г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

Transcript

1 в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу самерљиве д) обим OO и пречник rr круга OO = rrrr OO rr = rrrr = ππ није рац. бр. нису самер. rr 871. Да ли су полупречници rr и RR уписаног, односно описаног круга: а) једнакостраничног троугла rr = h 3 RR = 3 h rr RR = h 3 h 3 б) квадрата rr = aa aa rr RR = dd = aa RR = aa в) правилног шестоугла rr = aa 3 RR = aa rr RR = aa 3 aa = 1 јесу сам. = 3 = нису сам. нису сам. 7.. Размера дужи. Пропорционалне дужи 87. Нацртати две дужи тако да њихова размера буде: а) б) 3 в) 1 г) Дуж AAAA подељена је тачкама CC 1, CC, CC 3, CC 4, CC 5, CC 6 на 7 једнаких делова (сл.63). Одредити размере дужи: а) AACC 3 : CC 3 BB AACC 3 : CC 3 BB = 3: 4 = 3 4 б) CC 1 CC 3 : CC 5 CC 6 = : 1 = в) CC CC 5 : AAAA = 3: 7 = 3 7

2 877. Дате су дужи aa, bb, cc и јединична дуж дужине 1 cccc. Конструисати дуж xx ако је: а) aa: bb = xx: cc aa + bb г) xx = aa cc = xx bb cc cc: xx = bb: aa xx aa + bb = 1 cc cc: (aa + bb) = 1: xx б) xx = aa cc bb в) xx = aa bb xx cc = aa bb исто као под а) xx aa = aa aa: bb = xx: aa bb bb: aa = aa: xx д) xx = aa bb xx: bb = aa: 1 1: aa = bb: xx

3 ђ) xx = aa aa + bb xx aa = aa aa + bb aa + bb = aa aa xx 878. Дату дуж AAAA поделити на а) три в) седам xx = xx = xx pp qq mm AACC 1 = CC 1 CC = CC BB pp 1 pp pp 3 pp 4 pp 5 pp 6 pp 7 AACC 1 = CC 1 CC = CC CC 3 = CC 3 CC 4 = CC 4 CC 5 = CC 5 CC 6 = CC 6 BB г) једанаест б) пет pp 1 pp pp 3 pp 4 pp 5 AACC 1 = CC 1 CC = CC CC 3 = CC 3 CC 4 = CC 4 BB pp 1 pp pp 3 pp 11 AACC 1 = CC 1 CC = CC CC 3 = = CC 10 BB једнаких делова Поделити дату дуж у односу а) : 3 дату дуж делимо на 5 једнаких делова AACC : CC BB = : 3 тј. тачка CC дели дату дуж AAAA у односу :3

4 881. Израчунати дужину дужи SSSS (сл.64) ако је AAAA CCCC и: а) SSSS = 6 cccc, CCCC = 3cccc, BBBB = 6 cccc б) SSSS = 7 cccc, SSSS = SSSS, BBBB = 14 cccc в) SSSS = 6 cccc, AAAA = 4 cccc, SSSS = 9 cccc SSSS = 6 cccc а) SSSS = 3 cccc SSSS = 3 cccc SSSS = BBBB = 6 cccc SSSS = 1 cccc SSSS: SSSS = SSSS: SSSS б) SSSS = 7 cccc SSSS = SSSS = 14 cccc BBBB = 14 cccc SSSS: SSSS = SSSS: SSSS SSSS: AAAA = SSSS: BBBB SSSS = 7 cccc SSSS = SSSS + BBBB = = 1 cccc в) SSSS = 6 cccc, AAAA = 4 cccc, SSSS = 9 cccc SSSS = SSSS + AAAA = 10 cccc SSSS: SSSS = SSSS: SSSS SSSS SSSS SSSS = SSSS = 9 10 = 45 4 = У трапезу AAAAAAAA продужеци кракова AAAA и CCCC секу се у тачки MM. Ако је AAAA = 10 cccc, AAAA = cccc и MMMM = 15 cccc израчунати дужину крака CCCC. AAAA = 10 cccc AAAA = cccc MMMM = 15 cccc CCCC =? AAAA: AAAA = MMMM: CCCC 10: = 15: xx xx = = = 3 cccc 883. У троуглу AAAAAA (сл.65) је дуж DDDD паралелна страници AAAA. Израчунати: а) BBBB ако је AAAA = 1 cccc, CCCC = 4 cccc, CCCC = 8 cccc б) BBBB ако је AAAA = 15 cccc, AAAA = 3 cccc, BBBB = 5 cccc а) AAAA: DDDD = BBBB: CCCC 1: 4 = xx: 8 xx = 1 8 = 4 cccc 4

