6.2. Симетрала дужи. Примена

Transcript

1 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права која садржи средиште те дужи и нормална је на њу. 24. Нацртај дуж: 1) АВ = 6 cm; 2) D = 7 cm; 3) EF = 5 cm, а затим за сваку од њих нацртај симетралу. 25. На слици 23 су приказане по три дужи. Свакој од њих нацртај симетралу. P T K p Слика 23. S F E Симетрала дужи је једна њена оса симетрије. Савијањем папира у односу на праву (слика 22); тачка А В, тачка О О, дуж АО ОВ. Ово значи, да је симетрала дужи једна њена оса симетрије. ( * ) (*) Дуж АВ има још једну осу симетрије. Коју? Та оса симетрије није њена симетрала. 121

2 26. а) Истакнимо неке праве које нису симетрале дате дужи (слика 24). Слика 24. q p У првом случају права р не садржи средиште дужи (О p), а у другом случају права q није управна (нормална) на дуж АВ. Приметимо да симетрала дужи мора да испуњава оба услова. б) Нацртај дуж и праву која не испуњава оба услова. Да ли је та права симетрала дате дужи? Истакнимо једно важно својство симетрале дужи. Свака тачка симетрале дужи једнако је удаљена од крајњих тачака (крајева) те дужи. И обратно, ако је нека тачка једнако удаљена од крајњих тачака те дужи, онда она припада симетрали дужи. Утврдимо (образложимо ( * ) ) тачност само првог дела тог тврђења. Дата је дуж АВ и њена симетрала. ( АВ и АО = ОВ). Тачка М припада симетрали (М ). Тврди се да је: АМ = ВМ (слика 25)? Слика 25. X Тачност једнакости АМ = ВМ утврђујемо на следећи начин: Симетрала је једна оса симетрије дужи АВ, и то значи: АО ОВ, М М, АМ МВ; што показује да је: АМ = ВМ. Тиме је тврђење доказано: За било коју тачку Х симетрале дате дужи АВ, на исти начин, утврђује се: АХ = ВХ. математика за 5. разред 122 основне школе (*) Често се каже и докажимо.

3 То значи да је свака тачка симетрале дужи једнако удаљена од њених крајњих тачака. Напомена: За тачке које не припадају симетрали дужи показујемо (само мерењем) да нису једнако удаљене од њених крајева (слика 26). АО = ОВ и АВ. АS < S и T > T Слика 26. Слика 27. N S 1 1 T 2 N 2 Дата је дуж АВ (слика 27). Како извршити конструкцију ( * ) симетрале те дужи? Решење: Конструишимо кружнице 1 (А, r) и 2 (, r), где је r > 2. Кружнице 1 и 2 секу се у тачкама М 1 и М 2. Даље, конструишемо друге две кружнице 3 (А, r 1 ) и 4 (, r), где је r 1 > r, и оне се секу у тачкама N 1 и N 2. Ако наставимо конструкције других кружница на исти начин, тј. центри су им тачке А и В и полупречници једнаки, њиховим пресеком добијамо тачке једнако удаљене од крајњих тачака дужи АВ. Све те тачке (М 1, М 2, N 1, N 2,...) припадају симетрали дужи АВ, захваљујући својству симетрале дужи. Конструкцијом симетрале дужи, одредили смо праву АВ и тачку О која полови дуж АВ, тј. АО = ОВ. До сада смо средиште дужи одређивали (приближно) мерењем. Сада се то може одредити и конструкцијом. 27. Дате су дужи АВ и СD (слика 28). Конструиши њихове симетрале. Одреди средишта тих дужи. D Слика 28. (*) Лењиром цртамо праву, а шестаром конструишемо одређене кружнице. Каже се: Тако вршимо конструкције неких фигура. 123

4 * 28. Нацртај дуж АВ = а, па конструиши: 1) средиште дужи а; 2) четвртину дужи а; 3) 3 8 а. 29. Нацртај правоугаоник. Конструиши све његове осе симетрије. 30. Дате су изломљене линије (слика 29). Слика 29. Слика 30. Конструиши симетрале свих назначених дужи. Шта се уочава за симетрале свих дужи у случају 2)? Две нормалне праве цртали смо до сада лењиром. Користећи својства симетрале дужи сада их је могуће и конструисати. Конструкција нормале у датој тачки праве. Дата је права а и једна њена тачка М ( а) (слика 30). a b Задатак: конструисати праву b, тако да је b a и М b. Решење: Конструишимо кружницу (М, r). Кружница сече праву a у тачкама А и В. Тачка М је средиште дужи АВ, тј. АМ = МВ. Симетрала дужи АВ је тражена права b (b a). * 31. Нацртај праву p. Конструиши неку праву n, тако да је n p. Колико постоји правих управних на праву p? Какав је међусобни положај тих правих? * 32. Конструиши кружницу чији је полупречник 3 cm и додирује дату праву a у датој тачки М (М a). Колико решења има тај задатак? * 33. Дуж а је пречник кружнице. Конструиши ту кружницу. * 34. Користећи модел круга нацртај кружницу, а затим конструиши њен центар. Конструкција нормале на праву из тачке ван праве. Дата је права a и једна тачка М ван праве (М a) (слика 31). Задатак: конструисати праву b, тако да је b a и М b. Конструишимо кружницу (М, r), где је r изабрано тако да кружница сече праву a у тачкама А и В. Симетрала дужи АВ је тражена права b. Образложи то тврђење. математика за 5. разред 124 основне школе

5 r Слика 31. Слика 32. r a b * 35. Дата је дуж МN и тачка А ван те дужи. Конструиши праву n, тако да је n МN и А n. 36. Дат је троугао АВС (слика 32). Конструиши праву која садржи тачку С и нормална је на праву АВ. 36.а Дате су три тачке А, В, С и тачка В је слика тачке В у односу на осу симетрије. Конструиши осу симетрије и пресликај тачке А и С у односу на ту осу (слика 32.1). Слика Дате су две различите тачке. Конструисати кружницу која садржи дате тачке. Колико решења има задатак? * 38. Дате су две тачке. Конструисати кружницу која садржи дате тачке, а полупречник јој је 5 cm. Испитај све случајеве. 39. Конструиши кружницу која додирује дату праву у датој тачки. 40. Конструиши кружницу која додирује дату праву у датој тачки, а полупречник јој је 4,5 cm Симетрала угла Дат је угао xоy (слика 33). Како конструисати праву која дели угао xоy на два једнака дела (каже се: полови га)? y Слика X 1 α x 125