Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,
Διαβάστε περισσότεραEcon 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1
Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test
Διαβάστε περισσότεραΔημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Business Telephony Create a Management Account for Business Telephony
Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Business Telephony Create a Management Account for Business Telephony Ελληνικά Ι English 1/7 Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Επιχειρηματικής Τηλεφωνίας μέσω της ιστοσελίδας
Διαβάστε περισσότεραΗ ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΟΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ Διπλωματική εργασία στο μάθημα «ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ»
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες Αγοράς Ηλεκτρονικού Βιβλίου Instructions for Buying an ebook
Οδηγίες Αγοράς Ηλεκτρονικού Βιβλίου Instructions for Buying an ebook Βήμα 1: Step 1: Βρείτε το βιβλίο που θα θέλατε να αγοράσετε και πατήστε Add to Cart, για να το προσθέσετε στο καλάθι σας. Αυτόματα θα
Διαβάστε περισσότερα7 Present PERFECT Simple. 8 Present PERFECT Continuous. 9 Past PERFECT Simple. 10 Past PERFECT Continuous. 11 Future PERFECT Simple
A/ Ονόματα και ένα παράδειγμα 1 Present Simple 7 Present PERFECT Simple 2 Present Continuous 8 Present PERFECT Continuous 3 Past Simple (+ used to) 9 Past PERFECT Simple she eats she is eating she ate
Διαβάστε περισσότεραΠτυχιακή Εργασία Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΣΤΗΘΑΓΧΗ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΣΤΗΘΑΓΧΗ Νικόλας Χριστοδούλου Λευκωσία, 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραthe total number of electrons passing through the lamp.
1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy
Διαβάστε περισσότεραPolicy Coherence. JEL Classification : J12, J13, J21 Key words :
** 80%1.89 2005 7 35 Policy Coherence JEL Classification : J12, J13, J21 Key words : ** Family Life and Family Policy in France and Germany: Implications for Japan By Tomoko Hayashi and Rieko Tamefuji
Διαβάστε περισσότεραCongruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2
International Journal of Algebra, Vol. 8, 24, no. 5, 239-246 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com http://dx.doi.org/.2988/ija.24.422 Congruence Classes of Invertible Matrices of Order 3 over F 2 Ligong An and
Διαβάστε περισσότεραΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΗ ΟΡΙΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ CHAT ROOMS
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ Ι Ο Ν Ι Ω Ν Ν Η Σ Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Ταχ. Δ/νση : ΑΤΕΙ Ιονίων Νήσων- Λεωφόρος Αντώνη Τρίτση Αργοστόλι Κεφαλληνίας, Ελλάδα 28100,+30
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ. Λεμεσός
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΟ ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗ ΚΑΙ Η ΒΛΑΠΤΙΚΗ ΕΠΙΔΡΑ ΑΣΗ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΝΕΟΓΝΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ονοματεπώνυμο Αγγελική Παπαπαύλου Αριθμός Φοιτητικής
Διαβάστε περισσότεραk A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
Διαβάστε περισσότεραΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΑΙΦΝΙΔΙΟΥ ΒΡΕΦΙΚΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΑΙΦΝΙΔΙΟΥ ΒΡΕΦΙΚΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ Ονοματεπώνυμο: Λοϊζιά Ελένη Λεμεσός 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΧΡΙΣΤΙΝΑ Σ. ΛΑΠΠΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΤΟΥΣ
Διαβάστε περισσότεραSolutions to Exercise Sheet 5
Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X
Διαβάστε περισσότεραNumerical Analysis FMN011
Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =
Διαβάστε περισσότεραMath221: HW# 1 solutions
Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin
Διαβάστε περισσότεραLecture 2. Soundness and completeness of propositional logic
Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness
Διαβάστε περισσότεραΣΤΥΛΙΑΝΟΥ ΣΟΦΙΑ Socm09008@soc.aegean.gr
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΧΗ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: Διερεύνηση των απόψεων
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία "Η ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΘΗΛΑΣΜΟΥ ΣΤΗ ΠΡΟΛΗΨΗ ΤΗΣ ΠΑΙΔΙΚΗΣ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑΣ" Ειρήνη Σωτηρίου Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακή διατριβή. Ανδρέας Παπαευσταθίου
Σχολή Γεωτεχνικών Επιστημών και Διαχείρισης Περιβάλλοντος Μεταπτυχιακή διατριβή Κτίρια σχεδόν μηδενικής ενεργειακής κατανάλωσης :Αξιολόγηση συστημάτων θέρμανσης -ψύξης και ΑΠΕ σε οικιστικά κτίρια στην
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ Π Τ Υ Χ Ι Α Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗΣ ΣΤΗΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΗ ΗΓΕΣΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ
Διαβάστε περισσότεραÜzleti élet Rendelés. Rendelés - Megrendelés. Rendelés - Visszaigazolás. Hivatalos, kísérleti
- Megrendelés Εξετάζουμε την αγορά... Hivatalos, kísérleti Είμαστε στην ευχάριστη θέση να δώσουμε την παραγγελία μας στην εταιρεία σας για... Θα θέλαμε να κάνουμε μια παραγγελία. Επισυνάπτεται η παραγγελία
Διαβάστε περισσότερα4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)
84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this
Διαβάστε περισσότεραТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце
РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез
Διαβάστε περισσότεραКРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.
КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг
Διαβάστε περισσότεραSimilarly, we may define hyperbolic functions cosh α and sinh α from the unit hyperbola
Universit of Hperbolic Functions The trigonometric functions cos α an cos α are efine using the unit circle + b measuring the istance α in the counter-clockwise irection along the circumference of the
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ
0 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: Δρ. Βασίλειος Ραφτόπουλος ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΣΗΛΕΥΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΘΑΝΑΣΙΑ Ονοματεπώνυμο:
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΕ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ
ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.) «Αρχιμήδης ΙΙΙ Ενίσχυση Ερευνητικών ομάδων στην Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.» Υποέργο: 8 Τίτλος: «Εκκεντρότητες αντισεισμικού σχεδιασμού ασύμμετρων
Διαβάστε περισσότεραPARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities
PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot
Διαβάστε περισσότεραΗ ΜΑΛΑΞΗ ΚΑΙ ΤΑ ΕΙ Η ΤΗΣ ΣΤΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΙΣΘΗΤΙΚΗΣ
ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΙΣΘΗΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΜΕΤΟΛΟΓΙΑΣ Η ΜΑΛΑΞΗ ΚΑΙ ΤΑ ΕΙ Η ΤΗΣ ΣΤΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΙΣΘΗΤΙΚΗΣ Σταµάτη Κωνσταντίνα Φεβρουάριος 2012 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΟι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού)
Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Προσδοκώμενα αποτελέσματα Περιεχόμενο Ενδεικτικές δραστηριότητες
Διαβάστε περισσότεραCRASH COURSE IN PRECALCULUS
CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραUniform Convergence of Fourier Series Michael Taylor
Uniform Convergence of Fourier Series Michael Taylor Given f L 1 T 1 ), we consider the partial sums of the Fourier series of f: N 1) S N fθ) = ˆfk)e ikθ. k= N A calculation gives the Dirichlet formula
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο
Διαβάστε περισσότερα