5 7. два једнакокрака троугла 9. два једнакокрака трапеза. 8. два делтоида 889. Нека су AA 1, BB 1, CC 1 средишта страница BBBB, AAAA, AAAA троугла AAAAAA. Да ли су троуглови AAAAAA и AA 1 BB 1 CC 1 слични? Према Талесовој теореми види се да је AABB 1: BB 1 CC = BBAA 1 : AA 1 CC AA 1 = 1 1 BB 1 AAAA, BB 1 CC 1 BBBB и AA 1 CC 1 AAAA, одатле се види да су та троугла слична Дат је једнакокраки троугао основице aa = 3 cccc и крака bb = cccc. Конструисати њему сличан троугао ако је кофицијент сличности: а) kk = б) 1 а) AA 1CC = kk AAAA BB 1 CC = kk BBBB б) 891. Дат је једнакокраки троугао са углом при врху αα = 30 и основицом aa = 4 cccc. Конструисати њему сличан троугао ако је коефицијент сличности: а) kk = 3 4 б) kk = 1,5 а) б)

6 896. Да ли су слични правоугли троуглови на сликама 70 а), б) и в)? сл.70 а) сл.70 б) сл.70 в) а) 1,5,5 = да, слични су б) 5 3 = нису слични в) 5 10 = = 1 јесу слични 897. На слици 71 дата су по два троугла. Који од наведених парова троугла су слични? сл.71 а) сл.71б) сл.71 в) а) 1: 8 = 18: = = 3 kk = 3 јесу слични б) 10 6 = 1 8 = 16 1 = kk 5 3 = 3 = 4 нису слични 3

7 в) αα = = 68 αα 1 = = 7 сви унутрашњи углови су исти слични су 898. Одредити дужине страница aa 1 и bb 1 троуглова AA 1 BB 1 CC 1 на слици 7. 6: 3 = kk kk = aa 1 = 3,5 kk = 7 cccc bb 1 = 4 kk = 8 cccc 899. Да ли су слични троуглови чије су странице: а) 3 cccc, 4 cccc, 6 cccc и 10,5 cccc, 14 cccc, 1 cccc 10,5: 3 = kk 1: 6 = kk 14: 4 = kk = kk 7 = kk 30 = kk јесу слични 7 = kk б) 0,5 cccc, 0,9 cccc, 1, cccc и 3 cccc, 5,5 cccc, 7, cccc 5,5: 0,9 = kk 5,5: 9 10 = kk 3: 0,5 = kk 5, = kk нису слични 6 = kk 55 9 = kk = kk 900. Странице једног троугла су aa = 4 cccc, bb = 10 cccc и cc = 1 cccc. Најдужа страница њему сличног троугла је cc 1 = 3aa. Одредити дужине осталих страница другог троугла. cc 1 : cc = kk aa 1 = aa kk = 4 1 = 1 cccc 4 kk = 3: 1 = 1 4 bb 1 = bb kk = = 5 cccc =,5 cccc 901. Дат је троугао AAAAAA. Конструисати њему сличан троугао AA 1 BB 1 CC 1 чије су висине: а) два пута мање б) два пута веће од висине датог троугла. а) б)

8 908. Права ll садржи тежиште TT троугла и паралелна је страници BBBB. а) У ком односу та права дели висину која одговара страници BBBB? б) Колика је дужина одсечка праве ll унутар троугла AAAAAA у функцији странице BBBB? Одговор: а) ll aa Посматрајмо сличне троуглове AAAAAA и AAAA DD. Ако знамо да тежиште дели тежишну дуж (AAAA) у односу : 1, тј. AAAA = TTTT, AAAA = AAAA + TTTT = AAAA + AAAA = 3 AAAA. Из овог односа видимо да је кофицијент сличности kk = 3, односно и AAAA 1 = 3 AAAA, тј. права ll ће делити висину h aa такође у односу : 1. б) ll BBBB Прво посматрајмо сличне троуглове AAAAAA 1 и AAAAAA. Пошто знамо да тежиште TT дели тежишну дуж AAAA 1 у односу : 1 (AAAA: TTAA 1 = : 1) можемо да закључимо да је кофицијент сличности kk = 3 (AAAA 1 = AAAA + TTAA 1 = AAAA + 1 AAAA = 3 AAAA). Одатле следи и да је BBAA 1 = 3 DDDD. На сличан начин, посматрајући троуглове AAAAAA и AAAA 1CC добијамо да је AA 1 CC = 3 TTTT. DDDD = 3 BBAA 1 TTTT = DDDD = 3 AA 3 BBBB 1CC